Алгебраические свойства решений дифференциальных уравнений и их применение в теории трансцендентных чисел тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 511.36

САЛИХОВ Владислав Хасанович

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ЧИСЕЛ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва —1992

Работа выполнена на кафедре теории чисел механико-матема тического факультета Московского государственного университет имени Ы.В. Ломоносова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, Берник В.И.

доктор физико-математических наук, Нестеренко Ю.В.

доктор физико-математических наук, Степанов С.А.

Ведущая организация - математико-меданический факультет

Санкт-Петербургского' государственного университета

Защита состоится в 16 .час. 10 мин. на заседании специализированного совета по математике Д.053.05.05 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: II9899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

Автореферат разослан "//" 199^г.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математичеркого факультета МГУ.

^ченый секретарь Специализированного совета по математике Д.053.05.05 при МГУ кацдидат физико-математических наук

Чубариков ВЛ

I

I

•• ! ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

'-т'циЯ '

Актуальность темы. Изучение арифметических свойств зна-эний аналитических функций, удовлетворяющих линейным диффе-энциальным уравнениям, является одной из важных классичес-их задач теории трансцендентных чисел. Еще в 1873 г, Ш. Эр-иту1 удалось использовать функциональное ( (Z^Z^) = -fei} и дифференциальное ( - )

равнения для показательной функции — в и устано-

кть трансцендентность числа С . В 1882 г. Ф.Линдеман^ с эмощыо развития метода Эрыита доказал трансцендентность зна-зний функции в в алгебраических точках f ,

недовательно, трансцендентность значений функции & 2- в игебпаических точках ZÎ \°> . Тем самым была доказана рансцендентность числа ОТ , и получено отрицательное ре-зние известной проблемы квадратуры круга. Ф. Линдеману принад-зжчт также первое утверждение об алгебраической независимости зскольких чисел: Если »¿^ алгебраические числа,

шейно независимые над полем Q , то числа ô е.^*" 1гебраически независимы.

о

В 1929 г. К. Зигель . опубликовал метод доказательства ал-гбраической независимости значений одного класса целых функ-1Я, названных им S-функциями, удовлетворяющих линейным диффе-

. Hermite Ch. Sur la fonction exponentielle // C.R. Acifl. Soi. (Paria).-1873.-V.77.-P. 18-24, 74-79, 221-223, 285-293; Qeuvrea.-V.3.-P. 150-181.

Lindemann P. Über die Zahl5"// Math. Ann.-1882.-Bd.20-

5. 213-225.

Siegel K.L. über einige Anwendungen Diophantisoher Approximationen // Abh. Preuaa. Acad. Wias..ihya.-Math. XI.-1925-1930.-N.1.-S.1-70.

ренциальным уравнениям с коэффициентами из . В качест-

ве основного объекта'применения своего метода К. Зигель указал обобщение гипергеометрические функции

л,,-.-? , ,

•ие'п.

I

и их последовательные производные. |

функция (I) является Е-^ункцией, если все ее параметры 6 <£} . Кроме того, функция (I) является решением линейного дифференциального уравнения порядка

■ • (2)

В 1949 г. К. Зигель изложил свой метод в форме общей теоремы об алгебраической независимости чисел 4<(-о,..., А. ¿о где - совокупность Е-фушсций, удовлетворя-

ющих системе «О- линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с коэффициентами из

- алгебраическое число, отличное от нуля и особых точек этой системы. Общая теорема Зигедя сводила доказательство указанного арифметического утверждения к проверке некоторого аналитического условия нормальности для совокупностей произведе-

ий степеней рассматриваемых функций. Проверить выполнение словия нормальности. К. Зигелю удалось только для функций ¡идя (I), удовлетворяющих однородным дифференциальным урав-вниям первого и второго порядков. Заметим, что в случае tn ~> Z> подобная проверка для обобщенной ггагергеометри-еской Е-функции и ее последовательных производных впервые далась лишь в 1988 г. Д. Браунвеллу, Ф. Бейкерсу и F. Хек-юну^, создавшим новый метод, использующий средства теории редставлений групп Ли. Это позволило им с помощью общей еоремы К. Зигеля получить ряд результатов относительно ал-ебраической независимости совокупности значений произволь-< ых обобщенных гкпергеометрических Б-^ункций и их последо- . . -ельных производных.

Для применения своей общей теорзкы К. Зигель развил ето.д доказательства алгебраической независимости над <£(z) ешений и их производных совокупности некоторых линейных днородных .дифференциальных уравнений второго порядка. В астности, он доказал алгебраическую независимость чисел У0С<*) и Üj (U) , где У» ) - функция Бесселя, od - отличное от нуля алгебраическое число.

с

В 1955 г. A.b. Шидловский существенно обобщил метод . Зигеля. Ему удалось найти необходимое и достаточное ус-овие алгебраической независимости значений совокупности

• Deukera Р., BroVtoaweJJ D., Неоклиа G. 3iegol norsalit3//Ann. of Uath.-1938.-V.127.-Р.279-208.

. Шидловский А.Б. О критерии алгебраической независимости значений одного класса целых функций // ДАН СССР.-1955.-Т.100, Г» 2. - С. 221-224.

Е-функцнй , составляющей решение системы

дифференциальных уравнений

/л

Уг % + 2 , в^). (3)

Таким у.словиеи алгебраической независимости чисел

, где и. - алге(1раическое число, отличное от нуля и полюсов всех функций , является алгебраическая независимость функций (г) над

Си) .

Для применения общей теоремы А.Б. Шидлсвского к конкретным подклассам Е-фуш.ций естественно возникла проблема разработки методов доказательства алгебраической независимости функций над С (г) . Такие методы после Зигеля были разработаны А.Б. Шидловским, И.И. Белогривовым, К. Малером, К. Ваана-неном, В .'А. Олейниковым, Г.В. Нестеренко и рядом других авторов. Применял критерий А.Б. Шидловского, эти авторы получили результаты об алгебраической независимости значений различных совокупностей обобщенных гипергеоыетрических Е-функций^ а также некоторых других функций, связанных с ними. Все эти результаты относились к некоторым подклассам Е-функций, причем в ряде случаев рассматриваемые функции удовлетворяли дифференциальным уравнениям произвольных порядков.

В 1977 г. автором диссертации был опубликован метод доказательства алгебраической независимости функций, применимый к обобщенным гипергеометрическим функциям (I) в случае С-О

£ - произвольное простое число. Эти исследования были про-.олжены в ряде работ автора, опубликованных в 1980-88 г.г. [одробно история вопроса изложена в монографии А.Б.Шидловс-ого6.

Целью работы является

I/ разработка новых методов исследования алгебраических эойств решений линейных дифференциальных уравнений с коэффи-иентами из , применимых, з частности, к обобщенным

ипергеометрическим уравнениям любых порядков;

2/ доказательство алгебраической независимости совокуп-ости значений в алгебраических точках обобщенных гипергео-етрических функций и их последовательных произвольных.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из ведения, 5 глав и списка литература. Объем диссертации 266 тр. библиография включает 101 наименование.

Общая методика исследования основана на построении и зучении алгебраических свойств специальных фундаментальных истем решений (ф.с.р.) линейных однородных дифференциальных равнений с коэффициентами из . Эти ф.с.р. строятся

дифференциальных полях, являющихся расширениями поля форельных степенных рядов. В методе существенно используются ззультати аналитической теории дифференциальных уравнений и кфференциальной алгебры. Предложенная методика применяется ля исследования алгебраических свойств решений линейных ифференциальных уравнений, обладающих иррегулярной особой эчкой, з частности, для уравнений (2).

Шидловский А.Б. Трансцендентные числа.-М.: Наука. - 1987.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. Перечислим эти резу; латы.

I/ Доказан ряд общих теорем о неприводимости линейных дифференциальных уравнений, основанных на свойствах ф.с.р. в окрестности иррегулярней особой точки.

2/ Установлены критерии неприводимости обобщенных гипергеометрических дифференциальных уравнений во всех случаях, к~оме случая € , £¿3 . В частности, при ~Ь - нечетком доказана эквивалентность приводимости и линейной приводимости. В "четном" сцучае, кроме соответствующего критерия, приведена конструкция возможных в случае приводимости квадратичных алгебраических связей.

3/ Получен ряд результатов об алгебраической независимости значений обобщенных гипергеометрических Е-функций и их последовательных производных. Некоторые из этих результатов содержат необходимые и достаточные условия, наложенные на параметры рассматриваемых функций.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти пр1 менение в теории трансцендентных чисел, дифференциальной алгебре, теории специальных функций и быть использованы в МГУ, Ивановском и Львовском университетах, Институте математики Белорусской Академии наук.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации до ладывались кч семинарах по теории чисел МГУ, на Ломоносовски чтениях в МГУ, на всесоюзных конференциях и школах по теории чисел в Душанбэ, Москве, Тбилиси"и Минске /1977-1989 г.г./.

)дин из основных результатов диссертации изложен в цитирований выше монографии А.Б. Шидловского®. Формулировки основных результатов диссертации вошли в приложение к переводу этой

п

монографии, изданной в Германии . В 1981 1*. за одну из работ, развитием идей которой является данная диссертация, автор был ■сагражден премией Московского математического общества.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы } 17 работах, список которых приведен в конце автореферата. Зреди них работ, написанных в соавторстве, нет.

СОДЕШШЕ РАБОТЫ

Во введении кратко изложена история вопроса, а также сформулированы основные результаты диссертации.

Глава I носит вспомогательный характер. В $ I строится дифференциальное расширение К поля формальных степен-шх рядов

Т--1 £ С^с} ,

шеющее поле констант , и содержащее набор "экспонент"

7, Shillovskii A.B. Supplementary rerrarka on recent work for the English editor. Transcendental Numbers.-Berlin New York« Walter de"Gruyter.-1939.-P.444-451.

£(&) , Cl£(L , таких, что Qe(aS)' - <Z е(а) , набор степеней 2 ' 4(6) , ёб (С , таких, что (1(ё)У J- , "логерифы" W -

Данная конструкция хорошо изв.-тна в дифференциальной алгебре.

В § 2 главы I приводятся принадлежащие полю /\ ф.с.р. уравнений, имеющих иррегулярную особенность специального вида в точке 2= оо ¡ . Указанные ф.с.р. представляют алгебраи-эацию одного уд классических результатов| аналитическрй теории дифференциальных уравнений.

В качестве примера приводится явная конструкция подобны ф.с.р. для обобщенных гипергеометрических уравнений. Доказывается ряд необходимых в дальнейшем свойств построенных ф.с.р

Глава 2 посвящена вопросам линейной приводимости линейных дифференциальных уравнений. 3 5 I устанавливается ряд вспомогательных утверждений. В 5 2 доказывается эквивалентность линейной приводимости над и полем алгебраических функц; 3 (CfS) в случае обобщенного гипергеометрического уравнения. Наконец, в § 3 на основе классических формул длд произведений обобщенных гипергеометрических функций, конструируются примеры обобщенных гипергеометриче'ских уравнений, квадратично приводимых, но линейно неприводимых.

В главе 3 представлен простейший вариант метода доказательства неприводимости линейных дифференциальных уравнений, разработанного автором. В § I главы 3 устанавливаются необхо димые в-дальнейшем свойства приводимых уравнений. Особенно важным из них явл* .'ся эквивалентность приводимости относительно выбора допустимого поля К , как построенного в 5

главы I, так и поля мероморфных функций, в котором находятся стандартные ф.с.р., состоящие из аналитических функций. Автором существенно использованы результаты, установленные в работах Ю.В, Нестеренко®'

В § 2 главы 3 установлен ряд общих результатов о приводимости, основанных на использовании информации о поведении коэффициентов дифференциального уравнения в окрестности иррегулярной особой точки ? = 00 . Приведем точные формулировки двух таких результатов.

Рассмотрим однородную систему дифференциальных уравнений

У-ЧУ, у .....

о

(4)

Будем говорить, что множество ^л/^ опре-

делено множеством {,..., ^ , где & £ .

если для всех^ ¿ = 1.,...,/^ существует единственный набор

6. Нестеренко Ю.В, Об алгебраической независимости значений Е-функций, удовлетворяющих линейным неоднородным дифференциальным уравнениям // Мат. заметки, - 1969. - Т. 5, № 5. - С, 587-589.

9. Нестеренко Ю.В. Об алгебраической независимости компонент решений системы линейных дифференциальных уравнений // Изв. АН СССР. Сер,мат. - 1974. - Т. 38, № 3. -С. 492-512,

целых неотрицательны;, чисел »•••> ^¿М такой, что 0-1 * +•■• + ^ . Система (4) называется

приводимой, если у нее существует нетривиальное решение У , компоненты которого алгебраически зависимы над (1 (ъ) . Теорема 2. Пусть для систс^:> (4) выполнены условия:

1) все фуккщш имеют в точке 2 = «о конечные значения й,^ \

2) множество собственных чисел ^ £ матрицы Л^^К обладает следующим свойством: существует

Л £ 4-,--, ^ ^ такое, что множество чисел ^ §к - ,

К- 1,..., ьг^ определено множеством чисел | ,

Тогда система (4) приводима в том и только в том случае, когда она линейно приводима .над полем

ЕМ .

Рассмотрим совокупность дифференциальных уравнений

1 I (.'»О Г"»;-О

а (5)

Пусть поле ы, - дифференциальное расширение Совокупность дифференциальных уравнений (5) называется неприводимой (линейно неприводимой) над 3. , если для любых нетривиальных решений •/¿ уравнений П. £ совокупность , >=±,...,(2. , ,)'= 0.1*-.-, алгебраически (линейно) независима"над 2 • В случае

2 = указание поля (X будем опускать. Пусть все коэффициенты уравнений (5) имеют в точке

- XI -

2-=во конечные значения О-^ . Обозначим

. | - множество корней уравнения

Теорема 4« Пусть для совокупности дифференциальных уравнений (5) выполнены следующие условия:

1) «.»л, , ¿= 1,..., £ ;

2) все уравнения ¿1- линейно неприводимы над полем С> ;

3) для лю^ых различных £ и любого •{ .рч»—. с "{ ^ *•••■> существуют

{^.--ч ^^ ^ ■> {>■■•> такие, что

множество { - ^ , ¿-X,..., ^ ^

определено множеством

Тогда совокупность уравнений (5) неприводима.

Рассмотрим для дифференциального уравнения (2) соответствующее однородное уравнение

¿„ф-о. (•)

■ - 12 -

Если С ; &1, £ ([^ f то обозначим

Л ~ € в случае, если существует перестановка чисел 1,..., , такая, что * 7? t И, •

В § 3 главы 3, используя результаты главы 2 и § 2 главы 3, установлен следующий критерий неприводимости уравнения (6) в случае Ь - нечетно.

Теорема 5. Пусть -нечетно, -¿+€ > J.

Тогда -"равнение (б) приводимо в том и только в том случае, когда для параметров , Vj выполнено хотя бы одно из следующих условий:

1) существуют , j * f,...,^ , такие, что ~ V^- & Ж ;

2) существует

clz/Л/ , (*> ± , d l-i t. d ( С и такое, что I + Yj - I , V -f ~ 7 ;

3) при 2 = 0 существует

(/(•V , е/>1 , с//^- ,

такое, что X Yj "" Т .

С Q

С помощью теорем A.B. Шидловского0 и Ю.В. Нестеренко из теоремы 5 получаем следующий арифметический результат.

Теорема 6. Пусть либо -¿-¡L , С-О , либо ^ - нечетно, -i+t > 1 ; все параметры функции (I) ^i/Y} рациональны и отличны от нуля и отрицательных целых, пусть также йе выполнены все условия I) - 3) теоремы 5, а - ал-

гебраическое число, отличное от нуля. Тогда числа

/ (H-t)

<ею, ч ы)<е с-о (?)

.алгебраически независимы.

В случае ^ - О в § 4 главы 3 установлен следующий 5олее точный результат, содержащий необходимые и достаточные /словил, наложенные на параметры Д I . Пусть ^ обозначает произвольный примитивный корень степени из I.

Теорема 7. Пусть либо ~Ь , либо 4- - нечетно,

; С - О ; Ау ,... , - рациональные числа, от-

личные от нуля и отрицательных целых, <¿4 , ^ - алгебраические числа, отличные от нуля, такие, что 4 *?С|) для .

Тогда ьтЬ чисел У^Ц), = 1,...,т ,

алгебраически независимы в том и только в том случае, когда мела £ ^ч .--• > ^ А ^ не являются целыми, образующими

годную систему вычетов по т«е/

Необходимые и достаточные условия, наложенные на параметры А в ситуации теоремы 7, ранее были получены при Ш - £ в случае И.И. Белогривовым и в случае

-3 В.А. Олейниковым.

В главе 4 подробно исследована приводимость уравнения (6) в случае, когда ~Ь - четно.

Терема 8. Пусть ~Ь - четно, "6-Л-ЭС , ;

зели 6-6 , то С > 3

Тогда уравнение (б) приводимо в том и только в том случав, когда выполнено хотя бы одно из условий:

1) уравнение (6) линейно приводимо;

2) если , то существуют ■Э^©,--.,^?^ е ^ такие, что

Х^о ~ (°> г ; »~Х« > > ^зем Г^-О ; (8)

- 14 -

3) если £ - нечетно, £ -2.у +, то существуют Х0,..., е такие, ч*о

4) если - четно, £ = , ^ & Д/ , то существуют ЭС0 ЭС^^ такие,что либо

X(о; ^ ;.-Г,;... }

^^Ч^г^р ; -; ) . (1С)

либо

V . г^ (о; 1 ; , - Г ^ ;.... ^ г ) ^ (II)

Из теоремы 8 получим следующий результат для значений обобщенной гипергеометри'ческой функции (I) и ее производных (ср. с теоремами 5, 6).

Теорема 9. Пусть - четно, >3, , если

= 6 , то £>3 ; все параметры , V- функ-

а

[щи (I) рациональны и отличны от нуля и отрицательных целых; пусть также не выполнены все условия I) - 3) теоремы 5 и все соотношения (8) - (II); Л - алгебраическое число, отличное от нуля.

Тогда числа (7).алгебраически независимы. Следующий результат, установленный в § 5 главк 4, показывает, что условия теоремы 9 близки к необходимым.

Теорема 10. Пусть ~Ь - четно, > , все

1араметры Х^ , V". - рациональные числа, отличные от ну-хя и отрицательных целых, все 4 , . ¿ =

1 кроме того существует такое, что

!усть также выполнено одно из соотношений (8) - (II).

Тогда числа (7) алгебраически зависимы.

В главе 4 также приведены явные конструкции алгебраичес-гих связей между числами (7) в ситуации теоремы 10.

В главе 5 установлены два частных результата, уточняющих ^ответственно теорему 6 в случае , ^=<2. и

■еорему 9 в случае - , ¿-4- , и содерл^щих не-

|бходимые и достаточные условия, наложенные на параметры Д^,У^^ доменных гипергеометрических функций.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих ¡а бот ах автора:

Салихов В.Х. О дифференциальной неприводимости одного класса дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. - 1977. -Т. 235, № I. - С. 30-33. I. Салихов В.Х. Алгебраическая независимость значений гипер-геоыетрических Е-функций // Тез.докл.- и сообщений всесоюзной школы по теории чисел. - Душанбе. - 1977. - С. 107-108. I. Салихов В.Х. О дифференциальной неприводимости одного класса дифференциальных уравнений // Изз. АН СССР. Сер.мат. - .1980. - Т. 44, # I. - С. 176-202. I. Салихов В.Х. Алгебраическая неприводимость совокупности линейных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. -1980. - Т. 254, Р 4. - С. 806-808.

5. Салихов В.Х. Алг браическая независимость значений некоторых гипергеометрических функций в нескольких алгебраических точкг.х // Тез.докл. всесоюзн. конф. "Теория трансцендентных чисел и ее приложения". - Москва. - 1983. -

С. 118-120.

6. Салихов В.Х. Об алгебраической независимости значений гипергеометрических Е-функций // Успехи мат.наук. - 1984. - Т. 39. Вып. 2 (236). - С. 185-186.

7. Салихов В.Х. Об алгебраической неприводимости совокупности линейных дифференциальных уравнений // Изв. АН СССР. Сер.мат. - 1985. - Т. 49, Л» I. - С. 194-210.

8. Салихов В.Х. Об алгебраической независимости значений гипергесыетрнческих Е-функций одного класса // В сб. Диофантовы приближения. Часть П. Издательство Московского уччверситета. - 1986. - С. 95-114.

9. Салихов В.Х. О линейной неприводимости дифференциальных уравнений и алгебраической независимости значений гипер-геоыетических Е-функций // Успехи мат.наук. - 1986. -Т. 41. Вып. 3(249). - С. 201-202.

"0. Салихов В.Х. Формальные решения линейных дифференциальных уравнений и их применение в теории трансцендентных чисел // Тр. Моск.мат. общества. - 1988 . - Т. 51. - С. 223-256.

11. Салихов В.Х. О неприводимости одного класса гипергеошзт-рических уравнений // Вестн. МГУ. Сер. I, Математика, ме-

• ханика. - 1989. - Р 4. - С. 7-10.

12. Салихов В.Х. О приводимости и линейной приводимости линейных дифференциальных уравнений // Вестн. МГУ. Сер. I, Математика, механика. - 1989. - № 3. - С. 3-8.

3. Салихов В.Х. Об алгебраической независимости значений гипергеометрических Е-функций // Докл. АН СССР. - 1989. - Т. 307, »2-С. 284-287.

4. Салихов В.Х. Арифметические свойства значений Е-функций /Дез. докл. всесоюзной школы "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел". - Минск. - 1989. - С. 130.

5. Салихов В.Х. Критерий алгебраической независимости значений одного класса гипергеометрических Е-функций // Мат.сб. - 1990. - Т. 181, № 2. - С. I89-2II.

6. Салихов В.Х. Неприводимость гипергеометрических уравнений и алгебраическая независимость значений Е-функций //Aota Arithmetloa . - 1990. - Т. ЦП . -

С. 453-471.

7. Салихов В.Х. Критерии алгебраической независимости значений гипергеометрических Е-функций // Тез. докл. респ. научно-теор. конф. "Теория чисел и ее приложения". -Ташкент. - 1990. - С. 105.

Подл, в печ. 20.01.92 г. Тираж 100 экз. Заказ Г 11256

Централизованная типография ГА "Союэстройматериалоа"