Кратные интегралы и обобщенные полилогарифмы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 511.3+517.5

Злобин Сергей Алексеевич

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ОБОБЩЕННЫЕ ПОЛИЛОГАРИФМЫ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2005

Работа выполнена на кафедре теории чисел Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

член-корреспондент РАН, профессор Ю.В. Нестеренко.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.Х. Салихов, доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Сорокин.

Ведущая организация:

Институт математики АН Беларуси г. Минск.

Защита диссертации состоится 18 ноября 2005 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 18 октября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В.Н. Чубариков

1t? <J ü ( ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Дзетагфункция Римана при Res > 1 определяется следующим рядом:

оо 1

Одна из проблем теории трансцендентных чисел состоит в том, чтобы изучить арифметические свойства значений дзета-функции Римана в целых точках s ^ 2, т.е. выяснить, являются эти числа рациональными или иррациональными, алгебраическими или трансцендентными, а также найти все алгебраические соотношения между ними.

Еще Эйлер показал, что в четных точках дзета-функцию можно вычислить явно:

где Bin ~ числа Бернулли, удовлетворяющие рекуррентному соотношению

к=О

и начальному условию Во = 1. В 1882 г. Линдеман доказал трансцендентность числа 7Г. Следовательно, при натуральном га число С(2га) трансцен-дентно.

Ситуация с числами +1) намного более сложная. Проблема арифметических свойств этих чисел поднималась еще в 1934 г. O.A. Гельфон-дом Существует

Гипотеза. При любом натуральном п числа п, £(3), £(5), ..., £(2п + 1) алгебраически независимы, т.е. для произвольного ненулевого многочлена Р(хо,..., хп) с целыми коэффициентами верно

Очевидно, доказательство этой гипотезы полностью бы решило проблему арифметических свойств значений дзета-функции Римана в целых точках. В частности, из этой гипотезы следует трансцендентность чисел С(2п + 1). Однако она до сих пор не доказана и не опровергнута.

'Гельфонд O.A., Трансцендентные числа // Труды П Всес. матем. съезда. Л.: Техтеоретиздат, 1934. Т. I.; // В кн. "Избранные труды". М.: Наука, 1973. С. 57-75.

(' ЮС. НАцчс.,.

библиотек

С. Петь < •»

лиотекл.

Первый шаг в изучении дзета-функции в нечетных точках сделал в 1978г. Р. Апери 2, доказав иррациональность £(3). Трансцендентность £(3) и иррациональность £(2п + 1) при п ^ 2 пока не доказаны. Однако после Апери, с помощью различных обобщений, были доказаны интересные результаты. Отметим, в частности, результат Т. Ривоаля 3 о бесконечности размерности линейного пространства над Q, порожденного значениями C(2n -f 1), а также результат В.В. Зудилина 4 об иррациональности по крайней мере одного из четырех чисел С(5), С(?)> С(9), С(И)-

Доказательство этих и других подобных результатов основаны на конструкциях диофантовых приближений к изучаемым числам. Первым, кто рассмотрел кратные интегралы в связи с такими конструкциями, был К. Малер 5. Он использовал интегралы, которые можно записать в виде 6

J п d-^...^

[од]*™ 4-1

при специальном выборе параметров a¿, с,, для оценки показателя иррациональности корней а/Ь, а/Ь € <0>. Как обычно, показатель иррациональности числа а - это нижняя грань множества чисел /¿, для которых неравенство

Р

а--

Я.

имеет конечное число решений в целых р и д с ? > 0.

В 1979г. Ф. Бейкерс 7 предложил другое доказательство теоремы Апери с помощью интегралов

v »> \ L-dxdydz, пб

/ (1 - z{ 1 - zy))**1

[ОД]3

®Apery R., Irrationalité de C(2) et f(3) // Astérisque 1979. V. 61. P. 11-13.

'Rivoal T., La fonction zêta de Riemann prend une infinité de voleurs irrationnelles aux entiers impairs

// C. R. Acad. Sei. Paris Ser. I Math. 2000. V. 331. »4. P. 267-270.

■"ZuniLM W., Arithmetic of linear forms involving odd zeta values // J. Théorie Nombres Bordeaux. 2004. V. 16. й»1. P. 251-291.

6Mahler K., Em Beweis des Thue-Swgelschen Satzes über die Approximation algebraischer Zahlen für binomische Gleichungen // Math. Ann. 1931. V. 105. P 267-276.

•Нестеренко Ю В ,06 одном тождестве Малера // Матем. заметки. 2006. Т. 79 №1.

7Beukers F., A note on the irrationality of C(2) and f(3) // Bull. London Math Society. 1979. V. 11. №3. P. 268-272.

Он же рассмотрел интегралы

Г хЧ1-,)У(1 -,)■

у (1 - хг,)«+1

[ОДР

позволившие доказать иррациональность £(2). Конечно, иррациональность (и даже трансцендентность) числа С(2) = 7г2/6 хорошо известна, однако с помощью интегралов Бейкерса и иного выбора их параметров, Дж. Рин и К. Виола 8 9 доказали наилучшие оценки показателя иррациональности чисел 7Г2 и С(3).

Существуют различные попытки обобщения интегралов Бейкерса с целью изучения значений дзета-функции в целых точках. Первая из них была в 1990г. предпринята О.Н. Василенко 10. который рассмотрел интегралы

к

I

(1 - XI + Х1Х2----+ (-l)ma;iX2 • • • xm)n+1

10,1]»

и установил некоторые свойства Ут>о. Интегралы У2<п и Узг„ (после замены хз —> 1 — 2?з) совпадают с интегралами Бейкерса. Изучение интегралов этого вида продолжил Д.В. Васильев и, доказав, что интегралы и представляются в виде линейных форм с рациональными коэффициентами от 1, С(2), С(4) и 1, С(3), С(5) соответственно. Естественным обобщением Ц„!П является интеграл

t/Y \ тг Г«о>«1,а2>

-S

-dx\dx2 ■■ ■ dxn

(1 - 2X1 + 2X1X2-----(-1)т2Х1Х2 • ■ ■ Хту

[ОД]"1

В.В. Зудилин 12 доказал, что при некоторых условиях на параметры, интеграл У(1) равен значению некоторой гипергеометрической функции в

"RHIN G., Viola С., On a permutation group related to f(2) // Acta Arith. 1996. V. 77, №1. P. 23-56.

"Rhin G., Viola C., The group structure for C(3) 11 Acta Arith. 2001. V. 97. №3. P. 269-293.

'"Василенко O.H., Некоторые формулы для значения дзета-функции Римана в целых точках //

Тезисы докладов Республиканской научно-теоретической конференции "Теория чисел и ее приложе-

ния" (Ташкент, 26-28 сентября 1990г.). Ташкентский гос. пед. институт, 1990. С. 27.

11 Vasilyev D.V., On small linear forms for the values of the Htemann zeta-function at odd mtegers // Preprint №1 (558) Minsk: Nat. Acad. Sci. Belarus, Institute Math , 2001.

"Зудилин B.B , Совершенно уравновешенные гипергеометрические ряды и кратные интегралы // Успехи матем. наук. 2002. Т. 57. №4. С. 177-178.

точке z = 1, и установил таким способом представление V(l) в виде линейной формы от 1 и значений С(&)> гДе & > 1 и той же четности, что и т.

В 1998г. В.Н. Сорокин 13 опубликовал иное доказательство иррациональности £(3), использующее интеграл

У 1 2

[ОД]3

Интегралы того же типа

[ nr=i*r¿(i-0"—dx1dx2...dx2l

использовались 14 для оценки меры трансцендентности тг2. В диссертационной работе изучается следующее обобщение интегралов Сорокина:

Иг1*1 [ t]--dxidx2 ...dxm,

[ОД]- nj=l(l-

О = го < ri < гг < • • • < r¡ = m.

Интеграл V(z) при некоторых ограничениях на параметры может быть сведен к S(z). Это было независимо показано автором 15 и С. Фишлером 16 (для z = 1).

Научная новизна работы.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказаны новые тождества и равенства, связанные с кратными интегралами и рядами. Многие из них имеют самостоятельную ценность.

2. Доказана общая теорема о разложении некоторых кратных интегралов в линейные формы от обобщенных полилогарифмов. Изучены свойства

"Сорокин В Н., Теорема Л пери // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем., мех 1998. Л*3. С. 48-52.

"СОРОКИН В.Н., О мере трансцендентности числа ж2 // Матем. сборник. 1996. Т. 187. №12. С 87-120.

"Зловин С. А., Интегралы, представляемые в виде линейных форм от обобщенных полилогарифмов // Матем. заметки. 2002. Т. 71 Л»5. С. 782-787.

leFlsCHT,ER S., Formes linéaires en polyzttas et intégrales múltiples // C. R. Acad. Sci. París Sér. I Math. 2002. V. 335. P. 1-4.

коэффициентов этих линейных форм. Также доказано усиление общей теоремы при дополнительных ограничениях на параметры интеграла, что важно в арифметических приложениях.

3. Получены новые результаты об арифметических свойствах значений обобщенных полилогарифмов.

4. Доказана теорема о приближениях значений дзетагфункции Римана в нечетных точках последовательностью рациональных чисел, конструируемых с помощью некоторого класса кратных интегралов.

Цель работы.

Целью настоящей диссертации является исследование кратных действительных интегралов определенного вида, представимых в виде линейных форм от обобщенных полилогарифмов с полиномиальными коэффициентами, а также изучение свойств конструируемых таким способом линейных форм.

Методы исследования.

В работе используются методы математического анализа, теории функций действительного и комплексного переменного и теории трансцендентных чисел.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны в теории трансцендентных чисел и теории специальных функций.

Апробация диссертации.

Результаты настоящей диссертации неоднократно докладывались автором на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ:

1. Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством Ю.В. Нестеренко, Н.Г. Мощевитина с 2001 по 2005г.;

2. " Диофантовы приближения и трансцендентные числа"под руководством Ю.В. Нестеренко, В.В. Зудилина с 2001 по 2005г.,

а также на международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2002"(Россия, г.Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 8-13 апреля 2002г.).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора. Их список приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.

/

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из четырех глав, первая из которых является введением. Главы разбиты на разделы. Общий объем диссертации — 135 страниц. Список литературы включает 42 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении диссертации (глава 1) описывается история вопроса, вводятся необходимые понятия и формулируются основные результаты диссертации. В частности, определяются обобщенные полилогарифмы:

ад = £

„»1„«2 ' П, По . . . Щ Я1>П2>->П|>1 1 Z 1

ы*) = Е

ni'ni.-.nf''

^ ^ „, -и "г ■ • ■

где s = (si, S2,..., sj) - вектор с натуральными компонентами. Эти ряды сходятся при |z| < 1. Функции Le^(z) и Lij(z) могут быть линейно выражены друг через друга. Для удобства полагается Lig(^) = Le$(z) = 1. С обобщенными полилогарифмами тесно связано понятие кратной дзетам функции:

"1>П2>—>П|^1 1 1

се*,*,..,«)» Е ^rbif

Эти ряды сходятся при натуральных и условии > 1 (если = 1, то ряд расходится).

В главе 2 доказываются различные тождества и равенства. Так, в разделе 2.1 устанавливается следующее интегральное тождество. Пусть даны натуральные числа 1 ^ Г] < г% < • • • < Г{ = тп, го = О и комплексные числа ао и сц, Ь{, 1 ^ г ^ т. Определим многочлены

Я]{г,хх,хг,...,хт), 1 О' < I-

<2о = 1, ...,хт) = (}]-1(г,хьх2,... ,хт)~ г{1-хГ)) Д хи

множество S и числа c¿:

J ^ ar¡_j, если г = rj £ b.

Тогда справедлива

Теорема 2.1. Пусть Re(ao) > 0, Re(6¿) > Re(a¿) > 0 при 1 < i ^ т, Re(6,) > Re(q) при i € S. Тогда при z 6 С, \z\ < 1 выполняется равенство

J Ql{z,X l,X2,...,Xm)°0 [ОД]»

_ т-г Г(6, — а,) Г Пr^r^l-Si)^-*

Г(ао)ААг(Ь{-с) J TUesQ-**!-*)*-« '

ieS [0,1]

где dx = dx\dx2 • • • dxm и оба интеграла сходятся.

Из этого интегрального тождества вытекает равенство интеграла V(z) интегралу вида S(z). Этот результат формулируется в виде двух теорем в зависимости от четности размерности интеграла V(z).

Теорема 2.3. Пусть Re(oo) > 0, Re(6,) > Re(a,) > 0 при 1 ^ i ^ 21 + 1, Re(62j) > Re(ü2j-2) при 1 < j < í, Re(¿>2¡+i) > Re(a2¿). Тогда при \z\ < 1 выполняется равенство

у^ ^ «о, oí, 02,..., а2г+1 ^

b\,bi,... ,Ьц+1 ' .

_ Г(аи+1) - а2;-ц) -Л- T{hj ~ Q2j) Г(ао) Г(Ьи+1 - 02i) У ЦЬц - 02Ь2)

, nU^-r1^ - - xa,)6*-"«-'-1

/

П^Л1-2®!---*«)1*-"*

[ОДР+i "

х ^ ^-—г——... dx-a+i,

(1-ZXi... X2/+l)*"+1

причем оба интеграла сходятся.

Для интеграла V(z) четной размерности справедлива аналогичная теорема 2.2.

В разделе 2.2 получен явный вид кратной суммы, в которую раскладывается интеграл S{z) при \z\ < 1. Из этого результата следуют интегральные представления обобщенных полилогарифмов и кратных дзета-функций. Полученные интегралы продолжают обобщенные полилогарифмы в область D = C\{z : | arg(l - z)\ < п}.

Далее, в разделе 2.3 изучается действие преобразования г —► —г/{\—г) на обобщенных полилогарифмах.

Лемма 2.6. (О двойственности) Пусть = С\{г : |а^(1—г)\ < 7г} Тогда выполняется равенство

для вектора получаемого из в по некоторому правилу.

Эта лемма используется в главе 3.

В разделе 2.4 обобщается равенство С({2}*) 1) = 2£(2к + 1), по сути доказанное Д.В. Васильевым 17.

Теорема 2.8. При натуральных к, в ^ 2 выполняется равенство

С({2,{1}.-2}*,1) = вС(в* + 1).

Также в разделе 2.4 указываются другие связи С и

В разделе 2.5 обсуждаются арифметические свойства кратных дзета-значений. Доказывается, например, следующий результат.

Следствие 2.7. Существует такое

во е {(2,3), (3,2), (2,2,3), (2,3,2), (3,2,2)},

что числа 1, £(3) и ((¿о) линейно независимы над <0>.

В главе 3 исследуется интеграл вида 5 (2) и указываются его некоторые применения для арифметических результатов.

В разделе 3.1 доказывается общая теорема о представлении интеграла Б (г) в виде линейной формы с полиномиальными коэффициентами от обобщенных полилогарифмов. В ней используется обозначение: и ^ V, если число компонент векторов й и V одинаково при любом г. Знак '*' может быть либо знаком '+', либо знаком ','•

Теорема 3.2. Пусть параметры а^, - целые, причем 6» > Яг ¿г 1 при( = 1,.. .,т ис} ^ 1, С1 + --- + С, ^ ql + ■■■ + qj, гдед, = сц), з = 1,с1} - неотрицательные целые числа, удовлетворяющие неравенствам Л3 ^ ц при 3 — 1,...,/ и ^к < Щ при 3 — 1, • • •, / и г < г ^ Гу

''Васильев д.В., Некоторые формулы для дзета-функции Римана в целых точках // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем., мех. 1996. №1. С. 81-84.

Тогда для х е С, \г\ < 1 выполняется равенство

4х\6х2 ■ ■ ■ <1хт = ^ Р${г х) Ье^г),

?

где суммирование ведется по векторам в, удовлетворяющим условию з ^ {г\ * {г2 — Г\) * • ■ ■ * (г/ — г ¡-г)), а - многочлены с рациональными

коэффициентами такие, что

для любого вектора з, огаР0(2;) + £¿2 +•••+<*/, огаРг(г) ^ ¿1 + с/2 + ■ • • + ^ + ^/+1 + 1

¿ля любого непустого вектора я. Дополнительно, если существует такой индекс что й) < то

^ ¿1 + <*2 + • • • + й + 1.

Если для любого з = 1,...,/ выполняется неравенство С\ + • • • + с^ ^

Ч-----1- 3; — 1, то Р«{1) = 0 для векторов з с з\ — \.

В некоторых случаях в линейной форме в действительности возникает много меньше обобщенных полилогарифмов, чем гарантируется этой теоремой, что важно в арифметических приложениях. В разделе 3.2 доказывается усиление общей теоремы при некоторых дополнительных ограничениях на параметры. При этом используется определение: вектор й называется подчиненным вектору V, если й ^ V или й ^ V' для некоторого вектора г/, полученного из вектора V вычеркиванием нескольких компонент в произвольных местах.

Теорема 3.3. Пусть выполнены неравенства сН-----1-с} ^ дН-----кд^

и сц2 + с} — 6,-, ^ 0 при всех ] - 1,...,/, ¿1 е [г,-_х +1 ,г}], г2 £ [г, +1,^+1]. Тогда для г € С, \г\ < 1 верно равенство Б {г) = 2а-^М2"1) Ъе^г), где суммирование ведется по векторам я, подчиненным (г\,г2 — Г\,... ,Г1 — Г1-1). Дополнительно, если с^ ^ <71 и 1 + с, ^ ^ при ] — 2,.. .,1, то в этих векторах з выполняется з^ > 1 при 3 >

Подобная теорема справедлива и для полилогарифмов 1л?(г) (см. теорему 3.5).

Рг(г) ^ шах — 1

С помощью следствий теоремы 3.3, теоремы 2.1 и леммы 2.6 мы получат ем представление интегралов У(г) в виде линейной формы от обобщенных полилогарифмов.

Теорема 3.6. Пусть параметры А0, А{, Д, г = 1,..., 2/ + 1 - натуральные числа, удовлетворяющие неравенствам

Вг > Л,- > 0 при всех г, В\ > А0, Вх > при г ^ 2, В21+\ > А21, Ах ^ Ао, А2 ^ Аь Аа^ А3,..., А-а > АЦ- 1, В3 ^ В2, В5 ^ В4, ■. ■, 1 ^ Вя_ 2,

А3 + В2^А2 + ВьА5 + В4^ А4 + В3,..., A2î+i + B2i ^ A2I + В21_ъ - A2j_i) > То г (9а

Дополнительно, если — Ay-i) > Аъ то 1) = 0 для любого

Для интеграла У(г) четной размерности формулируется аналогичная теорема 3.4. Из равенств Ье{2}4(1) = 2(1 - 21~2к)С(2к) и Ье{2}кд(1) = 2С,{2к + 1) следует, что в условиях теорем 3.4 и 3.6, интегралы 1^/(1) и ^/+1(1) могут быть представлены в виде линейной формы от 1 и чисел С(к), где к соответствующей четности, с рациональными коэффициентами.

В разделах 3.3 и 3.4 исследуются знаменатели и оценка сверху коэффициентов линейных форм разложения Я (г).

В дальнейших разделах главы мы используем доказанные результаты для различных арифметических приложений. В разделах 3.5 и 3.6 иллюстрируется применение интеграла Я (г) для классических задач: в разделе 3.5 оценивается мера трансцендентности числа п2, а в 3.6 доказывается оценка размерности линейного пространства над О, порожденного 1 и

В разделе 3.7 мы обобщаем результат Т. Ривоаля 18 об оценке размерности линейного пространства, порожденного значениями полилогарифмов.

"rivoal t., Propriétés diophantiennes des valeurs de la fonction 2Ha de Riemann aux entiers impairs

// These de doctorat (29 juin 2001). Caen- Université de Caen, Laboratoire SDAD; // http7/theses-EN-

= £ Pk(z-1) Le{3b>x(*) + £ TU*"1) LeM2W(*) + U{z~*).

k=l,...,l-l.

C(2j + l),i = l,

Ugne.in2p3.fr

При этом в области Rez ^ — 1 используется аналитическое продолжение поли логарифмов.

Теорема 3.12. Для любого рационального а, а < 1, а -ф 0 и произвольного е > 0 существует такое тц, что при т ^ то размерность линейного пространства (nadQ), порожденного 1, Lii(a), LÍ2(a),..., Lim(a) не меньше, чем

1-е ,

-——— In т.

1 + 1п2

Ранее подобный результат был известен лишь при |а| < 1. Из этой теоремы и леммы 2.6 получается

Следствие 3.12. Для любого рационального а, а < 1, а ф 0 и произвольного е > 0 существует такое ггщ, что при т ^ то размерность линейного пространства (над Q), порожденного 1, Lei(a),... ,Le{1}m(a) не меньше, чем

1~е i

1 + 1п2

В разделе 3.8 мы доказываем аналоги теоремы 3.12 для обобщенных псшилогарифмов и ЬеДг).

Теорема 3.13. Для любого рационального а, а < 1, а ф 0 и произвольного е > О существует 1ц, что при / ^ /о размерность линейного пространства, порожденного значениями Ы^а) с векторами & длины ^ I, 3] ^ К и 8} > 1 при j > 1 (в том числе и 8 = не меньше

-Ы.

AT(l + ln2) + lnl,3

Для полилогарифмов Ье^г) справедлива аналогичная теорема 3.14. Множества векторов обобщенных полилогарифмов в теоремах 3.13 и 3.14 пересекаются с множеством ({1}к)ь=1 только по вектору з = (1). Для обобщенных полилогарифмов ранее, кроме линейной независимости значений

(-1)*1п*(1-*) ' ~-к\-

в рациональных точках а < 1, а ф 0, был известен только результат В.Н. Сорокина 19 о линейной независимости над значений обобщенных полилогарифмов в рациональных точках а, находящихся около нуля.

"Сорокин В.Н., О линейной независимости значений обобщенных полилогарифмов // Матем. сборник. 2001. Т. 192. Л»8. С. 139-154.

В главе 4 мы рассматриваем некоторые кратные интегралы, отличные от S(z), которые также могут быть представлены в виде линейной формы от обобщенных полилогарифмов с полиномиальными коэффицентами.

В разделе 4.1 исследуется обобщение интегралов, рассмотренных Ри-ном, в виде кратных интегралов. Доказывается следующий результат.

Теорема 4.1. Пусть параметры cij, bj, Cj - целые, причем bj > a,j Jï 1 при j = l,...,l и Cj ^ 1 при j = 1,..., l — 1, a также выполнены неравенства Cj ^ bj — а}, j = 1,..., l — 1 и

ai ^ h+ l>2-----1- fy-i — min bj — 1 + 3.

.....'-1

Тогда

/,_1 xai~l(\ -х Л^-ч-1

П ' t-m-J^-*.

[0,1]' 3~l

i-1

= Q{z~l) Li2,{1}(_2(^) + £ Pjiz-1) U{1}j(z), i=о

где Q, Pj - многочлены с рациональными коэффициентами, причем Pj{ 1) = 0 при j > 0.

В точке z — 1 этот интеграл дает рациональные приближения к £(/), совпадающие при I = 3 и некотором выборе параметров a,j, bj, Cj с приближениями Апери.

В разделе 4.2 доказывается некоторое интегральное тождество, связанное с интегралами, рассмотренными В.В. Зудилиным 20. В заключение формулируется гипотеза о линейной форме для кратного интеграла, дающего диофантовы приближения числа С (4).

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю чл.-корр. РАН, проф. Ю.В. Нестеренко за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. ЗЛОВИН С.А., Интегралы, представляемые в виде линейных форм от обобщенных полилогарифмов // Матем. заметки. 2002. Т. 71. JVS5. С. 782-787.

^ZuDIUN W., Well-poised hypergeometric transformations of Euler-type multiple integrals // J. London Math. Soc. (2). 2004. V. 70. №1. P. 215-230.

2. ЗЛОВИН С.А., О некоторых интегральных тождествах // Успехи матем. наук. 2002. Т. 57. №3. С. 153-154.

3. ЗлОБИН С.А., Разложения кратных интегралов в линейные формы // Доклады РАН. 2004. Т. 398. №5. С. 595-598.

4. ЗЛОБИН С.А., Производящие функции для значений кратной дзета-функции // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем., мех. 2005. №2. С. 55-59.

5. ЗЛОБИН С.А., Разложения кратных интегралов в линейные формы // Матем. заметки. 2005. Т. 77. №5. С. 683-706.

H87i

РНБ Русский фонд

2006-4 15897

>

Подписано в печать 13.10.2005 Формат 60x88 1/16. Объем 1 пл. Тираж 100 экз. Заказ № 126 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. 102

1 Введение

111 Значения дзота-функции Римана и целых точках

1.2 Интегральные представления аппроксимаций

1.3 Обобщенные полилогарифмы и кратные дзета-функции;.

1.4 Результаты диссертации

2 Тождества

2.1 Интегральные тождества

2.2 Разложение кратных интегралов в кратные суммы

2.3 Обобщенные полилогарифмы и преобразование z

2.4 Производящие функции для значений дзета-функции

2.5 Арифметические свойства кратных дзета-значений

3 Разложения кратных интегралов в линейные формы

3.1 Общая теорема о разложении кратных интегралов.

3.2 Усиление общей теоремы при некоторых ограничениях

3.3 Знаменатели коэффициентов линейных форм

3.4 Оценка коэффициентов линейных форм.

3.5 Мера трансцендентности 7г2.

3.6 Линейная независимость значений дзетагфункции Римана

3.7 Линейная независимость значений классических полилогарифмов

3.8 Линейная независимость значений обобщенных полилогарифмов-.Ш

4 Другие кратные интегралы

4;1 Интегралы Рина.

4.2 Кратные интегралы для линейных форм от £(4)

Елава 1 Введение 1.1 Значения дзета-функции Римана в целых точках Напомним, что дзета-функция Римана ^(s) при Re s > 1 определяется следующим рядом: сю ^ п=1 Одна из проблем теории трансцендентных чисел состоит в том, чтобы изучить арифметические свойства значений дзета-функции Римана в целых точках s ^ 2, т.е. выяснить, являются эти числа рациональными или иррациональными, алгебраическими или трансцендентными, а также найти все алгебраические соотношения между ними.Еще Эйлер показал, что в четных точках дзета-функцию можно вычислить явно: где В2п - числа Вернул ли, удовлетворяющие рекуррентному соотношению tirh^o, „.. ifc=0 и начальному условию 5о = Г. В 1882 г. Линдеман доказал трансцендентность числа тг. Следовательно, при натуральном п число С(2^) трансцен1.1 Значения дзета-функции Римана в целых точках 5 дентно.Ситуация с числами С(2п+1) намного более сложная. Проблема арифметических свойств этих чисел поднималась еще в 1934 г. О.А. Гельфондом (см. заключение в [4]). Существует Гипотеза. При любом натуральном п и для любого ненулевого многочлена P{XQ, . . . , Хп) с целыми коэффициентами верно Р(7г,С(3),С(5),...,С(2п + 1))7^0.Очевидно, доказательство этой гипотезы полностью бы решило проблему арифметических свойств значений дзета-функции Римана в целых точках.В частности, из этой гипотезы следует трансцендентность чисел (^(2п4-1).Однако она до сих пор не доказана и не опровергнута.Так как Dn ^ 3" и 3^{л/2 — 1)'* < 1, то правая часть стремится к нулю при п —>• оо. Откуда и следует иррациональность С(3)Трансцендентность <^ (3) или иррациональность С(2?г + 1) при п ^ 2 пока не доказана. Однако после Апери, с помощью различных обобщений, были доказаны интересные результаты. Отметим, в частности, результат Т. Ривоаля [41] о бесконечности размерности линейного пространства над 1.2 Интегральные представления аппроксимаций 6 Q, порожденного значениями ^ (2п + 1), а также результат В. В. Зуди лина [И] об иррациональности по крайней мере одного изs четырех, чисел С(5), С(7), С(9), С(И). lj.2 Интегральные представления аппроксимаций Первым, кто рассмотрел кратные интегралы в связи диофантовыми; приближениями, был К. Малер ([36]). Он использовал интегралы, которые можно записать;в виде (см. [17]) Рг.х?'-'(1-хЛ''-'-', . axi—аХт при специальном выборе параметров ai,bi, ci, для оценки сверху линейных форм, приближающих значения биномов (Г— z)".1:2 Интегральные представления аппроксимаций 7 показатель иррациональности числа а - это нижняя грань множества чисел fly для которых неравенство Р а q имеет конечное число решений в целых р и q с q > 0.Интегралы того же типа / -dx\dx2.. .dx 21 использовались в [21] для оценки меры трансцендентности тг^ . В диссертационной работе мы будем рассматривать следующее обобщение интегралов Сорокина: 1.3' Обобщенные полилогарифмы и кратные дзета-функции 9 40 = Го < Г"! < Т2 < • • • < п = т. (1.6) 1.3 Обобщенные ноли логарифмы и кратные дзета-функции в работе большую роль играют обобщенные полилогарифмы, определяемые равенствами Li,-W= £ 2"l 31^32 ^ S ( > л.1.4 Результаты диссертации Оказывается, интеграл V(2r), при некоторых ограничениях на параметры может быть сведен к 5(z). Мы установим это в разделе 2.1, доказав более общее тождество.Из этого интегрального тождества вытекает равенствоинтеграла 1^ (2:) интегралу вида 5 (л). Этот результат формулируется! в. виде двух теорем; в * зависимости:от четности-.размерности?интеграла»V{z).В разделе 2.2 получен явный вид кратной: суммы, в которую раскладывается интеграл S{z) при \z\ < 1. Из этого результата следуют интегральные представления обобщенных полилогарифмов и кратных дзетафункций. Полученные интегралы продолжают обобщенные полилогариф.мы в область D = С\{2 : | a rg( l—z) \ < тг}.1.4 Результаты диссертации 12 Далее, в разделе 2.3 изучается действие преобразования 2;—>—z/(r—г) на обобщенных поли логарифмах.Лемма 2.6. (О двойственности) Пустъ z G D = С\{-г ::| arg(l —2г)| < 7г} Тогда выполняется равенство для векторамs', получаемого из s по некоторому правилу.Эта лемма используется в главе 3; Васильев в работе [2] доказал равенство, которое можно записать в: виде С({2}ь1) = 2С(2А; + 1).В разделе 2.4 мы доказываем обобщение этого равенства.Теорема 2181 Притатуральнъьх к, s"^ 2 выполняется равенство С({2,,{1Ь_2Ь,1) = < Н + 1).Также в разделе 2.4 указываются другие связи^ и СВ разделе 2:5 обсуждаются арифметические свойства кратных дзетазначений. Доказывается, например^ следующий результат.Следствие 2.7.. Существует такое: зге {(2,3), (3,2), (2,2,3), (2,3,2), (3,2,2)}, что числа 1, ^(3) u^(so) линейно независимы над Q.В главе 3 исследуется интеграл вида 5(2;) и указываются его некоторые применения для арифметических результатов: В разделе 3.1 доказывается общая теорема о представлении интеграла 5(л) в виде линейной формы с полиномиальными коэффициентами от обобщенных поли логарифмов. В ней используется обозначение: й ^ v, если длины векторов U и i; равны и Uf^ г?г при любом г = 1, . . . ,1{и) = l{v).Знак '*' значит то же, что ив разделе Г.З. В некоторых случаях в линейной форме в действительности возникает много меньше обобщенных полилогарифмов, чем гарантируется этой теоремой, что важно в арифметических приложениях. В разделе 3.2 доказывается усиление общей теоремы при некоторых ограничениях на параметры.При этом используется определение: вектор и называется подчиненным вектору г/, если й •^ v или й ^ v' для некоторого вектора v', полученного из вектора /у вычеркиванием нескольких компонент в произвольных местах.В разделах 3.3 и 3.4 исследуются знаменатели и оценка сверху коэффициентов линейных форм разложения 5(-г).Теорема 3.12. Для любого рационального а, а < 1, а^ О и произвольного е > О существует такое то , что при т,^ т,о размерность линейного пространства (над Q), пороэюденного 1, Lii(a), Ы2(о;),..., Ыщ(о;) не меньше, чем In т.1 + 1п2 Ранее подобный результат был известен лишь при |о;| < 1. Из этой теоремы и леммы 2.6 получается Следствие 3.12. Для любого рационального а, а < 1, а ^ О и произвольного £ > О существует такое т,о, что при тп '^ тпо размерност,ь линейного пространства (над <Q), пороэюденного 1, Lei (а), • • • 5 ^^{i}mi^) не меньше, чем In 771.1 + 1п2 В разделе 3.8 МЫ доказываем аналоги теоремы 3.12 для обобш;енных полилогарифмов big{z) и Le^{z).В5главе4 мы рассматриваем некоторые другие кратные интегралы, отличные от S{z), которые могут быть представлены в виде линейной формы от обобщенных полилогарифмов с полиномиальными коэффицентами.В разделе 4:1 исследуется обобщение интегралов; рассмотренных Рином (см, (4.2)), в виде кратных интегралов. Доказывается следующий результат.1:4 Результаты диссертации 17 В разделе 4.2 доказывается некоторое интегральное тождество, связанное с интегралами, рассмотренными Зудилиным в работе [12]. В заключение формулируется гипотеза о линейной форме для кратного интеграла, связанного с диофантовыми приближениями числа ^(4).Основные результаты этой диссертации опубликованы в работах [5]-[9].Автор выражает глубокую признательность Ю.В. Нестеренко за интересную тему и большое внимание к работе.Глава 2 Тождества 18 Глава 2 в этой главе мы докажем различные тождества и равенства.Доказательство . Сходимость интегралов очевидна: Доказательство проведем индукцией по /. Для удобства будем считать, что интеграл по нульмерному пространству равен единице; при 7 = О имеем 1 = р 7 ^ , и база индукции проверена.Проведем шаг индукции, где буква п для; краткости обозначает r/_i.Для завершения доказательства заметим, что внутренняя сумма может быть представлена в виде Г Ы -рг Г(а.)Г(6< - а.) 771 "^ ^ т > Сгг+1> • • • > On—1> Оп_ ^ т—п+\^т—п \ 1 и и ] ZXiX2'' • Xfi

1. ВАСИЛЬЕВ Д.В., Некоторые формулы для дзета-функции Римана вцелых точках // Вестник МГУ; Сер. .1. Матем., мех. 1996. X Г^. G. 81-84.

2. VASILYEV D;V., On small linear forms for the values of the Riemannzeta-function at odd integers // Preprint^ ^Г^1 (558). Minsk: Nat. Acad; Sci. Belarus, Institute Math., 2001.

3. ГЕЛЬФОНД О.A. . Трансцендентные числа // Труды И Всес. матем.съезда. Л.: Техтеоретиздат, 1934. Т. I.; / / В кн. "Избранные труды". М.: Наука, 1973. G. 57-75.

4. ЗлОБИН G.A., Интегралы, представляемые в виде линейных формот обобщенных полилогарифмов // Матем. заметки. 2002. Т. 71. JV^ 5. 782-787.

5. ЗЛОВИН А., О некоторых интегральных тооюдествах / / Успехиматем. наук. 2002. Т. 57. JV^ З. G. 153-154.

6. ЗлОБИН G.A., Разлоэюения кратных интегралов в линейные формы

7. Доклады РАН. 2004. Т. 398. Я^5. G. 595-598.Литературам 132

8. ЗяОВКНС.А.уПроизводяш^ие функции для значении кратной дзетпафункции // Вестник МРУ. Gep. 1. Матем., мех. 2005. JГ^2: G. 55-59. 9! ЗЛОБИН^ GiA., Разложения кратных интегралов в линейные формы и Мал^ем. заметки. 2005.Т: 77. J^5. G. 683-706;.

9. З У Д И Л И Н ' ВШ^, Совершенно! уравновешенные гипергеометрическиеряды и, кратные интегралы.// Успехи матем. наук. 2002^Т.' 57. J^4l G. 177^178: W. ZUDILIN. W., Arithmetic of linear forms; involving/ oddl zeia values

10. Ji. Theorie Nombres Bordeaux. 2004: V. 16; №1: P: 251-291;: / /http://arxiv.org/abs/math/0206176: 12: ZUDILIN WV, Well-poisedl hypergeometric transformations of Euler-type multiple integrals II J. London Math. Soc. (2). 2004: V. 70: №1: P: 215230.

11. ZUDILIN W., Well-poised hypergeometric service for diophantine problems^of zeta values 11 Actes des 12emes rencontres arithmetiques de Gaen (June 29-30, 2001). J. Theorie Nombres Bordeaux. 2003. V. 15. №2. P: 593-626.

12. К О Л М О Г О Р О В A.H., Ф о м и н G.B., Элементы теории функций тфункционального анализа 11 М:: Наука, 1989: 15; Н Е С Т Е Р Б Н К О Ю:В:, О линейной независимости чисел. 11 Вестник МРУ Gep. 1. Матем;, мех. 1985. №1. G. 46-54:

13. NESTERENKO Yu.V., Integral identities and constructions of approxim,ations to zeta-values 11 Actes des 12emes rencontres arithmetiques de Gaen (June 29-30, 2001). J. Theorie Nombres Bordeaux. 2003: V. 15. №2. P. 535-550.

15. Никишин Е.М., Об иррациональности значений функций F(x, s) //Матем. сборник. 1979. Т. 109. Jf^3. 410-417. 19: ПРАСОЛОВ В:В., Многочлены // Mi: МЦНМО, 1999.

16. СОРОКИН В.Ш, Теорема Апери // Вестник МГУ. Gep. 1. Матем., мех.1998. №3.G. 48-52.

17. СОРОКИН!В:Н., О jwepe трансцендентности числа тг^ / / Матем. сборник. 1996; Т. 187. J^12: 87-120:

18. ФЕЛЪ/ЩАПЯ.Ш, Седьмая проблема Гильберта // М.: Изд-во МГУ,1982.

19. ФУКС Б. А., Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных / / М.: Гос. изд. физ.-мат, лит., 1962.

20. APERY Ш, Irrationalite de С(2) ei С(3) / / Asterisque 1979. V. 61. P.11-13.

21. BAILEY W.N., Generalized Hypergeometric Series // New York:Stechnert-Hafner, 1964. (Gambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, V. 32).

22. BEUKERS F., Л note on the irrationality of Cip) andC,{^) // Bull. LondonMath Society. 1979. V. 11. JГ^ З. P. 268-272.

23. BoRWEiN J.M., BRADLEY D.M., BROADHURST D.J;, Evaluations ofk-fold Euler/Zagier Sums: A Compendium of Results for Arbitrary к // \ Литература 134! The Electronic Journal of Combinatorics. 1997. V. 4. №2. Research Paper 5.

24. FISCHLER S., Formes lineaires en polyzetas et integrales multiples // СR. Acad; Sci. Paris Ser. I Math. 2002. V. 335. P. 1-4.

25. РАСПЕР Дж., PAXMAH M., Базисные гипергеометрические ряды //М- Мир, 1993.

26. HOFFMAN М.Е., The algebra of multiple harmonic series // Journal ofAlgebra. 1997. V. 194: J^2: P. 477-495.

27. KOKSMA J.P., POPKEN Jl, Zur Transzendenz von e^ // Journal fiir diereine und angewandte Mathematik. 1932. V. 168. P. 211-230.

28. KRATTENTHALER G., RIVOAL Т., Hypergeometrie et fonction zeta deRiemann / / Preprint (December 2004), submitted for pubUcation; / / http://arxiv.org/abs/math/0311114.

29. MAHLER K., Ein Beweis des Thue-Siegelschen Satzes iiber die Approximation algebraischer Zahlen fur binomische Gleichungen // Math. Ann. 1931. V. 105. P. 267-276.

31. RHIN G. , VIOLA C., On a permutation group related to C(2) / / ActaArith. 1996. V. 77, X^l. P. 23-56. Литература 135

32. RHIN G., VIOLA , The group structure for Ci"^) // Acta Arith. 2001.V. 97. JV^ З. P. 269-293.

33. RiVOAL Т., La fonction zeta de Riemann prend une infinite de valeursirrationnelles aux entiers impairs // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 2000. V. 331. Jf^ 4: P. 267-270.

34. RiVOAL т . , Proprietes diophantiennes des valeurs de la fonction zetade Riemann aux entiers impairs // These de doctorat (29 juin 2001). Caen: Universite^ de Caen, Laboratoire SDAD; / / http://theses-ENIigne.in2p3.fr.