О диофантовых приближениях значений некоторых аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

2 7 АВГ 2009

ТОМАШЕВСКАЯ Елена Брониславовна

О ДИОФАНТОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ЗНАЧЕНИЙ НЕКОТОРЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

01.01.06 —математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени 'кандидата физико-математических наук

Москва-2009

0034757ЭЭ

003475799

Работа выполнена на кафедре "Высшая математика" факультета информационных технологий Брянского государственного технического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент САЛИХОВ Владислав Хасанович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент МАТВЕЕВ Евгений Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент ИВАНКОВ Павел Леонидович

Ведущая организация: Московский государственный

университет имени М.В. Ломоносова

Защита диссертации состоится ^^/72^^2009 г. в часов на

заседании Диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, 14, МПГУ, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан ______ 2009 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

Муравьева О.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Одним из направлений теории диофантовых приближений является получение оценок снизу модулей линейных форм с целыми коэффициентами от значений аналитических функций.

К настоящему времени установлено достаточно много оценок мер иррациональности значений аналитических функций.

В 2008 г. В.Х. Салихоп1 получил новую оценку меры иррациональности числа 7г:

„ Р

77--

q

Этот результат на данный момент является лучшим для константы 7г.

М. Хата2 получил лучшую на сегодняшний день оценку для меры

7Г

иррациональности числа — \/3

-4,6015...

7Г ^

М. Хата3, применяя полиномы Лежандра , получил оценки мер иррациональности некоторых чисел, содержащих константу 7Г. Так, были получены результаты:

M

-д ± \/31og (2 + v/з) j < б, 1382...,

±log3 ] < 4,5586..

(1)

(2)

Для получения оценок мер иррациональности значений функций log х и arctana: М. Хата4, М. Хуттнер5, А. Хеймонен, Т. Матала-Ахо, К. Ваана-нен 6 и другие авторы рассматривали эти функции как значения гипергеометрической функции Гаусса .

'Салихов D. X. О мере иррациональности числа тт /{ Успехи математических наук, 2003. — Т. 63, А^б. 3. — С. 163-164.

2Hata M. Ratîunal approximations to я and some other numbers // Acta Arith., 1993. — LXIII, Vol. 4. —P. 335-349.

3IIata M. Irrationality measures of the values оГ hypergeometrlc functions // Acta Arith., 1992. —Vol. LX. —P. 335-347.

4Hata M. Legcndrc type polynomials and irrationality measures //J. Reine Angew. Math., 1990. —No. 407,— Р.99Л25.

6riuttner M. Problème de Riemann et irrationalité d'un quotient de deux fonctions hypergéométriquea de Gauaa // С.Г1. Acad. Sri., Paris Sir. I 302. 1S86. - P. 603-606. V

eHfiimoncn A., Matai a-Aho T., VâSnânen K. An application of Jacobi type polynomials to irrationality measures Ц Bulir»^-AuBtral. Math. Soc., 1994.-Vol. 50, no. 2.-P. 225-243. ' \

В 1987 г. M. Хутгнер7 доказал общую теорему об оценках мер иррациональности значений гииергеометрической функции Гаусса вида

Ч^И'

где е = ±1, к > 2, 0 < х < 1, хк € Q . М. Хуттнером получены сцепки снизу мер иррациональности различных значений функций arctanx и loga;.

В 1993 г. А. Хсймонеп, Т. Матала-Ахо, К, Ваананен8 используя аппроксимации Паде для гипергеометрической функции Гаусса, доказали общую теорему об оценках мер иррациональности логарифмов рациональных чисел. В этой же работе приведен достаточно большой список конкретных результатов, например: ц ^Jog ^ < 9, 7551..., ß ^log2 + arctan ^ <

з,3317... и другие.

На данный момент известны оценки совместных приближений значений некоторых элементарных функций. Например,

¡i (ri log 2 -(- г-27г) < 8,0161..., ц (n log 2 + 7-2log3) < 5,125...,

где ri, г2 € Q,(п, г2) -ф- (0,0), полученные соответственно М. Хата9 и

n V гл ---„.1П

и.л. ^алилоным .

В.Х. Салихов использовал для доказательства меры иррациональности log 3 симметризованный вещественный интеграл, что позволило ему улучшить результаты Дж. Рина п.

В данной диссертации ряд существующих результатов удалось улучшить, используя различные модификации симметризованпого интеграла, введенного в 2007-2008 гг. В.Х. Салиховым. Также были получены новые оценки мер иррациональности некоторых значений функций log я и arctan X.

Цель и задачи исследования. Целью данной диссертации является нахождение оценок мер иррациональности значений функции loga;

7Huttner M. Irrationalité de certaines integrales hypergéométriques // J. Number Theory, 1987.— Vol. 26.— P. 166-178.

8Т1е!тпапеп A., Matala-Aho T., Vüänänen К. On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function // Manuscripts Math., 199.1, —Vol. 81, no 1/2. —P. 183-202.

sIIata M. Rational approximations to tr and some other numbers // Acta Arith., 1993. — LXIII, Vol. 4. —P. 335-349.

10Салихов В. X. О мере иррациональности logS // Доклады РАН, 2007.—Т. 417, .V'fi. С. 753-755.

uWiin G. Approximants de Padê et mesures effectives d'irrationalité // Progr. in Math. Birfchäuser, 1987. —Vol. 71. —Г.

155-164.

и ап^ап х с применением комплексных симметризованных интегралов. В связи с этим решаются следующие задачи:

Р1Ч/5 + Р2

7Г — :

Рз

\/S + P4

> где pi, Р2, Рз, Р4 е

получить оценку снизу для, (РЗ,Р4) ф (0,0);

. г ^

получить оценку меры иррациональности числа logo + -;

получить оценки для совместных приближений чисел вида

al о — Ь ,

loe - и —arctan ——, где а, о £ N;

~ b Vab 2Vab найти такое иррациональное число G, линейно независимое над'полем

Q с числом log 2, чтобы оценка меры иррациональности р (fi log 2 + roQ) была как можно ближе к оценке Е.А. Рухадзе12 /х (log 2) < 3,891...;

получить оценки мер иррациональности чисел вида arctan -, где к е N,к> 2.

Научная новизна и значимость полученных результатов. В

диссертации получены следующие результаты:

1) доказана теорема о диофантовых приближениях числа 7г числами из поля Q(v/5);

2) получены оценки снизу для рациональных приближений чисел

, г- тт .1 log5 + - и arctan-;

5 1

3) улучшены оценки мер иррациональности чисел log-, arctan-,

1 v О

arctan —, й др.;

4) получена оценка меры иррациональности линейной комбинации чисел log2 и arctan-.

Основные методы проведенного исследования. В работе используются методы теории функций комплексного переменного и теории трансцендентных чисел.

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертация носит теоретический характер. Результаты работы могут использо-

13Рухадае Е. Л. Оценка енкэу приближения ]п2 рациональными числами // Вестник МГУ, 1987. —Серия Г Математика, механика, jV6. — С. 25-29.

ваться при изучении теории диофантовых приближений, а также при чтении спецкурсов по теории чисел, преподаваемых в госуниверситетах для студентов математических специальностей.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались автором на Международной конференции "Ди-офантовы и аналитические проблемы теории чисел", посвященной 100-летию А.О. Гельфонда (г. Москва, январь 2007 г., МГУ им. М.В. Ломо-

____Л/Г_____________________-________________„.„... —........................

пи^с/оду, па тиилииилим пау чии-иичлсДиосисло^пим ^смипарс ни хсирпп 1 п~

сел (г. Москва, декабрь 2007 г., МГУ им. М.В. Ломоносова), на заседаниях кафедры "Высшая математика" Брянского государственного технического университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех статьях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из четырех глав (одна из которых является введением) и библиографии (39 наименований). Объем диссертации —99 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Содержание главы 1. В первой главе, являющейся введением, изложено современное состояние проблемы диофантовых приближений, показана актуальность темы и приведен обзор основных результатов диссертации. Здесь же сформулированы основные результаты, используемые в диссертационном исследовании.

В настоящей диссертации для получения всех оценок мер иррациональности конструируются комплексные симметризованные интегралы. Метод построения основных интегралов в работе, основанный на идее симметрии, впервые был опубликован В.Х. Салиховым13 в 2007 г. При доказательстве основных лемм применялась стандартная схема Чудновского Хаты-Рухадзе сокращения простых в знаменателях коэффициентов линейных форм. Одним из методов теории функции комплексного переменного,

13Салихов В. X. О мере иррациональности к^ 3 // Доклады РАН, 2007. —Т. 417, Л'-6. — С. 753-755.

который применялся в работах многих авторов, является метод перевала (метод седловых точек). Метод седловых точек используется при получении асимптотики всех интегралов работы и коэффициентов конструируемых линейных форм.

При получении оценок мер иррациональностей ключевыми являются следующие две леммы.

Лемма 1.1.14 Пусть m — фиксированное неотрицательное целое число. Пусть 71, 72 — действительные числа,

£п = ЧпЪ - Рп, Sn - Çnl2 - r„, где рп, g„, rn Ç Z + i\pniL для всех п > 1. Допустим, что

lim - log |gn| = a, lim - log |e„| = -r, lim - log |<5n| = -т'

п-+ос u п->оо П п—'00 71

Лиг положительных чисел а, т и т' таких, что т' > т. Допустим далее, что для всех рациональных чисел g существует бесконечно много п, удовлетворяющих 5п/еп ф q . Тогда числа 1, 71, 72— линейно независимы над Q. Точнее, для всех s > 0 существует положительное На(е) такое, что

I i I I -v. TT—<т1т — £

IP 1- чъ 1- ' 721 г: ri ' для всех целыхр, q, г таких, что II s max{|g|, |r|} > Hq(e).

Замечание 1.1.15 Пусть 0 € R, Q—иррационально, £n = qn& - ÎV Яп- Рп € Z;

lim sup - log lenl < -r, lim sup - log loJ = a, a, t > 0.

п-ч ос П n->oo П

Тогда д(0) < 1 +

Пусть g € N,7"^ £ N, п е N, 0 G К.

In = (Ai(n) • + A2(n)) - 0 + Л3(п) • v/P + Л4(п), где все Л ¡(га) € Z, не все Л*(п) = 0.

Лемма 1.2. Пусть lim -log|Ai(n) • ^/р -f- Л2(гг)] = 71,

n-»oc n

1 1 lim sup- log max |Л;(п)| < 72, 71+72 > 0; lim — log |ï„| = -73,

n->oo n ]<K4 n->00 n

^Hata M. Rational approximations to it and some other numbers // Acta Arith., 1993, —LXIII, Vol. 4,—P. 335-349.

lsIIata M. Rational approximations to ir and Боте other numbers // (Ibid).

73 >72; Ai > J ! Пусть числа ph p2, p3, p4 € Z, (p3,p4) ф (0,0), P = maxflpil, Ы, |pjf, Ы), P > Po- Тогда

е-

Ply/g+P2

РЗ\/5 + Pi

>

PV

Частный случай леммы 1.2 был рассмотрен В.Х. Салиховым, Е.С. Сальниковой 16 в 2007 году.

Содержание главы 2. В главе 2 получена оценка меры иррациональности любого ненулевого числа вида г\л + Ti—r=, гь гг 6 Q(\/3)- В

УЗ

следующей теореме доказывается результат, который объединяет оценки М.Хата17.

Теорема 2.1. Пусть ри р2, рз, Р4 € Z, (рз,р4) 4- (0,0), Р = max(|pi|, |рг|, |рз|, |р4|), Р > Ра■ Тогда справедлива оценка

pi\/3+P2

> F

-10,3587...

РЗ^З + Р4

Из теоремы простыми преобразованиями можно получить следующее

О ТТЛ ГГ1ЧТТ1ТЯО 1 /Т- ,/'Т,1 I. т. С |П) Гг-, т\. -А (1) Т,"^"

ц\г1П + г3-д1 < 10,3567....

Результат, полученный в теореме 2.1, улучшает оценку К. Виола и Ф, Аморозо. В их работе18 установлено аналогичное неравенство:

а + Ьл/З

> constant ■ max{|a|, |Ь|, |с|, |d|}

-46,9075...

с + dy/3 где а, Ь, с, d € Z, (с, d) ^ (0,0).

Содержание главы 3. Основной результат, полученный в главе 3, — оценка снизу для рациональных приближений числа log 5 + —, — сформулирован в теореме 3.1. Этот результат продолжает исследования (1), (2) М. Хата для чисел, связанных с ст.

16Салихов П.Х., Сальникова Е.С. Диофантовы приближения логарифма "золотого сечения"// Вестник Брянского государственного технического университета, 2007.—vVl. —С. 111-119.

17llata M. national approximations to тг and some oilier numbers // Acta Arith., 1993. — LXII1, Vol. 4.— P. 335-349.

lsAmoroso F., ViolA C. Approximation measures for logarithm of algebraic numbers // Ann. Scoula normale superiors. Pisa, 2001. - Serie IV, Vol. XXX. - P. 225-249.

Теорема 3.1. Справедлива оценка

д (log5 + |) < 57,3810....

Метод доказательства теоремы 3.1 использует некоторые элементы конструкции работы19, в которой В. X. Салиховым получена новая оценка меры иррациональности числа тт.

Содержание главы 4. Глава 4 включает в себя четыре параграфа. Основная цель данной главы — получение оценок снизу для диофан-

товых приближений значений функции log х, а также функции arctan х = 1 , 1 + гх , „ Trlog-j-- r€Q.

2г 1 — IX

В этой главе рассматриваются диофантовы приближения значений функции log х в точках х € С вида

a\+ib\y/g a2 + ib2^/g'

где aua2,biM 6 Z, g e N.

Следующая теорема позволяет получать оценки для совместных при-а 1 a — b , м

ближений чисел вида log - и —р= arctan ——, где а, 6 6 N.

у vab 2vab Теорема 4.1. Пусть гь г2 6 Q, d G N, h = (8d2 - l)2, f(t) = t (t2 - 2t + h)

—-j—> h — вещественный, ¿2,£з — комплексно сопряженные кор-

(t-h) ни уравнения

1 21-1__

t+ t2-2t + h t-h~ Пусть также выполняется условие 2 + log (¿2)I < 0- Тогда для любого ненулевого числа

п 1 2d 41 . 1 , 1 0d =ri log 2d—A ^ Г2^птт arctan ^wTf

справедлива оценка:

2 + log|/(<i)|

A*(©d) < 1

2 + log |/(£г)|

10Салихов В. X. О мере иррациональности числа * // Успехи математических наук, 2008. — Т. 63, №3. - С. 103-164.

При d - 2, n = 1, гг = 0 получаем ц I log - ) <5,5120 — Аналогично

(log ^<5,:

при cf = 3 получаем оценку ц (log ^ j < 4,8648____

Изменив конструкцию интеграла, используемого при доказательстве теоремы 4.1, можно получить следующий результат: Теорема 4.2. Справедлива оценка

(1 (п log 2 + r2 arctan < 4,9948.... ч ■/

В следующих теоремах получены оценки мер иррациональности значений

функции arctan х.

Теорема 4.3. Пусть h в N, h > 3, f(t) = ^yiTf • ПУстъ h > °> ¿2 < 0 — корни уравнения

1 _1_ __

t + t + 1 + h2 - t

Тогда для числа ^

0 = arctan — h

в случае h = 2k + 1, k е N, 2 + log2 + log |/(<2)| < 0, справедлива оценка:

,.(Ci\ < , _ 2 4-log2 + log|/(ti)l 2 + log2 + log|/(i2)|'

а в случае ft = 2m, m € N, m > 2, 2 + 21og2 + log|/(i2)| < 0, -оценка:

^ x _ ^ + 2 log 2 + log 1 /(tOj

2 + 21og2 + lQg|/(íj)|' При k = 1 получаем ц (arctan ^ < 7,7073____Приведем еще ряд примеров: 11 (arctan< 4,7883..., ц (arctan^ < 6,2401...,

fj, (arctan ^ < 4,0755..., ¡i (arctan < 4,5947....

Изменение параметров интеграла, который используется при доказательств этой теоремы, а также применение методики сокращения простых Чудновского-Хата-Рухадзе позволили улучшить приведенные оценки, например:

Теорема 4.4. Справедливы оценки

ц ^arctan < 6,6349...,

ц ^arctan ^ < 4,7441....

Результаты, полученные в теореме 4.4, улучшают оценки М. Хуттнера20.

Теорема 4.5. В обозначениях теоремы 4-3 положим h = 2к, к 6 N,

. ... tk+2!t + l)k _ . к > 2, }{t) = —' 1°гда, если выполняе.тс.я условие

2к + 4 - 2fclog2 + log |/(<г)| < О, то справедлива оценка

,.(Q) < 1 - 2fc + 4 — 2fclog2 + log)/(¿i)l W 2Л + 4 - 2fclog 2 + log |/(t2)|'

В частности, ¿i^arctan^ < 5,7930..., ¿í^arctan^ < 3,6726...,

fj, ^arctan —^ < 3,0683... и т.д.

В следующей теореме получена оценка меры иррациональности для числа arctan -.

Теорема 4.6. Справедлива оценка

(i ^arctan< 11,7116....

Автор выражает искреннюю благодарность и глубокую признательность своему научному руководителю — доктору физико-математических наук, профессору Владиславу Хасаиовичу Салихову за интересную тему, важные замечания и внимание к работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Томашевская Е.В. О диофантовых приближениях числа 7г числами из поля Q(\/3) // Математические заметки, 2008. — Т. 83, Вып. 6.—С. 912-922.-0,91 п.л.

20Iluttner M. Irrationalité de certaines intégrales hypergéométriquea // J. Number Theory, 1987. —Vol. 26.— P. 166-176.

2. Томашевская Е.Б. О мере иррациональности числа log 5+— и некоторых других чисел // Чебышевский сборник, 2008.— Т. 8, Вып. 2.— С. 97-108. -1,23 пл.

3. Томашевская Е.Б. Совместные приближения log 2 и arct&n \ Ц Вестник Брянского государственного технического университета, 2006. —

№4. — С. 126-130.-0,39 п.л.

Подп. к печ. 25.05.2009 Объем 1 п.л. Заказ №. 128 Тир 100 экз. Типография Mill У

1 Введение

1.1 Современное состояние проблемы диофантовых приближений значений логарифмической функции.

1.2 Результаты диссертации.

1.3 Используемые результаты.

2 Диофантовы приближения числа 7г числами из поля Q(\/3)

2.1 Арифметические свойства коэффициентов линейной формы.

2.2 Уточнение знаменателей коэффициентов линейной формы.

2.3 Асимптотические оценки линейной формы и знаменателей.

3 Оценка меры иррациональности числа log 5 + —

4 Диофантовы приближения значений логарифмической функции

4.1 Оценка меры иррациональности значений функции log ж

4.2 Оценка меры иррациональности линейной комбинации чисел log 2 и arctan \.

4.3 Оценка меры иррациональности значений функции arctan х

4.4 Оценка меры иррациональности числа arctan i.

1.1 Современное состояние проблемы диофантовых приближений значений логарифмической функции

Одним из направлений теории диофантовых приближений является получение оценок снизу модулей линейных форм с целыми коэффициентами от значений аналитических функций.

Мерой иррациональности /¿(7) вещественного числа 7 называется нижняя грань чисел /л таких, что для любого е > 0 существует положительное число которое удовлетворяет следующему условию: неравенство V

7 - -Ч выполняется для всех целых чисел р, д, где д >

Известно, что мера иррациональности любого иррационального числа ^ > 2. К настоящему времени установлено достаточно много оценок мер иррациональности значений аналитических функций.

Остановимся подробнее на приближении рациональными числами

7г классических констант тт и —!=■. 3

В 1953 г. К. Малер [36] показал, что справедлива оценка

-42 г Р 7г-Я я для любых целых чисел р, д, где д > 2. К. Малер также указал, что показатель 42 заменяется на 30 при д > до- Позже данная оценка была улучшена до 20 М. Миньотом [37]. Эти результаты основаны на использовании интеграла Эрмита для показательной и логарифмической функции.

М. Хата [28], используя асимптотические оценки Г.В. Чудновского [25] для комплексного интеграла

I \к г). 1 \

1 П п\ 4 *

2т 7 — 1)-.- (г — п) в где п оо, улучшает оценку меры иррациональности числа тт до 13, 394 .

До недавнего времени наилучшей оценкой снизу для приближения константы 7г рациональными числами считался результат М. Хата [31]: тг) < 8,0161.

Для получения этой оценки М. Хата рассматривает комплексный интеграл

I (1а2, а3; (1.1) г х - аО2 (г - а2)2 (г - а3)2 где а2, сьз] г) = -§- с различными, не рав

З' ными нулю, комплексными параметрами аа, а2, ^з- В частности, выбирая значения параметров интеграла (1.1) равными соответственно а 1 = 1, а2 — 2, аз = 1 + г, можно получить оценки Р тт-5 7

-8,0161.

1.2)

7Г р к^2 д -8,0161. У ) где р, qeN, д> д0.

Для нахождения асимптотики интеграла М. Хата использует метод седловых точек (метод перевала), описанный еще в работах Римана. Согласно метода перевала, выбирая специальным образом контур интегрирования Г, асимптотику интеграла (1.1) можно вычислить через максимальное значение модуля подынтегральной функции.

В 2008 г. В.Х. Салихов [12] получил новую оценку меры иррациональности числа 7г: Р

ТТ-Я д~7М-.

Этот результат на данный момент является лучшим для константы тт.

Отметим, что в цитированной выше работе [31] М. Хата получил луч

7Г шую на сегодняшний день оценку для меры иррациональности числа п Р > -4,6015.

VI я -ч

1.3)

Эта оцрнка получается на следующем наборе параметров интеграла (1.1):

1 + л/Зг 3 + >/Зг

21 = 1, а2 =---, а3 =---. тт ^

Другой подход в получении оценок для числа —р= заключается в приуЗ менении полиномов Лежандра ([4], [21], [26], [30], [38]). Так, используя полиномы Лежандра, К. Аллади и М. Л. Робинсон [21] получили оценку 8,3099.

Позже этим методом результат был улучшен до 5, 516. в работе [4] А.К. Дубицкаса.

М. Хата [29], применяя полиномы Лежандра вида

5 п+тп , \ / | ■ г^ n-srm\(nJrJ — Ь ll-rilL , iww = х-у - *rm)(n) =

71 ■ О-П V

X3. 7 / V п J=0 к J / \ где S — ^ е (0,1), а, Ъ G N, получил оценки мер иррациональности некоторых чисел, содержащих константу 7г. Так, были получены результаты: fj, ^ ± \/S log (2 + < 6,1382 ., (1.4)

1 ± log 3^ < 4, 5586 . (1.5)

Для получения оценок мер иррациональности значений функций arctanz и log а; многими авторами ([2], [11], [21], [24], [29], [30], [32], [33], [35], [38]) эти функции рассматривались как частные случаи гипергеометрической функции Гаусса. Отметим также, что получению оценок снизу абсолютных величин лииейных форм от обобщенных гипергеометрических функций Гаусса уделено большое внимание в работах П.Л. Иванкова ([6],

И)

Пусть

Г(а + п) [а)п Г(а) ' где Г(г) — гамма-функция Эйлера. То есть, а)о = 1, (а)„ = а(а + 1). (а + п - l),n = 1, 2, 3, ---

Если с ф О, —1, —2, .то функция

F (а, Ь; с; г) ее2 Я (а, Ь; с; г) = £ (1.6) п=0 \с)пП. называется гипергеометрическим рядом от переменной z с параметрами а, 6, с (гипергеометрической функцией Гаусса) [1, с.69].

Если Re{c) > Re(b) > 0, то для функции (1.6) имеет место формула Эйлера rv , \ Г (с) }tb-\l~tY-b-1 1

6; С; = ВДГМ) У (l-te)a ^ о где 2GC, И < 1 .

Элементарные функции arctana; и logo;, для которых получены оценки мер иррациональности, выражаются следующим образом через функцию Гаусса [1, с. 110]: arctanz = zF(^, 1; -z2), log(z + 1) = zF(l, 1; 2; -г),

В 1987 г. М. Хуттнер в работе [34] доказал общую теорему об оценках мер иррациональности значений гипергеометрической функции Гаусса вида г. /1.1/*

Л и +1 /к хк где £ = ±1, к > 2, 0 < а; < 1, Хуттнером получены оценки снизу мер иррациональности различных значений функций arctan а; и log х. В частности, получена оценка arctan < 7,70. о

Но условие теоремы М. Хуттнера не позволяет получить соответствующие оценки значений функции arctan -j- для четных к, например, оценку гС 1 для числа arctan

В 1993 г. А. Хеймонен, Т. Матала-Ахо, К. Ваананен [33] используя, как и М. Хуттнер в работах 1986-1987 гг. [34], [35], аппроксимации Па-де для гипсргеометрической функции Гаусса, доказали общую теорему об оценках мер иррациональности логарифмов рациональных чисел. В этой же работе приведен достаточно большой список конкретных результатов, улучшающих более ранние оценки М. Хуттнера. В частности, представлены оценки ц < 9,7551., /i ^ 3,3317. Позже этими авторами были получены новые оценки [32]: ц (^/7 arctan — 4,0298.,

1 ^log 2 + arctan ^ < 3, 6073. и другие. Улучшение результатов происходит, в основном, за счет применения методики сокращения простых чисел в знаменателях коэффициентов линейных форм. Отметим также, что в 1987 г. Е.А. Рухадзе [11] была получена оценка показателя иррациональности числа log 2, являющаяся наилучшей на данный момент: /i (log 2) < 3,891.

Интерес в данной области исследований представляют работы Е.М. Матвеева ([8], [9], [10]), в которых получена явная нижняя оценка однородной рациональной линейной формы от логарифмов алгебраических чисел с рациональными коэффициентами.

Рассмотрим теперь совместные приближения значений некоторых элементарных функций. Так, известны оценки nlog2 + r27r) < 8,0161. и (n log 2 + r2 log 3) < 5,125., (1.7) где ri, Г2 € Q, (п, 7*2) ф (0,0), полученные соответственно М. Хата [31] и В.Х. Салиховым [13].

В.Х. Салихов использовал для доказательства оценки (1.7) симмет-ризованный вещественный интеграл, что позволило ему улучшить результаты Дж. Рина [38]. Отметим, что Дж. Рин [38] при получении оценки меры иррациональности ¿¿(log3) < 8,616. применял не гипергеометрический интеграл, а специальным образом подбирал подынтегральные функции, чтобы получаемые линейные формы обладали "хорошими" арифметическими свойствами. Идея Дж. Рина получить оценку линейной комбинации соответствующих чисел состояла в выборе различных путей интегрирования от одной и той же подынтегральной функции.

В данной диссертации ряд существующих результатов удалось улучшить, используя различные модификации симметризованного интеграла, введенного в 2007-2008 гг. В.Х. Салиховым [12], [13].

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, 1973. —296 с.

2. Василенко О. Н. Об иррациональности значений гипергеометрической функции Гаусса // Вестник МГУ. Серия1. Математика, механика, 1985.-^3.-0. 15-18.

3. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. —152 с.7г

4. Дубицкас А.К. Приближение —рациональными дробями // Вестникл/3МГУ. Серия 1. Математика, механика, 1987. — №6.— С. 73-76.

5. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. — М.: Физ-матгиз, 1962.-С. 62-68.

6. Иванков П.Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций с различными параметрами // Математические заметки, 1992.-Т. 52, Вып. 6.-С. 25-31.

7. Иванков П.Л. Уточнение оценок некоторых неоднородных линейных форм // Математические заметки, 2005. —Т. 77, Вып. 4.—С. 515-521.

8. Матвеев Е.М. Диофантовы приближения в логарифмических пространствах // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. — М.: Московский государственный текстильный университет им. А.Н. Косыгина, 2003.

9. Матвеев Е.М. Явная нижняя оценка однородной рациональной линейной формы от логарифмов алгебраических чисел // Известия РАН. Сер. матем., 1998.-Т. 62, №4.-С. 81-136.

10. Матвеев Е.М. Явная нижняя оценка однородной рациональной линейной формы от логарифмов алгебраических чисел. II // Известия РАН. Сер. матем., 2000.-Т. 64, №6 — С. 125-180.

11. Рухадзе Е. А. Оценка снизу приближения In 2 рациональными числами // Вестник МГУ, 1987. — Серия1. Математика, механика, №6.— С. 25-29.

12. Салихов В. X. О мере иррациональности числа п // Успехи математических наук, 2008. Т. 63, №3. - С. 163-164.

13. Салихов В. X. О мере иррациональности log3 // Доклады РАН, 2007. — Т. 417, №6.-С. 753-755.

14. Салихов В.Х., Сальникова Е.С. Диофантовы приближения логарифма "золотого сечения" // Вестник Брянского государственного технического университета, 2007.—№1, —С. 111-119.

15. Сальникова Е.С. Диофантовы приближения log 2 и других логарифмов // Математические заметки, 2008. —Т. 83, Вып. 3—С. 426-436.

16. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной.—М.: Физматлит, 2004 — 336 с.

17. Томашевская Е.Б. О диофантовых приближениях числа 7Г числами из поля Q(a/3) // Математические заметки, 2008.— Т. 83, Вып. 6.— С. 912-922.7г

18. Томашевская Е.Б. О мере иррациональности числа log 5 4- — и некотоЛрых других чисел // Чебышевский сборник, 2007.— Том 8, Вып. 2.— С. 97-108.1

19. Томашевская Е.Б. Совместное приближение log 2 и arctan // Вестник Брянского государственного технического университета, 2006. — №4. — С. 126-130.

20. Федорюк М.В. Метод перевала. — М.: Наука, 1977. —369 с.

21. Alladi К., Robinson M.L. Legendre polynomials and irrationality //J. Reine Angew. Math., 1980.-Vol. 318.-P. 137-155.

22. Amoroso F., Viola С. Approximation measures for logarithms of algebraic numbers // Ann. Scoula normale superiore. Pisa, 2001. —Serie IV, Vol. XXX.-P. 225-249.

23. Baker A. Transcendental number theory. — London: Cambridge univercity press, 1975.

24. Beukers F., Matala-Aho T., Vâànànen К. Remarks on the arithmetic properties of the values of hypergeometric functions // Acta Arith., 1983. — Vol. XLII.-P. 281-289.

25. Chudnovsky G.V. Hermite-Padé approximations to exponential functions and elementary estimates of the measure of irrationality of 7г // Lecture Notes in Math. 925. Springer. Berlin, 1982.-P. 299-322.

26. Chudnovsky G.V. Recurrences, Padé approximations and their applications // Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 92. Dekker, New York, 1984.— P. 215-238.

27. Dieudonné J. Calcul infinitésimal. — Hermann, Paris, 1968.

28. Hata M. A lower bound for rational approximations to 7Г // J. Number Theory, 1993.

29. Hata M. Irrationality measures of the values of hypergeometric functions // Acta Arith., 1992.-Vol. LX.-P. 335-347.

30. Hata M. Legendre type polynomials and irrationality measures //J. Reine Angew. Math., 1990. No. 407. - P.99-125.

31. Hata M. Rational approximations to тг and some other numbers // Acta Arith., 1993. LXIII, Vol. 4. - R 335-349.

32. Heimonen A., Matala-Aho T., Vàànànen К. An application of Jacobi type polynomials to irrationality measures // Bull. Austral. Math. Soc., 1994. — Vol. 50, no. 2. — P. 225-243.

33. Heimonen A., Matala-Aho T., Vàanânen К. On irrationality measures of the values of Gauss hypergcometric function // Manuscripta Math., 1993.-Vol. 81.-P. 183-202.

34. Huttncr M. Irrationalité de certaines intégrales hypergéométriques // J. Number Theory, 1987. Vol. 26. - P. 166-178.

35. Huttner M. Problème de Riemann et irrationalité d'un quotient de deux fonctions hypergéométriques de Gauss // C.R. Acad. Sci. Paris Sér. I 302, 1986.-P. 603-606.

36. Mahler К. On the approximation of 7г // Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 56, 1953.-P. 30-42.

37. Mignotte M. Approximations rationnelles de ir et quelques autres nombres // Bull. Soc. Math. France Mém, 1974.-Vol. 37.-P. 121-132.Литература ( 99

38. Rhin G. Approximants de Padé et mesures effectives d'irrationalité // Progr. in Math. Birkhäuser, 1987.-Vol. 71.-P. 155-164.

39. Rhin G., Viola C. On a permutation group related to £(2) // Acta Arith., 1996.-Vol. 77. — P.23-56.Брянский государственный технический университет