Об оценках линейных форм и многочленов от значений аналитических функций некоторых классов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

/> / * «О /

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА.,ОРДЕНА. ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА. ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМИ М.В.ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАШтТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

МАКАРОВ ЮРИЙ НИКОЛАЕВИЧ

УДК 511.84

ОБ ОЦЕНКАХ ЛИНЕЙНЫХ ФОШ И МНОГОЧЛЕНОВ ОТ ЗНАЧЕНИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ НЕКОТОРЫХ

КЛАССОВ

(01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.м.н..профессор А.Б.Швдловский

Москва 1983

СОДЕРЖАЩЕ

Обозначения......................................3

Введение..........................................4

§1. Краткий обзор исследований, связанных с

содержанием работы.........................4

§2. Формулировки основных результатов..........18

Глава I. Оценки линейных форм от значений

Е-функций................................41

§1. Доказательства теорем I, I*, 2, 2;.........41

§2. Доказательства теорем 3, З1, 4.............69

§3. Доказательства теорем 5, б', 6, б', 7.....72

Глава 2. Доказательства общих теорем об эффективных оценках многочленов от значений

Е-функций................................76

§1. Доказательство теоремы 8...................76

§2. Доказательство теоремы 9...................87

§3. Доказательство теоремы 10..................96

Глава 3. Эффективные оценки многочленов от значений

некоторых гипергеометрических Е-функций..103 Литература........................................ИЗ

ОБОЗНАЧЕНИЯ /Д/ - множество "натуральных чисел.

^ - кольцо целых рациональных чисел.

- множество целых рациональных неотрицательных чисел.

О - поле рациональных чисел.

//? - поле действительных чисел.

С

^ - поле комплексных чисел.

/А - поле всех алгебраических чисел.

1К - фиксированное алгебраическое поле над й?.

- степень алгебраического поля /« над ¿¡) .

- кольцо целых алгебраических чисел алгебраического поля ¡К

^ I - максимум модулей чисел, сопряженных для

числа оС в поле //С Л - некоторое мнимое квадратичное поле.

\У - произвольное поле или кольцо.

Л*,,..,

- кольцо многочленов от ,..., ЗЬп над полем (кольцом)

) - поле рациональных функций от над полем .

- степень многочлена . Н Г Р) - высота многочлена Р .

- порядок нуля аналитической функции ^г) в точке 2-= О .

,, * Н) - мера линейной независимости чисел ,

.. • • •» 1 л. •

- мера трансцендентности числа |

г?)/к р < и) - меРа взаимной трансцендентности чисел ^(ЪучЪП^^У г Г

»• • •» > Уг.

ВВЕДЕНИЕ

§1. Краткий обзор исследований, связанных с содержанием работы.

В диссертации устанавливается ряд теорем об оценках снизу модулей линейных форм и многочленов с целыми рациональными и целыми алгебраическими коэффициентами от значений в алгебраических точках Е-функ-ций , удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям с коэффициентами из поля рациональных функций.

В работе используется известный метод доказательства трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций, ведущий свое начало от работы К.Зигеля [19:13 и получивший дальнейшее развитие в работах А.Б.Шидловского см. [8:1-8] Этот метод является существенным обобщением классического метода Эрмита-Линдемана [12:1] , £14:13 в теории трансцендентных чисел.

Пусть в дальнейшем //\/ обозначает множество натуральных чисел, 2 - кольцо целых рациональных чисел, + - множество целых неотрицательных чисел, а О и С , соответственно,поля рациональных и комплексных чисел.

Если -произвольное поле (кольцо) , то -о будет обозначать кольцо много-

членов над полем (кольцом)^ от переменных ^ , , а 25л) -поле рациональных

функций от переменных »• • •» с коэффициентами из поля

Действительное или комплексное число оС называется алгебраическим, если существует многочлен /2.1*1 , О .такой,что РСоС) = 0 .

Степенью алгебраического числа об называется степень неприводимого многочлена Ре г], имеющего оС своим корнем. Степень алгебраического числа оС будем обозначать .

Множество всех алгебраических чисел образует поле, которое будем обозначать /А

Алгебраическое число называется целым алгебраическом, если оно является корнем неприводимого многочлена со старшим коэффициентом ч равным единице.

Множество целых алгебраических чисел образует кольцо, которое обозначим •

Если сС <= /А , то множество чисел ,

где пробегает все рациональные функции из определенные в точке оС , называется алгебраическим полем. Это поле обозначается //( .Степень алгебраического числа оС называется степенью поля 1К И обозначается 1нс о].

Множество всех целых алгебраических чисел алгебраического поля образует кольцо, которое обозначается ^^ .

Действительное или комплексное число ,не

являющееся алгебраическим , называется трансцендентным.

Легко доказывается, что корень многочлена Р^АН, РФ О , является алгебраическим числом.поэтому, трансцендентное число не может быть корнем многочлена

Действительные или комплексные числа ]= ± ,..., ^ называются алгебраически независимыми, если для любого многочлена Р<г [ & # , Оу

Рб!^.")!«.)^ О • в ИР011®™ случае числа , ..., называются алгебраически зависимыми.

понятие алгебраической независимости обобщает понятие трансцендентности числа, ¿ели числа , алгебраически независимы, то каждое из них трансцендентно.

Если оС € /А , Жди = к , то корни неприводимого многочлена из »корнем которого является оС}

, ...»©¿^ называются числами^, сопряженными Со£.

В алгебраическом поле ¡К вводят понятие сопряженных чисел для каждого оС <= IX . Сопряженные числа ъС± ,...,одля числа оС в поле ¡'К (к =[1к '<([)]) совпадают с числами, сопряженными для оС , повторенными одинаково часто.

Если , то принято обозначать

\оС\ = шаса I <¿11

Существование трансцендентных чисел впервые было установлено в 1844 году Ж.Лиушшгем [15:1] - Он доказал, что алгебраические числа не могут "слишком хорошо" приближаться числами из .Это позволило ему построить первые примеры трансцендентных чисел. Но теорема Лиувилля не дает возможность устанавливать трансцендентность чисел, име-

ющих значение в математике, например чисел £ и Л .

ГГри доказательстве трансцендентности и алгебраической независимости чисел обычно возникают значительные трудности. Каждое существенное продвижение в этом направлении связано с появлением нового метода.

В 1873 г.Ш.Эрмит[12:1[ опубликовал первый аналити-

ческий метод в теории традсцеццентных чисел, с помощью которого он доказал трансцендентность числа е.

В 1882 году Ф.Линдеман [14:1] , развивая метод Эрмита, установил трансцендентность числа ЗГ и чисел е*" ,о¿е/Д ^Фо ъ ¿/А

В своей работе Линдеман доказал теорему о линейной независимости над <Ц) чисел в*' ,..., ,где об, оСп -различные числа из /А .Теорема

Линдемана эквивалентна утверждению об алгебраической независимости чисел 6°*"',..., при линейно независимых над €) числах оС1 Ы.^ из /А .

Таким образом,с помощью метода Эрмита-Линдемана был полностью решен вопрос о трансцендентности и алгебраической независимости значений показательной функции в в алгебраических точках.

В 1929 году А.О.Гельфонд [2:2] опубликовал новый аналитический метод доказательства трансцендентности чисел, с помощью которого установил частный случай 7-ой проблемы Гильберта о трансцендентности чисел и* при /А 0> 4- ,и иррациональном ^ . В 1934 году А.О.Гельфонд £2:3,4] с помощью нового общего аналитического метода полностью решил седьмую проблему Гильберта.

В 1929 году К.Зигель [х9:![] опубликовал аналитический метод доказательства трансцендентности и алгебраической независимости значений функций, являющийся обобщением метода Эрмита-Линдемана. Этот метод он применил к функции п

удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению второго порядка

3 + "Г" * +

Он доказал, что при любом оС^/А , оС ДЗ и

алгебраически независимы, а также доказал алгебраическую независимость совокупности чисел

при различных значениях об и , удовлетворяю-

щих некоторым естественным условиям.

Метод Зигеля можно применять к одному кяассу аналитических Фз!-:;кций, названных им Е-функциями, при условии, что они удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям с коэффициентами из С (%) • Зигель назвал целую фунзщию

ь.-о П-!

Ечфункцией, если:

1) 0К, VI = 0,1,... , где К - некоторое алгебраическое числовое поле;

2) для любого 6 > О

при У1 —^ оо ;

3) существует последовательность > ^^ >

такая, что

> , п.,

и для любого Ь > О

при У1 .

В 1949 году Зигель в монографии [19:2] изложил свой метод в виде общей теореш об алгебраической независимости значений в точках из //\ совокушости Е-функций, удовлетворяющей системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Общая теорема Зигеля сводит доказательство алгебраической независимости значений рассматриваемых Е-функций к проверке выполнения некоторого аналитического условия нормальности различных произведений сг епеней этих функций. Но последняя задача является очень сложной даже в простейших случаях, Зигелю удалось проверить это условие и, следовательно, применить свою теорему лишь к совокупности конкретных функций, из которых каждая удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению, порядка не выше второго.

Дальнейшее развитие метод Зигеля получил в работах А.Б. Шидловского [б:1 - 8]. В 1954 г. гх]он опубликовал теорему, аналогичную общей теореме Зигеля, в которой условие нормальности было заменено на менее стеснительное условие неприводимости произведений степеней рассматриваемых Е-функций.

Совокупность аналитических функций

составляющая решение системы линейных дифференциальных уравнений

I Уп

1=1 и

называется неприводимой системой функций, если О} м

и для любого решения ^ , системы (0.2) равенство

т

& 1 *-°.

где О £ С т » возможно лишь в случае,

I }

когда тожественно по Зг

ТЕОРЕМА. ( А.Б. Швдловский, см. . Пусть сово-

купность Е-функций (0.1) составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений

V

(

(0.3)

; = <2 +Л<?.. у. а ее/*)

¿=7,,,,,

ЧИСЛО \(=//К отлично от нуля и полюсов всех ¿функций О.. ,

л/

а для каждого натурального числа /у совокупность

I* *п N

_ (т+//)!

гп1 /V/ • * *

произведений степеней этих функций

составляет неприводимую систему функций. Тогда уп. чисел

ш

Г'1*' * * * 7т 15У алге(^Ра11Чески независимы•

Эта теорема позволила установить трансцендентность и алгебраическую независимость в точках из //\ значений Енйункций, длящихся решениями линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений не только первого и второго, но, в некоторых случаях, также третьего и четвёртого порядков,

ТЕОРЕМ ( А.Б. Шидловский, см.[в:з] ). Пусть совокупность Е-функций (0.1) составляет решение системы дифференциальных уравнений (0.3), число £ /А* отлично от нуля и полюсов всех функций " О.. . Тогда для того, чтобы Щ чисел »•♦•» алгес5Ракчески независимы,

необходимо и достаточно, чтобы функции (0.1) были алгебраически независимы над С .

Аналитические методы теории трансцендентных чисел: Эрмита - Линдемана, Гельфонда и Зигеля - Шидловского позволяют получать не только качественные результаты о линейной независимости, трансцендентности и алгебраической независимости значений аналитических функций, но также и их количественные характеристики в виде оценок модулей линейных форм и многочленов от значений рассматриваемых функций. Для этого рассматривают понятия меры линейной независимости, меры трансцендентности и меры взаимной трансцендентности ( или алгебраической независимости ) чисел.

Вы си той Ц = Н fp) произвольного многочлена Р £ (С [ 2 J называют максимум модулей его коэффициентов.

Мерой линейной независимости чисел F: ^ (С L-± Уп

j t. ) •*•)" -J "j

называют функцию

/ to-L (ft,...,?,* iH)=mi*jX>.f:/

i. ^

где минимум берется по всем числам Л, п

i > " •; >

удовлетворяющим указанным условиям.

Мерой взаимной трансцендентности чисел £ С

>

L~i Уп называют функцию

j1 з )

Н Н ,

где минимум берется по всем многочленам удовлетворяющим указанным условиям.

Функция ; Л) I-/) называется мерой трансцен-

дентности числа J

Если потребовать, чтобы многочлены Р , участвующие в определении меры взаимной трансцендентности , были однородными степени J- по

переменным ^^»то получим функцию

Ф , • • I ^ / N ) -меру однородной взаимной трансцендентности чисел .

В 1899 году Борель [11:1] , используя метод Эрмита-Лиццемана, доказал, что при ограниченном -4 / ч -сйгбугН

В 1929 году Я.Яошсен [18:1] уточнил

эту оценку и доказал, что при ограниченном 4

В 1932 году К.малер [16:1] уточнил этот результат и показал, что

с

где С > О -абсолютная постоянная.

В 1929 году К.Зигель [19:1] для значений функции Бесселя установил следующую оценку:

где

-степень числа £ , С >0 -постоянная, зависящая только от | и ^ . После работ А.Б.швдловского [8:8,9] стало возможным, используя метод развитый в этих работах, получать общие оценки мер трансцендентности и взаимной трансцендентности значений Е-функций в точках из поля

/А .

Общую теорему такого типа опубликовал С.Ленг [13:1] в 1962 году. Теорема. Пусть Е-функции (0.Г) составляют решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (0.2) и алгебраически независимы над

» ЧИСЛО отлично от нуля и полю-

сов всех функций О. . . Тогда выполняется нера-

Ч

венство

ЩШ^.ШМ*'-1 > ^

где С > О - постоянная, зависящая от функций (0.1) , чисел М, | , 4 -

постоянная, зависящая от 1т и €¿£0, ^ .

А.Б.Швдловский , пользуясь обобщениями основных лемм метода , опубликованными в его статье и работах , для случая, когда Л ,

установил ряд общих теорем об оценках мер взаимной трансцендентности, весьма близких к их естественным границам. Например , при условиях сформулированной выше теоремы при выполняется неравенство

при любом Е>0 »а 6">0 зависит от функций (0.1), системы (0.2) и чисел ^ ,49М9£ . Более того, в этой оценке можно заменить £ на

1^+1) (^Ош)

---7

где постоянная ^ >0 зависит от функций ( 0.1) и числа ^

Заметим, что оценки мер сверху, полученные с помощью принципа Дирихле, показывают, что в последней оценке главный член в показателе является точным.

Пользуясь работой А.Б.Шидловского [8:10^ , А.И.Галочкин в 1968 году заменил в неравен-

стве ( 0.4) постоянную конкретной функцией

от ^ и Угг. и обобщил результат на случай меры более общего ввда.

В 1979 году А.Б.Шидловский в статье ¡8:12^ обобщил понятия мер линейной независимости, трансцендентности и взаимной трансцендентности чисел.

Пусть Ц( - алгебраическое поле. Высотой

(р) относительно поля к многочлена р Е [_ 2 ] называют максимум модулей его коэффициентов и всех их сопряженных в поле /К .

А.Б.Шидловский рассматривает меры, которые определяются аналогично приведенным выше определениям, с той лишь разницей, что коэффициенты соответствующего многочлена Р или линейной формы принадлежат » а высота Н~Н (?) заменена высотой относительно поля 1 » Н^ ^ ^(Р) *

Соответствующие меры обозначаются I __ | £ < и)

А.Б.Швдловским в статьях [8:12] , [в'.и] , [8:16¡] и ¿ 8:18^ установлен ряд общих теорем об оценках

мер '¿К • % • *£ ■

Оценки мер значений различных функций ( 0.1)

получаемые аналитическими методами теории чисел , обычно содержат некоторые постоянные. Эти постоянные зависят от класса функций , которому принадлежат функции ( 0,1 ) , числа \У1 этих функций, значения ^ , при котором они рассматриваются и степени меры 4-

Постоянную, входящую в оценку меры убудем называть эффективной, если она может быть вычислена с помощью конечного числа действий: сложения, вычитания, умножения, деления .возведения в степень, логарифмирования, нахождения наименьшего и наибольшего элемента конечного множества и т.д. 9 производимых над параметрами , определяющими совокупность функции ( 0.1) , числами )П , ^ , &

Если пользоваться только алгебраической независимостью Е-функций (0.1) , удовлетворяющих дифференциальным уравнениям (0.2) , то в общем случае оценки мер взаимной трансцендентности, получаемые методом Зигеля - Шидловского, будут? неэффективными. Однако, если потребовать, чтобы рассматриваемые функции удовлетворяли более сильному условию неприводимости произведений степеней функций ( 0.1) , то эти оценки становятся эффективными. Однако, проверка условия неприводимости является

очень сложной и возможна трлько в некоторых частных случаях.

Ряд общих теорем об эффективных оценках мер значений Е-функций в а лгебраических точках был установлен А.Б.Шидловским в 1979 году в работе . В.Х.Салихов [б:1] в 1978 году получил эффективные оценки мер значений некоторых конкретных функций,

В статье Ю.В.Нестеренко [4:1] в 1977 году была установлена оценка меры вцца (0.4) , но в которой постоянная С эффективно зависит от 4В 1965 году А.Бейкер ]]ю:1] доказал следующее утверждение.

Теорема. Пусть оС^ С) о£ • I ФУ

1-1^~±)11.7Ууг. . Тогда существует число

С > О 9 зависящее от Ы; ( } , ,, такое»

что для любого набора чисел 0.. £ ^

а - тсизс!а< \>о

¡< 1<Ы * выполняется неравенство

I ^ / \-1

У а. е

¿-I

ЙЕ Лу , ,,

>а • Пта^аШО.б)

Н. И. Фельдман [7:1] в 1967 году получил аналогичный результат с более точным остаточным членом для значений функций

^ л. (0.6)

Содержание настоящей работы продолжает и развивает указанные выше исследования об оценках линейных форм и многочленов от значений Е-функций.

§2. Формулировка основных результатов

Изменим определение Е-функции следующим образом, заменив в приведенном выше определении оценки Ofïê*^ на О . Каждая Е-функция всмыеле вто�