Дуальности в квантовой теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное учреждение «Государственный научный центр Российской Федерации -

Институт Теоретической и Экспериментальной Физики» Национального исследовательского центра «Курчатовский

институт»

На правах рукописи

Галахов Дмитрий Максимович

Дуальности в квантовой теории поля

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

о 4 СЕН 2014

Москва 2014

005552210

УДК 530.145+514.745.82

Работа выполнена в ФГБУ "ГНЦ РФ ИТЭФ", г. Москва

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук Морозов А.Ю.

ФГБУ "ГНЦ РФ ИТЭФ", г. Москва

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук Замолодчиков A.B.

ведущий научный сотрудник, Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, г.Черноголовка

доктор физ.-мат. наук Исаев А.П. начальник сектора Лаборатории теоретической физики, Объединенный институт ядерных исследований, г. Дубна

Ведущая организация: Математический институт

им. В.А.Стеклова РАН, г. Москва

Защита состоится "23" сентября 2014 г. в 11 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д.201.002.01 ФГБУ ГНЦ РФ ИТЭФ по адресу: 117218, Москва, ул. Б.Черемушкинская, 25.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБУ ГНЦ РФ ИТЭФ. Автореферат разослан "22" августа 2014 г. Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физ.-мат. наук В. Васильев

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Дуальность является мощным инструментом изучения непертурбативных явлений в фундаментальных физических задачах, таких как проблема конфайн-мента и появления щели в спектре элементарных возбуждений, интегрирование уравнений ренормгрупиы, изучение физики фазовых переходов и, конечно же, построение теории суперструн и квантовой гравитации.

Физические теории называют дуальными, когда удается связать наблюдаемые в одной теории с наблюдаемыми в другой- При этом, как правило, оказывается, что дуальные теории находятся в различных режимах: одна в режиме сильной связи, другая - в слабой, когда применимы различные приближенные методы вычисления наблюдаемых, которые, в свою очередь, после применения дуальности превращаются в нетривиальные соотношения на наблюдаемые величины в режиме сильной связи. Соотношения такого рода могут быть реализованы в крайне разнообразных формах, так дуальность может связывать теории совершенно разного типа: например, с различным количеством пространственно-временных измерений. Наличие дуальности, как правило, подразумевает наличие какой-либо фундаментальной, не обязательно явной, симметрии, либо наличие более полной теории, в которой дуальные теории содержатся в предельных областях пространств параметров, и уже симметрия этой объединяющей теории позволяет осуществить отождествление наблюдаемых дуальных теорий.

Богатство и разнообразие явлений, связанных с реализацией дуальности, и высокая универсальность методов открывает широкое поле для научных исследований. В современной литературе серьезный интерес к дуальным моделям проявлен в связи с возможностью непертурбативного описания различных физических величин, недоступного для обычных пертурбативных методов, и выявления неизвестных ранее соотношений между математическими объектами, принимающими участие в описании физических явлений. Вопросам построения непер-турбативных величин и поиску скрытых интегрируемых структур, сопутствующих дуальности, в наиболее популярных сюжетах в современной литературе (дуальность Малдасены, Я-дуальность, дуальность Алдая-Гайотто-Тачикавы) и посвящена существенная часть диссертации.

Б-дуалыюсть является одним из наиболее интересных открытий современной теории струн. Широкий класс Б-дуальных моделей может быть описан конструкциями из М5-бран, где шестимерная теория на брапс копмактифицирована на двумерную риманову поверхность, которая таким образом контролирует структуру возникающей четырехмерной теории и естественным образом объясняет наличие скрытой интегрируемой структуры, а спектральная кривая интегрируемой системы является накрывающей римановой поверхности. Качественная реализация этой идеи привела к типу дуальности, предложенному Алдаем, Гайотто и Тачикавой (АГТ), которая отождествляет инстантонные суммы Лосева-Мура-Некрасова-Шаташвили, выраженные через функции Некрасова, с конформными блоками двумерных конформных теорий поля. Это отождествление открывает пути для непосредственного количественного изучения Я-дуальностей, поскольку построение модулярных преобразований конформных блоков, хоть и сложная, однако решаемая задача. В диссертации явным образом обсуждается обобщение Э-дуалыгости на случай статистических сумм Некрасова и вычисляется уравнение, связывающее операторы Верлинде в конформной теории поля

(согласно дуальности АГТ соответствующие оператором линейных дефектов) и чек-операторы в теории бета-ансамблей, производится вычисление модулярного ядра, играющего в конформных теориях поля роль, аналогичную преобразованию Б-дуалыюсти для теорий Янга-Миллса. Также обсуждается связь с теорией Черна-Саймонса.

На первый взгляд иной тин дуальности, связанный с интегрируемостью, между гравитацией на фоне пространства анти-де-Ситтера (Асй) и конформной теорией поля (СЕТ) на его границе, получившей название АсШ/СГТ- соответствия или дуальности Малдасены, также рассмотрен в диссертации. Такая дуальность была мотивирована рассмотрением свойств черных дыр, чья геометрия вблизи горизонта повторяет геометрию пространства Ас18. В современной литературе она получила дальнейшее развитие, позволившее вложить ее в общий контекст интегрируемых теорий. В предложенной работе произведено изучение и сравнение минимальной площади поверхности струны в пространстве Асй и гипотетического выражения для амплитуды рассеяния большого числа глюонов.

Цель и задачи диссертационного исследования

Целью диссертационной работы является решение различных вопросов, связанных с построением непертурбативных величин в квантовой теории поля и теории суперструн, исследование действия на них различных дуальностей, а также изучение связанных с этим математических задач, поиск скрытых непертурбативных симметрий.

В рамках поставленной цели в диссертации решаются следующие задачи:

• построение минимальной площади мировой поверхности струны и ее сравнение с амплитудой рассеяния МНУ глюонов в Л/" = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса;

• представление действия конформной группы и построение геометрических инвариантных структур, появляющихся в рассмотрении дуальных минимальных площадей поверхности струны и амплитуд рассеяния глюонов;

• непосредственное сравнение следов модулярных ядер в конформной теории поля и инвариантов узлов;

• построение пертурбативного выражения для модулярного ядра из топологической рекурсии;

• вычисление выражений для операторов Верлинде в терминах бета-ансамблей;

• построение непертурбативных выражений для модулярных ядер.

Научная новизна

Все представленные к защите результаты являются оригинальными разработками автора диссертации. По теме представляемого диссертационного материала опубликованы статьи в ведущих международных реферируемых журналах, сделаны доклады на международных конференциях. Работы известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов (по данным SLAC SPIRES на текущий момент имеется более трех десятков цитирований основных публикаций автора по теме диссертации в статьях других авторов, из них 28 в уже опубликованных в реферируемых журналах работах).

Практическая и научная ценность

Полученные в работе результаты имеют большую значимость для построения непертурбативных величин в квантовой теории поля, а также изучения разнообразных явлений в физике фазовых переходов и интегрируемых системах. По-

мимо прочего, получение результаты могут найти применение в разнообразных областях математики, таких, как алгебраическая геометрия.

Результаты, выносимые на защиту диссертации

• Построен обратный оператор к эффективному лаплассиану для действия Намбу-Гото на фоне метрики АсЮ, и описан алгоритм иертурбативного вычисления минимальной площади поверхности струны.

• Показано, что отклонение в соответствии минимальной площади поверхности струны в пространстве Ас13 и формулы Берна-Диксона-Смирнова наступает в старших порядках теории возмущения, не контролируемых конформной инвариантностью.

• Изучены геометрические свойства минимальной поверхности и двойного контурного интеграла, и предложено многомерное обобщение конформной производной Шварца.

• Проведено качественное сравнение следа модулярного ядра и Вильсоновско-го среднего для узла 4! в теории Черна-Саймонса.

• Предложена схема построения нового типа дуальности между трехмерной теорией Черна-Саймонса, пятирмерной суперсимметричной теорией Янга-Миллса и (/-деформацией теории Тоды, которая становится все более популярна в современной литературе.

• Предложен метод иертурбативного построения модулярного ядра в конформной теории поля как деформации Б-дуальности в М = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса на П-фоне, показано, что модулярное ядро на пертур-бативном уровне совпадает с преобразованием Фурье.

• Построена ненертурбативная связь операторв Верлинде в двумерной конформной теории поля или обобщенных операторов Вильсона-'тХоофта в ЛГ = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса, и чек-операторов, действующих на точки ветвления накрывающей спектральной кривой.

• Непертурбативное выражение для модулярного ядра получено из уравнения на сплетающий оператор двух дуальных операторов Верлинде.

Апробация диссертации и публикации

Результаты диссертации были доложены на теоретических семинарах ИТЭФ, университета Ратгерс (Пискатауэй, США) и университета Коламбия (Нью-Йорк, США) и следующих международных конференциях: VII, IX международные школы ИТФ-ИТЭФ по теоретической и математической физике (Киев, 2009г., и Севастополь, 2010 г.); И, III, IV, V Workshop on Geometric Methods in Theoretical Physics (Триест, Италия, 2009, 2010, 2011, 2012 гг.); I Workshop on synthesis of integrabilities arising from gauge-string dualty (Москва, 2010 г.); 48th, 49th International School of Subnuclear Physics (Эриче, Сицилия, Италия, 2010, 2011 гг.); 2nd Northeast String Meeting: Strings, Knots and Related Aspects (Ha-тал, Бразилия, 2013 г.);

По материалам диссертации опубликованы 4 научные работы в ведущих международных реферируемых журналах.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из Введения (глава 1), четырех глав основного текста и Заключения (глава 6). Общий объем диссертации составляет 121 страниц, включая 2 рисунка и 1 таблицу. Список литературы содержит 126 наименования.

Содержание диссертации

Во Введении (глава 1) дана общая характеристика работы: актуальность, значимость, поставленные цель и задачи исследования.

В Главе 2 рассматривается дуальность Алдая-Малдасены применительно к соотношению между площадью минимальной поверхности Ап в пространстве А(1Бъ и контуром на границе П и двойным контурным интегралом £>п вдоль П - абелевым Вильсоновским средним в дуальной модели. Граничный контур П сформирован многоугольником из п импульсов глюонов в N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса, который в пределе п = оо может быть заменен на гладкую кривую (волнистую окружность).

Конфигурация мировой поверхности струны, натянутой на контур П, выбирается такой, что она минимизирует действие Намбу-Гото:

а дуальное Вильсоновское среднее задается явным выражением:

(1)

4//п(У-У')2

На пространстве задаются координаты Пуанкаре у0, уи у2, у3, г, метрика запишется как

л» = + У+ (з)

Рассматриваются малые деформации точного решения для граничного контура, заданного уравнениями П0: 2 = 1/1+ гуг = е'ф, уо = Уз = 0.

Минимизирующая действие Намбу-Гото форма поверхности в этом случае - полусфера г2 = 1 — гг. Малые деформации граничного контура в терминах координат С, С на мировом листе после фиксации калибровки могу!' быть заданы

следующей параметризацией (возмущения вдоль у3 не рассматриваются)

со

П = Н(=

икГк

к=0

КС,С) = )/1-СС + а(С,С) (4)

*ь(С, = Е®^ +

Уравнения Лагранжа для такого действия Намбу-Гото можно представить в следующем виде:

0 = Длгс(а(С,О)+Д(а;А,М) (5)

где представлен дифференциальный оператор Намбу-Гото

Дж; = 455 - С2д2 - 2СС95 - ?д2, (6)

а Д - некоторая функция, полином по а и ее производным, начинающийся со степени выше второй.

Одним из основных результатов Главы 2 является явная процедура инверсии оператора Амс и рекурсивное построение выражения для минимальной площади поверхности до достаточно высокого порядка.

В частности, если пренебречь поправками по параметрам qk, то разложения регуляризованных величин будут иметь следующий вид:

= -з» (Ен^Ч:1!,,. • ■ • л..«»,,«... я,.«)

\ т,п у

= (ЕН^Кц.-лЧ« ■ ■ ■ А« ■ ■ • <>.,«

\т,п у

где ¿п - длина граничного контура, а /х и А - параметры регуляризации.

(7)

Также в Главе 2 показано, что бесконечное число членов разложения вида ^п'1' и О™, или Лд1'' и £>п'\ совпадают в выражениях для площади и для контурного интеграла, более того, их форма фиксирована конформной симметрией задачи при дополнительном предположении о полиномиальной структуре этих членов разложения.

Также явно указано, что старшие порядки в разложении отличаются, поскольку конформной симметрии недостаточно, чтобы фиксировать их вид, и предположение о полиномиальной форме нарушается для минимальной площади, например,

Л(2/2) =

i(i + 1)(57г5 + ЮЗг4 + 43г3 - 5И2 - 16г + 8) . |4 ~~ 96(2г — 1) (2г + 1) Х 1 i+l1

в то время, как

{т i(i + 1)(9г3 — 16г2 + 9г — 4) «I» 60

Помимо прочего, к построению коэффициентов разложения, как показано в этой главе, довольно эффективны применение методов производящих функций и связанная с этим замена переменных типа Мивы:

г

В этих обозначениях

•(о-с+Ет^с (12)

Тогда фиксированные конформной инвариантностью члены разложения и минимальной площади и двойного интеграла могут быть записаны в явно инвариантных терминах, например, для плоского граничного контура:

£,0И) = _1/л(С) ЗДСЧ (13)

где 8((г) - производная Шварца, или следующее выражение для неплоского случая:

,, 2 2 1 / . . / , /у"' 3 у"г" 3 г/г"2 Ь/г'"\ ° = 3 ЪН } **<*> Г - 2 V + 4 V - 2 Ьг)+ (14)

В Главе 3 рассмотрено возможное обобщение дуальности Алдая-Гайотто-Тачикавы. Так принята попытка интерпретации теории на доменной стенке между двумя Б-дуальными теориями Янга-Миллса как трехмерной теории Черна-Саймонса. Ожидается, что простейшая версия такого соответствия будет связывать след модулярного ядра в двумерной конформной теории поля с инвариантами узлов.

Модулярное ядро связывает два модулярно сопряженных конформных блока В, например, для конформных блоков на торе с модулярными параметрами т и —т-1 с промежуточным Лиувиллевским импульсом а и внешним импульсом а

В{а\а\ - 1/т) = JМ{а,а'\а)В{а'\а\т)йц{а') (15)

где

(16)

«>/ /I \ 23 /" я(а + г + <5Ь(а — г + а) «».г«.' ,

М{а,а!\а) = -¡-^ / -)—-г^-^ е мч ¿г,

в(а) } з(а + г — а)в(а — г — а)

йц{а') = 4 яшЬ(27Г£1а') 8тЬ(27гс2а')(/а'

где параметры «1,2 параметризуют П-фон для суперсимметричной теории Янга-Миллса, а в (г) - функция квантового дилогарифма. След этого модулярного ядра раскладывается как

/

оЗ/2

М(а, а[а)(*а = -т-тТ+(а):Г_(а) (17)

«(а)

где

При этом среднее петли Вильсона вдоль узла 4i в теории Черна-Саймонса описывается похожим выражением:

< 4j > (и) ~ J s(z + u)s(z - и)е чч dz

В таком простейшем наивном варианте дуальность остается нереализованной, тем не менее остается открытой возможность построения альтернативной дуальности, связывающей трехмерную теорию Черна-Саймонса с пятимерной суперсимметричной теорией Янга-Миллса. Возможно описание инвариантов узлов в терминах интегрируемых систем; можно сопоставить в соответствие узлу спектральную кривую. Ожидается, что процедура топологической рекурсии, упомянутая в прочих главах, позволит связать эффективный препотенциал, получаемый из конструкции Зайберга-Виттена для спектральных кривых, со статистическими суммами пятимерной теории Янга-Миллса.

В Главе 4 изучен вопрос об обобщении S-дуальности на статсуммы Некрасова для Ai = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса и связанный с этим дуальностью Алдая-Гайотто-Тачикавы вопрос о построении коэффициентов Рака для алгебры Вирасоро. В пределе Зайберга-Виттена ^-дуальность сводится к преобразованию Лежандра. В простейшем случае на уровне функций Некрасова это преобразование становится преобразованием Фурье.

В этой главе применены методы бета-ансамблей. Выражения для конформных блоков и фунцкий Некрасова для N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса на fi-фоне (запараметризованном 61,2) совпадают и могут быть выражены через статистическую сумму бета-ансамбля:

z = П(* -ЯьГ^ ! dZi ( ) Г!>' -

a<b J1" \j>i ) а (20)

g = \/—£I£2, /3 = 62 = -— Ê2

Дуальность АГТ предполагает следующую связь между параметрами в че-

(21)

тырехточечном конформном блоке в теории Лиувилля и теории Янга-Миллса с калибровочной группой 5(7(2) и четырьмя гипермультиплетами материи:

а(£1±е^£)! с = 1 + §С}2, Я = ^ «162 л/еТёг

Их = -е/2 + ах + а2) ¿¿г = е/2 + с*2 - аъ

Мз = -е/2 + а3 + а4, = е/2 + а3 -

а = а — е/2, * = ^ " ^ ~ = № - 94Д9з - 91)

где - массы гипермультиплетов, а а; - Лиувиллевские моменты, а ^ - точки вставки вертексных операторов в конформном блоке.

Количество контуров соединяющих [91,92]! и ДГ2, соединяющих [91,93] определяются соотношениями:

N1 = - а! - а2)

1, 1 ( (И)

N2 = - - - а - а3 -

Методы теории бета-ансамблей позволяют обобщить значения интегралов на случай нецелых значений N1 и Щ.

Резольвента в теории бета-ансамблей определяется как следующее среднее с мерой, заданной (20),

.......

(23)

Известная резольвента Г1(£) позволяет определить дифференциал на спектральной кривой = дг\{г)йг и задать систему уравнений Зайберга-Виттена

« = ^ = (24)

А В

на функцию препотенциала F(a)) связанную с статистической суммой простым соотношением Л(а) =

Основным результатом Главы 4 является решение системы петлевых уравнений, возникающей как набор тождеств Уорда-Такахаши, и последующее вычисление препотенциала в виде явного ряда

со

F{ti 1 = 2ími,/¿2 = о, Из = 2fm3, щ = 0|z) = Y1 4,2mO)<?2fcí2m (25)

k,m—0

Это позволяет вычислить пертурбативно модулярное ядро преобразования конформных блоков:

-Vf(x|a)

е®

J д

(26)

Таким образом в этой главе проверено, что между статсуммами Б-дуальных теорий может быть установлена связь, которая в классическом пределе (е^г —> 0) сводится к обычному преобразованию Лежандра (как это было описано в теории Зайберга-Виттена), а полноценно представлена модулярным ядром, которое поднимает преобразование Лежандра на уровень преобразования Фурье, а пер-турбативные поправки отсутствуют.

В Главе 5 проводится непертурбативное исследование задачи, описанной в предыдущей главе.

Важным объектом в исследовании являются чек-операторы, действующие как дифференциальные операторы на точки ветвления спектральной кривой и определенные соотношением

^{г)г = дг1(г)г (27)

Может быть показано, что интегралы но циклам от этих операторов удовлетворяют следующему коммутационному соотношению

= 2тгг5/ (28)

á V(z), <f V(s) JA, JBJ

ил,

Другим важным элементом рассмотренных в Главе 5 теорий является оператор Верлинде в конформной теории поля, которому ставится в соответствие

оператор линейного дефекта в суперсимметричной теории Янга-Миллса. Этот оператор строится на пространстве п-точечных конформных блоков СВп. Сначала строится отображение по известным тождествам Уорда для вырожденных полей из п-точечных блоков в п + 2-точечные блоки с двумя вырожденными вставками СВп]2. Граничные условия также заданы операторным разложением вырожденных полей.

С : СВп —> СВп|2 Г (Ь'Ы, - {Уьп{г)Уьп{ш)0) = 0, (29)

1 ~ (г - гю)т (О)

Затем может быть определена монодромия одного из вырожденных нолей вдоль некоторого контура

М-,. : С В,

п|2

свф,

(30)

а затем результат спроецирован на п-точечные блоки путем использования операторного разложения вырожденных полей. Таким образом, оператор Верлинде определен как

£7 = С^МуС : СВп —>■ СВп (31)

Основным результатом Главы 5 является выведенное соотношение между операторами Верлинде и чек-операторами в частном случае торического конформного блока:

/Чог 7

1 ь{Ыгы

е N(0.) +

[N(0)

1 -6/<£2У(2)

е ' Ы{-а)

М(-а)

(32)

где N((1) - нормировочная функция, связывающая статсумму бета-ансамбля с выражением для конформного блока и в случае торического конформного блока имеющая вид:

Гь(2а + ц)Ть{2а + Я - ц) Гь(2а)Гь(2а + <?)

где Г;, - гамма-функция Барнса, а - Лиувиллевский момент промежуточного ноля, а ц- масса присоединенного гипермультиплета материи в соответствующей суперсимметричной теории Янга-Миллса.

Статсуммы Некрасова для Б-дуальных теорий, или модулярно сопряженные конформные блоки, могут быть интерпретированы как собственные функции дуальных операторов Верлинде С л и

Таким образом, непертурбативное выражение для модулярного ядра найдено в главе 5 как сплетающий оператор для дуальных операторов Верлинде:

Св{а)М{а, а') = СА(а')М{а, о') (34)

(35)

где 5'ь - функция квантового дилогарифма, а С\$ - произвольные функции, которые могут быть фиксированы, исходя из дополнительных условий. Это выражение совпадает с выражением, полученным Понсо и Тешнером для коэффициентов Рака-Вигнера для представлений ¿^(в^)-

В Заключении (глава 6) представлены полученные в работе результаты, и описано возможное направление дальнейших исследований.

М(а,а') = I# СНОСгСа')

+ а') + + а')'

4На4

Основные публикации по теме диссертации

1. D. Galakhov, Н. Itoyama, A. Mironov, and A. Morozov, "Deviation from Alday-

Maldacena duality for wavy circle," Nucl.Phys.B 823 (2009) 289-319;

2. D. Galakhov, A. Mironov, A. Morozov, A. Smimov, and A. Mironov, "Three-

dimensional extensions of the Alday-Gaiotto-Tachikawa relation," Theor.Math.Phys. 172 (2012) 939-962;

3. D. Galakhov, A. Mironov, and A. Morozov, "S-duality as a beta-deformed Fourier

transform," JHEP 1208 (2012) 067.

4. D. Galakhov, A. Mironov, and A. Morozov, "S-duality and modular transformation

as a non-perturbative deformation of the ordinary pg-duality," JHEP 06 (2014) 050.

Подписано к печати 13.08.14 г. Формат 60x90 1/16

Усл. печ. л. 1,25 Уч.-изд. л. 0,9 Тираж 100 экз. Заказ 601

Отпечатано в ИТЭФ, 117218, Москва, Б.Черемушкинская, 25