Арифметические свойства рядов некоторых классов в полях с неархимедовыми нормированиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

'10 vu t 8 Д£Н МП1

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В. А.СТЕКЛОВ А

На правах рукописи

УДК511.36

ЧИРСКИЙ ВЛАДИМИР ГРИГОРЬЕВИЧ

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЯДОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ В ПОЛЯХ С НЕАРХИМЕДОВЫМИ НОРМИРОВАНИЯМИ

01.01.06.—математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

МОСКВА-2000

Работа выполнена на механико-математическом факультете Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., профессор Шидловский А.Б. д.ф.-м.н., профессор Салихов В.Х. д.ф.-м.н., профессор Берник В.И.

Ведущая организация - Московский педагогический государственный университет.

Защита диссертации состоится МЛ_Зина заседании /У диссертационного совета Д 002.38.02, в конференц-зале Математического института им В.А.Стеклова Российской Академии Наук, Москва, 117966, ГСП, ул. Губкина, д.8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук, Москва, 117966, ГСП, ул. Губкина, д.8.

Автореферат разослан ¿>¿0 ^^- с/иЛ. с

е?

Учёный секретарь диссертационного совета

д.ф.-м.н. ^/МбЩл- /И.Г.Лысенок/

мч^оз.

ЫЧЧ}02>

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Основная часть работы посвящена распространению одного из важных современных методов теории трансцендентных чисел - метода Зигеля-Шидловского на новый класс рядов. Вкратце изложим историю развития этого метода и сформулируем основные результаты, полученные с его помощью.

В 1873 году Ш.Эрмит создал аналитический метод, используя который ему удалось доказать трансцендентность одной из классических постоянных- числа е.

Напомним, что число а называется алгебраическим, если оно является корнем отличного от нуля многочлена Р(х) = алх" +.. ,+а,* + а0 с рациональными коэффициентами. Комплексное ( в частности, действительное) число а называется трансцендентным, если оно не является алгебраическим.

Развивая метод Эрмита, Ф. Линдеман в 1882 году доказал трансцендентность числа х , тем самым получив отрицательное решение проблемы квадратуры круга. Линдеман сформулировал, а К.Вейерштрасс доказал теорему, которая полностью решала вопрос о трансцендентности и алгебраической независимости значений показательной функции в алгебраических точках.

Комплексные числа а,,..., а т называются алгебраически зависимыми, если существует отличный от тождественного нуля многочлен Р(х,,...,хт)с рациональными коэффициентами, для которогоР(а„...,а „) =0. В противном случае эти числа называются алгебраически независимыми ( в частности, каждое из этих чисел является трансцендентным ).

Теорему Линдемана -Вейерпгтрасса можно сформулировать так Если а „...,а „ — алгебраические числа, линейно независимые над полем рациональных чисел, то числа — алгебраически независимы.

Развивая и обобщая классический метод Эрмита - Ливдемана, К. Зигель1 в 1929 году опубликовал новый метод доказательства трансцендентности и алгебраической независимости значений в алгебраических точках аналитических функций некоторого класса, содержащего, в частности, ег. Основной результат, полученный К.3игелем, относится к функции

1 Siegel C.L.Ober einige Anwendungen Diophantischer Approximationen // Abh.Preuss.Acad.Wi5s., Phys.-Math.Kl.-1929-1930.-N l.P-1 -70.

удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению второго порядка

2\+1

Функция отличается от известной функции Бесселя Jx(z) только 1 (z\zl

множителем——- || , гдеГ(г)- функция Эйлера ,а Ka{z)=Ja(z). Г(\ +■1) v2j

К. 3 иге ль доказал следующую теорему: Если X — рациональное число, отличное от половины нечётного числа, 4* 0,4 — алгебраическое число, то числа алгебраически независимы.

Предложенный Зигелем метод можно применять к одному классу целых функций, названному им Е-функциями. Аналитическая функция

" г" л-0 П!

называется ^-функцией, если

1) сп еК, п - ОД,..., где К —некоторое алгебраическое числовое поле конечной степени над полем Q рациональных чисел

2) Для любого е> О

где для алгебраического числа а символ |а | обозначает наибольшую из абсолютных величин самого числа а и всех алгебраически сопряжённых с ним чисел.

3) Существует последовательность {<?„} натуральных чисел такая, что qñck eZjc- кольцу целых чисел поля К, к = 0,\...,п, п = 0,1,2,... и

Простейпше примеры Е-функций — многочлен с алгебраическими коэффициентами, e\sin г, cos г .E-функции образуют кольцо функций, замкнутое относительно операций дифференцирования, интегрирования в пределах от 0 до г и замены аргумента г на Дг, где X — алгебраическое число. Е-функции с коэффициентами из поля К называют КЕ-фунщиями.

В 1949 году ЬСЗигель изложил свой метод в виде общей теоремы, сводящей доказательство утверждения об алгебраической независимости значений E-функций в алгебраических точках к проверке некоторого достаточного аналитического условия, названного им условием нормальности, для совокупностей произведений степеней рассматриваемых функций.

В 1954 году А.Б.Шидловским2 была опубликована теорема, аналогичная теореме Зигеля, в которой условие нормальности было заменено менее ограничительным условием неприводимости.

В 1955 году А.Б.Шидловский опубликовал критерий алгебраической независимости значений в алгебраических точках Е-функций, удовлетворяющих системе линейных дифференци -альных уравнений.

В формулировке критерия содержатся понятия, которые часто используются в дальнейшем. Пусть У-поле, а \У - коммутативное кольцо или поле, содержащее поле V.

Элементы а.........называются алгебраически зависимыми над

полем V, если существует отличный от тождественного нуля многочлен Р(х1,...,хт)с коэффициентами из поля Vтакой, что Р{а,,...,а „) =0. В противном случае аа т называются алгебраически независимыми над полем V.

В случае, когда поле V представляет собой поле алгебраических чисел, а поле УУ - поле комплексных чисел С, говорят просто об алгебраической зависимости ( соответственно, алгебраической независимости ) чисел а „..., а.еС

Пусть аналитические функции /¡(г)...../„(г)составляют решение

системы линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка

(1)

ы

а г = Т(г) еС[г]—многочлен, являющийся общим наименьшим знаменателем всех рациональных функций

Сформулируем первую основную теорему А.Б.Шидловского ([Трансцендентные числа,с.91]): Пусть совокупность Ъ-фунщий /,(г),...,/„, О) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (1) и однородно алгебраически независима над С(г), алгебраическое число, )

Тогда числа/¡(£),...,/„(*!;) однородно алгебраически независимы.

В случае, когда рассматриваемые Е-функции составляют решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений

г Поскольку в книге А.Б.Шидловский. Трансцендентные числа. М.:Науха, 1987 содержится систематическое изложение теории Е-функшй, а также очень подробная библиография, в дальнейшем при ссылках на результаты, содержащиеся в ней, вместо данных оригинальных статей мы приводим номера соответствующих страниц этой книги.

имеет место аналогичный результат, носящий название второй основной теоремы([Трансцевдентные числа, с. 127]).

В 1970 г. А-И.Галочкин3 опубликовал теорему об алгебраической независимости значений E-функций в трансцендентных точках, допускающих достаточно хорошие приближения алгебраическими числами.

Развивая метод, А.Б.Шидловский обобщил его в направлении, позволяющем получать арифметические результаты относительно совокупностей E-функций, алгебраически зависимых над полем рациональных функций.

Пусть, как и выше, V-поле, a W - коммутативное кольцо или поле, содержащее поле V. Если Uc: W и наибольшее количество алгебраически независимых над V (однородно алгебраически независимых над V ) элементов U равно /, то число /называется степенью трансцендентности множества U над V (однородной степенью трансцендентности множества U над V) и обозначается tr deg VU( tr deg °v U).

Сформулируем третью основную теоpeму([Трансцендентные числа,с.143]): Пусть совокупность E-функций /,(z),...,/m(z), т 2, (те 21) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (l)f системы линейных дифференциальных уравнений {2)) и степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) функций/,(г),...,/„(г)над С(г) равна I, Oülzm, ¿¡ — алгебраическое число, £Г(£ многочлен T{z) представляет собой общий наименьший знаменатель коэффициентов системы (1Х( 2))).

Тогда степень однородной трансцендентности(стгпень трансцендентности) чисел /¡(£)>—,/„(£) также равна I.

В теории трансцендентных чисел кроме качественных понятий иррациональности, трансцендентности и алгебраической независимости существуют важные количественные понятия меры линейной и алгебраической независимости.

Пусть а,,..., о„,иг 2 — действительные или комплексные числа. Мерой линейной независимости чисела,,...,в„иг 2 .называется функция

L = Да,,...,а„;Я) = тп^в.+.-а^!, где Я—натуральное число, at -целые числа, удовлетворяющие неравенствамЯ,к =1|а,|+...+'|<зп|>0и минимум бер&гся по всем числам ак, удовлетворяющим указанным неравенствам.

3 Галочкин А-И. Об алгебраической независимости значений E-функций в некоторых трансцендентных точках//УМН.-1970.-Т.25_№4.-С.168.

Очевидно, что качественный результат — линейная независимость — означает, что для любого натурального числа Ясправедливо неравенством >0.

Мера алгебраической независимости чисела,,...,а„тг:1 определяется аналогично. Первая и вторая основные теоремы допускают количественные уточнения об оценках мер линейной и алгебраической независимости.

Приведём несколько упрощённую теорему о мере линейной независимости, формулировка которой существенна для дальнейшего. Пусть К;, j = i,...,h —алгебраические поля, сопряжённые с полем К, причём Ki=K Этим сопряжённым полям соответствуют возможные продолжения абсолютной величины| | с поля Q на поле К. Для {еК пусть сопряжённые с £ . Для совокупности КЕ-функций /¡(г),...,/„(г) пусть /,,(z),f„,{z) обозначают функции, которые получаются из исходных заменой всех коэффициентов их степенных рядов по степеням г на сопряжённые им числа из поля К;. Аналогично, для отличной от тождественного нуля линейной формы /(г,,...,г„) с коэффициентами -целыми числами из поля К, обозначим /,(z„...,z„) линейные формы, получающиеся из формы I = после замены всех её коэффициентов на сопряжённые числа из поля Kj, Пусть е — любое число из интервала

0<гг <Д-2

Теорема, приведённая в книге [Трансцендентные числа, с.354] гласит: Пусть совокупность КЕ-функций /(г),..., /„(г) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнении (1) и линейно независима над С( г ), <j— алгебраическое число, ) *0.

Тогда существуют поле Ki и существует постоянная Ь, зависящая от функций //г),...,/„(г), чисел m и Ç и поля К; такие, что

),•■•,А,аф^я1-"-'- (3)

Заметим, что для упрощения получения оценок мер целесообразно немного изменить определение Е-функции, заменив при некотором с > 1 условие\сП| = С(пт),я—юона условие \с„\ = 0(с"),«—»<» и условие^, =0(л'-"), л-*<=о на условие = 0(с" .соответственно. Такие Е-функции

часто называют "Е-функциями в узком смысле.

Кроме того, для IE-функций (символом I обозначают либо поле Q, либо некоторое мнимое квадратичное поле над Q ) показатель 1 -т-е можно улучшить, заменив число е>0 убывающей и стремящейся к нулю функцией от Я.

В работах А.Б. Шидловского, его учеников и ряда других авторов (достаточно полный обзор приведён в вышеупомянутой книге) построена

стройная теория арифметических свойств значений в алгебраических точках Е-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям.

В 1929 г. К.3игель указал, что его метод можно применять при исследовании некоторых арифметических свойств значений ещё одного класса аналитических функций. Степенные ряды, определяющие эти функции, имеют конечный радиус сходимости. Он назвал эти функции в-функциями. Функция

т О

называется (¿-функцией, если коэффициенты ^удовлетворяют тем же условиям, что приведены в определении Е-функции в узком смысле, в-функции образуют кольцо функций, замкнутое относительно операций дифференцирования, интегрирования в пределах от 0 до г и замены аргумента г на X г, где А — алгебраическое число.

В 1974 году А.И.Галочкин4 опубликовал теоремы, доказанные им для в-функций, обладающих так называемым условием сокращения факториалов.

В 1984 г.Г.В.Чудновский5 доказал, что это условие выполнено для всех О-функций: Пусть О-фунтщи ^ (г), ...,/„( г)составляют решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (1) и линейно независимы над С(г) вместе с 1.

Тогда для любого е > 0 и любого отличного от нуля

числа г = ~,а Ъ eN такого, что Ь

числа I,/,(/•),...,/„(г) линейно независимы над О. Более того, длялюбых е Ъ удовлетворяющих условию Я =1МХ(|Й4...,|Й„|)>С4,

имеет место неравенство

|А0+^/1(г)+...+й,/„(г)| > Н----,

где С, = ...,/„,£ ) > О, С4 =С4(/,,...,/п,г,г )> 0— эффективно вычисляемые постоянные.

Можно рассматривать не только действительные или комплексные значения О-функций. Имеются исследования о свойствах р-адических

* Галочкин А.И. Оценки снизу от значений аналитических функций одного класса//Мат.сб.-1974,-Т.9Х137)^8 3(П).-С.39б-417.

5 СЬи<Злстеку & V. Оп арр1)сайот о( МорЬапйпе арргоятоааоп5/Л>гос>!а11. Асай.ва ША. -1985.-V.81 .-Р.7261-7265.

значений в-функций. Отметим одну из работ Е.М.Матвеева6, в которых рассмотрение линейных форм от значений О-функций в различных р-адических полях7 позволило получить результаты о диофантовых уравнениях с норменной формой.

Пусть К - алгебраическое поле конечной степени а над О, а V-множество всех нормирований на поле К. Для любого veV соответствующие пополнения полей К и () обозначаем Ку и <3У. Множество архимедовых нормирований поля К обозначаем V,, а множество неархимедовых нормирований ~У„.

Теория трансцендентных чисел в р-адической области получила меньшее развитие, чем теория трансцендентных чисел в комплексной области. Отметим её фактическое начало - работу Малера8 и содержащую некоторый обзор теории статью Адамса9.

В 1981 г.Э.Бомбиери10 ввёл понятие глобального соотношения. Дадим это определение . ПустьР(у„--,у„) - многочлен с коэффициентами из К, степенные ряды/(г),..., /„(г) имеют коэффициенты из К, 4 еК-Соо тношение

0 (4)

называется глобальным для рядов /,(г),...,/„(л) и точки г =£ , если оно выполняется во всех полях К„, где сходятся все ряды /;(£ ),...,/„(<?) •

Сформулируем несколько упрощённый вариант основной теоремы вышеупомянутой работы Э.Бомбиери: Пусть О-функции/,(г),...,/„(г) составляют решение системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с коэффициентами - рациональными функциями от г и линейно независимы над С( г).

Тогда существует постоянная С такая, что все алгебраические точки 4 .для которых выполняется некоторое линейное глобальное соотношение, удовлетворяют неравенству 2>(тах(1, ¡4 ))£<;,

где суммирование производится по всем нормированиям алгебраического поля конечной степени, полученного присоединением к полю рациональных чисел всех коэффициентов рассматриваемых О- функций и числа

s Матвеев Е М. Линейные формы от значений G-фунхций и диофанговы уравненкя//Мат.с<5.-1982.-Т.117(159),№Э.-С.379-396.

7 Теория р-адичесхих чисел достаточно подробно изложена, например, в книге: В.С.Владимиров, И.В.Волович, Е.И.Зеленов. р-адический аналга «математическая физнка.М.:Науха,1994.

8 Mahler K.Uber trans zendente p-adische ZahtavVCompos/ Math.-1935.-V.2,-P.259-275.

' Adams W. Transcendental numbers in the p-adic domain//Amer.J.Math.-1966.-V.88.-P.279-307.

10 Bombisri E.On G-functions/7Recent Progress in Anal.Number Theory. V.2.: LondL: AcadPress, 1981.-P. 1-68.

Глобальным соотношениям для в-функций посвящены работы И-Андре11.

Сформулированные общие теоремы можно применить к исследованию значений так называемых гипергеометрических Е-функций. Этот класс функций содержит в себе многие важные для различных разделов математики и её приложений функции.

Пусть а еС. Положим (а)0 = 1, (о)„ = а(а +1)... (а + и -1), п £ 1. Если еС,Ь1 #0,-1,-2,...,1 = 1,...,/,/ =1,...,т то рассмотрим функцию

где * = т -1 > 0 .Функции такого вида называются обобщёнными гипергеометрическими функциями. Функция (5)является решением дифференциального уравнения

|П(<? + /(4, -1))-г'П(,5 + ^)]/(г) = /"(Ь,-1)...(г>я -1), (6)

V в! »1 }

из которого следует дифференциальное уравнение вида + Я.-У-'^-^У + 2„У = -1 )...(6Л -1)2-,

где многочлены от = 0,1,...,т-\.Если все числа л,,6, - рациональные, 2 1

то рассматриваемые функции принадлежат классу Е-функций и называются

гипергеометрическими Е-функциями.

В работах ,в основном, А.Б.Швдловского и его учеников

сформулированные общие теоремы были применены к ряду конкретных

совокупностей гипергеометрических Е-функций. Для этого потребовалось

доказать алгебраическую независимость рассматриваемых совокупностей

функций над полем рациональных функций. В.Х.Салихов12 разработал

метод доказательства алгебраической независимости гипергеометрических

функций общего вида, решив тем самым трудную и долго не

поддававшуюся решению проблему.

Для некоторых конкретных гипергеометрических Е-функций в ряде

работ А И. Галочкина, А.Н. Коробова, и для произвольных

гипергеометрических Е-функций в работах П.Л.Иванкова13 получены

неулучшаемые оценки мер линейной независимости значений этих

функций(т.е. эти оценки снизу лишь постоянной отличаются от

соответствующих оценок сверху). Основой этих результатов было

построение точных приближающих функциональных форм.

11 Налример,Ап<кг У. О-Ишсйогв зпЛ (Зеоте^.АгресЬ о5 МаШ-1989 .-У.Е 13.У^ей.

12 Например, Салихов В.Х. Неприводимость птергеометрическнх уравнений и алгебраическая независимость значений Е-фумсций//АсЛа Апи1гп/-1990/-У/53.-Р.453-471.

13 Иваихов П.Л. О линейной независимости значений некоторых функций/УФундам. И прикл.матем.-1995 -Т.1,№2.-С.191-206.

В определённых случаях использованные конструкции позволяют получить количественные результаты и для гипергеометрических функций с иррациональными параметрами.

В 1846 году Гейне14 рассмотрел рад . (1-у* XI-V) (1 -XI-<Г'XI-?*)(!-■?*") г т

где е ^0,-1,-2,... . Поскольку

?->| 1 -q

рассматриваемый ряд, по крайней мере почленно, стремится при <?—>1к гипергеометрическому ряду Гаусса уЩЧ, * (с)„«1 '

Поэтому для ряда (7) используется название базисного гипергеометрического ряда относительно базы ?. Для произвольных а, q ПОЛОЖИМ

Г 1 при л = О,

(сГ> ^ = |(1 _оХ1 - <*?)-( 1 -) л/ж л = 1,2,.... Эта величина носит название сдвинутый q-факториал (при а = q просто ? - факториал).

Обобщенный ч - базисный гипергеометрический ряд имеет вид

L 1

. £ ;?),-.(af; q),

(W^l . (8)

Есть много общего в свойствах обобщенных гипергеометрических рядов, т.е. рядов вида

У _„

где (а)0 = 1,(<а)п =а(а+1)...(а + п-1),п ¿1, и вышеупомянутых базисных обобщенных гипергеометрических рядов (8).

Арифметические свойства значений обобщённых базисных гипергеометрических рядов исследованы значительно меньше, чем значения обычных обобщённых гипергеомегрических функций, о которых коротко рассказано выше.

В 1943 году А.В.Потоцкий15 рассмотрел бесконечное произведение

14 Heine E. Übet die Röhe. J/J.reine angew.Math.-1846 .-32.-210-212.

" JloToiDcnii A.B. Sur l'imtionalite d'un produite infini//Mai.c6.-1943.-T.12(54).-C.262-272.

ад

-SM

и доказал, что : Если ц натуральное число и а — элемент мнимого квадратичного поля, отличный от 0 и чиселвида л =1,2,..., то ЕДа)--иррациональное число.

Функцию £'7(г)называют д-показательной ввиду разложения

ад =1+2

1

справедливого при У > 1. Её значения, а также значения ? -логарифмов

».1 Ч

исследовались в работах А.Ю.Попова,П.Борвейна, П.Бундшу, К.Ваананена, Р.Валлисера,Т.Матала-Ахо,Ч.Осгуда, Т.Штиля причём рассматривался и неархимедов случай. В работе Т.Матала-Ахо1в изучался базисный гипергеометрический ряд более общего вида

¿тйЬ" • <9)

.1-0 (<->?)„

Основным инструментом исследований служили аппроксимации Эрмита-Паде.

Рассмотренная выше д - показательная функция удовлетворяет функциональному уравнению

/(«г) =(1+ *)/<*), Это - частный случай уравнения Пуанкаре

/(?*) = Р(г)/(г) + е(г), где Р{г),б(г)— многочлены. Решением другого уравнения такого типа

Г(?г) = 1 + 9гГ(г) является известная функция Чакалова17

2"С?Г) = 2?" г г".

Пт О

Арифметические свойства функций, удовлетворяющих некоторым уравнениям Пуанкаре и системам таких уравнений, исследовались во многих работах. В ряде случаев для этого применялся метод Шнайдера в теории трансцендентных чисел и его модификация в р- адической области.

" Matala-Aho T.Remaiks on the arithmetic properties of certain hypergeometric series of Gauss and Heine//Acta Univ.Oulu.-1991.-Set .A Sci.Rer.Natui.219.

17 Tschakaloff L.Aiithmetische Eigenschaften. ..//Math. Ann.-l 921 ,-V.80,P.62-74.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Построение теории, описывающей арифметические свойства значений некоторого нового класса степенных рядов, используя р-адическую модификацию классического метода Зигеля-Шидловского в теории трансцендентных чисел. В том числе: получение естественного решения задачи об отсутствии глобальных соотношений в алгебраических точках для этого класса рядов - доказательство отсутствия линейных, алгебраических глобальных соотношений при естественных условиях, доказательство отсутствия нетривиальных глобальных соотношений, соответствующих количественных результатов. Расширение понятия глобального соотношения на случай точек, представляемых во всех локальных полях с неархимедовым нормированием одним и тем же сходящимся рядом. Применение доказанных общих теорем к обобщённым гипергеометрическим рядам в случае рациональных параметров. Использование аппроксимаций Эрмита-Паде для доказательства отсутствия линейных глобальных соотношений для рядов с иррациональными параметрами. Построение аппроксимаций Эрмита-Паде для д-базисных гипергеометрических рядов и доказательство с их помощью линейной независимости значений рядов с двумя различными параметрами в числителе. Исследование арифметических свойств значений функций, удовлетворяющих некоторым функциональным уравнениям, принимаемых ими в совокупности полей с неархимедовыми нормированиями. Доказательства общих теорем об алгебраической независимости элементов поля ор - пополнения алгебраического замыкания поля р - адических чисел Ор - над полем Ор и примеры применения этих теорем к конкретным совокупностям чисел.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты работы являются новыми.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Развита р-адическая модификация классического метода Зигеля-Шидловского в теории трансцендентных чисел, использованы аппроксимации Эрмита-Паде, вариант метода Шнайдера, предложен новый метод доказательства алгебраической независимости элементов поля Ор- пополнения алгебраического замыкания поля р - адических чисел (2Р - над полем <2Р .

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты работы носят теоретический характер. Они могут найти применение в неархимедовом анализе, в теории трансцендентных чисел, при исследовании базисных гипергеометрических рядов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы неоднократно докладывались в МГУ на заседании научно-исследовательского семинара по теории чисел, на заседании семинара по спектральной теории дифференциальных операторов под руководством академика

В.А.Садовничего в 1999 г, дваэвды(в1999,2000гг) в Математическом институте Кёльнского университета(Германия),на Всесоюзной конференции "Теория чисел и её приложения" в 1985г. в г. Тбилиси, на Всесоюзной школе" Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел" в 1989 г. в г. Минске, на Международной конференции по теории чисел, посвящённой 100-летию со дня рождения академика И.М.Виноградова в 1994г.в г. Москве, на конференции по теории чисел, посвящённой 60-летию со дня рождения профессора А.А.Карацубы в 1997г.в г. Москве, на Международной конференции "Трансцендентные числа" в 2000 г. в г. Москве.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 18 работ [1]-[18], содержащих все результаты диссертации. Работ, выполненных в соавторстве и включённых в этот список, нет.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава диссертации посвящена доказательству общих теорем о глобальных соотношениях для F-рядов.

Степенной ряд называется F -рядом, если он входит в некоторый класс F(K,c,,c21c3,3 ), где К—алгебраическое числовое поле над полем Q рациональных чисел, о- =[K:Q]. Пусть

/(г) = ¿^¡2".

п-0

Пусть

1К еК,л = 0,1Д-;

2) |о~| = п—>«>(где для алгебраического числа а символ |а| обозначает наибольшую из абсолютных величин алгебраически сопряжённых с а чисел);

3) существует последовательность натуральных чисел

где q eN, такая, что

dnaksZк, л = 0,1,2,..., ¿ = 0,1,...,я. При этом dan делятся только на простые числа р, не большие сгп, и

При выполнении перечисленных условий будем говорить, что /(z)exodum в класс F(K,c„Cj,c„? ).

Б-ряды естественным образом дополняют классы Е- и в- функций

9 О

Зигеля, представляющих собой степенные ряды вида 2-72" и

».о я'

.соответственно. Более того, сразу ясно, что если ряд£а,,л!г" является

л*0 пшО

со т С1

Р-рядом, то 2а„2п - О- функция, а Е-функция Зигеля.

».о «»о

Напомним приведённое выше понятие глобального соотношения. Если Р(у^--,у„)~ многочлен с коэффициентами из поля К, степенные ряды

/,(г),...,/„(г)е К[[г]], 4 е К, то соотношение

)) = °

называется глобальным для рядов /¡(г),...,/„(г) в точке г = если оно выполняется во всех полях Кч ,где сходятся все ряды /¡(4),—,/Л4 ) ■

Отсутствие глобальных соотношений означает, что для любого многочлена Р(у„...,у„) с коэффициентами из поля К существует простое число р и существует нормированиеу поля К, продолжающее р-адическое такие, что в поле Ку выполняется неравенство Р(/,(£).■■-,/„(£ ))*0. Говоря об отсутствии глобальных соотношений, имеет смысл определить границу сверху для вышеупомянутого числа р, и дать оценку снизу для величины | />(_/:(£),...,/„(£ )) |у в виде выражений, зависящих от 4, от степени и высоты многочлена Р(у„—,ут), от числа т и от параметров класса, которому принадлежат рассматриваемые ряды. В формулируемых теоремах положительные постоянные с,, / = 4,5,... зависят от 4-> числа т и от параметров класса, которому принадлежат Р-ряды, но не зависят от степени и высоты рассматриваемого многочлена Р{у„...,ущ),

ТЕОРЕМА 1. Пусть V-ряды 1=/(г),...,/„(г)принадлежат классу Р(К, с,, сг, с„ ?), линейно независимы над С( г) и удовлетворяют системе линейных однородных дифференциальных уравнений (1), а Г(г)е2«[г] и Г(г)е,, е2к(г ),»',_/ = 1,...,т. Далее, пусть

. ДУ,.....+ (10)

произвольная линейная форма, коэффициенты которой являются целыми числами из поля К, в совокупности отличными от нуля, и

Ь .г , •

Тогда существуют простое число р удовлетворяющее условиям

1п Я

р йт

1п1пЯ!

и нормирование V поля К, продолжающее р -одическое нормирование такие, что в поле К*

14, =!*</.« Х-.Л« ))|, > И """якн . (13)

СЛЕДСТВИЕ 1 .При условиях теоремы 1не существует линейного глобального соотношения, связывающего ряды /¡(4) = 1, ...,/„(£ ). В следующей теореме и её следствии речь идёт уже не о линейных, а об алгебраических соотношениях.

ТЕОРЕМА2. Пусть Р-ряды /](2)...../„(гпринадлежат классу

Р(К,с„с2,с3,?), алгебраически независимы над С(г)ы удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений (2), а Г(г)«= и Т(гУЗи г ),I = 1,...,т,; = 0,1,...,т. Пусть Р(У.....

произвольный многочлен степени К, коэффициенты которого являются целыми числами из поля К, в совокупности отличными от нуля, и наибольшая из абсолютных величин этих коэффициентов, а также

сопряжённых с ними чисел, равна Н, Н ¿На .Пусть, далее £ = ~, а еТ^, Ь еГЧ.

Тогда существуют простое число р удовлетворяющее условиям {\пр-\

>2(с3 +1)/:, (Л69) = 1, (14)

и существует нормирование V поляК, продолжающее р-одическое такие, что в поле К*

И, »1, > И - ^^.

СЛЕДСТВИЕ 2. При условиях теоремы 2 не существует алгебраического глобального соотношения, связывающего ряды ).-, /„<£).

Теорема 2 и её следствия представляют собой утверждения для Р-рядов, аналогичные второй основной теореме АБ.Шидловского и теореме, сформулированной на стр.5 (неравенство(3)).

Теоремам 1 и 2 можно дать несколько другую интерпретацию. Пусть /(г) еК[[ г ]], 4 еК. Рассмотрим все те поля К„ где сходится ряд /(# ) ,и образуем их прямое произведение. При этом получится коммутативное кольцо ( с делителями нуля).

Ряду /(г) еК[[ г ]] и точке 4 еК можно поставить в соответствие элемент /(4 ) рассматриваемого прямого произведения, координаты которого в полях К как раз равны/(4 )■

Пусть дана совокупность рядов /,(г)...../„О) , /Дг) еК[[г ]], ;=1 ,...,т

и точкам еК. Рассмотрим соответствующее этой совокупности прямое произведение полей 1С и элементы /,(4 ),...,/„(£) этого прямого произведения. Наличие глобального линейного или алгебраического соотношения (4) равносильно, соответственно, линейной или алгебраической зависимости элементов /,(£ ),...,/„(£ )над полем К, а отсутствие глобальных линейных или алгебраических соотношений - их линейной или алгебраической независимости над полем К. При этом неравенства (11),(12) и (14),(15) теорем 1 и 2 .соответственно, позволяют для каждой линейной формы Цу,,...,ут)или многочлена Р(у„...,у„) рассматривать конечные прямые произведения полей, соответствующие простым числам р, удовлетворяющим указанным неравенствам, вместо бесконечных прямых произведений. Особенно отметим сходство неравенств (13)и (3).

Перейдём к вопросу о нетривиальных глобальных соотношениях. Глобальное соотношение

называется тривиальным, если оно получается в результате подстановки 2 = 4 в некоторое полиномиальное соотношение

?(г,/1(г),...,/я(2))30, где?(г,у1У—,у„)~ отличный от тождественного нуля многочлен с коэффициентами, являющимися целыми числами из поля К. В противном случае оно называется нетривиальным.

ТЕОРЕМА3. Пусть Р-ряды 1 = /„(¿"¡принадлежатклассу

Р(К, с,, сг, с„ ?) и удовлетворяют системе линейных однородных дифференциальных уравнений (1),

а Г(г)егкЫ и егк(гХ Х-,"- <? = |,ае2к, Ь е!Ч, £Г(£)*0.

Тогда не существует нетривиального глобального алгебраического соотношения, связывающего ряды /х(4) = ).

Сформулированное выше понятие глобального соотношения допускает следующее обобщение. Пусть

(16)

о

где еК, причём пусть этот ряд сходится в полях К*, V . Заменим в определении глобального соотношения (4) точку £ еК рядом (16) и будем использовать понятие глобального соотношения в более широком новом смысле.

ТЕОРЕМА 4. Пусть Р-ряды 1 ■ /\(г),...,^{г)составляютрешение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (1) и линейно независимы над С(г), Р(К, с„ с2, с„ — класс, содержащий все рассматриваемые ¥-ряды, а £ — ряд (16),где вк — целые числа из паля К, сходягцийся для любого простого числа р и любого нормирования V, продолжающего р -одическое нормирование в поле Ку.

Пусть £ >0 и существует бесконечное множество А целых чисел а из поля К таких, что для всех простых чисел р , удовлетворяюгцих условию р £ техр(1п'*'|л|),

и любого нормирования V, продолжающего р -одическое нормирование при некотором довыполняется неравенство ^ - о|, <ехр( -(т-1 + 5)ехр(1п'4

Тогда для любой линейной формы (10), где А,, > = 1 ,...,т — целые числа из поля К, не все равные нулю, существуют простое число р и нормирование V, продолжающее р -одическое нормирование такие, что

...../„ю)!.>о.

Теорема 5 аналогична теореме 2, но относится к случаю, когда вместо алгебраической точки | рассматривается ряд (16).

Во второй главе доказаны теоремы о свойствах значений гипергеометрических рядов. Теорема 6 представляет собой результат непосредственного применения теоремы 2 к рядам вида

/(г)=5(Я,)я...(А Д,(Я) '

где (а)„=1, (а)„=а (а + 1)...(й + л-1), пИ и множество параметров 5 ={»7 .....

состоит из рациональных чисел, которые в этой теореме не являются целыми числами, а г = г - х. Алгебраическая независимость рассматриваемого ряда и его последовательных производных до порядка г -1 включительно следует из вышеупомянутой работы В.Х.Салихова(сноска 12 на стр. 8). Теорема 7 относится к случаю, когда вместо алгебраической точки Е, рассматривается ряд (16).

Обозначим

.....

Л!

где, как и выше, =1, )„ = ^ + +л-1),лг1. Положим

= ^.....«.^/^^(а, +1,а2,...,ая),...,

/„-,(*) =/7(0, +\сс2 а^+иа»), (17)

где числа аи...,а„ еК и отличны от нуля и отрицательных целых чисел.

Пусть

с, =тах„п, а

>0.1, ,«-t 1*

Если а„ eQ , то ряды, полученные из /0(z),...,/„4(z) при замене г = t"~l, являются F-рядами. Однако, если среди чисел а,,...,ат есть алгебраические иррациональные, то при замене г = мы уже не получим F-рядов18. Поэтому для доказательств теорем 8 и 9 будет использован другой метод - построение аппроксимаций Эрмита- Паде первого рода.

ТЕОРЕМА 8. Пустых,,...,а„ — целые числа из поля К, причём среди них имеется не менее двух натуральных чисел, а остальные отличны от нуля и отрицательных целых чисел.

Тогда для рядов, определённых равенствами (17) и любого целого числа £ из поля К и для любой ненулевой линейной формы (10), коэффициенты A,,..., hm которой являются целыми числами из поля К, удовлетворяю и(ими условию ша.х,.,_ „ Щ&Н ,

существуют простое число р, ~

где а — [K:Q], и нормирование v , продолжающее р-адическое нормирование такие, что в поле Kv имеет место неравенство

18 Галочкин А.И. О критерии принадлежности птергеомегрических функций Зигеля классу Е-функцин//Мат.замегки.-1981.-Т.29,№ 1.-С.З-14.

{*/„« )+..лИт jy >н""ШаН.

Из этой теоремы сразу следует, что не существует линейного глобального соотношения, связывающего ряды /0(£)>—,/„_,(£)

Теорема 9 относится к случаю, когда вместо алгебраической точки 4 рассматривается ряд (16).

В третьей главе построены явные конструкции функциональных приближений первого рода для некоторой совокупности q -базисных обобщенных гипергеометрических рядов. Эти конструкции подобны полученным в 1994 г.Ю.В.Нестеренко19 для обобщенных гипергеометрических функций.

Пусть еС, причем для любого j,lzjip-1,

число pt не равно 1 или отрицательной целой степени числа q. Положим (а,; ?)„... (a, ;gX,

Й (Л; я\(<г> ч\

/¡(г) = рф ,,...,qcz l,aM ,...,ap,qpv...,qP„Р^....p^.q-.z), ¿=1,...,Р~1 •

Далее, пусть при всех п <=N

Для каждого N е ^определим числа r,s,t,l условиями N = ps + r = (p-l)t + l, lsrsp, lilip-1 .

Тогда

a„ =q'ar,p„ =q'P, . При целых N'ipопределим

f»(z)=рф p„iax^...,astp\ p»^,?,г) .

Ввиду предыдущих формул это равенство выполняется при всех Nz 0. Удобно будет рассматривать также функцию

ч ^ . _ , . а а \

U(i-A)

ТЕОРЕМА 10.Пустьа„...,ар,р,.еС, причем все эти числа, а

а I .

такжечисла -—, < = 1у = 1,...,.р-1, не равны!, илицелои п

отрицательной степени числа q. Тогда

" Нестеренхо Ю,В. Приближения Эрмига-Паде обобщённых гкпергеометрнческих фунхций//Мат.сб.-1994.-Т.185> 3.-С.39-72.

1) Для любого целого числа N гО существуют многочлены Р„,д{2).....Рк,р.х{2), такие, что

2)Для любого целого числа N г 1

&<ЪРыХ2)й

N-1 'Ы + р-1-/'

Р

1-5,1 -¿Г.

3)При г <,р-\выполняетсяравенство с!едД, гО) = /при г = р выполняется равенство <1е& Ру „(г) = I - 5 -1.

4)При ! > I выполняется равенство Р„ ,(0) =0, кроме того, Р„ ,(0) * 0.

5)При N г 1 имеет место равенство

1 ' Ы (1 - А)

р-\ 1-аг2 р- г

А, = Ь-А] Ь-а] V.

1 - от,

•Я-1

Построение аппроксимаций Эрмита-Паде позволило получить теорему о значениях базисных рядов более общего, чем (9), вида. Рассмотрим ряд

г"

Положим

«-0 (Г»?)Л

ТЕОРЕМА 11. Пусть р— простое число, ц = р" , шеК, в, 6 а, Ь отличны от 0 и 1.Пусть 4=ср', с с е^У I > т + 1о§р|2аЬс|.

Тогда р-одические числа /<,(•?), ^{£)линейно независимы над О.

В третьей главе также доказана теорема 12, в которой модификация метода Шнайдера применяется к системе функциональных уравнений

I

>1

где все а (г), являются рациональными функциями от г.

В завершающей, четвёртой главе диссертации доказываются теоремы об алгебраической независимости элементов Ор— пополнения алгебраического замыкания Ор"^1 поля 0Р над полем Ор .Пр- алгебраически замкнутое поле. Если рассматривать поле Ор ,как аналог поля К действительных чисел, то поле о может служить аналогом поля С

комплексных чисел. Однако поле С комплексных чисел является алгебраическим расширением степени 2 поля И действительных чисел, тогда как ар не является алгебраическим расширением поля Поэтому вопросы алгебраической независимости элементов изо, над <2Р не имеют естественных аналогов в теории комплексных трансцендентных чисел.

ТЕОРЕМА 13 Лусть

«.-¿Х,/", . =1,...,т, (18)

к~0

где а„,е ¡£р, »= Аг = 0,1,2,... и для любого ; = 1,..., т выполнены условия:

1) для любого I =\,...,т неотрицательные рациональные числа гк > образуют возрастающую и стремящуюся к + оопри

к—»+свпоследовательность;

2) для любого ; = 1,..., т существует бесконечное множество номеров п таких, что число г„н1яе является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел %г01,...,г^и чисел прилюбых 1и при =1 ,...,т.

Тогда ряды (18) представляют собой алгебраически независимые над <3рэлементы Ор.

В теореме 14 аналогичным образом рассматриваются ряды вида в

к.о

и устанавливаются достаточные условия, при которых они представляют собой алгебраически независимые над Ор элементы о?.

В следующей теореме приводятся примеры применения общих теорем к конкретным рядам.

ТЕОРЕМА 15. Справедливы следующие утверждения

1 Щусть

л* О

где

Г > 1, Г е<?,2 еЪр,у е!Ч, а, е 2.<М = 1,..., т,

a,* a j При i*j.

Тогда ряды (19) представляют собой алгебраически независимые над элементы Qf.

2)Пусть

«

«.■=!>'' X,i=\.~,m, (20)

л» О

ide (д)0 = l,(d)„ = а(а + l)...(a + n-l),

г eQ, г >1, a, eZ, see артличны от нуля и отрицательных целых чисел, а( Ирм У •

7агс)д ряды (20) представляют собой алгебраически независимые над Qp элементы О р.

Ъ)Пустъ

(21)

где г, е Q, г, >1,/ = 1,причём существуют простые числа pni = l,...,m такие, что

ordpi den г, ¿1, i = оге?д = 0, i, j = i * j.

Тогда ряды (21) представляют собой алгебраически независимые над Qp элементы Ор.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦРШ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Чирский В.Г. О нетривиальных глобальных соотношениях // Вестн.МГУ. Сер. 1.Математика,механика.1989,№5 .С.33-36.

2. Чирский В.Г.О глобальных соотношениях// Мат.заметки.1990. т.48.№2.С.123-127.

3. Чирский В.Г. Об алгебраических соотношениях в локальных полях//Вестн.МГУ.Сер.1.Математика,механика.1990,№З.С.92-95.

4. Чирский В.Г.Глобальные соотношения и гипергеометрические ряды//Успехи матем.наук.1991 ,т.4б,№б(282).С.221 -222.

5. Чирский В.Г.Об алгебраических соотношениях в неархимедовски нормированных полях//Функ.анализ и прилож.1992.т.2б.№2.С.41-50.

6. Чирский В.Г.Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций//Мат.заметки. 1992.т.52,№2.С. 125-131.

7. Чирский В.Г.О рядах, алгебраически независимых во всех локальных полях// Вестн.МГУ.Сер.1. Математика,механика,1994, №3.0.93-95.

8. Чирский В.Г.Оценки многочленов и линейных форм в прямых произведениях полей//Вестн.МГУ.Сер. 1. Математика, механика. 1994, №4.С.35-39.

9. Чирский В.Г.Арифметические свойства значений гипергеометрических рядов//Труды Матем. ин-та РАН.1994. Т.207.С.347-352.

10. Чирский В.Г.О глобальных соотношениях для гипергеометрических рядов/Лруды семин. им. И.Г.Петровского. 1995,№ 18. С.204-212.

11. Чирский В.Г.Об арифметических свойствах некоторых рядов//Вестн. МГУ .Сер. 1 .Математнка,механика. 1997,№2.С.53-5 5.

12. Чирский В.Г.Об алгебраической независимости значений функций, удовлетворяющих системам функциональных уравнений/ЛГруды Матем. ин-та РАН. 1997.Т.218.С.433-438.

13. Чирский В.Г.06 арифметических свойствах значений некоторых функций//Фундам. и прикл. матем.1998.т.4,№2.С.725-732.

14. Чирский В.Г.О линейных глобальных соотношениях//Вестн. МГУ. Сер. 1 .Математика,механика. 1998,№4.С.70-72.

15. Чирский В.Г. Линейная независимость р-адических значений некоторых ц-базисных гипергеометрических рядов// Фундам. и прикл. матем. 1999. т.5,№2.С.619-625.

16. Чирский В.Г. Арифметические свойства некоторых р-адических чисел//Вестн.МГУ.Сер. 1 .Математика,механика. 1999,№6 .С. 16-19.

17. Чирский В.Г.Приближения Эрмита -Паде для некоторых я-базисных гипергеометрических рядов// Вестн.МГУ. Сер. 1. Математика,механика. 2000,№2.С.7-11.

18. Чирский В.Г. Арифметические свойства рядов в полях с неархимедовыми нормированиями. М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 120 стр., 2000. (Подписано к печати 28.06.2000).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представленная диссертация является исследованием в области теории трансцендентных чисел, принадлежащих полям с неархимедовыми нормированиями.

Основная цель работы состоит в построении теории, описывающей арифметические свойства одного широкого класса рядов, к которым применяется р-адическая модификация классического метода Зигеля-Шидловского в теории трансцендентных чисел, получении общих теорем, дающих естественное решение задачи о глобальных соотношениях для рядов этого класса и их применении к обобщённым гипергеометрическим рядам.

В первой главе устанавливаются общие теоремы об отсутствии линейных и алгебраических глобальных соотношений для рядов рассматриваемого класса в алгебраических точках при естественных условиях и доказывается отсутствие нетривиальных глобальных соотношений. Приводятся количественные уточнения этих результатов. Понятие глобального соотношения распространяется на точки, представляемые во всех локальных полях с неархимедовым нормированием фиксированным рядом. Для этого обобщения также получены соответствующие общие теоремы.

Во второй главе доказанные общие теоремы первой главы применяются к обобщённым гипергеометрическим рядам с рациональными параметрами. Кроме того, установлены теоремы об отсутствии линейных глобальных соотношений для обобщённых гипергеометрических рядов, среди параметров которых есть алгебраические иррациональные числа.

Третья глава содержит построение приближений первого рода Эрмита-Паде для я-базисных обобщённых гипергеометрических рядов. Эти построения использованы для доказательства линейной независимости значений в р-адической области некоторых я-базисных гипергеометрических рядов. В главе также установлена теорема об арифметических свойствах значений совокупностей функций, удовлетворяющих системам функциональных уравнений.

В четвёртой главе доказаны общие теоремы об алгебраической независимости элементов пополнения алгебраического замыкания поля р-адических чисел над полем р- адических чисел и приведены примеры применения этих теорем.

Заказ

Тираж {¿0

Издательство механико-математического факультета МГУ г. Москва, Ленинские горы.

Лицензия на издательскую деятельность ЛР N 020806,

от 23.08.1993 г._

Отпечатано на типографском оборудовании механико-математического факультета и франко-русского центра им. А. М. Ляпунова.

§ 1 .Введение.Общие теоремы метода Зигеля-Шидловского об арифметических свойствах значений Е-и в- функций в алгебраических точках стр.

§ 2.Формулировки общих теорем о глобальных соотношениях для Е-рядов стр.

§ 3.Гипергеометрические Е-функции стр.

§ 4.Формулировки теорем о свойствах значений гипергеометрических рядов стр.

§ 5.Базисные гипергеометрические ряды. Функциональные уравнения стр.

§ 6.Арифметические свойства элементов Ор стр.

Глава!. Доказательства общих теорем о глобальных соотношениях для Е-рядов стр.

§ 1 .Предварительные сведения стр.

§ 2.Свойства Б-рядов стр.

§ 3.Некоторые свойства линейных и дробно-линейных форм стр.

§ 4.0сновная лемма метода Зигеля-Шидловского о порядке нуля линейной формы стр.

§ 5.Определитель системы линейных форм стр.

§ б.Числовая матрица стр.

§ 7.Построение первой приближающей формы стр.

§ 8.0ценки для приближающих форм стр.

§ 9.Доказательство теорем 1 и 2 стр.

§ 10.Нетривиальные соотношения. Доказательство теоремы

§ 11 .Ряды, алгебраически независимые во всех локальных полях

§ 12. Доказательства теорем 4 и 5 стр.

Глава 2.Доказательства теорем об арифметических свойствах гипергеометрических рядов стр.

§ 1 .Гипергеометрические Р-ряды стр.

§ 2.Ряды с иррациональными параметрами стр.

Глава 3. q -базисные ряды. Свойства решений функциональных уравнений стр.

§ 1. Доказательство теоремы 10 стр.

§ 2.Линейная независимость р-адических значений некоторых ц-базисных гипергеометрических рядов стр.

§ 3 .Функциональные уравнения стр.

Глава 4.Алгебраическая независимость над Ор элементов Ор

§ 1 .Доказательство теорем 13 и 14 стр.

§ 2. Доказательство теоремы 15 стр.

§1. Введение. Общие теоремы метода Зигеля-Шидловского об арифметических свойствах значений Е- и G-функций в алгебраических точках

В 1873 году Ш.Эрмит создал аналитический метод, используя который ему удалось доказать трансцендентность одной из классических постоянных в математике - числа е. Напомним, что число а называется алгебраическим, если оно является корнем отличного от нуля многочлена Р(х) = апхп +.+ахх + а0 с рациональными коэффициентами. Комплексное ( в частности, действительное) число а называется трансцендентным, если оно не является алгебраическим.

Развивая метод Эрмита, Ф.Линдеман в 1882 году доказал трансцендентность числа ж , тем самым получив отрицательное решение проблемы квадратуры круга. Линдеман сформулировал, а К. Вейерштрасс доказал теорему, которая полностью решала вопрос о трансцендентности и алгебраической независимости значений показательной функции в алгебраических точках. Комплексные числа аа т называются алгебраически зависимыми, если существует отличный от тождественного нуля многочлен Р(х,,.,хи)с рациональными коэффициентами, для которогоР(а а т) =0. В противном случае эти числа называются алгебраически независимыми ( в частности, каждое из этих чисел является трансцендентным ).Теорему Линдемана-Вейерштрасса можно сформулировать так: если Л — рациональное число, отличное от половины нечётного числа, 0, алгебраическое число, то числа КХ(£),К'Х(£)~ алгебраически независимы.

Кроме того, была установлена теорема об алгебраической независимости множества 2тп чисел{АГ^ (£), К^ (£)} при следующих условиях: рациональные значения параметров 1 р} =1,.,т отличны от половины нечётного числа и таковы, что х^ ± при различных ]х,}г не являются целыми числами, а £„-- отличные от нуля алгебраические числа, квадраты которых различны. Аналитическая функция называется Е-функцией, если существует некоторое алгебраическое числовое поле К конечной степени над полем О рациональных чисел такое, что 1К еК, л = 0,1,.,

2)Для любого £->0 с„| = <Э(ит),/7-*сс. где для алгебраического числа а символ |а | обозначает наибольшую из абсолютных величин самого числа а и всех алгебраически сопряжённых с ним чисел.

3) Существует последовательность натуральных чисел такая, что даск - кольцу целых чисел поля К, к = 0,1,щп- 0,1,2,. и

Если а х,.,а т — алгебраические числа, линейно независимые над полем рациональных чисел, то е е"" — алгебраически независимые числа.

Метод Эрмита- Линдемана основан на двух важных свойствах показательной функции :

1) ех удовлетворяет теореме сложения /(х + .у) = /(*)/(>>) ,

2) ех является решением дифференциального уравнения У' = У

После создания метода Эрмита-Линдемана возникла естественная проблема его распространения на другие функции, удовлетворяющие более общим дифференциальным уравнениям.

Развивая и обобщая этот метод , К. Зигель [87]в 1929 году предложил новый метод доказательства трансцендентности и алгебраической независимости значений в алгебраических точках аналитических функций некоторого класса, названных им Е-функциями, содержащего, в частности, е2. Основной результат ; полученный К.Зигелем в работе [87] относится к функции

-1)" \ 1п 2 я=0 л!(\ +1).(Х + п)

2) удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению второго порядка

2Х + 1 у" +—— У' + У =0

Функция Кх(г) отличается от известной функции Бесселя гдеГ(г)- функция Эйлера,

А О) только множителем 1

Г \2Х г

Г(Х + 1) и; аK0(z)=J0(z). К.Зигель доказал следующую теорему:

Простейшие примеры Е-функций - многочлен с алгебраическими коэффициентами, е2, sin г, cos г.

Нетрудно проверить, что E-функции образуют кольцо функций, замкнутое относительно операций дифференцирования, интегрирования в пределах от 0 до г и замены аргумента z на Л z, где Л — алгебраическое число. E-функции с коэффициентами из поля К называются КЕ-функциями.

В 1949 году К.Зигель [87] изложил свой метод в виде общей теоремы об алгебраической независимости значений в алгебраических точках совокупности E-функций, удовлетворяющей системе линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с коэффициентами ~ рациональными функциями. Эта теорема сводит доказательство утверждения об алгебраической независимости к проверке некоторого достаточного аналитического условия, названного условием нормальности. Самому Зигелю удалось проверить выполнение условия нормальности только для совокупностей E-функций, каждая из которых удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению первого или второго порядка.

В 1954 году А.Б.Шидловским [49]1 была опубликована теорема, аналогичная теореме Зигеля, в которой условие нормальности было заменено менее ограничительным условием неприводимости.

В 1955 году А.Б.Шидловский [50],[52] опубликовал критерий алгебраической независимости значений в алгебраических точках

1 Монография А. Б.Шидловского "Трансцендентные числа" [58] содержит подробное изложение метода Зигеля-Шидловского и обширную библиографию. Поэтому для удобства в ссылках на теоремы, приведённые в этой книге, вместе с данными оригинальной статьи( или вместо них) приводятся соответствующие страницы [58].

Е-функций, удовлетворяющих системе линейных дифференциальных уравнений.

В формулировке критерия участвуют понятия, которые часто используются в дальнейшем. Пусть V-поле, а W - коммутативное кольцо или поле, содержащее поле V.

Элементы а.а я <=W называются алгебраически зависимыми над полем V, если существует отличный от тождественного нуля многочлен /3(х1,.,хи)с коэффициентами из поля V такой, что Р(а „.,а т) =0. В противном случае а и eW называются алгебраически независимыми над полем У.

Если в этих определениях рассматривать только однородные многочлены, то мы будем говорить об однородно алгебраически зависимых над полем V (соответственно, однородно алгебраически независимых над полем V) элементах а v.,a т eW.

В случае, когда поле V представляет собой поле алгебраических чисел, а поле W - поле комплексных чисел С, говорят просто об алгебраической зависимости ( соответственно, алгебраической независимости ) чисел а „., а т е С.

Пусть аналитические функции (z),., (z) составляют решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка y'k = eC(i). (0.1) м

Пусть Т = T(z) <=C[z]—многочлен, являющийся общим наименьшим знаменателем всех рациональных функций Qk r

Сформулируем первую основную теорему А.Б.Шидловского (см. [50 ],также [58, с.91]).

Пусть совокупность Е-функций .,/т(г) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (0.1) и однородно алгебраически независима над С (»,£--алгебраическое число, ) Тогда числа),.,/т(£)однородно алгебраически независимы.

Первая основная теорема имеет ряд важных следствий и мы отметим одно из них, относящееся к решению линейного дифференциального уравнения порядка »г (см. [58,с. 120]): Пусть "^-функция /(г) является решением линейного однородного дифференциального уравнения порядка т Ра(2)у(т)+.+Р^)у + р0{2)у = 0г,Рк{2) еС (г\к = 0,1,.,т, м не удовлетворяет никакому однородному алгебраическому дифференциальному уравнению с коэффициентами из С [г] порядка меньшего, чем — алгебраическое число, * 0.

Гс>гда числа /(£),/'(£),■••>/(и~°Ш однородно алгебраически независимы.

В случае, когда рассматриваемые Е-функции составляют решение неоднородной линейной системы дифференциальных уравнений

У'* =&.о еС (г), (0.2) 1 имеет место следующий результат, носящий название второй основной теоремы([58, с. 127]):

Пусть совокупность Е-функций /,(»,.,составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений (0.2) и алгебраически независима над С(г), алгебраическое число, )*0(многочлен Л»представляет собой обгций наименьший знаменатель коэффициентов системы (0.2)). Тогда числа /г(£),.,/м(£) алгебраически независимы.

Вторая основная теорема также имеет много важных следствий. Сформулируем одно из них([ 58,с. 128]):

Пусть Е-функция f(z) является решением линейного дифференциального уравнения порядка m

Pa(Z)y(m)+.+P](7)y'+P0(Z)y+Q(z) = 0,m S 2,£(z),/>,(*) e С[z],k = ОД,.,ж, и не удовлетворяет никакому алгебраическому дифференциальному уравнению с коэффициентами из С(г)порядка меньшего, чемщ£ — алгебраическое число, ÇPm{Ç) * 0.

Тогда числа /(£)»/'(£)>—>/(m~i:>(£) алгебраически независимы.

Из второй основной теоремы совсем просто следует и упомянутая выше теорема Линдемана -Вейерштрасса (см. [58,с. 128]).

В 1970 г. А.И.Галочкин [4]опубликовал теорему об алгебраической независимости значений Е-функций в трансцендентных точках, допускающих достаточно хорошие приближения алгебраическими числами.

Развивая метод, А.Б.Шидловский(см.[49]-[58]) обобщил его в направлении, позволяющем получать арифметические результаты относительно совокупностей Е-функций, алгебраически зависимых над полем рациональных функций.

Пусть, как и выше, V-поле, a W - коммутативное кольцо или поле, содержащее поле V. Если Uc W и наибольшее количество алгебраически независимых над V (однородно алгебраически независимых над V )элементов U равно /, то число Î называется степенью трансцендентности множества U над V {однородной степенью трансцендентности множества и над V) и обозначается <1е§ и- Уи( deg /г и). Сформулируем третью основную теорему([54],[58,с.143]):

Пусть совокупность Е-фунщий/, О),., /т (г),£ 2,{т £ 1) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (0.1)( системы линейных дифференциальных уравнений (0.2)) и степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) функций/,(.гг),.,/т(г)над С (г) равна 1,Ъ<,1 <.т, £ ~ алгебраическое число, многочлен Т(г) представляет собой общий наименьший знаменатель коэффициентов системы (0.1)((0.2))у).

Тогда степень однородной трансцендентности(степень трансцендентности) чисел также равна I.

В теории трансцендентных чисел кроме качественных понятий иррациональности, трансцендентности и алгебраической независимости существуют важные количественные понятия меры линейной и алгебраической независимости. Дадим точные определения понятий мер линейной и алгебраической независимости.

Пустьа,,.,о:м,т^.2 — действительные или комплексные числа. Мерой линейной независимости чисел<х],.,ат,т ^2 называется функция

Ь = Да, ,.,ат;Н) = тт|«,а, +. ■ •+атая где Я—натуральное число, ак —целые числа, удовлетворяющие неравенствам¡а^ ^ Н,к =1,.,т,\а:\+.+\ат\> 0 , и минимум берётся по всем числам ак, удовлетворяющим указанным неравенствам.

Очевидно, что качественный результат — линейная независимость -означает, что для любого натурального числа Я справедливо неравенство!, >0.

Мерой алгебраической независимости чисел<хх,.,ат, т>1 называется функция от ¿-и Я:

Ф =Ф(а1,.,ая,;5;Я) = пип^Са,,.,«^)!, где 5 и Я — натуральные числа, отличный от тождественного нуля многочленР = Р(хг,.,хт) степени ^ по совокупности переменных имеет целые коэффициенты, абсолютные величины которых не превосходят числа Я и минимум берётся по всем многочленам Р, удовлетворяющим указанным условиям.

Мера однородной алгебраической независимости Ф° = определяется аналогично, но при условии, что многочлен Р = Р(х1 ,.,хт)однороден.

Первая и вторая основные теоремы допускают следующее количественное уточнение( приводится несколько упрощённая формулировка теоремы 1 из [58,с.379]):

Пусть совокупность КЕ-функций /,(?),., О)составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (0.1)( системы линейных дифференциальных уравнений (0.2)) и однородно алгебраически независима над С О?) ( алгебраически независима над С О)), £ — алгебраическое число, )*0.

Тогда существуют постоянная С0 и постоянная Сх, зависящие от функцийчисел такие, что выполняются неравенства и, в неоднородном случае, т

2ЯН-1—5"

Приведём также несколько упрощённую теорему о мере линейной независимости, формулировка которой существенна для дальнейшего. Пусть Ьц, г = 1,., к —алгебраические поля, сопряжённые с полем К, причём Кг=К Эти сопряжённые поля соответствуют возможным продолжениям абсолютной величины | \ с поля О рациональных чисел на поле К. Для С еК пусть сопряжённые с £ . Для совокупности КЕ-функций /(?),.,/и(г) пусть /и(г),.,/и>Д2) обозначают функции, которые получаются из исходных заменой всех коэффициентов их степенных рядов по степеням г на сопряжённые им числа из поля К*. Аналогично, для отличной от тождественного нуля линейной формы 1(2,,., гт) с коэффициентами - целыми числами из поля К обозначим /Д^,.,^) линейные формы, получающиеся из формы / = /, после замены всех её коэффициентов на сопряжённые числа из поля Ьц. Пусть в — любое число из интервалаО < е < ^.Теорема 1 из [58, с.354] гласит:

Пусть совокупность КЕ-функций /\(2),.,/т{г)составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (0.1) и линейно независима над С( г ), алгебраическое число, ) ¿0. Тогда существует постоянная Ъ, зависящая от функций/иО), чисел ти % такая, что

В случае К=1(1 - мнимое квадратичное поле над О) имеет место неравенство цш,Н) >ьн]-т-\

Отметим важную для дальнейшего переформулировку этой теоремы.

При условиях теоремы для любого алгебраического числа, такого, что ) существует поле К, такое, что

1 „(?,),.,/„,,(?,фбЯ1-8. (0.3)

В теории трансцендентных чисел принято называть постоянную, входящую в оценку меры эффективной, если её можно вычислить с помощью конечного числа действий (арифметических операций, возведения в степень, логарифмирования, выбора наибольшего и наименьшего из конечного набора чисел), производимых над параметрами, определяющими класс функций, в который входят рассматриваемые функции, над параметрами точки, степенью меры. Оценку меры, в которой все постоянные эффективны, называют эффективной. Для получения эффективных оценок мер алгебраической независимости значений Е-функций требуется более сильное условие, чем их алгебраическая независимость над полем рациональных функций. Таким условием может быть нормальность по Зигелю(определение см. [87] или, например, [64]) или введённое А.Б.Шидловским в работе [49](см.также[58,с.400]) условие неприводимости системы функций. Вопросы эффективности оценок исследовались в работах[14]-[16],[69]. В работе [16] условие неприводимости системы функций заменено более простым в проверке условием о том, что каждое решение системы (0.1) с ненулевыми компонентами состоит из алгебраически независимых над С( г) функций.

Заметим, что для упрощения получения эффективных оценок мер целесообразно немного изменить определение Е-функции , заменив при некотором с > 1 условие\сп \ = 0(пт), п —»=°на условие сл| = 0(с"),п —> °° и условие^ = 0{гГ),п-*<*> на условие дп — 0(сп), и —»°° соответственно. Такие Е-функции часто называют Ефунщиями в узком смысле.

Кроме того, для 1Е-функций показатель \ -m-s можно пытаться улучшить, заменив число е> 0 убывающей и стремящейся к нулю функцией от Я.

В работах А.Б.Шидловского ( см., например,[49]-[58]), его учеников и ряда других авторов (достаточно полный обзор приведён в [58]) построена стройная теория, описывающая арифметические свойства значений в алгебраических точках Е-функций , удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям.

В 1929 г. К.Зигель [87] указал, что его метод можно применять при исследовании некоторых арифметических свойств значений ещё одного класса аналитических функций. Степенные ряды, определяющие эти функции, имеют конечный радиус сходимости. Он назвал эти функции О-функциями.

Функция п=0 называется в-функцией, если коэффициенты сп удовлетворяют тем же условиям, что приведены в определении Е-функции в узком смысле.

Нетрудно проверить, что как и Е-функции, в-функции образуют кольцо функций, замкнутое относительно операций дифференцирования, интегрирования в пределах от 0 до 2 и замены аргумента г на Хг, где я — алгебраическое число.

В статье М.С.Нурмагомедова [21] метод Зигеля - Шидловского был применён к исследованию арифметических свойств значений в-функций в достаточно малых по модулю алгебраических точках. Недостатком полученных им результатов было то, что величина точки, в которой проводятся оценки, зависит от высоты рассматриваемых линейной формы или многочлена.

В 1974 году А.И.Галочкин [5] опубликовал теоремы, свободные от вышеупомянутого недостатка, доказанные им для функций, обладающих так называемым условием сокращения факториалов. В 1984 г.Г.В.Чудновский [74] доказал, что это условие выполнено для всех О-функций:

Пусть О-функции /, (г),., /„ (г) составляют решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (0.1) и линейно независимы над С( г) вместе с 1 .Тогда для любого е > 0 и любого отличного от нуля числа г = eZ, Ъ eN такого, что о ье*с3\4т1)(п+е)> числа %А(г),.,/т(г) линейно независимы над О. Более того, для любых /г0,.,/зи е Ъ,удовлетворяющих условию

Н - шах(|й0 [,., |/ги|) >С4, имеет место неравенство

2о+А1/1(г)+.+Ли/и(Г)| >н-т-°, где С3 =С3(/Х,.,/„,£ )>0, С4 = С4(/,,.,/и,г,)>0 — эффективно вычисляемые постоянные.

Можно рассматривать не только действительные или комплексные значения О-функций. Имеются исследования (например,[77]) о свойствах р -адических значений О-функций. Отметим одну из работ Е.М.Матвеева [12], в которых рассмотрение линейных форм от значений О-функций в различных р -адических полях позволило получить результаты о диофантовых уравнениях с норменной формой. Дадим определение и кратко перечислим основные свойства^-адических чисел (подробнее см. [1],[2]).

Поле Е называется нормированным, если для каждого его элемента а определена величина ||а|| — норма элемента а, обладающая следующими свойствами:

1) 1М1 е И, если а * О, то |«|| > 0, ||0|| = 0;

2) ИМ*

3)|а + 6|ЫММ14

Поле О рациональных чисел обладает нормой (или абсолютным значением)

И = 14 которую в дальнейшем называем архимедовой. Кроме того, для любого простого числа р определено так называемое р -адическое нормирование поля рациональных чисел. Оно определяется следующим образом. Для произвольного отличного от нуля целого числа с положим огс1рс равным кратности вхождения числа р в разложение с на простые множители. Для любого рационального с числа а = - положим огс!ра = оЫрс - огс!рЬ. Это определение, очевидно, корректное. Удобно определить нормализованную р-адическую норму равенствами

-оп!{а,а* О р ' (0.4)

0, а = 0.

Нетрудно проверить, что определённая равенствами (0.4) величина обладает всеми свойствами нормы. Кроме того, вместо свойства 3) выполняется более сильное неравенство а + Ъ\р <;тах(Мр,|г>|р).

Отметим, что если \а\р * |6|р,то =тах(Нр,|6|р).

Нормы, для которых \\а + 6|| ^ тах(||сг||, |6||), называются неархимедовыми. Пополнение О по норме | ^называется полем радических чисел. Известная теорема Островского(доказательство приведено, например, в[1,стр.48]) гласит:

Каждая нетривиальная норма || || на поле О рациональных чисел эквивалентна либо | | для некоторого простого числа р, либо обычной абсолютной величине | |.

Символ используется для обозначения И. со

Пусть К - алгебраическое поле конечной степени к над О. Пусть V— множество всех нормирований на поле К. Для любого V е V соответствующие пополнения полей К и О обозначаем Ку и <2У. Поле Куявляется конечным расширением поля 0У,[ Ку : причём для любого простого числа р

2, (0.5) V где суммирование в левой части равенства (0.5) производится по всем нормированиям V, продолжающим р -адическое нормирование поля О. Это же равенство выполняется для продолжений обычной абсолютной величины, поскольку все они соответствуют сопряжённым с полем К полям К®.

Любое нормирование поля К продолжает некоторое нормирование поля О. Множество архимедовых нормирований поля К обозначаем Ув, множество неархимедовых нормирований - У0. Удобно рассматривать нормализованные нормирования .если V продолжает р -адическое нормирование^ далее это обозначаем так : у\р) то положим

И= р (°-6) а если у продолжает архимедово нормирование и соответствует полю К®, то

0-7) где х(,) е К®, а ку =1,если ^сИ, либо ку =2,если Ка)<гК .

Имеет место формула произведения: Для любого х е К, х?Ю,

0.8) уеГ где произведение взято по всем нормированиям V поля К.

Теория трансцендентных чисел в р -адической области получила меньшее развитие, чем теория трансцендентных чисел в комплексной области. Отметим её фактическое начало - работу Малера [82] и содержащую некоторый обзор этой теории статью Адамса[59].

В 1981 г.Э.Бомбиери в большой работе [66] ввёл понятие глобального соотношения. Дадим это определение .

ПустьР(у1,.,ут) — многочлен с коэффициентами из К,степенные ряды/Д^),.,/„(г) имеют коэффициенты из К, £ еК Соотношение

Р(Ш),-,/М)) = 0 (0.9) называется глобальным для рядов /,(»,., /и(г) и точки если оно выполняется во всех полях Ку, где сходятся все ряды /1(|),.,/т(^). Примером глобального соотношения в точке 4 = -2 и ряда / 1 ЧЛ+1 п=1 п является выполняющееся в поле Ку, гдеу|2, равенство

Действительно, рассматриваемый ряд сходится в поле Ку при £= -2 только, если у|2. Другой пример: в точке = -3 для ряда у, 1-3-.-(2Й-1)Г zY h п\ [ 2) соотношение справедливое в полях Ку, где v|3,является глобальным, поскольку ряд 1-3-.<2и-1)|

НГ п= 0 сходится только в таких полях Ку, где у|3. Вместе с тем, при подстановке в рассмотренный выше ряд вместо сточки -15 в поле Оз выполняется равенство а в поле 05 - равенство

21 4 и эти два равенства дают примеры соотношений, не являющихся глобальными.

Сформулируем несколько упрощённый вариант основной теоремы работы [66]:

Пусть О-фунщии /,(г),.,/иО) составляют решение системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с коэффициентами - рациональными функциями от г и линейно независимы над С( г ).Тогда существует постоянная С такая, что все алгебраические точки В, ,для которых выполняется некоторое линейное глобальное соотношение, удовлетворяют неравенству

2>(тах(1,| 4))* С, где суммирование производится по всем нормированиям алгебраического поля конечной степени, полученного присоединением к полю рациональных чисел всех коэффициентов рассматриваемых О- функций и числа

Глобальным соотношениям для О-функций посвящены работы И.Андре [61],[62].

1. Боревич З.И.,Шафаревич И.Р. Теория чисел.-М.:Наука, 1972.

2. Владимиров B.C., Волович И.В., Зеленое Е.И. /7-адический анализ и математическая физика.-М.: Изд.фирма "Физико-математическая литература" ВО"Наука",1994.

3. Галочкин А.И.Оценки снизу линейных форм от значений некоторых гипергеометрических функций//Мат.заметки.-1970.-Т.8,№ 1.-С. 19-28.

4. Галочкин А.И.Об алгебраической независимости значений Е-функций в некоторых трансцендентных точках//Вестн.МГУ.Сер. 1, Математика,механика.-1970.-№5 .-С.58-63.

5. Галочкин А. И. Оценки снизу многочленов от значений аналитических функций одного классаУ/Мат.сб.-1974.-Т.95(137),№3 (11).-С.396-417.

6. Галочкин А.И.О критерии принадлежности гипергеометрических функций Зигеля классу Е-функций//Мат.заметки.-1981.-Т.29,№ 1.-С.3-14.

7. Галочкин А.И.0 неулучшаемых по высоте оценках некоторых линейных форм//Мат.сб.-1984.- Т.124(166),№ 3 (7).-С.416-430.

8. Иванков П.Л. О линейной независимости значений целых гипергеометрических функций с иррациональными параметрами//Сиб.мат.журн.-1993.- Т.34,№1 .-С.53-62.

9. Иванков П.Л. О линейной независимости значений некоторых функций//Фундам. и прикл. матем.-1995.-Т.1,№2.-С.191-206.

10. Коробов А.Н. Оценки некоторых линейных форм//Вестн.МГУ.Сер.1,Математика,механика.-1983.-№6.-С.36-40.

11. Лотоцкий А.В. Sur l'irrationalité d'un produit infini// Мат.сб.-1943.-T. 12(54) .-C.262-272.

12. Матвеев E.M. Линейные формы от значений G-фунщий и диофантовы уравнения//Мат.сб.-1982.- Т.117(159),№ 3 .-С.379-396.

13. Нестеренко Ю.В. Об алгебраической независимости значений Е-функций, удовлетворяющих линейным неоднородным дифференциальным уравнениям//Мат.заметки.-1969.-Т.5,№ 5,-С.587-589.

14. Нестеренко Ю.В. Об алгебраической независимости компонент решений системы линейных дифференциальных уравнений//Изв.АН СССР.Сер.мат.-1974.-Т.38,№ 3.-С.492-512.

15. Нестеренко Ю.В. Оценки порядков нулей функций одного класса и их приложение в теории трансцендентных чисел//Изв.АН СССР.Сер.мат.-1977.-Т.41, №2.-С.253-284.

16. Нестеренко Ю.В. Эффективные оценки мер алгебраической независимости значений Е-функций //Вестн.МГУ.Сер.1, Математика,механика.-1988.-№4 .-С.85-88.

17. Нестеренко Ю.В. Приближения Эрмита-Паде обобщённых гипергеометрических функций//Мат.сб.-1994.- Т.185,№ 3 .-С.39-72.

18. Нестеренко Ю.В. Modular fonctions and transcendence problems//C.R.Acad.Sci.Paris.-1996.-t.322.-Serie 1 .-p.909-914.

19. Нестеренко Ю.В. Модулярные функции и вопросы трансцендентности. //Мат.сб.-1996.- Т. 187,№9 .-С.65-96.

20. Нестеренко Ю.В. О мере алгебраической независимости функций Рамануджана// Тр. мат. ин.та им. В.А.Стеклова.-1997.-Т.218.-С.299-334.

21. Нурмагомедов М.С. Об арифметических свойствах значений одного класса аналитических функций//Мат.сб.-1972.- Т.85(127) , №3(7) .-С.339-365.

22. Попов А.Ю. Арифметические свойства значений некоторых бесконечных произведений.- Диофантовы приближения, часть II, Изд-во Моск. ун-та.-1986.-С.63-78.

23. Попов А.Ю. Приближения значений некоторых бесконечных произведений//Вестн.МГУ.Сер.1, Математика,механика.-1990.-№6.- С.3-6.

24. Салихов В.Х.О дифференциальной неприводимости одного класса дифференциальных уравнений//ДАН СССР.-1977.-Т.235,№ 1 .-С.30-33;Изв.АН СССР.Сер.мат.-1980.-Т.44,№ 1.-С.176-202.

25. Салихов В.Х. Алгебраическая неприводимость совокупности линейных дифференциальных уравнений//ДАН СССР.-1980.-Т.254,№4.-С.806-808;Изв.АН СССР.Сер.мат.-1985.-Т.49,№ 1.-С. 194-210

26. Салихов В.Х. Формальные решения линейных дифференциальных уравнений и их применение в теории трансцендентных чисел//Тр.Моск.мат.о-ва.- 1988.-Т.51.-С .223-256.

27. Салихов В.Х. Об алгебраической независимости значений гипергеометрических Е-функций//ДАН СССР.-1989.-Т.307,№ 2.-С.284-286.

28. Салихов В.Х. Неприводимость гипергеометрических уравнений и алгебраическая независимость значений Е-функций//Ас1а АпЛ.-1990.-у.53.-С.453-471.

29. Салихов В.Х. Критерий алгебраической независимости значений одного класса гипергеометрических Е-функций//Мат.сб.-1990.-Т.181,№2 .-С.189-211.

30. Чебышев П.Л. Избранные математические труды.- ГИТТИ.-1946.

31. Чирский В.Г.О нетривиальных глобальных соотношениях//Вестн.МГУ. Сер. 1 .Математика,механика.-1989,№5.-с,33-36.

32. Чирский В.Г.О глобальных соотношениях// Мат.заметки.-1990.-т.48.-№2.-с. 123-127.

33. Чирский В.Г.Об алгебраических соотношениях в локальных полях//Вестн.МГУ.Сер.1 .Математика,механика.- 1990,№3.-с.92-95.

34. Чирский В.Г.Глобальные соотношения и гипергеометрические ряды//Успехи матем.наук.-1991.-т.46.-№6(282).-с.221-222.

35. Чирский В.Г.Об алгебраических соотношениях в неархимедовски нормированных полях//Функ.анализ и прилож.-1992.-т.26.-№2.-с.41-50.

36. Чирский В.Г.Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций// Мат.заметки.-1992.-т.52.-№2.-сЛ 25-131.

37. Чирский В.Г.О рядах, алгебраически независимых во всех локальных полях//Вестн.МГУ.Сер. 1 .Математика,механика.-1994.-№3.-с.93-95.

38. Чирский В.Г.Оценки многочленов и линейных форм в прямых произведениях полей//Вестн.МГУ.Сер. 1 .Математика,механика.-1994.-№4.-с.35-39.

39. Чирский В.Г.Арифметические свойства значений гипергеометрических рядов//Труды Матем. ин-та РАН.-1994.-т.207.-с.347-352.

40. Чирский В.Г.О глобальных соотношениях для гипергеометрических рядов//Труды семин. им. И.Г.Петровского.-1995,№ 18.-с.204-212.

41. Чирский В.Г.Об арифметических свойствах некоторых рядов//Вестн.МГУ.Сер.1. Математика, механика.-1997,№2.-с.53-55.

42. Чирский В.Г.Об алгебраической независимости значений функций, удовлетворяющих системам функциональных уравнений//Труды Матем. ин-та РАН.-1997.-т.218.-с.433-438.

43. Чирский В.Г.Об арифметических свойствах значений некоторых функций//Фундам. иприкл. матем.-1998.-т.4,№2.-с.725-732.

44. Чирский В.Г.О линейных глобальных соотношениях//Вестн.МГУ. Сер. 1.Математика,механика.-1998,№4 .-с.70-72.

45. Чирский В.Г.Линейная независимость р-адических значений некоторых я-базисных гипергеометрических рядов// Фундам. и прикл. матем.-1999.-т.5,№2.-с.725-732.

46. Чирский В.Г.Арифметические свойства некоторых р-адических чисел//Вестн.МГУ.Сер. 1.Математика,механика.-1999,№6.-с. 16-19.

47. Чирский В.Г.Приближения Эрмита -Паде для некоторых q-базисных гипергеометрических рядов// Вестн.МГУ.Сер. 1 .Математика,механика.-2000,№2.-с.7-11.

48. Чирский В.Г. Арифметические свойства рядов в полях с неархимедовыми нормированиями.- М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ.-200.-120 стр.

49. Шидловский А.Б.О трансцендентности и алгебраической независимости значений целых функций некоторых классов//ДАН СССР.-1954.-Т.96,№4.-С.697-700.

50. Шидловский А.Б. О критерии алгебраической независимости значений одного класса целых функций//ДАН СССР.-1955.Т. 100,№2.-С.221 -224.

51. Шидловский А.Б. О трансцендентных числах некоторых классов//ДАН СССР.-1955.-Т.103,№6.-С.987-990.

52. Шидловский А.Б. О критерии алгебраической независимости значений одного класса целых функций//Изв.АН СССР.Сер.мат.-1959.-Т.23,№1 .-С.35-66.

53. Шидловский А.Б. К общей теореме об алгебраической независимости значений Е-функций//ДАН СССР.-1966.-Т.171,№4,-С.810-813.

54. Шидловский А.Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций, связанных любым числом алгебраических уравнений в поле рациональных функций//Изв .АН СССР.Сер.мат.-1962.-Т.26,№6.-С.877-910.

55. Шидловский А.Б. Об оценках меры трансцендентности значений Е-функций//Мат.заметки.-1967.-Т.2,№1.-С.ЗЗ-44.

56. Шидловский А.Б. On the estimates of the algebraic independence measures of the values of E-fonctions//J.Austral.Math.Soc.Ser.A.1979.-V.27.-P.385-407.

57. Шидловский А.Б. Об оценках многочленов от значений Е-функций//Мат.сб.-1981 .-Т. 115(157), №1 (5).-C.3-39.

58. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа.-М.:Наука,1987

59. Adams W. Transcendental numbers in the p-adic domain//Amer.J.Math.-1966.-V.88.-279-307.

60. Adams W. On the algebraic independence of certain Liouville numbers//J.Pure.Appl.Algebra.-l 978.-V. 13 .-P.41 -47.

61. André Y. G-Functions and Geometry.Aspects of Math.-1989.-V.E13, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden.

62. André Y. G-fonctions et transcendance//J.reine angew.Math.-1996.-V.476.-P.95-125.

63. André Y. Séries Gevrey de type arithmétique//Inst. Math.,Jussieu,

64. Beukers F.,Brc>wnawell W.D.,Heckman G. Siegel normality//Ann.Math.-l 988.-Ser. 127.-P.279-308.

65. Bézivin J.-P. Indépendance linéaire des valeurs des solutions transcendentes de certaines équations fonctionelles//Manuscripta Math.-1988.-V.61.-P.103-129.

66. Bombieri E. On G-functions// Recent Progress in Analytic Number Theory. V.2.London:Academic Press,1981 .-P.l-68.

67. Borwein P.On the irrationality of 2 (1 / (qn + r))//J.Number Theory.-1991.-V.37.-P.253-259.

68. Borwein P.,Ping Zhou. On the irrationality of a certain q series//Proc. Amer.Math.Soc.-1999.-V. 127,№6,P. 1605-1613.

69. Brownawell W.D.Effectivity in independence measures for values of E-functions//J.Aust.Math.Soc.-1985.-V.39.-P.227-240.

70. Bundschuh P.Arithmetische Untersuchungen unendlicher Produkte//Invent.Math.-l969.-V.6.-275-295.

71. Bundschuh P.Ein Satz über ganze Funktionen und Irrationalitätsaussagen//Invent.Math.-1970.-V.9.-175-184.

72. Bundschuh P.,Waldschmidt M. Irrationality results for thêta functions by Gel'fond-Schneider's method//Acta Arithm.-1989.-V.53.-289-307.

73. Bundschuh P.,Väänänen K. Arithmetical investigations of a certain infinite product//Compos. Math.-1994.-V.91.-P.175-199.

74. Chudnovsky G.V. On applications of Diophantine approximations //Proc.Natl.Acad.Sci.USA.-l 985 .-V.81 .-P.7261-7265.

75. Duvemey D. Irrationalité d'un q-analogue de g (2)//C.R.Acad.Sci. Paris.-1995.-V.321.-ser.l.-P.1287-1289.

76. Duverney D. Propriétés arithmétiques des solutions de certaines équations fonctionelles de Poincaré//J.Theor.Nomb.Bordeaux.-1996.-V.8.-443-447.

77. Flicker Yu. On p-adic G-functions//J.London Math.Soc.-1977.-V.15,№ 3.-P.395-402.

78. Gasper G.,Rahman M. Basic hypergeometric series.Encycl.Math.Appl.35 .-Cambridge Univ.Press, 1990(Имеется русский перевод: Гаспер Дж.,Рахман.М. Базисные гипергеометрические ряды.-М. :Мир, 1993).

79. Heine Е. Über die Reihe.// J.reine.angew.Math.-1846.-V.32.-P.210212. f

80. Içen O.Ç.Eine Verallgemeinerung und Übertragung der Schneiderschen Algebraizitätskriterien ins p-adische mit Anwendung auf einen Transzendenzbeweis im p-adischen//J.reine.angew.Math.-1957.-V.198.-P .28-55.

81. Koblitz N. p-adic numbers,p-adic analysis and zeta-functions.Grad. texts Math.58.-Berlin:Springer, 1977.(Имеется русский перевод: Коблиц H. р-адические числа,р-адический анализ и дзета-функции.-М.:Мир, 1982).

82. Mahler К. Über transzendente p-adische Zahlen//Compos.Math.-1935.-V.2.-P.259-275.

83. Matala-Aho T. Remarks on the arithmetic properties of certain hypergeometric series of Gauss and Heine// Acta Univ.Oulu.-1991.-Ser.A Sci.Rer.Natur.219.

84. Matala-Aho Т., Väänänen K.Independence measures for two q-exponentials and related series//Math.Univ.Oulu.-1997.-Preprint

85. Matala-Aho Т., Väänänen К. On approximation measures of q-logarithms//Bull.Austral.Math.Soc.-1998.-V.58,№ 1 .-P. 15-31.

86. Osgood C.F. On the Diophantine approximation of values of functions satisfying certain linear differential equations//J.Number theory.-1971.-V.3.-159-177.

87. Siegel C.L.Über einige Anwendungen Diophantischer Approximationen//Abh.Preuss Acad.Wiss.,Phys.-Math.Kl.-l 929-1930.-№ 1.- P.l-70.

88. Siegel C.L. Transcendental numbers.-Princeton:Princeton Univ.Press.-1949.

89. Stihl Th. Irrationalitätsmaße fur Werte der Lösungen einer Funktionalgleichung von Poincare//Arch.Math.-1985.-V.44.-P.59-64.

90. Stihl Th. Arithmetische Eigensatzen spezieller Heinescher Reihen//Math. Ann.-l 984.-V.268.-P.21-41.

91. Titchmarsh E.C. The theory of fimctions.-Oxford Univ.Press.-1939(Имеется русский перевод: Титчмарш Е. Теория функций.-М.:Наука.-1980).

92. Tschakaloff L. Arithmetische Eigenschaften der unendlichenReihe2;a-,'(v-,y2x,'//Math.Ann.-1921.-V.80.-P.62-74;V.84.-P.100-114.v=0

93. Väänänen K. On the approximation of certain infinite products//Math. Scand. -1993 .-V. 73 .-P. 197-208.

94. Wallisser R. Rationale Approximation des q-Analogons der Exponentialfunktion und Irrationalitätsaussagen fur diese Funktion//Arch.Math.-1985.-V.44.-59-64.