О некоторых свойствах обобщенных полилогарифмов и кратных дзета-значений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М В Ломоносова

Механико-математический факультет

- На правах рукописи УДК 511.33+517 5

Уланский Евгений Александрович

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ

ОБОБЩЕННЫХ ПОЛИЛОГАРИФМОВ И КРАТНЫХ ДЗЕТА-ЗНАЧЕНИЙ

01 01 06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

003066543

Работа выполнена на кафедре теории чисел Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М В Ломоносова

Научный руководитель.

Официальные оппоненты.

Ведущая организация:

член-корреспондент РАН, профессор

Юрий Валентинович Нестеренко доктор физико-математических наук, профессор Владислав Хасанович Салихов кандидат физико-математических наук, Сергей Алексеевич Злобин Математический институт им В.А.Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 12 октября 2007 г. в 16 ч. 15 м. на заседании диссертационного совета Д 501001 84 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Российская Федерация, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 12 сентября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 00184 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В H Чубариков

Общая характеристика работы Актуальность темы

Настоящая диссертация посвящена исследованию свойств обобщенных полилогарифмов и кратных дзета-значений Ее тематика мотивирована исследованиями арифметических свойств значений дзета-функции Римана С(-з) в целых точках Еще Эйлер1 установил, что (,{2к)ж~2к € <0>, к б N Известно также, что £(3) ^ О (Р Апери2, 1978) и что среди чисел С(5), ((?), С(9), С(И) хотя бы одно иррационально (В Зудилин3, 2004) Более того, размерность линейного пространства над О, порожденного значениями дзета-функции Римана в нечетных точках, бесконечна (Т Риво-аль4, 2000) Доказательства указанных результатов используют тот факт, что значения £(&) при натуральных к > 1 связаны со значениями полилогарифмических функций Ьък(г) = в точке г — точнее С (к) = 1лк( 1). Именно аналитические свойства полилогарифмов используются при доказательстве арифметических результатов о значениях дзета функции Римана в нечетных точках

Эйлер первым рассматривал кратные ряды вида

- так называемые кратные дзета-значения Он в частности доказал равенство £(2,1) = С(3). Позднее появились и обобщенные полилогарифмы

Результат Апери2 инициировал появление ряда работ (Хоффман5, Загир6, Гончаров7 и другие), посвященных свойствам кратных дзета-значений и

1 Evier L Meditationes circa smgulaie senerum genus Novi Comm. Acad Sci Petropol 1775 Vol 20 P 140 - 186; Reprinted Opera Omnia Ser I Vol 15 Berlin Teubner, 1927 P 217 - 267.

2Apery R Irrationalité de C(2) et ((3) // Astérisque 1979 V 61 P 11-13

3Zwlilm W Arithmetic of linear forms involving odd zeta values J Théorie Nombres Bordeaux 2004 V 16 №1 P 251-291, http //arxiv org/abs/math/0206176

iRivoal T La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs

C R Acad Sa Pans Ser I Math 2000 V 331 №4 P 267-270

6 Hoffman ME Multiple harmonic series Pacific Journal of Mathematics 1992 Vol 152 №2 P 275 -

eZagter D. Values of zeta functions and their applications First European Congress of Mathematics (Pans, 1992) Vol n. Boston Birkhauser, 1994 P 497 - 512

7 Goncharov A B Polyloganthms in arithmetic and geometry Proceedings of the International Congress of Mathematicians Vol 1, 2 (Zurich, 1994) P 374 - 387 Birkhauser, Basel, 1995

C(5) = C(ai,...,e*)= ]£ „1 1 „s* ' s e N*, Si > 1 (1)

. _ 7îi " Jl » "l> >"fc> 1 1 K

290

обобщенных полилогарифмов Результаты настоящей диссертации относятся к этой, активно развивающейся в последние годы области исследований

Цель работы

Целью настоящей работы является исследование поведения обобщенных полилогарифмов под действием на аргумент группы дробно-линейных преобразований определенного вида, исследование свойств интегральных представлений для обобщенных полилогарифмов, оценка размерности линейного пространства над <12, порожденного значениями функций Лерха с рациональным параметром в рациональной точке

Научная новизна

В диссертации получены следующие результаты

1 Впервые получены общие тождества, описывающие поведение обобщенных полилогарифмов при дробно-линейных преобразованиях аргумента специального вида.

2 Доказана общая теорема о преобразовании кратных интегралов гипергеометрического типа при замене аргумента г —»

3 Получена оценка снизу размерности линейного пространства над О, порожденного значениями функций Лерха с рациональным параметром и в рациональной точке

Основные методы исследования

В работе используются методы теории функций комплексного переменного и теории трансцендентных чисел

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация носит теоретический характер Ее результаты могут быть полезны специалистам, изучающим свойства полилогарифмов, дзета-функции Римана, гипергеометрической функции и гипергеометрических интегралов

Апробация работы

Результаты настоящей диссертации докладывались автором на следующих семинарах Механико-математического факультета МГУ и научных конференциях

1 Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством Ю В Нестеренко, Н Г Мохцевитина, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005гг,

2 "Диофантовы приближения и трансцендентные числа"под руководством Ю В Нестеренко, В В Зудилина, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005гг,

3 Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2002" (Россия, г Москва, МГУ им М В Ломоносова, 8-13 апреля 2002г),

4 6-я международная конференция "Алгебра и теория чисел- современные проблемы и приложения", посвященная 100-летию Н Г Чудакова (Россия, г Саратов, СГУ, 13-17 сентября 2004г),

5 Международная конференция "Диофантовы и аналитические проблемы теории чисел", посвященная 100-летию А О Гельфонда (Россия, г Москва, МГУ им М В Ломоносова, 29 января - 2 февраля 2007г)

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приводится в конце автореферата [1-4]

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из 4 глав (одна из которых является введением) и библиографии (28 наименований) Общий объем диссертации составляет 80 страниц

Краткое содержание работы

1. Содержание главы 1.

В первой главе, которая является введением, изложена краткая история исследуемого вопроса, показана актуальность темы и сформулированы основные результаты диссертации Наряду с (2) удобно ввести и другое обозначение для полилогарифмов, использующее в качестве индексов слова алфавита, состоящего из двух букв {ж0, хг} Пусть в!,. , зк € М. Для каждого слова си = Жо1"1^^2-1^! . заканчивающегося буквой

Х\, положим

= Е (3)

«1>«2> >Пк^ 1 1 ^ К

И

= Е 1 (4)

Ряды в правых частях (3) и (4) сходятся в области \г\ < 1 Между мульти-индексами и словами из этих двух определений устанавливается взаимнооднозначное соответствие

(^1,52, ,3*) <—> х^ххх^хг х^хг,

однако оно затрагивает лишь слова, заканчивающиеся на букву х\ Для остальных слов определение обобщенного полилогарифма дается следующим образом. Для пустого слова 0 полагается Ы0(г) = 1 Для слов, заканчивающихся на х0

, если 1л = х,0,

г (5)

/ • 1л„(4)<й , если го = хгу и > О,

и0{г) = - , Ш1(г) =

г ' 1-х

Пусть X есть множество всех слов, состоящих из букв хо к хг, содержащее в том числе и пустое слово Заметим, что определения (3) и (5) дают одни и те же функции для слов, заканчивающихся на х\, таким образом определение (5) корректно задает обобщенные полилогарифмы для всего множества слов X

Для любого слова и> множества X определен вес |ги|, который равен количеству всех букв в этом слове, и длина 1(ги), равная количеству букв хъ встречающихся в этом слове В частности, если |го| = 1(ги) = к, то ии = х^ Для пустого слова полагается |0| = 1(0) = 0 Кроме того, используется запись ту = ог, означающая, что если записать подряд слова г и г;, то получится слово и>.

Из определения (5) следует, что обобщенные полилогарифмы удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

= = ^-^-Чл^), (6)

что верно для любого слова ии Е X 2. Содержание главы 2.

Во второй главе исследуется поведение обобщенных полилогарифмов под действием преобразований ^ и 1 — г Эти преобразования порождают группу из шести дробно-линейных преобразований, переставляющих точки 0,1 и оо Ситуацию с первым из этих преобразований исчерпывающе описывает

Теорема 1. Для любых целых неотрицательных чисел , , вп и комплексного числа г с условиями \г\ < 1, < 1 выполняется равенство

М=«ь ,|г>„|=8„

Суммирование ведется по всем словам ьг. . , ип е X, имеющим веса «1, , вп соответственно Эти веса могут равняться в том числе и нулю

Соответствующий результат для Ье^л^ Х,„Х1 ^ г ^ дает

Теорема 2. Для любого комплексного числа г с условиями \г\ < 1,

< 1 и произвольного слова V € X выполнено

Здесь в формулировке теоремы было использовано преобразование слов а, меняющее между собой буквы х$ и х\.

Далее доказывается Предложение 1.

х

т=0

т=0

X ^^

31+ +Зч=п-т

771^

где С2: = -.-— биномиальные коэффициенты

(т — пугй

Это предложение позволяет явно выразить обобщенные полилогарифмы, соответствующие словам из Ххц, которые до этого были определены ре-куррентно с помощью (5), через 1п(г) и обобщенные полилогарифмы, соответствующие словам из Ххг

В случае с преобразованием z->l-z выполняется Теорема 3. Пусть имеется слово ш из X и комплексное число z с условиями \z\ < 1, |1 — z\ < 1. Тогда

Li^l - z) = ]Г (-1)ИД, LЧт)(г),

TV—U)

где Dv константы, причем D0 = 1, Dv = 1л„(1), если v начинается с xq и

= LV(a)(1), (7)

A ¡J.—V

|A¡>0

если v начинается с Х\

Равенство (7) рекуррентно определяет числа Dv, v G X

С помощью предложения 1 и теоремы 3 доказывается линейная независимость обобщенных полилогарифмов и алгебраическая независимость

°° zn

классических полилогарифмов Lik(z) = ^Г^ —^ над С (z) Доказательство

i ^ п=1

линейной независимости проводится по той же схеме, что и в работе Мина и Петито,8 однако ключевая лемма, используемая в данном доказательстве в нашем случае сформулирована более полно и доказывается с помощью теоремы 3

Алгебраическая независимость классических полилогарифмов следует из общей леммы, доказанной в 1961 году Шидловским 9 Мы предоставляем собственное доказательство, проведенное с помощью метода, которым были получены большинство результатов настоящей диссертации 3. Содержание главы 3.

В главе 3 изучаются свойства интеграла

Jm(a,b,c¡z) =

11 Г(аг)Г(Ьг - О,) J J 11 (1 - z X! *,)« ^ йХт>

1-1 [од]™ г~1

где

й = (ai, -,0m), Ь = (&l, ,bm), с — (а, ,Ст)

sMmh Hoang Ngoc, M Petitot, and J Van Der Hoeven L'algèbre des polyloganthmes pax les séries génératrices SFCA'99, Sénés formelles et combmatoire algébraïque, Barcelone, 1999

9Шидловский ABO трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых Е-функций Вестник МГУ, Сер 1, Математика, механика. 1961 № 5 Стр 44-59

При выборе параметров с\ = = ст_1 = 0, Ст = ао данный интеграл представляет собой обобщенную гипергеометрическую функцию

Jт(а, b, ф) = m+1F„

h, ,Ьт

_ V^ (oo)fc(ai)fe • (fflm)fc

(bl)fc-- (bm)fc '

fc=0

(8) Г(а + &)

где (аЬ = ——^— При т = 1 эта функция называется гипергеометри-Г(а)

ческой функцией Гаусса и в области \атд{1 — г)\ <-к для нее справедливо классическое равенство

2" 1

ao,ai bi

—z 1 — z

(1 - z)ai 2FI

— ao, ai

Следующая теорема, как видно из (8), является обобщением данного равенства

Теорема 4. Пусть z, а,, Ьг, сг <Е С, \arg(l—z)\ < п и Re (аг) > 0, Ьг—аг Е N при г — 1, ,т Тогда

Jm ( a, b, с

—z

1-2

(1 - z)ai Jm(a,b,b —a' — c\z),

где

1j€ ¿I a,

X0lXl Xq X\XQX\

Тл sj el—l sl x0 XQ x~i

Далее с помощью некоторых интегральных преобразований доказывается теорема о выражении друг через друга функций 1лг(.г) и Ье5(;г) Теорема 5. Пусть , £¡6 Тогда

^) = ]Г Ь1х*1х11 Х'01-1ХЧ_1ХПХ1{2),

и, л-1е{0,1}

«1, ,Ч-1€{0Д}

Также в этой главе доказывается теорема о стаффл-произведении обобщенных полилогарифмов кратного аргумента Для того, чтобы ее сформулировать введем дополнительные обозначения Положим ув = Тогда произвольное слово и> £ Хх\ можно записать двумя способами-

Ш = Х^ХхХ^Хх Х$0к~1Х1 = у81у82 . увк

Также будем обозначать через У и У* множества линейных комбинаций над (¡2 слов из Хх-у и {0} и х0Хх\ и {0} соответственно

Для слов и> Е Хх\ и < 1, г = 1, , 1(и>) обобщенным полилогарифмом кратного аргумента называется ряд

_ ¿"■'¡■¿"ъ . znk

Li„(z) =Ь1([ш,г])=Ц,.1Ла v,k{zu ,zk) = ¿J фф2-"i

. „ I ¿1 I On fill,

ni >n2> >Пк^1 1 ¿ k

(9)

Положив Li0(0) = 1, это определение можно распространить по линейности и на множество У При этом нужно понимать, что каждому слову из линейной комбинации сг EY соответствует кратный аргумент обобщенного полилогарифма и кратность аргумента равна длине этого слова

Операция стаффл-произведения определяется следующими правилами

1) и* 0 = 0 *и — и ,

2 ) иу3* vy% = (и * v)yl+3 + (и * ьуг)у3 + (иу} * v)yt ,

где и, V € Хх\ Нетрудно заметить, что и * v 6 У При этом, если и, V G rcoXxi, то и * г> е У*

Зададим отображение С • У* —» К. правилами

1.) С(0) = 1,

2) - Увк)=Фi,

На все множество У* отображение распространяется по линейности Теорема. Справедливо равенство

С (и * v) = СО) СО)

Это означает, что произведение кратных дзета-значений может быть представлено в виде линейной комбинации некоторых других кратных дзета-значений с рациональными коэффициентами.

Первое доказательство теоремы о стаффл-произведении для кратных дзета-значений принадлежит Хоффману10 В работе Зудилина11 также можно найти доказательство этой теоремы.

Мы доказываем, что результат теоремы о стаффл-произведении можно распространить на обобщенные полилогарифмы кратного аргумента (9).

10 Hoffman ME Multiple harmonic senes Pacific Journal of Mathematics 1992 Vol 152 №2 P 275 -290

n Зудилин В В Алгебраические соотношения для кратных дзета-значений Успехи математических наук 2003 Том 58 № 1 Стр 3-32

Для начала введем определение стаффл-произведения пар слов и кратных аргументов

1) [и, г] * [0,0] = [0,0] * [и, г] = [и, Щ ,

2 ) [иу3,г,г1+1] * [иуг, д,як+1] = ([«, 2] * [и,д], [у1+3^1+х • +

+ ([и, г] * [ьуи д, ф+1], гт]) + ([иу}\г, г1+г] * [у, д], [уг, фь+х]),

где I = (21,22, г = 1(и), д = (дъд2,- ,Фь)> к = Под ре-

зультатом стаффл-произведения пар слов и кратных аргументов следует понимать элемент множества У, то есть линейную комбинацию слов, к каждому из которых дополнительно привязан кратный аргумент Запись ([и, г] * [г>, д], [уг+3,г1+1 <&+!]) обозначает, что к каждому слову в линейной комбинации [и, г] * [у, д] дописывается справа уг+3, а соответствующий этому слову кратный аргумент увеличивает свою кратность на единицу и к нему также справа приписывается х дк+1 Как и на любом элементе У на стаффл-произведении определен обобщенный полилогарифм кратного аргумента, например

МЬл А * \Уи ?]) = г д]) + 1л[\угу„ д, г;]) + Щ[у3уи г, д])

Нетрудно заметить, что стаффл-произведение для обобщенных полилогарифмов кратного аргумента представляет собой линейную комбинацию некоторых других обобщенных полилогарифмов кратного аргумента Из доказанной нами в главе 3 теоремы следует, что точно также можно представить и обычное произведение 1л([и, г]) 1л([г>, д])

Теорема 6. Стаффл-произведение для обобщенных полилогарифмов кратного аргумента равняется их обычному произведению

4. Содержание главы 4.

В главе 4 обобщается результат Риваля12 о линейной независимости значений классических полилогарифмов 1л3(;г) Мы распространяем этот результат на функции Лерха

nRwoal T Propriétés diophantiennes de la fonction zêta de Riemann aux entiers impairs Thèse de doctorat Université de Caen 2001

Li([-U, z] * [v, g]) = Liflu; z}) Li([t>, g])

определяемые при z £ С, [z\ < 1, s G N, z^l при s — 1 и

« = ?eQ,0<H<l, (p,g) = l

Теорема 7. Пусть а ^ 2 Для любого е > 0 существует целое число А{е, 7) такое, что для всех а ^ А(е, 7) ^ 1 выполнено

diniQ (Q + <Q>$1 (7, v) + + <®Фа (т> v)) > ln a

Здесь а € N, 7 € Q, 7 = 0<<x^ß, (<*,/?) = 1

Иными словами, при достаточно большом а среди чисел 1, Ф; (7, г>). , Фа(Т)v) имеется не менее ^ " ^ линейно независимых над Q

Следствие. Для любых рациональных чисел j,v, 0 < 7 ^ 1, 0 < г> < 1 набор {Ф8 (7, v), s ^ 1} содержит бесконечно много иррациональных чисел

Для доказательства теоремы 7 вводятся следующие ряды N (z) = V_Q/-1)- fr-rn)_

где а, г e N, а ^ 2, 1<г<аих£С, \z\ > 1. Показывается, что эти ряды есть линейные формы от функций Лерха и оценивается модуль этих форм.

Лемма 1. Для любого z € С, \z\ ^ 1 выполнено равенство

Nn(z) = P0,n(z) + ¿; ДФ) Фг ^ , где Pi,„{z) £ причем Pi,„(l) = О

Лемма 2. Для любого z € Ж, ^ 1 существует предел

lim JiVn(z)|» = <prA(z) >

n—»00

icomoywä удовлетворяет условиям

о < <Pr,a{z) <

Далее производится оценка коэффициентов линейных форм и их знамена-

телей

Лемма 3. Для любого 1 — 0,1, ,а и любого 2 € С, \г\ ^ 1 справедлива оценка

11твир|Я,п(*)|* ^ гт2а+т+1\г\ .

п—> оо

Лемма 4. Для любого I — 0,1, , а

е Цг\,

где<1п = НОК{ 1,2, ,п) Используя леммы 1 - 4 можно применить критерий Нестеренко линейной независимости чисел, который и дает результат теоремы 7.

Основной метод, использованный нами при получении результатов настоящей диссертации, опирается на тот факт, что обобщенные полилогарифмы удовлетворяют системе дифференциальных уравнений (6) Аналогичная система дифференциальных уравнений была найдена нами и для интегралов Зт(а, Ъ, с\г). Доказательства теорем 1 - 4 и предложения 1 проводятся по индукции путем дифференцирования и последующего интегрирования с помощью этих дифференциальных уравнений

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю члену-корреспонденту РАН, профессору Ю В Нестеренко за интересную тему, постановку задачи и постоянное внимание к работе. Автор выражает благодарность всем сотрудникам кафедры теории чисел за поддержку

Работы по теме диссертации

[1] Уланский Е А Тождества для обобщенных полилогарифмов Математические заметки 2003 № 4 Том 73 Стр 613 - 624

[2] Уланский ЕА Стаффл-соотношения для кратных дзета-значений Вестник МГУ, Сер 1, Математика, механика 2005 № 2 Стр 52 -55

[3] Уланский Е А Об одном тождестве для обобщения гипергеометрического интеграла Математические заметки. 2006 № 5 Том 79 Стр 796 - 799

[4] Уланский ЕА О линейной независимости значений функции Лерха МГУ Москва 2007 Деп в ВИНИТИ 30 05 07 № 581-В 2007

Издательство ЦП И при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова Подписано в печать 0i.OB.O7

Формат 60 х 90 1/16 Уел печ л &,?£>

Тираж 100 экз Заказ ЗЬ

Оглавление

1 Введение

1.1 Дзета-функция Римана и ее обобщения.

1.2 Интегральные обобщения полилогарифмов.

1.3 Результаты диссертации.12.

2 Преобразования аргумента полилогарифмов

2.1 Преобразование

1 — z

2.2 Преобразование 1 — z.

2.3 Линейная независимость обобщенных полилогарифмов.

2.4 Алгебраическая независимость классических полилогарифмов.

3 Интегральные обобщения полилогарифмов

3.1 Построение интегральных обобщений.

3.2 Связь между Lis(5) и Le^f).

3.3 Стаффл-произведение для полилогарифмов.

3.4 Преобразование.

1 — z

3.5 Вывод теорем 2.1.1 и 2.1.2 из теоремы 3.4.1.

4 Линейная независимость значений функции Jlepxa

4.1 Определение функции Лерха.

4.2 Построение и оценка модуля линейных форм.

4.3 Оценка коэффициентов линейных форм и их знаменателей

4.4 Теорема о линейной независимости значений функции Лерха.

1.1 Дзета-функция Римана и ее обобщения

Дзета-функция Римана £(s) при комплексном s с условием Re (s) > 1 задается рядом

00 1 cw-Ei

71=1

Одна из проблем теории трансцендентных чисел состоит в том, чтобы изучить арифметические свойства значений дзета-функции Римана в целых точках s > 2, т.е. выяснить, являются эти числа рациональными или иррациональными, алгебраическими или трансцендентными, а также найти все алгебраические соотношения между ними.

Еще Эйлер показал, что в четных точках дзета-функцию можно вычислить явно:

-^"SS5где В2п ~ числа Бернулли, удовлетворяющие рекуррентному соотношению и начальному условию Bq = 1. В 1882 г. Линдеман доказал трансцендентность числа 7г. Следовательно, при натуральном п число ((2п) трансцен-дентно.

Ситуация с числами ((2п + 1) намного более сложная. Проблема арифметических свойств этих чисел поднималась еще в 1934 г. А.О. Гельфондом (см. заключение в [1]). Существует

Гипотеза. При любом натуральном п и для любого ненулевого многочлена Р(хо,., хп) с целыми коэффициентами верно

Очевидно, доказательство этой гипотезы полностью бы решило проблему арифметических свойств значений дзета-функции Римана в целых точках. В частности, из этой гипотезы следует трансцендентность чисел 1).

Однако она до сих пор не доказана и не опровергнута.

Первый шаг в изучении значений дзета-функции в нечетных точках сделал в 1978г. Р. Апери [2], доказав иррациональность ((3). Трансцендентность С(3) или иррациональность £(2п + 1) при п > 2 пока не доказана. Однако после Апери, с помощью различных обобщений, были доказаны интересные результаты. Отметим, в частности, результат Т. Ривоаля [3] о бесконечности размерности линейного пространства над Q, порожденного значениями £(2п+1), а также результат В.В. Зудилина [4] об иррациональп > 1

Р(7Г,С(3),С(5),.,С(2п+1))^0. ности по крайней мере одного из четырех чисел £(5), ((7), ((9), С(Н).

Для изучения свойств дзета-функции Римана было введено множество других функций, так или иначе с ней связанных. Некоторые из этих функций будут использованы и исследованы нами в настоящей работе.

Наиболее естественным обобщением дзета-функции при натуральных значениях s являются полилогарифмы определяемые для комплексного аргумента z. Ряд (1.1) сходится при \z\ < 1. Также полилогарифмы иногда называют функциями Жонкье, поскольку они появлялись еще в 1888 году в статье этого математика [5]. При этом частные случаи (s = 2,3) изучались Эйлером и Ланденом еще в конце XVIII века.

Дальнейшим обобщением полилогарифмов является функция Jlepxa, определяемая следующим рядом где z,s,v € С.

В статье [6] Хоффманом были предложены многомерные обобщения дзета-функции Римана, именуемые кратными дзета-значениями:

1.1)

00 п

И<1' ^0,-1,-2,.

71=0 ^ '

• )

1.2)

1.3) и (1-4) где si,., Sk € N, 5i > 1. Ряды (1.3) и (1.4) сходятся абсолютно в области к

Re (si) >1, Y! (si) > При к = 2 кратные дзета-значения изучал еще /=1

Эйлер [7] , установивший семейство тождеств, связывающих двукратные дзета-значения с однократными, в том числе и знаменитое тождество

Числа (1.3), но с другим порядком суммирования в правой части были независимо от Хоффмана введены Загиром в [8].

В дальнейшем будем называть величины |s| = s\ + . + s^ и l(s) = к соответственно весом и длиной набора s = (si,., Sk).

По аналогии с одномерными полилогарифмами, иначе именуемыми классическими, в многомерном случае вводятся ряды которые сходятся в области \z\ < 1 и называются обобщенными полилогарифмами. Функции, определяемые такими рядами, удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

С(2,1) = «3).

1.5) и

1.6) z) = -Li(SlM2).jSn)(z) , если > 1, С z) = y—,u{s2,.,sn){z) иначе ; = ^Le{si-i,s2,.,sn){z), если sx > 1,

4-^(1,32,.,sn){z) = —rLe(s2,„.,Sn)(z) иначе . (1.7) 1 d

S2,.,Sn dz z( 1 - z)

Функции Lig(z) и Le${z) могут быть линейно выражены друг через друга, что будет показано в главе 3.

При si, «2? • • • > Sk Е N, s 1 ^ 2, имеют место равенства

С(5) = Lb(l), ф) = Le,(l).

Иногда удобнее использовать в качестве индексов полилогарифмов не наборы натуральных чисел, а слова алфавита, состоящего из двух букв {хо,xi}. Пусть X есть множество всех слов, состоящих из букв ^о и х\, содержащее в том числе и пустое слово. Для любого слова w множества X определен вес |гу|, который равен количеству всех букв в этом слове, и длина l(w), равная количеству букв х\, встречающихся в этом слове. В частности, если |iy| = l(w) = к, то w = х\. Для пустого слова полагается |0| = 1(0) = 0. Также слова из множества X можно упорядочить в лексикографическом порядке, если положить х\ -< xq.

Любому натуральному набору s = (si,., Sk) сопоставим слово w = xs01~lxixs02~1xi.xs0k~1xi. (1.8)

Таким образом, каждому полилогарифму вида (1.5) поставлено в соответствие некоторое слово из Хх\, причем понятия длины и веса согласованы. При этом каждому слову из Хх\ соответствует некоторый полилогарифм, так как оно единственным образом представляется в виде (1.8). Аналогично, для любого слова w £ xqXx\ определяется кратная дзета-функция

СИ

Обобщенный полилогарифм Liw(z) можно определить для произвольного слова w из X следующим образом. Положим Li0(z) = 1 и lnJ 2

Li w(z) = < j! если w = Xq, j ^ 1,

1.9)

Ju)i(t) • Liv(t)dt, если w = X{V и l(w) > 0, o u0{z) = - , ux{z) = -i- . (1.10) z l — z

Из определения следует, что обобщенные полилогарифмы удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

-UXoW{z) = hj\w{z), ~UXlW(z) = j^—lAw(z), (1.11) что верно для любого слова w £ X. Причем для слов из Хх\ система (1.11) совпадает с системой (1.7). Для слов из Хх\ и обобщенных полилогарифмов, определенных с нестрогими неравенствами при суммировании, преобразованная система (1.7) будет выглядеть следующим образом: hex0w(z) = -hew{z), -^L eXlW(z) = L ew(z). (1.12)

В статье [9] изучается поведение функций Li(Sl,.Sk)(z) под действием группы дробно-линейных преобразований z, 1 — z, f^, ^-.Некоторые из этих преобразований рассматривал еще Ланден, доказавший в 80-е годы XVIII века тождество

Li2 {rh)= " ^ln2(1"z)

Метод, предложенный в [9], эффективен и позволил при помощи ЭВМ и системы формальных вычислений AXIOM выразить в некоторых случаях при А; ^ 3 и si + . + Sfc ^ 4 значения обобщенных полилогарифмов в точках 1 — 2, — через значения таких же функций в точке z, а также ln(z) и числа 7г, ((т).

В главе 2 диссертационной работы, выбрав в качестве образующих группы преобразования ^ и 1 — z, мы докажем явные формулы в общем случае как для Lis(z), так и для Leg{z) (см. теоремы 2.1.1 , 2.1.2 и 2.2.1).

Последнее обобщение, которое мы будем рассматривать, получается при введении многомерного аргумента z — (zi,., Zk), Zj € С.

Рассмотрим ряды

П2 пк /01 /со " " " u(sUS2,.,Sk){z) = Е ЗгЗ^—Зг (1ЛЗ)

I Ьл ILо * * * /£i,

Задаваемые этими рядами функции есть так называемые обобщенные полилогарифмы кратного аргумента, которые совпадают с обычными обобщенными полилогарифмами (1.5) и (1.6) при z = (2,1,., 1). Обобщенные полилогарифмы кратного аргумента были введены в рассмотрение А. Б. Гончаровым, [10]. Однако при Z{ = ±1 такие функции рассматривал еще в 1904 году Нильсен, [11].

1. Гельфонд А.О. Трансцендентные числа. Труды 1. Всес. матем. съезда.JI.: Техтеоретиздат, 1934. Т. I.; В кн. "Избранные труды". М.: Наука, 1973. С. 57-75.

2. Apery R. Irrationalite de С(2) et С(3). Asterisque 1979. V. 61. P. 11-13.

3. Rivoal Т. La fonction zeta de Riemann prend une infinite de valeursirrationnelles aux entiers impairs. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 2000. V. 331. 4. P. 267-270.

4. Zudilin W. Arithmetic of linear forms involving odd zeta values.J. Theorie Nombres Bordeaux. 2004. V. 16. 1. P. 251-291; http://arxiv.org/abs/math/0206176.OO

5. Jonquiere A. Note sur la serie X) Ofversigt af Kongl. Vetenskaps71=1Akademiens Forhandlingar 1888. Vol. 46. P. 257 268.

6. Hoffman M.E. Multiple harmonic series. Pacific Journal of Mathematics1992. Vol. 152. № 2. P. 275 290.

7. Euler L. Meditationes circa singulare serierum genus. Novi Comm. Acad.Sci. Petropol. 1775. Vol. 20. P. 140 186; Reprinted: Opera Omnia Ser.

8. Vol. 15. Berlin: Teubner, 1927. P. 217 267.

9. Zagier D. Values of zeta functions and their applications. First EuropeanCongress of Mathematics (Paris, 1992). Vol. II. Boston: Birkhauser, 1994. P. 497 512.

10. Minh Hoang Ngoc, M. Petitot, and J. Van Der Hoeven. L'algebre despolylogarithmes par les series generatrices. SFCA'99, Series formelles et combinatoire algebraique, Barcelone, 1999.

11. Goncharov A.B. Polylogarithms in arithmetic and geometry. Proceedingsof the International Congress of Mathematicians. Vol. 1, 2 (Zurich, 1994). P. 374 387. Birkhauser, Basel, 1995.

12. Nielsen N. Recherches sur le carre de la derivee logarithmique de la fonctiongamma et sur quelques fonctions analogues. Annali di Matematica Рига ed Applicata 1904. Tomo IX. Serie III. P. 189 210.

13. Злобип С.А. Кратные интегралы и обобщенные полилогарифмы. Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук. Московский Государственный Университет Им. М. В. Ломоносова. 2005. http://wain.mi.ras.ru/zlobin/ZlobinPhDThesis.pdf

14. Rivoal Т. Proprietes diophantiennes de la fonction zeta de Riemann auxentiers impairs. These de doctorat. Universite de Caen. 2001.

15. Уланский E.A. Тождества для обобщенных полилогарифмов. Математические заметки. 2003. № 4. Том 73. Стр. 613 624.

16. Уланский Е.А. Стаффл-соотношения для кратных дзета-значений.Вестник МГУ, Сер. 1, Математика, механика. 2005. № 2. Стр. 52 -55.

17. Уланский Е.А. Об одном тождестве для обобщения гипергеометрического интеграла. Математические заметки. 2006. К°- 5. Том 79. Стр. 796 799.

18. Уланский Е.А. О линейной независимости значений функции Jlepxa.МГУ. Москва. 2007. Деп. в ВИНИТИ 30.05.07 № 581-В 2007

19. Сорокин В.Н. О мере трансцендентности числа 7г2. Математическийсборник. 1996. № 12. Том 187. Стр. 87 121.

20. Nielsen N. Recherches sur les generalisations d'une fonction de Legendre etd'Abel. Annali di Matematica Рига ed Applicata. 1904. Tomo IX. Serie III. P. 219 235.

21. Шидловский А.Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых Е-функций. Вестник МГУ, Сер. 1, Математика, механика. 1961. № 5. Стр. 44 59.

22. Minh Hoang Ngoc, М. Petitot, and J. Van Der Hoeven. Shuffle algebraand polylogarithms. Discrete Mathematics 2000. Vol. 225. № 1-3. P. 217 230.

23. Зудилин В.В. О мере иррациональности значений G-функций. Известия РАН 1996. Том 60. № 1. Стр. 87 114.

24. Зудилин В.В. Алгебраические соотношения для кратных дзетазначений. Успехи математических наук 2003. Том 58. № 1. Стр. 3 -32.

25. Waldschmidt М. Multiple polylogarithms: an introduction. Number Theoryand Discrete Mathematics, Hindustan Book Agency and Birkhauser Verlag, 2002. P. 1 12.

26. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. Изд. "Наука". 1965.

27. Злобин С.А. О некоторых интегральных тождествах. Успехи матем.наук 2002. Том 57. №3. Стр. 153 154.

28. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. Москва. "Наука". Главнаяредакция физико-математической литературы. 1987.

29. Нестеренко Ю.В. О мере линейной независимости чисел. ВестникМГУ. Серия 1. Математика, механика. 1985. № 1. Стр. 46 49.