Полиномиальные решения нелинейных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

БЕЛОгУССКГЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО 3KAÎ.EHIÎ ХШ'ДАРСТВЭШЫЙ УНИВЕРСИТЕТ im. В.И.ЛЕНИНА

На правах руксппск

ДККИСКОБЕЦ АЛЕКСЕЙ АНДРЕЕВА

ПОЛЕСМШЪНЫЕ РППЕККЯ КЕЯЕЕЙНЫХ JyiMEFEEDÎA-TbHHI УРАВНЕШЙ

OI.CI.02 - дпффоренциатьнне уравнения

Авторефера?

диссертации на соискшпто учпноЗ степени хандилята Физтсо-г^атематЕчосхюс иаутс

Лги с г. - J9S-I

f\

Работа выполнена в Гродненском государственном университете имеш Янки Купады

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор Н.А.ЛУКАШЕБКЧ

Официальные ошоЕенты: доктор физико-математических

наук, профессор М.В.ДСЛОВ

кандидат физико-математических наук, доцент В.И.ГРОМАК

Еедущая организация - Одесский государственный

университет

Защита диссертации состоится " июня_1991 года

в 10 часов на заседании специализированного Совета К 056.03.10 по присуждению ученой степени кандидата наук в Белорусском ордена Трудового Красного Знамзни государственном университете имени В.И.Ленина по адресу: 220080, г. Минск, Ленинский проспект, 4, главный корпус, ауд. 206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета имени В.И.Ленина

Автореферат разослан

утд_ 1991 г.

Ученый секретарь олест.ализирозанного Совета, доцент

З.Л.К0РЗКК

::i<k j

/ | "3"

• r^oi _ | Актуальность темы. Одной из задач аналитической теория

Л;ртайЩновзнньос дифференциальных уравнений является изучение вопросов, связанных с целыми решениями (в частности с полиномиальными решениями) алгебраических дифференциальных уравнений.

Несмотря на то, что полиномиальные решения у алгебраических дифференциальных уравнений рассматриваются уже несколько десятилетий и в данном направлении получено ряд существенных результатов, рассматриваемая проблема все еще далека от завершения.

Поэтому изучение вопроса существования полиномиальных решений алгебраических дифференциальных уравнений, их свойствах, а также создание аппарата построения таких решений имеет значение во многих задачах обшей и качественной теории дифференциальных уравнений, представляет определенное теоретическое значение.

Решении вышеназванных задач и посвядается настоящая дго-сертацпсннвд работа.

Целью -работы является изучение вопроса существования полиномиальных решений нелинейных дифференциальных уравнений и систем, рассмотрение вопросов_ нахсздеиия степеней полиномиальных решений, установление свойств распределения кулей полиномов-решений в зависимости от нулей полиномов-коэффициентов этих уравнений и систем, а таете построение максимального числа полиномиальных решений заданной структуры у алгебраического дифференциального уравнения обззго вида.

Методы исследования. При решении вышеуказанных задач используется методы теории функций и линейной алгебр!, метод ломанных Ньютона, теория центрального индекса Ввмана и Валя-рона.

Научная новизна. 3 дисоерташга:

1) для нелинейных дифференциальных уравнений уточняется верхние границы степеней и количество возможных полиномов-решений, рассмотрен вопрос о линейной независимости и свойства распределения нулей полиномиальных решений ;

2) о помопьв асимптотической формулы представления производной целой функции через саму функцию, устанавливается достаточные условия, когда система алгебраических дифференциал*-

ных уравнений второго порядка не имеет целых решений таких, что одно из составляющих этого решения является полиномом, а другое - целой трансцендентной функцией. На основе условного подразделения степеней полиномиальных решений на особые и неособые указаны достаточные.условия их нахождения. Разработан подход построения полиномиальных решений заданной степени в целом, а также получено ряд свойств, связанных с распределением нулей полиномов-решений в зависимости от нулей полиномов-коэффициентов рассматриваемой системы ;

3) дай алгебраического дифференциального уравнения общего вида решается задача, когда все полиномы определенной структуры являются его решениями.

Приведенные в работе результаты является новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в аналитической теории дифференциальных уравнений, применятся в конкретных исследованиях на предмет наличия и нахождения полиномиальных решений, а также могут служить материалом для чтения спецкурса по аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на Республиканской конференции молодах ученых и специалистов "Применение информатики и вычислительной техники при решении народнохозяйственных задач" ( Минск, 1989), Межреспубликанской научно-практической конференции творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение" (Минск, 1990), Всесоюзной конференции "Современные методы качественной теории дифференциальных уравнений. Глобальный анализ. Многозначные отображения" (Воронеж, 1990), Республиканской научной конференции "Математическое моделирование и вычислительная техника" (Гродно, 1990), на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Белорусского государственного университета им. В.И.Ленина, научном семинаре кафедры математического анализа Гродненского государственного университета им. Я.Купалы.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I - 9].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 87 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включавшего 94 наименования. На занпгу выносятся следушие результаты:

1. Изучение свойств полиномиальных решений алгебраических дифференциальных уравнений высших порядков.

2. Изучение свойств целых решений систем алгебраических дифференциальных уравнений второго порядка.

3. Решение вопросов построения максимального числа полиномиальных решений заданной структуры.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор работ по теме диссертации, а также коротко излагается основные результаты, подученные в диссертации.

В первой главе изучается свойства полиномиальных решекг.2 нелинейных дифференциальных уравнений

4 т о ^ , (I)

¡'О

¿. А Ю \ (2)

ев

гдэ коэффициенты

«зве»)»«£г%... , ¿+0,а>{,

А <х>"А - • А*0» 4 е •

- аатанеш кот-окспой поременней I,

Отметил, что уравнения (I) и (2) исследовались на предает наличия полиномиальных решений и их свойств, в частности Снлп построены множества степеней возмежякх полиномоэ-ргшеь-гй, рассматривались вопросы количества таких решений, а такта рс-шшг-ся вопрос о полиномиальных решениях заданной структура а их максимального числа. Так, калртаер, известно, что степень т полиномиальных решений уравнения Ш при ^Н удопяетгеряет

Г ё

неравенству: /ч< а ураанепяэ (2) кок?

иметь не болов поликокпалыпа: решений различных степе-

ней. В настоящей главе уточняются эти известные результаты, а именно, устанавливаются следующие утверждения:

Теорема I. Степень т. полиномиальных решений уравнения (I) при Ч»/ удовлетворяет неравенству

Л } ,

где символ [ ] означает целую часть числа.

Теорема 2. Уравнение (2) может иметь не более чем nun{Jf*i, Ji + j} полиномиальных решений различных степеней, причем,

если а< С6Vo)£, то таких решений не более

^ .j < ае. - наибольшая степень возможного полинома-решения, gs - 'символ Кронекера.

^ Далее в работе устанавливается связь медду различными полиномиальными решениями уравнений (I) и (2).

Теорема 3. Любые два полиномиальные решения уравнения (I) отличаются на полином степени не выше чем min. {¿-J,x}.

Существенное значение получил вопрос о линейной независимости полиномиальных решений, в частности доказана

Теорема 4. Уравнение (I) может иметь не более /m/t{ü.-Ve> (+1, Х.+ i } линейно независимых полиномиальных решений.

Значительное распространение получил вопрос распределения нулей, с учетом их кратностей, полиномов-решений в зависимости от нулей полиномов-коэффициентов Л (*) и (*), что указывает на еще один подход в изучении данной проблемы. Так, например, получены такие утверждения:

Теорема 5. Общими нулями кратности выше чем 1-1 полиномиальных решений уравнения (2) могут быть лишь нули полино-ма-ко эффициента

Теорема 6. Нули любого полиномиального решения уравнения II) при ,>- J содержатся в множестве нулей полинома «Дм.

Возможности применения полученных результатов демонстрируются на примерах.

Глава 2 посвяшена исследованию вопросов, связанных с целыми решениями системы дифференциальных уравнений

- 7 -«У А Е-

и'-^И^Оои V L У=о *

где Ii, Li, г,', 5/ f целые неотрицательные числа,

коэффициенты

- полиномы комплексной переменной

В § I с помощью асиптотической формулы представления производной целой функции через саму функции, устанавливаются достаточные условия, когда система алгебраических дифференциальных уравнений (31 не имеет целых решений таких, что одно из составляющих этого решения является полиномом, а другое -целой трансцендентной функцией. Так, например, одно из полученных утверждений гласит:

Теорема 7. Если выполняются условия

lJMm-' 1нш 1 • '» 1 ' i=

то система (3) не имеет целых решений а» иг*), тГ-тГС*), таких, что полином, - целая трансцендентная функция.

В § 2 разработаны подходы, на основе которых изучаются свойства полиномиальных решений

чи)*рпх.т+ ... , рт*0, т.еД/0, (4)

¿"(^f^4... (5)

Введем обозначения:

Епслче очевидно, необходимым условием того, чтобы числа и п. были степенями полиномов-решений (4) - (5) системы (3) является то, что в каждом из наборов

^■»¿¡и + ^л, г= O.S-H, (6)

, J/+1, (.7)

при этих т и п. тлеется не менее двух одинаковых наибольших

числа.

Предположим, что при т-"»^ и л-л^ выполняются соотношения:

+4 Я, =...' > й^т^^п^,

¿ф£(, г# 6 {<?./,...'. Л^у}, § = ; (8)

*Г% > }• +

Полиномы (4) и (5) степени т-т^ и соответственно,

являющиеся решением системы (3), будем называть полиномиальным решением с особой степенью, если

0 (ю)

для всех ¿*в> и гае

V** Vе*

Тогда полиномиальное решение с неособой степенью (л^.л*) характеризуется тем, что в каждом из уравнений системы (3) существуют хотя бы два члена с номерами из множеств И {¡оф.-./х} такие, что где

Теорема 8. Неособые степени полиномиальных реше-

ний системы (3) обладает следующими свойствами: а) степень /п содержится в наборе чисел

.»Л. --гепень додержится в наборе чисел

(IX)

для всех С,/г е [о,1...../.•» е ••-. Ь

у'*-)», таких, что Л ^у, V)* причем в наборы (II) и (12) входят лишь целые неотрицательные числа.

Теорема 9. Для того чтобы числа /л»/^ , г.= из наборов (II) и (12) были неособой степенью полиномиального решения системы (3), необходимо существования о< эе ¡У*i, члена у первого уравнения систем (3) и Х+4, Л+1, члена у второго уравнения этой системы со свойствами (8) и (9), причем в каждом из уравнений системы (3) должны существовать хотя бы два члена с номерами из множеств и ...^соответственно, таких, что гДе 1.....$,в<:{0,1.....^в.

Доказанные теоремы 8 и 9 позволяет установить алгоритм определения полиномиальных решений неособой степени:

1) составить наборы чисел (II) и (12), описанные теоремой 8 ;

2) отобрать из наборов (II) и (12) числа, которые удовлетворяют условиям (8) и (9), определенные в теореме 9.

Особые показатели степени полиномиальных решений системы (3 ) определяются на основе следующих теорем:

Теорема 10. Пусть в каждом из наборов (6) и (7) существуют числа с номера1.пт 'х» и /в,/),..., /л . О*?1-* М + ], соответственно, такие, что тлеют место соотношения (10). Тогда особые степени (т.п.") полиномиальных решений системы (3) обладают следующими свойствами: либо пви -

. 'о

(при 1^ = 0) степень/л (степень л)

содержится в наборе {0,1,2.,... а степень л (степень т ) равна л^-^У^/Л) "тай0 «¿^) ^ 0 степень /п содержится в наборе целых неотрицательных чисел а степень Л - в наборе целых неотрицательных чисел {/г, + ((/г, -)/(В(в~ ) )• С, С- ¿у,

где целые неотрицательные числа т1 и являются частным решением системы алгебраических уравнений

(У,- + -¿Jrfyo ,

a Ci~ целые числа кратные ¿ia~fy.

Теорема II. Для того чтобы числа , n=nt, опреде-

ляемые теоремой 10, были особой степенью полиномиального решения системы (3), необходимо существования Х.+1, 0< at i <Jf+i, члена у первого уравнения системы (3} и Х+1, о^эс* <М+{, члена у второго уравнения этой системы со свойствами (8> и (9) и такие, что имеют место соотношения (10) для всех £ * qZ,

Кроме этих алгоритмизированных подходов нахождения степеней устанавливаются границы степеней полиномов-решений, свойства полиномиальных решений 14) - (.5), связанные с их нулями, причем нули Определяются в зависимости от нулей полиномов-коэффициентов и Так, например, предварительно положив, не ограничивая общности, что

Oi i* ia < k^ i ... 4 4 kH= kM = ...» Aj,,

0*te',..<£x, osmHi Jr-,

ots-s.*...-^<¿„^ *... i Sjh < ^-...» ^, Oi г„'г,<...< гш, os, tA<... < о*mtA«

получены такие утверждения:

Теорема-12. Система (3) может иметь полиномиальные решения (А) - (5) такие, что uwtconii-, лишь в случае, когда k*s~0 и ¿'¿~0t где t=mih К-}, г - min {g/> •

i'0,Jf j'O.M.

Теорема 13. Любые два полиномиальные решения системы (3) таковы, что полиномы-составляющие не имеют общих нулей.

Теорема 14. Соответствующие полиномы-составляшие любых двух полиномиальных решений системы (3) отличается на полиномы не имеющие общих нулей.

В § I третьей главы для алгебраического дифференциального уравнения общего вида £ ^

¿^nW^". аз)

в котором J¡¿(¿) - полиномы комплексной переменной t, f¿£ и ">¡f¿ — целые неотрицательные числа, решается задача, когда все полиномы семейства

+ T(tXt i" Л ?, (14)

g>

где корни уравнения 6 = Л W ¡S(*) и Т(*) - полиномы по л, являются его решениями *. Основная теорема гласит:

Теорема 15. Для того чтобы все полиномы семейства (14) при всех i-i^S были решениями уравнения (13), необходимо и достаточно выполнения тождеств

l'O *t'0 T£.0 TS{ = 0 l.j *

где числа .....} и xXitl

rlr°>Yk№ ) определяются в зависимости от группировки Si si " ¿¿

k-t A-i

no A.

В § 2 рассматривается один из подходов построения полиномиальных решений заданной степени системы алгебраических дифференциальных уравнений (3) в целом. С этой целью систему

* Полиномы S (*■) и Г(*) устанавливается на основе исследований, разработанных в статье: Горбузов^В.Н..Немец B.C. Построение в целом полиномиальных решений о заданным показателем степени // Дифференц. уравнения. - 1988. - Т. 24, Я 9. -С. 1633 - I63S, в которой S(t) и 7 (а находятся как решения некоторых дифференциальных уравнений построенных на основе (13) и имеющих более простой вид.

(15)

(3) запишем в виде

Г Ь е

J - к'-"%(*,*,*■),

% С/,и,«}) \ && & ('А*)}

где Р&аъ. ЧЧ.^С'ЛЩ

полиномы своих аргументов. При этом система (15) строится перегруппировкой членов исследуемой системы (3) в зависимости от степени (.т, п) ее возможного полиномиального решения и для каздой степени, вообще говоря, будет иметь свой вид.

Теорема 16. Система (3) может иметь полиномиальное решение и*и(х), гГ*1Г(х) степени (/я,я), если полиномы-составляющие являются решением одной из систем

(х.и,е)- = %(х),

Ф(1,и,1Г) = 0,

и'ш-ТЪЬ Мр).

56 (а,и,*)-о>< Лс*)Ф£ и,*)СО,

(16)

где

ЦЩ-1) ?! К Ч

(«'»+ ^соГЫЪа}*'--V&ljfatoFa,

{n^f*'1

<P3(*I* 'w+%wФ(л{Фгf'-\(»JД (1)ф(1), F(t)-F

Ф(*)=Ф(*U(*),trfjj(itu(i),фг (J)- Ф, fr KU), m),(*,um.fm),г-Ц, %& = -%(*){?,(*)}*' -<%('), % - <*){Гг(ч}5* - (i), (- - символ Похга.мера,

$ 1 ^ 'S

и корни уравнения d> i = l и oj 4 = i , соответствен-

но , символ [ ] означает полиномиальную часть разложения по убывающим степеням Л.

Теорема 17. Если полиномы и-и(л), являются ре-

шением хотя бы одной из систем (16) при ф| +• }Р2(¿) 1 = О, то для того чтобы эти полиномы были решением систеглы (3), необходимо и достаточно выполнения системы тождеств

(*■)- % (*)F(V{F2 (x)}Si г

ч

Данный подход построения полиномиальных решений з целом системы (3) проиллюстрирован на примере.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Горбузов В.Н., Денисковец A.A. Некоторые свойства полиномиальных решений нелинейного дифференциального уравнения// Докл. АН БССР. - 1982. - Т. 26, Ä 9. - С. 776 - 779.

2. Денисковец A.A. Об одном построении полиномиальных решений алгебраического дифференциального уравнения специального вида/ Ред. ж. Дкфференц. уравнения. - Минск, 1986. - 23 с. - Деп. з ВИНИТИ 24.03.86, 1« 1926 В.

3. Горбузов В.Н., Денисковец A.A. Полиномиальные решения обыкновенных алгебраических дифференциальных уравнений типа Риккати - Абеля/ Ред. ж. Дифференц. уравнения. - Минск, 1988. - 49 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.07.88, № €067 - 3.

4. Лукашевич H.A., Денисковец A.A., Немец B.C. Максимальное количество полиномиальных решений алгебраических дифференциальных уравнений заданной структуры// Дифференц. уравнения. - 1988. - Т. 24, № 12. - С. 2172 - 2174.

5. Декисковец A.A. Целые решения системы алгебраических дифференциальных уравнений второго порядка/ Ред. ж. Дифференц. уравнения. - Минск, 1990. - 30 с. - Дел в ВИНИТИ 2S.II.90, Л 6013 - В 90.

6. Денисковец A.A. О полиномиальных решениях нелинейных уравнений высших порядков// Материалы конф. Совершенствование подготовки математиков со специализацией "Дифференциальные уравнения и их прил." - Минск, 1984. - С. 12.

7. Денисковец A.A. О максимальном числе полиномиальных решений заданной структуры// Тез. докл. Респ. конф. молодых ученых и специалистов "Применение информатики .и вычислительной техники при решении народнохозяйственных задач". -Минск. - 1989. - С. 8.

8. Денисковец A.A. Полиномиальные 'решения алгебраических дифференциальных уравнений высших порядков// Тез. докл. Респ. научн. конф. "Математическое моделирование и вычислительная техника". - Гродно. - 1990. - С. 51.

9. Денисковец A.A. Целые решения системы алгебраических дифференциальных уравнений второго порядка// Тез. докл. Меж-респ. научно-практической конф. творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение". - Минск. - 1990. - С. 228 -229.