Модельные уравнения теории поля с унитарной и псевдоунитарной калибровочной симметрией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

005010422

На правах рукописи УДК 517

Марчук Николай Гурьевич

Модельные уравнения теории поля с унитарной и псевдоунитарной калибровочной симметрией

Специальность 01.01.03 - математическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

9 0Е8 2С"Ї2

Москва - 2011

005010422

Диссертационная работа выполнена в Математическом Институте им. В. А. Стек-лова Российской Академии наук.

Официальные оппоненты: академик РАН, доктор физико-

математических наук, профессор Кадышевский Владимир Георгиевич;

доктор физико-математических наук, профессор Веденяпин Виктор Валентинович;

доктор физико-математических наук, профессор Смолянов Олег Георгиевич.

Ведущая организация: Физический факультет Московско-

го государственного университета им. М. В. Ломоносова, кафедра квантовой статистики и теории поля.

Защита состоится “28” февраля 2012 г. в *16 час. на заседании Диссертационного Совета Д 212.133.07 при Московском государственном институте электроники и математики (техническом университете) по адресу: 109028, Москва, Большой Трехсвятительский пер., д.З.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики (технического университета)

Автореферат разослан 2012]

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.133.07 .

к.ф.-м.н., доцент Ж'Шн^ое. Шнурков П.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Представляемая работа посвящена изучению математических структур и, в частности, уравнений, которые связаны с уравнениями теории поля.

Открытие фундаментальных уравнений, описывающих релятивистские поля, является крупнейшим достижением физики. Как известно, первооснову уравнений релятивистских полей составляют следующие уравнения:

• Уравнения Максвелла (1873).

• Уравнение Клейна-Гордона-Фока (1926).

• Уравнение Дирака (1928).

• Уравнения Янга-Миллса (1954).

Система уравнений Дирака-Максвелла, рассматриваемая в математической физике, моделирует взаимодействие электрона с электромагнитным полем. Для моделирования электрослабых и сильных взаимодействий элементарных частиц используются системы уравнений Дирака-Янга-Миллса (это класс систем уравнений, зависящих от калибровочной группы). Следует отметить, что система уравнений Дирака-Максвелла является частным случаем системы уравнений Дирака-Янга-Миллса. Системы уравнений Дирака-Янга-Миллса и Дирака-Максвелла являются стандартными системами уравнений релятивистской теории поля.

В работах Уиттекера 1 (1937), Тауба 2 (1939), Руза 3 (1937) и Желноровича 4 (1982, 2001) предложена форма записи уравнения Дирака в виде системы нелинейных тензорных уравнений.

Теперь о связи уравнения Дирака с алгеброй Клиффорда. В записи уравнения Дирака для электрона используются 7-матрицы Дирака, удовлетворяющие в точности тем же соотношениям, которым удовлетворяют генераторы алгебры Клиффорда С?(1,3). Алгебра Клиффорда впервые была применена к уравнению Дирака в работах Эддингтона 5 (1928) и Темпля 6 (1930).

Жуве 7 (1930) и Заутер 8 (1930) предложили рассматривать спиноры Дирака как элементы минимального левого идеала в алгебре матриц четвертого порядка. Рисс 9 (1947) первым рассмотрел спиноры как элементы минимального левого идеала алгебры Клиффорда (хотя частный случай чистых спиноров был рассмотрен ранее Картаном в 1938 году).

1 Whittaker Е.Т., Ргос. Roy. Soc. (London), voI.158A, pp.38-4fi (1937).

2Taub A.H., Annals of Mathematics, vol.40, pp.937-947, (1939).

3Rusè H.S., Proc. Roy. Soc. Edin., vol.57, pp.97-127,(1936-37).

4Желнорович B.A., Теория спиноров и ее применения, (2001).

5Eddington A.S., Proc. Roy. Soc., А, 121, (1928).

6Temple G., Proc. Roy. Soc., А, 127, (1930), 339-349.

TJuvet G., Comment. Math. Helv., 2, (1930), 225-235.

«Sauter F., Z. Phys., 63, (1930), 803-814; 64, (1930), 295.

9Riesz M., pp.123-148 in C.R. 10 Congres Math. Scandinaves, Copenhagen, 1946. Jul. Gjellerups Forlag, Copenhagen, 1947. Reprinted in L.Gârding, L.Hërmander (eds.): Marcel Reisz, Collected Papers, Springer, Berlin, 1988, pp.814-832.

Ланцош 10 (1929) и Гюрши 11 (1956-1958) переписали уравнение Дирака с помощью 2x2 кватернионных матриц. Развивая идеи Ланцоша и Гюрши, Хесте-нес 12 (1966-1974) переформулировал уравнение Дирака для электрона так, что волновая функция электрона в его уравнении представляется четным элементом вещественной алгебры Клиффорда.

Иваненко и Ландау 13 (1928) предложили альтернативное уравнение для электрона (оно не эквивалентно уравнению Дирака), в котором волновая функция представлена неоднородной дифференциальной формой. Это уравнение было пе-реоткрыто Келером 14 (1962). Келер показал, что основные свойства электрона, описываемые стандартным уравнением Дирака, могут быть выведены и из его уравнения. В частности, в его статье содержится вывод формулы Зоммерфельда тонкой структуры спектра атома водорода.

Развитие подхода Иваненко-Ландау-Келера к теории электрона содержится в работе Обухова и Солодухина 15 (1993) (см., также, обзор Круглова 16). Ряд математических вопросов связанных с этим уравнением рассматривался Беном и Танжером 17 (1987). Начиная с 1981 года уравнение Иваненко-Ландау-Келера активно используется в квантовой хромодинамике на решетках 18.

Упомянутая работа Келера19 содержит еще один важный результат. А именно, для корректного описания взаимодействия электрона, с электромагнитным полем, Келер ввел в своем уравнении новое умножение неоднородных дифференциальных форм. Это умножение он назвал клиффордовым умножением дифференциальных форм. Конструкция клиффордова умножения дифференциальных форм была независимо разработана Атьи 20. Множество неоднородных дифференциальных форм на (псевдо)римановом многообразии с двумя умножениями (клиффордовым и внешним), в литературе называется алгеброй Атьи-Келера.

Некоторые вопросы применения алгебры Клиффорда к физике рассматривают Доран и Лезенби 21 и Бейлис 22.

Таким образом, для уравнений теории поля и, в частности, для уравнения

10Lanczos C., Z.Phys. 57, (1929) 447-473, arXiv:physics/0508002.

llGürsey F., Rev. Fac. Sei. Univ. Istanbul, A21, (1956), 33-54.

Gürsey F., Nuovo Cimento, 3, (1956) 988.

Gürsey F., Nuovo Cimento, 7, (1958) 411-415.

12Hestenes D., 3. Math. Phys., 8, (1967) 798-808.

Hestenes D., J. Math. Phys., 14, (1973) 893-905.

Hestenes D., J. Math. Phys., 15, (1974) 1778-1786.

13lvanenko D., Landau L., Z. Phys., 48 (1928)340.

I4Kähler E., Randiconti di Mat. (Roma) ser. 5,21, (1962) 425.

'“Обухов Ю.Н., Солодухин C.H., ТМФ, 94, (1993), стр. 276.

16Kruglov S.I., Int. J. Theor. Phys., 41, (2002), 653-687.

17Benn I.M., Tacker RAV., An introduction to spinors and geometry with applications to physics, Bristol, 1987.

18Becher P., Phys. Lett., B104, 221 (1981).

Rabin, Nucí. Phys., B201, 315, (1982).

Becher P., Joos H., Z. Phys., C15, 343, (1982).

Banks T., Dothan Y., and Horn D., Phys. Lett., B117, 413, (1982).

19Kähler E., Randiconti di Mat. (Roma) ser. 5, 21, (1962) 425.

MAtiyah M., Vector Fields on Manifolds, Arbeitsgemeinschaft für Forschung des Landes NordrheinWestfalen, Heft 200, (1970).

J1Doran C. and Lasenby A., Geometrie Algebra for Physicists, Cambridge Univ. Press, 2003.

22Baylis W.E., Electrodynamics: a modern geometric approach. Birkhäuser, 1999.

Дирака, физиками и математиками в разное время было предложено несколько модификаций с использованием разных математических структур (7-матрицы, спиноры, элементы алгебры Клиффорда, левые идеалы, неоднородные дифференциальные формы и др.). Важный вопрос об эквивалентности или неэквивалентности разных форм уравнения Дирака требует углубленного изучения и не является самоочевидным. Вопрос о существовании других альтернативных (эквивалентных или не совсем эквивалентных) форм уравнений теории поля остается открытым.

Вышесказанное обосновывает актуальность представленной работы.

Цель работы и основные задачи. Цель данной диссертационной работы состоит в нахождении таких обобщений и модификаций уравнений теории поля, которые наиболее естественным образом соотносятся со стандартными уравнениями (Дирака, Дирака-Максвелла, Дирака- Янга-Миллса). Основная задача ведущая к достижению поставленной цели состоит в углубленном анализе общего и различий уравнения Иваненко-Ландау-Келера по сравнению с другими модификациями уравнения Дирака (уравнения Дирака-Рисса, Дирака-Хестенеса).

Основные методы исследования. В диссертации используются следующие математические методы:

• тензорный и спинорный анализ в пространстве Минковского и на псевдори-мановом многообразии;

• алгебра Клиффорда и смежные структуры (группы и алгебры Ли, порожденные алгеброй Клиффорда, идемпотенты, левые идеалы и т.д.); алгебра Атьи-Келера неоднородных дифференциальных форм на спинорном многообразии и смежные структуры;

• Теория симметрических гиперболических по Фридрихсу систем уравнений первого порядка.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Они заключаются в следующем.

. Введен ряд новых систем уравнений, которые в диссертации называются модельными уравнениями теории поля (модельное уравнение Дирака, модельные уравнения Дирака-Максвелла, модельные уравнения Дирака-Янга-Миллса). Показано, что, с одной стороны, эти системы уравнений воспроизводят основные свойства стандартных систем уравнений теории поля, а с другой стороны, модельные уравнения имеют отличия от стандартных уравнений теории поля. В частности, они обладают новой симметрией по отношению к псевдоунитарной группе.

• В диссертации доказано, что модельные уравнения теории поля обобщают соответствующие стандартные уравнения теории поля в том смысле, что любое решение стандартных уравнений теории поля можно рассматривать как решение соответствующих модельных уравнений, взятое при определенной фиксации псевдоунитарной калибровочной симметрии. На основе модельных уравнений автору удалось построить калибровочную теорию нового типа с двумя полями Янга-Миллса.

• Модельные уравнения теории поля обобщены на случай четырехмерного псевдориманова многообразия (сигнатуры —2) с локальной тетрадой.

• Разработаны модельные уравнения в формализме алгебры Атьи-Келера неоднородных дифференциальных форм.

• Разработана специальная модификация модельных уравнений Дирака -Максвелла с £/(1) калибровочной симметрией использующая соответствие между минимальным левым идеалом алгебры Клиффорда б?( 1,3) и четной Подалгеброй 0?Егеп(1,3).

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа имеет теоретический характер. Полученные результаты, связанные с модельными уравнениями теории поля, могут оказаться полезными для развития квантовой теории поля. Результаты диссертации по алгебрам Клиффорда и алгебрам Атьи-Келера развивают теорию алгебр Клиффорда и могут найти применение в разных приложениях этой математической области.

Апробация работы. Работа докладывалась на семинарах в следую- щих местах: Математический Институт РАН им. В.А.Стеклова (Москва); Институт Математики СО РАН им. С.Л.Соболева (Новосибирск); Лабо- раторя Теоретической Физики ОИЯИ (Дубна); Каферда Теоретической Физики МГУ (Москва); Кафедра Высшей Математики МФТИ (Долго- прудный); Университет Bath (Англия); Кавендишская Лаборатория (Ан- глия); Университет Chiba (Япония); Университет Киото (Япония); Уни- верситет Токио (Япония); Мехмат МГУ (Москва); Институт Математики НАН Украины (Киев); РФЯЦ-ВНИИЭФ (Саров).

Работа докладывлась на следующих конференциях: Конференция по прикладной математике (Киото, 1999); Конференция посвященая 100 летию со дня рождения И.Г.Петровского (Москва, 2001); AGACSE 2001 (Кембридж, 2001); Конференция по Клиффордову анализу (Прага, 2002); NATO ASI on Computational Noncommutative Algebra and Applications (Italy, 2003); 7th International Conference on Clifford Algebras and Applications (ICCA7), Toulouse, (EYance, 2005); Первая международная конференция по математической физике и ее приложениям, Сам ГУ, (Самара, 2008); Конференция ЛОМОНОСОВСКИЕ ЧТЕНИЯ МГУ, 2008; Первое российско-армянское совещание по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Ереван, 2008); FOUNDATIONS OF PROBABILITY AND PHYSICS-5, Vaxjo, (Sweden, 2008); Второе российско-армянское совещание по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Москва, 2009); Grassmann Bicentennial Conference (1809 - 1877), Potsdam, (Germany, 2009); Вторая международная конференция по математической физике и ее приложениям, Сам ГУ, (Самара, 2010); International Colloquium on Integrable Systems and Quantum symmetries (ISQS-19), Карлов Университет, (Чехия, 2010); The fourth international Symposium on High Energy Physics, Cosmology and Gravity, Институт Теоретической Физики им. Н.Н.Боголюбова, Киев, (Украина, 2010); 9th International Conference on Clifford Algebras and Applications (ICCA9), Weimar, (Germany, 2011).

По материалам работы в течение ряда лет на Мехмате МГУ читался спецкурс "Уравнения теории поля и алгебры Клиффорда".

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 23 статьях (в изданиях рекомендованных ВАК) и в одной монографии. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 10 глав, разбитых на 74 параграфа и списка литературы, включающего 90 наименований. Общий объем диссертации - 251 страница.

Основное содержание работы

Во введении к диссертации обсуждается мотивировка развиваемого математического направления. Дается исторический обзор идей и методов, которые привели к появлению модификаций (альтернативных форм) уравнения Дирака. Речь идет об уравнениях, известных в литературе как уравнения Дирака-Рисса, Дирака-Хестенеса и Иваненко-Ландау-Келера. Обсуждаются математические предпосылки к введению модельных уравнений теории поля.

Глава 1 носит справочных характер. В ней фиксируются обозначения объектов в пространстве Минковского и излагаются известные факты, связанные с уравнением Дирака и системой уравнений Дирака-Максвелла. Обозначения таковы, что скорость света, постоянная Планка и заряд позитрона равны единице.

В главе 2 излагается главная идея предлагаемого подхода к уравнениям теории поля в ее наиболее простой форме (на примере модельных уравнений Дирака-Максвелла в пространстве Минковского и с использованием матричной техники).

В остальной части диссертации главная идея развивается в нескольких направлениях: от уравнений Дирака-Максвелла переходим к уравнениям Дирака-Янга-Миллса; от матричной техники переходим к технике алгебры Клиффорда и дальше, к технике алгебры Атьи-Келера; от плоского пространства Минковского переходим к искривленным спинорным псевдоримановым многообразиям и т.д.

Логическое развитие результатов главы 2 в рамках матричной техники и в рамках пространства Минковского содержится в главе 8.

В главах 3,4 развивается математический аппарат алгебр Клиффорда, а также групп Ли и алгебр Ли, связанных с алгебрами Клиффорда. ,

В главах 5,6 вводятся модельные уравнения теории поля с использованием формализма алгебры Клиффорда, в главе 7 с использованием формализма алгебры Атьи-Келера.

В главах 5,7,8 в модельных уравнениях имеется ограничение на максимальную размерность унитарной калибровочной группы, которую допускают модельные уравнения Дирака—Янга-Миллса. А именно, допускаются только те унитарные калибровочные группы, которые являются подгруппами группы 17(4).

В главе 6 на псевдоримановом многообразии Х1%п~1 выписываются модельные уравнения поля, основанные на алгебре Клиффорда СС( 1,п — 1). Рассмотрены два варианта уравнений: уравнения с использованием тензора кривизны Римана в явном виде и без использования тензора кривизны.

В главе 7 представлены модельные уравнения теории поля на четырехмерном спинорном многообразии X1,3, записанные с использованием формализма алгебры Атьи-Келера дифференциальных форм. Алгебра Атьи-Келера является геомет-ризованным (связанным со спинорным многообразием) вариантом алгебры Клиф-

форда. Модельные уравнения главы 7 можно рассматривать как обобщение уравнений Иваненко-Ландау-Келера на случай неабелевой унитарной калибровочной симметрии.

В рассматриваемых в главе 7 модельных уравнениях теории поля имеется дополнительная (по сравнению с уравнениями глав 5,6) локальная ковариантность по отношению к спинорной группе. Эта дополнительная ковариантность возникает только в случае четырехмерных многообразий.

Все рассматриваемые в диссертации модельные уравнения теории поля имеют следующие четыре симметрии: 1)симметрия по отношению к заменам координат (имеются в виду лоренцевы замены декартовых координат пространства Минковского или общие замены локальных координат псевдориманова многообразия);

2)локальная (калибровочная) симметрия по отношению к унитарной группе; 3)ло-кальная или глобальная симметрия по отношению к псевдоунитарной группе (вместо псевдоунитарной группы можно также рассматривать симплектическую или спинорную группы, являющиеся подгруппами псевдоунитарной группы); ^дискретная симметрия являющаяся суперпозицией преобразования комплексного сопряжения и некоторого унитарного ковариантного преобразования.

Приведем подробнее некоторые основные результаты диссертации.

Дифференциальные формы и тетрада на спинорном многообразии. Рассмотрение ведется на одной карте псевдориманова спинорного многообразия с использованием заданных на этой карте локальных координат. Вопросы, связанные с глобальной структурой многообразия, не рассматриваются.

Пусть X - четырехмерное спинорное многообразие 23 с локальными координатами xß {р — 0,1,2,3). Предполагаем, что на X локально задана четверка линейно независимых векторов г/£, называемая тетрадой. Греческий индекс /1 = 0,1,2,3, является тензорным индексом нумерующим компоненты вектора, а латинский индекс а — 0,1,2,3, является тетрадным (нетензорным) индексом, нумерующим векторы тетрады. Пусть Т| - множество тензорных полей типа (q,p) наХ. С помощью тетрады и матрицы Минковского г] = diag(l, —1, —1, —1) определяются контрава-риантные компоненты метрического тензора

<Г = ÄV4-

Тройка {Х,у%,г)} обозначается как X1'3. Для точек многообразия X пишем х е X1’3. Можно рассматривать X1,3 как псевдориманово пространство с метрическим тензором д^и- Рассматривая объекты с греческими (тензорными) и латинскими (тетрадными) индексами, поднимаем и опускаем латинские индексы с помощью матрицы Минковского, а греческие индексы с помощью метрического тензора д^. Метрический тензор определяет связность Леви-Чивиты Г*„, тензор кривизны Римана тензор Риччи Rvp и скалярную кривизну R. Ковариантные производные : Т| —> Т^! определяются с помощью связности Леви-Чивиты стандартным образом.

Пусть Л* - множество комплекснозначных внешних дифференциальных форм ранга к, (0 < к < 4) на X1'3, и пусть Л = Л0 ® ... ® Л4 - множество неоднородных дифференциальных форм. Множество Ло отождествляется с множеством

23Moore J. D., Lectures on Seiberg-Witten Invariants, Springer, (1996); Перевод на русский язык - Дж. Д. Мур, Лекции об инвариантах Зайберга-Виттеиа, 2001.

скалярных комплекснозначных функций на X1,3. Через Ля обозначаем множество вещественных неоднородных дифференциальных форм. Внешнее умножение дифференциальных форм определяется обычным образом 24. Если и 6 Лг, V 6 Л„ то

1} д V = (-1)”У ЛII е Лг+, и еЬ" Л <1х" = -¿х" Л ¿Iм. При этом ¿-форма 1}6 Лк записывается в виде

¡7= А... Л (1)

где ит...„к £ Т[Ч и Тдо - множество ковариантных кососимметрических тензорных полей ранга к. А неоднородную форму и 6 А можно записать в виде

(2)

*=0 *

Тетрада уЦ порождает четверку 1-форм е“ = у^1хц. 1-форму Е = е° будем называть монадой.

С помощью 1-форм тетрады дифференциальные формы (2) запишем в виде

г/=Епи^еа‘л---ле'“> (3)

к=0 '

где

1 Уа1 • ‘' Уа^

и квадратными скобками обозначена операция альтернирования индексов.

Определим клиффордово умножение дифференциальных форм на многообразии АТ1,3 следующими правилами:

1. для и, V, XV 6 А, а 6 Ло

Ш = У1 = и, (аи)У = Г/(аУ) = а({/У),

[/(УИ') = (ЦУЩ (и + У)№ = иШ + У\У, \У(и + У) = Пги + ШУ,

2. еае‘ = еаЛе‘ + т)оЬ,

3. е“1... е“к = е“‘ Л ... Л е“к для щ < ... < а*.

Заметим, что из второго правила вытекает равенство

еаеь + еьеа = 2г(л, (4)

определяющее алгебру Клиффорда 0?(1,3) с генераторами е° (в каждой точке

1 е Х1'3)- л.

Как показано в [4], клиффордово произведение двух дифференциальных форм

из Л является дифференциальной формой из Л.

“Новиков С.П., Тайманов И.А., Современные геометрические структуры и поля, М:, МЦНМО, (2005).

Множество неоднородных дифференциальных форм Л на многообразии X1,3, для которых задано сложение и заданы две операции умножения - внешнее умножение и клиффордово умножение, называется алгеброй Атьи-Келера25. Для алгебры Атьи-Келера сохраним обозначение А. Таким образом, запись (3) дифференциальных форм из Л с помощью 1-форм тетрады е" позволяет рассматривать алгебру Атьи-Келера как алгебру Клиффорда <Х( 1,3) с генераторами е° (в каждой точке х € X1,3). Т.е. мы рассматриваем алгебру Атьи-Келера как геометризован-ный вариант алгебры Клиффорда.

Для А, В € Л обозначим через [А, В] = АВ — В А коммутатор по отношению к клиффордову умножению дифференциальных форм.

Справедливы следующие утверждения:

• Если U 6 Л* и V е Л2, то [U, V] 6 Л*,

• Если V е и [U, V] = 0 для всех U 6 Л*, где fc = 1, либо к = 2, либо к = 3, то V = 0.

Определим форму объема (д - определитель матрицы Ц^Ц)

I = е°е1е2е3 = е° Л е1 Л е2 Л е3 = \[—д dx° Л dx1 A dx2 A dx3. (5)

Пусть

и — ^ ' Jj'Uai„,aiea’ А . . . А еак £ A, Uai...ajt = fc=0

Обозначим

(U)k = Л.-.Ле'“.

Тогда

U={U)0 + ... + {U),.

Теперь введем обозначение

тт = (to о.

Линейная операция Тг : А —* А0 называется операцией взятия следа от дифференциальной формы. Легко убедиться, что

Tr(UV-VU) = 0 для U,VeA.

Определим операции сопряжения в алгебре А

е® , U = U\eal...ea'-—ear...eal ,

U = ^iua1...er—♦йв1...вг ’

В Hai...ar черта означает комплексное сопряжение. Суперпозиция операций U~ и U дает операцию псевдоэрмитова сопряжения U’ = U~. Очевидно,

Vх = <г/)о-(и>1 + (У>2-(У>3 + (У>4,

ЕГ = mo + iUh-lUh-Wh + Mi,

25КаЫег Е., Randiconti di Mat. (Roma) ser. 5, 21, (1962) 425,

Atiyah М., Vector Fields on Manifolds, Arbeitsgemeinschaft fiir Forschung des Landes NordrheinWestfalen, Heft 200, (1970).

£/лл = и, и~~ — и, & = и, и** = и,

(иУ)х = (ЦУ) = £/К, (1/У)~ = У~г7~, (ШО* = Ути\

Определим оператор эрмитова сопряжения дифференциальных форм ^ : Л —> Л формулой26

Ц* = Е1ГЕ, для и € Л.

Теперь определим операцию (■, ■) : Л х Л —> Ло формулой

(и,У) = Тг(^У).

Эта операция имеет все свойства эрмитова скалярного произведения в каждой точке х 6 X1,3. Операция (•, •) превращает Л в унитарное пространство в каждой точке х 6 X1'3.

Тензоры со значениями в алгебре Атьи-Келера. Возьмем тензорное поле на многообразии X1,3

р ГГГ

“Ч...!/,/*!...« Ъ — ГшЬч—Рк] Х*+*’

антисимметричное по отношению к к ковариантным индексам. Рассмотрим следующие объекты:

К1::?: = л • • • а (6)

формально записанные в виде А-форм. При замене координат (х) —> (х) величины

(б) преобразуются как компоненты тензора типа (г, з), т.е.

и%:2 - = <й • • ■«■ ..р«£,

* - ^

^ Эх*3’ Ра Эхл’

Объекты (6) являются тензорными полями типа (г, в) со значениями в Л*27. Называем их Л*-тензорами и записываем

6 л*т;.

Возьмем

лт; = л0т;е...ел4т;.

Элементы ЛТ; называем А-тензорами (типа (г, я) и ранга г + в).

26Формула эрмитова сопряжения = Еи'К зависит от выбранной сигнатуры (Н-------)

матрицы т). Для сигнатуры (+ + ++) формула имеет вид £/^ = и', а для сигнатуры (—(- ++) формула имеет вид £/* = —Е(/’ЛЕ.

27Тензорные поля со значениями в алгебре Атьн-Келера можно рассматривать как объекты, принадлежащие тензорному произведению тензорной алгебры на алгебру Атьи-Келера.

Заметим, что (¡хц = где 6Ц - тензор Кронекера (6Ц — 0 для ¡х -ф и и

8£ = 1). Значит, ¿г'1 € Л1Т1.

Элементы из Ло'Ц отождествляются с тензорными полями из Т£. Тензоры (6) иногда удобно записывать с помощью 1-форм тетрады

и«!::£ = л... л е0- е ккт„

где

. Л1—Лг —- ,^*1 -Аг

;уа1 • • • Уа* /Н*

В Л-тензорах греческие индексы поднимаем и опускаем с помощью метрического тензора д^ш, д1“', а латинские индексы поднимаем и опускаем с помощью элементов матрицы Минковского г;а6, г?16.

Определим умножение Л-тензоров £ ЛТ£ и е ЛТ£ как Л-тензор

из ЛТЙ! вида

...Дг01...ар _ гт..*1^|-о»

А.../?, >

где в правой части стоит клиффордово умножение дифференциальных форм (индексы ..., ¿¿г, «11 • • • > */1> • • • > ‘'л 01. ■ • •, Дг фиксированы). Т.е. это умножение

сочетает в себе клиффордово умножение дифференциальных форм и тензорное умножение тензоров.

Если У£‘;;£г 6 Л0Т£ и £ Л0Т£, то произведение этих элементов отож-

дествляется с тензорным произведением.

Совокупность Л-тензоров с операцией сложения однотипных Л-тензоров (если [/,У е ЛТ;, то и + V 6 ЛТ£) и с введенной операцией умножения Л-тензоров будем называть КТ-алгеброй.

Запись II £ ЛТ означает, что II 6 ЛТ£ при некоторых целых г > 0, в > 0. Дифференциальные формы из Л рассматриваются как частный случай Л-тензоров типа (0,0).

Операции для дифференциальных форм ~,Л," *, |,Тг, (•, •) естественным образом распространяются на Л-тензоры из ЛТ навешиванием тензорных индексов в соответствующих формулах. Поэтому перечисленные операции будут использоваться как операции для Л-тензоров

~,Л,>,| : ЛТ«-»ЛТ*

и

Тг: лт’ - Л0т;, (-, о : лт| х лт; - л0т£;.

Унитарные, псевдоунитарные и спинорные группы. Пусть дифференциальная форма ¡5 £ Л удовлетворяет условиям (аналоги частных производных определены формулами (8))

02 = 1, ^ = ¿3, ТЪ/З^О, Т>цР = 0.

С помощью этой дифференциальной формы определим операцию псевдоэрмитова сопряжения дифференциальных форм

и - и* = /зи'/з.

Если /3 = е°, то операция $ совпадает с операцией псевдоэрмитова сопряжения *. Введем следующие множества дифференциальных форм:

и(Л) {и є л -• = і},

БЩЛ) = {і/ Є и(Л) : Ое(; и = 1},

и(Л) = {(7 Є Л : и* = -г/},

зи(Л) = {(/ Є и(Л) : Тг У = 0},

ЩА,0) = {{/ Є Л : и*и — 1},

БЩА,0) = {УєАУ(Л,£):ВеІІ/ = 1},

«•(Л,/?) = {£/ Є Л : и1 = -£/},

= {(/ Є ш(Л,/3) :Тги = 0},

где оператор Иеі определен в [18].

Пусть и Є А. Введем оператор і-у : Л —> Л формулой

І^(У) = Ц'Уи.

Множество © С Л является инвариантным множеством оператора Рц, если Ра •' в —> в.

Запись и Є Леуєп и Л ом означает, что либо І] Є Ле«п = Л0 ф Л2 © Л4, либо и Є Лсш = Лі ф Лз.

Нумерация представленных в автореферате теорем соответствует нумерации этих теорем в диссертации.

Теорема 7.1 . Справедливы следующие утверждения.

1. Если І/ Є Леїєп и Лдааі т° Ри имеет инвариантные множества

Л0Й © Л?, Л* л* л*.

2. Если І/ Є ЛЕуеп и Лоаа, "¡о Рц имеет инвариантные множества

Л* ф іЛ% © Л* Л« ф ¿Л*.

3. Если и € Лй, то /у имеет инвариантные множества

Лр ф ф Л« л« © л?.

.Если и & Л, то Рц умеет инвариантное множество А§ ф © іА§ Ф іА§ ф А?.

Следствие 1. Если І/ Є А§, то II2 Є Лд ф .

Следствие 2. Если {/ Є Л£„,п и Л&и и С/*і/ Є Л?, то оператор имеет инвариантные множества Лц, к = 0,1,2,3,4, т.е. /V : Л* —* Л*.

Определим четыре множества вещественных дифференциальных форм

Pin(A) = {S £ U Л&и : S*S = ±1},

Pin^A) = {S £ Л«теп U Л£м : S'S = 1},

Spin(A) = {S £ ЛЕ*те„ : S'S = ±1},

Spin+(A) = {5 £ Л£теп : S'S = 1},

являющиеся грушами (группами Ли) по отношению к клиффордову умножению дифференциальных форм в каждой точке х £ X1,3.

Для формы объема и для монады имеем E,t, El 6 Pin(A). Если U 6 Pin(A), то U можно записать в виде U = SV, где S £ Spin+(A) и V - один из элементов

1, E,t,Et.

Пусть 5 - некоторый элемент группы Рш(А). Рассмотрим преобразование 1-форм тетрады

еа -* ia = S~1eaS,

которое будем называть локальным (зависящим от х € X1'3) Pin-преобразованием 1-форм тетрады, порожденным элементом S 6 Pin(A). Из равенств еаеь + еьеа = 2rfb следует, что

ёаёь + е’ёа = 2т?0*.

В силу Следствия 2 теоремы 7.1, стр. 13, для любого U £ Ai имеем S~lUS £ At. В частности, 1-формы S~leaS можно разложить по 1-формам тетрады

S-leaS = Py. (7)

Обозначим матрицу Р = ||р£|| и отметим, что элементы матрицы Р зависят от х. Равенство (7) остается справедливым при замене S на —S. Поэтому равенство (7) сопоставляет каждой паре дифференциальных форм ±5 £ Pin(A) единственную матрицу Р = Р(±£) £ Mat(4, R), где Mat(4, R) - множество вещественных матриц четвертого порядка. Можно проверить, что эта матрица удовлетворяет равенствам

РТПР = V, РцРТ = г]

и, значит, принадлежит группе Лоренца 0(1,3). Если в этом рассуждении взять

S £ Spin+(A), то придем к матрице Р из группы собственных ортохронных преобразований Лоренца S0+(l,3).

Преобразование 1-форм тетрады (7) порождает преобразование тетрады

р%у1- '

Новая тетрада определяет тот же самый метрический тензор, что и исходная

iV = yfyriab = yliilvab-

Формальные частные производные В тензорном анализе на (псевдо) ри-мановом многообразии частные производные играют важную вспомогательную

роль. А именно, с помощью частных производных определяются основные дифференциальные операторы тензорного анализа - операторы ковариантного дифференцирования, операторы внешнего дифференцирования и производные Ли. Частные производные от компонент тензора дми^' "^к, вообще говоря, не образуют тензора (хотя частные производные д^и от скалярного поля являются компонентами ковектора).

Дальше будем рассматривать элементы тензорного анализа для тензоров со значениями в алгебре Атьи—Келера. Отметим, что для элементов из ЛТ£ не определено понятие частной производной, т.к. не определены значения частных производных от дифференциалов координат д^х". Мы предлагаем (см. определение Т>р на следующей старанице) так определить значения частных производных от дифференциалов координат, чтобы частные производные от 1-форм тетрады е® = были равны нулю. В этом случае вместо знаков частных производных дц будем использовать знаки и вместо термина “частные производные” будем использовать термин “формальные частные производные”. Вводимые формальные частные производные Т)ц играют вспомогательную роль. А именно, с помощью и связности Леви-Чивиты определяются, так называемые, операторы формального ковариантного дифференцирования ©м : АТ’ —► АТ^ц (формальные ковари-антные производные), которые и используются дальше в модельных уравнениях теории поля.

В координатах х“ с помощью 1-форм тетрады еа определим формальные частные производные Т)^, действующие на Л-тензоры из ЛТд по следующим правилам:28

а)

V|iea = 0, Vtlea = 0. (8)

б) Если и = (<;-) е А0Т;, то

= д^и.

в) Если и € АТ;, V € АТ?, то

V^(UV) = (V^U)V + UV>LV.

г) Если и, V 6 АТд и константы а, 0 € С, то

г>м(а£/ + /?К) = сФ^и +

При определении формальных частных производных Рц правилами а)—г) встает вопрос, является ли такое определение непротиворечивым (корректным). В силу теоремы 7.3 производные Т)р можно ввести другим методом - с использованием

28Из правила а) видно, что зависят от тетрады. При преобразовании лоренца тетрады формальные частные производные 2^ преобразуются по соответствующему правилу (см. теорему 7.3). Из равенства Рйеа = 0 легко вычислить, что

теории пространств Римана-Картана, что подтверждает корректность определения формальных частных производных 2?м.

С помощью правил а)-г) легко вычислить как формальные частные производные "Рр действуют на произвольные Л-тензоры из ЛТ£. Если

и = (и^;) = £ л... л е“ 6 лт;,

к=0 '

ТО

Ъ»и = £ Л... Л е°‘.

к=0 '

Можно проверить, что Т>ц : Л ЛТ1 и

= 0.

При заменах координат (х) —► (х) 7>^ действующие на формы и € Л, преобразуются как компоненты ковектора, т.е.

, 8хи

г= $ =

Определим тензоры

“ Уаа^рУ01 №раЬ — ^¡ла0УаУь ~ Уь^^УЗи’ (9)

где Vц - ковариантная производная соответствующая связности Леви-Чивиты. Возьмем

~ 2^1‘аЬ

и

= ^ЬраЬ еЛ А е6 = -е° А еЬ = --N^0 <&“ Л ¿Xй £ Л2Т1, (10)

где N^0 = Л/^оД , Л/^аЬ = Можно убедиться, что

2^ + [П^, — 2 1 (11)

где

Мщ, = -Я^иарйха Л ¿зЛ

Доказано, что- при Рт-преобразовании тетрады еа —+ ё° = 5"1е“5 ковектор

6 ЛТ1 и 2>м преобразуются по правилам

Ц, -+ &„ = Пм - 5~1Г>Й5, (12)

2?^ —* = 2?^ + [Я *2?р5’, •].

Формальные частные производные 2?м можно рассматривать как ковариантные производные соответствующие лоренцевой связности (но не связности Леви-Чивиты!).

Операторы *, <1,5. Определим операторы29

* : ЛТрс] —► ЛТ[4-Ч, <2 '■ ЛТ[і| —» ЛТ[*+ц, 5 : ЛТдо —» ЛТ[*_ц.

Пусть и = = (^ь..Мк]) Є ЛТИ - ковариантаый антисимметрический (по

шчт>уг»м щ... цк) тензор со значениями в Л. Оператор й : ЛТИ -> ЛТ[*+1] такой,

410 *+і

где шляпка над индексом ¿>, означает, что этот индекс пропущен, называется формальным дифференциалом Л-тензора V. В частности, если XI Є Л, то

(Д0„ = т>ии є лті.

Если І/ = (і/м) Є ЛТх, то

- А-У* Є АТМ.

Можно проверить, что сР = 0.

Рассмотрим оператор * : ЛТдо —♦ ЛТ[4_ц такой, что для и = (£^ц...|ц) € ЛТдо

[*и)ик+1...^ = ¿¡(41 ьу'/-И£*~чиП'" к е И ** I/ = (—1)*+1Ї/,

где «!,, „4 = - полностью антисимметричная тензорная плотность, еопз = 1

и цч-ч _ учч ...д*‘кУки111...цк. Этот оператор, действующий на Л-тензоры, будем называть звездочкой Ходжа. Можно показать, что *II — тензор по отношению к преобразованиям координат с положительным якобианом.

Оператор

5 = (—1)* *-1 ■ ЛТдо -* ЛТ[к_ц .

называется формальным кодифференциалом Л-тензора. Можно проверить, что

б2 = 0.

Если II — ((/¡и,) Є ЛТ[2], то 2\(*и) = *(2\и) и

(би)х = -~=д^(^диП Є АТ„

ИЛИ 1

(би)г = —

у/-9

иНа тензоры со значениями в дифференциальных формах нулевого ранга операторы і, 6 действуют как известные операторы <¿,5 см. Новиков С.П., Тайманов И.А., Современные геометрические структуры и поля, М:, МЦНМО, (2005). ,

Из определений операторов с?, 5 имеем для А = (А^) е ЛТЬ Р ~ е ЛТр]

{ЗА)¿и, ~ Т}цАи — Т>иАр € АТ[2],

(^г =е лт1.

Уравнения Янга-Миллса на многообразии Л^1’3 могут быть записаны в виде (&А)рУ — [А^^Ау] = Рщ,,

(<5Г)|/ + [ЛМ,^] = -Г.

Связь спинорного многообразия Л*1,3 с пространствами Римана—Картана

Обсудим связь спинорного многообразия Х1^ с подклассом пространств Римана-Картана, характеризующихся нулевой аффинной кривизной, но ненулевой рима-новой кривизной. Вводятся коммутирующие дифференциальные операторы первого порядка Т, которые в конце параграфа отождествляются с введенными в параграфе формальными частными производными 7>м.

Пусть на (псевдо) римановом пространстве V = {Х,д^У задана дополнитель-

о А ;

ная структура - аффинная связность со следующими свойствами: а) величины

О А

Г„„ при заменах координат преобразуются как компоненты связности; б) связность

О ^

согласована с метрикой, т.е.

V,. д«р = О, V,, дсф = О,

о А

деленные с помощью связности

« А

о д

где V^ — ковариантные производные определенные с помощью связности Г,,,,- В

этом случае совокупность и = {Х,д^и, Г^} называется пространством Римана-Картана.

Таким образом, в пространстве Римана-Картана И имеется две связности -связность Леви-Чивиты Г£„ = Г*,, определяемая метрическим тензором, и аф-

О*

финная связность Г^. Соответственно, имеются две ковариантные производные V,, и \7ц для которых

У»9а13 = 0, Ч»да13 = О, V» дар = О, да0 = О и два тензора кривизны

+ (13)

оМ ОЙ ОЙ о* оМ 0<7

Я *Хр = ал -др Гл„ + ГЛ„ГР„ - Г^ГЛ1/, (14)

Тензор называется римановой кривизной, а тензор Д* называется аффинной кривизной. В пространстве и также задан тензор кокручения

^„Л = Г^-Г^, ^ =

и тензор кручения

Тцу* — = -(^„А — Л^/(1л).

Тензор кокручения можно выразить через тензор кручения

^,А = ^|и/А + Т\цц + ТХ)Ш.

Предполагаем, что на и задана тетрада и, соответственно, определены 1-формы тетрады еа = у^сЬс1*. Поэтому можно рассматривать алгебру Атьи-Келера Л дифференциальных форм и тензоры со значениями в алгебре Атьи-Келера.

Введем линейные дифференциальные операторы первого порядка Т и Т, действующие на Л-тензоры из ЛТ£, следующими правилами:

а) Если и - (и«~£) 6 Л0Т;, то

Тци =Т^ и = д,,и,

б) = -Т"Х<Ь\ Т„ & = - г“л <Ь\

в) Если I/ е АТ;, V е ЛТ£, то

Т Х{ЦУ) = (гхи)у+игху,

Тл (У10 = (Та^Ж + УТл V.

/"1 0 ь помощью этих правил легко вычислить как операторы Т, Т действуют на произвольные Л-тензоры из ЛТ^. Например, если I/ = «„¿г" е Ль то

Т^£/ = (Т 1ли„)е1х'/ 4- и„Т„<£г1' = д^ихйхх - = (V»их)(Ьх.

В общем случае для формы и е Л*, записанной в виде

V = ^^,...^¿1'“ Л... Л ¿1*“,

получаем

тмг/ = ¿(^«„..^‘л-л^бЛ^т,.

о

Таким образом, операторы Т^,Т^ отображают Л^ в . При заменах коорди-

^ о

нат хи —> х" операторы Т„, Т,*, действующие на формы из Л, преобразуются как компоненты ковектора. Можно проверить, что этот факт вытекает из правила

преобразования компонент связностей Г^„, Г^.

Введем Л-тензор (ковектор)

Пр = Л <1х0 6 Л2ТЬ

д ля которого справедлива формула

Л^Лх" = —[Пм,йхА].

Так как

Г^Г^-^Д Г^хх = -Т^йх“, Г»с1хх = -Г111/<1х1',

ТО -

¿х" = - Ы^сЬ'' = Т*&Г + [П„, <*гА]

и 0

Тм йхх = Т^^хЛ — [П^, сЬл].

Последняя формула верна и в общем случае, т.е. для любого Л-тензора и 6 ЛТ’

Таким образом, имеем связь между операторами Тя и Тй

Т„=Т„-[П„,-]. (15)

О

Из пункта б) определения операторов Тм, Тм получаем

(ТД„ - Т„Т„)<&А = -Я^х",

(ТЯТ„ - ТЛ^)^хЛ = -Д

Кроме этого можно проверить справедливость формул

(ТД.-ТД^ = [\м^и}, (16)

(ТЛ", - Т„Т¿и = [¿М„„,£/], (17)

где и е ЛТ’ и

Подставляя формулу =ТР +[0^, •] в (16), будем иметь

(Т„Т„ - Т„Т„Ж = Т„ (1„+ Г» П„ - [ПМ,П„],С/].

Сравнивая эту формулу с (17), получим

Т¡л №[/ Xи 4* [П^, П^] •

Обозначим через Uj пространство Римана-Картана с аффинной связностью Гм„ порождающей в соответствии с формулой (14) тождественно нулевую аффинную кривизну R „Ар. Тогда М^= 0 и

Т„Т»-Т Л>0„ (18)

П„- Т„ + [П„,П„] = ^М„„. (19)

Теперь покажем, что спинорное многообразие Л'1,3 можно рассматривать как пространство Римана-Картана Uj с нулевой аффинной кривизной.

Теорема 7.2 . Если с помощью компонент тетрады у* определить величины

оА .

У dfiVvat

то справедливы следующие утверждения:

о А

• величины при заменах координат преобразуются как компоненты связности,

й = дХ~ С Й = V, у" = 0„1Г+ Г* = О,

= 0, Vfi g00 = О, ¿ЛЯ ЗаЯ = УаУрЧаЬ,

• ■

ot* оЯ оМ о А* о<* ой off

-Д i*Ap ^а Гр1/ ^ rAt/ + rvrA„= о»

оЛ

• Тензоры N'¡и, = Г^— и Л dx° выражаются через ком-

поненты тетрады и 1-формы тетрады по формулам

Nfiafl — Уаа^рУр, ~ — —еа Л Т^еа = ——е°Т#Аеа. (20)

■

Из формулы (20) для П„ вытекают следующие соотношения:

Тме°= [nw,ea], Va = [fi)J,ea],

т.е.

Т„ еа = О, Т„ е„ = 0. (21)

Таким образом, многообразие X1,3 можно рассматривать как пространство Римана-Картана Uj со связностью Леви-Чивиты Г*„, порождающей нулевое кручение и ненулевую риманову кривизну, и с аффинной связностью Г порождающей ненулевое кручение и нулевую аффинную кривизну.

На X1’3 заданы коммутирующие линейные дифференциальные операторы Тм,

О

действующие на Л-тензоры из ЛТ£, отображающие Л —► ЛТ1 и удовлетворяю-

о

щие соотношениям (18),(19),(21). В параграфе операторы Т[1 обозначаются через Т>ц и называются формальными частными производными.

Теорема 7.3 . При локальном 'Рш-преобразовании тетрады е“ —*■ ё“ = 5-1е“5, г<?е 5 = 5(х) £ Рт(Л), величины П,, = -\еа^^еа и операторы, Т>„ =Т„ преобразуются по формулам

П„ - П,. = - 5'1©^5, (22)

^ -> = + (23)

■

Формальные ковариантные производные Операторы (формальные ковари-антные производные) : ЛТ£ -+ ЛТ^+1 определяются с помощью формальных частных производных Т>м и связности Леви-Чивиты правилами:

1) для базисных элементов алгебры Атьи-Келера

вре01 Л ... А е“к = IV“» Л ... Л еа‘ = О, а\................................а* = 0,1,2,3;

2) если и — и(х) е Л, х £ X1'3 - скалярная функция (со значениями в алгебре

Атьи-Келера), то

в„и = р„и-,

3) если ¡7" € ЛТ1, то

©„С/" = + Г^£/л;

4) если и„ £ ЛТ1, то

%и„ = 1\и„ - Г*,СГЛ;

5) если и = (ВД) £ ЛТ*, V = (V##) £ ЛТд, то

в„(иу) = {в„и)у + ив,у,

где {/V - умножение тензоров со значениями в алгебре Клиффорда, которое сочетает в себе тензорное умножение тензоров и клиффордово умножение элементов алгебры Атьи-Келера.

С помощью этих правил можно вычислить формальные ковариантные производные от тензоров произвольного типа.

Напомним, что элементы из АоТ^ отождествляем с тензорными полями из Т». Если и = (СС.:#) £ Л0Т£, то

Й 7№1- Л. _ V ТТШ -Рг

где V,, - ковариантные производные от тензорного поля.

Таким образом, формальные частные и ковариантные производные 0М действуют на тензоры со значениями в алгебре Атьи-Келера. Сравнивая их с частными и ковариантными производными д^, V,,, действующими на обычные тензорные поля, видим, что аналогичны частным производным Зм, а операторы 0^ аналогичны операторам ковариантных производных Уй.

Следующие утверждения справедливы для тензоров со значениями в алгебре Атьи-Келера.

• Если £ ЛТ1, то

©„У“ = (24)

• Если .ГД1/ 6 ЛТЙ, то

©„Я" = ~Р„(л/Ч ^)- (25)

• Если [/р £ ЛТ1, то

(0„0„ - ©„е#,)г/А = (26)

• Если 6 ЛТИ, то

(0„е„ - ©„©ЛЯ“' = 2©^©^^ = 0. (27)

• Если Л„ 6 ЛТ1 и

= ©(1^1/ - ©!,Л^ — [Ам, А„] е ЛТИ,

Г = ©мЯ11'-[Л(1,Р“']еЛТ1,

то

©„.Г-[А,, Г] = 0. (28)

Модельные уравнения с псевдоунитарной симметрией. Рассмотрим неко-

торые варианты уравнений поля на спинорном многообразии X1,3, в которых используется формализм алгебры Атьи-Келера.

Пусть дифференциальная форма t 6 Л является эрмитовым идемпотентом, т.е.

42 = «, ^ ^ = 0,

порождающим левый идеал /(¿), двусторонний идеал ЛГ(*), алгебру Ли !(«) и группу Ли (?(<)

/(г) = {и ек-.и = т),

АГ(«) = {У £ /((): и =

1(4) = {£/ € К-^) : и* — —Щ С и(Л),

вЦ) = {£/е Л :[/*£/ = е, [/-ееадси(Л).

Пусть дифференциальная форма 0 £ Л такова, что

/?2=1, 0» = Д ^/3 = 0, 0^ = 0.

С помощью 0 определим операцию {

= /?£/*/?.

и введем множества

ЩКР) = {1У Є Л : И'НУ = 1},

■пг(Л,/3) = {ш Є Л : IV* = — ш},

8АУ(Л,/?) = {И' є Л : = 1, Беї IV = 1},

в-и^Л,/?) = {їіг б Л : и;* = -ш, Тїш = 0}.

И пусть вектор і№ = і№(х) Є 8'иг(Л,/3)Т1 удовлетворяет условиям Ы‘ки + ЫЫ = 2¡Г.

Рассмотрим следующие десять систем уравнений:

+ фАр — Сиф) — тф = 0,

ВцА» - Э„Ац - [А„, А„] = (29)

Є^-[АМ,ГН = ^Ч ©^/і“ — [С,,, Л"] = 0;

ік“{&Ііф + фАц — Сцф) - тф = 0,

©^■*4(* [-*^ г Л^ =

©МР^ - [Д,, = ф^ріИУф, (30)

©яС, — ©(/С'ц — [С(1, С^] = 0;

і/і^ІОцф + фА„ — См?і) — тф — 0,

©я-Л^ ©і/Ац [Лм, Аі/ ] — ■

6^ - [Л„, р*] = ф'р^ф, (31)

е„с„ - ©„с,. - [с„, с„] = к^,

Є^-ІСм,К^} = 0; іЛм(©„ф + фА„ - В^ф) = 0,

©„Л, - ©,Д - [Л„, Л,] = (32)

©^'“'-И(1,^Н = ^ЛЧ і/і1‘(0і,0 + — В,,0) = 0,

©д^к©і/Л^ [Л^, Л,/] ~ Гцц/ ,

©„Я*" - И„, Я"] = ф'/Зг^ф, (33)

©„В,, - ©„*„ - [В„, Д] = (^)2 [Л^, Л„];

гЛ',(©^ + М^-ад = 01

©^-Л|/ ©і,і4^ — [Л^, Л^] — <?ду,

©МР'“/ - [Л,,, Я*"] = фІ/ЗИҐф, (34)

в„В„ - ВуВр - [Вц, В„] = Єр,,

©(1С"‘'-[Вй,С'-] = 1т3гЛ‘';

где

+ фАц - Сцф) — тф = О,

©^Л„ 0уАр [Л^, Л^] = Еру,

©„Я"' - (Л„, Р* 1 = ф'рШ’Ф, (35)

ейа - еУс„ - [с„, с„] =

¿/»**(©^0 + 0Л„ - Сцф) -тф = О,

ЭдЛу [^4^, =

(36)

вцСи — Э„Сц — [Ср, С„] — Кци, б^К“" - [£?„, Л''“'] = ^

№(Эцф + $/!,, - Вцф) = о,

0^*Л|/ ©^Л^ [Л^, Лу] — Рц!/,

©„Я“' - [Ар, Я“] = (37)

©„В„ - ©„£„ - [В,,, В,} = (^)2[V М + -^ацЬ.^-

№{в11ф + фА11-В1,ф)= О,

0дЛь< 0^Л^ [л^, Л„] =

©„Я" - [Л„, Я1*] = ф^ргЫ'ф, (38)

0цВи — 0„ВМ - [Вр, В„] = <7^,

В „С" - (В„, СП = ¿пЛЛ1' + ]^^а^аЬа +

элемент ф = 0(х) 6 /(£) является скаляром, т.е. не меняется при общих заменах координат {Ф(х) —» ф(х(х)))-,

Лм = ЛДх) 6 В(*)Тг, = ^(х) 6 ¿(¿)ти;

т71 - вещественная константа;

См = С» 6 зч^Л./ЗуГ!;

= ^(г) € 8\*г(Л,/?)Тр|;

Вй = В^(г) е 5-иг(Л,/?)Т1; б>/ = С>,(х) 6 етг(Л,0)Тм.

Величины t, р, ¿х**, рассматриваем как известные переменные, т - как извест-

ную постоянную, а все остальные величины - как неизвестные.

Рассмотрим свойства уравнений (29)-(38). Обозначим

£ = {/i*4, Ф1 Ац, Ср, Кцу, Вц, G^}.

1. (Симметрия). Так как в системы уравнений (29)-(34) входят только тензорные величины, то они являются ковариантными относительно общих локальных замен координат на многообразия X1,3.

2. Введем билинейные коварианты систем уравнений (29)-(34)

i JW--W = ... Ы^ф 6 L(t)Tw.

Билинейные коварианты являются контравариантными кососимметриче-

скими тензорами ранга к со значениями в эрмитовых элементах алгебры Атьи-Келера. Собственные значения билинейных ковариант вещественны.

3. Вектор

iJ" = ф'рМф € I(i)T! удовлетворяет неабелеву закону сохранения

= 0.

4. Уравнения (29)-(34) являются ковариантными по отношению к следующему глобальному преобразованию, заданному унитарным элементом U € U(A), Q^U = 0:

h“ - U^h^U, ф -> и~1фи,

-* U-lA„U, F^ - U~lFpu,U,

С„-*и~1С„и, К^-^и-'К^и, B^U-'BvV,

■ G>„ -» U^G^U, р -> U~1PU, t^U-HU.

5. Уравнения (29)—(34) являются ковариантными по отношению к следующему глобальному преобразованию, заданному унитарным элементом U 6 U(A), Q^U = 0:

ф->фЦ, Ap-tU-'ApV, F^^U-'F^U, t->U~ltU.

6. (Симметрия). Уравнения (29)-(34) являются ковариантными относительно локального (калибровочного) преобразования с унитарной группой симметрии G(t) (U~U{x)eG{t))

ф-*фи, Аи — U~lAMU - и-'Э^и, FIU,-*U-1FIU/U.

7. (Симметрия). Системы уравнений (29)-(34) ковариантны относительно следующего локального (калибровочного) преобразования переменных £ —> Ё, осуществляемого с помощью произвольного псевдоунитарного элемента W = W(x) 6 SW(A,j3):

ф=\У~хф, h? = w-'ww,

С„ = W-'C^W - W-'ejY, Км„ = W-'K^W,

Bp = W-'BpW - W-'QvW, G„u =

8. Системы уравнений (29)-(34) являются ковариантными относительно преобразования комплексного сопряжения

¿Лд —► ihr, (h* —► —hf), ф-+ф, Ар-* Ар, Fn„ —» Fh„,

Ср —» Ср, Кри, —> Кр„, Bp —» Bp, Gp„ —* Gpu, Р —* Р, t —► t.

9. (Симметрия). Системы уравнений (29)-(34) являются ковариантными относительно преобразования

гЛ.м —»¿Л*1, (Л*1 —*■ —hf), Ф —* фЗ, Ар —* J~'ApJ, Fpu —> J 1FpVJ,

Ср —* Cp, KpU KpU, Bp —» Bp, Gpv —* GpР —»Р, t —> t,

где четная унитарная форма J такова, что [/3, J] = 0 и iJ = Jt.

Отметим, что 1-формы тетрады е° не меняются при всех рассмотренных преобразованиях. Сейчас укажем свойство уравнений (29)-(38), которое связано с преобразованием 1-форм тетрады е“ —> S~1eaS, где S е Pin(A).

Теорема 7.4 . Уравнения (29) — (38) ковариантны относительно следующего локального преобразования, задаваемого дифференциальной формой S = S(x) € Pin(A):

е° - 5-1е“5, Р -> 5_1/35,

S —S-'ES, &p-+Qp + [S~lQpS, ■ ]. (39)

■

Модельные уравнения с локальной спинорной симметрией. Пусть на многообразии X1'3 с локальными координатами дана тетрада у%

tivW* = <Г

и 1-формы тетрады е“ = y^dx1*. Имеем

е“еь + еьеа = 2г}аЬ.

Кроме того, пусть вектор Л'1 £ AfT1 удовлетворяет условиям

Если S - некоторая дифференциальная форма из Рпц.(Л), то в качестве вектора Л" можно взять вектор

Л" = S-'dx^S.

Нас интересуют модельные уравнения, в которые входит уравнение Дирака

№(&рф + фАр — Срф) — тпф = О

с ковектором Ср 6 AfTi. Такое уравнение сводится к двум уравнениям

^(Орфь + ФьАр-Срф^-тфя = О,

№(Орфя + фяАр-Срфв)-тф1, = О,

где I = е°ехе2е3 = </=д<1х0 Л ¿г1 Л ¿х2 Л ¿х3 - форма объема, Ь = з(1 + И), Я= 1(1- И), и = £0, фя = Яф.

Рассмотрим следующие шесть систем уравнений

^(О^ф + — См<^) — тф = О,

©„А„ - 0„АР - [А^, А„] = (40)

- [А», РН = ф^е°гН1'ф, вЖ-Рм-^1 = 0;

г Л.''(0^0 -1- фАц — Срф) — 7п^ 0,

0/1-А|? 0^^ [А^, Ад/] —

- [Ая, Я*"] = ^е°г7г^, (41)

©„С,, - 0„С> - [См,а] = 0;

№(врф + фАр — Срф) - тф = О,

©^А, 0*/А^ [Лр, А(/] —

©^Р1" - [Ам, Р*"] = ф^е°гк‘'ф, (42)

©„а - ©„£„ - \СЦ, С„] = К^,

ЭрК*“' — [Сц, К^\ = 0;

1кц{&цф + фАц — Сцф) — тф = О,

0цАи ©|/Ац [А^, Ау] = ^¡/,

©„Я1" - [Д, Я“1] = 0^е°гЛ|/0, (43)

0„С„ - 0„С„ - [С^, С„] = |^„а/,ЛаЛй;

г^(0д^ + фАр — См^>) — тф — О,

Ау\ —

©„Р1" - Им, Р*"] = ф^гК'ф, (44)

0цС?1/ — — [С*^, С*у] = Кр»,

- [см, 1

И1ц(&цф + </>Ай — -(О^к^киф) - тф = О,

©¿.А, — ©„А,, - [А,,, А,,] = (45)

©„Я" - [А„, Я*"] = ф^е°гЫ'ф,

где

• элемент ф = 1/1(2) 6 1(Ь) является скаляром, т.е. не меняется при общих заменах координат (ф(х) —► ф(х(х)));

• Ар — ЛДх) С 1

• ^ = Р^{х) е ¿(*)Тр1;

• т - вещественная константа;

• С» = СДх) 6 Л“Т1;

• = К^{х) 6 Л?ТИ.

Величины Ь, (¿х**, рассматриваем как известные переменные, т - как известную постоянную, а все остальные величины - как неизвестные.

Рассмотрим свойства уравнений (40)-(45). Обозначим

Из соотношений 0МЛ|/ — [Сд, Л1'] = 0 системы уравнений (40) следует формула

С* = (46)

Действительно, домножим обе части формулы ©^Л1' = — Ы'Сц справа на Л"

и свернем по индексу V. Получим

С^К = 4С„, НиС„11и = 0.

Поэтому, в случае системы уравнений (45), в Е входят С^ из (46).

1. (Симметрия). Так как в системы уравнений (40)-(45) входят только тензорные величины, то они являются ковариантными относительно общих локальных замен координат на многообразии X1,3.

2. Введем билинейные коварианты систем уравнений (40)-(45)

1-м _ га¥ц+1^е°/11»‘1 _ _ _ ф е £(*)тМ.

Билинейные коварианты ./«■■•м являются контравариантными кососимметрическими тензорами ранга Л со значениями в эрмитовых элементах алгебры Атьи-Келера.

3. Вектор

и» = ф'еЧЫф 6 Ц^Т1 удовлетворяет неабелеву закону сохранения

= 0-

4. Уравнения (40)-(45) являются ковариантными относительно глобального преобразования с унитарной группой II € ЩЛ), ©й{/ = О

ф -» фи, А„ - и^А^и, - и-1Г^и.

5 (Симметрия). Уравнения (40)-(45) являются ковариантными относительно локального (калибровочного) преобразования с группой симметрии G(t)

ф - фи, А„ - U-'ApU - U-'e^U, - U-'F^U.

6. (Симметрия). Системы уравнений (40)-(45) ковариантны относительно следующего локального преобразования переменных, осуществляемого с помощью произвольного элемента S = S(x) € Рш+(Л):

ф -* 5"V. h“ S-'hTS,

Cp - S-lCßS - S-'e^S, KpU -* S-'K^S.

Напомним, что множество Л" является алгеброй Ли группы Ли Pin+(A) (в каждой точке х е X1,3).

7. Системы уравнений (40)-(45) ковариантны относительно следующего локального преобразования переменных, осуществляемого с помощью произвольного элемента S — S(x) € Pin+(A):

ф -* фБ, Ср-*Ср + S~'eMS, t -+ S-'tS,

0„ • ], еа —» 5-‘е“5.

8. Системы уравнений (40)-(45) ковариантны относительно следующего локального преобразования переменных, осуществляемого с помощью произвольного элемента S = S(x) е Pin(A):

£-S-‘ES, e“ —> S~1eaS, t-*S~HS,

Qp^Qp + fi-'QpS,-}.

Это преобразование можно рассматривать как суперпозицию преобразований, указанных в предыдущих двух пунктах. Но при этом группа Рщ+(А) является подгруппой группы Pin(A).

9. Системы уравнений (40)-(45) являются ковариантными относительно преобразования комплексного сопряжения

W-tW, (/i* --Л"), ф-*ф, Ар-* Ар, Fßt/ ->

Gp ^ Cj,, Крц ► Кру, t ► t.

10. При m = 0 модельное уравнение Дирака .

ihß(Q^ + фАр - Срф) — тф — 0 распадается на два уравнения

+ ФьАр — Срфь) = О,

№(&рфя + фяАр - Срф я) — 0,

где

Фь = ^(е + й)ф, фя — ~(е — И)ф, I = е°е1... е3.

Поэтому, при т = 0 можно рассматривать системы уравнений (40)-(45) у которых

ф = 0£, либо Ф = фц.

11. (Симметрия). Системы уравнений (40)-(45) являются ковариантными относительно преобразования

iff —<■ ih**, —♦ —Л**), </> —* —► J~lApJ, Fpu -+ J~lFpyJ,

где унитарная форма J = —e13 такова, что [/3,7] = 0 и i J = Л.

Далее идет список публикаций автора по теме диссертации.

Список литературы

[1] Марчук Н.Г. Матричное уравнение Дирака, ДАН, 1997, т.354, н.5, с.604-606.

[2] Marchuk N.G., Dirac 7-equation, Classical gauge fields and Clifford algebra, Advances in Applied Clifford algebras, v.8, N.l, (1998), pp.181-225.

[3] Marchuk N.G., Gauge fields of the matrix Dirac equation, Nuovo Cimento, 113B, N.10, (1998), pp.1287-1296.

[4] Marchuk N.G., Dirac equation in Riemannian space without tetrads, Nuovo Cimento, 115B, N.ll, (2000), pp.1267-1301.

[5] Marchuk N.G., The Dirac type tensor equation in Riemannian space, F.Brackx et al. (eds.), Clifford Analysis and Its Applications, Kluwer, (2001), pp.223-230.

[6] Marchuk N.G., Dirac-type tensor equations, Nuovo Cimento, 116B, N.10, (2001), pp. 1225-1248.

[7] Marchuk N.G., The Dirac equation vs. the Dirac-type tensor equation, Nuovo Cimento, 117B, N.5, (2002), pp.511-520.

[8] Marchuk N.G., Dirac-type tensor equations with non-Abelian gauge symmetries on pseudo-Riemannian space, Nuovo Cimento, 117B, N.l, (2002), pp.95-120..

[9] Marchuk N.G., Addendum to the paper "Dirac-type tensor equations with non-Abelian gauge symmetries on pseudo-Riemannian space Nuovo Cimento, 117B, 05, (2002), pp. 613-614.

[10] Marchuk N.G., Dirac-type tensor equations on a parallelisable manifold, Nuovo Cimento, 117B, 7, (2002), pp.789-796.

[11] Marchuk N.G., A concept of Dirac-type tensor equations, Nuovo Cimento, 117B, 12, (2002), pp.1357-1388.

[12] Марчук Н.Г. Бескоординатная форма уравнения Дирака для электрона, ДАН,

т.392, номер 3, (2003), стр. 318-321.

' "¥

[13] Marchuk N.G., Technique of Tensors with Values in the Atyah-Kahler Algebra in the New Representation of Dirac-Yang-Mills Equations, Russian Journ. of Math. Phys, Vol.13, No.3, (2006), pp.299-314.

[14] Marchuk N.G., New Representation of Dirac-Yang-Mills Equations, Russian Journ. of Math. Phys, Vol.13, No.4, (2006), pp.397-413.

[15] Marchuk N.. Shirokov D.S., Unitary Spaces on Clifford Algebras, Advances in Applied Clifford Algebras, v.18, N.2, (2008),

[16] Marchuk N.G., Model Dirac-Maxwell equations with pseudounitary symmetry, Theoretical and Mathematical Physics, 157(3): 1723-1732 (2008),

[17] Марчук Н.Г., Цимбалов Ю.А., Нормальные матричные представления алгебр Клиффорда, Вестник СамГУ-Естественнонаучная серия, №8/1(67), (2008).

[18] Марчук Н.Г., Уравнения теории поля и алгебры Клиффорда, ISBN 978-593972-761-7, РХД, 304 стр., (2009),

[19] Marchuk N., Mass generation mechanism for spin-(l/2) fermions in Dirac-Yang-Mills model equations with a symplectic gauge symmetry, II Nuovo Cimento, Vol. 125 B, N. 10, pp.1249-1256.

[20] Марчук Н.Г., Семиполиномиалъная параметризация спинорных групп четвертого порядка, ДАН, Математика, том 433, №2, с.1-3, 2010.

[21] Marchuk N., Paiametrisations of Elements of Spinor and Orthogonal Groups Using Exterior Exponents, Adv. Appl. Clifford Algebras 21 (2011), 583-590.

[22] Марчук Н.Г., Внешние полиметрические алгебры, ДАН, Математика, том 438, №6, стр. 734-737, (2011).

[23] Марчук Н.Г., Модельные уравнения Дирака-Янга-Миллса со спинорной калибровочной симметрией, Вести. Сам. Гос. техн. ун-та, Сер. Физ.-мат. науки, 2011, №1(22), с.118-123.

[24] Марчук Н.Г., Уравнения теории поля со спинорной калибровочной симмери-ей, ДАН, Математика, том 437, №1, стр.24-27, (2011).

Подписано к печати “ 15 " ноября 2011 г. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии МИЭМ. Москва, ул. М. Пионерская, д. 12.

Заказ № 214 . Объем 2.0 п.л. Тираж 150 экз.

1 Уравнения Дирака—Максвелла

1.1 Пространство Минковского и тензорные поля.

1.2 Алгебра матриц Дирака.

1.3 Уравнения Дирака-Максвелла в пространстве Минковского.

1.4 Зарядовое сопряжение спиноров Дирака.

2 Модельные уравнения Дирака—Максвелла

2.1 Связь 7-матриц с псевдоунитарной группой.

2.2 Модельная система уравнений

Дирака-Максвелла.

2.3 Модельные уравнения Дирака-Максвелла с калибровочной псевдоунитарной симметрией.

2.4 Формула для С^.

2.5 Спиноризация модельных уравнений.

3 Алгебры Клиффорда

3.1 Группы, векторные пространства, алгебры.

3.2 Алгебры Грассмана Л(п).

3.3 Алгебры Клиффорда СС(р, д).

3.4 Клиффордово умножение элементов алгебры Грассмана.

3.5 Коммутаторы и антикоммутаторы.

3.6 Теорема о свертке генераторов

3.7 Операторы сопряжения.

3.8 Комплексные алгебры Клиффорда д).

3.9 Структура унитарного (или евклидова) пространства на алгебрах Клиффорда.

3.10 Эрмитовы идемпотенты, левые идеалы и смежные структуры

3.11 Нормальные представления элементов алгебр Клиффорда в виде комплексных матриц.

3.12 Матричные представления алгебры Cí(l,3).

3.13 Другие матричные представления алгебры СС(1,3)

3.14 Вторичные генераторы алгебры Gí(l,3).

3.15 Простейшие операции над элементами алгебры СС( 1,3).

4 Группы и алгебры Ли, связанные с алгебрами Клиффорда

4.1 Унитарная группа алгебры Клиффорда.

4.2 Случай алгебры Клиффорда &(1,3).

4.3 Псевдоунитарная группа алгебры Клиффорда.

4.4 Симплектическая подгруппа псевдоунитарной группы.

4.5 Спинорные и ортогональные группы.

4.6 Экспонента от элементов второго ранга.

4.7 Внешняя экспонента от элементов второго ранга.

4.8 Группы Pin(l, 3), Pin+(1,3), Spin(l,3), Spin+(1,3) и Pin (1,3)

4.9 Множество 1,3) и амплитуда

4.10 Унитарные подгруппы псевдоунитарной, симплектической и спинор-ных групп

5 Модельные уравнения теории поля в формализме алгебры Клиффорда

5.1 Тензоры со значениями в алгебре Клиффорда.

5.2 Уравнения Янга-Миллса.

5.3 Модельные уравнения

Дирака-Янга-Миллса.

5.4 Характеризация объектов в модельных уравнениях.

5.5 Ковариантные преобразования и симметрии модельных уравнений.

5.6 Свойства модельных уравнений Дирака-Янга-Миллса.

5.7 Гамильтонова форма модельных уравнений Дирака-Максвелла.

5.8 Локализация псевдоунитарной симметрии.

5.9 Модельные уравнения с двумя полями Янга-Миллса.

5.10 Полудивергентный вид модельного уравнения Дирака

5.11 Модельные уравнения Дирака-Янга-Миллса с локальной спинорной симметрией.

5.12 Гипотеза об описании античастиц и частиц противоположного спина

6 Модельные уравнения на псевдоримановом многообразии

6.1 Псевдориманово спинорное многообразие.

6.2 Модельные уравнения на псевдоримановом многообразии.

6.3 Модельные уравнения с локальной спинорной симметрией на псевдоримановом многообразии.

7 Модельные уравнения в формализме алгебры Атьи-Келера

7.1 Дифференциальные формы и тетрада на спинорном многообразии.

7.2 Тензоры со значениями в алгебре Атьи-Келера.

7.3 Унитарные, псевдоунитарные и спинорные группы в формализме алгебры Атьи-Келера.

7.4 Формальные частные производные Т>ц.

7.5 Операторы *, d, 5.

7.6 Связь спинорного многообразия X1' с пространствами Римана-Картана.

7.7 Формальные ковариантные производные

7.8 Модельные уравнения с псевдоунитарной симметрией.

7.9 Модельные уравнения с локальной спинорной симметрией.

8 Модельные уравнения теории поля в матричном формализме

8.1 Модельные уравнения

Дирака-Максвелла.

8.2 Модельные уравнения

Дирака-Янга-Миллса.

8.3 Модельные уравнения Дирака-Янга-Миллса с локальной псевдоунитарной симметрией.

8.4 Модельные уравнения с двумя полями Янга-Миллса.

8.5 Модельная система уравнений со спинорной локальной симметрией.

9 Специальные модельные уравнения

9.1 Основная идея.

9.2 Алгебры Ли антиэрмитовых дифференциальных форм.

9.3 Основные уравнения.

9.4 Неабелевы законы сохранения заряда.

9.5 Унитарная и спинорная калибровочные симметрии.

10 Амплитуда в релятивистских уравнениях поля

10.1 Модельные уравнения Дирака-Максвелла с локальной спинорной симметрией.

10.2 Специальные модельные уравнения

Дирака-Максвелла.

10.3 Решения специального модельного уравнения Дирака типа плоской волны.

10.4 Фиксация спинорной калибровки.

10.5 Частный случай а^ = 0.

Список обозначений

С поле комплексных чисел;

С4 четырехмерное векторное комплексное пространство;

К поле вещественных чисел;

R1,3 пространство Минковского;

77 матрица Минковского; х^ декартовы координаты пространства Минковского; дц частные производные д/дх^)

7м матрицы Дирака; ф дираковски сопряженный спинор;

Mat(n, С) алгебра комплексных квадратных матриц порядка п;

Mat(n,R) алгебра вещественных матриц порядка п; det А определитель матрицы; tr А след матрицы;

Ат транспонированная матрица;

А комплексно сопряженная матрица;

At эрмитово сопряженная матрица (матрица транспонирована и взято комплексное сопряжение от ее элементов);

1 единичная матрица; множество тензорных полей типа (p,q);

Mat(4, <С)Т£ множество тензорных полей типа (р, q) со значениями в алгебре матриц Mat(4,C).

0(1,3) группа Лоренца;

0+(1,3) ортохронная группа Лоренца;

S0(1,3) собственная группа Лоренца;

S0+(1,3) собственная ортохронная группа Лоренца;

U(n) группа Ли унитарных матриц порядка п;

U(r, s) группа Ли псевдоунитарных матриц порядка г + s;

SU(n) группа Ли специальных унитарных матриц порядка п;

SU(r, s) группа Ли специальных псевдоунитарных матриц порядка г + s;

Ci(p, q) комплексная алгебра Клиффорда сигнатуры (р, q)]

Ctk{p, q) множество элементов алгебры Клиффорда ранга к)

С£®(р, q) вещественная алгебра Клиффорда;

C^Even(p, q) множество четных элементов алгебры Клиффорда;

Cioddip, q) множество нечетных элементов алгебры Клиффорда;

3?!00(1,3) множество элементов алгебры Клиффорда CiR( 1,3), которые являются либо четными, либо нечетными;

Е00(1,3) группа обратимых элементов из <3?еоо(1> 3);

X(U) амплитуда элемента из С^|00(1,3);

Хс(Ю комплексная амплитуда элемента из Ci®00(l, 3);

Det U определитель элемента алгебры Клиффорда;

Tr U след элемента алгебры Клиффорда;

U~ обращение порядка следования множителей (reverse);

U комплексное сопряжение элемента алгебры Клиффорда;

U матричное комплексное сопряжение элемента алгебры Клиффорда;

U* псевдоэрмитово сопряжение - суперпозиция операций £7~;

С/+ эрмитово сопряжение элемента алгебры Клиффорда;

Ux четностное сопряжение (grade involution);

Pin(l, 3) пинорпая группа;

PinU(l,3) унитарная подгруппа пинорной группы; Spin(l,3) спинорная группа;

SpinU(l,3) унитарная подгруппа спинорной группы; к

U элемент алгебры Клиффорда (алгебры Атьи-Келера) ранга к; t эрмитов идемпотент;

J(t) левый идеал, порожденный i;

K(t) двусторонний идеал, порожденный t;

L{t) алгебра Ли, порожденная £;

G(t) группа Ли, порожденная t;

XJ(C£(p, q)) унитарная группа алгебры Клиффорда (порожденная алгеброй Клиффорда);

S\J(Ci(p, 5)) специальная унитарная группа алгебры Клиффорда; и(С£(р, q)) алгебра Ли унитарной группы алгебры Клиффорда; su{Ci(p, q)) алгебра Ли специальной унитарной группы алгебры Клиффорда; W(С£(р, q)) псевдоунитарная группа алгебры Клиффорда;

VXJ(C£(p, q)) унитарная подгруппа псевдоунитарной группы алгебры Клиффорда; SW(Gi(p, q)) специальная псевдоунитарная группа алгебры Клиффорда; w(С£(р, q)) алгебра Ли псевдоунитарной группы алгебры Клиффорда; sw(C£(p, q)) алгебра Ли специальной псевдоунитарной группы алгебры Клиффорда;

Sp(C£(l,3)) симплектическая группа алгебры Клиффорда Ci( 1,3), являющаяся подгруппой псевдоунитарной группы SW(C!f(l,3)); SpU(Ci(l,3)) унитарная подгруппа симплектической группы алгебры Клиффорда 1,3); sp(0£(l, 3)) алгебра Ли симплектической группы Sp(C£(l, 3)); ¡3 эрмитов элемент алгебры Клиффорда, индуцирующий операцию псевдоэрмитова сопряжения; | операция псевдоэмитова сопряжения = ¡317^/3;

W(CC(p,q),@) псевдоунитарная группа алгебры Клиффорда, индуцированная элементом /?; тетрада; т масса частицы;

Х1-71"1 n-мерное псевдориманово спинорное многообразие; метрический тензор;

V^ ковариантные производные, действующие на тензоры со значениями в алгебре Клиффорда; W тензор Риччи; связность Леви-Чивиты (символы Кристоффеля); R^vXp тензор кривизны Римана; еа генераторы алгебры Клиффорда; еаг.ак базисные элементы алгебры Клиффорда; е единичный элемент алгебры Клиффорда; алгебра Атьи-Келера неоднородных дифференциальных форм; дифференциальные формы ранга к; формальные частные производные, действующие на тензоры со значениями в алгебре Атьи-Келера и являющиеся аналогами частных производных; формальные ковариантные производные (дифференциальные операторы первого порядка), действующие на тензоры со значениями в алгебре Атьи-Келера и являющиеся аналогами ковариантных производных.

Важную роль в предлагаемой работе имеет конструкция умножение неоднородных дифференциальных форм, которое задает на множестве неоднородных дифференциальных форм структуру алгебры Клиффорда. Эта конструкция была предложена Е. Келером (1962) и переоткрыта М. Атьи (1970). В литературе она называется алгеброй Атьи-Келера.

В 1993 году автор начал систематические исследования, направленные на применение алгебры Клиффорда и алгебры Атьи-Келера к уравнению Дирака. В литературе удалось найти три уравнения, аналогичные (или эквивалентные) уравнению Дирака и использующие алгебру Клиффорда или алгебру Атьи-Келера. Вместе со стандартным уравнением Дирака получился следующий список из четырех уравнений:

• стандартное уравнение Дирака (1928), в нем используются матрицы и спиноры;

• уравнение Дирака-Рисса (1947), в нем используются элементы алгебры Клиффорда и левые идеалы;

• уравнение Дирака-Хестенеса (1967), в нем используются четные элементы алгебры Клиффорда;

• уравнение Иваненко-Ландау-Келера (1928, 1962), в нем используются неоднородные дифференциальные формы.

Первые три уравнения из этого списка эквивалентны друг другу, тогда как уравнение Иваненко-Ландау-Келера не эквивалентно трем указанным уравнениям т.к., во-первых, волновая функция в нем имеет 16 комплексных компонент (по сравнению с 4 в уравнении Дирака) и, во-вторых, волновая функция представляется неоднородной дифференциальной формой, тогда как волновая функция уравнения Дирака является спинором.

Цель работы состояла в том, чтобы на основе анализа общего и различий уравнения Иваненко-Ландау-Келера по сравнению с первыми тремя уравнениями, попытаться найти такие модификации ILK-уравнения, которые наиболее естественным образом соотносятся с уравнением Дирака.

То обстоятельство, что базой исследования было не одно, а четыре уравнения, позволило существенно расширить круг идей и методов, с помощью которых велась работа.

Введя в рассмотрение локальную тетраду на псевдоримановом многообразии (т.е. фактически перейдя к многообразиям Римана-Картана) и выявив важные свойства оператора d — 5, удалось получить модификации уравнения ILK в которых волновая функция принадлежит левому идеалу алгебры Атьи-Келера и имеет либо 4, либо 8, либо 12, либо 16 комплексных компонент. Показано, что соответствующие уравнения имеют либо U(l), либо U(2), либо U(3), либо U(4) унитарную калибровочную симметрию. Таким образом, вопрос об уменьшении числа компонент волновой функции в ILK-уравнении был решен.

В 2000 году удалось построить специальные варианты модифицированных уравнений ILK (в диссертации они называются модельными уравнениями Дирака) обладающие дополнительной симметрией по отношению к псевдоунитарной группе SU(2,2) (эта группа среди своих подгрупп содержит симплектическую и спинорную группы). Псевдоунитарная симметрия является внутренней симметрией модельных уравнений и никак не связана с заменами координат (пространства Минковского, либо псевдориманова многообразия).

Таким образом приходим к модельному уравнению Дирака (а также к модельным системам уравнений Дирака-Максвелла и Дирака-Янга-Миллса). Доказывается, что они являются обобщениями соответствующих стандартных уравнений теории поля. Логично предположить, что из модельных уравнений могут быть выведены все следствия, которые могут быть выведены из стандартных уравнений поля (Дирака, Дирака-Максвелла, Дирака-Янга-Миллса). Вместе с тем показано, что из модельных уравнений выводятся такие математические следствия, которые принципиально не могут быть выведены из стандартного уравнения Дирака. В этой связи встает вопрос: можно ли из новых математических следствий модельных уравнений получить новые физические следствия? Ответ на этот вопрос автору пока не известен.

Модельные уравнения получились достаточно простыми. Они допускают формулировку не только в технике дифференциальных форм и алгебры Атьи-Келера, но и в более простой и привычной технике матриц (см. главу 1), либо в технике алгебры Клиффорда.

Представляемая диссертация посвящена изучению математических структур (в частности, уравнений), которые так или иначе связаны с фундаментальными уравнениями физики.

Открытие фундаментальных уравнений, описывающих релятивистские поля, является крупнейшим достижением современной физики. Как известно, первооснову уравнений релятивистских полей составляют следующие уравнения:

• Уравнения Максвелла (1873). В этих уравнениях английский физик Джеймс Клерк Максвелл объединил описание электрических и магнитных явлений со световыми и оптическими явлениями и создал единую теорию, в которой свет рассматривается как электромагнитная волна. Изучая вопрос о симметриях уравнений Максвелла, Г. Лоренц обнаружил свойство инвариантности уравнений по отношению к преобразованиям координат из псевдоортогональной группы (группы Лоренца). Этот математический результат Лоренца, в конечном счете, привел физику к новой революции - созданию Специальной Теории Относительности. В современной квантовой электродинамике с помощью уравнений Максвелла описываются фотоны, как частицы спина 1, обеспечивающие взаимодействие электрически заряженных частиц.

• Уравнение Клейна-Гордона-Фока (1926).

Это уравнение было введено Э. Шредингером, О. Клейном, В. Гордоном и В. Фоком как обобщение уравнения Шредингера (лежащего в основе нерелятивистской квантовой механики), согласованное со Специальной Теорией Относительности. Выяснилось однако, что уравнение описывает лишь частицы спина 0. В современной Стандартной Модели элементарных частиц присутствует только одна фундаментальная (не составная, точечная, бесструктурная) частица спина 0. А именно, бозон Хиггса, который в теории отвечает за генерацию масс всех элементарных частиц. Бозон Хиггса является единственной частицей Стандартной Модели, которая пока (2011) не обнаружена в экспериментах.

• Уравнение Дирака (1928). П. Дирак, как и Э. Шредингер, искал обобщение уравнения Шредингера, согласованное со Специальной Теорией Относительности. Он разложил оператор Клейна-Гордона-Фока с производными второго порядка на два множителя первого порядка и, в качестве оператора нового уравнения, взял один из операторов сомножителей. Проведенный Дираком анализ показал, что его уравнение адекватно описывает электрон и дает правильное описание спина и магнитного момента электрона. Выяснилось, что с помощью уравнения Дирака можно описывать и другие частицы спина 1/2. Дальнейшее изучение свойств решений уравнения Дирака и, в частности, рассмотрение возникшей в теории проблемы отрицательных энергий, привело П. Дирака к замечательному результату - предсказанию существования у электрона античастицы (позитрона), которая затем была обнаружена К. Андерсеном в космических лучах.

• Уравнения Янга-Миллса (1954). Эти уравнения были предложены С. Янгом и Р. Миллсом как уравнения с неабелевой калибровочной симметрией, описывающие частицы спина 1 и обобщающие уравнения Максвелла (которые инвариантны по отношению к абелевой унитарной калибровочной группе и(1)). Уравнения Янга-Миллса оказали большое влияние на все дальнейшее развитие теоретической физики. С помощью уравнений Янга-Миллса с и(1) х Би(2) калибровочной симметрией удалось построить теорию электрослабых взаимодействий элементарных частиц, объединяющую электромагнитные и слабые взаимодействия. С помощью уравнений Янга-Миллса с Эи(3) калибровочной симметрией удалось построить квантовую хромодина-мику - калибровочную теорию сильных взаимодействий.

Система уравнений Дирака-Максвелла, рассматриваемая в математической физике, моделирует взаимодействие электрона с электромагнитным полем. Для моделирования электрослабых и сильных взаимодействий элементарных частиц используются системы уравнений Дирака-Янга-Миллса (это класс систем уравнений, зависящих от калибровочной группы). Следует отметить, что система уравнений Дирака-Максвелла является частным случаем системы уравнений Дирака-Янга-Миллса. Системы уравнений Дирака-Янга-Миллса и Дирака-Максвелла являются стандартными системами уравнений релятивистской теории поля.

В работах Уиттекера [72] (1937), Тауба [73] (1939), Руза [74] (1937) и Желноро-вича [75] (1982, 2001) предложена форма записи уравнения Дирака в виде системы нелинейных тензорных уравнений.

Теперь о связи уравнения Дирака с алгеброй Клиффорда. В записи уравнения Дирака для электрона используются 7-матрицы Дирака, удовлетворяющие в точности тем же соотношениям, которым удовлетворяют генераторы алгебры Клиффорда С£( 1,3) (см. главу 3). Алгебра Клиффорда впервые была применена к уравнению Дирака в работах Эддинггона [50] (1928) и Темпля [49] (1930).

Жуве [47] (1930) и Заутер [48] (1930) предложили рассматривать спиноры Дирака как элементы минимального левого идеала в алгебре матриц четвертого порядка. Рисс [51] (1947) первым рассмотрел спиноры как элементы минимального левого идеала алгебры Клиффорда (хотя частный случай чистых спиноров был рассмотрен ранее Картаном в 1938 году).

Ланцош [52] (1929) и Гюрши [53, 54, 55] (1956-1958) переписали уравнение Дирака с помощью 2x2 кватернионных матриц. Развивая идеи Ланцоша и Гюрши, Хестенес [56, 57, 58] (1966-1974) переформулировал уравнение Дирака для электрона так, что волновая функция электрона в его уравнении представляется четным элементом вещественной алгебры Клиффорда.

Иваненко и Ландау [44] (1928) предложили альтернативное уравнение для электрона (оно не эквивалентно уравнению Дирака), в котором волновая функция представлена неоднородной дифференциальной формой. Это уравнение было переоткрыто Келером [5] (1962). Келер показал, что основные свойства электрона, описываемые стандартным уравнением Дирака, могут быть выведены и го его уравнения. В частности, в его статье содержится вывод формулы Зоммерфельда тонкой структуры спектра атома водорода.

Развитие подхода Иваненко-Ландау-Келера к теории электрона содержится в работе Обухова и Солодухина [76] (1993) (см., также, обзор Круглова [45]). Ряд математических вопросов связанных с этим уравнением рассматривался Беном и Таккером [60] (1987). Начиная с 1981 года уравнение Иваненко-Ландау-Келера активно используется в квантовой хромодинамике на решетках [80]—[83]

Упомянутая работа Келера [5] содержит еще один важный результат. А именно, для корректного описания взаимодействия электрона с электромагнитным полем, Келер ввел в своем уравнении новое умножение неоднородных дифференциальных форм. Это умножение он назвал клиффордовым умножением дифференциальных форм (см. параграф 7.1). Конструкция клиффордова умножения дифференциаль- • 1 ' ных форм была независимо разработана Атьи [6]. Множество неоднородных дифференциальных форм на (псевдо)римановом многообразии с двумя умножениями (клиффордовым и внешним), в литературе называется алгеброй Атьи-Келера.

Некоторые вопросы применения алгебры Клиффорда к физике рассматривают Дорана и Лезенби [77] и Бейлис [78].

В предлагаемой диссертации вводится ряд систем уравнений, которые в дальнейшем будем называть модельными уравнениями теории поля (модельное уравнение Дирака, модельные уравнения Дирака-Максвелла, модельные уравнения Дирака-Янга-Миллса). Эти системы уравнений воспроизводят основные свойства стандартных систем уравнений теории поля. В тоже время, модельные уравнения имеют отличия от стандартных уравнений теории поля, и, в частности, обладают новой симметрией по отношению к псевдоунитарной группе (или по отношению к спинорной группе Рт+(1,3), или по отношению к симплектической группе 8р(2, К) - обе эти группы являются подгруппами псевдоунитарной группы (см. главу 4)). Эта псевдоунитарная симметрия позволила построить в параграфе 5.9 калибровочную теорию нового типа.

Вопрос о том, что называется ковариантностью и симметрией модельных уравнений, обсуждается в параграфе 5.5.

Некоторые из модельных систем уравнений, при определенных условиях можно рассматривать как обобщения известных систем уравнений Дирака-Янга-Миллса. Мы говорим об уравнениях, калибровочно инвариантных относительно тех унитарных групп, которые являются подгруппами группы и(4). Вместе с тем, некоторые модельные уравнения, например модельные уравнения с двумя полями Янга-Миллса (5.60)-(5.62), не сводятся к уравнениям Дирака-Янга-Миллса (см. сноску на стр. 149).

Отметим, что предлагаемая конструкция модельных уравнений, основанная на алгебре Клиффорда 0£(1,3), диктует ограничение на унитарные группы по отношению к которым уравнения являются калибровочно инвариантными. А именно, допускаются только те унитарные калибровочные группы, которые являются подгруппами группы и (4).

Отметим также, что при анализе модельных уравнений существенную роль играет использование методов алгебры Клиффорда.

В диссертации используются следующие математические методы:

• тензорный анализ в пространстве Минковского и на псевдоримановом многообразии;

• алгебра Клиффорда и смежные структуры (группы и алгебры Ли, порожденные алгеброй Клиффорда, идемпотенты, левые идеалы и т.д.);

• алгебра Атьи-Келера дифференциальных форм на спинорном многообразии и смежные структуры;

• теория симметрических гиперболических по Фридрихсу систем уравнений первого порядка.

Представленные в диссертации результаты определяют направления дальнейших исследований. Ряд вопросов, связанных с модельными уравнениями и представляющих интерес в контексте развития теории поля, пока не исследован. В дальнейшем необходимо сосредоточить внимание на исследовании следующих вопросов:

• Являются ли введенные в диссертации модельные уравнения лагранжевыми (если да, то необходимо найти соответствующие лагранжианы).

• Рассмотреть квантование модельных уравнений теории поля.

• Изучить глобальные свойства используемых в модельных уравнениях математических структур на псевдоримановом (спинорном) многообразии.1

• Разработать вопросы физической интерпретации модельных уравнений теории поля.

главах 6,7 предполагается, что исходное псевдориманово многообразие является спинор-ным, т.е. накладываются некоторые топологические ограничения на многообразие. В проводимых локальных рассмотрениях глав 6 и 7 требуется существование локальной тетрады.

В данную диссертацию вошли результаты автора, полученные в период с 1993 по 2011 годы и опубликованные в статьях [10]—[37] и в монографии [28].

В главе 1 (параграфы 1.1,1.3) фиксируются обозначения объектов в пространстве Минковского и излагаются известные факты, связанные с уравнением Дирака и системой уравнений Дирака-Максвелла. Обозначения таковы, что скорость света, постоянная Планка и заряд позитрона равны единице.

В главе 2 (в параграфах 2.2-2.5) излагается главная идея предлагаемого подхода к уравнениям теории поля в ее наиболее простой форме (на примере модельных уравнений Дирака-Максвелла в пространстве Минковского и с использованием матричной техники).

В остальной части диссертации главная идея развивается в нескольких направлениях: от уравнений Дирака-Максвелла переходим к уравнениям Дирака-Янга-Миллса; от матричной техники переходим к технике алгебры Клиффорда и дальше, к технике алгебры Атьи-Келера; от плоского пространства Минковского переходим к искривленным спинорным псевдоримановым многообразиям и т.д.

Логическое развитие результатов главы 1 в рамках матричной техники и в рамках пространства Минковского содержится в главе 8.

Если читатель хочет познакомиться с главной идеей предлагаемого подхода к уравнениям теории поля, то ему достаточно прочитать только главы 1,2. Если читатель заинтересуется развитием идей в рамках матричной техники и в рамках пространства Минковского, то ему достаточно еще прочитать главу 8. Для дальнейшего углубления в рассматриваемую проблематику потребуется ознакомление с некоторыми техническими вопросами, связанными с алгеброй Клиффорда, с алгеброй Атьи-Келера и с искривленными спинорными псевдоримановыми многообразиями.

В главах 3,4 развивается математический аппарат алгебр Клиффорда, а также групп Ли и алгебр Ли, связанных с алгебрами Клиффорда.

В главах 5,6 вводятся модельные уравнения теории поля с использованием формализма алгебры Клиффорда, в главе 7 с использованием формализма алгебры Атьи-Келера и в главе 8 с использованием матричного формализма.

В главах 5,7,8 в модельных уравнениях имеется ограничение на максимальную размерность унитарной калибровочной группы, которую допускают модельные уравнения Дирака-Янга-Миллса. А именно, допускаются только те унитарные калибровочные группы, которые являются подгруппами группы и(4).

В главе 6 на псевдоримановом многообразии X1 ,п1 выписываются модельные уравнения поля, основанные на алгебре Клиффорда (%(1, п — 1). Рассмотрены два варианта уравнений: уравнения с использованием тензора кривизны Римана в явном виде и без использования тензора кривизны.

В главе 7 представлены модельные уравнения теории поля на четырехмерном спинорном многообразии X1'3, записанные с использованием формализма алгебры Атьи-Келера дифференциальных форм. Алгебра Атьи-Келера является геометризованным (связанным со спинорным многообразием) вариантом алгебры Клиффорда. Модельные уравнения главы 7 можно рассматривать как обобщение уравнений Иваненко-Ландау-Келера на случай неабелевой унитарной калибровочной симметрии.

В рассматриваемых в главе 7 модельных уравнениях теории поля имеется дополнительная (по сравнению с уравнениями глав 5,6) локальная ковариантность по отношению к спинорной группе. Эта дополнительная ковариантность возникает только в случае четырехмерных многообразий (см. сноску на стр. 194).

В главе 8 используется матричная техника.

Все рассматриваемые в диссертации модельные уравнения теории поля имеют следующие четыре симметрии: 1)симметрия по отношению к заменам координат (имеются в виду лоренцевы замены декартовых координат пространства Минков-ского или общие замены локальных координат псевдориманова многообразия); 2)локальная (калибровочная) симметрия по отношению к унитарной группе; 3)ло-кальная или глобальная симметрия по отношению к псевдоунитарной группе (вместо псевдоунитарной группы можно также рассматривать симплектическую или спинорную группы, являющиеся подгруппами псевдоунитарной группы); 4)дискретная симметрия являющаяся суперпозицией преобразования комплексного сопряжения и некоторого унитарного ковариантного преобразования.

Символом Халмоша ■ обозначается конец доказательства теоремы или подчеркивается отсутствие доказательства.

Научная новизна. Основные результаты диссертации заключаются в следующем.

• Введен ряд новых систем уравнений, которые в диссертации называются модельными уравнениями теории поля (модельное уравнение Дирака, модельные уравнения Дирака-Максвелла, модельные уравнения Дирака-Янга-Миллса). Показано, что, с одной стороны, эти системы уравнений воспроизводят основные свойства стандартных систем уравнений теории поля, а с другой стороны, модельные уравнения имеют отличия от стандартных уравнений теории поля. В частности, они обладают новой симметрией по отношению к псевдоунитарной группе.

• В диссертации доказано, что модельные уравнения теории поля обобщают соответствующие стандартные уравнения теории поля в том смысле, что любое решение стандартных уравнений теории поля можно рассматривать как решение соответствующих модельных уравнений, взятое при определенной фиксации псевдоунитарной калибровочной симметрии. На основе модельных уравнений автору удалось построить калибровочную теорию нового типа с двумя полями Янга-Миллса.

• Модельные уравнения теории поля обобщены на случай четырехмерного псевдориманова многообразия (сигнатуры —2) с локальной тетрадой.

• Разработаны модельные уравнения в формализме алгебры Атьи-Келера неоднородных дифференциальных форм.

• Разработана специальная модификация модельных уравнений Дирака -Максвелла с 1/(1) калибровочной симметрией использующая соответствие между минимальным левым идеалом алгебры Клиффорда С£(1,3) и четной подалгеброй СИЕуеп(153).

1. Дирак П.А.М., Принципы квантовой механики, М:, Наука, (1979).

2. Новиков С.П., Тайманов И.А., Современные геометрические структуры и поля, М:, МЦНМО, (2005).

3. Moore J. D., Lectures on Seiberg-Witten Invariants, Springer, (1996); Перевод на русский язык Дж. Д. Мур, Лекции об инвариантах Зайберга-Виттена, 2001.

4. Грин М, Шварц Дж., Виттен Э., Теория суперструн, том 2, М: Мир, (1990).

5. Kahler Е., Randiconti di Mat. (Roma) ser. 5, 21, (1962) 425.

6. Atiyah M., Vector Fields on Manifolds, Arbeitsgemeinschaft fur Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen, Heft 200, (1970).

7. Барут А., Рончка P., Теория представлений групп и ее приложения, том 1,2, М:, Мир, (1980).

8. Peskin М., Schroeder D., An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley, (1995).

9. Snygg J., Clifford Algebra, Oxford Univ. Press (1997).

10. Марчук Н.Г. Матричное уравнение Дирака, ДАН, 1997, т.354, н.5, с.604-606.

11. Marchuk N.G., Dirac 7-equation, Classical gauge fields and Clifford algebra, Advances in Applied Clifford algebras, v.8, N.l, (1998), pp.181-225.

12. Marchuk N.G., Gauge fields of the matrix Dirac equation, Nuovo Cimento, 113B, N.10, (1998), pp.1287-1296.

13. Marchuk N.G., Dirac equation in Riemannian space without tetrads, Nuovo Cimento, 115B, N.ll, (2000), pp.1267-1301.

14. Marchuk N.G., The Dirac type tensor equation in Riemannian space, F.Brackx et al. (eds.), Clifford Analysis and Its Applications, Kluwer, (2001), pp.223-230.

15. Marchuk N., Mass generation mechanism for spin-(l/2) fermions in Dirac-Yang-Mills model equations with a symplectic gauge symmetry, II Nuovo Cimento, Vol. 125 B, N. 10, pp.1249-1256.

16. Марчук Н.Г., Семиполиномиальная параметризация спипорных групп четвертого порядка, ДАН, Математика, том 433, №2, с.1-3, (2010).

17. Marchuk N., Parametrisations of Elements of Spinor and Orthogonal Groups Using Exterior Exponents, Adv. Appl. Cliff ord Algebras 21 (2011), 583-590.

18. Марчук Н.Г., Внешние полиметрические алгебры, ДАН, Математика, том 438, №, стр. 734-737, (2011).

19. Марчук Н.Г., Модельные уравнения Дирака-Янга-Миллса со спинорной калибровочной симметрией, Вестн. Сам. Гос. техн. ун-та, Сер. Физ.-мат. науки, 2011, №1(22), с.118-123.

20. Марчук Н.Г., Уравнения теории поля со спинорной калибровочной симмери-ей, ДАН, Математика, том 437, №1, стр.24-27, (2011).

21. Dirac P.A.M., Proc. Roy. Soc. Lond. A117 (1928) 610. Перевод на русский в сб. П.A.M.Дирак "К созданию квантовой теории поляМ., Наука, 1990.

22. Dirac Р.А.М., Proc. Roy. Soc. Lond. A118 (1928) 351. Перевод на русский в сб. П.А.М.Дирак "К созданию квантовой теории поляМ., Наука, 1990.

23. Зоммерферльд А., Строение атома и спектры, том И, М., 1956.

24. Мотт Н., Снеддон И., Волновая механика и ее применения, М., Наука, 1966.

25. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В., Введение в теорию квантованных полей, М., Наука, 1973.

26. Мицкевич Н.В., в сб. "Гравитация и теория относительности вып.З, Казанский Университет 1967, с.129.

27. Ivanenko D., Landau L., Z. Phys., 48 (1928)340.

28. Kruglov S.I., Int. J. Theor. Phys., 41, (2002), 653-687.

29. Pestov A.B., Preprint P2-5798, Dubna (1971).

30. Juvet G., Comment. Math. Helv., 2, (1930), 225-235.

31. Sauter F., Z. Phys., 63, (1930), 803-814; 64, (1930), 295.

32. Temple G., Proc. Roy. Soc., A, 127, (1930), 339-349.

33. Eddington A.S., Proc. Roy. Soc., A, 121, (1928).

34. Riesz M., pp.123-148 in C.R. 10 Congres Math. Scandinaves, Copenhagen, 1946. Jul. Gjellerups Forlag, Copenhagen, 1947. Reprinted in L.G&rding, L^rmander (eds.): Marcel Reisz, Collected Papers, Springer, Berlin, 1988, pp.814-832.

35. Lanczos С., Z.Phys. 57, (1929) 447-473, arXiv:physics/0508002.

36. Giirsey F., Rev. Fac. Sci. Univ. Istanbul, A21, (1956), 33-54.

37. Giirsey F., Nuovo Cimento, 3, (1956) 988.

38. Giirsey F., Nuovo Cimento, 7, (1958) 411-415.

39. Hestenes D., Space-Time Algebra, Gordon and Breach, New York, 1966.

40. Hestenes D., J. Math. Phys., 8, (1967) 798-808.

41. Hestenes D., J. Math. Phys., 14, (1973) 893-905.

42. Hestenes D., J. Math. Phys., 15, (1974) 1778-1786.

43. Benn I.M., Tucker R.W., An introduction to spinors and geometry with applications to physics, Bristol, 1987.

44. Lounesto P., Clifford Algebras and Spinors, Cambridge Univ. Press (1997, 2001)

45. Grassmann H., Math. Commun. 12, 375 (1877).

46. Doran C., Hestenes D., Sommen F., Van Acker N., J.Math.Phys. 34(8), (1993) 3642.

47. M0ller C., Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk. 39,13, (1978).

48. Weinberg S., The quantum theory of fields, Cambridge, 2000.

49. Gromov M., Partial differential relations, Springer, 1986 (Translated from Russian).

50. Cartan E., The Theory of Spinors, Cambridge, MA : MIT Press, 1966.

51. Brauer R., Weyl H., Amer. J. Math., vol.57, N2, p.425, 1935.

52. Chevalley C., The Algebraic Theory of Spinors, New York: Columbia Univ. Press, 1954.

53. Casanova G., L'algebre Vectorielle Que Sais-je, N.1657, Presses Universitaires de France, Paris (1976).

54. Clifford W.K., Amer. J. Math., 1, pp.350-358 (1878).

55. Whittaker E.T., Proc. Roy. Soc. (London), vol.l58A, pp.38-46 (1937).

56. Taub A.H., Annals of Mathematics, vol.40, pp.937-947, (1939).

57. Ruse H.S., Proc. Roy. Soc. Edin., vol.57, pp.97-127,(1936-37).

58. Желнорович B.A., Теория спиноров и ее применения, (2001).

59. Обухов Ю.Н., Солодухин С.Н., ТМФ, 94, (1993), стр. 276.

60. Doran С. and Lasenby A., Geometric Algebra for Physicists, Cambridge Univ. Press, 2003.78 7980 81 [82 [83 [8485