Аппроксимации Эрмита-Паде и обобщенные системы Никишина в теории диофантовых приближений и в теории динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Сорокин, Владимир Николаевич
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2003
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
МОСКОВСИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.Ломоносова
Механико-математический факультет
\ На правах рукописи
УДК517.53+511.7
СОРОКИН Владимир Николаевич
АППРОКСИМАЦИИ ЭРМИТА-ПАДЕ И ОБОБЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ НИКИШИНА В ТЕОРИИ ДИОФАНТОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ И В ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
01.01.01.- математический анализ, 01.01.06. - математическая логика, алгебра и теория чисел.
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва - 2003
Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.
Официальные оппоненты:
член-корреспондент РАН, профессор Ю.В.Нестеренко, доктор физико-математических наук, профессор В.А.Калягин, доктор физико-математических наук, профессор П.К.Суетин
Ведущая организация:
Математический институт им. В.А.Стеклова РАН
Защита диссертации состоится »//у» г.
в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.
С диссертацией можно ознакомиться
в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)
Автореферат разослан »Л Ц гооз г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 доктор физико-математических наук, профессор _ /Гку ^
I Щ1Лукашенко Т.П.
Жч/у
2ooJ-fl
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Аппроксимации Паде - это приближения аналитической функции рациональными дробями. Они составляют большой раздел классической теории приближений. Свободные полюсы рациональных дробей хорошо моделируют особенности приближаемой аналитической функции. Поэтому основное предназначение аппроксимаций Паде состоит в эффективном аналитическом продолжении функции, заданной лишь локально своим степенным рядом.
Аппроксимации Эрмита-Паде - это приближения нескольких аналитических функций рациональными дробями с общим знаменателем. (Существуют и другие аналогичные конструкции, объединенные под этим общим названием.) С точки зрения теории приближений требование общего знаменателя выглядит искуственным. По нашему мнению дело здесь в том, что эти аппроксимации имеют совсем иное предназначение - они призваны решать некоторые конкретные задачи, возникающие в различных областях математики. Именно так аппроксимации Эрмита-Паде возникли исторически. В своей знаменитой работе Ш.Эрмит1 построил эти аппроксимации с единственной целью - доказать трансцендентность числа е. После работы Эрмита аппроксимации, названные его именем, стали одним из основных инструментов в теории трансцендентных чисел и диофантовых приближений. Достаточно обратиться к работам К.Малера, К.Л.Зигеля, А.Б.Шидловского, Н.И.Фельдмана, Г.Чудновского, Е.М.Никишина, Ю.В.Нестеренко. Поэтому большой раздел диссертации посвящен вопросам теории чисел.
'Hermite C. Sur la fonction exponentielle// C.R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1873. V.77. P. 18-24, 74-79, 226-233, 285-293.
g { EKA i
| C.i!eTep6ypr C^T
1 09 m^axrP^h
Оказалось, что приложения аппроксимаций Эрмита-Паде далеко выходят за рамки теории чисел. Они имеют общематематическое значение. Весьма любопытна связь этих аппроксимаций со спектральной теорией операторов. Эта связь была впервые исследована В.А.Калягиным. 2 Обратимся теперь к знаменитому исследованию Т.Стилтьеса 3 о непрерывных дробях. По-существу это была первая спектральная теорема. Однако прошло много времени прежде, чем был осознан метод обратной спектральной задачи 4 для решения гамильтоновых систем. В диссертации аналогичные задачи решаются с помощью аппроксимаций Эрмита-Паде.
Столь бурное проникновение аппроксимаций Эрмита-Паде в различные разделы математики потребовало ответов и на внутренние вопросы теории. Основной вопрос анализа - это вопрос об асимптотическом поведении аппроксимаций. Для так называемых систем Анжелеско этот вопрос был полностью решен А.А.Гончаром и Е.А.Рахмановым. 5 При этом был разработан новый метод применения теории логарифмического потенциала к изучению асимптотики рациональных аппроксимаций. С другой стороны, Е.М.Никишин 6 ввел новый замечательный класс аналитических функций, который теперь носит его имя. Системы Никишина хорошо моделируют все реальные случаи приложений аппроксимаций Эрмита-Паде. Однако вопрос об асимптотике аппроксимаций для систем Никишина долгое время оставался открытым. Диссертация содержит решение этой задачи.
2В.А.Калягин. Аппроксимации Эрмита-Паде и спектральная теория несимметрических операторов// Матем. сборник. 1994. Т.185. N6. С.79-100.
3Т.Стилтьес.Исследования о непрерывных дробях. Харьков. 1937.
4J.K.Moser. Three integrable Hamiltonian systems connected with isospectral deformations//Adv. Math. 1975. V.16. P.197-220.
SA.А.Гончар, Е.А.Рахманов. О сходимости совместных аппроксимаций Паде для системы функций мрковского типа// Труды МИАН. 1981. Т.157. С.31-48.
6Е.М.Никишин. О совместных аппроксимациях Паде// Матем. сборник. 1980. Т.113(155). N4. С.499-519.
Цель работы.
1. Исследовать асимптотическое поведение аппроксимаций Эрмита-Паде для систем Никишина.
2. Исследовать арифметические свойства значений обобщенных полилогарифмов.
3. Найти доказательство трансцендентности числа 7г, использующее линейные формы только от четных степеней этого числа.
4. Проинтегрировать цепочки О.И.Богоявленского.
Методы исследования. В диссертации применяются метод Малера в теории трансцендентных чисел, аналитическая теория дифференциальных уравнений, методы классического комплексного анализа, включая теорию римановых поверхностей, теория операторов и задача Штурма-Лиувилля, логарифмическая теория потенциала.
Научная новизна. Основные результаты работы следующие.
1. Полностью описано асимптотическое поведение аппроксимаций Эрмита-Паде для систем Никишина в терминах равновесных потенциалов.
2. Доказана линейная независимость значений любого набора обобщенных полилогарифмов в малой рациональной точке.
3. Получена оценка меры трансцендентности числа 7Г2, улучшающая известный результат К.Малера.
4. Построено обобщение проблемы моментов Стилтьеса, позволяющее интегрировать дискретные КдВ уравнения в терминах непрерывных дробей.
Все перечисленные результаты являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории функций, функциональном анализе и теории чисел. Они могут быть использованы в следующих НИИ и ВУЗах: МГУ им. М.В.Ломоносова, МИАН им. В.А.Стеклова, ИПМ им. М.В.Келдыша. Некоторые разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности математика.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры теории функций и функционального анализа и кафедры теории чисел в МГУ им. М.В.Ломоносова, в отделе комплексного анализа МИАН им. В.А.Стеклова, а также на семинарах и конференциях в университетах Берлина, Мадрида, Сарагосы, Альмерии, Гранады, Лилля, Марселя, Левена.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 24 работах автора, список которых приводится в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разделенных на 8 параграфов, и списка литературы, содержащего 114 наименований. Общий объем работы 203 страницы.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении сформулированы основные результаты диссертации.
В первой главе изучается асимптотическое поведение аппроксимаций Эрмита-Паде для обобщенных систем Ни-
кишина (0№-систем).
Дадим определение СЫ-системы.
Пусть С? - граф-дерево (ниже просто граф ) с числом вершин, равным т . Другими словами, (О, это частично упорядоченное множество, удовлетворяюшее следующей аксиоме:
(**) каждый непустой отрезок {/3 : (3 -< а} имеет наибольший элемент .
Удобно добавить к графу С корневую вершину: <5 = С? и {ш}, где и> £ С? - наименьший элемент (5 . Будем называть О расширенным графом.
Будем говорить, что элемент а непосредственно следует за элементом с*_ , и будем писать а- —> а . Обозначим а+ множество всех вершин, непосредственно следующих за а. Будем говорить, что элементы /? ф 7 связаны отношением соседства, и будем писать (3 7 , если ¡3 и 7 непосредственно следуют за одним и тем же элементом а, т.е. (3,7 €Е
Пусть каждой вершине а 6 С? соответствует отрезок Га вещественной прямой и мера оа с носителем на этом отрезке. Предполагаем, что выполнены следующие условия:
(г) два отрезка Ра и Рр не пересекаются, если вершины а и /3 связаны отношением непосредственного следования (а —> /3,(3 —» oi ) или отношением соседства (а ¡3);
(И) производная а'а от абсолютно непрерывной составляющей меры аа положительна почти всюду (относительно меры Лебега) на отрезке Ра.
Для двух мер (Т\ и сг2 с непересекающимеся носителями
определим произведение
Л < 01,02 >= 02^1,
где
а»« -/"¿аИ
3 г - х
Каждому элементу а 6 С? соответствует единственная цепочка элементов вида
По индукции положим
=< (Т7, 00, ..., 0а >=< 0-у, < 0р, . . . ,0а » .
Определение. Обобщенной системой Никишина ( системой), соответствующей графу С, называется следующая система функций марковского типа:
Дадим постановку задачи Эрмита-Паде для обобщенных систем Никишина.
мультииндекс. Тогда существует многочлен <5„ , удовлетворяющий условиям:
и —» 7 —> (3 -4 ... —> а.
Пусть
п
= {па : а € С} € 1%
1) Яп Ф 0 :
2) < |п| , где
аев
3) для некоторых многочленов Рп а выполнены следующие соотношения:
Rn,a = Qnfa - Рп,а = 0{l/Zn°+1), Z -> 00, Qf G G.
Всюду в дальнейшем будем считать, что мультииндекс п удовлетворяет следующему условию:
(***) если а -< ß , то riß ^ na + 1,
другими словами, функция п : G Z+ почти монотонно убывает.
Одним из результатов первой главы является
Предложение 1. Всякий почти монотонно убывающий мультииндекс нормален (т.е. многочлен Q„ с необходимостью имеет степень |п|. )
Следовательно, существует единственный (с точностью до нормировки) многочлен Qn и единственный набор аппроксимаций Эрмита-Паде
П„,а = а eG.
Wn
Мы будем нормировать многочлен Qn условием, что его старший коэффициент равен единице.
Результаты об асимптотическом поведении аппроксимаций Эрмита-Паде формулируются в терминах задачи равновесия. Приведем здесь необходимые нам факты из теории логарифмического потенциала.
Пусть и - конечная положительная борелевская мера с компактным носителем Б (и) в комплексной плоскости. Логарифмическим потенциалом меры и называется следующий интеграл Лебега (конечный или бесконечный):
Vй(г) = [ г еС.
3 Х\
Функция V" - супергармоническая во вс?й комплексной плоскости и гармоническая вне носителя меры.
Исходными данными задачи равновесия для векторных потенциалов являются следующие три объекта:
1) ^ = {Га : а € С} - множество отрезков вещественной прямой К ;
2) Я = {<7а : «ё С} - множество положительных чисел;
3) А — {аа]/?: а,13 £ й} - матрица взаимодействия.
В общей постановке С - произвольное множество индексов, произвольные регулярные компакты на комплексной плоскости.
Матрицей взаимодействия мы называем любую вещественную симметричную положительно определенную матрицу, удовлетворяющую следующему условию:
(****) элементы ааф = 0 для индексов аф (5 таких, что компакты Ра и Рр пересекаются.
В электростатической интерпретации Га - проводник, на который помещен положительный заряд величины qa . Матрица взаимодействия устанавливает закон взаимодействия точечных зарядов, принадлежащих одному и тому же или различным проводникам. Требуется найти равновесное распределение зарядов, т.е. распределение в состоянии статиче-
ского равновесия. <
Для того, чтобы точно сформулировать эту задачу, введем следующие обозначения. Пусть Ша = Шда(Га) - множество всех положительных борелевских мер и с носителями на отрезке Га , полная вариация которых равна |1/| = . Обозначим
аев
прямое произведение этих множеств. Заметим, что Ш - выпуклый компакт в * - слабой топологии. Элементы множества Ш суть векторные меры:
И = {(¿а : а е С?}.
Определим векторный потенциал меры ц :
ае С},
где
Рев
Обозначим
«¿ = штВД, а Ев,
минимум векторного потенциала на соответствующем отрезке.
Будем использовать следующий результат А.А.Гончара и Е.А.Рахманова.
Существует единственная мера А в классе 9Л , удовлетворяющая условиям равновесия:
1У*(х) = ю*1, *е£(Аа), аеС;
Мера А , называется экстремальной или равновесной мерой, соответствующей исходным данным задачи равновесия.
Зафиксируем произвольную последовательность А почти монотонно убывающих мультииндексов п такую, что |п| оо, и существуют пределы
Здесь {ра : а 6 С?} - произвольное распределение вероятностей на графе С, удовлетворяющее условию монотонности:
Рассмотрим векторную задачу - равновесия, соответствующую следующим исходным данным:
(1) ^ = {Га : а €Е С?} - множество отрезков, входящих в определение обобщенной системы Никишина;
(2) д = {да: а е С} , где
- функция распределения вероятностей;
(3) А = {аа,р '■ (3 € <7} - матрица взаимодействия, которая
определяется следующим образом:
аа<р = 2, если а = (3;
— —1, если индексы связаны отношением непосредственного
аа р = 1, если индексы связаны отношением соседства : а -н^ /?; аа<р = 0, в остальных случаях.
Соответствующую равновесную меру обозначим
если а -< /?, то рр ^ ра.
а40
следования, т.е. а —> @ или /3 ог;
А = {Аа : <*€(?}.
Основным результатом первой главы является Теорема 1. Приведем здесь основное следствие из этой теоремы.
Теорема 1*. Равномерно на компактах в области
с\ и
существует предел
1 1 а6ь>+
Эта теорема дает полное описание асимптотического поведения знаменателей аппроксимаций Эрмита-Паде для обобщенных систем Никишина.
Также в первой главе доказано
Следствие 1. Если f = {/а : а £ й} - система Никишина (т.е. граф в является цепью), то для любого а € С? аппроксимации П„1а, п € Л, сходятся к функции /а равномерно внутри области С \
Основные результаты первой главы для системы Никишина опубликованы в работе автора [1]. Также в совместной работе [23] с А.А.Гончаром и Е.А.Рахмановым приводится изложение этих результатов для произвольного графа. Другие результаты по теме первой главы опубликованы в работах автора [2]-[10]. Также автором опубликована монография [22] (совместно с Е.М.Никипшным).
Вторая глава посвящена приложениям обобщенных систем Никишина в теории диофантовых приближений и трансцендентных чисел. В эту главу вошли два результата.
Первый результат состоит в доказательстве линейной независимости значений обобщенных полилогарифмов.
- мультииндекс с ненулевыми компонентами. Обобщенными полилогарифмами называются следующие степенные ряды:
Эти функции имеют многочисленные приложения в алгебраической геометрии, аналитической теории дифференциальных уравнений, математической физике, алгебре, комбинаторной и дискретной математике. В последнее время отмечался повышенный интерес к изучению алгебраических свойств этих функций. Основное алгебраическое свойство заключается в том, что обощенные полилогарифмы образуют базис градуированной алгебры (алгебры Линдена)
(Формально полагаем = 1 .) Это линейное пространство образует алгебру относительно обычного умножения. Градуировка - естественная, это порядок мультииндекса
Алгебра Линдена представляет собой очень естественный объект с точки зрения комплексного анализа. Она состоит из всех многозначных аналитических функций, имеющих лишь три особые точки 2 = 0, г = 1 и г = со , причем все они - чисто логарифмические точки ветвления. Например, любой элемент в окрестности нуля имеет вид
Пусть
э = € ¿ем,
21 =< 1л8 > над С.
|8| = «1+ ... + *!•
£
у£А1 1п1г
1=0
где А1 - некоторые голоморфные в нуле функции. Аналогичное представление справедливо для точек г = 1 и г = оо.
Что же касается арифметических свойств значений обобщенных полилогарифмов, то такая задача долгое время стояла в теории диофантовых приближений, но результатов общего характера получено не было. Нам удалось доказать линейную независимость значений любой совокупности этих функций в рациональной точке, близкой к нулю. Основным результатом здесь является следующая
Теорема 2*. Пусть г = 1,2,3,... Если рациональное число р/<7 удовлетворяет условию
Ш > (2де')г-\
то числа
1л5(д/р), |з| < г,
линейно независимы над полем рациональных чисел. При этом для любых целых рациональных чисел Ь3 таких, что
Ь = тах{|68| : |в| < г} > О,
справедлива следующая оценка снизу соответствующей линейной формы:
с
где
1п |р| + г + 4
ас- некоторая эффективно вычислимая положительная постоянная.
Суть доказательства теоремы состоит в том, чтобы перейти к другому базису и воспользоваться идеями первой главы.
Легко видеть, что число обобщенных полилогарифмов данного ранга г (|з| = г) равно 2Г_1. Поэтому мы построим полный бинарный граф:
+ оо\/* + +
• •
о \ +
• •
- \ / о
\
- \ /> +
граф 5
Дадим формальное определение. Обозначим ¿>(т) множество, элементами которого служат последовательности длины т :
а = (<*!,. ..,ат).
Члены последовательности могут принимать три значения, это - символы 0, + и — . При этом выполняются следующие ограничения:
(*) «1 = 0 и ак Ф а*+ъ к = 1,..., т - 1.
Положим
г
5Г= у 5К
т=1
Это и есть полный бинарный граф с г этажами. Добавив к графу £г корневую вершину (пустую последовательность), получим расширенный граф 5Г. Число вершин графа 5Г равно
ЛГ. = ЙЯ = 1 + 2 + 22 + ... + 2Г~Х = 2Г — 1. На множестве степенных рядов вида
00 ТР
П=1
определим три оператора:
оо 1 1 п=1
00 . 1 п—1 п=1 т=1
п=1 т=1
Эти операторы связаны соотношением
тг+ = П0 + К-
Каждой вершине а полного бинарного графа поставим в соответствие степенной ряд /а(г) , а именно, по индукции полагаем
/а = явт/а_, агеяК
Здесь
с*_ = (а!,...,«,,,-!)
- элемент, непосредственно предшествующий а . База индукции:
Корневой вершине по определению соответствует функция
Набор обобщенных полилогарифмов данного ранга г :
связаны между собой невырожденным линейным преобразованием с рациональными коэффициентами. Поэтому во второй главе мы доказываем теорему 2 для функций /а, а € 5>, переформулировкой которой является теорема 2*. Доказательство основано на том факте, что эти функции образуют обобщенную систему Никишина (с точностью до линейных преобразований).
Второй результат второй главы состоит в оценке меры трансцендентности числа 7Г2.
Впервые существование трансцендентных чисел было доказано Ж.П.Лиувиллем на заседании Парижской академии наук 13 мая 1844 г.
В 1873 г. Ш.Эрмит доказал трансцендентность числа е . Выше мы уже говорили, что аппроксимации Эрмита-Паде
П=1
/й = 1 •
появились именно в этой работе, как инструмент для решения данной конкретной задачи. В дальнейшем метод Эрми-та становится одним из основных методов в теории трансцендентных чисел и диофантовых приближений. Более того, долгое время аппроксимации Эрмита-Паде развивались именно в рамках теории чисел.
В 1882 г. Ф.Линдеман применил конструкцию Эрмита для доказательства трансцендентности числа 7г. В частности, был получен отрицательный результат в знаменитой задаче древности о квадратуре круга.
В 1932 г. К.Малер получил оценку меры трансцендентности числа 7г. В 1953 г. 7 он продолжил свои исследования и рассмотрел значения логарифма в алгебраических точках. Метод Малера базируется на аппроксимациях Эрмита-Паде для последовательных степеней логарифмической функции.
Существенное развитие метод Эрмита получил в работах К.Л.Зигеля (1929 г.). А окончательные результаты, относящиеся к, так называемым, Е-функциям (целым функциям с арифметическими ограничениями на тейлоровские коэффициенты), были получены А.Б.Шидловским в 1959 г. Основной вклад в развитие метода Эрмита для С-функций (степенных рядов с конечным радиусом сходимости и арифметическими ограничениями на коэффициенты) внес А.И.Галочкин (1974 г.). Во второй главе нами доказана следующая
Теорема 3. Для любых целых рациональных чисел ао, а\,..., а где р = 1,2,3,..., таких, что
а = тах |а,-| > О, 1=0...../>' л
7Mahler K. On the approximation of logarithms of algebraic numbers // Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser.A. 1953. V.245. P.371-398.
выполняется неравентство
\а0 + а1п2 + ... + артг2»\ >
где
х(р)=р-4Ь<>,
а с(р) - некоторая эффективно вычислимая положительная постоянная.
Наша теорема улучшает результат К.Малера, у которого
х(р) ~ е6р • 1п р.
Конечно же, при р оо правильную оценку меры трансцендентности числа 7Г дает теорема Н.И.Фельдмана, полученная методом Гельфонда, а именно:
х{р) = Сйр\пр.
Однако для малых значений р наша оценка лучше из-за большой константы со .
Доказательство теоремы основано на аппроксимациях Эрмита-Паде первого типа, т.е. линейных формах вида
Яг,п = А),п + В^пех + А1,пе?1 + ... + Вг>пег + Лг>пс*г,
где Д;]П и - многочлены степени не выше п , а функции в] и образуют бесконечную систему Никишина, соответствующую графу
д0 д_ , До Д- , д0> 1 —> е\ —► ¿1 —> 62 —»• ¿2 —>
Эти функции, голоморфные и равные нулю в бесконечности, удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:
= е'Г(г) = -~г^с1г.1(2), г = 1,2,... (с*0 = 1).
Значения йг{ 1) суть суммы Эйлера:
,т_ V- 1 1 _ ТГ2Г
^ п2'"П2-(2Г + 1)!'
1^П1<...<Пг<00 1 г 4 '
Таким образом, нас интересует поведение величин Нг п(1) . Поэтому изучается модификация конструкции Эрмита-Паде, содержащая помимо стандартного условия на бесконечности:
Дг,„(2)=0( 1/2ГГП+Г), *-><», также условие на вес:
Жг,п(х) = 0((1-а;)п+1)) х->1. Весовая функция определяется формулами Сохоцкого:
^Г1П(х) = -1тЛг„(а:-г-0), 0 < х < 1.
7Г
Предложенная нами конструкция служит обобщением аппроксимаций Ф.Бекерса 8 , построенных им для графа
, До Д- ,
1 —> е\ —У а1,
подобно тому, как линейные формы К.Малера, построенные для графа
, До. Д0 1 2 До. До 1 г До 1 б1 ----> . . . >
обобщают конструкцию аппроксимаций Паде логарифмической функции е\ , т.е. классических многочленов Лежандра.
Детальное изучение линейных форм Егп и приводит к доказательству теоремы 3.
8F.Beukers. A note on the irrationality of zeta(2) and zeia(3) // Bull. London Math. Soc. 1978. V.ll:33. P.268-272.
Также теорема 3 может быть доказана с помощью аппроксимаций Эрмита-Паде для графа
Еще один пример бесконечного линейного графа, для которого аппроксимации Эрмита-Паде хорошо изучены, дают полилогарифмы:
В 1983 г. Ф.Бекерс предложил доказательство теоремы Р.Апери об иррациональности числа С(3), основанное на не- и
которых аппроксимациях типа Эрмита-Паде для полилогарифмов. В 1998 г. мы предложили новое доказательство этого результата, основанное на аппроксимациях Эрмита-Паде 1 для графа:
Затем Д.В.Васильев изучал интегралы, связанные с аппроксимациями Эрмита-Паде в несколько более общей ситуации:
Эти интегралы приводят к хорошим диофантовым приближениям чисел £(3) и ((5), но к сожалению не доказывают их иррациональность.
Однако, применение леммы Ю.В.Нестеренко позволяет доказать, например, следующее утверждение:
среди чисел С(3), С(5), С(7)> — есть бесконечно много иррациональных.
Этот результат (с количественными оценками) был получен Т.Ривоалем, а также независимо В.В.Зудилиным. При
этом применялись кратные интегралы, которые представляют собой решение задачи Эрмита-Паде для графа
являющиеся модификацией нашей конструкции.
Основные результаты второй главы опубликованы в работах автора [11], [12]. Другие результаты по теме второй главы опубликованы в работах автора [13]-[19].
В третьей главе изучаются приложения аппроксимаций Эрмита-Паде к вполне интегрируемым нелинейным динамическим системам типа цепочек Тоды и Ленгмюра.
В 1987 г. О.И.Богоявленский 9 рассмотрел задачу, состо-, ящую в описании всех цепочек, допускающих пару Лакса.
Типичная цепочка Богоявленского имеет следующий вид:
¿п = Сц(Сп+1"-Сп+г Сп—г)>
; где г - произвольное натуральное число.
) Эти цепочки представляют собой естественное обобще-
ние цепочки Ленгмюра ( г = 1 ). Все они являются различными дискретизациями уравнения Кортевега-де Фриза. Цепочку Ленгмюра проинтегрировал Ю.Мозер в 1974 г. При этом он применил метод обратной спектральной задачи для матриц Якоби.
В 1994 г. В.А.Калягин исследовал связь аппроксимаций Эрмита-Паде со спектральной теорией несимметричных операторов. Он показал, что матричные элементы резольвенты для ленточных операторов выражаются через совместные ! аппроксимации соответствующих функций Вейля. Эти ис-
следования лежат в основе применения аппроксимаций Эрмита-Паде к решению цепочек Богоявленского.
9О.И.Богоявленский. Некоторые конструкции интегрируемых динамических систем // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1987. Т.51. N4. С.737-766.
Мы предложили следующий метод решения полубесконечных цепочек Богоявленского.
Рассмотрим действующий в гильбертовом пространстве ¿2 линейный оператор (имеющий г нулевых диагоналей в центре)
\
А =
(0 ао
0 01
0 • • 0
Ъо 0 . . .
к 0
1Г_! О
Ог+1
\
где
ап — Сп+ ,
Ьп = (с„...с„+г_ 1)г+1.
Этот оператор квазисимметрический, т.е.
Ь„ = а„... а„+г_1.
Тогда существует оператор В такой, что цепочка Богоявленского может быть записана как пара Лакса:
А = [а,в].
Для дальнейшего применения метода обратной спектральной задачи мы построили теорию, обобщающую классическую проблему моментов Стилтьеса.
Из этих исследований вытекает основной результат третьей главы. Для того, чтобы сформулировать этот результат, введем следующие обозначения. Операцию деления вектора
9 =
на вектор
¿«(еДО,...,^),
необходимую для построения многомерной непрерывной дроби, определим с помощью алгоритма Эйлера-Якоби-Перрона, а именно:
д /а(°>. 1 д(г-1) . ¿(г-а)
Введем следующие векторные обозначения:
Л = (0,... ,0, А) € С, l = (l,...,l)€Rr,
СП = (СП! СП) • • • ) Cn) G
—cn = (--сп, Сп,..., cn) G R . и рассмотрим многомерную непрерывную дробь
1
К(А | с) =
А +
со
Сг_2
Л H-----1--
Л—bi.
Л-
л-
где
с - (С0,С1,С2,...).
Обозначим Д множество, состоящее из г+1 лучей на комплексной плоскости, выходящих из начала координат и проходящих через корни (г + 1) - й степени из единицы. Пусть
„-(А....А11)
вектор из конечных положительных борелевских мер с общим компактным носителем на множестве Д, инвариантных
относительно поворотов комплексной плоскости на углы, кратные Обозначим
МАЮ'СЖАЮ.-./^Ю)
вектор, состоящий из функций марковского типа
/.ехр
А Х~Х /0)(А 1 = Ai./exp^i)^0^)'
Л
Основным результатом третьей главы является Теорема 4.
1. Задача Коши для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
¿п = Сп(с„+1 ... с„+г — с„_ 1... с„_г), п £ Z+,
с граничными условиями
с_г = 0,..., c_i = О,
а также положительными и ограниченными начальными условиями
О < с„(0) ^ М, п G Z+,
имеет, единственное (в классе ограниченных последовательностей) решение на всем промежутке t € [0,+оо).
2. Решением служит равномерно ограниченная последовательность положительных функций
О < cn(i) < Mr, Mr = 21+1/rM, t € [0, +oo), n 6 Z+.
3. Существует единственная (с точностью до нормировки) векторная мера ¡1, такая что справедлива формула
/„(А 11) = К(А | с(0).
Таким образом, интегрирование цепочки Богоявленского сводится к решению прямой и обратной спектральной задачи. А именно, суммируя непрерывную дробь с известными начальными параметрами с„(0) , т.е. решая прямую спектральную задачу, мы получаем спектральную меру ц (в нулевой момент времени). Раскладывая затем вектор /(A|i) в непрерывную дробь, т.е. решая обратную спектральную задачу, мы находим параметры дроби Cn(t) в произвольный момент времени t .
Основные результаты третьей главы опубликованы в работе автора [20]. Другие результаты по теме третьей главы опубликованы в работах [21],[24].
Основные работы автора по теме диссертации.
Аппроксимации Эрмита-Паде.
1. Сорокин В.Н. Аппроксимации Эрмита-Паде полилогарифмов// Изв.вузов.Матем.1994.Ш. С.49-59.
2. Сорокин В.Н. Асимптотическое поведение линейных форм с полиномиальными коэффициентами для некоторых функций стилтьесовского типа// Сибирский матем. журнал. 1986. N1. С.154-169.
3. Сорокин В.Н. Обобщение классических ортогональных многочленов и сходимость совместных аппроксимаций Па-де// Труды семинара им. И.Г.Петровского. Вып.11. Изд-во МГУ. 1986. С.125-165.
4. Сорокин В.Н. Сходимость совместных аппроксимаций Па-де для одного класса функций// Матем. сборник. 1987. Т.132. С.391-402.
5. Сорокин В.Н. Сходимость совместных аппроксимаций Па-де к функциям стилтьесовского типа// Известия вузов. Математика. 1987. N7. С.48-56.
6. Сорокин В.Н. О совместных аппроксимациях Паде функций стилтьесовского типа// Сибирский матем. журнал. 1990. Т.31. N5. С.128-137.
7. Sorokin V.N. Convergence of simultaneous Pade approximants to two dilogarithms// Analysis Mathematica. 1990. T.16, f.3. P.203-214.
8. Сорокин В.Н. О совместных двухточечных аппроксимациях Паде марковских функций// Украинский матем. журнал.
1991. Т.43. N4. С.584-588.
9. Сорокин В.Н. Аппроксимации Эрмита-Паде последовательных степеней логарифма и их арифметические приложения// Известия вузов. Математика. 1991. N11. С.66-74.
10. Сорокин В.Н. Асимптотическое поведение матричных аппроксимаций Эрмита-Паде для функций стилтьесовского типа// Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Матем. Механ. 1996. N3. С.29-32.
Диофантовы приближения.
11. Сорокин В.Н. О линейной независимости значений обобщенных полилогарифмов// Матем. сборник. 2001. Т.192. N8. С. 139-154.
12. Сорокин В.Н. О мере трансцендентности числа 7Г2 // Матем. сборник. 1996. Т.187. N12. С.87-120.
13. Сорокин В.Н. Об иррациональности значений гипергеометрических функций// Матем. сборник. 1985. Т.127. N2. С.245-258.
14. Сорокин В.Н. О линейной независимости логарифмов некоторых рациональных чисел// Матем. заметки. 1989. Т.46. N3. С.74-79.
15. Сорокин В.Н. Арифметические свойства значений функций, связанных с L -функциями Дирихле// Матем. заметки.
1992. Т.52. N1. С.118-125.
1 16. Сорокин В.Н. Аппроксимации Эрмита-Паде для систем
Никишина и иррациональность £(3)// Успехи матем. наук. 1994. Т.49. N2. С.167-168.
17. Сорокин В.Н. О теореме Апери// Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Матем.Механ. 1998. N3. С.48-53.
18. Сорокин В.Н. Циклические графы и теорема Апери// УМН. 2002. Т.57, вып.3(345). С.99-134.
19. Сорокин В.Н. Об одном алгоритме быстрого вычисления 7Г4// Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша. 2002.
Теория операторов и динамические системы.
20. Сорокин В.Н. Вполне интегрируемые нелинейные дина, мические системы типа цепочек Ленгмюра// Матем. замет-
КИ.1997.Т.62. N4. С.588-602.
21. Сорокин В.Н. Совместные многочлены Полачека// Вест» ник Моск. ун-та. Сер.1. Матем.Механ. 1997. N2. С.5-9.
Монография.
j 22. Никитин Е.М., Сорокин В.Н. Рациональные аппрокси-
мации и ортогональность/ Москва. Наука. 1988. С.1-256.
Другие публикации, примыкающие к основным.
23. Гончар A.A., Рахманов Е.А., Сорокин В.Н. Об аппроксимациях Эрмита-Паде для систем функций марковского типа// Матем. сборник. 1997. Т.188. N5. С.33-58.
24. Sorokin V.N., J. Van Iseghem. Matrix Hermite-Pade problem and dynamical systems// Journal of Comput. and Appl. Math. 2000. V.122. P.275-295.
Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова,
Подписано в печать /$. Об. 0-3 Формат 60x90 1/16. Усл. печ, л. 2..Р Тираж /00 экз. Заказ
Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059) от 20.02.2001г.
Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета и Франко-русского центра им. A.M. Ляпунова.
t
I
I
* 13 4 1 2
ВВЕДЕНИЕ.
ГЛАВА
Векторное равновесие на графах и асимптотическое поведение аппроксимаций Эрмита-Паде для обобщенных систем Никишина.
§1. Аппроксимации Эрмита-Паде для обобщенных систем
Никишина.
§2. Векторное равновесие и асимптотическое поведение совместных аппроксимаций.
§3. Сходимость совместных аппроксимаций Паде для систем Никишина.
ГЛАВА
Обобщенные системы Никишина в теории диофан-товых приближений и трансцендентных чисел
§1. Полный бинарный граф и обобщенные полилогарифмы.
§2. Совместные аппроксимации Паде для полного бинарного графа.
§3. Мера трансцендентности числа 7г2.
ГЛАВА
Аппроксимации Эрмита-Паде в теории вполне интегрируемых нелинейных динамических систем.
§1. Цепочки Богоявленского и многомерная непрерывная дробь.
§2. Уравнение Лакса-Филлипса и векторная проблема моментов Стилтьеса.
1. Аппроксимации Паде - это приближения аналитической функции рациональными дробями. Они составляют большой раздел классической теории приближений. Свободные полюсы рациональных дробей хорошо моделируют особенности приближаемой аналитической функции. Поэтому основное предназначение аппроксимаций Паде состоит в эффективном аналитическом продолжении функции, заданной лишь локально своим степенным рядом (см. [1]-[10]).
Аппроксимации Эрмита-Паде - это приближения нескольких аналитических функций рациональными дробями с общим знаменателем. (Существуют и другие аналогичные конструкции, объединенные под этим общим названием.) С точки зрения теории приближений требование общего знаменателя выглядит искуственным. По нашему мнению дело здесь в том, что эти аппроксимации имеют совсем иное предназначение - они призваны решать некоторые конкретные задачи, возникающие в различных областях математики. Именно так аппроксимации Эрмита-Паде возникли исторически. В своей знаменитой работе Ш.Эрмит [11] построил эти аппроксимации с единственной целью - доказать трансцендентность числа е. После работы Эрмита аппроксимации, названные его именем, стали одним из основных инструментов в теории трансцендентных чисел и диофантовых приближений. Достаточно обратиться к работам К.Малера [12],[13], К.Л.Зигеля [14], А.Б.Шидловского [15], Н.И.Фельдмана [16], Г.В.Чудновского [17], Е.М.Никишина [18],[19], Ю.В.Нестеренко [20]. Поэтому большой раздел диссертации посвящен вопросам теории чисел.
Оказалось, что приложения аппроксимаций Эрмита-Паде далеко выходят за рамки теории чисел. Они имеют общематематическое значение. Весьма любопытна связь этих аппроксимаций со спектральной теорией операторов. Эта связь была впервые исследована В.А.Калягиным [21]. Отметим, что в знаменитом исследовании Т.Стилтьеса [22] о непрерывных дробях, по-существу, была доказана первая спектральная теорема. Основы теории ортогональных многочленов были заложены в работах П.Л.Чебышева [23] и А.А.Маркова [24]. Однако прошло много времени прежде, чем был осознан метод обратной спектральной задачи [25] для решения гамильтоновых систем. В диссертации аналогичные задачи решаются с помощью аппроксимаций Эрмита-Паде.
Столь бурное проникновение аппроксимаций Эрмита-Паде в различные разделы математики потребовало ответов и на внутренние вопросы теории. Основной вопрос анализа - это вопрос об асимптотическом поведении аппроксимаций. Для так называемых систем Анжелеско этот вопрос был полностью решен А.А.Гончаром и Е.А.Рахмановым [26]. При этом был разработан новый метод применения теории логарифмического потенциала к изучению асимптотики рациональных аппроксимаций. С другой стороны, Е.М.Никишин [27] ввел новый замечательный класс аналитических функций, который теперь носит его имя. Системы Никишина хорошо моделируют все реальные случаи приложений аппроксимаций Эрмита-Паде. Однако вопрос об асимптотике аппроксимаций для систем Никишина долгое время оставался открытым. Диссертация содержит решение этой задачи.
2. В первой главе полностью описано асимптотическое поведение аппроксимаций Эрмита-Паде для обобщенных систем Никишина в терминах равновесных потенциалов.
Пусть оо i = l,.,m, (1) к=О набор формальных степенных рядов. Фиксируем мультиин-декс п = (гсь .,nm) G Z™. Будем искать многочлен Qn{z) со следующими свойствами:
1) Qn Ф 0 ;
2) deg Qn < |n| = ni + . + nm ;
3) для некоторых многочленов Pnj выполняются соотношения:
Rnj = Qnf3 - PnJ = ^г + j = 1, m. (2)
Z J
Тогда Pnj это полиномиальная часть ряда Qnfj, а нахождение многочлена Qn сводится к решению системы |п| линейных однородных уравнений относительно ¡тг| + 1 неизвестных коэффициентов. Следовательно, нетривиальное решение существует.
Рациональные функции
Р . n n,j ■ 1 n,j = -рр, 3 = 1 называются аппроксимациями Эрмита-Паде второго типа или совместными аппроксимациями Паде с общим знаменателем для набора степенных рядов (1). Единственности аппроксимаций, вообще говоря, нет. Если для любого решения имеем deg Qn = |п|, то индекс п называется нормальным. В этом случае существует единственный (с точностью до нормировки) многочлен Qn, и единственный набор аппроксимаций Эрмита-Паде
Имеются и другие конструкции аппроксимаций Эрмита-Паде. Формальная теория всех таких аппроксимаций изложена, например, в работе К.Малера [28].
Мы будем изучать аппроксимации Эрмита-Паде для систем функций марковского типа: где конечные положительные борелевские меры с компактными носителями на вещественной прямой. Тогда
- моменты мер Условия (2) равносильны следующей системе соотношений ортогональности:
Будем считать, что меры в] имеют бесконечные носители. В дальнейшем удобно мерами называть не только положительные, но также знакопостоянные меры.
Через А] = A(sj) обозначим минимальный отрезок, содержащий носитель меры Предполагаем, что отрезки Aj удовлетворяют следующему условию: для любых 3 ф к отрезки Aj и А^ или не пересекаются, или совпадают.
Рассмотрим сначала частный крайний случай, когда все отрезки Aj попарно не пересекаются. Соответствующая система марковских функций (3) называется системой Анже-леско [29],[30]. Из соотношений ортогональности (4) следует, что многочлен имеет по крайней мере п^ перемен знака внутри отрезка А]. Следовательно, = \п\ , т.е. все мультииндексы нормальные. Поведение аппроксимаций Эрмита-Паде для систем Анжелеско полностью изучено в работе А.А.Гончара и Е.А.Рахманова [26]. Об аппроксимациях Паде для систем Анжелеско см. также [31],[32].
Рассмотрим другой частный крайний случай, когда все отрезки совпадают: Д1 = . = Дто = Д . В этом случае Е.М.Никишин [27] предложил следующую конструкцию мер. Пусть ^ и - непересекающиеся отрезки вещественной оси, (Т\ и <Т'2 - меры с носителями на ^ и соответственно. Определим следующую меру: с1 < (71,(72 >= <72^0-1.
Для системы отрезков такой, что любые два последовательных отрезка не пересекаются, и мер а 1,., ат на этих отрезках по индукции определим меры
8} =< (7ь >=< (Ть < сг2, >>, 1 = 1,., т.
Система марковских функций ^ называется системой Никишина. В [33] Е.М.Никишин исследовал асимптотическое поведение линейных форм для таких систем. Однако, вопрос об асимптотике совместных аппроксимаций оставался открытым. Некоторые результаты были получены в работах [34]-[36]. В §3 первой главы мы докажем сходимость совместных аппроксимаций Паде для систем Никишина. Дальнейшее развитие этих идей см. в [37].
Обобщенная система Никишина соответствует любой системе отрезков Aj, удовлетворяющей условию (*). Прежде чем дать формальное определение рассмотрим примеры для гп = 3.
Систему Анжелеско мы связываем с графом (а). Ф . « О граф (а)
Кроме корневой вершины этот граф имеет три вершины, соответсвующие дизъюнктным отрезкам 7*2, -Гз с мерами о'ьо^оз ■ Система Анжелеско определяется мерами вз ~ аз на Аз = 3 ~ 2,3.
Систему Никишина мы связываем с графом (Ь),
• ^з t т О граф (Ь) где Т7! П = 0 и П ^з = 0 . Эта система определяется мерами
1 —< сI > на А\ = «2 =< о"ь > на Д2 = ^ -53 =< > ма Аз =
При т = 3 есть еще два графа-дерева (с) и (с1).
Для графа (с) имеем ГхП Е2 = 0 и П ^з = 0,
• ^з Г
•.• О граф (с) а соответствующая ему система марковских функций определяется мерами
Бх = < <7\ > на А\ = ^ в2 =< о"2 > на А2 = ^ «3 =< ^2,0*3 > ма Аз =
Для графа (с1) имеем ^ П = 0 и ^ П ^з = 0, •.• ^з / • Я т о граф (¿) а соответствующая система марковских функций определяется мерами б'1 =< > на = ^ «2 = < с2 > на Д2 = 5з =< сгЬ£г3 > на Аз = Т7!.
Все эти системы являются обобщенными системами Никишина (С1Ч-системами).
3. Дадим формальное определение 0]М-системы.
Пусть - граф-дерево (ниже просто граф ) с числом вершин, равным то . Другими словами, (С, это частично упорядоченное множество, удовлетворяюшее следующей аксиоме: каждый непустой отрезок {(3 : (3 -< о;} имеет наибольший элемент .
Удобно добавить к графу О корневую вершину: С = С I) где и 0 С - наименьший элемент (5 . Будем называть О расширенным графом.
Будем говорить, что элемент а непосредственно следует за элементом , и будем писать —> а . Обозначим а+ множество всех вершин, непосредственно следующих за а. Будем говорить, что элементы ¡3 ф 7 связаны отношением соседства, и будем писать ¡3 •н- 7 , если (3 и 7 непосредственно следуют за одним и тем же элементом о;, т.е. /3,7 Е
Пусть каждой вершине а £ С соответствует отрезок Еа вещественной прямой и мера оа с носителем на этом отрезке. Предполагаем, что выполнены следующие условия: г) два отрезка Га и Рр не пересекаются, если вершины а и ¡3 связаны отношением непосредственного следования (а —>• ¡3, (3 —> а ) или отношением соседства (а (3);
Ц) производная и'а от абсолютно непрерывной составляющей меры иа положительна почти всюду (относительно меры Лебега) на отрезке Ра.
Каждому элементу «ЕС соответствует единственная цепочка элементов вида ш —» 7 —)> ¡3 —>• . —)• а.
Положим < ? & (31 •••, > •
Определение. Обобщенной системой Никишина ( СЛ^-системой), соответствующей графу С, называется следующая система функций марковского типа:
Задача Эрмита-Паде для обобщенных систем Никишина ставится также, как для любой системы степенных рядов (см. п.2), но теперь в качестве нумерующего индекса используются вершины графа О .
А именно, пусть мультииндекс. Тогда существует многочлен , удовлетворяющий условиям:
1) Япф о :
2) (\egQn < |п| , где
С*<ЕС
3) для некоторых многочленов Рп>а выполнены следующие соотношения: = {/<* = £<*: осе £}. п = {па : а е С} 6 Яп!а ~ Рп,а = 2 ОО, ОТ £ в.
Всюду в дальнейшем будем считать, что мультииндекс п удовлетворяет следующему условию: если а -< (3 , то пр ^ па + 1, другими словами, функция п : О —> Z+ почти монотонно убывает.
Одним из результатов первой главы является
Предложение 1. Всякий почти монотонно убывающий мультииндекс нормален.
Следовательно, существует единственный (с точностью до нормировки) многочлен и единственный набор аппроксимаций Эрмита-Паде рп а пп,а = -рр, а 6 С.
Ц/ п
Мы будем нормировать многочлен С£п условием, что его старший коэффициент равен единице:
4. Результаты об асимптотическом поведении аппроксимаций Эрмита-Паде формулируются в терминах задачи равновесия. Приведем здесь необходимые нам факты из теории логарифмического потенциала (см. [38],[114]).
Пусть V - конечная положительная борелевская мера с компактным носителем Я (и) в комплексной плоскости. Логарифмическим потенциалом меры у называется следующий интеграл Лебега (конечный или бесконечный): уии) = (ь, 1 Мх), г е с.
У — х\
Функция Vй - супергармоническая во всей комплексной плоскости и гармоническая вне носителя меры.
Взаимной энергией двух мер называется интеграл J1п |д,
Энергией меры V называется следующая величина: = /(!/,!/).
Исходными данными задачи равновесия для векторных потенциалов являются следующие три объекта:
1) ^ = : а Е С} - множество отрезков вещественной прямой К. ;
2) = : а £ С} - множество положительных чисел;
3) А = {аа р : а,р £ С} - матрица взаимодействия.
В общей постановке G - произвольное множество индексов, произвольные регулярные компакты на комплексной плоскости.
Матрицей взаимодействия мы называем любую вещественную симметричную положительно определенную матрицу, удовлетворяющую следующему условию: элементы аЛ)р = 0 для индексов а ф (3 таких, что компакты Га и ^ пересекаются.
В электростатической интерпретации - проводник, на который помещен положительный заряд величины да . Матрица взаимодействия устанавливает закон взаимодействия точечных зарядов, принадлежащих одному и тому же или различным проводникам. Требуется найти равновесное распределение зарядов, т.е. распределение в состоянии статического равновесия.
Для того, чтобы точно сформулировать эту задачу, введем следующие обозначения. Пусть Ша = Шда(Еа) - множество всех положительных борелевских мер и с носителями на отрезке Еа , полная вариация которых равна \и\ — . Обозначим а€С прямое произведение этих множеств. Заметим, что - выпуклый компакт в * - слабой топологии. Элементы множества 9Л суть векторные меры:
1 = {ца : а 6 (7}.
Определим векторный потенциал меры /л : а £ С}, где рее
Обозначим ю^шт^(х), а £ минимум векторного потенциала на соответствующем отрезке. И наконец, определим энергию векторной меры // как следующую квадратичную форму: а,р<ЕС
Заметим, что 1(р) - строго выпуклый вниз и полунепрерывный снизу функционал на выпуклом компакте ЭДТ .
Справедлива
Теорема I.(А.А.Гончар, Е.А.Рахманов). Каждая из следующих трех задач имеет единственное решение А в классе ЭДТ / решения эт,их задач совпадают:
A) ;(А) = шш;И;
B) \¥^{х)=и)ха1 яе5(Аа), аеС;
C) и>ха= тах а ЕС, где максимум берется по мерам /х (Е таким, что цр = Хр для всех ¡3 ф а .
Доказательство теоремы I содержится в работах А.А.Гончара и Е.А.Рахманова [26],[39]-[41], см. также монографию [114].
Мера Л , являющаяся решением задач (А), (В) и (С), называется экстремальной или равновесной мерой, соответствующей исходным данным задачи равновесия.
Для изучения асимптотического поведения аппроксимаций Эрмита-Паде мы будем использовать характеризацию меры Л как решение задачи равновесия (В).
5. Зафиксируем произвольную последовательность Л почти монотонно убывающих мультииндексов п такую, что |п| —» оо, и существуют пределы
Нт = а Е С. пеА \п\
Здесь {ра : а Е С} произвольное распределение вероятностей на графе С, удовлетворяющее условию монотонности: если а -< /3, то рр ^
Рассмотрим векторную задачу равновесия, соответствующую следующим исходным данным:
1) Г = {Ра : а £ С} - множество отрезков, входящих в определение обобщенной системы Никишина;
2) с/ = {да : а в С] , где
Чес = ^ Ра - функция распределения вероятностей;
3) А — {аа @ : а, (3 £ С?} - матрица взаимодействия, которая определяется следующим образом: аа,/з = 2, если а = (3; аа,/з — — 1? если индексы св,язаны отногиением непосредственного следования, т.е. а —» (3 или (3 —>• а; = если индексы св,азаны отношением соседства : ан/5; — 0, е остальных случаях.
Соответствующую равновесную меру обозначим
А = {Аа : ае С}.
Для того, чтобы лучше понять структуру матрицы взаимодействия, рассмотрим примеры для случая т = 3 . Для графа (а) (система Анжелеско) имеем
2 1 1
А =
Заряды, принадлежащие различным проводникам, отталкиваются с силои в два раза меньше, чем заряды, принадлежащие одному и тому же проводнику.
Для графа (Ь) (система Никишина) имеем
Заряды, принадлежащие проводникам Fl и F2, а также F2 и притягивают друг друга, а заряды, принадлежащие проводникам ^ и ^з, не взаимодействуют между собой. Для графа (с) имеем
Заряды, принадлежащие проводникам и ^2, отталкиваются, а заряды, принадлежащие проводникам ^ и ^з, притягиваются. Заряды, принадлежащие проводникам и ^з, не взаимодействуют.
Для графа (с1) имеем
Заряды, принадлежащие проводникам ^ и ^2, а также ^ и ^з, притягиваются, а заряды, принадлежащие проводникам ^ и отталкиваются.
Основным результатом первой главы является Теорема 1. Приведем здесь основное следствие из этой теоремы.
Теорема 1*. Равномерно на компактах в области с\ у ^ существует предел
Эта теорема дает полное описание асимптотического поведения знаменателей аппроксимаций Эрмита-Паде для обобщенных систем Никишина.
Также в первой главе доказано
Следствие 1. Если / = {/а : а Е С?} - система Никишина, то для любого а е С аппроксимации Пп а, п Е А, сходятся к функции /а равномерно внутри области С\^атш.
Основные результаты первой главы для системы Никишина опубликованы в работе автора [91]. Также в совместной работе [104] с А.А.Гончаром и Е.А.Рахмановым приводится изложение этих результатов для произвольного графа. Другие результаты по теме первой главы опубликованы в работах автора [95]-[103]. Также автором опубликована монография [114] (совместно с Е.М.Никишиным).
6. Вторая глава посвящена приложениям обобщенных систем Никишина в теории диофантовых приближений и трансцендентных чисел. В эту главу вошли два результата. Первый результат состоит в доказательстве линейной независимости значений обобщенных полилогарифмов.
Полилогарифмами называются хорошо известные в анализе специальные функции
ОО п
5 = 1,2,3,. (5) п= 1
В частности, при 5 = 1 получим логарифмическую функцию
Ь11(г) = 1п - - .
1 — г
Областью сходимости каждого из рядов (5) служит единичный круг. Эти функции аналитически продолжаются за пределы круга и имеют при г = 1 и г = оо логарифмические точки ветвления. Вопрос об арифметических свойствах значений полилогарифмов был и остается в центре внимания теории диофантовых приближений. Наиболее интересный случай мы получим, положив 2 = 1:
1Л,(1) =СМ, 5 = 2,3,.,
- значения дзета-функции Римана. В этом направлении получено лишь несколько интересных результатов [42]-[57]. Заметим, что одна из первых работ, в которой строятся рациональные приближения числа С (3), принадлежит А.А.Маркову [58]-[60]. Формула Маркова использовалась в доказательстве Апери. Однако имеется большое число результатов, типичных для теории С-функций, в которых исследованы арифметические свойства значений полилогарифмов в рациональных точках, близких к нулю. Наиболее сильные результаты были получены в работах Е.М.Никишина [19], Г.Чудновского [17], Л.А.Гутника [61].
Пусть теперь в = (*!,.,*) е!*, г ен,
- мультииндекс с ненулевыми компонентами. Обобщенными полилогарифмами называются следующие степенные ряды:
7щ им = £ н' пЛ .п.
Эти функции имеют многочисленные приложения в алгебраической геометрии, аналитической теории дифференциальных уравнений, математической физике, алгебре, комбинаторной и дискретной математике (см., например, [62], [63], где имеются дальнейшие ссылки). В последнее время отмечался повышенный интерес к изучению алгебраических свойств этих функций. Основное алгебраическое свойство заключается в том, что обощенные полилогарифмы образуют базис градуированной алгебры (алгебры Линдена)
21 =< 1л8 > над С.
Формально полагаем I;'ц = 1 .) Это линейное пространство образует алгебру относительно обычного умножения. Градуировка естественная, это порядок мультииндекса в! + ■■■ + .5«.
Алгебра Линдена представляет собой очень естественный объект с точки зрения комплексного анализа. Она состоит из всех многозначных аналитических функций, имеющих лишь три особые точки г = 0, 2 = 1 и 2 = оо , причем все они - чисто логарифмические точки ветвления. Например, любой элемент в окрестности нуля имеет вид о где А/ - некоторые голоморфные в нуле функции. Аналогичное представление справедливо для точек 2 = 1 и г = оо.
Что же касается арифметических свойств значений обобщенных полилогарифмов, то такая задача долгое время стояла в теории диофантовых приближений, но результатов общего характера получено не было. Нам удалось доказать линейную независимость значений любой совокупности этих функций в рациональной точке, близкой к нулю. Основным результатом здесь является следующая
Теорема 2*. Пусть г = 1,2,3,. Если рациональное число р/д удовлетворяет условию р/я\ > (2дер) г\2г-1 то числа
ЪЦд/р), И < г, линейно независимы над полем рациональных чисел. При этом для любых целых рациональных чисел таких, что
Ъ = тах{|68| : |в| < г} > О, справедлива следующая оценка снизу соответствующей линейной формы:
Ь8и8(д/р)
8|<г С где
1п \р\ + г + 4 =
2~-1п- 1пд - г - 1' я ас- некоторая эффективно вычислимая положительная постоянная.
7. Суть доказательства теоремы состоит в том, чтобы перейти к другому базису и воспользоваться идеями первой главы.
Легко видеть, что число обобщенных полилогарифмов данного ранга г (|б| = г) равно 2Г~1. Поэтому мы построим полный бинарный граф: о о Ч/1 +
• • о \ / + о / - \ + граф 5
Дадим формальное определение. Обозначим множество, элементами которого служат последовательности длины т :
Oi (аь .,ат).
Члены последовательности могут принимать три значения, это - символы 0, + и — . При этом выполняются следующие ограничения: а} = 0 и ак ф ак+и к = 1,., т ~ 1.
Положим г
Я = Ц 5(т). т= 1
Это и есть полный бинарный граф с г этажами. Добавив к графу 5Г корневую вершину (пустую последовательность), получим расширенный граф 5Г. Число вершин графа Бг равно
1УГ = ЙЯ = 1 + 2 + 22 + . + 27'-1 = 2Г - 1. На множестве степенных рядов вида оо „ п=1 2 определим три оператора: сю
П=1
ОО 1 1 п—1 п=1 т—1
ОО 1 1 п п—1 ?гг=1
Эти операторы связаны соотношением
7г+ = 7г0 + 7г. (6)
Каждой вершине а полного бинарного графа поставим в соответствие степенной ряд , а именно, по индукции полагаем
Здесь а- = (аь .,аго 1)
- элемент, непосредственно предшествующий а . База индукции:
Корневой вершине по определению соответствует функция
Тогда, в силу соотношения (6) набор обобщенных полилогарифмов данного ранга г : связаны между собой невырожденным линейным преобразованием с рациональными коэффициентами. Поэтому во второй главе мы доказываем теорему 2 для функций fa, а. Е 5Г, переформулировкой которой является теорема 2*. Доказательство основано на том факте, что эти функции образуют обобщенную систему Никишина (с точностью до несущественных линейных преобразований).
8. Перейдем ко второму результату второй главы. Он состоит в оценке меры трансцендентности числа 7Г2.
Впервые существование трансцендентных чисел было доказано Ж.П.Лиувиллем на заседании Парижской академии наук 13 мая 1844 г. [64].
В 1873 г. Ш.Эрмит доказал трансцендентность числа е [11]. Выше мы уже говорили, что аппроксимации Эрмита-Паде появились именно в этой работе, как инструмент для
0 = 1 • решения данной конкретной задачи. В дальнейшем метод Эрмита становится одним из основных методов в теории трансцендентных чисел и диофантовых приближений. Более того, долгое время аппроксимации Эрмита-Паде развивались именно в рамках теории чисел.
В 1882 г. Ф.Линдеман [65] применил конструкцию Эрмита для доказательства трансцендентности числа 7Г. В частности, был получен отрицательный результат в знаменитой задаче древности о квадратуре круга.
В 1932 г. К.Малер [12] получил оценку меры трансцендентности числа 7Г. В 1953 г. [13] он продолжил свои исследования и рассмотрел значения логарифма в алгебраических точках. Метод Малера базируется на аппроксимациях Эрмита-Паде для последовательных степеней логарифмической функции.
Существенное развитие метод Эрмита получил в работах К.Л.Зигеля [14] (1929 г.). А окончательные результаты, относящиеся к, так называемым, Е-функциям (целым функциям с арифметическими ограничениями на тейлоровские коэффициенты), были получены А.Б.Шидловским [66] в 1959 г. Основной вклад в развитие метода Эрмита для С-функций (степенных рядов с конечным радиусом сходимости и арифметическими ограничениями на коэффициенты) внес А.И.Галочкин [67] (1974 г.).
Во второй главе нами доказана следующая
Теорема 3. Для любых целых рациональных чисел ац, йъ •■■> ар где р = 1,2,3,., таких, что а = шах \а^ \ > О, выполняется неравентство а0 + «17Г2 + . + артг2р| > где р)=р- 45р, а с(р) - некоторая эффективно вычислимая положительная постоянная.
Наша теорема улучшает результат К.Малера, у которого х(р) ~ е8/> • 1п /9.
Конечно же, при р —» оо правильную оценку меры трансцендентности числа 7г дает теорема Н.И.Фельдмана [68], [69] полученная методом Гельфонда, а именно: я(р) = с0р\пр.
Однако для малых значений р наша оценка лучше из-за большой константы со .
Доказательство теоремы основано на аппроксимациях Эрмит Паде первого типа, т.е. линейных формах вида
Иг,п — А),п ~Ь В\ пе\ 4- А\ п(1\ + . + Вг пег -(- АГ П(1Г1 где и п - многочлены степени не выше п , а функции е^ и dj образуют бесконечную систему Никишина, соответствующую графу
1 —> е\ —> й\ —> е2 —> а2 —> • • • . (7)
Эти функции, голоморфные и равные нулю в бесконечности, удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений: в!г(х) = -~ег(г), е'г(г) = -—-—-(¿г1(>), г = 1,2,. (¿0
Значения (¿г(1) суть суммы Эйлера:
Е =
ТГ2Г п{ п1 (2г + 1)!
1^П!<.<пг<оо 1 Г V >
Таким образом, нас интересует поведение величин ЯГ)П(1) . Поэтому изучается модификация конструкции Эрмита-Паде, содержащая помимо стандартного условия на бесконечности:
ЯР,п(г)=0(1/*гп+г), *->оо, также условие на вес:
К^п(х)=0(( 1-х)п+г), ж 1. Весовая функция определяется формулами Сохоцкого:
М^пМ = -1тЯг,п{х ~ г ' 0)) 0 < х < 1.
7Г
Предложенная нами конструкция служит обобщением аппроксимаций Ф.Бекерса [51], построенных им для графа
1 д<\ Л-ч А
1 —> е\ —> а 1, подобно тому, как линейные формы К.Малера, построенные для графа
1 Д0 Д0у 1 2 Аоч До 1 г Л0Ч 1 —> е\ —> -ет —> ■ ■ ■ —> — е —у • • • ,
2 1 г\ обобщают конструкцию аппроксимаций Паде логарифмической функции в\ , т.е. классических многочленов Лежандра.
Детальное изучение линейныхформ и приводит к доказательству теоремы.
Также теорема может быть доказана с помощью аппроксимаций Эрмита-Паде для графа несколько отличного от графа (7).
Еще один пример бесконечного линейного графа, для которого аппроксимации Эрмита-Паде хорошо изучены, дают полилогарифмы, о которых мы говорили выше:
До . Д . А Д 1 -1Л! -> 1Л2 -> 1Лз -• • • .
В 1981 г. Ф.Бекерс [51] предложил доказательство теоремы Р.Апери об иррациональности числа С(3), основанное на некоторых аппроксимациях типа Эрмита-Паде для полилогарифмов. В 1998 г. [109] мы предложили новое доказательство этого результата, основанное на аппроксимациях Эрмита-Паде для следующего графа:
Затем Д.В.Васильев [57] изучал интегралы, связанные с аппроксимациями Эрмита-Паде для несколько более общего графа:
Эти интегралы приводят к хорошим диофантовым приближениям чисел <С(3) и С(5), но к сожалению не доказывают их иррациональность.
Однако, применение леммы Ю.В.Нестеренко [70] позволяет доказать, например, следующее утверждение: среди чисел ("(3), С(5), есть бесконечно много иррациональных.
Этот результат (с количественными оценками) был получен Т.Ривоалем [53], а также независимо В.В.Зудилиным [54], [56]. При этом применялись кратные интегралы, которые представляют собой решение задачи Эрмита-Паде для графа являющиеся модификацией нашей конструкции.
Основные результаты второй главы опубликованы в работах автора [92], [93]. Другие результаты по теме второй главы опубликованы в работах автора [105]-[111].
9. В третьей главе изучаются приложения аппроксимаций Эрмита-Паде к вполне интегрируемым нелинейным динамическим системам типа цепочек Тоды и Ленгмюра.
В начале 1960-х годов японский физик теоретик Тода предложил новую модель колебания атомов в кристаллической решетке, которая впрочем хорошо описывает и другие физические процессы (см., например,[71]-[73], где имеются дальнейшие ссылки).
Мы рассмотрим лишь простейшую одномерную ситуацию. Пусть хп = £„(£) - координаты частиц, при этом
Предположим, что между соседними частицами имеется короткодействующая сила отталкивания, убывающая по экспоненциальному закону. Таким образом, на п-ю частицу действует сила, равная
Т? — р-{хп-Хп-1) -(хп+1-хп)
Согласно второму закону Ньютона получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений: которая и называется цепочкой Тоды. При I = 0 задают начальные условия: хп(0) и £п(0) ~ начальные положения частиц и их начальные скорости соответственно. Используя обозначения систему (8) можно записать в гамильтоновой форме:
При изучении таких систем появляются также их более простые аналоги, так называемые цепочки Ленгмюра: сп — сп(сп+1 - с„1). (9)
Рассмотрим одностороннюю цепочку Ленгмюра, в которой п = 0,1,2,.
Тогда помимо начальных условий сп(0) необходимо задать одно граничное условие:
Физический смысл имеют только положительные решения:
В 1975 г. Ю.Мозер [25], [74] проинтегрировал односторонние цепочки Тоды и Ленгмюра. При этом он применил метод обратной спектральной задачи. (См. также [75], [76]). хп = п е Z, (8)
С—1 = 0. сп > 0, п Е
А именно, рассмотрим симметрический оператор
А = 0 \ у/со 0 у[с\
Vc¡ 0 л/С2
V .) действующий в гильбертовом пространстве 12 . Тогда существует кососимметрический оператор В такой, что систему (9) можно переписать в виде пары Лакса:
А = [А,В]. (10)
Обозначим ¡1 спектральную меру оператора А (предполагая, что А - самосопряженный оператор). Тогда уравнение (10) приводит к следующей простейшей изоспсктральной деформации меры /х :
1 — А2^ без учета нормировки). Тем самым x(A,í) = fMe*2td/i(x,0) с учетом нормировки меры). Решая обратную спектральную задачу, т.е. восстанавливая матрицу Якоби А по известным теперь спектральным данным fi(X^t) , получаем решение цепочки Ленгмюра.
10. В 1987 г. О.И.Богоявленский [77], [78] рассмотрел и полностью решил задачу, состоящую в описании всех цепочек, допускающих пару Лакса. Типичная цепочка Богоявленского имеет следующий вид:
Сп — сп(с;г|1.сп(г Сп—1 ••■Сп—г) ■
П) где г - произвольное натуральное число.
Эти цепочки представляют собой естественное обобщение цепочки Ленгмюра. Все они являются различными дискретизациями уравнения Кортевега-де Фриза: щ = 6м • их - иххх.
По-существу, предложенный метод классификации служит алгоритмом решения конечных цепочек. Но оставалась открытой задача, состоящая в решении полубесконечных цепочек Богоявленского.
В 1994 г. В.А.Калягин [21] исследовал связь аппроксимаций Эрмита-Паде со спектральной теорией несимметричных операторов. Он показал, что матричные элементы резольвенты для ленточных операторов выражаются через совместные аппроксимации соответствующих функций Вейля. Эти исследования лежат в основе применения аппроксимаций Эрмита-Паде к решению цепочек Богоявленского. (См. также [79], [80]).
Мы предложили следующий метод решения полубесконечных цепочек Богоявленского. Итак, мы имеем бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (11) с граничными условиями
С-г = 0,. с1 = 0, и с начальными условиями, удовлетворяющими неравенствам о < сп(0) < М < п е с некоторой положительной постоянной М .
Рассмотрим действующий в гильбертовом пространстве /2 линейный оператор (имеющий г нулевых диагоналей в центре)
А =
0 а0 . . 0 й!
0 . 0
Ьо 0 . .
Ьх 0 V
О аг
О аг+1 ./ где сп+ ,
Ьп = (ст,.сп+г1)м-1. Этот оператор квазисимметрическищ т.е. п = ап ■ ■ ■ ап+г~1
Тогда существует оператор В такой, что система уравнений (11) может быть записана как пара Лакса:
А = [А,В].
Для дальнейшего применения метода обратной спектральной задачи мы построили теорию, обобщающую классическую проблему моментов Стилтьеса [22], [81], [82]. (Другие подходы см. в [83]-[86].)
Из этих исследований вытекает основной результат третьей главы. Для того, чтобы сформулировать этот результат, введем следующие обозначения. Операцию деления вектора
9 = (3(°),.,3<'-1>) на вектор необходимую для построения многомерной непрерывной дроби, определим с помощью алгоритма Эйлер а-Якоби-Перрона, см. [87]-[90]) а именно: - (д{0)'1 д{1)' ~ V ' ¿(г-1) ''"' у'
Введем следующие векторные обозначения: г л = (о,.,0,Л) ее
Сп — (^щ . , сп) £ М. , Сп — ( Сп ? Сп ? • • • ■) С-п) € К • и рассмотрим многомерную непрерывную дробь 1
К(А | с) = л с°
Л +
Сг-2
Л + . +
Сг-1
Л-л с' л-. где с = (с0,сьс2,.).
Обозначим А множество, состоящее из г + 1 лучей на комплексной плоскости, выходящих из начала координат и проходящих через корни (г + 1) - й степени из единицы. Пусть = (/«(»>,., „е-1») вектор из конечных положительных борелевских мер с общим компактным носителем на множестве А, инвариантных относительно поворотов комплексной плоскости на углы, кратные -~г. Обозначим г+1 вектор, состоящий из функций марковского типа рехр(хг+4)с//^)(а;) д
0)(Л ' ^ = К ■ I ехр(хг+Ч)(1^)(х)' д
Основным результатом третьей главы является Теорема 4.
1. Задача Когии для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений сп — . сп.1гГ сп1 . . сгаг), п £ с граничными условиями
С—г = 0,. ,с1 =0, а также положительными и ограниченными начальными условиями
0 < с„(0) ^ М, п£ Х+, имеет единственное (в классе ограниченных последовательностей) решение на всем промежутке Ь £ [0, +оо).
2. Решением служит равномерно ограниченная последовательность положительных функций
0 < с„(£) ^ МГ1 Мг = 21+1/гМ, £Е[0,+оо),
3. Существует единственная (с точностью до нормировки) векторная мера /л, такая что справедлива формула
А|*) = К(А|с(*)).
Таким образом, интегрирование цепочки Богоявленского сводится к решению прямой и обратной спектральной задачи. А именно, суммируя непрерывную дробь с известными начальными параметрами сп(0) , т.е. решая прямую спектральную задачу, мы получаем спектральную меру ¡i (в нулевой момент времени). Раскладывая затем вектор /(A|¿) в непрерывную дробь, т.е. решая обратную спектральную задачу, мы находим параметры дроби cn(t) в произвольный момент времени t .
Основные результаты третьей главы опубликованы в работе автора [94]. Другие результаты по теме третьей главы опубликованы в работах автора [112],[113].
В заключение отмстим, что в каждом разделе диссертации используются локальные обозначения и локальная нумерация формул.
1. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М.:Мир, 1986.
2. De Montessus de Ballore R. Sur les fractions continues algébriques // Bull. Soc. Math. France. 1902. V.30. P.28-36.
3. Hadamard J. Essai sur L'etude des fonctions donnees parleur développement de Taylor // J. Math. 1892. V.8. N4. P.101-186.
4. Гончар A.A. Полюсы строк таблицы Паде и мероморф-ное продолжение функций // Матем. сб. 1981. Т.115(157). N4. С.590-613.
5. Гончар А. А. О сходимости аппроксимаций Паде для некоторых классов мероморфных функций // Матем. сб. 1975. Т.97(139). N4. С.607-629.
6. Рахманов Е.А. О сходимости диагональных аппроксимаций Паде // Матем. сб. 1977. Т.104(146). N2. С.271-291.
7. Вавилов В.В. О сходимости аппроксимаций Паде мероморфных функций // Матем. сб. 1976. Т.101(143). С.44-56.
8. Суетин С.П. Об одной обратной задаче для m й строки таблицы Паде // Матем. сб. 1984. Т.124(166). N2. С.238-250.
9. Суетин С. П. О равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде для гиперэллиптических функций // Матем. сб. 2000. Т.191. N9. С.81-114.
10. Stahl Я. Orthogonal polynomials with complex valued weight function // Constr. Approx. 1986. V.2. P.225-240; 241-251.
11. Hermite C. Sur la fonction exponentielle // C.R. Acad. Sei. Paris. Ser. I. Math. 1873. V.77. P.18-24; 74-79; 226-233; 285293.
12. Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunktion und des Logarithmus // J. Reine Angew. Math. 1932. V.166. P.118-150.
13. Mahler K. On the approximation of logarithms of algebraic numbers // Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. 1953. V.245. P.371-398.
14. Siegel C.L. Uber einige Anwendungen diophantischer Approximationen // Abh. Preuss.Wiss.Phys.-Math. Kl. 1929. N1. P.l-70.
15. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987.
16. Фельдман Н.И. Об одной линейной форме // Acta Arithmetica. 1972. Т. XXI. С.347-355.
17. Chudnovsky G. V. Pade approximations to the generalized hypergeometric functions //J. Math. Pures Appl. 1979. V.58. P.445-476.
18. Никишин Е.М. О логарифмах натуральных чисел // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. Т.43. С.1319-1327; 1980. Т.44. С.972.
19. Никишин Е.М. Об иррациональности значений F(x, s) // Матем. сб. 1979. Т.109(151). С.410-417.
20. Нестеренко Ю.В. Приближения Эрмита-Паде обобщенных гипергеометрических функций // Матем. сб. 1994. Т.185. N10. С.39-72.
21. Калягин В.А. Аппроксимации Эрмита-Паде и спектральная теория несимметричных разностных операторов // Матем. сб. 1994. Т.185. N6. С.79-100.
22. Стилтъес Т. Исследования о непрерывных дробях. Харьков, 1937.
23. Чебышев П.Л. Полное собрание соченений. Т. III. М. Изд-во АН СССР, 1948.
24. Марков А.А. Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля. М.: Гостехиздат, 1948.
25. Moser J.K. Three integrable Hamiltonian systems connected with isospectral deformations // Adv. Math. 1975. V.16. P.197-220.
26. Гончар А.А., Рахманов E.A. О сходимости аппроксимаций Паде для ситемы функий марковского типа // Труды МИАН. 1981. Т.157. С.31-48.
27. Никишин Е.М. О совместных аппроксимациях Паде // Матем. сб. 1980. Т.113(155). N4. С.499-519.
28. Mahler К. Perfect systems // Compositio Math. 1968. V.19. N2. P.95-166.
29. Angelesco M.A. Sur deux extensions des fractions continues algebriques // C.R. Acad. Sei. Paris. 1919. V.168. P.262-263.
30. Никишин Е.М. О системе марковских функций // Вестн. МГУ. Сер.1. Матем., механ. 1979.N4. С.60-63.
31. Калягин В.А. Об одном классе полиномов, определяемых двумя соотношениями ортогональности // Матем. сб. 1979. Т.110(152). С.609-627.
32. Аптекарев А.И. Асимптотика многочленов совместной ортогональности в случае Анжелеско // Матем. сб. 1988. Т.136. С.56-84.
33. Никишин Е.М. Об асимптотике линейных форм для совместных аппроксимаций Паде // Изв. вузов. Матем. 1986. N2. С.33-41.
34. Бустаманте Ж., Лопес Г. Лагомасино. Аппроксимации Эрмита-Паде для систем Никишина аналитических функций // Матем. сб. 1992. T.183.N2. С.117-138.
35. Bustamante J. Asymptotics for Angelesko-Nikishin systems //J. Approx. Theory. 1996. V.85. P.43-68.
36. Driver К., Stahl H. Simultaneous rational approximants to Nikishin systems // Acta Sci. Math. 1995. V.61. P.261-284.
37. Аптекарев А.И. Сильная асимптотика многочленов совместной ортогональности для систем Никишина // Ма-тем. сб. 1999. Т.190. N5. С.3-44.
38. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966.
39. Гончар А.А., Рахманов Е.А. О задаче равновесия для векторных потенциалов // УМН. 1985. Т.40. N4. С.155-156.
40. Гончар А.А., Рахманов Е.А. Равновесная мера и распределение нулей экстремальных многочленов // Матем. сб. 1984. Т.125(167). С.117-127.
41. Гончар А.А., Рахманов Е.А. Равновесные распределения и скорость рациональной аппроксимации аналитических функций // Матем. сб. 1987. Т.134(176). С.306-352.
42. Apery R. Irrationalité de ((2) et ((3) // Asterisque. 1979. V.61. P.ll-13.
43. Van der Porten A. A proof that Euler missed . Apery's proof of the irrationality of £(3) . An informal report // Math. Intelligencer. 1979. V.l. N4. P.195-203.
44. Cohen H. Demonstration de l'irrationalité de ("(3) (d'après R.Apery) // Seminaire de Theorie des Nombres. Grenoble, 1978.
45. Reyssat E. Irrationalité de £(3) , selon Apery // Séminaire de Theorie des Nombres. Delonge-Pisot-Poitou. 1978/79. Fasc.l. exp.6. 1980.
46. Еутник Л.A. Об иррациональности некоторых величин, содержащих £(3) // Acta Arith. 1983. V.42. N3. Р.255-264.
47. Hata M. A new irrationality measure for £(3) // Acta Arith. 2000. V.92. N1. P.47-57.
48. Prévost M. A new proof of the irrationality of £(2) and ("(3) , using Pade approximants // J. Comput. Appl. Math. 1996. V.67. N2. P.219-235.
49. Нестеренко Ю.В. Некоторые замечания о ("(3) // Ma-тем. заметки. 1996. Т.59. N6. С.865-880.
50. Beukers F. A note on the irrationality of ((2) and £(3) // Bull. London Math. Soc. 1979. V.ll. P.268-272.
51. Beukers F. Pade approximations in number theory // Lecture Notes in Math. 1981. V.888. P.90-99.
52. Rhin G., Viola С. The group structure for £(3) // Acta Arith. 2001. V.97. N3. P.269-293.
53. Rivoal T. La fonction zeta de Riernann prend une infinite de valeurs irrationnelles aux entiers impaires // C.R.Acad.Sci. Paris. Ser.I. Math. 2000. V.331. N4. P.267-270.
54. Зудилин В. В. Об иррациональности значений дзета-функции в нечетных точках // УМН. 2001. Т.56. N2. С.215-216.
55. Zudilin W. Apery-like difference equation for Catalan's constant // E-print math. NT/0201024. 18 January. 2002.
56. Зудилин В.В. Одно из чисел С (5), С(7), С(9),СЩ) иррационально // УМН. 2001. Т.56. N4. С.149-150.
57. Vasilyev D. V. On small linears forms for the values of the Riemann zeta-function at odd integers / Preprint N1(558). March. 2001. Minsk. National Academy of Sciences of Belorus. Institute of Mathematics. P.16.
58. Марков A.A. Memoire sur la transformation des series convergentes en series tres convergentes // Mem. Acad.Sci.Petersbourg. (7). 1890. V.37. N9. P.l-18.
59. Markoff A. Sur les series ^ p" • Extrait d'une lettre adressee a M.Hermite // C.R.Acad.Sci.Paris. 1889. V.100. P.934-935.
60. Ogigova H. Les lettres de Ch.Hermite a A.Markoff, 18851899 // Rev. Hist. Sci. Appl. 1967. V.20. P.l-32.
61. Гутник JI.А. О линейной независимости над Q дило-гарифмов в рациональных точках // УМН. 1982. Т.37. N5. С.179-180.
62. Minh H.N., Petitot М. Lyndon words, polylogarithms and Riemann ( function // Discrete Math. 2000. V.217. N1-3. P.273-292.
63. Minh H.N., Petitot M., Van Der Hoeven J. Shuffle algebra and polylogarithms / Preprint. 1998. Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (Toronto, June, 1998).
64. Liouville J. Sur des classes tres etendues de quantités dont la valeur n'est ni algebrique, ni meme réductible a des irrationelles algebriques // C.R. Acad. Sei. Paris. 1844. V.18. P.883-885.
65. Lindemann F. Ueber die Zahl тг // Math. Ann. 1882. V.20. P.213-225.
66. Шидловский А.Б. О критерии алгебраической независимости значений одного класса целых функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. Т.23. С.35-66.
67. Галочкин А.И. Оценки снизу линейных форм от значений некоторых G-функций // Матем. заметки. 1975. Т.18. N4. С.541-552.
68. Фельдман Н.И. О мере трансцендентности числа тг // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1960. Т.24. N3. С.357-368.
69. Нестеренко Ю.В. О числе тг // Вестник МГУ. Сер.1. Матем., механ. 1987. N3. С.7-10.
70. Нестеренко Ю.В. О линейной независимости чисел // Вестник МГУ. Сер.1. Матем., механ. 1985. N1. С.46-54.
71. Olshanetsky M., Perelomov A. Explicit solutions of the classical generalized Toda model // Invent. Math. 1979. V.54. P.261-269.
72. Konstant В. The solution to a generalized Toda lattice and representation theory // Adv. Math. 1979. V.34. P.195-338.
73. Kac M.} Van Moerbeke P. On an explicitly soluble system of nonlinear differential equations related to certain Toda lattice // Adv. Math. 1975. V.16. P.160-169.
74. Мозер Ю. Некоторые аспекты интегрируемых гамиль-тоновых систем // УМН. 1981. Т.36, вып.5. С.109-151.
75. Никишин Е.М. Дискретный оператор Штурма-Лиувилля и некоторые задачи теории функицй // Тр. семинара им. И.Г.Петровского. 1984. Вып.10. С.3-77.
76. Аптекарев А.И., Никишин Е.М. Задача рассеяния для дискретного оператора Штурма-Лиувилля // Матем. сб. 1983. Т.121(163). С.327-358.
77. Богоявленский О.И. Некоторые конструкции интегрируемых динамических систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1987. Т.51. N5. С.737-766.
78. Богоявленский О.И. Интегрируемые динамические системы, связанные с уравнением КдФ // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1987. Т.51. N6. С.1123-1141.
79. Aptekarev A., Kaliaguine V., Van Assche W. Criterion for the resolvent set of nonsymmetric tridiagonal operators // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. V.123. P.2423-2430.
80. Kaliaguine V.A. The operator moment problem, vector continued fractions and explicit form of the Favard theorem for vector orthogonal polynomials // J. Comput. Appl. Math. 1995. V.65. P.181-193.
81. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов. М.: Физматгиз, 1961.
82. Simon В. The classical moment problem as a self-adjoint finite difference operator // Adv. Math. 1998. V.137. N1. P.82-203.
83. Осипов А. С. Дискретный аналог уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ): интегрирование методом обратной задачи // Матем. заметки. 1994. Т.56. N6. С.141-144.
84. Юрко В.А. Об интегрировании нелинейных динамических систем методом обратной спектральной задачи // Матем. заметки. 1995. Т.57. N6. С.945-949.
85. Aptekarev A., Kaliaguine V., Van Iseghem J. Genetic sum's representation for the moments of system of Stiltjes functions and its application // Constr. Approx. 2000. V.16. P.487-524.
86. Beckermann В., Castro Smirnova M., Kaliaguine V. A recurrence relation connected to the convergence of vector S-fractions // East J. Approx. 2001. V.7. P.287-313.
87. Euleri L. De relatione inter ternas pluresve quantitates in-stituenda // Leonardi Euleri Comentationes aricchmeticae col-lectue. T.2. С.Пб., 1849. C.99.
88. Bernstein L. The Jacobi-Perron Algorithm // Lecture Notes in Math. V.207. Springer Verlag. Berlin. 1971.
89. De Bruin M.G. Convergence of generalized C-fractions // J.Approx. Theory. 1978. V.24. P.177-207.
90. Парусников В. И. Алгоритм Якоби-Перрона и совместные приближения функций // Матем. сб. 1981. Т.114. N2. С.322-333.Публикации автора
91. Сорокин В.Н. Аппроксимации Эрмита-Паде полилогарифмов// Изв.вузов.Матем.1994^5. С.49-59.
92. Сорокин В.Н. О линейной независимости значений обобщенных полилогарифмов// Матем. сборник. 2001. Т.192. N8. С. 139-154.
93. Сорокин В.Н. О мере трансцендентности числа 7г2 // Матем. сборник. 1996. Т.187. N12. С.87-120.
94. Сорокин В.Н. Вполне интегрируемые нелинейные динамические системы типа цепочек Ленгмюра// Матем. за-метки.1997.Т.62. N4. С.588-602.
95. Сорокин В.Н. Асимптотическое поведение линейных форм с полиномиальными коэффициентами для некоторых функций стилтьесовского типа// Сибирский матем. журнал. 1986. N1. С.154-169.
96. Сорокин В.Н. Обобщение классических ортогональных многочленов и сходимость совместных аппроксимаций Паде// Труды семинара им. И.Г.Петровского. Вып.11. Изд-во МГУ. 1986. С.125-165.
97. Сорокин В.Н. Сходимость совместных аппроксимаций Паде для одного класса функций// Матем. сборник. 1987. Т.132. С.391-402.
98. Сорокин В.Н. Сходимость совместных аппроксимаций Паде к функциям стилтьесовского типа// Известия вузов. Математика. 1987. N7. С.48-56.
99. Сорокин В.Н. О совместных аппроксимациях Паде функций стилтьесовского типа// Сибирский матем. журнал. 1990. Т.31. N5. С.128-137.
100. Sorokin V.N. Convergence of simultaneous Pade approx-imantsto two dilogarithms// Analysis Mathematica. 1990. T.16, f.3. P.203-214.
101. Сорокин В.Н. О совместных двухточечных аппроксимациях Паде марковских функций// Украинский матем. журнал. 1991. Т.43. N4. С.584-588.
102. Сорокин В.Н. Аппроксимации Эрмита-Паде последовательных степеней логарифма и их арифметические приложения// Известия вузов. Математика. 1991. N11. С.66-74.
103. Сорокин В.Н. Асимптотическое поведение матричных аппроксимаций Эрмита-Паде для функций стилтьесовского типа// Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Матем. Механ. 1996. N3. С.29-32.
104. Гончар A.A., Рахманов Е.А., Сорокин В.Н. Об аппроксимациях Эрмита-Паде для систем функций марковского типа// Матем. сб. 1997. Т.188. N5. С.33-58.
105. Сорокин В.Н. Об иррациональности значений гипергеометрических функций//Матем. сб. 1985. Т.127. N2. С.245-258.
106. Сорокин В.Н. О линейной независимости логарифмов некоторых рациональных чисел// Матем. заметки. 1989. Т.46. N3. С.74-79.
107. Сорокин В.Н. Арифметические свойства значений функций, связанных с L -функциями Дирихле// Матем. заметки. 1992. Т.52. N1. С.118-125.
108. Сорокин В.Н. Аппроксимации Эрмита-Паде для систем Никишина и иррациональность £(3)// Успехи матем. наук. 1994. Т.49. N2. С.167-168.
109. Сорокин В.Н. О теореме Апери// Вестник Моск. унта. Сер.1. Матем.Механ. 1998. N3. С.48-53.
110. Сорокин В.Н. Циклические графы и теорема Апери// УМН. 2002. Т.57, вып.3(345). С.99-134.
111. Сорокин В.Н. Об одном алгоритме быстрого вычисления 7г4// Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша. 2002.
112. Сорокин В.Н. Совместные многочлены Полачека// Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Матем.Механ. 1997. N2. С.5-9.
113. Sorokin V.N., Van Iseghem J. Matrix Hermite-Pade problem and dynamical systems// Journal of Comput. and Appl. Math. 2000. V.122. P.275-295.
114. Никишин E.M., Сорокин B.H. Рациональные аппроксимации и ортогональность/ М.: Наука. 1988. С. 1-256.
