Геометрические симметрии дифференциальных уравнений типа Янга-Миллса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

1. Ортогональные и калибровочные инварианты тензора кривизны

1.1. Дифференциальные уравнения типа Янга-Миллса

1.2. Общие свойства инвариантов

1.3. Общий вид ортогональных и калибровочных инвариантов тензора кривизны

1.4. Построение конечного полиномиального базиса инвариантов тензора кривизны

1.5. Минимальный полиномиальный базис ортогональных и калибровочных инвариантов.

2. Геометрические симметрии полиномиальных уравнений типа Янга—Миллса

2.1. Основные определения

2.2. Уравнения Эйлера-Лагранжа для функционалов типа Янга-Миллса

2.3. Алгебры инвариантности полиномиальных уравнений типа Янга-Миллса

2.3.1. Случай степени 2.

2.3.2. Случай степени 3.

2.3.3. Случай степени 4.

2.3.4. Основная теорема.

3. Симметрии не полиномиальных уравнений типа Янга-Миллса 67 3.1. Алгебра инвариантности обобщенного уравнения Борна

Инфельда

3.2. Условные симметриии обобщенного уравнения Борна-Инфельда.

3.3. Алгебра инвариантности уравнений движения лагранжиана, являющегося линейной комбинацией (DF)2 и F2,

Работа посвящена изучению геометрических симметрии уравнений Эйлера-Лагранжа для функционалов калибровочных полей, заданных в главном 5'?7(2)-расслоении над четырехмерным многообразием М с евклидовой или псевдоевклидовой метрикой. Решаются две основные задачи: построение ортогональных и калибровочных инвариантов тензора кривизны в данном расслоении и нахождение максимальных алгебр инвариантности уравнений движения для лагранжианов, построенных с помощью полученных инвариантов.

Истоки теории калибровочных полей восходят к работе Г. Вейля „Gravitation und Elektrizitat", опубликованной в 1918 г. и посвященной объединению электромагнитного и гравитационного взаимодействий. В подходе Вейля параллельный перенос касательного вектора к пространству Минковского М приводит к изменению не только его направления, как в теории Эйнштейна, но и длины. На современном языке это означает переход от римановой связности в расслоении ор-тонормированных риперов над М к связности в главном расслоении со структурной группой U( 1). Коэффициенты соответствующей формы связности А были отождествлены Вейлем с потенциалами электромагнитного поля, а коэффициенты формы кривизны F = dA с напряжен-ностями этого поля. Кроме того, Вейль показал, что полученная таким образом теория инвариантна относительно послойных преобразований касательного расслоения Т(М), названных им калибровочными преобразованиями.

В 1954 г. американские физики Ч. Янг и Р. Миллс, изучая сильные взаимодействия нуклонов, рассмотрели вместо С/(1)-расслоения векторное расслоение над М со структурной группой SU(2). Наличие калибровочной инвариантности приводит в их теории, подобно теории Вейля, к существованию векторного поля, которое переносит сильное взаимодействие. Развитие идей Янга и Миллса позволило создать в конце 60-х годов единую теорию электромагнитного и слабого взаимодействий (Ш. Глэшоу, С. Вейнберг, А. Салам), а затем — калибровочную теорию сильного взаимодействия элементарных частиц, так называемую хромодинамику.

В основе всех этих теорий лежит следующая математическая структура. Пусть М — гладкое четырехмерное многообразие с псевдорима-новой метрикой, G — полупростая компактная группа Ли с алгеброй Ли д и 7г : Р —> М — главное (7-расслоение. Фиксируем в этом расслоении форму связности А : Т(Р) —¥ д, и пусть F = dA + А] — форма кривизны этой связности. Если Е = Р Xq д — присоединенное векторное расслоение, то 2-форме F соответствует на М форма F со значениями в Е. Форма А интерпретируется как калибровочное поле — переносчик того или иного взаимодействия. Эволюция калибровочного поля описывается в терминах функционального действия / Tr(F A*F), м уравнения Эйлера-Лагранжа которого имеют вид D * F = 0 и называются уравнениями Янга-Миллса. Автоморфизмы главного расслоения Р называются калибровочными преобразованиями. Они образуют группу Ф. Принцип калибровочной инвариантности означает, что физический смысл имеют лишь классы решений уравнений Янга-Миллса относительно Ф.

Различные калибровочные поля задаются функционалами вида / L {Ац, ^^ d4x, лагранжианы которых должны быть инварианты относительно группы калибровочных преобразований. Для того, чтобы поле обладало физическим смыслом, на лагранжиан обычно накладывается дополнительное условие инвариантности относительно группы вращений. Калибровочные поля, определяемые функционалами вида L(FMl/)d4x, лагранжианы которых инвариантны относительно калим бровочной группы и группы вращений пространства М называются полями типа Янга-Миллса. Если при этом лагранжиан является полиномиальной функцией от компонент тензора кривизны, калибровочное поле А называется полиномиальным полем типа Янга-Миллса.

Для описания всех полей типа Янга-Миллса необходимо найти все инварианты зи(2)-значного антисимметрического тензора F = {F^} (/i, v = 0,., 3) относительно действия группы вращений SO± и калибровочной группы SU(2). Решению этой задачи посвящена глава 1. Методы классической теории инвариантов, которые были использованы при доказательстве теорем, изложены в книгах Г. Вейля [2], Г. Б. Гуревича [6], Э. Б. Винберга и В. JI. Попова [4] и других авторов.

Для тензоров a3hjk(r), (j, jb ., jk = 1,2,., n; r G T), где r — номер тензора в системе, а Т — множество номеров системы, в книге К. С. Сибирского "Введение в алгебраическую теорию инвариантов дифференциальных уравнений" ([23]) доказано следующее утверждение.

Утверждение 1.4. [23] Выражения, полученные из произведений коэффициентов тензоров системы с помощью операций обобщенного альтернирования и последующеего обобщенного полного свертывания образуют полиномиальный базис ортогональных инвариантов системы тензоров.

Для sw(2)-3Ha4Horo антисимметрического тензора F = {F^} в параграфе 1.3 доказана следующая теорема, в которой находится общий вид его ортогональных и калибровочных инвариантов.

Теорема 1.1. Инварианты зи(2)-значного антисимметрического тензора F = {F^} = {F^vaa} относительно действий (1.7,1.8) групп SO4 и SU(2) линейно порождаются многочленами вида tr (fj • • • 1*.) • tr . . tr (tips .<), tr {Faia2 • • • Fa^• tr {Fai1+ ia/1+2 ' ' ' Fai2-iai2) tr (^-i+i^-i+2" •' *£41244 ' у44 ' s4~lllki при некотором взаимооднозначном соответствии верхних и нижних индексов.

Конечный базис ортогональных и калибровочных инвариантов построен в параграфе 1.4. Полученный результат можно суммировать в следующей теореме.

Теорема 1.2. Полиномиальные инварианты ортогональной и калибровочной групп su(2)-3Ha4Horo антисимметрического тензора F = {Fjju} полиномиально порождаются десятью инвариантами степени < 8.

В теореме 1.3 из параграфа 1.5 находится в явном виде минимальный полиномиальный базис таких инвариантов.

Теорема 1.3. Десять следующих инвариантов образуют минимальный полиномиальный базис инвариантов зи(2)-значного антисимметрического тензора F = {F/J/U} относительно действия ортогональной и калибровочной групп: h = о = —fr(F- ■ F ■ 2 16 \гчпгчч)ь i h = iH WO

L = —tr(F- ■ F ■ F^\eili2i%i5 4 24 v «5 ' '

Ta — ±.fr( F ■ Fi2F■ ■ Fi5)F-ilisi4ie 6 ~ 16 vГЩ2± Iz 1 чгь1 i6 '

Г 1 fr(fp. . p. . TP. . pi5i6 jpiris p. . \Fiii2i34

Глава 2 посвящена изучению групповых симметрии полиномиальных уравнений типа Янга-Миллса.

Математические основы теории симметрии дифференциальных уравнений в конце прошлого века заложил норвежский математик Со-фус Ли. Концепции группы и алгебры Ли, столь фундаментальные для современной математики, были обнаружены С. Ли именно в контексте классической теории симметрий общих систем дифференциальных уравнений в частных производных. Вопросам группового и геометрического анализа дифференциальных уравнений, восходящим к работам С. Ли и Э. Картана, посвятили свои исследования Л. В. Овсянников [18], Н. X. Ибрагимов [13, 14], А. М. Виноградов [5] и многие другие.

Пуанкаре (1905 г.) первый применил идеи Ли к системе уравнений Максвелла. В работах Пуанкаре впервые был предложен теоретико-групповой подход для построения и анализа физической теории. В настоящее время идеи принципа симметрии стали важным объектом в математической физике. Это обусловленно тем, что симметрийный принцип может играть роль правила отбора, выделяющего из множества допустимых математических моделей (уравнений) только такие, которые обладали бы соответствующими симметрииными свойствами. Так, например, среди множеств линейных систем ДУЧП для двух вектор-функций Е(х) = {Еи Е2, Е3}} Н(х) = {#ь Я2, Я3} существует единственная система, инвариантная относительно группы Пуанкаре Р( 1,3) (группой Пуанкаре называют 10-параметрическую группу, состоящую из преобразований координат х^ сохраняющих длину интервала). Этой системой являются уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме. Аналогичными свойствами обладают не только линейные, но и нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных.

С математической точки зрения важно знать максимальные (в некотором смысле) группы симметрии. Первым наиболее существенным в этом плане, по-видимому, следует считать открытие Бейтманом и Канингхэмом конформной инвариантности уравнений Максвелла. Геометрические симметрии уравнений Янга-Миллса исследованы в работе Ф. Шварца (F. Schwarz) "Symmetry of 5/7(2) invariant Yang-Mills theories" ([39]). Он доказал следующее утверждение.

Утверждение 2.1. [39] Максимальной алгеброй инвариантности в смысле Ли уравнении Янга-Миллса является 18-параметрическая алгебра АС х su(2) (прямое произведение алгебры Ли конформной группы и алгебры Ли группы SU(2)).

В параграфе 2.3 построены максимальные алгебры инвариантности уравнений Эйлера-Лагранжа для лагранжианов, являющихся полиномиальными инвариантами тензора кривизны степеней 3 и 4. Для таких инвариантов доказаны теоремы 2.1-2.8, в которых утверждается, что максимальной алгеброй инвариантности в смысле Ли систем уравнений Эйлера-Лагранжа для лагранжианов L^ = Д (к = 3,. ,7) и лагранжианов L§ = (Ii)2, L9 = /1 • /2? -^10 — (^2)2 является алгебра АР х su(2), базисные элементы которой задаются (в евклидовом пространстве) операторами da , ol — 0,., 3\ xadj3 — Xpda + ^а^Щ ~ ' = 0, . . . , 3; г Я — АЪ ■ ц дАь„ '

И' базисными элементами расширенной алгебры Пуанкаре АР, которые

Ра

J а/3 =

D = генерируют сдвиги, вращения и растяжения) и операторами

1 два(х.) 8 В соответствующими калибровочной группе SU(2). Здесь #а(х) — произвольные дифференцируемые функции.

В параграфе 2.3.4 доказана основная теорема этой главы.

Теорема 2.9. Пусть в главном расслоении над евклидовым (или псевдоевклидовым) пространством R4 со структурной группой SU(2) задан лагранжиан L^F^), являющийся ортогональным и калибровочным полиномиальным инвариантом тензора кривизны степени < 4. Максимальной алгеброй инвариантности уравнений Эйлера-Лагранжа для этого лагранжиана будет являться алгебра AC X su(2) (прямое произведение алгебры Ли конформной группы и алгебры su(2)) в том и только том случае, когда уравнения Эйлера-Лагранжа равносильны уравнениям Янга-Миллса; алгебра АР х su(2) (прямое произведение расширенной алгебры Пуанкаре АР и алгебры su(2)) в том и только том случае, когда лагранжиан — однородная полиномиальная функция степени 3 или степени 4; алгебра АР х su{2) (прямое произведение алгебры Пуанкаре АР и алгебры su(2)) в остальных случаях.

В главе 3 исследуются геометрические симметрии не полиномиальных уравнений типа Янга-Миллса. Параграфы 3.1 и 3.2 посвящены обобщенному уравнению Борна-Инфельда.

Существуют различные нелинейные обобщения уравнений Максвелла. В 1934 г. Борну удалось развить нелинейную теорию для электромагнитного поля, удовлетворяющую всем условиям инвариантности, и получить на её основе конечное значение для электромагнитной массы заряженной частицы. Для получения нелинейных уравнений поля Борн выбрал сначала лагранжиан в виде следующей функции от инварианта h = = ±{Е2 - Н2): т?2

L = —(1 где величина Eq представляет собой так называемое максимальное поле.

Полученное из этого лагранжиана уравнение Эйлера-Лагранжа было названо уравнением Борна-Инфельда. В дальнейшем оказалось возможным подобрать и другие комбинации инвариантов Д и /2, приводящие к конечному значению для собственной энергии электрона.

В главе 3 уравнение Борна-Инфельда обобщено для случая главного SU(2)-расслоения. В параграфе 3.1 найдена максимальная алгебра инвариантности обобщенного уравнения Борна-Инфельда.

Теорема 3.1. Максимальной алгеброй инвариантности в смысле Ли системы обобщенных уравнений Борна-Инфельда является алгебра АР х su(2), базисные элементы которой задаются (в евклидовом пространстве) операторами

Ра = da , ex. — 0,., 3;

J a/3 = xad/3 — Xpda + А^адЩ ~ ' @ — 0,., 3; базисными элементами алгебры Пуанкаре АР, которые генерируют сдвиги и вращения) и операторами алгебры su(2).

Параграф 3.2 посвящен исследованию условной симметрии обобщенного уравнения Борна-Инфельда. Хорошо известно, что если уравнение обладает нетривиальной симметрией, то это свойство существенно для явного построения широких классов точных решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому весьма существенно указать конструктивные способы расширения симметрии уравнений. В настоящее время интенсивно развиваются два направления решения этой проблемы. Одно из них состоит в разработке новых методов исследования симметрийных свойств дифференциальных уравнений в частных производных (см., например, [24]), позволяющих обнаружить как локальные, так и нелокальные симметрии.

Другое направление наметилось в работах [29] и [26], где изучаются симметрии не всех решений дифференциальных уравнений, а только некоторых подмножеств решений. Для этого вводится понятие условной симметрии уравнений. В параграфе 3.2 найдены некоторые условные симметрии обобщенного уравнения Борна-Инфельда.

Теорема 3.2. Система уравнений (3.1) условно инвариантна относительно алгебры АР х su(2) при условиях Д^ = 0, a = 1,2,3, и = 0,., 3, где {Alav = 0} — уравнения Янга-Миллса.

В параграфе 3.3 исследуются симметрии уравнений движения для поля типа Янга-Миллса с лагранжианом, являющимся линейной комбинацией (DF)2 и F3, описывающим инфракрасное поведение полных функций Грина глюона. А. И. Алексеевым и Б. А. Арбузовым Б. А. в работе [1] были найдены уравнения Эйлера-Лагранжа для этого лагранжиана. В теореме 3.3 построена максимальная алгебра инвариантности этих уравнений.

Теорема 3.3. Максимальной алгеброй инвариантности в смысле Ли системы уравнений

Д(х, А<4>) =0, А = {(2VMVPVP - VpVpVM)i^ , z/ = 0,., 3} является алгебра АР х su{2).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9], [10], п].

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Ю. П. Соловьеву за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

1. Алексеев А. И., Арбузов Б. А. Классическая теория поля Янга-Миллса с нестандартными лагранжианами. // Теор. матем. физ., 1984. 59, N 1. С. 80-90.

2. Вейлъ Г. Классические группы. Их инварианты и представления. — 1947.

3. Винберг Э., Онищик А. Семинар по алгебраическим группам и группам Ли. — М: Наука, 1988.

4. Винберг Э. В., Попов В. JI. Теория инвариантов. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — 1989, 55, С. 137-309.

5. Виноградов А. М. Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений.

6. Гуревич Г. В. Основы теории алгебраических инвариантов. — М: Гостехиздат, 1948, 408 с.

7. Дубнов Я. С., Иванов В. К. О понижении степени аффиннорных полиномов. // ДАН СССР, 41, 3(1943), С. 99-102.

8. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — Москва, 1986.

9. Золотухина С. Г. Геометрические симметрии 5'?7(2)-инвариант-ной теории Янга-Миллса с нестандартным лагранжианом. // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1997. N 5, С. 56-59.

10. Золотухина С. Г. Геометрические симметрии обобщенного уравнения Борна-Инфельда. // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1999. N 2, С. 57-60.

11. Золотухина С. Г. Ортогональные и калибровочные инварианты тензора кривизны полей типа Янга-Миллса. // Рукопись депонир. в ВИНИТИ, в марте 1999 r.(li.03. 99) /V" AL С.1

12. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. — М: Мир, 1975.

13. Ибрагимов Н. X. Групповые свойства некоторых дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Наука, 1967, 59 с.

14. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. — М: Наука, 1983, 278 с.

15. Иваненко Д. Д., Соколов А. А. Классическая теория поля. — M.-JI. Гостехиздат, 1949.

16. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1, 2. М: Наука, 1981.

17. Овсянников JI. В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. — Новосибирск: НГУ, 1966. 131 с.

18. Овсянников JI. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М: Наука, 1978. 416 с.

19. О леер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. — М.: Мир, 1989.

20. Постников М. М. Лекции по геометрии. Дифференциальная геометрия. — М.: Наука, 1988.

21. Серов Н. И. О некоторых условно-инвариантных решениях уравнения Борна-Инфельда. // Симметрия и решения уравнений математической физики. — Киев, 1989. С. 74-76.

22. Сибирский К. С. Алгебраические инварианты дифференциальных уравнений и матриц. — Кишинев „Штиинца 1976, 268 с.

23. Сибирский К. С. Введение в алгебраическую теорию инвариантов дифференциальных уравнений. — Кишинев „Штиинца ", 1982, 169 с.

24. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. — М: Факториал, 1997 (под редакцией А. М. Виноградова и И. С. Красильщика).

25. Степанов Н. В. Геометрия дифференциальных уравнений. // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии., М: ВИНИТИ, 1981, 12, С. 127-164.

26. Фущич В. И. Как расширить симметрию дифференциальных уравнений. // Симметрия и решения нелинейных уравнений математической физики.— Киев: Институт мат-ки АН УССР, 1987.

27. Фущич В. И. Симметрия уравнений Максвелла. — Киев, 1983.

28. Фущич В. И., Никитин А. Г. Симметрия уравнений квантовой механики. — М.: Наука, 1990.

29. Фущич В. И., Цифра И. М. О симметрии нелинейных уравнений электродинамики. // Теоретическая и математическая физика. — 1985. 64, N 1, С. 41-50.

30. Фущич В. И., Штеленъ В. М., Серов Н. И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. — Киев: Наукова думка, 1989.

31. Actor A. Classical solution of SU{2) Yang-Mills theories. // Reviews of Modern Physics. — 1979. 51, N 3, P. 461-525.

32. Fushchich W. I. Conformal symmetry and solution of SJJ{2) Yang-Mills theory. // Letters nuovo cim. — 1983. 38, N 2, P. 37-40.

33. Grace J. H., Young A. The algebra of invariants. — Cambridge, 1903. New York: Chelsea, 1965.

34. Hilbert D. Gesammelte Abhandlunden. Bd2. Algebra. Invarianten theorie Geometrie. Zweite Auflage. — Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1970.