О применении теоретикочисловых методов в некоторых задачах классической механики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

>Г6 о

ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЩИИ И

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

¿¡еханико-математическиП факультет

О ПРКйЕНЕНШ ТЕОРЕТИКОЧИСЛОВЫХ шЕТОДОВ В НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации не соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Мощевитин Николаи Германович

УДК 531.31

Москва - 1994

Работа выполнена на кафедре теоретической механики механико-математического факультета Московского Государственног Университета им.М.Б.Люмоносова

Научный руководитель : доктор физико-математических наук,

профессор В.В.Козлое

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук,

профессор А.П.каркееЕ / КШ РАН /

кандидат физико-математических наук, доцент Ю.Н.Шахов / ШЖ /.

Ведущая органазаиия : Вычислительный центр РАН .

Защита диссертации состоится »/¿Г» сшШл ММ в 16час.00мин. на заседании специализированного согета по механ Д.053.05.01 при Московском Государственном Университете им.М.В.Ломоносова по адресу : 119893,Москва,Воробьёвы горы,¡да", ыеханнко-улгеттичаскиЁ факультет,аудитория 16-10.

. Автореферат разослан "¿¡Ц " ср. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Учёный секретарь специализированного совета Д. 053.05.01 при ¿¡ГУ. _ ,_

д.ф.м.НоД.З.Тре

ОБЩАЯ характеристика: работы

Актуальность темы. В последние годы проявляется большой интерес я исследованию качественного поведения траекторий одночас-тотных и многочастотных динамически:: систем,требующего учёта влияния диофантовых свойств частот.Ряд восходящих к А.Пуанкаре, Г.Зейлю и П.Еолю а также более ранним авторам классических задач аналитической механики многочастотных систем тесно связан с вопросами распределения условнопериодических траекторий на торе,поддающимися теоретикочисловому анализу.Эволюция таких систем во времени во многом определяется характером распределения иррациональных обмоток на торе.В настоящее время необходимость более детального рассмотрения обмоток тора возникает в теории возмущения условнопериодических движений,во многих задачах как голономнои так и неголономной механики.Эта область механики интенсивно развивается.многие вопросы динамики траекторий мно-гочастотнкх систем,связанные с использованием теоретикочисловых соображений были исследованы в работах А.Н.Колмогорова,В.И.Арнольда, Н.Н.Боголюбова,К.Зигеля,А.И.Нейштадта,П.Лошака и других.

Подобные задачи связаны с возможностью и необходимостью более детального анализа арифметических свойств рассматриваемых частот.использованием методов и результатов теории диофантовых приближений,некоторые из них могут быть поставлены и решены непосредственно в рамках теоретикочисловых понятий.

Цель работы состоит в исследовании поведения траекторий некоторых многочастотных систем,которые естественным образом возникают в классической механике,изучении эффектов,связанных с так называемой проблемой "малых знаменателей" и более деталь-' ном рассмотрении рядов,содержащих эти "малые знаменатели" на

основе учёта различных соображений.об арифметических свойствах частот.

Метод исследования. Качественное поведение траекторий, рассматриваемых динашческих систем исследуется с помощью математических методов.В основном используются теоретикочисловые методы приближённого анализа.применяются результаты и методы теории линейных диофантовых приближений,методы,связанные с теорией цилиндрических каскадов,естественным образом возникающие при изучении некоторых систем уравнений Гамильтона.

Научная новизна. В работе получены следующие основные результаты :

- Приведены примеры вырожденных систем уравнении Гамильтона,зависящих от действительного параметра,поведение траектории которых весьма иррегулярно зависит от этого параметра и определяете

его диофантовыми свойствами : в зависимости от характера приближении этого параметра рациональными числами система мояет быть интегрируемой или неинтегрируемой,иметь интеграл конечной фиксированной гладкости.

- Исследованы асимптотические свойства интегралов от условнопе-риодических функций в виде которых выписываются решения некоторых задач динамики.Получен ряд результатов,позволяющих ослабить классическое условие "сильной несоизмеримости" наборов ча-

. стот,в рамках которого,как правило,проводились все подобного рода исследования ранее.

- Получены результаты об асимптотическом поведении траекторий некоторых линейных неавтономных дифференциальных уравнений с условнопериодическими коэффициентами,возникающих в некоторых задачах динамики твёрдого тела.

- Прослеживается связь обсуадаемых задач и полученных результа-

тов с близкими вопросами теории диофантовкх приближений и теории равномерно распределённых последовательностей.Указаны тео-ретикочисловые аналоги полученных результатов о поведении траектории исследуемых динамических систем.

Достоверность результатов. Решения всех задач получены с помощью строго обоснованных математических методов и снабжены необходимыми ссылками на литературу.Отмечается согласованность полученных результатов с результатами других авторов. Достоверность результатов такхе основывается на строгости и подробности приведённых в диссертации доказательств.

Практическая ценность. Диссертация носят теоретический характер.Её результаты могут быть использованы при качественном анализе поведения,асимптотического распределения траекторий многочастотнкх систем в которых возникает проблема малых знаменателей.Результаты могут оказаться полезными и в некоторых вопросах теории чисел связанных с распределением значений систем линейных функций,геометрией линейных форм,вопросах равномерного распределения последовательностей.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на заседаниях семинаров "Динамические системы классической. механики" под руководством З.В.Козлова и С.В.Болотина, "Избранные задачи аналитической механики" под руководством В.В.Козлова и Д.В.Трещёва.на семинаре по классической механике под руководством В.Г.Дёмина,на семинарах "Ортогональные ряды" под руководством Б.С.Кашина и К.И.Осколкова,"Тригонометрические суммы и. их приложения" под руководством Н.М.Коробова ,"Диофантовы приближения" под руководством А.Б.шидловско-го.НЛ.Фельдмана и Ю.В.Нестеренко.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы

в шести работах автора ^1,2,3,4,5,6

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав.теоретикочислового добавления и списка литературы,включающего 48 наименований.Общий объём диссертации - 70 страниц.

СОДЕРЖАНКЕ РАБОТЫ

Во введении обсуздается актуальность диссертации,закономерность возникновения задач классической динамики,поддающихся теоре-тикочисловому анализу.излагается краткое содержание работы.

Первая глава посвящена доказательству высказанной В.В.Козловым гипотезы :

построен пример гамильтоновой системы с одной степенью свобод: . ¿ = ЭЗ-1/Эц < ^ - Э^/Э^

где -с |с®,4) -, (*,-!:) &Та ; tj & &

8 é íR ~~ параметр,а функция .jL является специальным образом выбранной аналитической функцией,периодичной по каздому аргументу с периодом единица,обладающей следующим свойством:

множество значений параметра £ распадается в непере-

секающееся объединение множеств М^гГ , M о , .•••» Мц • ...,Мсв. И О таких,что при система неинтегрируема,

при £ Но система допускает существование непрерывной но не дифференцируемой инвариантной функции вида ^ - у + § С^с., t ) при £ е M¿ - инвариантной функции указанного вада класса С* ,при ¿4 М^ - инвариантной функции указанного вида

(Г

класса С .при <Е е N допускает бесконечно дифференциру-

- 1 оо

емый.но не аналитический,а при ¿Г е M^q - аналитический интеграл

зада .Множества /М^' задаются диофантовыми неравенст-

зми и всюду плотны на множестве значении параметра . ¿оказы-штся.что никакая другая инвариантная функция рассма-

шваемой системы не монет иметь гладкость по переменным х и )езосходяще!1 гладкости построенной функции ^-С^х^-) .Рассуддения :пользуют технику цилиндрических каскадов и аппарат цепных дробей.

Вторая глава посвящена исследованию финальных свойств интег-1лов от условнопериодических функций.

йнтегоал -Ь

шь ]о

це функция |(эс1> определена на торе ^Г ,

] { С^».....эсО АэС1... = О ,

Тс •

частоты А* , "^т.6 -линейно независимы над 2, ,

ш введён А.Пуанкаре при анализе возмущений в небесной механике Г.Зейлем при исследовании некоторых средних движений.Согласно зна-¡нетой теореме Г.Вейля о равенстве пространственного и временного

1едних выполняется ~ В.Козловым было сформулирова-

следущее предположение : Гипотеза. Пусть функция с нулевым средним анали-.чна в некотрроп комплексной окрестности вещественного тора ТГ частоты линейно независимы над .Пусть кроме того

1(0)^ О .Тогда осциллирует при I-»30.

Сформулированная гипотеза верна для тригонометрических поли-мов.Кроме того,если линейная форма ^■ <£ пускает оценку снизу на некотором множестве векторов <0 ,то я векторов из указанного множества при достаточной гладкости

утверждение гипотезы такяе выполняется.Это обусловлено тем,что при выполнении указанных условий интеграл I (4) такяе будет условнопериодической функцией в силу его ограниченности.В.В.Козловым в одной из его работ гипотеза доказана для двухчастотных систем при условии ^(зс^х^<=С2(Т).Последнее условие было ослаблено Е.А.Сидоровым с помощью анализа цилиндрических каскадов.Он показал , что для возвращаемости и осцилляции достаточно потребовать абсолютной непрерывности функции на торе Т *

Одним из основных результатов диссертации является замена условия сильной несоизмеримости набора uo^ *г.= 3

в случае трёхчастотной условнопериодической функции более слабым диофантовым условием отсутствия у -чисел ^j."1 ^х/^и аномально хороших совместных рациональных приближений.Именно, доказано,что интеграл 1(4.) осциллирует если функция | (x\i, аналитична в некоторой комплексной окрестности вещественного тора

TS ,а частоты удовлетворяют следующему условию : (/) - линейно независимы над *2j ;

Отметим,что множество наборов удовлетворяющих

ft ж а

всюду плотно в (R .имеет полную меру и на этом множестве значение линеиноЁ. формы ^(^г^Ллм^и^ с целыми коэффициентами может быть сделано сколь угодно малым по порядку.

В диссертации приведены примеры многочастотных / 1 ~t- 3 / условнопериодических функции,интегралы от которых не являются ограниченными , а тем не менее интеграл Х(^) осциллирует. Методы доказательства результатов основаны на детальном анализе

рддов вида .

у Г 1_ llQn^^rпД) Q (/-

L+ ((imjtt) ■ •amji+i/ п m^^.-.tm^l

m^ ...

рассмотрение которых, требует применения теоретикочисловых соображений.

Помимо отмеченных выше результатов во второй главе диссертации на более высокие размерности обобщается пример А.Пуанкаре о невозвращаемости интеграла I при недостаточной гладкости функции ^ с нулевым средним.Именно,А.Пуанкаре привёл пример непрерывной но не дифференцируемой, функции ^(о^.зСзЗ на торе ^ и набора частот ,что соответствующий

интеграл 1(-0 стремится к бесконечности при 00 ,а в настоящей работе,основываясь на идеях Д.В.Трещёва.для произвольного 1 2- 2ч строится функция "...) и набор линейно

независимых над ^ частот —, ^О таких что интеграл ГСО при достаточно больаих значениях -{: всюду положителен и отделён от нуля положительной постоянной.Построение основывается на использовании диофантовых свойств алгебраических чисел.

В заключении второй главы обсуждаются различные задачи классической механики,приводящие к рассмотрению интегралов 1(А) и рядов,выписанных выше.

В третьей главе диссертации исследуется асимптотическое поведение траекторий некоторых неавтономных линейных дифференциальных уравнений на компактных группах Ли,которые возникают в некоторых задачах динамики твёрдого тела.Приведём основные определения и формулировки:

Пусть С- - матричная группа Ли,а ^ - её алгебра.Рассматривается уравнение Х-АЮХ 'где ^ ^ с -гладкая датрица размера а *а периодическим или условнопериодическим збразом зависящая от времени 4: Лерез обозначается траектория с начальным условием Х(о)-£.Будем говорить,что траектория

(4) возвращается во сколь угодно малую окрестность единицы £ группы От если множество моментов времени -Ц неогранкчено сверху.Сформулируем основной результат: Пусть 5x1

11Г< «1+ ...* иЗ^ •

.. *-оО "Ч-, -."Ч

где /4 - постоянные кососимметрические матрицы размера п.* такие,что ряд составленный из величин сходится.

Пусть натуральное удовлетворяет системе неравенств

Тогда найдётся момент времени ^

X = Б- + О (^ С^) гЫ ) 4

тэкоа,что

Следствием сформулированного выше утверздения является возврата емость траектории У(ь) при условии ^(с^ ->0. Метрическая теорема А.Я.Хинчина утверждает,что в случае Б = 2. типичной является ситуация,когда диофантово условие из приведён ной выше формулировки выполняется с ^С^)«^ с^ .Следовательно в случае £>^2 имеет место особо сильный результат:

При условии достаточной гладкости матрицы й (-0 <= (.П.) для почти всех в смысле меры Лебега наборов частот (с^, имеет место возвращаемость траектории

В заключении автор хочет поблагодарить своего научного руководителя профессора В.В.Козлова а также профессоров Н.М.Кор бова и Н.И.Фельдмана за полезные обсуждения работы.Автор такге глубоко признателен С.А.Довбышу и д.В.Трещёву.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих >аботах автора :

1.Мощевитин Н.Г. Финальные свойства интегралов от условнопери-одических функций,связанные с проблемой малых знаменателей// Вестн. ¡¿оск.Ун-та,сер.1,1988,№5,94-96.

2.Мощевитин Н.Г. О распределении дробных долей систем линейных функций//вестн.1уюск. Ун-та, сер. 1,1990 ,М, 26-31.

3.Мощевитин Н.Г. 0 существоаннни и гладкости интеграла га-мнльтоновой системы определённого вида'/Д;ат. заметки, 1991, т.49,в.5,80-85.

4.Мощевитин Н.Г. 0 поведении интеграла условнопериодической шункцин//Матем.методы в механике.,под.ред.Ь.В.Козлова,Ы.1,'¡ГУ, 1990,63-66.

б.Мощевитин Н.Г. 0 невозвращаемости интеграла условноперко-дической функции//Ыат.заметки,1991,т.49,в,6,138-140.

б.Мощевитин Н.Г. К вопросу о поведении интеграла условнопери-одической функвди//шат.заметки,1991,т.50,в.3,97-106.

Зах.М 170 , тир.100 экз.