Диофантовы приближения некоторых логарифмов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Золотухина Екатерина Сергеевна

ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЛОГАРИФМОВ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

4

Москва - 2009

003470694

Работа выполнена на кафедре "Высшая математика" факультета информационных технологий Брянского государственного технического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Салихов Владислав Хасанович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Матвеев Евгений Михайлович

кандидат физико-математических наук Злобин Сергей Алексеевич

Ведущая организация: Московский государственный университет

имени М. В. Ломоносова

Защита диссертации состоится 15 июня 2009 г. в т£> ' ч. на заседании диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1

Автореферат разослан " 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ^и^/* Муравьева О. В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Настоящая диссертация посвящена получению новых оценок снизу приближений некоторых логарифмов рациональными числами и квадратичными иррациональностями.

Напомним, что показателем иррациональности или мерой иррациональности /1(7) вещественного числа 7 называется нижняя грань множества чисел Л, для которых, начиная с некоторого положительного ц > <70(А), выполняется неравенство

Аналогичным образом может быть определена оценка снизу для приближения числа 7 квадратичными иррациональностями. В этом случае указанное выше неравенство примет вид

где Pi, Р2, Рз, Pi 6 Z, (Р3,Р4) ф (0,0), Р = max(|pi|,|p2|,|p3|>4|), Р > Р0{Х), d<=N, N.

Современное состояние теории диофантовых приближений в той части, которая имеет отношение к данному исследованию, определяется работами Ф. Аморозо и К. Виола1, К. Ваананена, А. Хеймонена и Т. Матала-ахо2-3, Д. Рина4, Е. А. Рухадзе5, М. Хата6-8, М. Хуттнера9, Г. В. Чудновского10 и

Amoroso F., Viola С. Approximation measures for logarithms of algebraic numbers // Ann. Scuola normale superiore (Pisa). - 2001. - Vol. XXX. - P. 225-243.

3Heimonen A., Matala-aho T., Vàân&nen К. On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function // Manuscripta Math. - 1993. - Vol. 81. - P. 183-202.

3Heimonen A., Matala-aho T., Vàânimen К. An application of Jacobi type polynomials to irrationality measures // Bull. Austral. Math. Soc. - 1994. - Vol. 50, № 2. - P. 225-243.

4Rhin G. Approximants de Padé et mesures effectives d'irrationalité // Progr. in Math. - 1987. - Vol. 71.

- P. 155-164.

'Рухадае E. A. Оценка снизу приближения In 2 рациональными числами // Вестник Московского университета. Сер.1, Математика, механика. - 1987. - № 6. - С. 25-29.

6Hata M. Legendre type polynomials and irrationality measures // J. Reine Angew. Math. - 1990. -Vol. 407, № 1. - P. 99-125.

7Hata M. Rational approximations to jt and some other numbers // Acta Arith. - 1993. - Vol. 63, У> 4.

- P. 335-349.

8Hata M. Irrationality measures of the values of hypergeometric functions // Acta Arith. - 1992. -Vol. LX. - P. 335-347.

"Huttner M. Irrationalité de certaines intégrales hypergéométriques // J. Number Theory. - 1987. -Vol. 26. - P. 166-178.

7 - - > q~\ P € Z, q Ç N. Я

piVd + P2

>P~\

P3\Zd + pi

других. В трудах этих авторов рассматривались интегральные конструкции, дающие малые линейные формы от логарифмов и других чисел.

Улучшение результатов в данной работе связано с применением новой конструкции интеграла, а именно, со свойством симметрии, которым обладает подынтегральная функция. Впервые подобный интеграл был рассмотрен В. X. Салиховым11-12 при получении наилучшей на данный момент оценки меры иррациональности числа log 3, а затем и числа тг. Следует отметить, что использование комплексного симметризованного интеграла Е. Б. Томашевской13-14 также привело к установлению ряда новых оценок. Интересная конструкция симметризованного интеграла представлена в работе К. Виола и В. В. Зудилина15.

Цель работы

Цель настоящей работы - получить новые оценки снизу приближений некоторых логарифмов рациональными числами и квадратичными иррацио-нальностями.

Научная новизна работы

i

В диссертации получены следующие результаты:

1. Усилены ранее известные результаты о мерах иррациональности чисел log(5/3), log(8/5), 4/51og((\/5.+ l)/(v/5-l)), у/Ъlog (2 + УЗ), \/21og((24/2+l)/(2v/2-l)).

2. Построены совместные диофантовы приближения логарифмов чисел 4/3 и 6/5.

3. Получены новые оценки снизу приближений log (к/(к — 2)) числами из поля Q - 2)) № 6 N, к > 4), log ((лМ2 4- 1 - 1) /2к) числами из поля Q (\/4к2 + 1) (к £ N). В частности, усилены оценки порядка аппроксимации log 2 числами из поля Q (%/2), log (5/4) числами

!uChudnovsky G. V. Hermite-Padé approximations to exponential functions and elementary estimates of the measure of irrationality of it // Lecture Notes in Mathematics. - 1982. - Vol. 925. - P. 299-322.

пСалихов В. X. О мере иррациональности 1пЗ // Доклады Академии паук. - 2007. - Том 417, № 6. - С. 753-755.

1гСалихов В. X. О мере иррациональности числа тг // Успехи математических наук. - 2008. - Том 63, № 3. - С. 163-164.

13Томашеш:каи К. Б. О диофаитовых приближениях числа 7т числами из поля Q(\/3) // Математические заметки. - 2008. - Том 83, № 6. - С. 912-922.

14Томашсвская Е. Б. О мере иррациональности числа log 5 + | и некоторых других чисел // Чебы-шевский сборник. - 2007. - Том 8, № 2. - С. 97-108.

15 Viola С., Zudilin W. Hypergeometric transformations of linear forms in one logarithm // Fund- Approx. Comment. Math. - 2008. - Vol. 39, № 2. - P. 211-222.

из поля Q (\/5), log (4/3) числами из поля Q (\/3), log (3/2) числами из ноля Q (\/б).

Основные методы исследования

В работе используются такие асимптотические методы, как метод перевала, теорема Лапласа, а также основные идеи метода Чудновского-Рухадзе-Хата "сокращения простых чисел", в основе которых в данном случае лежит использование свойств гипергеометрической функции Гаусса.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны специалистам, изучающим иррациональность чисел, свойства гипергеометрической функции и гипергеометрических интегралов; при разработке новых спецкурсов по теории диофантовых приближений.

Апробация диссертации

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на международной конференции "Диофантовы и аналитические проблемы теории чисел", посвященной 100-летию А. О. Гельфонда (Россия, г. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 29 января - 2 февраля 2007 г.) и научно-исследовательском семинаре по теории чисел механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (16 ноября 200Г г.), проходившем под руководством проф. Карацуба A.A., проф. Мощевитина Н.Г., чл.-корр. РАН Нестеренко Ю.В.

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приводится в конце автореферата [1] - [4].

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из 4 глав (первая из которых является введением), библиографии (39 наименований) и приложения. Главы разбиты на разделы. Общий объем диссертации составляет 100 страниц.

Краткое содержание диссертации

1. Содержание главы 1

В первой главе, которая является введением, изложен а краткая история исследуемого вопроса, показана актуальность темы и сформулированы основные результаты диссертации. Рассмотрим интеграл

I(a, Ь, с; a,ß)= J

а+в

{х-(а- ß))an((a + ß)~ х)ап{х - а)2Ьп

хт+1(2а - з:)от+1

а+з

dx

= I R{x)dx, (1)

где п € N, п —> оо, а, Ь, с € N, а + Ь - с > 0, а, ß еШ.

Подынтегральная функция R(x) обладает свойством симметрии

R{x) = R{2а - х).

С помощью замены х = а + ß\ft интеграл (1) приводится к виду:

/(а,b,с;а,ß) = Pn 9 / —-1 > ..dt. (2)

Ч1 wV

Имеет место равенство

Г ((а + b)n +1) д

— - -I(a,b,c;a,ß),

ß2(a+b)n+ir(bn+i) Г(ап + 1)

где F{a,b\c\z) - гипергеометрическая функция Гаусса (а, b, с, z € С). Напомним, что

13^ 1, 1+2

Таким образом, интеграл (1) может быть представлен через гипергеометрическую функцию с полуцелыми параметрами. Все рассматриваемые далее числа являются значениями этой функции.

Следующий интеграл

/(а, Ь, с, d; v, w; а, ß, 7)

" J xdn+i (2a — x)dn+1 (3)

v

где a, b, с, d £ N, a, ß, 7, v, w € R, представляет собой модификацию интеграла (1). Его подынтегральная функция также является симметри-зованной.

Интегралы (1) и (3) представимы в виде линейных форм от 1 и log у (у & R, у > 0, у ф 1), обладающих "хорошими" арифметическими свойствами. Получение всех результатов данной работы связано с использованием этих интегралов.

Ключевое значение в диссертации играют три леммы. Первая из них доказана в статье М. Хата6.

Пусть n € N, 7 € К иррационально, ln ~ дп7 + рп, где рп, дп £ Z.

Лемма 1. 'Пусть lim -log|in| = -6, 5> 0, lirn sup — log |gn| < т, тогда

п->ос П n-too ГС

мЫ < 1 + \

Заметим, что более сильный вариант этой леммы был доказан ранее Л. В. Даниловым16, но в ходе дальнейших рассуждений удобно использовать лемму 1.

Пусть далее 9h 02 6 R, е„ = Q„01 + РП1, 6п = Qnd2 + РПг, где Qn, Рщ, Рпг 6 Z.

Лемма 2. Пусть lim ilogleJ = lim — loglJJ = —r2, гдетх, т2 > О,

n-»oo П n->00 Tl

T\ < r2, lim sup-

n—»00 ft

fi > H > Щ{ц). Тогда т\

r2, lim sup —log|<5n| < A; Pu P2, Q € Z, Я = max(|Q|, |Pi], |P2|),

| Р1Ох + Р2в2 + <Э\>

Данная лемма доказана в работе М. Хата7. Пусть теперь с( € М, 0 е К, ^ N.

Ьп = (Аг(п)\Ъ + Л2(п))0 + Л3(п)\/а + Л4(п),

'"Данилов Л. В. Рациональные приближения некоторых функций в рациональных точках // Математические заметки. - 1978. - Том 24, № 4. - С. 449-458.

где все Л;(п) е Z, не все Л¡(п) = 0. Лемма 3. Пусть

lim i log ¡Ai(«)>/5 + Лг(та) = 7i, lim sup-log max |Л, (га) | < 72,

lim - log \LnI

n—too n

~7з, 73 > 72, 7i + 72 > о, M >

1<!<4

2(71 + 7з)

73 ~ 72

Рь P2, Рз, Pi e Z, (P3,P4) ^ (0,0), P = max(|pi|, |p2|, Ьз|, Ы).-Р > Ро(м). Тогда

p\Vd + p2

p3Vd + pi

> Г-".

Доказательство последней леммы приводится в разделе 3.1 настоящей работы. Ее частный случай рассмотрен в статье В. X. Салихова и Е. С. Сальниковой 17. Следует отметить, что близкие по содержанию леммы были доказаны в работах Ф. Аморозо и К. Виола1 и Г. В. Чудновского10. 2. Содержание главы 2

В 1987 г. Е. А. Рухадзе5 была получена оценка показателя иррациональности числа log 2, являющаяся наилучшей более 20 лет. В основе доказательства лежало изучение свойств интегралов вида

/■A-iM - тЛс-ь-1

-dx.

(4)

Выбор 2 = -1, 6 = 7п + 1, а = 6п + 1, с = 14га + 2 (гг € —► оо) позволил Е. А. Рухадзе доказать следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть р > 3.8913..., р, <7 € N. <7 > где ?оМ - достаточно большое число. Тогда

log 2 — -

>9"

Автору стало известно, что недавно данный результат был улучшен

Р. Марковсччио и составил ц(log 2) < 3.5745____

В разделе 2.1 настоящей работы будет рассмотрен новый подход к получению приведенной в теореме 1 оценки, основанный на свойствах интеграла

17Салихов В. X., С&аьникова Е. С. Диофантовы приближения логарифма "золотого сечения" // Вестник Брянского государственного технического университета. - 2007. - № 1. - С. 111-119.

(1). Подробное доказательство этой теоремы будет приведено с целыо демонстрации основных идей метода, которые далее используются в других теоремах.

Результат теоремы 1 может быть получен при выборе в интеграле (1) а = 3, 0 = 1, а — 3, 6 = 4, с = 4. В целом, при выборе некоторых а, /3 Е N интеграл (1) позволяет находить оценки для показателей иррациональности логарифмов рациональных чисел. При этом в большинстве случаев наилучший результат может быть получен при условии Ь = с. Тогда он совпадает с оценками, найденными ранее другими авторами, которые для доказательства использовали гипергеометрическую функцию с целыми параметрами в отличие от полуцелого варианта данной работы. Результат теоремы i относится именно к этому случаю. Другими примерами подобных оценок могут служить результаты, полученные К. Ваананеном, А. Хеймоненом и Т. Матала-ахо2:

1)/i(log (3/2)) < 3.3317____Эта оценка может быть подтверждена с помощью интеграла (1) с параметрами q = 5, /3=1, а = 6, 6 = 7, с = 7.

2) /i(log (4/3)) < 3.1105____В этом случае в (1) следует положить а = 7,

/3=1, а = 8, 6 = 9, с = 9.

3) /i(log (8/5)) < 53.8149 — Здесь для доказательства выбираем а = 13, /3 = 3, а = 16, 6 = 15, с =15.

Напомним, что во всех рассмотренных примерах Ь = с. Именно в этом случае интеграл с полуцелыми параметрами вида (2) сводится к подобному интегралу с целыми параметрами. В качестве примера в разделе 2.1 рассматривается такой переход к интегралу Е. А. Рухадзе (4). Здесь также показаны случаи, когда его осуществить не удается, то есть когда наилучший результат может быть найден не из условия 6 = с на параметры интеграла (1). Именно тогда происходит улучшение оценок указанных авторов.

Так в работе К. Ваанаиена, А. Хеймонена и Т. Матала-ахо2 было доказано: jti(Iog (5/3)) < 9.7551.... Полагая в интеграле (1) а = 4, ¡} — 1, а = 18, 6 = 39, с = 20, имеем

Этот результат получен из соотношения 26 — Зс = а на параметры интеграла (1). Оно было найдено благодаря использованию двух разложений подынтегральной функции Л(х) интеграла (1) (более подробно этот вопрос рассматривается в разделе 2.2). Отметим, что получение В. X. Салиховым новой оценки для меры иррациональности числа 7г также было связано с применением аналогичной идеи.

Другим подобным примером служит оценка: А' (1ое< 3.6455....

Она может быть получена при выборе в (1) а — 8, /3 = 1, а = 55, Ь = 89, с = 53. Здесь параметры связаны условием 36 — 4с = а.

Автору стало известно, что использование комплексного симметризо-ванного интеграла Е. Б. Томашевской привело к улучшению результата для к^(5/3): ¿¿(к^(5/3)) < 5.512..., но дало несколько худшую оценку в случае 1оё(9/7): (9/7)) < 4.579....

Два последних рассмотренных результата данной работы являются частными случаями следующей теоремы.

Теорема 2. Пусть к € М, к > 2, числа р, д, <?о(/') определены как в теореме 1. Тогда существует такое число р,о(к) £ К+, что для любого ц > ¿¿о (к) справедливо неравенство

2* + 1 р 2к — 1 9

Ее доказательство приводится в части 2, где также в разделе 2.3 доказывается

Теорема 3. Пусть ¡1 > 7.2173..., числа р, <7, ф(ц) определены как в теореме 1. Тогда справедливо неравенство

, 8 р 5 д

>4

-м

Улучшение оценки в данном случае по сравнению с уже указанным ранее результатом /Д^(8/5)) < 53.8149... связано с использованием при доказательстве интеграла (3) с параметрами а — 77, /3 = 11, 7 = 7, V = 66, ги = 84, а = 2, Ь = 2, с = 1, й = 3. Полагая в (3) а = 18, Р = 3, 7 = 2, V = 15, ад = 20, а = 6, 6 = 5, с = 3, с? = 6, получаем другой результат.

Теорема 4. Пусть ц > 8.3224..., числа р, 9, до(^) определены как в теореме 1. Тогда

и 7 Р

\Og-r--

4 q

>4

С помощью интеграла (3) с параметрами а = 77, р — 11, 7 = 7, V = 77, ъи = {84,88}, а = 7, 6 = 7, с = 4, с! = 11 также могут быть построены совместные приближения логарифмов чисел 4/3 и 6/5.

Теорема 5. Пусть /¿> 8.6382..., числа ро, Р\, Р2 € Р = тах(|ро|: |Р1| I |Рг|), Р > Ро(^), где Ро(р) ~ достаточно большое число. Тогда

4 6

р0+Р1^-+р21оЕ- > Р о 5

Эта теорема доказывается в разделе 2.4. Отметим также, что совместные приближения логарифмов рациональных чисел рассматривались в работах Д. Рина4, К. Ву18. 3. Содержание главы 3

В главе 3 будут получены оценки снизу аппроксимаций некоторых логарифмов квадратичными иррациональностями. Это достаточно новое направление в теории диофантовых приближений. Первые результаты в этой области принадлежат Ф. Аморозо и К. Виола1.

Полагая в интеграле (1) а — 1, (3 = у/к ^/к — л/к — — 1, к 6 N. к > 4, мы можем найти подобные оценки для логарифмов рациональных чисел. Расчеты, проведенные на компьютере, показали, что наилучшие результаты при таком выборе параметров а и (3 могут быть получены при условии (а + Ь)/с = 3/2.

Пусть далее числа р\, рг, рз, Р4, Р, Ро{р) определены как в лемме 3. Справедлива следующая 4

Теорема 6. Пусть к 6 . к > 4. Тогда существует такое число

..-П.Л г- ТП>+ ____Д-., ___г._____ - ., ПЛ ....______________________

ру^ау с лъ , паи шьл лыииси р. х р-О^У имеет лгсеиш псунаспстои

log

k~ 2

Р1^Д{к-2)+Р2

Ргл/к(к - 2) +р4

>

Ее доказательство приводится в разделе 3.2.

Частный случай при к = 5, а = 71, 6 = 40, с = 74 позволяет получить оценку снизу приближения числа к^(5/3) числами из поля

j 5 _ р1у/15 + р2 3 p3V^5 + p4

> Р

1-32.5131.,

Несколько иначе может быть найден результат для к = А. Этот частный случай рассматривается в разделе 3.2 в виде отдельной теоремы.

18 Wu Q. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers // Math. Comput. - 2002. - Vol. 72, № 242. - P. 901-911.

Теорема 7. Пусть ц > 9.3070____ Тогда справедливо неравенство

Рх\/2 + Р2

> Р-

Рз\/2 + Р4

Для доказательства в интеграле (1) следует положить а = 24, Ь — 9, с = 22. Заметим, что в работе Ф. Аморозо и К. Виола1 был получен аналогичный результат для /г > 12.4288.

Теорема 7 относится к случаю к = 2(I2 +1), I € N. В целом, при к — 2т (т е К) в теореме 6 оценка для коэффициентов линейных форм может быть проведена несколько иначе, чем представленная при доказательстве этой теоремы. В разделе 3.2 рассматриваются некоторые подобные примеры.

Теорема 8. Пусть т € N. Тогда существует такое число цо(к) € что для любого р > ро(к):

1) в случае т = I2 + 1, I € N справедливо неравенство

Р1\/тп + Р2

Ья-

т

' т- 1 рз\/т + р4 2) при ш = I2,1 е N. I > 2 выполняется

тп р\\/т -1 + р2

> Р "Л

Ья-

'т —1 рз\/тп — 1 +р4 если ш = 2/ + 1, I £ N - нечетное, тогда

Р1у/т(т- 1)+рг

Ья-

то

т ■

1 рЗЛ/т{т- 1) +р4

> Р"''.

В частности, при т = 5 и выборе параметров в интеграле (1) а = 12, 6 = 9, с = 14 имеем оценку вида р > 7.4448..., то есть справедливо неравенство

^ 5 _ р\ у/5 + Р2

4 Рзу/5 + Р\

>Р

-7.4448...

В работе Ф. Аморозо и К. Виола1 аналогичный результат составил р > 9.0645.

При т = 4, а ~ 19, Ь = 14, с = 22 имеет место неравенство

4 Р1\/3 + Р2

'3 р3\/3+Р4

>Р

-7.6132...

В работе Ф. Аморозо и К. Виола1 была получена оценка (г > 10.0343. При т = 3, а = 11, Ь = 7, с = 12 получим

1о£3 __ Р1-/6+Р2 2 Рз\/б +

> Р

-8.0143...

В работе Ф. Аморозо и К. Виола1: ц > 12.1383.

Улучшение результатов связано с возможностью более свободного выбора параметров а, Ь, с.

Интеграл (1) с параметрами а = 1, /? = \/4А:2 + 1 2/С) £ И, позволяет находить оценки порядка аппроксимации чисел вида

Ья

у^Р + 1-1 2 к

числами из ноля

+ 1). Здесь также наилучшие результаты получаются, если (а + Ь)/с = 3/2. В частности, выбор к = 1, а = 30, Ь = 9, с = 26 позволяет доказать следующую теорему.

Теорема 9. Пусть ц > 10.0204____ Тогда имеет место оценка

%/5-1 Р]У^ + Р2

Рз\/5+Р4

> Р"".

Ее доказательство приводится в разделе 3.3. При р\ — 0, рз = 0 теорема 9 дает оценку для показателя иррациональности логарифма "золотого сечения": ц (к^((\/5 - 1)/2)) < 10.0204.... 'Золотое сечение" (%/б - 1)/2 хорошо известно в математике, в том числе в теории диофантовых приближений, как число "плохо приближаемое" рациональными дробями. Выясняется, что и логарифм "золотого сечения" достаточно плохо приближается рациональными числами. Наиболее близким ранее известным результатом является оценка (х (\Z51og (1 + %/5) /2) < 4.4937..., полученная в работе М. Хата8. В главе 4 будет рассмотрено ее некоторое улучшение.

Следующая теорема является обобщением предыдущей и также доказывается в разделе 3.3.

Теорема 10. Пусть А; 6 N. Тогда существует такое число цо[к) 6 что для любого ц > ро (к) имеет место оценка

, \/4/с2 + 1-1 р\у/4к2 + 1 + Р2

1ок----. -

2 к +

> Р-".

При к = 2, а = 61, 6 == 35, с log-г-

= 64 имеем: PlVTf + Р2

P3\/Í7 + Р4

>Р-

8.4921...

4. Содержание главы 4

В главе 4 будут рассмотрены рациональные приближения логарифмов некоторых квадратичных иррациональностей. Для этого в интеграле (1) следует положить 0 = 1, а а таким, что а2 £ N.

В большинстве случаев при таком выборе параметров в интеграле (1) наилучшие результаты могут быть найдены при условии 6 — с. Тогда оценки совпадают с результатами, полученными К. Ваананеном, А. Хеймоненом и Т. Матала-ахо3, которые в этом случае также используют гипергеометрическую функцию с полуцелыми параметрами. Примером является оценка: + 1)/(3\/5 — 1)) < 3.1346— Для ее подтверждения в (1) выбираем а = Зл/5, /3 = 1, а = 8, 6 = 9, с = 9.

В разделе 4.1 приводятся две теоремы, являющиеся примерами "исключения из общего правила".

Теорема 11. Пусть ц > 4,4562..., числа р, д, <?о(м) определены как в теореме 1. Тогда

%/5 + 1

\/51og

л/5-1

>Я

В этом случае а — \/5. /3=1, а = 6, 6 = 9, с = 10, (а + 6)/с = 3/2. В работе 1992 г. М. Хата8 аналогичная оценка составила /í (\/51og (l + \/5) /2) < 4.4937.... Этот же результат был подтвержден К. Ваананеном, А. Хеймоненом и Т. Матала-ахо3. Отметим, что еще в 1986 г. А. К. Дубицкас19 получил оценку ц ((1Д/5)1о8((1 + \/5)/2)) <4.5, а в 1987 г. М. Хуттиер9 доказал: ц ((1/VE) log ((1 -I- Л)/2)) < 7.13688.

Теорема 12. Пусть р > 12.3569..., числа р, q, q0(fi) определены как в теореме 1. Тогда

2\/2+1 р

л/2 log

2-^2 q

>q

Здесь а = 2\/2, /3=1, а - 10, 6 = 25, с = И, 36 - 5с = 2а. Аналогичный результат в работе К. Ваананена, А. Хеймонена и Т. Матала-ахо3 составил: ц (\/21оя {{2уД + 1)/{2у/2 - 1))) < 41.032....

19Дубицкас А. К, Приближения логарифмов некоторых чисел // Диофантовы приближения. 4.2. -М.: Изд-во Московского университета, 1986. - С. 23-34.

Расчеты, проведенные на компьютере, показали, что при а = \/3, /3=1 интеграл (1) не позволяет получить оценку меры иррациональности числа + л/3). Этот результат может быть найден с помощью интеграла (3) с параметрами а = л/3. Р = \/3/\/5, 7 = 1, V — \/3, ш = л/3 + 1, а = 59, Ъ = 72, с = 85, (I = 144.

Теорема 13. Пусть р, > 15.6593.,,, числа р, 7, <7о(лг) определены как в теореме 1. Тогда

Ч

>9

Доказательство данной теоремы приводится в разделе 4.2.

Б заключение приводится результат Д. Рина4: ц (\Z3iog (2 + лД)) < 17.207.... Для получения данной оценки он использовал интеграл, приводимый ^ интегралу (3) с указанными выше параметрами а = л/3, Р = \/3/\/5, 7=1, V = %/3, ы = \/3 + 1 с помощью замены (я — л/3) = Ь. Улучшение результата Д. Рина происходит за счет возможности более свободного выбора параметров а, Ь, с, в, в интеграле.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук В. X. Салихову за интересную тему, постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

[1] Сальникова Е. С. Диофантовы приближения log 2 и других логарифмов // Математические заметки. - 2008. - Том 83, JV® 3. - С. 428-438. - 0,88 п. л.

[2] Сальникова Е. С. О мерах иррациональности некоторых значений функции Гаусса // Чебышевский сборник. - 2007. - Том 8, № 2. - С. 88-96 - 0,89 п. л.

[3] Салихов В. X., Сальникова Е. С. Диофантовы приближения логарифма "золотого сечения" // Вестник Брянского государственного технического университета. - 2007. - № 1. - С. 111-119. - 0,76 п. л. (авт. вклад 50%)

[4] Сальникова Е. С. Оценка снизу приближения log 2 квадратичными иррациональностями // Вестник Брянского государственного технического университета. - 2007. - № 2. - С. 109-114. - 0,53 п. л.

Подп. к печ. 29.04.2009 Объем 1 п.л. Заказ №.98 Тир 100 экз. Типография Mill У

1.1 Идея спмметризованного интеграла

1.2 Основные леммы

1.3 Результаты диссертации

2 Рациональные приближ:ения логарифмов рациональных чисел

2.1 Новый подход к доказательству теоремы 2.1 (после Е. А. Ру-хадзе)

2^ + 2.2 Рациональные приближения чисел вида log-77-—•, /г G N, 2^^ — А: >

8 2.3 Меры иррациональности для log и log 4 6 2.4 Совместные приближения логарифмов чисел и о о

3 Приближ:ения некоторых логарифмов квадратичными ир-рациональностями

3.1 Доказательство леммы

3.2 Логарифмы рациональных чисел

3.3 Логарифмы некоторых квадратичных иррациональностей ОГЛАВЛЕНИЕ

4 Рациональные приближ;ения логарифмов некоторых квадратичных иррациональностей

4.2 Оценка для показателя иррациональности числа \/3 log(2+\/3)

1.1 Идея симметризованного интеграла Показателем иррациональности или мерой иррациональности /^(7) вещественного числа 7 называется нижняя грань множества чисел Л, для которых, начиная с некоторого положительного q > 50(A), выполняется неравенство 7 - - > q'^. Р е Z, g G N.Аналогичным образом может быть определена оценка снизу для приближения числа 7 квадратичными иррациональностями. В этом случае указанное выше неравенство примет вид 7 > Р -А P3Vd + P4. где ;pi, р2, Рз, Р4 е Z, {РЗ,РА) ф (0,0), Р = max(|pi| , |:р2| , |Рз| , Ь4|), Р>Ро(А), deN, Vd^n.Цель данной работы - получить новые оценки снизу приближений некоторых логарифмов рациональными числами и квадратичными иррациональностями.1.1 Идея симметризованного интеграла 5 Современное состояние теории дпофантовых приближений в топ части, которая имеет отношение к данному исследованию, определяется работами Ф. Аморозо [23] ц К. Виола [37], К. Ваананена, А. Хеймонена и Т. Матала-ахо [30]-[31], К. By [39], Л. В. Данилова [2], Д. Рина [34]-[35], Е. Л. Рух-адзе [9], М. Хата [27]-[29], М. Хуттнера (32]-[33], Г. В. Чудновского [25]-[26] и других. В работах этих авторов рассматривались интегральные конструкции, дающие малые линейные формы от логарифмов и других чисел, вычислялась асимптотика интегралов и коэффициентов линейных форм с помош,ью метода перевала, теоремы Лапласа, оценивался знаменатель коэффициентов линейных форм с использованием различных схем "сокращения простых чисел". Заметим, что обзор некоторых конструкций из теории дпофантовых приближений логарифмов рациональных чисел представлен в статье В. В. Зудилипа [5].В настоящей работе применяются те же асимптотические методы и основные идеи метода Чудновского-Рухадзе-Хата "сокращения простых чисел", в основе которых в данном случае лежит использованпе свойств гппер-геометрической функции Гаусса. Улучшение результатов связано с применением новой конструкции интеграла, а именно, со свойством симметрии, которым обладает подынтегральная функция. Впервые подобный интеграл был рассмотрен В. X. Салиховым в [10] при получении наилучшей на данный момент оценки меры иррациональности числа log3, а затем и числа 7Г (см. [11]). Следует отметить, что использование комплексного симметризованного интеграла Е. Б. Томашевской также привело к улучшению ряда оценок (см. [16] - [18]). Интересная конструкция симметризованного интеграла представлена в работе К. Виола и В. В. Зудилина [38].Напомним, что [1, формула (16), с. 110] Таким образом, интеграл (1,1) может быть представлен через гипергеометрическую функцию с полуцелымп параметрами. Все рассматриваемые далее числа являются значениями этой функции.Следуюпдий интеграл 1{а, 6, с, d; и, w; а, /5,7) где а, 6, с, d G N, о;, /3, 7) '^ j '^ € М, представляет собой модификацию интеграла (1.1). Его подынтегральная функция также является симметри-зовапной.Интегралы (1.1) и (1.6) представимы в виде линейных форм от 1 и log?/ (г/ G R, ?/ > О, г/ 7^ 1), обладающих "хорошими" арифметическими свойствами. Получение всех результатов данной работы связано с использованием этих интегралов.Следует отметить, что одной из классических областей теории трансцендентных чисел является более общая, чем в настоящей работе, задача получения оценок снизу линейных форм от произвольного числа логарифмов алгебраических чисел с алгебраическими коэффициентами (обзор состояния данной проблемы до 1980 г. можно найти, например, в монографии Н. И. Фельдмана [20], а современное состояние в диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Е. М. Матвеева [6], см. также его работы [7] - [8]). Оценки, полученные

1. Бейтмсн Г., Эрдсйи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Изд-во "Наука", 1973. 296 с.

2. Данилов Л. В. Рациональные приближения некоторых функций в рациональных точках // Математические заметки. 1978. Том 24. № 4. С. 449-458.

3. Дубицкас А. К. Приближения логарифмов некоторых чисел // Ди-офантовы приближения. 4.2. М.: Изд-во Московского университета, 1986. С. 23-34.

4. Злобин С. А. Кратные интегралы и обобщенные полилогарифмы. Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук. Московский Государственный Университет Им. М. В. Ломоносова, 2005. 135 с.

5. Зудилин В. В. Эссе о мерах иррациональности 7г и других логарифмов // Чебышевский сборник. 2004. Том 5. № 2. С. 49-65.

6. Матвеев Е. М. Диофантовы приближения в логарифмических пространствах. Диссертация на соискание ученой степени докторафизико-математических наук. Московский государственный текстильный университет им. А. Н. Косыгина, 2003. 220 с.

7. Матвеев Е. М. Явная нижняя оценка однородной рациональной линейной формы от логарифмов алгебраических чисел // Известия РАН. Сер. матем. 1998. Том 62. № 4. С. 81-136.

8. Матвеев Е. М. Явная нижняя оценка однородной рациональной линейной формы от логарифмов алгебраических чисел. II // Известия РАН. Сер. матем. 2000. Том 64. № 6. С. 125-180.

9. Рухадзе Е. А. Оценка снизу приближения In 2 рациональными числами // Вестник Московского университета. Сер.1, Математика, механика. 1987. № 6. С. 25-29.

10. Салихов В. X. О мере иррациональности In 3 // Доклады Академии наук. 2007. Том 417. № 6. С. 753-755.И. Салихов В. X. О мере иррациональности числа тг // Успехи математических наук. 2008. Том 63. № 3. С. 163-164.

11. Салихов В. X., Сальникова Е. С. Диофантовы приближения логарифма "золотого сечения" // Вестник Брянского государственного технического университета. 2007. № 1. С. 111-119.

12. Сальникова Е. С. Диофантовы приближения log 2 и других логарифмов // Математические заметки. 2008. Том 83. № 3. С. 428-438.

13. Сальникова Е. С. О мерах иррациональности некоторых значений функции Гаусса // Чебышевский сборник. 2007. Том 8. N2 2. С. 88-96.

14. Сальникова Е. С. Оценка снизу приближения log 2 квадратичными иррациональностями // Вестник Брянского государственного технического университета. 2007. № 2. С. 109-114.

15. Томашевская Е. Б. О диофантовых приближениях числа 7Г числами из поля Q(<s/3) // Математические заметки. 2008. Том 83. № 6. С. 912-922.

16. Томашевская Е. Б. О мере иррациональности числа log5 + f и некоторых других чисел // Чебышевский сборник. 2007. Том 8. № 2. С. 97-108.

17. Томашевская Е. Б. Совместное приближение log 2 и arctgy // Вестник Брянского государственного технического университета. 2006. № 4. С. 126-130.

18. Федорюк М. В. Метод перевала. М.: Изд-во "Наука", 1977. 368 с.

19. Фельдман Н. И. Седьмая проблема Гильберта. М.: Изд-во МГУ, 1982. 312 с.

20. Чирский В. Г. Метод Зигеля-Шидловского в р-адической области // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Том 11. № 6. С. 619625.

21. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах значений некоторых функций // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Том 4. № 2. С. 725-732.

22. Amoroso F., Viola С. Approximation measures for logarithms of algebraic numbers // Ann. Scuola normale superiore (Pisa). 2001. Vol. XXX. P. 225249.

23. Bundschuh Р. Zur Approximation gewisser p-adischer algebraischer Zahlen durch rationalen Zahlen // J. Reine Angew. Math. 1974. Vol. 265. P. 154159.

24. Chudnovsky G. V. Hermite-Padé approximations to exponential functions and elementary estimates of the measure of irrationality of 7г // Lecture Notes in Mathematics. 1982. Vol. 925. P. 299-322.

25. Chudnovsky G. V. On the method of Thue-Siegel // Ann. of Math. 1983. Vol. 117. № 2. P. 325-382.

26. Hata M. Irrationality measures of the values of hypergeometric functions // Acta Arith. 1992. Vol. LX. P. 335-347.

27. Hata M. Legendre type polynomials and irrationality measures // J. Reine Angew. Math. 1990. Vol. 407. № 1. P. 99-125.

28. Hata M. Rational approximations to 7Г and some other numbers // Acta Arith. 1993. Vol. 63. № 4. P. 335-349.

29. Heimonen A., Matala-aho Т., Väänänen К. On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function // Manuscripta Math. 1993. Vol. 81. P. 183-202.

30. Heimonen A., Matala-aho Т., Väänänen К. An application of Jacobi type polynomials to irrationality measures // Bull. Austral. Math. Soc. 1994. Vol. 50. № 2. P. 225-243.

31. Huttner M. Irrationalité de certaines intégrales hypergéométriques // J. Number Theory. 1987. Vol. 26. P. 166-178.

32. Huttner M. On linear independence measures of some abelian integrals // Kyushu J. Math. 2003. Vol. 57. № 1. P. 129-157.

33. Rhin G. Approximants de Padé et mesures effectives d'irrationalité // Progr. in Math. 1987. Vol. 71. P. 155-164.

34. Rhin G. Sur l'approximation diophantienne simultanée de deux lagarithmes de nombres rationnels // Progr. in Math. 1983. Vol. 31. P. 247258.

35. Rhin G., Viola C. On a permutation group related to £(2) // Acta Arith. 1996. Vol. 77. № 1. P. 23-56.

36. Viola C. Hypergeometric functions and irrationality measures // Analitic number theory (Kyoto). 1996. London Math. "Soc. Lecture Note Ser. 247, Cambrige Univ. Press. Cambrige (1997). P. 353-360.

37. Viola C., Zudilin W. Hypergeometric transformations of linear forms in one logarithm // Funct. Approx. Comment. Math. 2008. Vol. 39. № 2. P. 211-222.

38. Wu Q. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers // Math. Comput. 2002. Vol. 72. № 242. P. 901-911.