О разрешимости диофантовых уравнений малых степеней тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова

_______ Р ГБ ОД

Механико-математический факультет Л ] /";р1

На правах рукописи УДК 511.5

Хессами Пилеруд Ходабахш

О РАЗРЕШИМОСТИ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ МАЛЫХ СТЕПЕНЕЙ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и

теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2000

а

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация —

доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Чубариков доктор физико-математических наук, профессор М.П. Минеев кандидат физико-математических наук, доцент О.В. Тырина Математический институт им. В.А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 19 мал 2000г. в 1615 час. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14-й этаж).

Автореферат разослан 19 апреля 2000г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.053.05.05 доктор физико-математических наук, профессор ^ / В.Н. Чубариков

^оз

Общая характеристика работы

Актуальность темы. 1. Настоящая диссертация посвящена решению в целых и в натуральных числах уравнений второй и третьей степени специального вида. Рассматриваемые в диссертации диофантовы уравнения второй степени связаны с уравнением Пелля

где N,^,N2- положительные целые числа, не являющиеся точными квадратами.

Хорошо известно, что уравнение (1) имеет бесконечное множество решений в целых числах х, у. Наибольшее проникновение в характер решений дает алгоритм непрерывных дробей1.

Вопрос о существовании решений уравнения

более труден и простых точных условий для его разрешимости неизвестно. Непосредственно из уравнения (3) следует, что необходимым условием его разрешимости в цатых числах является представимость N в виде суммы двух квадратов взаимно простых чисел. Известно также, что уравнение (3) разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда длина периода цепной дроби числа равна нечётному числу2.

Д. Морделл в своей монографии3 поставил задачу о получении более простых условий для разрешимости в целых числах х, у уравнения (3). В диссертации получены новые необходимые условия разрешимости этого уравнения.

'Бейкер А. Введение в теорию чисел. Минск: Вышэйшая школа, 1995.

2Гашков С. Б., Чубариков В. Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений. М.: Наука,

X2 — Ыуг — 1

(1)

или с системами таких уравнении

(3)

1906.

3МоЫе11 Ь. ,1. ОюрЬапйпе cquations. 1Ч.У.: Асас1епис РгеБЗ, 1969.

Системы диофантовых уравнений вида (2) в некоторых частных случаях могут быть решены с привлечением теории совместных рациональных приближений. Так, например, в работе4 установлено, что система диофантовых уравнений

fa2-3z2 = 1 { З/2 - 2г2 = 1

не имеет решений в натуральных числах х, у, z. В диссертации подобные системы уравнений (2) для случая Ni - — ±1, ±2 решаются другими методами5 с использованием некоторых результатов работы В. Люнгрена0.

2. Одной из классических задач теории диофантовых уравнений третьей степени является вопрос о разрешимости уравнения

X3 + у3 - az3 (4)

в целых ненулевых числах х, у, z. Здесь а - целое число. Первые результаты по этому уравнению были получены Л. Эйлером'. Эйлер доказал, что уравнение (4) неразрешимо, если а = 1, 4 и х = у, если а — 2. В 1856 г. Сильвестр8 высказал предположение о неразрешимости уравнения (4) для

а — р, 2p, 4р2,4q, q2,2g2,

где р и q- простые числа соответственно вида 18/ + 5 и 18/ + 1. В 1870 г. этот и подобный ему результаты были доказаны Пепиным9. А в 1879 г. Сильвестром10 была доказана следующая теорема.

4Rickert J. Simultaneous rational approximations and related Dicphantine equations// Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.1993. V.U3. P.461-472.

5Гараев M. 3., Хессами Пилеруд X. Замечание о системе диофантовых уравнений Пелля// Фундам. и прикл. математика. 1999. Т.5. Вып.З. С.927-930.

eLjunggren W. Einige Eigenschaften der Einheiten reifer duadratischer und rein biduadratischer Zahlkörper// Oslo Vid-Acad Skrifter. 1936. V.l. №12.

TEulerL.// Opera postuma. 1862. №1. P.243-244 (about 1782).

"Sylvester J. J,// Annali de Sc. Math, e Fis. 1856. V. 7. P. 398.

sPepin T. // Jour, de Math. 1870. V.2. JC15.P.217-236.

'"Sylvester J. J. // Comptes Rendus Paris. 1880. V.90. P.289. // Amer. Jour. Math. 1879. №2. P.389-393.

Теорема А. Пусть pi,p2,p,qi,q2,q — простые числа, Р\,Р2,Р = 5 (mod 18),gl,<Z = 11 (mod 18). Тогда, если

а е {р, 2р, 9р, р2, 9р2, Ар2, pq, pipi q, 4q, 9q, 2q2, q2, 9q2, qiq¡,p2q2},

то уравнение (4) не имеет решений в ненулевых целых числах х, у, z.

Позднее Ван дер Корпут11 получил неразрешимость уравнения (4) для а = р,р2, где р- простое, не равное 2 и р = 2или5 (mod 9).

Фундаментальный вклад в исследование подобного рода уравнений был внесен Б. Н. Делоне и Д. К. Фаддеевым12. Ряд важных результатов, касающихся уравнения (4) приведен в монографии Л. Д. Морделла3.

Заметим, что для данной задачи несомненный интерес представляет вопрос о расширении множества значений параметра а, для которого уравнение (4) неразрешимо в ненулевых целых числах х,у, г.

В работах 13, 14 С. П. Моханти и А. М. Рамасами была доказана конечность числа решений уравнения

ах3 +by + с = xyz

в натуральных числах х, у, z.

Результаты, полученные в диссертации, о разрешимости уравнения

ах3 + Ъх2 + сх -+- dy + е = xyz,

продолжают и существенно обобщают исследования, начатые М. 3. Га-раевым15, С. П. Моханти и А. М. Рамасами 13,14.

Цель работы. Исследование разрешимости подобных диофантовых уравнений второй и третьей степени в целых или в натуральных числах.

"Van der Corput // Nieuw Archief voor Wiekunde. 1915. V.2. X'll. P.64-68.

12Дслоне Б. H., Фаддеев Д. К. Теорий иррациональностей третьей степени // Труды МИАН СССР. 1940. Т.Н.

13Mohanty S. P., Ramasamy А. М. S. On the positive integral solutions of the Diophantine equation Xs + by + 1 - xyz = 0 (b > 0) // Bull. Math. Soc. 1984. V.7. №1. P.23-28.

HMohanty S. P., Ramasamy A. M. S. On the positive integral solutions of the Diophantine equation ax3 + by + с-xyz = 0 // Indian Math. Soc.(N. S.) 1996. V.62. №1-4. P.210-214.

15Гараев M. 3. Диофантовы уравнения третьей степени.// Материалы международных научных чтений по аналитической теории чисел и приложениям. МГУ. 1997. С.14-15,

Методика исследований. Методы исследования относятся к элементарной и алгебраической теории чисел.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Получены новые необходимые условия разрешимости уравнения х2 —

АУ = -1.

2. Решены системы диофантовых уравнений Пелля специального вида.

3. Найдено новое множество значений параметра а, для которого уравнение I3 -+- у3 = аг3 не имеет решений в ненулевых целых числах х,у,г.

4. Исследован вопрос о разрешимости уравнения ах^ + Ьх2 + сх + с1у + е = хуг в натуральных числах х, у, г.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методы их получения могут быть использованы в теории диофантовых уравнений. Полученные результаты могут быть полезны специалистам, работающим в МГУ, МИАН, МПГУ, других научных и учебных центрах.

Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре проф. А. А. Карацубы "Аналитическая теория чисел и приложения", на семинаре по теории чисел под руководством проф. Г, И. Архипова и проф. В. Н. Чубарикова, на 30-й Международной математической конференции (Ардебиль, 1999 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы, указанных в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объем текста работы составляет 64 страницы. Список литературы включает 46 наименований.

Содержание работы

Во введении приводится обзор работ по теме диссертации и формулируются основные результаты диссертации.

Глава 1 посвящена исследованию разрешимости диофантовых уравнений второй степени. Рассмотрим уравнение

х2 - Ny2 == -1, (5)

где N - положительное целое число, не являющееся полным квадратом. Справедливы следующие необходимые условия разрешимости этого уравнения.

Теорема 1. Пусть уравнение (5) разрешимо в целых числах. Тогда существует представление числа N в виде N — А2 + В2, где А и В — натуральные числа, {А, В) = 1, причём А является нечетным числом и квадратичным вычетом по модулю N.

В частности, отсюда следует, что при N — 34, 205,109 • 113 = 12317 уравнение (5) неразрешимо в целых числах. Отметим, что если р- простое число, р = 5 (mod 8), то уравнение

х2 - 2ру2 = -1, (6)

разрешимо в целых числах.

Для случая р = 1 (mod 8) из теоремы 1 вытекает Следствие 1. Пусть р — простое число, р= 1 (mod 8), т.е.

р = А2 + 16В2,

где А, В — натуральные числа. Тогда

а) если р= 1 (mod 1С), В — нечетное число, то уравнение (б) не имеет решений в целых числах;

б) если р ф 1 (mod 16), В — четное число, то уравнение (6) также не имеет решений е целых числах.

Доказательству этих утверждений посвящены §1, §2 гл.1 диссертации. Перейдем к рассмотрению систем диофантовых уравнений Пелля. Для этого нам понадобится следующая лемма Люнгрена6.

Лемма. Уравнение

х2 - БуА = 1,

где О натуральное число, не являющееся полным квадратом, имеет не более двух пар решений в натуральных числах х, у, Если оно имеет две пары решений {х\,у\), (х2,У2), где У2>Уг, то х\ + л/Т)у2 является фундаментальным решением уравнения и2 — Ои2 = 1, причем либо

Х2 + <Л5У1 = (Я! + \fDy\f,

либо

х2 + -/Зу2 = (хг + у/Ъу\)\

С помощью этой леммы в §3 гл.1 доказываются следующие теоремы. Теорема 2. Пусть а - натуральное число. Тогда система уравнений

х2-(а + 1)г2 = 1 у2 — аг2 = 1

не имеет решений в натуральных числах х,у,г.

Теорема 3. Пусть а - натуральное число. Тогда система уравнений

х2-(а + 2)г2 =1 у2 — аг2 = 1

в натуральных числах х,у,г не имеет решений, если а + 1 не является полным квадратом, и имеет единственное решение

ж = 2а + 3, у = 2а+1, г = 2>/о+1,

если а+1 является полным квадратом.

В главе 2 изучается разрешимость некоторых диофантовых уравнений третьей степени. §1 носит подготовительный характер и содержит ряд вспомогательных утверждений. Полученные результаты затем применяются в §2 (п.1-п.6) для доказательства следующей теоремы.

Теорема 4. Пусть p,q — простые числа, р = 2 (mod 3), q — 1 (mod 3), 4q— p2 ф 3 (mod 9). Пусть, далее, p не является кубическим вычетом по модулю q. Тогда уравнение

х3 + уг - pqz%

не имеет решений в ненулевых целых числах х, у, z. В работе 15 М. 3. Гараев показал, что если функции

/(n, т) : N2 —> N (J {0}, д(п, т) : N2 —► N U {0}

таковы, что система неравенств

и < /(п!т) + 2д(п, т) + 5 т < д{п, то) -)- 2f(n, то) + 5

имеет конечное число решений в натуральных числах п,т, то уравнение

х3 4- f(x, z)x2 + д(х, z)x + у + 1 = xyz

также имеет конечное число решений в натуральных числах х, у, z.

С. П. Моханти и А. М. С. Рамасами14 доказали, что если натуральные числа а, Ь, с таковы, что (ab, с) = 1, с — бесквадратное, то уравнение

ах3 + by + с = xyz

имеет конечное число решений в натуральных числах. В связи с этим в §3 гл. 2 доказывается следующая теорема.

Теорема 5. Пусть a,b,c,d,e — целые неотрицательные числа, ade ф 0. Тогда уравнение

axs + bx2 + сх + dy + е = xyz

имеет конечное число решений в натуральных числах x,y,z.

В заключение выражаю глубокую благодарность научному руководителю профессору В.Н. Чубарикову, оказавшему большое влияние на мои занятия математикой.

Работы автора по теме диссертации

1. Хессами Пилеруд X. О диофантовом уравнении х2—Яу2 — -1 //Вестник МГУ. Сер.матем. и мех. №2 (1999). С.65-67.

2. Гараев М. 3., Хессами Пилеруд X. Замечание о системе диофантовых уравнений Пелля // Фундаментальная и прикл. математика. Т.5. Вып.З (1999). С.927-930.

3. Хессами Пилеруд X. О диофантовом уравнении ах3+Ьх2+сх+(1у+е = хуг //Вестник МГУ. Сер.матем. и мех. №1 (2000). С.50-52.

В работе [2] автору принадлежит теорема 1.

В книге С. Б. Гашкова, В. Н. Чубарикова Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений. М.: Высшая школа, 2000, автору принадлежат задачи 10.55, 10.57, 10.58, 10.60.