Об арифметических свойствах значений аналитических функций некоторых классов

Галочкин, Александр Иванович

Об арифметических свойствах значений аналитических функций некоторых классов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Галочкин, Александр Иванович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Об арифметических свойствах значений аналитических функций некоторых классов»

Автореферат диссертации на тему "Об арифметических свойствах значений аналитических функций некоторых классов"

10-1

1089

миикивикИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 511.361

Галочкин Александр Иванович

ОБ АРИФМЕТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ЗНАЧЕНИЙ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ

Специальнсть 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2009

Работа выполнена на кафедре теории чисел Механико-математического факультета Московского государственного университета

имени М.В.Ломоносова

Научный консультант - член-корр. РАН, профессор Нестеренко Юрий Валентинович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Матвеев Евгений Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Салихов Владислав Хасанович

доктор физико-математических наук, профессор Сорокин Владимир Николаевич

Ведущая организация:

Московский педагогический государственный университет

Защита диссертации состоится 20 ноября 2009 г. в 16 час. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: РФ, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М.В.Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 1408.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова (Главное здание 14 этаж).

Автореферат разослан 20 октября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

А.О.Иванов

РОС С«И С кл я

Г О С У Ц л Р с- V 1 !.: I: ! Б !'1!., /! :: j i !.:■ ¡1. Л г и ! с

Эбщая характеристика работы

Актуальность темы. В 1929-1934 годах сформировались основные методы теории трансцендентных чисел. В 1929 году К.Зигель1 опубликовал аналитический метод, позволяющий устанавливать алгебраическую независимость и трансцендентность значений в алгебраических точках функций некоторого класса, названного им Е-функциями.

Определение 1. Пусть К — алгебраические числовое поле конечной степени; Ък — кольцо целых чисел в поле К. Функция

°° г"

к=[)

называется Е-функцией, если при любом е > 0 выполняются следующие условия:

1) м=о(о (1)

(для числа а € К через |а| будем обозначать максимум модулей алгебраических чисел, сопряженных числу а в поле К);

2) существует последовательность {<?„} натуральных чисел таких, что

qnaveZ¡(, 71 = 0,1,...; V = 0, п,

<?» = (2)

Множество Е-функций является кольцом. Производная Е-функции -Е-функция.

Пусть совокупность Е-функций f\(z),... ,fa(z) составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений

i/i = &o(*) + ]£ ¿ = TTi; Qy(2)€K(z). (3)

.7=1

Примеры Е-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям: многочлен с алгебраическими коэффициентами, ег, sin г, cosz, функция Бесселя Jo(Ä)-

'Siegel C.L. Über einige Anwendengen Diophantischer Approximationen// Abh. Preuss. Acad. Wiea., Phia.-Math. Kl. - 1929 - №1. - S. 1 - 70

В книге2 К.Зигель в общей форме установил некоторое достаточное условие алгебраической независимости значений Е-функций в алгебраических точках.

А.Б.Шидловский3 существенно усилил метод Зигеля. Он доказал, что, если Е-функции /1(2),..., /а(г) составляют решение системы (3), а а - алгебраическое число, отличное от нуля и от полюсов коэффициентов системы, то алгебраическая независимость чисел /1(0:),..., Л (а) эквивалентна алгебраической независимости функций Л(г),... ,/л(г) над полем <С(,г).

Бывает удобно считать систему (3) однородной — в противном случае ее можно дополнить функцией, тождественно равной 1. Поэтому можно считать, что система имеет вид

Метод Зигеля-Шидловского позволяет также получать количественные результаты. С. Ленг4 был первым, кто установил в общем виде оценки многочленов от значений Е-функций.

Рассмотрим далее Е-функции, в которых на коэффициенты и на их общие знаменатели введены более сильные ограничения по сравнению с определением 1.

Определение 2. Будем говорить, что функция /(г) является Е-функ-цией в узком смысле, если в определении 1 оценки (1) и (2) заменены соответственно на оценки

Все известные Е-функции, составляющие решения систем линейных дифференциальных уравнений типа (3), являются Е-функциями в узком смысле.

Через I будем обозначать поле рациональных чисел или мнимое квадратичное поле. Наиболее точные количественные результаты получаются, когда поле К. = I.

А.Б. Шидловский5 доказал следующее утверждение.

aSiegelC.L. Transcendental numbers. Princeton: Princeton University Press, 1949

'Шидловский А.Б. О критерии алгебраической независимости значений одного класса целых функций // Известия АН СССР. Сер. матем. - 1959 - Т. 23. - №1. - С. 3S - 66

4Lang S. A transcendence measure for E-functions // Mathematica. — 1962 —V. 9. — P. 157-161

5Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. M.: Наука, 1987, стр.411

(4)

Теорема I. Пусть совокупность Е-фупщий в узком смысле /1(^)1 •••. с коэффициентами а^ц из поля I составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений (4) и линейно независима над полем С(г). Число а б I отлично от нуля и от полюсов коэффициентов системы.

Тогда для любых чисел € Ъ] при Н > гаах7- >0, Я > 3, справедливо неравенство

|ЫШ + -■■ + Л,/,(а)| > Н1-*-7ьЬ!, (6)

где постоянная у не зависит от Н.

С помощью принципа Дирихле легко установить, что оценка (6) может быть улучшена только за счет величины 7(1п 1п #)~0'5 ,

К.Зигель указал также, что его метод применим для исследования арифметических свойств значений некоторых функций, ряды Тейлора которых имеют конечный радиус сходимости. Эти функции К.Зигель назвал в-функциями. О-функция задается в виде ряда

= а„е К, (7)

|/=0

в котором величины а» и д„ удовлетворяют условиям (5).

Множество С-функций, как и множество Е-функций, образует кольцо, производная О-функции — С-функция. Примеры й-функций: 1п(1 4-г), (1+г)Т, геО.

М.С.Нурмагомедов6 впервые применил метод К.Зигеля для исследования арифметических свойств значений О-функций в алгебраических точках. В частности, он установил, что, если Д(г),..., /Дг) — совокупность в-функций, алгебраически независимых над полем С(г) и удовлетворяющих системе линейных дифференциальных уравнений (3), а^О - алгебраическое число, q) N, Н натуральные числа,

Я >Яа(Н^,а ,№),...,№)), (8)

а число а/д отлично от полюсов всех функций С^у(г), то числа /1 (а/д), • • ■, {а/я) не связаны никаким нетривиальным алгебраическим уравнением степени, не превосходящей Ы, с целыми коэффициентами, по модулю, не превосходящими Н.

8Нурмагомедов М.С. Об арифметических свойствах одного класса аналитических функций// Математический сборник. - 197]. — 85(127), - №3. - С. 339-365

Поскольку число до зависит от Н, то из теоремы М.С.Нурмагомедова не следует иррациональность значений G-функций.

Впоследствии арифметические свойства значений G-функций исследовались во многих работах, в том числе в монографии Андре7. Рассмотрим обшую гипергеометрическую функцию

/w^E^tl'tlrtl'l^. < = «-«>0, (9)

^ [f>i •+- 1, v\ ■ ■ • + 1, У\

где [А + 1, v) - (А + 1) • •■ (А + 1/), [Л + 1, 0] = 1, а числа Ь,- ф -1, -2,

К.Зигель8 доказал, что, если все параметры сц, bj — рациональные числа, то функция (9) является Е-функцией и удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению с коэффициентами — рациональными функциями. Он предположил что любая Е-функция, удовлетворяющая линейному дифференциальному уравнению с коэффициентами из C(z), может быть представлена в виде многочлена с алгебраическими коэффициентами от функций вида (9) с возможными заменами z на XjZ с алгебраическими значениями Aj и рациональными параметрами a*, bj. К настоящему времени эта гипотеза не доказана и не опровергнута.

Был неясен далее вопрос, является ли Е-функцией функция (9) с алгебраическими параметрами. В.Г.Спринджук9 доказал, что, если А — такое алгебраическое иррациональное число, что <Q>(A) — поле Галуа, то функция

00 zv

«■»и-Е(Л+1)...(А+„)' ..... (10)

не является Е-функцией.

В методе Зигеля-Шидловского применяются некоторые построения, использующие принцип Дирихле. Однако со времени классических работ Ш. Эрмита и Ф. Линдемана применялись и явные конструкции, не использующие принцип Дирихле. Если удавалось провести такие построения, то обычно получались более сильные результаты.

В 1932 году К.Малер10 доказал, что, для любого ненулевого многочлена Рт(х) с целыми коэффициентами по модулю не превосходящими Я

7Andr6Y. G-functions and Geometry. Bonn. Braunschweig. 1989

sSiegei C.L. Transcendental numbers. Princeton: Princeton University Press, 1949

9Спринджук В.Г. К теории гипергеометрических функций Зигеля. // Докл. АН ВССР — 1969 — Т. 13. - N<5. - С. 389-391

10Mahler К. Zur Approximation der Exponentialfunktion und Logarithmus. I.// J. reine und angew. Math. - 1932 - Bd. 166 - S. 118-136

выполняется неравенство

утп2 ln(rn+l)

|Ртп(е)| > Н~т~ in In я , 7п = deg Р, Н > Н0(тп),

где 7 — абсолютная постоянная. Доказательство основывается на явном построении многочлена

0&P(z, у) GZ[®, у], degхР<п, degyР < т,

такого, что функция P(z, ez) имеет максимально возможный порядок нуля в точке г = 0 (так называемая задача аппроксимации типа Паде).

Основные идеи этого метода использовались многими авторами, в частности Н.И.Фельдманом11 для значений функции (10) <p\(z). Рассмотрим функцию

00 / v \

ф(г) = 1 + ХУ П еМ ' 9^) = 9шХт + дт-1Хт~1 + •••+№■ (11)

i/=i \л=1 /

Функция ф(г) является решением дифференциального уравнения

д{6)у = zy + <7(0), 6 = ZJ-Z-

Заметим, что функция ip(zm) с дт = 1 — частный случай функции (9). Если все корни многочлена д(х) — рациональные числа, то она является Е-функцией.

Ч. Осгуд12 доказал следующую теорему о значениях функции (11).

Теорема II. Пусть д(х) Е 1[ж], д(0) = 0, дт = 1, г\,..., rt —различные и отличные, от нуля рациональные числа, rnt > 1. Тогда для любого е > 0 и любых чисел h{j € Ъ\ при

Н — _max |ftj-„| > О

j=l,t; s=0, m—1

выполняется неравенство

t ТП-I

ЕЕм^м >

j=1 з=0

"Фельдман Н. И. Оценки снизу некоторых линейных форм// Вести. Моск. ун-та, сер. Математика, механика. - 1967. — №2 — С. 63-72

uOsgood С. Some theorems on diophantine approximation// Traos. Amer. Math. Soc. — 1966. — V. 123. - №1. - P. 64-87

и для любого набора д, рцелых чисел из поля I при любой паре индексов (и, у), 1 < и < Ц 0 < V < т — 1 с (й, э) ^ (и, г») и при > О выполняется неравенство

фЩгу) 1

тах

> C2\q\-

.3=1,t; s=0,m—1;

где C\ и C'2 — положительные постоянные, зависящие отп е, но не зависящие от Н.

В 1981 году А.Н. Коробов13 в некотором более частном случае получил оценку снизу линейной формы, которая отличалась от соответствующей оценки сверху лишь на постоянный множитель.

Теорема III. Пусть з, а, а + b — натуральные числа с € Z/, с^О и

i/=0 v ' а;=1 Тогда для любых чисел ha,hi .,.,hs из кольца Zj при

Н — max(|/io|,..., \hs\) >3

справедливо неравенство

Ыфй ( ^ ) Ч----+ hai>a (^

.9+1

/1п1пЯ\ 2

Положительная постоянная 7 не зависит от Н, причем показатель — ке может быть уменьшен.

В 1929 - 1930 годах К.Малер14,15 опубликовал метод, позволяющий устанавливать трансцендентность и алгебраическую независимость значений функций, удовлетворяющих некоторым функциональным уравнениям.

Рассмотрим функцию

со

/(г) = £а,,Л а„еК. (12)

1/=0

13Коробов А.Н. Оценки некоторых линейных форм // Вестн. Моск. ун-та, сер. матем, мех. — 1981. - №6. - С. 36-40

l4MahlerK. Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse Funktionalgleichungen // Math.

Ann. - 1929. - Bd. 101 - №4. - S. 342-366

16MahlerK. Arithmetische Eigenschaften einer Klasse transzendental-transzendenter Funktionen// Math.Z. - 1930 - Bd. 32 - №4. - S. 545-S86

Пусть ряд сходится в круге \г\ < Я и функция /(г) удовлетворяет уравнению

Я*") = %]] > е (13)

Обозначим через А(г) результант многочленов А^г, у) и А2(.г, у).

Теорема IV. Пусть /(л) — трансцендентная функция, удовлетворяющая функциональному уравнению (13), и с^уА](г, у) < р, у = 1,2; а — алгебраическое число, 0 < |а| < тт(1, Я) и А(ар ) ф О при к = 0, 1,... .

Тогда число /(а) трансцендентно.

К.Малер доказал также несколько теорем об алгебраической независимости значений таких функций и распространил свой метод на функции от нескольких переменных.

Приведем примеры функций, удовлетворяющих уравнению Малера (13), для которых справедливо утверждение теоремы IV.

Пример 1.

со

я*) = Х>р"' я*р) = я*)-*- (14)

и-0

Пример 2.

ОО ОО »/ ч

я*)=д (! - Л = Е > я*3) = гй ■ (15)

¡/=0 М=0

гс?е числа ац равны 1 или —1, причем = 1 тогда и только тогда, когда е двоичное разложение числа ц входит четное число единиц.

Пример 3.

00 — /'«М

М = 1[{1-г>У , = зек. (16)

и=0 ^ '

В приведенных примерах при алгебраическом а (0 < |а| < 1) (в последнем примере при д < р) по теореме IV числа /(а) трансцендеитны.

К настоящему времени опубликовано большое количество работ, связанных с методом Малера, в том числе монография К. Нишиоки16.

Содержание диссертации

Глава 1. Некоторые свойства гипергеометрических функций

Приведем формулировки теорем, доказанных в диссертации. Пусть К — алгебраическое числовое поле степени х. Следующее определение обобщает определение Е-функции.

Определение 3. Будем говорить, что функция

00 г:1"

i/=0

принадлежит классу ЕТ, т > 0, если для любого положительного числа £

1) И =

2) существует последовательность отличных от нуля чисел qn € такая, что

qnav 6 Zx, п = 0, 1,...; v = 0, п, и норма этих чисел

NK(gn) = О .

Определение 4. Функция (17) в точности принадлежит классу ЕТ, ее-ш она принадлежит классу ЕТ и не принадлежит никакому классу ETl гри 0 < Т\ < т.

Класс Eq совпадает с классом Е-функций. Рассмотрим функцию

оо

■с—\ 1 ( Z \ттш

= + W ' (18)

[Л+1, v\ = (А+1)...(Л + 1/), [А + 1, 0] = 1.

Эта функция является решением дифференциального уравнения

(ö + mAi) ■ • • (5 + m\m)y = zmy + mmAi • ••Am, S = z— .

a z

•6NishiokaK. Mahler functions and transcendence// Lect. Notes in Math. 1996. — V. 1631

Теорема 1. Пусть Аь..., Хт — алгебраические числа, отличные от — 1, —2,... , степеней соответственно хх, ...,хт. Тогда функция (18) в точности принадлежит классу ЕТ при

тп ^

г ~ 1 2 тк • .7=1 -1

Следствие 1. Если не все числа А^,... , А7П являются рациональными, то функция 1р(г) не является Е-функцией.

Исследуется также, к какому классу в точности принадлежит функция Куммера

= 1 + -ьа^-1,-2..... (20)

^ (а2 + 1) • • ■ (а2 + и) и\

при условии, что К = 0>(а1, а2) - квадратичное поле.

Пусть си - квадратичная иррациональность, К = с^К. = 2,

<21 = щ + а2 = и2 + у2ш, щ, и2, VI, щ € О.

При VI = Щ — 0 функция (20) является Е-функцией, поэтому будем считать, что + > 0. За счет выбора числа и) можно обеспечить, чтобы

VI, у2 £ Z, (VI, V2) = 1.

Теорема 2. Функция Куммера (20) в точности принадлежит классу Е\/2 в следующих случаях:

1) при VI > у2 (VI > 0);

2) при щу2 — и2У1 £ Ъ;

3) при VI = V2 > 0 и Щ — 142 £

4) при у\у2 < 0, 1^1 + \у2\ > 0.

При у2 > VI > 0, щу2 — и2У\ £ Ъ функция /(г) в точности принадлежит классу ЕТ при

Г=2

При VI = V2 > 0, щ — и2 £ Ъ+) а также при = у2 = 0 функция f(z) является Е-функцией.

Общий случай при с1е§<0>(ах, аг) = 2 сводится за счет выбора и к какому-либо из описанных случаев.

Следующая теорема устанавливает необходимое и достаточное условие того, чтобы общая гипергеометрическая функция являлась Е-функцией. Введем следующее

Определение 5. Будем говорить, что две системы чисел (ах,..., а.ц) и (61,..., Ьу) удовлетворяют условию Е, если либо все числа а^-, Ьк рациональные, либо существует такое разбиение всех тех из этих чисел, которые не являются рациональными, на пары

(аЛ , Ьк1),..., (а.]т, Ькт),

что все разности а^ — Ька, 5=1, г, — неотрицательные целые рациональные числа.

Теорема 3. Для того, чтобы функция (9) с комплексными параметрами ах,... , аи] &1,..., Ьу, отличными от —1, —2,..., и такими, что

была Е-функцией, необходимо и достаточно, чтобы все числа а,-, Ьк были алгебраическими и чтобы системы чисел (ах,..., аи) и (Ьх,..., 6„) удовлетворяли условию Е.

Эта теорема фактически показывает, что во всех "нетривиальных" случаях функция (9) не является Е-функцией.

Аналогичное утвержение справедливо для С-функций.

Теорема 4. Пусть а\,..., &х5 ■ ■ ■ > — комплексные числа, отличные от —1, —2,..., и такие, что

о-з Ф Ь к ~ Т~ь.

Тогда для того, чтобы функция

_ + И---К + 1» И ^ И / х о

^ [6х + 1, щ • • ■ + 1, щ

была О-функцией необходимо и достаточно, чтобы все числа а^, Ьк были алгебраическими и чтобы системы чисел (ах,..., а„) и (Ь\,..., удовлетворяли условию Е.

Для установления линейной независимости значений функций обычно приходится доказывать линейную независимость самих функций над полем рациональных функций. В следующих двух теоремах устанавливается линейная независимость общих гипергеометрических функций, которые удобно записать в виде

где Ь3(х) -- многочлены с комплексными коэффициентами,

т,} — degbj(x) > с^а^з;), т^ > 1, Ь^{х) ф 0 при х = 1, 2, —

Функция является решением линейного дифференциального

уравнения

Теорема 5. Пусть выполняются следующие условия.

(A) Для каждого индекса j, I < j <t, и любого с 6 Ъ два многочлена aj(x) и Ъ](х + с) взаимно просты.

(B) Для любых двух многочленов

ак(х)Ь1(х) = с(х + Ах) • ■ • (х + Адг), щ(х)Ьк{х), 1 <к<1<Ь, при любом наборе целых рациональных чисел с\,..., с^

Далее, пусть — произвольное решение уравнения из из (22), не

принадлежащее кольцу С[г, г~г]. Тогда совокупность функций

(21)

дг '

(22)

с(х + Ах + с{) • ■ • {х + Адг + см) ф сц(х)Ьк(х).

1, 3 = 1 8 = 0, т5 - 1,

линейно независима над полем С(г). Теорема 6. Пусть в равенстве (21)

тщ = с^ Ь]-(х) > deg а^х). Тогда для того, чтобы функции

были линейно независимы над полем С(^), необходимо и достаточно, чтобы

1) ту > 1, а^(х)Ь^(х) ф 0 при х = 1, 2,...; ] ~ М;

2) выполнялось условие (В) теоремы 5;

3) выполнялось следующее условие:

(С) для каждого индекса з, l<j<t, и любого с Е 1 + два многочлена и Ь^(х + с) взаимно просты.

Заметим, что в теореме 5 условие (А) нельзя заменить на более слабое условие (С).

Пример 4. Уравнению

6(6 + \)у={5 + \-1)гу, =

удовлетворяет функция £ <С(г), однако она линейно зависима со своей производной над С(г).

Рассмотрим функции более частного вида, чем (21),

оо 1>=1

Для этих функций сформулируем два следствия из теоремы 6.

Следствие 2. Пусть ,..., "фь{%) — функции (24). Тогда (функции (23) линейно независимы над полем С(,г) тогда и только тогда, когда выполняется условие (В).

Следствие 3. Пусть ф(г) — функция вида (11) с дт = 1 , .... ^ различные и отличные от нуля комплексные числа. Тогда функции

1, з = 171; 5 = 0, т-1,

линейно независимы над полем С (г).

Заметим, что теоремы 1 и 6 этой главы применяются при доказательствах некоторых последующих результатов диссертации.

\[Ф) > Ф) е ОД, т3 = с1её</.(» > 1. (24;

Х=1

Глава 2. Оценки снизу линейных форм

Пусть I — поле рациональных чисел или мнимое квадратичное поле. В следующих двух теоремах устанавливаются оценки линейных форм от значений функции (11) и ее производных в нескольких точках поля I, а также изучается характер их совместных приближений числами из I.

Теорема 7. Пусть Х\,..., Хт - рациональные числа, отличные от — 1, —2,...; Ш1,... — попарно различные и отличные от нуля числа из поля I, д(х) - (х + Ах) - • • (х ■+■ Ат). Пусть ^(х) - функция (11). Тогда для любого ненулевого набора

Ло, j = l>t•, 5 = 0, т - 1,

целых чисел из поля I, по модулю не превосходящих Н, при Н > 3 выполняется неравенство

Ь т—1

Ь + Т.ТЛ.^М

3=1 в=0

(25)

и для любого набора д, р]ц целых чисел из поля I при |д| > 3 выполняется неравенств

тах

.7=1, 8=0,771—1

Р38

>ы

т£ 1п1п|д|

где 7х и 72 — эффективно вычисляемые положительные постоянные, зависящие только от А1,..., Ат; и>1,...

Теорема 8. Пусть д(х) = хт-\-дт- 1хт~1Н-----\-g\x € причем д[х) ф 0

при х = 1, 2,...; ... — попарно различные и отличные от нуля числа из поля I.

Тогда для любого ненулевого набора ^ = 1,2; 5 = 0, т — 1, це-

лых чисел из поля I, по модулю не превосходящих Я, при Н > 3 выполняется неравенство

£ т— 1 .7=1 а=0

1 —хтй—

ЫпЯ

(26)

и для любого набора д, целых чисел из поля I при любой паре индексов (и, у), 1 < и < 0 < V < т - 1 с (5, 3) ф {и, у) и при |д| > 3 и тпЬ > 1

выполняется неравенсто

шах

РЗ!

Ф^М ?

1 -у2

— 1, ¿; в=0, т—1; (5,^)7^(11,и)

где 71 и 72 — эффективно вычисляемые положительные постоянные, зависящие только от д\,..., о;].,...,

Указанные оценки получены за счет эффективного построения аппроксимаций типа Паде к соответствующим функциям. Эти оценки могут быть улучшены только за счет присутствующих в показателях величин порядков О | ;—;—— ) И О

(ыпЯ.) И 0 (]л1п|д|)

Оценка линейной формы (25) может быть выведена из теоремы Шид-ловского I, но с остаточным членом порядка О

.уЧпЬЯ.

Однако теорема I не применима к оценке однородной линейной формы

(26), так как по следствию 1 из теоремы 1 функция ф(гт) не является

Е-функцией, если только не все корни многочлена д(х) рациональны.

Линейные формы (26) можно оценить по теореме Осгуда II, но тогда, 71

вместо величины -—-——, будет присутствовать произвольное е > 0 и все 1пшл

числа и>] должны быть рациональными.

Пусть А],..., Хт — алгебраические числа, отличные от —1, —2,..., степеней соответственно ..., число г определено посредством равенства (19). Справедлива следующая

Теорема 9. Пусть К — алгебраическое числовое поле степени я над полем I и в равенстве (11)

д{х) = (х + Ах) • • • (х + Ат) = хт+ дт-1Хт~1 + • • • + дгх + д0 € ВД;

и>1,..., — попарно различные и отличные от нуля числа из поля К , причем т£ > к + хт — 1.

Тогда выполняются следующие утверждения. 1) Для произвольного е > 0 и любого набора

9> Рз,в, ; = 5 = 0, т-1,

целых чисел из поля К при д ^ 0 и Р — тах,, справедливо

неравенство

> С (ЫР*"1) п*-*-хг+1 )

шах

j=l,t, 8=0,771—1

где С — СЫ, Л],..., Лга, о»] ,..., >0.

2) Среди чисел

г/',(я)Ю, 3 - М; 5 = 0, т~ 1,

существует не .менее (т* + - г - 1 чисел, линейно независимых

вместе с числом 1 над полем К.

В некоторых случаях удается получить оценки с лучшими остаточными членами по сравнению с теоремами 7 и 8.

Теорема 10. При любых целых числах 6, р, д из поля Е при bq ф 0 выполняется неравенство

р _ 0,0011п1п(|д| + 2)

\bq2\ln(|g| + 2) '

При I = <0> подобная оценка следует из характера разложения числа еь в цепную дробь и результатов статьи В. Адамса17 (лемма 11 и следствие 10).

Теорема 11. Пусть многочлен

д(х) = хт + дт„гхт~1 + --- + дгхе д = тах(|р1|,..., Ьт-х!),

т > 2, д(х) ф 0 при х = 1, 2, —

Тогда для любого набора Ь, /г^ ..., Кт целых чисел из поля I при 6^0, 0 < тах^у-^-< Я и Н > 3 справедлива оценка

hi'

> (\Ь\Н)1-т(1пНГ^

и для любых целых чисел д, рх,... }рт\ |д( > 3, из поля I при каждом индексе и, 0 < и < т — 1, выполняется неравенство

max

<Ф{3)(1/Ь) ра •ф№(1/Ь) q

s=l,m—1, s^u

где постоянная 71 не зависит от b и Н, а постоянная 72 — от b и q.

17Adams W. Asymptotic diphantiae approximations and Hurwitz numbers// Amer. J. Math. — 1967 V. 89. - P. 1083 - 1108

Остаточный член в показателях в теоремах 7 и 8 порядка О ((Inlnif)-1) в теореме 11 фактически заменен на величину порядка 0({\п\пН){1пН)-1) .

Глава 3. Точные по высоте оценки линейных форм

При некоторых дополнительных условиях удается получить оценки снизу линейных форм от значений гипергеометрических функций, которые лишь на постоянный множитель отличаются от соответствующих оценок сверху. В теореме И мы требовали, чтобы д(х) е Zjfx]. В следующей теореме будем предполагать, что все корни д(х) лежат в поле II.

Пусть A j = a.j+ißj (j = 1, s; aj, ßj Gl) - числа из поля I, отличные от —1, —2,...; а е Za 0, — такое число, что aXj 6 Z;, j — 1, s. Обозначим:

[Л -f- 1, ъ>] = (Л + 1) • • • (Л + и), [Л +1,0] = 1,

~ ZV

lb(z)=y'-> ---=-ГТ--—г, 771 = 3+1,

CTJ = {aj}, ßj = Cíj + ißh j = 1, 5, (27)

где {а} — дробная доля числа а. Пусть числа Ai,..., As перенумерованы так, что

1 > > оъ > • • • > (Уа > 0, сг0 = as + 1.

Обозначим:

A 3 ~ 1 + ' " ' + °S А -А А Л

А,- =--1- <Тп--, А = mm А,-, Л — тах А,- .

S S i<3<S l<j<3

Пусть K(¡jj) — кратность корня ßj многочлена д(х) = {х — ßi) ■ ■• (х — ßs), ri = таxK(fij), г = min r¿,

crj=a¡ Д;=Д

где максимум берется только по тем индексам j, 1 < j < s, для которых a-j = ai, а минимум — по тем Ü, для которых A¿ = А. Аналогично вводятся величины

р — тах г/, А0 = min (А,- — А), 5о = min (o-j-i — Oj), Г) = min (sA0 , So/2) . Легко проверить, что rj > 0.

Определение 6. Линейную форму

Л = Ч----+ Л-аСа, Ь>к £

будем называть примитивной, если при любом с Е П, 0 < |с| < 1, не все числа Л&с, к = О, в, будут целыми в поле I.

Теорема 12. Пусть Ь £ Z^, 6^0,

^-¿ад^ тах ~ Н> 3; (28)

Ф(х') = а;-в(1п2г)-в(1-Л)(1п1па;)в(г-д),

П^х) = а:-в(1п (1п 1п , П2{х) = х'^Ых)^1-^.

Тогда существуют эффективно вычисляемые положительные постоянные

С3 = С/(а, 6, Ль ..., Ав), 7 = ч(ръ ... ,а3) ..., 0а)

такие, что справедливы следующие утверждения:

1) Для любой линейной формы вида (28) при любом Н > 3

|Л| > СгФ(Н).

2) Существует бесконечное количество форм (28), для которых

|Д| < С2Ф(Н).

3) Если Я — примитивная линейная форма вида (28) и

|Д| > <2А(#), то

|Д| > С4П2(Я)(1п1пЯ)-7.

Доказательство теоремы 11 было опубликовано раньше, а теоремы 12 — позднее опубликования доказательства теоремы А.Н.Коробова III. Теореме Коробова в теореме 12 соответствует случай равномерного распределения чисел :

= Ах - ^ , 3 = Т7Т; Ах = - е (ф.

э а

оценками, отличающимися лишь на постоянный множитель. Затем доказывается, что произвольная "достаточно малая "линейная форма пропорциональна одной из форм последовательности. После чего ее оценки следуют из оценок построеннх форм.

Приведем пример на применение теоремы 12.

Пример 5. Пусть

оо и

= Е Щуп-

В этом примере

7 - 1

01 = • • - = - О, А^ = > А = 0, г = д. Поэтому в теореме 12

Ф{х) = х~3(1пх)-3(Ы1пх)/г.

В следующей теореме устанавливаются столь же точные оценки для совместных приближений.

Теорема 13. Пусть числа (27) /¿х,..., (18 попарно различны;

(

1п1пж

и)(х) —х я ( —--л = шах А,-.

V 1паг У з=Хв

Тогда существуют эффективно вычисляемые положительные постоянные С\ и Сг, зависящие только от чисел а, Ь, Л1?... ,Л3) такие, что для каждого индекса к, 0 < к < в, справедливы следующие утверждения.

1) Для любых целых чисел р, ро,... ,р5 из поля I при |р| > 3 выполняется неравенство

е(к, р) = тах

> Схысьо

2) Существует бесконечное количество наборов чисел р, р0,... ,р3 из , для которых

е(к, р) < С2ш(\р\).

Глава 4. Некоторые приложения метода Зигеля-Шидловского (Е-функции, G-функции, гипергеометрические функции)

Теорема 14. Пусть /1(2),..., fs(z) — совокупность Е-функций с коэффициентами из алгебраического числового поля К, составляющая решение системы линейных дифференциальных уравнений (3), а — алгебраическое число, отличное от нуля и от полюсов всех коэффициентов Qij(z) системы (3),

я = [Ща) : I] > 2.

Тогда для любого многочлена Р(хi,..., xs) G Zk[£j, • ■ •, или

P(/i (а),...,/,(<*))== О,

или выполняется неравенство

| P(Ma),...Js(a))\>CH-^'+ld\ (29)

где. d и Н — соответственно степень и максимум модулей коэффициентов и сопряженных им чисел многочлена Р, I — количество алгебраически независимых над полем C(z) функций в наборе fi(z),..., fs(z) (1 < / < 5), С и 7 — положительные постоянные, причем С зависит только от d, а, функций /1(2),..., fa{z), а 7 — только от функций fi(z),..., fs(z) (точнее: от характера алгебраических связей между этими функциями).

Оценка (29) была доказана А.Б. Шидловским18 в §6 главы 12, однако при более сильном предположении о том, что отличны от нуля все величины, полученные заменами в многочлене P(/i(a),..., /Да)) всех коэффициентов, числа а и коэффициентов рядов, определяющих Е-функции, на сопряженные им числа в поле К. В теореме 9 из той же главы оценка (29) установлена в предположении, что степень трансцендентности функций /i(z),..., fs(z) над полем С(^) такая же, как над полем С.

Способ доказательства этой теоремы отличен от ранее известных методов получения количественных результатов.

Определение 7. Высотой многочлена называется максимум модулей его коэффициентов, длиной — сумма модулей коэффициентов. Высотой h{ß), длиной 1(9) и степенью deg0 алгебраического числа в называются соответственно высота, длина и степень его канонического многочлена.

1йШидловс.1сий А.Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987

Теорема 15- Пусть совокупность Е-фунщий fi{z),..., fs(z) составляет решение системы дифференциальных уравнений (3), а ( — комплексное число, удовлетворяющее уравнению

P(*,/l (*),... ,/.(*)) = О,

где Р{хо, .. . } х3) — многочлен с алгебраическими коэффициентами, такой, что

Р(2,Л(г), ...,/,(*)) ^ 0.

Тогда для любых положительных чисел к и е система неравенств

IC-Öl <ехр(-(ВД)£), deg<9<x (30)

имеет конечное число решений в алгебраических числах в.

Теорема применима, в частности, к алгебраическим точкам Е-функциЙ.

Если Ei-функции fi(z),... ,fs{z) алгебраически независимы, то при некоторых естественных условиях из теоремы Шидловского следует, что число С трансцендентно. Однако никаких количественных результатов известно не было.

Следствие 4. Пусть Е-функции f\(z),..., fi(z) алгебраически независимы над полем C(z) и вместе с Е-функциями /¿+1(z),..., fs(z) составляют решение системы (3), Ç G С, и при некоторых положительных величинах eux система неравенств (30) имеет бесконечное число решений в алгебраических числах 0.

Тогда числа Ç, fi{(), ■ ■ ■ ,fi(C) алгебраически независимы.

Заметим, что при I = 1 условие алгебраической независимости Е-функций эквивалентно тому, что Е-функция fi(z) не является многочленом.

Следствие 5. Пусть Е-функции fi{z),..., fs(z) удовлетворяют условиям теоремы; £ — такое комплексное число, что при некоторых положительных величинах eux система неравенств (30) имеет бесконечное число решений в алгебраических числах в. Пусть A(z, f\(z),.. . ,fs(z)) и B(z, /1(2),... , fs(z)) Ф- 0 — многочлены с алгебраическими коэффициентами от величин z, fi(z),..., fa(z): причем функция

Тогда числа С, и F(Q алгебраически независимы.

Пусть функция ф(г) задана посредством равенства (11). Если не все корни многочлена д(х) — рациональные числа, то по следствию 1 из теоремы 1 функция ф(гт) не является Е-функцией, и к ней не применима теорема Шидловского I. Тем не менее, при определенных условиях удается использовать некоторые идеи метода Зигеля-Шидловского и получить оценки линейных форм от значений таких функций.

Теорема 16. Пусть в равенствах (24)

д^х) = р](х)р(х) € НИ, д^х) ^ О при х = 1, 2,..., с^р\(х) = ■ ■ ■ = = щ degp(x) = V, т = и ■+■ V > 1,

причем все корни многочленов р^х), j = 1, t, — рациональные числа и выполняется условие (В) теоремы 5. Далее, пусть

¿0, 3 = 1> в = 0, 7Т1 - 1,

произвольный набор чисел из Ж/ с

Н — шах(|/го, \hjsl) > 3.

Тогда справедливы следующие утверждения. 1) Для любого положительного числа е при

Я>Я0(е, д^х),.. .,д^х))

выполняется неравенство

г тп—1

ао+ЕЕМ*"«

3=1 5=0

тп£+т+е

>Н~ 1-г

где

тп тпщ тху

а XI,..., — степени алгебраических чисел, являющимися корнями многочлена р(х).

2) Если р(0) = 0, ит1> 2, то

4 т—1 з=0

где постоянная 7 не зависит от Н.

Заметим, что число 1 в теореме можно заменить на любое число и> G I, со Ф 0 . Для этого достаточно многочлен р{х) заменить на ш~1р(х).

Следствие 6. Пусть Ai,..., Ат — алгебраические числа, отличные от —1, —2,..., степеней соответственно щ,..., хт; и>\,..., u)t — попарно различные и отличные от нуля числа из поля I,

Пусть ф(г) — функция (11), а т — число, определенное посредством равенства (19).

Тогда для любого ненулевого набора

Ьо, 3 = 1» я = 0. т-1, целых чисел из поля I, по модулю не превосходящих Н, при

Н > #о(е, ^ь • • • 1 ..., о^)

выполняется неравенство

Приведем два примера применения следствия 6.

Пример 6. Пусть <р\(г) — функция (10);

А, уе1; А ф —1, —2,...; си ф 0.

Тогда для любого е > 0 и любых чисел р, д Е Ъ\ при |<?| > до(е. А, со) выполняется неравенство

g(x) = (х + Ai) ■ ■ • {х + Ат) € %].

t т—1

rnt+r+e 1-т

Ло + Х^м^н) >н

3=1 5=0

4>х{ш)-- >\q\

-4-е

Пример 7. Рассмотрим функцию

Пусть и) ф 0 — рациональное число, До, Дх, Д2 €

Н = тах(|Д0|, 1^1, |Д2|) > Я0(е, Л, ш). Тогда выполняется неравенство

|Ло + Л1/И + Л2/;И| >Н~5~£.

Ранее не была доказана даже иррациональность чисел /(и>) и /'(си).

Далее в диссертации при некоторых дополнительных условиях устанавливаются оценки многочленов от значений О-функций в достаточно малых точках. В этих оценках величина (8) до не зависит от Я, поэтому устанавливается, в частности, иррациональность значений соответствующих С-функций.

Нам понадобится уточнить определение С-функций. Определение 8. Будем говорить, что совокупность функций

оо

принадлежит классу Сг(К,С,<2), где С > 1, > 1, если все коэффициенты аг1/ принадлежат алгебраическому полю К конечной степени и для любых чисел С\ > С и фх > ф существуют постоянные 71 и 72, зависящие только от fl{z),..., fs(z) и соответственно от С\ и 1, такие, что

1) < 7хС? , г = 175-, » = 0, 1,...; 2) существуют, натуральные числа дп, п = 0, 1,. .., такие, что все числа

дпаг„ € Ък , г = 1, 5; и — 0, п,

Чп < 72<2!\ п = 0, 1,....

Пусть совокупность С-функций /1(2),..., /5(г) удовлетворяет системе линейных дифференциальных уравнений (3). Тогда

у\к> = <5ио(2!) + у Я¡43{г) е К(г);

7=1

^ - /с - .. 4 ,

Определение 9. Будем говорить, что совокупность С-функций /1(2),..., /3(г) из класса £?( К , С , ф), составляющих решение системы линейных дифференциальных уравнений (3), принадлежит подклассу £г(К,С,ф,Л), Л > 1, если существует ненулевой многочлен Т(г) 6 Ък[г] и натуральные числа ап, п ~ 1,2,... , такие, что все функции

€ Ък\г\, к = Т^п , (31)

и для любого Л1 > Л существует постоянная 73 , зависягцая только от функций /1(2)) • • •> и числа Л1, такая, что

ап < 7зЛ? , п = 1, 2,... . (32)

Условие, заданное соотношениями (31) и (32), будем называть также условием сокращения факториалов.

Пример 8. Поскольку обш,ее наименьшее кратное чисел 1. 2,..., п растет как , то функция 1п(1 + г) принадлежит подклассу ОД, 1, е, е).

В теоремах 17 и 18 диссертации установлены оценки многочленов от значений функций из подкласса К, С, С} , Л). Однако величины постоянных, присутствующих в формулировках этих теорем, имеют достаточно громоздкие записи. Поэтому приведем только два непосредственных следствия из этих теорем. В диссертации также сформулированы эти следствия.

Следствие 7. Пусть С-функции /1(2),..., алгебраически независимы над полем С(;г), удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений (3) и для них выполняется условие сокращения факториалов, а — не равное нулю алгебраическое число.

Тогда существует число а, /1(2), • • • > Л(-г)), такое, что при любом натуральном числе Ц > до числа /1 (#/<?) ,.. . ,/Л-(а/д) не связаны никаким алгебраическим уравнением с рациональными коэффициентами степени, не превосходящей д.

Следствие 8. Пусть О-функции /1(2),..., с коэффициентами аг1, из поля Я линейно независимы над полем С (г), удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений (3) и для них выполняется условие сокращения факториалов, 0 ф а Е I.

Тогда для любого положительного числа е существует такое число 9о(е, а), что при любом натуральном числе д > #о(£, а) и любых числах /¿о, ■ • • А из при

Н = тах \ > Яо(е, а, д) з

выполняется неравенство

Н0 + /ц/х ( ^ + • • ■ + к8/8 ( ^

> Я"

(33)

Оценка (33) может быть улучшена только за счет числа е.

Пример 9. Следствия применимы к значениям С-функций 1п(1 + С1гг) , % — 1, а, при алгебраических значениях (Х{. В частности, с их помощью устанавливается, что при любом достаточно большом натуральном, ц число 1п (1 — 1/д) 1п (1 1/д) иррационально и линейно независимо над полем 0> с числами 1, 1п(1 — 1/д) , 1п(1 4-1/д).

Глава 5. Количественные результаты в методе Малера

В следующей теореме устанавливается оценка многочлена от значения функции, удовлетворяющей уравнению Малера.

Теорема 19. Пусть /(2) — трансцендентная функция, предстпавимая в виде ряда (12), сходящегося в круге \г\ < Я , и удовлетворяющая функциональному уравнению (13) с

А^г, у) = ая(г)у + Е Ък[г, у], j = 1,2.

Пусть далее а — алгебраическое число, такое, что

О < |а| < пнп(1, П); з = с^К(а); А2 (ар\ /(с/)) ф 0, к = 0, 1,... .

Тогда для любого положительного числа е и любого ненулевого многочлена Р(х) € Ъ\х\ степени, не превосходящей д, и высоты, не превосходящей Я, при Я > Но(д,,а, /(г)) справедливо неравенство

где щ и 1(сх) — соответственно степень и длина алгебраического числа а (см. определение 7).

До этого результата никаких оценок многочленов от значений функций, удовлетворяющих уравнениям Малера, известно не было. К.Малер19 , не приводя доказательства, утверждал, что такие значения не являются числами Лиувилля. М.Миньот20 предположил, что число

оо v—Q

являющееся значением функции (14), не является U-числом в классификации Малера (соответствующие определения можно найти, например, в обзорной статье21). Из теоремы 19 следует что числа f(a), удовлетворяющие ее условиям, являются S-числами. Ранее все известные примеры S-чисел были связаны со значениями E-функций в алгебраических точках. Теорема применима, например, к значениям функций (14) и (15).

Некоторые результаты удается получить и в случае, когда многочлены Aj(x, у) нелинейные по у.

Теорема 20. Пусть f(z) — трансцендентная функция, предсгпавимал в виде ряда (12) , сходящегося в круге \z\ < R , и удовлетворяющая функциональному уравнению (13) с

% = deS¡y АЛг> У) < Р-

Пусть далее а (0 < |а| < min(l, R)) — алгебраическое число, такое, что все многочлены

Л2(оЛ/(с/)) 0, £ = 0,1,2,... .

Тогда для любого ненулевого многочлена Р(х) G Z[x] степени, не превосходящей d, и высоты, не превосходящей H, при H > Ho(d) справедливо неравенство

|Р(/(аг))|>ехр(-С(1пЯЛ, ß =

где постоянная С не зависит от Н.

19Mailler К. Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse Funktionalgleichungen // Math. Ann. - 1929. - Bd. 101 - №4. - S. 342-366

20MicnotteM. Approximation des nombres par certaines suites de rationnels.// Seminare Delange-Pisot-Poiton (Theorie des nombres).- №16 - 1976-77 - pp 1-3

21Спринджук В.Г. Достижения и проблемы теории диофантовых приближений.//Успехи матем. наук - 1980 - Т. 35. - Вып. 4(214). - С. 3-68

Теорема применима, в частности, к значениям функции (16).

Цель работы. Дальнейшее развитие методов доказательства оценок линейных форм и многочленов от значений аналитических функций. Разработка эффективных конструкций аппроксимаций типа Паде для гипергеометрических функций. Исследования на этой основе арифметической природы значений таких функций. Исследование арифметических свойств значений Е-функций и С-функций Зигеля на основе дальнейшего совершенствования и обобщения классического метода Зигеля-Шидловского. Применение развитых средств к исследованию значений гипергеометрических функций с иррациональными параметрами. Получение количественных результатов о мере трансцендентности значений аналитических функций, удовлетворяющих функциональным уравнениям определенного типа.

Методы исследования. В диссертации применяются различные методы теории трансцендентных чисел. В первой главе используется теория делимости в алгебраических числовых полях. Во второй главе предлагаются новые конструкции аппроксимаций типа Паде, идущие от работ К.Малера. В третьей главе вносятся усовершенствования как в построение последовательности приближающих линейных форм, так и в метод получения количественных результатов. В четвертой главе применяется метод Зигеля-Шидловского с рядом усовершенствований, позволяющих в некоторых случаях устанавливать линейную независимость значений гипергеометрических функций с иррациональными параметрами. В пятой главе применяется метод Малера с некоторыми техническими модификациями.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Доказано необходимое и достаточное условие принадлежности гипергеометрических функций классу Е-функций .

2. Получены оценки линейных форм от значений гипергеометрических функций с параметрами из мнимого квадратичного поля.

3. Установлены оценки сверху и снизу линейных форм от значений гипергеометрических функций, отличающиеся друг от друга лишь на постоянный множитель.

4. Доказана алгебраическая независимость значений Е-функций в некоторых точках, допускающих хорошие приближения алгебраическими чис-

лами.

5. Впервые получены оценки многочленов от значений в-функций в достаточно малой точке, в частности, установлена иррациональность некоторых значений О-функций.

6. Также впервые установлена оценка меры трансцендентности значений функций, возникающих в методе Малера.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты будут способствовать дальнейшему развитию теории диофантовых приближений и трансцендентных чисел.

Апробация работы. Результаты диссертации многократно докладывались (1974-2009 гг.) на научно-исследовательском семинаре по теории чисел на механико-математическом факультете МГУ, на международных конференциях по диофантовым приближениям в Обервольфахе (Германия) в 1990 и 1993 годах, на Всесоюзной конференции "Теория трансцендентных чисел и ее приложения" в Москве в 1983 году, на международной конференции "Трансцедентные числа" в Москве в 2000 году, а также на конференциях по теории чисел в Вильнюсе в 1974 году, во Львове в 1975 году, в Душанбе в 1976 году, в Тбилиси в 1985 году, в Минске в 1989 году и в Воронеже в 1995 году. Вошедшие в диссертацию результаты излагались в лекционных курсах, которые ее автор читал в университетах городов Йокогама (Япония) в 1994 году, Оулу (Финляндия) в 1997 году, и в докладе, прочитанном на научном семинаре в городе Кельне (Германия) в 2000 году.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[20]. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Работа изложена на 165 страницах. Библиография включает 72 наименования.

Работа выполнена при частичной поддержке Международного научного фонда, грант МНБЗОО.

Основные публикации по теме диссертации (из официального Перечня ВАК)

1. Галочкин А.И. Оценки снизу многочленов от нескольких логарифмов

алгебраических чисел, близких к единице // Успехи матем. наук — 1973 — Т. 29. - Вып. 2(170). - С. 235.

2. Галочкин А.И. Оценки снизу многочленов от значений аналитических функций одного класса // Математический сборник. — 1974. — 95(137). — №3 - С. 396-417.

3. Галочкин А.И. Об арифметических свойствах значений некоторых целых гипергеометрических функций // Сибирсий Математический журнал. - 1976 - Т. 17. - №6. - С. 1220-1235.

4. Галочкин А.И. Уточнение оценок некоторых линейных форм // Математические заметки - 1976 - Т. 20. - Вып. 1. - С. 35-45.

5. Г алочкин А.И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. I // Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика. — 1978. — №6 — С. 25-32.

6. Галочкин А.И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. II // Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика — 1979 — №1. — С. 26-30.

7. Галочкин А.И. О мере трансцендентности значений функций, удовлетворяющих некоторым функциональным уравнениям // Математические заметки. - 1980 - Т. 27. - Вып. 2. - С. 175-183.

8. Галочкин А.И. О критерии принадлежности гипергеометрических функций Зигеля классу Е-функций // Математические заметки — 1981

Т. 29. - Вып. 1. - С. 3-14.

9. Галочкин А.И. О неулучшаемых по высоте оцеках некоторых линейных форм ,// Математический сборник — 1984 — Т. 124(166) — №7 — С. 415-430.

10. Галочкин А.И. О некотором аналоге метода Зигеля // Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика. — 1986. — №2. — С. 30-34.

11. Галочкин А.И. О решениях некоторых уравнений, содержащих Е-функции // Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика — 1992 — №3.

С. 22-27.

12. Галочкин А. И. Об аппроксимации алгебраическими числами решений некоторых уравнений, содержащих Е-функции// Труды Математического институтата им. В.А.Стеклова — 1994. — Т. 207. — С. 66-69.

13. Галочкин А.И. Оценки линейных форм от значений С-функций// Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика — 1996 — №3. — С. 23-29.

Работы, не вошедшие в перечень ВАК РФ

14. ГалочкинА.И. Sur des estimations précises par rapport a la hauteur de certaines formes lineaires //' Approximations Diophantiennes et Nombres Transcendants. Colloque de Luminy, Birkhäuser — 1982. — P. 95-98,

15. ГалочкинА.И. О совместных приближениях значений некоторых целых функций // Диофантовы приближения. Часть I. — 1985. — М.: Изд-во Моск. ун-та. С. 17-25.

16. ГалочкинА.И. Галочкин А. И. On effective bounds for certain linear forms // New advances in transcendence theory. Cambridge, Univ. Press. — 1988. - P. 207-214.

17. ГалочкинА.И. On certain arithmetical properties of the values of hypergeometrric functions// Diophantische Approximationen 30.09 bis 06.10.1990, Tagungsbericht 42. — Math. Forschungsinstitut Oberwolfach -1990. - S. 7.

18. ГалочкинА.И. On some equations connected with E-function// Diophantische Approximationen 26.09 bis 02.10.1993, Tagungsbericht 43. — Math. Forschungsinstitut Oberwolfach — 1993. — S. 20.

19. Галочкин А.И. Оценки снизу многочленов от значений алгебраически зависимых Е-функций// Фундаментальная и прикладная математика.

- 1995 — Т. 1. — №1 — С. 305-309.

20. ГалочкинА.И. О некоторых арифметических свойствах коэффициентов функции Кум мера / / Фундаментальная и прикладная математика.

- 2005 - Т. 11. - №6. - С. 27-32.

Подписано в печать

Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. ¿,0

Тираж /ООъкз. Заказ 33

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

«У7273в30

2007273650

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Галочкин, Александр Иванович

Введение

0.1 Обозначения и определения.

0.2 Предшествующие исследования.

0.3 Результаты диссертации.

0.4 Дальнейшие исследования, связанные с результатами диссертации.

1 Некоторые свойства гипергеометрических функций

1.1 Точные оценки общих знаменателей коэффициентов гипергеометрических функций

1.2 Критерий принадлежности гипергеометрических функций классу Е-функций.

1.3 Линейная независимость гипергеометрических функций.

2 Оценки снизу линейных форм

2.1 Оценки линейных форм от значений гипергеометрических функций в нескольких точках.

2.2 Совместные приближения значений гипергеометрических функций в точках числового алгебраического поля произвольной степени.

2.3 Уточнение оценок линейных форм от значений некоторых гипергеометрических функций.

3 Точные по высоте оценки линейных форм

3.1 Некоторые неравенства.

3.2 Процесс исключения

3.3 Редукция.

3.4 Система приближающих линейных форм.

3.5 Доказательство теоремы 12.

3.6 Точные оценки в совместных приближениях.

4 Некоторые приложения метода Зигеля-Шидловского (Е-функции, G-функции, гипергеометрические функции)

4.1 Оценки снизу многочленов от значений алгебраически зависимых Е-функций.

4.2 Приближения алгебраическими числами решений некоторых уравнений, содержащих Е-функции 123 4.3 Оценки снизу линейных форм от значений гипергеометрических функций с некоторыми алгебраическими параметрами.

4.4 Оценки снизу многочленов от значений

G-функций.

5 Количественные результаты в методе Малера

5.1 Доказательство теоремы 19.

5.2 Доказательство теоремы 20.

Введение диссертация по математике, на тему "Об арифметических свойствах значений аналитических функций некоторых классов"

0.1 Обозначения и определения

Пусть N, Z+, Z, Q, I и С — соответственно множество натуральных чисел, множество неотрицательных целых чисел, кольцо целых чисел и поля рациональных, действительных и комплексных чисел.

Пусть II — поле рациональных чисел или мнимое квадратичное поле, К — алгебраическое числовое поле конечной степени, Zк ~ кольцо целых чисел в поле К.

Высотой многочлена называется максимум модулей его коэффициентов, а длиной — сумма модулей его коэффициентов.

Для алгебраического числа aGK через |а| будем обозначать максимум модулей чисел, сопряженных числу а в поле К.

Высотой h(a), длиной 1(a) и степенью dega алгебраического числа а называются соответственно высота, длина и степень его канонического многочлена.

Назовем обобщенной длиной многочлена

A(xh .,xs)= ah,.,ksxki ■ •" xss € i, • • •, xs] k\ j величину

Ь(А(хъ.,х3))= Y^ Къ-aJ, а обобщенной высотой — величину

А{хъ . ,xs)| = max |afci,.,fcj .

Через ord f(z) будем обозначать порядок нуля функции f(z) при z = 0, а через deg Р — степень многочлена Р.

Записи [/«У и[/»У (U € С, У > 0) будут обозначать, что \U\ < C\V и \U\ > C2V с положительными постоянными С\ и С2, а запись U х V — одновременное выполнение этих неравенств.

0.2 Предшествующие исследования

В 1929-1934 годах сформировались основные методы теории трансцендентных чисел. В 1929 году К.Зигель [43] опубликовал аналитический метод, позволяющий устанавливать алгебраическую независимость и трансцендентность значений в алгебраических точках функций некоторого класса, названного им Е-функциями.

Определение 1. Пусть К. — алгебраическое числовое поле конечной степени. Функция zv f(z) = ^2av-7> а^еК, i/=0 называется Е-функцией, если при любом е > О выполняются следующие условия

1) KI = 0(0;

2) существует последовательность {<2Vi} натуральных чисел таких, что qnau е Zк, п = О, 1,., v = 0, п, и qn = 0(пеп).

Множество Е-функций является кольцом. Производная Е-функции — Е-функция.

В частности, К.Зигель доказал, что при некоторых естественных условиях значения в отличной от нуля алгебраической точке функции

Г —IT

М = Е,,,(Л + 1)-.-(А + ,) (2) ' AeQ, A^-l, -2. и ее производной алгебраически независимы.

Пусть совокупность Е-функций fi(z),., fs(z) составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений s у'г = Qio(z) + Qij(z)yji i = М; QiM € 1ВД. (l) з=1

Примеры Е-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям: многочлен с алгебраическими коэффициентами, sinz, cos z, функция Бесселя Jq{z).

Заметим, что можно требовать, чтобы Qij(z) G C(z), а затем уже доказывать, что Qij{z) £ K(z). Аналогично, алгебраическая независимость Е-функций над полем С (я) эквивалентна их алгебраической независимости над (см. [51] стр. 153, 154.)

В книге [44] К.Зигель в общей форме установил некоторое достаточное условие алгебраической независимости значений Е-функций в алгебраических точках. Результаты Зигеля опубликованы также в книге [13].

А.Б.Шидловский существенно усилил метод Зигеля. Он установил следующий критерий алгебраической независимости значений Е-функций.

Теорема I. ([48], [Щ, [51] стр. 153, [52J стр. 91). Пусть совокупность Е-функций

2) составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений (1), а — алгебраическое число, отличное от нуля и от полюсов всех функций Qij(z).

Тогда для алгебраической независимости значений функций

ЛИ,., ли (3) необходима и достаточна алгебраическая независимость функций

2) над полем С(;г).

Этот результат был распространен на случай алгебраически зависимых Е-функций.

Теорема II. ([50], [52] стр. ЦЗ-Ц4)- Пусть совокупность Е-функций fi{z),., fs(z) и число а удовлетворяют условиям теоремы 1. Тогда количество алгебраически независимых чисел в наборе

3) равно количеству алгебраически независимых nad€.(z) функций в наборе (2).

Бывает удобно считать систему (1) однородной — в противном случае ее можно дополнить функцией, тождественно равной 1. Поэтому можно считать, что система имеет вид s у'г = Qij^Vh i = М, Qij(z) е K(z). (4)

3=1

Метод Зигеля-Шидловского позволяет также получать количественные результаты. В статье К.Зигеля [43] получена оценка многочлена от значений функции Бесселя Jq(z) и ее производной в алгебраической точке а. ^ О

P(J0(a), J»)| > СЯ"123^2, 0 ф Р(х,у) е Z[x, у], х = dega, где d и Н — соответственно степень и высота многочлена Р, а С — С(а, d) >0.

С.Ленг получил следующий результат.

Теорема III. [22]. Пусть Е-функции fi(z),.,fs(z) алгебраически независимы над K(;z) и составляют решение системы (4); ol — алгебраическое число, отличное от нуля и от полюсов коэффициентов системы. Тогда для любого многочлена

0 ф Р(х 1, .,хв)е Щхг, .,xs] степени d и высоты Н справедлива оценка

P(/i(a),., fs(a))\> CH~bd\ С{а, d) > 0, где постоянная Ь зависит только от s и степени числа а.

Введем следующие обозначения. Для аналитических функций оо v—0 многочлена Р(хi,., xv) € К[жх,., a;v] и числа a £ К обозначим через значения многочленов, полученных заменой коэффициентов многочлена Р(х\,., xv), всех чисел а^ и числа а на соответствующие сопряженные им числа в поле К.

А.Б.Шидловский доказал следующую теорему.

Теорема IV. ([52] глава 11, §2). Пусть I — поле рациональных чисел или мнимое квадратичное поле; совокупность Е-функций fi(z)., fs(z) с коэффициентами из алгебраического числового поля Ж степени к над полем I составляет решение системы дифференциальных уравнений (4) и линейно независима над полем С(^), число а£К отлично от нуля и от полюсов всех рациональных функций Qij(z). Пусть далее

L(xi,., xs) = h\X\ Н----+ hsxs, hj € 1<к> H — max\hj\ > 0. з

Тогда при любом £ > 0 выполняется неравенство max\L^(f1(a):.Js(a))\>CH1-s~£ (5)

7=1, >С с постоянной С > 0, зависящей только от е, а и функций fl(z).Js(z).

Определение 2. Будем говорить, что функция

00 J, Z i/=0 является Е-функцией в узком смысле, если выполняются следующие условия

1) Rf = e°M;

2) существует последовательность {qn} натуральных чисел таких, что qnav G 'Lki n = 0,l,., ^ = О, п, и дь = е°<»>.

Все известные Е-функции, составляющие решения систем линейных дифференциальных уравнений типа (1), являются Е-функциями в узком смысле. Для таких Е-функций число £ в оценке (5) можно заменить на величину порядка О ( . ) .

Vvln In Н J

Приведем один частный случай соответствующей теоремы.

Теорема V. ( [52] стр. J^ll). Пусть совокупность Е-функций в узком смысле fi(z),., fs(z) с коэффициентами из поля II составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений (4) и линейно независима над полем C(z). Число а £ I отлично от нуля и от полюсов коэффициентов системы.

Тогда для любых чисел hj £ Zj при Н > maxj \hj\ > 0. II > 3. справедливо неравенство h1f1(a) + --- + hsfs{a)\> Н1 3 г/ьья , (6) где постоянная j не зависит от Н.

С помощью принципа Дирихле легко установить, что оценка (6) 7 может быть улучшена только за счет величины =.

V In In Н

В статье [43] К.Зигель указал также, что его метод применим для исследования арифметических свойств значений некоторых функций, ряды Тейлора которых имеют конечный радиус сходимости. Эти функции К.Зигель назвал G-функциями.

Определение 3. Функция оо f(z) = ^z avzv' а» 6 к' и=0 называется G-функцией, если выполняются следующие условия

1) Ы = е°<">;

2) существует последовательность {#п} натуральных чисел таких, что qnav € Zft-, n = 0,l,.; v = 0, n , и

Чп = е°(»>.

Множество G-функций, как и множество Е-функций, образует кольцо, производная G-функции — G-функция. Примеры G-функций: ln(l + z), (1 + z)\ re Q.

В статьях М.С.Нурмагомедова [37] и [38] сделаны первые попытки применить метод К.Зигеля для исследования арифметических свойств значений G-функций в алгебраических точках. В частности, установлено, что, если fi(z),., fs(z) — совокупность G-функций, алгебраически независимых над полем C(z) и удовлетворяющих системе линейных дифференциальных уравнений (1), а ф 0 — алгебраическое число, q, N, Н натуральные числа, q>q0{HtN,aJ1{z)i.Ja(z))i (7)

Oi а число — отлично от полюсов всех функций Qij(z), то числа Q. не связаны никаким нетривиальным алгебраическим уравнением степени, не превосходящей N, с целыми коэффициентами, по модулю, не превосходящими Н.

Поскольку число до зависит от Н, то из теоремы М.С.Нурмагоме-дова не следует иррациональность значений G-функций.

В методе доказательства "малость" линейных форм может быть достигнута, по-видимому, только за счет "малости" значений аргумента. Поэтому приходится предполагать, что число — достаточно Q мало.

Рассмотрим общую гипергеометрическую функцию

Е'ГЛ^'Г'^М^- '="-«>0. (8) [bi + 1, v] ■ ■ ■ [bv + 1, v\ где [Л + 1, и] = (Л + 1) ■ • • (Л + г/), [Л + 1, 0] = 1, а все числа bj ф -1, —2,---

К.Зигель [44] доказал, что, если все параметры а{, bj — рациональные числа, то функция (8) является Е-функцией и удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению с коэффициентами — рациональными функциями. Доказательство этого утверждения можно найти также в книгах [51] на стр. 192-196 или [52] на стр. 184-188. К.Зигель ([44] стр. 58) предположил что любая Е-функция, удовлетворяющая линейному дифференциальному уравнению с коэффициентами из C(z), может быть представлена в виде многочлена с алгебраическими коэффициентами от функций вида (8) с возможными заменами z на XjZ с алгебраическими значениями Aj и рациональными параметрами bj . К настоящему времени эта гипотеза не доказана и не опровергнута.

Был неясен даже вопрос, является ли Е-функцией функция (8) с алгебраическими параметрами. В.Г.Спринджук [45] доказал, что, если Л — квадратитичная иррациональность, то функция не является Е-функцией. Затем он распространил этот результат на случай, когда Л — такое алгебраическое иррациональное число, что Q(A) — поле Галуа и доказал следующее утверждение.

Теорема VI. ([46]). Пусть А — алгебраическое число иЖ = Q(A) — нормальное расширение поля Q, х = [Ж : Q] > 1. Тогда наименьшее натуральное число Qn , для которого

Til

Qn м , -,4-тт—;—r^Z*-, А 7^-1, -2,.,

А + 1) • • • (А + п) возрастает не медленнее, чем (п!) .

Заметим, что функция п(,\ ^Mai +1» И •' • К +1, И ^ h -А 1 о + + ' (10) при рациональных параметрах щ, bj является G-функцией.

В 1932 году К.Малер [26] доказал, что, для любого ненулевого многочлена Рт(х) с целыми коэффициентами по модулю не превосходящими Н выполняется неравенство

7 то2 ln(m+l)

Pm(e)| > Н-т~ in in н , т = deg Р, Н > Я0(га), где 7 — абсолютная постоянная. Доказательство основывается на явном построении многочлена

О фР{х, y)eZ[x, у], deg х Р < n, degy Р ^ т) такого, что функция P(z, ez) имеет максимально возможный порядок нуля в точке z = О (так называемая задача аппроксимации типа Паде).

Основные идеи этого метода использовались многими авторами, в частности, Н.И.Фельдманом [11] для значений функции (9) <p\(z).

Рассмотрим функцию оо

-1 1 + г" ( Ц д(х) ) , д{х) = дтхт + gm-lXm~x + - • • + д0.

П) l/=l VE=1

Функция ijj(z) является решением дифференциального уравнения d д(5)у = zy + д(0), 5 = zz

12)

Заметим, что функция ф(гт) с дт = 1 — частный случай функции (8). Если все корни многочлена д(х) — рациональные числа, то она является Е-функцией.

Ч. Осгуд [39] доказал следующую теорему о значениях функции (11).

Теорема VII. Пусть д(х) Е 1[ж], #(0) = 0, дт — 1, ri,.,rt — различные и отличные от нуля рациональные числа, mt > 1. Тогда для любого е > 0 и любых чисел hij Е Z/ при

Н — max \hjS\ > 0 jf=l,£; s=0, т—1 выполняется неравенство t т—1 j=1 s=0 CiH

1—mt—E

13) и для любого набора q, PjS целых чисел из поля I при любой паре индексов (и, v), 1 < и < t] 0 < v < т — 1 с (s, j) ф (и, v) и при |д| > 0 выполняется неравенство max j=l,t; s=0, т—1; {s,j)^(u,v) s4rj) Pj* q C2\q\ 1 mt~l

14) где C\ и C2 — положительные постоянные, зависящие от е, но не зависящие от Н.

В той же статье [39] Ч. Осгуд получил оценку и неоднородной линейной формы в предположении, что все корни многочлена д(х) — рациональные числа. Однако эта оценка слабее оценки, получающейся из теоремы Шидловского V.

В статье [40] Ч. Осгуд доказал теорему о характере совместных приближений значений целых функций, удовлетворяющих линейному однородному дифференциальному уравнению, и оценил снизу размерность линейного пространства над числовым алгебраическим полем, натянутого на значения этих функций и их производных.

Результаты Ч. Осуда неоднократно улучшались.

В 1981 году А.Н. Коробов в некотором более частном случае получил оценку снизу линейной формы, которая отличалась от соответствующей оценки сверху лишь на постоянный множитель.

Теорема VIII. ([18]). Пусть s, а, а + Ъ — натуральные числа с € Zj, с т^О и

00 zn+su n+sv

Тогда для любых чисел ho , hi ., hs из кольца Zj при Н = max(|/io|, • • -, \hs\) > 3 справедливо неравенство hsip, s+1 rr-s /In In Д"\ 2 lH J "

Положительная постоянная 7 не зависит от Н, причем покаs + 1 ^ затель- не мооюет быть уменьшен. 2

В 1929 - 1930 годах К. Малер [23, 24, 25] опубликовал метод, позволяющий устанавливать трансцендентность и алгебраическую независимость значений функций, удовлетворяющих некоторым функциональным уравнениям.

Рассмотрим функцию оо aveK. (15)

Пусть ряд сходится в круге \z\ < R и функция f(z) удовлетворяет уравнению

PGN,P>2. (16)

Обозначим через A(z) результант многочленов A\{z, у) и A2(z, у).

Теорема IX. ([23], [36] стр. 5 - 8). Пусть f(z) — трансцендентная функция, удовлетворяющая функциональному уравнению (16), и degyAj(z, у) < р, j — 1) 2; а — алгебраическое число, такое, что О < И < min(l, R) и Д(с/)^0 при к = 0, 1,. . Тогда число f(a) трансцендентно.

Приведем примеры функций, удовлетворяющих уравнению Малера (16), для которых справедливо утверждение теоремы IX.

Пример 1.

00 = $>'", f(zp) = f(z)-z. (17) i/=0

Пример 2.

ОО ОО J. f \ f(z) = П (! - Л = Е V» • Л*2) = . (18) и=О м-0 где числа а^ равны 1 или —1, причем а^ = 1 тогда и только тогда, когда в двоичное разложение числа р входит четное число единиц.

Пример 3. f(z) = f[(l-z?y\ = geN. (19) и=0 ^ '

В приведенных примерах при алгебраическом а (0 < |о;| < 1) (в последнем примере при q < р) по теореме IX числа f(a) трансцен-дентны.

0.3 Результаты диссертации

Пусть К — алгебраическое числовое поле степени х. Следующее определение обобщает определение Е-функции.

Определение 4. Будем говорить, что функция

ОО и аиеК, (20) принадлежит классу ЕТ: г > 0, если для любого положительного числа е

1) И = 0(0; (21)

2) существует последовательность отличных от нуля чисел Qn € Zк, такая, что qnau G Ztf, п = О, 1,.; и = 0, п , (22) и нормы этих чисел

NK(qn) = О . (23)

Определение 5. Функция (20) в точности принадлежит классу ЕТ, если она принадлежит классу ЕТ и не принадлежит никакому классу ЕТг при 0 < т\ < т. В этом случае число т назовем индексом класса функции f(z).

Непосредственно из определения вытекают следующие свойства.

1) Класс Е() совпадает с классом Е-функций.

2) Если функция принадлежит классу Ет, то она принадлежит любому КЛаССу ЕТ2 при 72 > т.

3) Индекс класса функции f(z) определен однозначно и не зависит от выбора поля К, содержащего все коэффициенты av функции f(z).

Рассмотрим функцию

СХЭ z \ mv = g [А1 + 1,„]•.[*» + !, "] U ' ^

А + 1, z/] = (А + 1) • • • (А + г/), [Л +1,0] = 1. (25)

Эта функция является решением дифференциального уравнения

5 + mAi) ■■•(5 + т\т)у = zmy + тт Ai • • • Am , 6 = z4~ . az

Теорема 1. [55]. Пусть Х\,., Am — алгебраические числа, отличные от — 1, —2,. , степеней соответственно .,хт. Тогда функция (24) <p{z) в точности принадлежит классу ЕТ при m 1 т = 1-У-. (26) z—' тх,j=i J

Следствие 1. Если не все числа Ai,., Am являются рациональными, то функция <p(z) не является Е-функцией.

Исследуется также, к какому классу в точности принадлежит функция Куммера при условии, что К = Q(ai, аг) - квадратичное поле.

Пусть и> - квадратичная иррациональность, К = Q(w), degK = 2, а\ = Щ + ViШ, 0,2 = U2 + Щ, U2, Vi, V2 € Q. (28)

При г>1 = г*2 = 0 функция (27) является Е-функцией, поэтому будем считать, что |i>i| + |г>2| > 0. За счет выбора числа ш можно обеспечить, чтобы vi, г>2 € Z, (г»1, v2) = 1, Щ = —, и2 = — \ h, b2, с е Z, с> 0. (29)

С с

Теорема 2. [72]. Функция Куммера (27) в точности принадлежит классу Eif2 в следующих случаях:

1) при vi > г>2 (v\ > 0);

2) при ЩУ2 — ЩУ1 £ Z;

3) при г>1 = V2 > 0 и щ — U2 £

4) при viv2 < 0, |t)i| + \v2\ > 0.

При г>2 > v\ > О, U\V2 — ЩУ1 £ Z функция f(z) в точности принадлежит классу ЕТ при

При v\ = г>2 > О, и\ — U2 £ а также при v\ = vi = О функция f(z) является Е-функцией.

Общий случай при degQ(ai, a2) = 2 сводится за счет выбора со к какому-либо из описанных случаев.

Следующая теорема устанавливает необходимое и достаточное условие того, чтобы общая гипергеометрическая функция (8) являлась Е-фуикцией.

Введем следующее

Определение 6. Будем говорить, что две системы чисел («1,., аи) и (bi,., bv) удовлетворяют условию Е, если либо все числа dj, bk рациональные, либо существует такое разбиение всех тех из этих чисел, которые не являются рациональными} на пары что все разности ajs — s = 1, г, — неотрицательные целые рациональные числа.

Теорема 3. [60]. Для того, чтобы функция (8) с комплексными параметрами ai,. ,аи; Ь\,. ,bv, отличными от —1, —2,., и такими, что была Е-функцией, необходимо и достаточно, чтобы все числа a,j, bk были алгебраическими и чтобы системы чисел (ai,. ,аи) и (&i,., bv) удовлетворяли условию Е.

Эта теорема фактически показывает, что во всех "нетривиальных" случаях функция (8) не является Е-функцией.

Аналогичное утвержение справедливо для G-функций.

Теорема 4. [60]. Пусть ai,.,av\ bi,. ,bv, — комплексные числа, отличные от — 1, — 2,., и такие, что ф bk, j = 1, Щ k = l,v dj^bk, j,k = l,v.

Тогда для того, чтобы функция (10) была G-функцией необходимо и достаточно, чтобы все числа aj, bk были алгебраическими и чтобы системы чисел (ai,., av) и (&i,., bv) удовлетворяли условию Е.

ОО V , \ j = irt> (30) х=1 ^ > где cij{x), bj(x) — многочлены с комплексными коэффициентами, rrij = degbj(x) > dega,j(x), rrij > 1, bj(x) ф 0 при x = 1, 2,

Функция i[)j (z) является решением линейного дифференциального уравнения

Uj: Ьз{8)Уз=аз(8)*Уз + Ъ,{ 0), (31)

Теорема 5. [65]. Пусть выполняются следующие условия.

A) Для каждого индекса j, 1 < j < t, и любого с G Z два многочлена dj(x) и bj(x + с) взаимно просты.

B) Для любых двух многочленов ak(x)bi(x) = с(х + \i) ■ ■ ■ (х + \N), щ(х)Ьк(х), 1 < k < I < t, при любом наборе целых рациональных чисел С\,., сдг с(х + Ai + ci) • • • (х + Ajv + cN) ф ai{x)bk{x). (32)

Далее, пусть yj(z) — произвольное решение уравнения Uj из (31), не принадлеэюащее кольцу C[z, z-1].

Тогда совокупность функций

1, yf (*), 3 = М; 8 = о, rrij - 1, (33) линейно независима над полем С(z).

Теорема 6. Пусть в равенстве (30) rrij = deg6j(ar) > dega^a;). (34)

Тогда для того, чтобы функции

1, <ф{°\г), j = l~t] s — 0, rrij - 1, (35) были линейно независимы над полем С(^) необходимо и достаточно, чтобы l)rrij>l: a,j(x)bj(x) ф 0 при х — 1,2,.] j = 1, t\

2) выполнялось условие (В) теоремы 5;

3) выполнялось следующее условие:

С) для каждого индекса j, 1 < j < t, и любого с Е Ъ+ два многочлена a,j(x) и bj(x + с) взаимно просты.

Заметим, что в теореме 5 условие (А) нельзя заменить на более слабое условие (С).

Пример 4. Уравнению d

6(6 + \)у=(6 + \- 1 )zy, 6 = z-~ , Л £ Z, a z удовлетворяет функция z~x C(z), однако она линейно зависима со своей производной над C(z).

Далее, как будет видно из доказательства, три условия теоремы 6 являются достаточными для линейной независимости функций (35) и в случае, когда при некоторых индексах j deg bj(x) = deg aj(x). Рассмотрим функции более частного вида, чем (30), оо / v \ -1

Фз(г) = 1 + ^V ( ) , gj(x) Е С[ж], rrij = deg^(a;) > 1. и=1 \з;=1 /

36)

Для этих функций сформулируем два следствия из теоремы 6.

Следствие 2. Пусть ipi(z),. ,ipt(z) — функции (36). Тогда функции (35) линейно независимы над полем C(z) тогда и только тогда, когда выполняется условие (В).

Следствие 3. Пусть ф(г) — функция вида (11) с gm — 1 ; cji, . ,ujt — различные и отличные от нуля комплексные числа. Тогда функции

1, ipis){ivjZ), j = М; s — О, т- 1, линейно независимы над полем C(z).

Действительно, в условиях следствия 2 выполняется условие (С), а в условиях следствия 3 — и условие (В).

Теорема 7. [57]. Пусть . ,Хт — рациональные числа, отличные от —1, —2,.; . ,u>t — попарно различные и отличные от нуля числа из поля I. Пусть ф{г) — функция (11) с д(х) = (х + Ai) • • • (х + Хт).

Тогда для любого ненулевого набора ho, hjs, j = 1, t\ s = 0, m - 1, целых чисел из поля I, по модулю не превосходящих Н, при Н > 3 выполняется неравенство t т—1 j=1 s=0

37) и для любого набора q, pjS целых чисел из поля Е при \q\ > 3 выполняется неравенств max

7=1, t; s=0,m—l ч.

1 *У2

38) где 7i w 72 — эффективно вычисляемые положительные постоянные, зависящие только от чисел Ai,., Хт; cui,.,оjf

Теорема 8. [57]. Пусть д(х) = хт + gm-ix771'1 Н-----\-gix 6 причем д{х) ф 0 при х = 1, 2,.; ooi,. ,cvt — попарно различные и отличные от нуля числа из поля I. Тогда для любого ненулевого набора hjs, j = 1, t] s = 0, m — 1, целых чисел из поля I, по модулю не превосходящих Н, при Н > 3 выполняется неравенство t т—1

Х^М^Ы >Я1"т*~ьЙя, (39)

3=1 в=о и для любого набора q, PjS целых чисел из поля I при любой паре индексов (и, v), 1 < и < t\ 0 < v < т — 1 с (s, j) Ф (и, v) и при \q\ > 3 и mt > 1 выполняется неравенств max

Pjs

1 *Y2 i ( f/i( f i > Igf^^T^lnlnM j (40) s=0,m-l; и) ' где 7i и 72 — эффективно вычисляемые полоо/сительные постоянные, зависящие только от чисел д\,.,gm~i\ ,. ,ajf

1п1пЯу \1п1п|<?|/

Оценка линейной формы (37) может быть выведена из теоремы

Шидловского V, но с остаточным членом порядка О ( , ^ = ) .

Win In Н J

Однако теорема V не применима к оценке однородной линейной формы (39), так как по следствию 1 функция ф(гт) не является Е-функцией, если только не все корни многочлена д(х) рациональны.

Линейные формы (39) можно оценить по теореме Осгуда VII, но тогда, вместо величины -—т-Цг=, будет присутствовать произвольное

In in л е > 0 и все ujj <Е Q.

Пусть Ai,.,Am — алгебраические числа, отличные от — 1, —2,., степеней соответственно ., число г определено посредством равенства (26). Справедлива следующая

Теорема 9. [58]. Пусть К — алгебраическое числовое поле степени к над полем I ив равенстве (11) g(x) = (х + Ai) • ■ ■ (х + Ага) - хт + gm-ix"1'1 + ---+gix + g0e ВД; u>i,. ,oot — попарно различные и оличные от нуля числа из поля К, причем mt>x+xr— 1. (41)

Тогда выполняются следующие утверждения. 1) Для произвольного s > 0 и любого набора

Рз,

S 3

1, t; s = О, т — 1, целых чисел из поля К при q ^ О и Р = maxjiS(|g|, |pj,s|) справедливо неравенство max j=l,i, s=0,m—1

•Ф{8Хч)

Рз,' mt+1+e С (klP*-1) 5 (42) где С = С(е, Ai,., \m,uJi,. ,wt) > О. 2) Среди чисел

Ф{8)(щ), 3 = М; « = О, m - 1, существует не менее {mt+l)>c~l— т—1 чисел, линейно независимых вместе с числом 1 над полем К.

В некоторых случаях удается получить оценки с лучшими остаточными членами по сравнению с теоремами 7 и 8.

Теорема 10. [56]. При любых целых числах Ь, р, q из поля I при bq ф 0 выполняется неравенство i р еь-9

0,001 lnln(|g| + 2) |V|ln(|g|+2)

При I = Q подобная оценка следует из характера разложения числа 1 еЬ в цепную дробь и результатов статьи [1] (лемма 11 и следствие 10). Теорема 11. [56]. Пусть в равенстве (11) многочлен g(x) =хт + дт-\xm~l + ---+gix€ Zj[x], д = max(|pi|,., т> 2, д{х) ф 0 при х = 1, 2,---

Тогда для любого набора b, h\,., hm целых чисел из поля Е при b ф О, 0 < ma\ hj\ < Я и Я > 3 справедлива оценка

Н0ф Q) + М>' (j) + • ■ ■ + hm.гф^ (|Ь|Я)1-т(1пЯ)-71, (44) и для любых целых чисел q, pi,. ,рт; > 3, из поля Е при каждом индексе и, О < и < т — 1, выполняется неравенство max > (|%|)-1~^(1п#)-'» (45) фМ(1/Ь) q s=l,m—l,s^u где постоянная 71 не зависит от b и Я, а постоянная 72 — от b и q.

Остаточный член в показателях в теоремах 7 и 8 порядка О ((In In Я)-1) в теореме 11 фактически заменен на величину порядка О ((In In Я) (In Я)"1) .

При некоторых дополнительных условиях удается получить оценки снизу линейных форм от значений гипергеометрических функций, которые лишь на постоянный множитель отличаются от соответствующих оценок сверху. В теореме 11 мы требовали, чтобы g(x) Е Z/[x]. В следующей теореме будем предполагать, что все корни д{х) лежат в поле Е.

Пусть Xj = aj + i(3j (j = 1, s; aj, (3j € К) — числа из поля E, отличные от —1, —2,.; а € Z/, й / 0, — такое число, что aXj G Z/, j = 1, s. Обозначим:

Л + 1, is] = (А + 1) • • • (Л + и), [А + 1, 0] = 1, (46)

00 zv Y-, ,чг.--—=-77--—г, m = s + l, (47) o^HIAi + I, !/]••• [А,+ 1, is] [ J {аЛ> N — аз + 3 = (48) где {ск} — дробная доля числа а. Пусть числа Ai,., As перенумерованы так, что

1 > <71 > 02 > • • • > <Тв > 0, а0 = а3 + 1. (49)

Обозначим: 1 О" 1 I

A i = + и j - —————, А = min Д7-, Л = max А,. (50)

S S 1 <j<s J 1 <j<s J 4 '

Пусть K(/j,j) — кратность корня fij многочлена д(х) = (х-Их)-•• (х-Ра), ri - maxK(fij), г = min 77, (51)

Tj=at J Дг=Д где максимум берется только по тем индексам j, 1 < j < s, для которых иj = at, а минимум — по тем I, для которых А/ = А. Аналогично вводятся величины р = max п, До = min (А,- — А), <50 = min (сг7--1 — сг7), (52) ai=a Д^А Д.,=ДЧ 7 JJ V '

77 = min ^sA0 , ^ , rj > 0. (53)

Последнее неравенство следует из того, что при Aj = А в силу (50) и (52)

1 1

- 0-J = Aj-i - Aj + - > - > 0. (54) s s

Определение 7. Линейную форму R = /io£o + • • • + hs£s, hk E Zj, будем называть примитивной, если при любом с Е I, 0 < |с| < 1, не все числа hkC, к = 0, s, будут целыми в поле L

Функция удовлетворяют дифференциальному уравнению am6(5 + \1)---(5 + \s)y = zy, S = (55)

56)

Теорема 12. [61], [62]. Пусть Ь Е Z/, 6^0, Д = У\ h^(k) (ТУ> max |ЛЛ| = Я > 3;

1' V 6 / 0</;<s

Ф(ж) = ж-5(1пл;)-а(1-д)(1п1пж)з(г-А), (57) fii(x) = Ж-5(1пж)-5(1-а)(1П1ПЖ)^-д), 02(Ж) = x-^lnx)^1-^.

58)

Тогда существуют эффективно вычисляемые положительные постоянные

Cj = Cj{a, b, Ai,., As), 7 = 7(0-1,., as, fa,., p8) такие, что справедливы следующие утверждения:

2) Существует бесконечное количество форм (56), для которых

3) Если R — примитивная линейная форма вида (56) и

Доказательство теоремы 11 было опубликовано раньше, а теоремы 12 — позднее опубликования доказательства теоремы А.Н.Коробова VIII. Теореме Коробова в теореме 12 соответствует случай равномерного распределения чисел Aj :

Метод доказательства теоремы 12 существенно отличается от методов доказательств предыдущих теорем. При доказательстве строится "достаточно плотная "последовательность линейных форм с верхними и нижними оценками, отличающимися лишь на постоянный множитель. Затем доказывается, что произвольная "достаточно ма-лая"линейная форма пропорциональна одной из форм последовательности. После чего ее оценки следуют из оценок построеннх форм.

Приведем пример на применение теоремы 12

Пример 5. Пусть

R\ < С2Ф(Н).

Д| > СзВДЯ), то

Д| > С4П2(Я)(In In Н)~7 .

7 - 1 ь

A j = Ai - --, j = 1, s ; Ai - - G Q.

В этом примере

Поэтому в теореме 12

Ф(ж) =2Ts(lnx)-s(lnlnx)s2.

В следующей теореме устанавливаются столь же точные оценки для совместных приближений.

Теорема 13. [63]. Пусть числа (48) /ii,.,/л8 попарно различны; \ -1-- /ЫпаЛ s+A tu(x) = х s —--А = max До.

V In я; J i=M

59)

Тогда существуют эффективно вычисляемые положительные постоянные С\ и С2, зависящие только от чисел a, b, Ai,., As, такие, что для каждого индекса к, 0 < к < s, справедливы следующие утверждения.

1) Для любых целых чисел р, ро,. ,ps из поля I при \р\ > 3 выполняется неравенство е(к, р) = max

С1Ш{\р\). (60)

2) Существует бесконечно много наборов чисел р, ро,., ps из Z/, для которых s(k, р) < С2ы(|р|). (61)

Следующая теорема распространяет теорему С.Ленга III на случай алгебраически зависимых Е-функций и усиливает некоторые результаты А.Б. Шидловского.

Теорема 14. [68], [70]. Пусть fi(z),., fs(z) — совокупность Е-функций с коэффициентами из алгебраического числового поля К, составляются решение системы линейных дифференциальных уравнений (1), а — алгебраическое число, отличное от нуля и от полюсов всех коэффициентов Qij(z) системы (1), я = рК(а) : I] > 2.

Тогда для любого многочлена Р[хi,., xs) £ Zjc[xi, ., или.

P(fi(a),.,fs(a)) = 0, или выполняется неравенство

Р(Ма),.,Ш)\>СН~^1+ч\ (62) где d и Н — соответственно степень и обобщенная высота многочлена Р, I — количество алгебраически независимых над полем С(г) функций в наборе fi{z),.,fs(z) (1 < I < s), С и 7 — положительные постоянные, причем С зависит только от d,, а, функций fi(z),.,fs(z), а 7 — только от функций fi(z),., fs(z) (точнее: от характера алгебраических связей меоюду этими функциями).

Оценка (62) была доказана в §6 главы 12 книги [52], однако при более сильном предположении о том, что отличны от нуля все величины р^ЛН,.,/^)), о- = ТГ£, см. обозначения перед формулировкой теоремы IV). В теореме 9 из той же главы оценка (62) установлена в предположении, что степень трансцендентности функций fi(z),.,fs(z) над полем С{z) такая же, как над полем С .

Для алгебраического числа 0 обозначим через degf? и h(6) соответственно его степень и высоту.

Теорема 15. [67], [69]. Пусть совокупность Е-функций fi(z),., fs(z) составляет решение системы дифференциальных уравнений (1), a Q — комплексное число, удовлетворяющее уравнению

P(z, ш, .,/,(*)) = о, (63) где Р{хо, xi,. ,xs) — многочлен с алгебраическими коэффициентами, такой, что

Р(*,Л(;гО,.,/.(*))# 0. (64)

Тогда для любых положительных чисел х иг система неравенств

С-0| <ехр(-(/г(0))е), deg0<x (65) имеет конечное число решений в алгебраических числах в.

Теорема применима, в частности, к алгебраическим точкам Е-функций.

Если Е-функции fi(z),., fs(z) алгебраически независимы, то при некоторых естественных условиях из теоремы Шидловского I следует, что число С трансцендентно. Однако никаких количественных результатов известно не было.

Приведем два следствия из теоремы 15

Следствие 4. Пусть Е-функции fi(z),., fi(z) алгебраически независимы над полем C(z) и вместе с Е-функциями fi+i(z),., fs(z) составляют решение системы (1), £ € С, и при некоторых положительных величинах £ и х система неравенств (65) имеет бесконечное число решений в алгебраических числах в.

Тогда числа С, fi(()>■■■ > /КО алгебраически независимы.

Следствие 5. [69]. Пусть Е-функции fi{z),.,fs(z) удовлетворяют условиям теоремы; С, — такое комплексное число, что при некоторых положительных величинах £ и к система неравенств (65) имеет бесконечное число решений в алгебраических числах 9. Пусть далее A(z, fi{z),., fs{z)) и B(z, fi(z),., fs(z)) ф 0 — многочлены с алгебраическими коэффициентами от величин z, fi(z),., fs(z), причем функция

1[Z) B(z,A(Z),.J8(Z))?4z)

Тогда числа С и F(С) алгебраически независимы.

Пусть функция ip(z) задана посредством равенства (11). Если не все корни многочлена д(х) — рациональные числа, то по следствию 1 функция i/j(zm) не является Е-функцией и к ней не применима теорема Шидловского V. Тем не менее при определенных условиях удается использовать некоторые идеи метода Зигеля-Шидловского и получить оценки линейных форм от значений таких функций.

Теорема 16. [64]- Пусть в равенствах (36) gj{x) = pj(x)p{x) е I[x], gj(x) ^ 0 при х - 1, 2,., (66) degpi(rc) = • • • = degpt(x) = и, degр(х) = v, т — и + v > 1,

67) причем все корни многочленов Pj(x), j = 1, t, — рациональные числа и выполняется условие (В) теоремы 5. Далее, пусть ho, hj8, j = 1, t] s = 0, m - 1, произвольный набор чисел из Zj с

Н = max(|/i0, |/ijS|) > 3.

3,s

Тогда справедливы следующие утверждения. 1) Для любого положительного числа £ при

Н > Н0(е, gi(x),., gt(x)) выполняется неравенство t та—1 ло + EEwW j=1 s=0 mt+т+е

Н~ 1-т

68) где v 1

------, (69) т тщ ткг, а я\,., Ху — степени алгебраических чисел, являющимися корнями многочлена р(х).

2) Если р(0) = 0, и mt > 2, то t т— 1

EEmw(I)

3=1 s=0

70) где постоянная 7 не зависит от Н.

Заметим, что число 1 в теореме можно заменить на любое число w 6 1, из ф 0. Для этого достаточно многочлен р{х) заменить на из~1р{х).

Следствие 6. Пусть Ai,., Am — алгебраические числа, отличные от —1,-2,., степеней соответственно xi,.,xm; и>\,., uJt ~ попарно различные и отличные от нуля числа из поля Е, g(x) = (х + Ai) • • • (х + Am) е Е[я].

Пусть il>(z) — функция (11), а г — число, определенное посредством равенства (26).

Тогда для любого ненулевого набора ho, hjSi j = 1, t] s = 0, m—1 целых чисел из поля Е, по модулю не превосходящих Н, при Н > HQ(e, AI, ., Am, wi,. ,ujt) выполняется неравенство t m—1

Ло + ЕЕМ^О

3=1 s=0 mt+T-\-E H~ 1-T

71)

Для доказательства следствия достаточно в теореме 16 положить Pj(x) — — . Условие (В), очевидно, выполняется. шз

Утверждение следствия 6 было доказано в статье [58] тем же методом, который применялся в [57] для доказательства теоремы 7, то есть без применения принципа Дирихле.

Приведем два примера применения следствия 6.

Пример 6. Пусть (p\(z) — функция (9);

А, ш G I; А ф —1, —2,.; ш ф 0.

Тогда для любого £ > 0 и любых чисел р, q Е Zj при Ы > Qo(£i А, си) выполняется неравенство М

-4-е

Пример 7. Рассмотрим функцию м = Е

А^-12, —22,. .

Пусть со ф 0 — рациональное число, ho, hi, h2 Е Z, Н = max(|/io|, М, N) > Н0(е, А, оо). Тогда выполняется неравенство hQ + h1f(aj) + h2f'(uJ)\>H-5-£.

Ранее не была доказана даже иррациональность чисел f(oo) и М

В следующих двух теоремах при некоторых дополнительных условиях устанавливаются оценки многочленов от значений G-функций в достаточно малых точках. В этих оценках величина (7) до не зависит от Н, поэтому устанавливается, в частности, иррациональность значений соответствующих G-функций в точке z = — иррациональность в точке —, очевидно, получается заменой z в соответствующих функциях на az).

Нам понадобится уточнить определение 3 G-функций.

Определение 8. Будем говорить, что совокупность функций

Mz) = ^2aivzv) i = l7s, (72) i/=0 принадлежит классу К, С ,Q), где С > 1, Q > 1, если все коэффициенты a,iu принадлежат алгебраическому полю К. конечной степени и для любых чисел С\> С и Q\ > Q существуют постоянные 7i и 72 > зависящие только от fi(z),., fs(z) и соответственно от С\ и Q1, такие, что

1) Ы < ъС? , г = 1, a; v = О, 1,.; (73)

2) существуют натуральные числа qn, п = О, 1,., такие, что все числа и qnaiv е Ък , г — 1, s; v = 0, п, (74) п<72<5Г, П = 0,1,. (75)

Пусть совокупность G-функций fi(z),., /5(2;) удовлетворяет системе линейных дифференциальных уравнений (1). Тогда S

У? = СЫ*) + XI ; (*) е ВД; (76)

3=1 г = 1, s; k = 1, 2,. .

Определение 9. Будем говорить, что совокупность G-функций fi(z),.,fs(z) из класса G( 1С, С, Q), составляющих решение системы линейных дифференциальных уравнений (1), принадлежит подклассу G( К, С , Q , Л), где Л > 1, если существует ненулевой многочлен T(z) £ Zk[z] и натуральные числа ап, п = 1,2,. , такие, что все функции y{T{z))kQkij{z) Е ЭД , k = 1, п, (77) и для любого К\ > Л существует постоянная 73 , зависящая только от функций /1(2),., fs(z) и числа А\, такая, что ап< 7зЛ?, п= 1,2,. (78)

Условие, заданное соотношениями (77) и (78), будем называть также условием сокращения факториалов.

Пример 8. Поскольку обш^е наименьшее кратное чисел 1, 2,., п растет как , то функция ln(l4-z) принадлежит подклассу G(Q, 1, е, е).

Обозначим: h=\T(z)|, р = max^(deg T{z)) — 1, deg . (79)

Теорема 17. [54]- Пусть N — натуральное число, К. — алгебраическое числовое поле степени х над полем I, функции fi(z)i ■ ■ • > fs{z) принадлежат подклассу G(K,C ,Q , Л) и не связаны никаким нетривиальным алгебраическим уравнением степени, не превосходящей N, с коэффициентами из поля C(z), CQ > 1. Пусть Р(х 1,., х3) ф 0 — многочлен с коэффициентами из Ък степени, не превосходяш,ей d и \Р\ < Н. Далее, пусть т= (N + l)---(N + s) ^ — (N — d + 1) ■■■ (N — d + s) s! s! w = m — v, u = m — xw, = l + - + - + w > 0. Далее, пусть q — натуральное число, T 0, пусть 5

О < 5 < 1) — произвольное число, такое, что 5{рн+2)<и\ (81) w (т-5)2

Аг = 2W (1, ShA9N) (CQ9N) 5 ; (82)

2 (w + р S) In q + In Ai = * v (u{pH + 2)5) ln q - ln(2m~1-5 C—<5 Af) + ^ " - (83)

Тогда cyw^cmeyem постоянная такая, что при qu-(PK+2)5 > 2m-l-6 Ст-& Ак g > 4С (84) выполняется неравенство q-^H-»1. (85)

Следствие 7. Пусть G-функции fi(z),., fs(z) алгебраически независимы над полем С(z), удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений (1) и для них выполняется условие сокращения факториалов, а — не равное нулю алгебраическое число.

Тогда существует число qo(d, а, fi(z),., fs(z)), такое, что при любом натуральном числе q > qo числа не связаны никаким алгебраическим уравнением с рациональными коэффициентами степени, не превосходящей d.

При К = I формулировке теоремы 17 можно придать более простой вид

Теорема 18. [54]- Пусть совокупность функций fi{z),., fs(z) принадлежит подклассу G( I, С, Q , Л) и не связана никаким нетривиальным алгебраическим уравнением степени, не превосходящей d с коэффициентами из поля С(^), CQ > 1, q — нату1 ральное число, S — произвольное число, такое, что 0 < S < ——-;

P(xi,., xs) ф О — многочлен с коэффициентами из Z/ степени, не превосходящей d, и высоты, не превосходящей Н, Далее, пусть d+l)-{d + s) .1. (86)

87) m ■

1 1 2т~1 {l,8hA9)d{CQ°) то-1) (то-Д)2 -т— 1 + р 6) In g + In А2

1 - (р + 2)5) In g - 1п(2т1г С7"-5 А2) ' Тогда существует постоянная

Л2 = A2(d, ш, Л(г),., fs(z)), такая, что при ql—(p+2)5 1—<5 (jm—5 выполняется неравенство

88)

89)

Пример 9. Теоремы 17 и 18 применимы к значениям G-функций ln(l + aiz), г = 1, s. В частности, с их помощью в статье [71J устанавлено, что при любом натуральном q > е131 число in i1 - Din +Э (эо) иррационально и линейно независимо над полем Q с числами 1, In (1-1/9) , In (I + I/9).

Также можно получить оценки многочленов от значений функций

1 + aiz)r\ г - 1, s; при алгебраических щ и рациональных значениях Г{ с эффективно вычисляемыми постоянными.

Однако в этих случаях можно получить и более точные результаты, которые приведены и доказаны в статьях [53] и [54].

В теореме 18 величина /i2 = №{q) при достаточно малом 5 и достаточно большом q близка к т — 1, а при d = 1, число т = s + 1. Поэтому имеет место

Следствие 8. Пусть G-функции fi(z),.,fs(z) с коэффициентами из поля I линейно независимы над полем С(z), удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений (1) и для них выполняется условие сокращения факториалов, О ф а £ I.

Тогда для любого положительного числа е существует такое число qo(s, а), что при любом натуральном числе q > qo(e, ск) и любых числах hy,. ,hs из Z/ при

Н = max|/ij| > Hq(s, а, q) j выполняется неравенство h0 + />1/1 (j J + • • • + hafs H S—E

91)

Оценка (91) может быть улучшена только за счет числа е.

В следующей теореме устанавливается оценка многочлена от значения функции, удовлетворяющей уравнению Малера. Для упрощения выкладок и большей наглядности мы ограничимся случаем одной переменной. Однако в статье [59] рассматривался случай нескольких переменных.

Теорема 19. Пусть f(z) — трансцендентная функция, представи-мая в виде ряда (15), сходящегося в круге \z\ < R и удовлетворяющая функциональному уравнению (16) с

Aj(z, у) = an(z)y + aj2(z) £ ZK[z, у] , j = 1,2. (92)

Пусть далее а — алгебраическое число, такое, что О < |а| < min(l, R), А2 (с/, Дс/)) фО, к = 0, 1,. . (93)

Пусть хо, 1(a) — соответственно степень и длина числа а, а s = deg К(а).

Тогда для любого положительного числа е и любого ненулевого многочлена Р(х) £ Ъ[х] степени, не превосходящей d и высоты, не превосходящей Н, при Н > Ho(d,a, f(z)) справедливо неравенство

P(f(a))\ > tf-(47.2P(P+i)+i+^; 7 = . (94)

До этого результата никаких оценок многочленов от значений функций, удовлетворяющих уравнениям Малера, известно не было. К.Малер в статье [23], не приводя доказательства, утверждал, что такие значения не являются числами Лиувилля. М.Миньот [30] предположил, что число оо f=E2"2"' и=0 являющееся значением функции (17), не является U-числом в классификации Малера (соответствующие определения можно найти, например, в обзорной статье [47]). Из теоремы 19 следует, что числа f(a), удовлетворяющие ее условиям, являются S-числами. Ранее все известные примеры S-чисел были связаны со значениями Е-функций в алгебраических точках. Теорема применима, например, к значениям функций (17) и (18).

Некоторые результаты удается получить и в случае, когда многочлены Aj(x, у) не являются линейными по у. Утверждение следующей теоремы опубликовано в статье [59].

Теорема 20. Пусть f(z) — трансцендентная функция, представи-мая в виде ряда (15), сходящегося в круге \z\ < R и удовлетворяющая функциональному уравнению (16) с q = max deg Aj(z, у) < p. (95)

7=1,2

Пусть далее а (0 < |а| < min(l, R)) — алгебраическое число, такое, что все многочлены

A2Kfc,/Kfc))^0, k = 0,1, 2,. . (96)

Тогда для любого ненулевого многочлена Р(х) Е Щх] степени, не превосходящей d, и высоты, не превосходящей Н, при Н > Ho(d) справедливо неравенство

Р(/И)| > ехр(—C(lnHY) , V = hip]Plnq , (97) где постоянная С не зависит от Н.

Теорема применима, в частности, к значениям функции (19).

0.4 Дальнейшие исследования, связанные с результатами диссертации

Исследование арифметических свойств значений гипергеометрических функций продолжил П.Л. Иванков. В статье [15] он доказал, что, если все параметры aj, bk функции (8) — рациональные числа, то для оценок ее линейных форм справедливы утверждения, аналогичные теоремам 7 и 8. В некоторых случаях он получил соответствующие оценки и при иррациональных параметрах (см., например, [16]).

Ю.В. Нестеренко [35] исследовал явные конструкции приближений Эрмита-Паде первого и второго рода обобщенных гипергеометрических функций.

А.Ю. Попов усилил теорему 10, установив, при каких значениях постоянной С неравенство

7 Р eb-Q lnlng С -j-— , 6, р, q е Z/ , ql In q имеет конечное, а при каких бесконечное число решений. А.Н. Коробов [19] использовал многомерные непрерывные дроби для получения точных по высоте оценок линейных форм. П.Л. Иванков [17] не только получил точные по высоте оценки линейных форм, как в теореме 12, для значений функции Куммера, но и с точными значениями постоянных.

В нескольких работах исследовались арифметические свойства значений ^-функций с использованием условия сокращения факториалов (см. определение 9). В.Г. Чирский [6] таким способом получил оценки многочленов от значений эллиптических интегралов. Фликер [12] распространил метод доказательства на р-адический случай.

В статьях Е. Бомбьери [5] и Е.М. Матвеева [29] устанавливаются количественные результаты одновременно в нескольких метриках, причем в [5] условие сокращения факториалов было заменено на некоторое другое условие, а в [29] даны приложения к диофантовым уравнениям.

Наконец, Д.В. и Г.В. Чудновским [7] удалось избавиться от условия сокращения факториалов, а также доказать, что, если G-функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения с коэффициентами — рациональными функциями и не является решением уравнения такого же вида, но меньшего порядка, то условие сокращения факториалов выполняется.

В книгах [3] и [8] исследуются свойства как самих G-функций, так и их значений. В частности, в теореме 2.1 главы 7 книги [8] доказана эквивалентность условия Бомбьери из статьи [5] и условия сокращения факториалов.

Опубликовано довольно много работ, в которых оценки линейных форм от значений G-функций получаются за счет явной конструкции системы приближающих линейных форм. Если такое построение провести удается, то обычно существенно снижается ограничение на "малость"аргумента. В частности, М.Хата [14] доказал, что число (90) иррационально при любом натуральном q > 54.

К настоящему времени опубликовано большое количество работ, связанных с методом Малера, в том числе монография [36]. После статьи [59] появилось много работ с количественными результатами, в частности, статьи [2] и [31]. М.Амоу [2] уточнил оценку (94), В. Миллер [31] получил оценку многочлена от значения функции Малера при независимом росте степени и высоты многочлена. С.М. Молчанов [32] обобщил результат статьи [59] на р-адический случай. В статье [33] он усилил результат статьи Миллера [31].

Ю.В. Нестеренко [34] установил оценку многочлена от значений нескольких функций Малера (в теоремах 19 и 20 оценивается многочлен от значения одной функции, однако более общий вид имеет функциональное уравнение Малера). При независимом росте степени и высоты такую оценку получила К.Нишиока ([36], стр. 137-146).

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Галочкин, Александр Иванович, Москва

1. Adams W. Asymptotic diphantine approximations and Hurwitz numbers// Amer. J. Math. - 1967 - V. 89. — P. 1083 - 1108.

2. Amou M. An improvement of a transcendental measure of Galochkin and Mahler's S-numbers // J. Austral. Math. Soc. (Series A) — 1992- v.52 P. 130-140.

3. Andre Y. G-functions and Geometry. Bonn. Braunschweig. 1989.

4. Боревич З.И., Шафаревич И.P. Теория чисел. М.: Наука, 1964.

5. Bombieri Е. On G-functions // Recent proggress in analytic number theory — 1981. — London, Academic Press: V. 2, — P. 1 68.

6. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах значений эллиптических интегралов// Успехи матем. наук — 1977 — Т. 32. — Вып. 1(193). С. 211-212.

7. Chudnovsky D.V., Chudnovsky G.V. Application of Pade' approximation tu Diophantine inequalities in values of G-function// Lect. Notes in Math. 1985 V. 1135. - P. 9-51.

8. Dwork В., Gerrotto G., Sullivan F. J. An introduction to G-functions. Anals of Math. Studies 133, Princeton Univ. Press, 1994.

9. Фельдман H. И. Приближения алгебраических чисел. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981.

10. Фельдман Н.И. Седьмая проблема Гильберта. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982.

11. Фельдман Н.И. Оценки снизу некоторых линейных форм// Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика. — 1967. — №2- С. 63-72.

12. Flicker Y. Z. On p-adic G-functions// J. London Math. Soc. (2) — 1977 V. 15. - P. 395-402.

13. Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа. М., Го-стехиздат, 1952.

14. Hata М. The irrationality of log(1+1 /q) log(l-l/g) // Trans. Amer. Math. Soc. 1998. - V. 350. - №6. - P. 2311-2327.

15. Иванков П. JI. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций// Математический сборник. — 1991. — Т. 182 т. - С. 283-302.

16. Иванков П. JI. О вычислении постоянных, входящих в оценки линейных форм// Известия высших учебных заведений. Математика. 2000. - №1(452). - С. 31-36.

17. Иванков П. JI. О значениях гипергеометрических функций с различными иррациональными параметрами// Фундаментальная и прикладная математика. — 2005. — Т. 11. — вып. 6. — С. 65-72.

18. Коробов А. Н. Оценки некоторых линейных форм// Вестн. Моск. ун-та, сер. матем, мех. — 1981. — №6. — С. 36-40.

19. Коробов А. Н. Многомерные цепные дроби и оценки линейных форм// Acta Arithmetica 1995. - V. 71. JM. - P. 331-349.

20. ЛенгС. Алгебраические числа. М.: Мир, 1966.

21. Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.

22. Lang S. A transcendence measure for Е-functions// Mathematica. — 1962 -V. 9. P. 157-161.

23. Mahler К. Arithmetische Eigenschaften der Losungen einer Klasse Funktionalgleichungen// Math. Ann. — 1929. — Bd. 101 — №4. — S. 342-366.

24. Mahler K. Arithmetische Eigenschaften einer Klasse transzendental-transzendenter Funktionen// Math.Z. — 1930 — Bd. 32 — №4. — S. 545-586.

25. Mahler К. Uber das Verschwinden von Potenzreihen mehrerer Veranderlichen in specielen Punktfolgen// Math. Ann. — 1930 — Bd. 103 №4, 5. - S. 573-587.

26. Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunktion und Logarithmus. I// J. reine und angew. Math. — 1932 — Bd. 166 S.118-136.

27. Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunktion und Logarithmus. II// J. reine und angew. Math. — 1932 — Bd. 166 S.137-150.

28. Маркушевич А И. Теория аналитических функций. Т. 2. М.: Наука, 1968.

29. Матвеев Е. М. Линейные формы от значений G-функций и дио-фантовы уравнения// Математический сборник. — 1982. —■ Т. 117(159). №3. - С. 379-365.

30. MicnotteM. Approximation des nombres par certaines suites de rationnels// Seminare Delange-Pisot-Poiton (Theorie des nombres).— №16 — 1976-77 pp 1-3.

31. MillerW. Transcendence measures by a method of Mahler// J. Austral. Math. Soc. (Series A) 1982 - v.32 - P. 68-78.

32. Молчанов С. M. О р-адичесой мере трансцендентности значений функций, удовлетворяющих некоторым функциональным уравнениям// Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика — 1983- №2. С. 31-37.

33. Молчанов С. М. Оценки меры трансцендентности в методе Малера// Диофантовы приближения. Часть I. — 1985. — М.: Изд-во Моск. ун-та. С. 56-65.

34. Нестеренко Ю. В. О мере алгебраической независимости значений некоторых функций// Математический сборник. — 1985. — Т. 128(170). Ш. - С. 545-568.

35. Шидловский А.Б. О критерии алгебраической независимости значений одного класса целых функций// Известия АН СССР. Сер. матем. 1959 - Т. 23. - Ж. - С. 35-66.

36. Шидловский А.Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций, связанных любым числом алгебраических уравнений в поле рациональных функций// Известия АН СССР. Сер. матем. 1962 - Т. 26.- №6. - С. 877-910.

37. Шидловский А.Б. Диофантовы приближения и трансцендентные числа. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982.

38. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987.

39. Галочкин А.И. Оценки снизу многочленов от нескольких логарифмов алгебраических чисел, близких к единице// Успехи матем. наук 1973 - Т. 29. - Вып. 2(170). - С. 235.

40. Галочкин А.И. Оценки снизу многочленов от значений аналитических функций одного класса// Математический сборник. — 1974.- 95(137). №3 - С. 396-417.

41. Галочкин А.И. Об арифметических свойствах значений некоторых целых гипергеометрических функций// Сибирсий Математический журнал. 1976 - Т. 17. - №6. - С. 1220-1235.

42. Галочкин А.И. Уточнение оценок некоторых линейных форм// Математические заметки — 1976 — Т. 20. — Вып. 1. — С. 35-45.

43. Галочкин А.И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. I // Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика. — 1978. — №6- С. 25-32.

44. Галочкин А.И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. II // Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика — 1979 — №1. — С. 26-30.

45. Галочкин А.И. О мере трансцендентности значений функций, удовлетворяющих некоторым функциональным уравнениям// Математические заметки. 1980 — Т. 27. — Вып. 2. — С. 175-183.

46. Галочкин А.И. О критерии принадлежности гипергеометрических функций Зигеля классу Е-функций// Математические заметки — 1981 Т. 29. - Вып. 1. - С. 3-14.

47. Галочкин А. И. Sur des estimations precises par rapport a la hauteur de certaines formes lineaires// Approximations Diophantiennes et Nombres Transcendants. Colloque de Luminy, Birkhauser — 1982.- P. 95-98.

48. Галочкин А. И. О неулучшаемых по высоте оцеках некоторых линейных форм// Математический сборник — 1984 — Т. 124(166) — №7 С. 415-430.

49. Галочкин А. И. О совместных приближениях значений некоторых целых функций// Диофантовы приближения. Часть I. — 1985. — М.: Изд-во Моск. ун-та. С. 17-25.

50. Галочкин А. И. О некотором аналоге метода Зигеля// Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика. — 1986. — №2. — С. 3034.

51. Галочкин А. И. On effective bounds for certain linear forms// New advances in transcendence theory. Cambridge, Univ. Press. — 1988.- P. 207-214.

52. Галочкин А. И. On certain arithmetical properties of the values of hypergeometrric functions// Diophantische Approximationen 30.09 bis 06.10.1990, Tagungsbericht 42. — Math. Forschungsinstitut Oberwolfach 1990. - S. 7.

53. Галочкин А. И. О решениях некоторых уравнений, содержащих Е-функции// Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика — 1992 №3. - С. 22-27.

54. Галочкин А. И. On some equations connected with E-function// Diophantische Approximationen 26.09 bis 02.10.1993, Tagungsbericht 43. — Math. Forschungsinstitut Oberwolfach — 1993. S. 20.

55. Галочкин А. И. Об аппроксимации алгебраическими числами решений некоторых уравнений, содержащих Е-функции// Труды Матем.ин-та им. В.А.Стеклова 1994. - Т. 207. - С. 66-69.

56. Галочкин А. И. Оценки снизу многочленов от значений алгебраически зависимых Е-функций// Фундаментальная и прикладная математика. 1995 - Т. 1. - № - С. 305-309.

57. Галочкин А. И. Оценки линейных форм от значений G-функций// Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика — 1996 — №3. — С. 23-29.

58. Галочкин А. И. О некоторых арифметических свойствах коэффициентов функции Куммера// Фундаментальная и прикладная математика. 2005 - Т. 11. - №6. - С. 27-32.