Об алгебраической независимости значений некоторых гипергеометрических Е-функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

,Т\ 0 4 '' Я

>А ч I,

Г/ о - -

ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ии. М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ

ЗНАЧЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ Е-ФУНКЦИЙ

01.01.08 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

УДК 511.36

ЧЕРЕПНЕВ Михаил Алексеевич

Москва — 1991

Работа выполнена на кафедре теории чисел механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.Б.Ломоносова

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Шидловский A.B.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Панчишкин A.A.

каедидат физико-математических наук, Салихов В.Х.

Ведущая организация - Институт математики Боларусской АН.

Защита состоится " '"7Г с _в 16 часЛОмш

на заседании специализированного совета по математике Д.053.05.05 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: II9899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитстйд 14-08^ ^JJ

Автореферат разослан " "/ & / ^^ 199J_________

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Ученый секретарь ,'/

Специализированного совета по математике у г I

Д.053.05.05 при МГУ ' / ¿/ / кандидат физико-математических наук

Чубариков В.Н.

. t : .

■ ! ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

----Актуальность темы. Важнейшей задачей теории трансцендентных чисел является разработка методов доказательства трансцендентности и алгебраической независимости значений различных классов аналитических функций.

Содержание диссертации связано с одним из основных направлений теории трансцендентных чисел, ведущего своё начало от работы К.Зигеля [i] , опубликованной в 1929г., в которой он установил алгебраическую независимость значений функции Бесселя в алгебраических точках.

В 1949 г. К.Зигеля [2] изложил свой метод в виде общей теоремы об алгебраической независимости значений одного достаточно широкого класса целых функций, удовлетворяющих линейным однородным дифференциальным уравнениям с коэффициентами из названных

им. £7-Функцйями. Новых приложений по сравнению с работой [i] эта работа не содержала. Это связано с тем, что проверка условия нормальности, при которой справедливо утверждение теоремы Зигеля, очень сложна.

Дальнейшее развитие метод Зигеля получил в работах А.Б.Шид-лонского. В 1954 г. им была опубликована теорема аналогичная общей теореме К.Зигеля, но доказанная при менее стеснительных предположениях, а в 1955 г. общая теорема условие которой - алгебраическая независимость рассматриваемых функций над является не-

обходимым и достаточным для алгебраической независимости значений

[1] Siegel C.L. . Uber einiße Anwendungen' Diophen b in eher Approximationen. - ЛШ, Ргеизз Acad. V/ias., Phia.-I.Iath., KL,, 19291930, И1, p.1-70.

[2] Siesel C.L. Trnnacendeivtal mmibera.-Princ. Univ. Presa, 1949.

рассматриваемых ¡^ -функций в алгебраической точке.

Доказательство основной теоремы А.Б.Шидловского изложено в книге [3] . Эта теорема была применена к более широким подклассам El -функций, чем теорема К.Зигеля, поскольку проверка ее условия значительно проще, чем, условия нормальности Зигеля, а применение теоремы возможно и к решениям линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

В связи с общей теоремой А.Б.Шидловского возникла проблема разработки методов доказательства алгебраической независимости над (¿,(2.) функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям. За последние 35 лет ряд таких методов был опубликоъон и применен к исследованию арифметических свойств значений tl -функций.

В 1969 г. Ю.В.Нестеренко [4] доказал теорему, позволяющую сводить исследование алгебраической независимости над ([1 (Z) Функций, удовлетворяющих системе неоднородных дифференциальных уравнений, к исследованию решений соответствующей ей однородной системы.

В своих работах, начиная с 1977 г. В.Х.Салихов [б,б] развил методы доказательства алгебраической независимости функций, удовлет воряющих линенным дифференциальным уравнениям. Полученные результаты позволили ему с помощью указанных выше основной теоремы А.Б.Шидловского и теоремы Ю.В.Нестеренко доказать алгебраическую независимость значений гипергеометрических' El -функций и их последовательных производных в алгебраических точках при естественных

[3] Шздловский А.Б. Трансцендентные числа. - М., Наука, 1987

[4] Нестеронко Ю.В. Об алгебраической независимости значений

-функций, удовлетворяющих линейным неоднородным дифференциальным уравнениям. - Мат.заметки,1969,5, № 5,с.587-589. [б] Салихов В.Х. Форг/алышв решения таенных дифференциальных "равнений и их применение в теории трансцендентных чисел. -Тр.Моек.кат.об-ва, 1988,51, с,223-256. [б] Салихов Б.Х. Неприводимость "ипергеоглетрических уравнений и алгебраическая независимость ' £7-функций.

ограничениях, наложенных на параметры этих функций.

В 1988 г. Ф.Бейкерсом, В.Д.Броунвеллом и Г.Хекганом была опубликована работа [7] , связанная с проверкой условия нормальности Зигеля и применением его общей теоремы для широкого подкласса гипергеометрических -функций. В этой работе впервые после работ К.Зигеля удалось с помощью теорий алгебраических групп и групп Ли разработать метод позволивший проверить выполнение условия нормальности Зигеля.

Содержание диссертации связано с разработкой методов доказательства алгебраической независимости функций над (¡Z. (Z-)- В Н0Й с помощью указанных выше теорем А.Б.Шидловского и Ю.В.Нестеренко методы В.Х.Салихова и трех авторов работы [7] получают некоторое дальнейшее развитие и некоторые новые приложения.

Цель работы. Доказательство алгебраической независимости значений в алгебраических точках гипергеометрических -функций и их последовательных производных для более общих подклассов функ- • ций и их значений по сравнению с известными результатами.

Методика исследования. В работе используются упомянутые выше методы и результаты Зигеля - Шидловского, Ю.В.Нестеренко, В.Х.Салихова и Ф.Еейкерса, В.Д.Броунвелла, Г.Хекмана.

Научная новизна. Все результаты устанлвленные в диссертации являются новыми. Основные из них следующие.

I) С помощью метода В.Х.Салихова доказан критерий алгебраической независимости значений гипергеометрической -функции с простым числом агрегатов в знаменателе и ее последовательных производных в различных алгебраических точках с наиболее простым ограничением на рассматриваемые точки.

[?] Beulcers Р.. Brownawell W.D., Heckman G. ■■ Siegel normality.-Arm. of Hath., 1988, 127, p.279-308.

2) Основной арифметический результат работы [7] распространен на случай, когда рассматриваемые гипергеомотрические ЕИ -функции удовлетворяют линейным неоднородным дифференциальным уравнениям .

3) Установлен критерий алгебраической независимости гипергео-ыетричсской -функции и ее последовательных производных в случае, когда соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение линейно однородно неприводимо (ом. [б] ).

4) С помощью результатов работ [4 - 7] и основной теоремы А.Б.Шидловского основной арифметический результат работь. [7] существенно обобщается на более широкие множества значений параметров рассматриваемых функций.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Результаты могут найти применение при решении задач теории трансцендентных чисел в МГУ и Институте математики Белорусской Академии наук.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной школе "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел" (г.Минск 1989 г.), на семинаре по диофантовым приближениям кафедры теории чисел МГУ.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в [7]работах, список которы; приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, содержащих 8 параграфов, и списка литературы. Объем работы 135 страниц машинописного текста. В библиографии приведено 95 наименований работ.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ Р/ЕОТЦ.

В диссертации установлен ряд теорем об алгебраической независимости значений гипергеометричоских £ -функций в алгебраических точках. Для этого применяются и находят некоторое дальнейшее развитие упомянутые шше методы В.Х.Салихова и трех авторов роботы [?] доказательства алгебраической независимости функций над С (4 Во введении дан краткий обзор исследований, связанных с содержанием работы, приведены необходимые определения и вспомогательные предложения, а также сформулированы основные результаты диссертации.

В первой главе, пользуясь методом В.Х.Салихова доказана Теорема I. Пусть

А1--(ДаМ{1>

Ц'О

где / - простое число, а оС{,...,оСп,С^(\{0), ™ > 1 •

Уф/

и таковы, что для любых различных выполнено условие

Тогда совокупность чисел у 0^) ' ^ — ^'

..., t ~ 1 ; /...../77 ; алгебраически независима в том и

только в том случае, когда числа Ь { ..... ^ ^ не являются целыми, образующими полную систему вычетов по модулю Ь .

По сравнению с аналогичной теоремой В.Х.Салихова эта теорема предполагает менее стеснительные естественные ограничения на точки сС с , I - /,..., М .

Во второй главе основная теорема работы [7] об алгебраической независимости значений гипергеометрических -функций, удовлетво-

ряющих линейным однородным дифференциальным уравнениям распространяется на неоднородный случай. _

пусть . . ас Д в С ,

С— / ,£ . Будем пользоваться обозначением О. ^ Е в

случае, когда существует перестановка '5Г' чисел i.....¿¡!

такая, что (0.1 - <£ , I = Если с! .

С С , то обозначим с1& + С « (6(1{ +С, . - - ,с1(Х.$ + С).

Параметрическое семейство действительных чисел длины I + С ввда ,5 = { У,Д} = ) • гд0

I > < . I * О ; У^Яу [0,-1г2> } называется допустимым, если оно удовлетворяет хотя бы одному из двух следующих условий:

а) (ц - Я^ 4. I - С-/;/- . -А <

и все суммы X¿ Лj > различны по

Уп ос!

В) / = О . £ - нечетно или /= 2 , а совокупность параметров ^ • - - / | . рассматриваемая по Ш не может быть представлена как объединение неборов вида (у + 4- у- + -- I с фиксированным с/ '

Два параметрических оемейства

называются подобными, если:

A) I ~ I , Ь ~Ь ,

B) существуют такие У , Дв , , что

Пусть гипергеометрическая -функция 2[) определена

равенством

и =о

Будем считать, что параметрическому семейству рациональных чиоел

Ъ>(,1К>0, Ак^(Ог<г*,-)> (3)

соответствует гипергеометрическая -функция

оо { Ц

ТГ (4>

& /т^Г* < V« ''' ^«А*^ V ** /

Теорема 2. Пусть Д.^ ..... а - допустимые параметрические семейства вида (3), где

функции и ^ (К) определены равенствами (2) и (3),(4).

.ллео

7/1 ' ---г--"------х----------------------------- ,. -

з. .....^ ^ Г^/ ' пРичем- если и /5-.

£ /у ; Ц <Е ^ .,. подобны, то ) * ? • а

1лгебра;гческие числа . линейно не зависимы над

Тогда числа

алгебраически независимы.

В качестве приложения этого результата доказаны следующие две теоремы.

Теорема 3. Пусть функция определена равенством (I),

где I -нечетно, ( > ( . ИЛИ {-г . /=с,Л;е(р\[о,-(Л}

1= { ..... I .а <С< .....

и таковы, что для любых различных £ ^> • - ■ / ^}

выполнено (± (.

Тогда совокупность ю t чисел у (оС^) , I — О , (,•••, t ~ 1 ; J ~ 1..... М , алгебраически независима в том и только в том случае, когда числа ...../

не являются целыми, образующими полную систему вычетов по модулю

Л ■

Эта теорема обобщает аналогичную теорему В.Х.Салихова тем что предполагает менее стеснительные естественные ограничения на точки

Теорема 4. Пусть .....А,■■■}, И * Л

оо

г

7 Ко - - >КлХ /м • I'

Ьк нечетные, ¿к>{ , а (Д^-И^б/^ ,

.... М , ГП* ( . Далее, ..... «Си £ Д \ / ,

причем для любых различных £/,. . , для которых

^ 1 ( &) - наибольший общий делитель натуральных чисел й к ё ), выполнено ,) ^ ^ / * гд0

/ • • - наименьшее общее кратное чисел t¿ и , а алГгебраичес-

кие числа уЗу ,..., линейно независимы над .

Тогда совокупность чисел

%/М ■ ■ ■, % СА).

алгебраически независима.

В третьей главе доказывается теорема об алгебраической независимости над полем рациональных функций гипергеометрической функции общего вида и ее последовательных производных, откуда с помощью основной теоремы А.Б.Шядловского получен соответствующий арифметический результат.

Пусть функция — (определена равенством

сю

И —О

/г

где

Эта функция является решением линейного дифференциального уравнения

о

Рассмотрим также соответствующее однородное уравнение

= 0

П) ^

(6)

Линейное однородное дифференциальное уравнение порядка /[/

называется линейно однородно неприводимым, если для любого нетривиального решения у этого уравнения функции , 1^',..., ^ ^ ^ линейно однородно независимы над полем рациональных функций.

Теорема 5. Пусть гипергеометрическая £7-функция Ф^^ (к) определена равенством (5), где У£- , ^ • (£ (р\ ^/, ... ^

о С-0

ствующее однородное уравнение (6) линейно однородно неприводимо,

а оСеА\{о] .

Тогда для того, чтобы числа

соответ-

били алгебраически зависимы необходимо и достаточно, 'чтобы для некоторого <= / 1 , ■ ■ • , ^ * ^ ] • £ ^ и внпол-

нялось хотя бы одно из следующих соотношений:

1°. при ¿=0 , Ь 2 Р , Р > 1 , существуют такие Х0 , , .... X(¡^ , что /

2°. при 1*2$, &> О, Ь-ёГ'.Г'*^ ,

Ха , ^.........., что

такие

Г/ ? /л /

либо

б)

( X - Хо)^(0,2

( X - Хв) - ( хп-х{, Г

з°..при 1=2$-1 . ¿'>0 , ,

существуют такие 0Со , Х\,..., ^ ^ ' чт0

XI-( О, Х,у

В этой теореме исследуются множества наборов параметров которые в соответствующей теореме В.Х.Салихова являются исключительными.

Тоопема 6. Пусть

оо

■ Р * •_¿Ж

\к*

н = о

а' oCeA\jOj. (i)

Тогда для того, чтобы числа <1 (сС) , были

алгебраически зависим необходимо и достаточно, чтобы при некоторой перестановке ¿//¿/j/^ чисел и выполнялось хотя бы одно из следующих-двух условий:

В четвертой главе, используя метод трех авторов работы [?] и метод В.Х.Салихова, получена теорема, обобщающая основной арифметический результат работы р7] .

Необходимым и достаточным условием линейной однородной приводимости уравнения (6) является выполнение хотя бы одного из следую щих трех соотношений ( [б] теорема 8, стр.227).

4°. при / > О существуют I <£ j'f, ..-¿¿^J и

iej{,...,tj такие- что

5°, при I > О существует О > / , Cf/u , Cl I £ ,

такое, что

6 . при £ -О существует

d>/ , djt , такоо, что

a+i)-*-

- 13 -

Теорема 7. Пусть .....€ Л ■ - }> ^

а параметрическое семейства

4=[ ЧсХ\<>

не удовлетворяют ни одному из соотношений 1° - 6° (см. выше и

теорему 5) при Л = Лк , У= Ук , X - 1.....УП . Далее,

функции ^ (2.) , К- { ..... Ш определены равенством (4),

а с(м£Л\{0}- Причем, если и ^ , / * £ ;

^ ..... м] , подобны, то

а ) - ■ ) ё Д и линейно независимы над .

Тогда числа

Я/АЬ- -Й/А).

¡Мю.....С'&>:

алгебраически независимы.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору А.Б.Шидловскому за постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации изложены в статьях:

1. Уточнение теоремы В.Х.Салихова об алгебраической независимости значений гипергеометрических -функций. - Тез.докл.Всес.шк. "Конструктивные метода и алгоритмы теории чисел". Минск,1989,

с.160.

2. Об алгебраичеокой независимости значений гшергеометрических Е -функций. - Деп. ВИНИТИ 16.05.90, № 2677-В90, 32 стр.

3. Об алгебраической независимости некоторых подклаосов гипергео-

метричеоких Ь~ -функций. - Деп.ВИНИТИ 21.08.90, № 4708-В90, 16 отр. [

4. Об арифметических овойогвах значений гипергеометрических Ь. -функций. - Деп. ВИНИТИ 21.08.90, № 4709-В90, 22 стр.

5. Об алгебраической независимости значений некоторых гипергеометрических -функций. - Тез.докл.Реоп.научн.-техн. конф. "Теория чисел и ее приложения". Ташкент, 1990, с.130.

6. Об алгебраической независимости значений гипергеометричеоких £Г -функций. - УШ, 1990, № 6, с.149-150.

7. Об алгебраической независимости значений гипергеометричеоких ¿1 -функций, удовлетворяющих линейным неоднородным дифференциальным уравнениям. - Вестник МГУ, Сер.1, Математика,механика 1991, № I, с.27-33.