Топологические полугрупповые кольца и алгебры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

московский государственный университет

им. м.в. ломоносова

на правах рукописи питали СЕРГЕИ.АЛЕКСАНДРОВИЧ

УДК 512.5$6

ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ПОДУГРУШОВЫЕ КОЛЬЦА и АЛГЕБШ

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел."

АВТОРЕФЕРАТ диссертации яа соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

\

МОСКВА - 1994

Работа выполнена на кафедре высшей алгебра механико-математического факультета Московского Государственного Университета-им.. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор А.Б.Михалев

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

В.И. Арнаутов .....

Кандидат физико-математических наук И.Б.Кожухов

Ведущая организация - Московский государственный педагогический

университет

1994Г.

Защита диссертации состоится ■/(? «У^и^// 1994г. в I? час.. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. Ы.В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Еоробьевы Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж)

.... , ^ , Авторефэрат разослан Чу " (А&хсшгил 1994г.

Ученый св!фвтарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ

доктор физико-математических наук В.К.Чубариков

профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЩИ Актуальность теш. Топологические (полу )грушговнв кольца и алгебры занимают как бы промежуточное положение между дискретными (полу)групповыми кольцами.и алгебрами, с одной стороны и такими часто используемыми в функциональном анализе объектами, как сверточные алгебры типа алгебры регулярных борелэвских мер и алгебры абсолютно интегрируемых по мере Хаара функций на топологической группе.

Что касается первых, то интерес к ним в теории колец традиционно велик. Отметим работы и монографии таких авторов, как G.Hlgman1, D.S.Passman2, А.Е.Залесский и A.B. ' Михалев-', J.Otalnskil4, А.А.Бовди5. — ■

IIa другом полюсе, как уже говорилось, находятся различные аналоги полугрупповых (а чаще всего грушгавнх) алгебр, используемые в функциональном анализе (их краткое ' описание можно * найти, например) в книге А.А.Кириллова6. Как правило при работе с такими объектами возникают определенные проблемы. Например, для алгебр L1 (G.cL^) и H(G) нельзя указать непрерывное вложение в них топологической группы G. Также отметим, что ряд трудностей возникает при использовании алгебр этого типа в теории двойственности Фурье.

Топологические (полу)групповые кольца и алгебры конечных сумм

1Higman G. The units of group rings. Proc. London Hatlu Soc. Ser. 2, 1940, 46, J6 3, 231-248.

2D.S. Passman. The algebraic structure of group rings. H.-Y., Wiley, 1977.

-"Залесский A.E., Михалев А.В. Групповые кольца. Итоги науки и .техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т.2, М.:ВИНИТИ, 1973, с.5-118.

4J. Olminski. Semigroup Algebras. N-Y., Marcel Dekker Inc, 1990.

5Вовди А.А. Групповые кольца. Ужгород, Изд-во Ужгородского Университета. 1974.

Кириллов А.А. Элементы теории представлений, 1978, М.:"Наука".

d

начинают играть большую роль в таких областях., как . теория представлений, гармонический анализ, нвархимедов функциональный анализ и т.д. Однако до недавнего времени топологические полугрутгаше кольца оставались-, практически - неисследованными.. Ретаюцую роль, поэтому сыграли в- последние годы работы В.И.Арнаутова и А.Е.Михалвва, го сути открывшие эту ■ интереснейшую область.

Цель работы. Исследование топологических полуфунтовых колец. Научная новизна. Основные результаты являются новыми:

1) Для строго сжимающих ыоновдов получены критерии псевдонормнруемости топологического полугруппового кольца, одновременного продолжения псевдонормы и .топологии моноида и кольца коэффициентов до топологии и псевдонормы полугруппового кольца, продолжения метрики моноида и псевдонорма кольца коэффициентов до псевдонормы их полугруппового кольца;

2) Получена представление пополнения неархимедово нормированной полугрупповой алгебры как пространства обобщенных рядов;

3) Для коммутативных, компактных нульмерных моноидов и не архимедово нормированного поля получены критерии существования неархимедово нормированной голугрушгавой алгебры и существования разделяющее системы полухарактеров. Показано, что эти два случая являются взаимно исключающими;

4) Доказана полупростота (по Дкэкобсону) локально-выпуклых групповых алгебр над полем комплексных чисел и компактными группами, а также их пополнений;

5) Показано, что на групповой алгебре компактной группы с 'комплексный! коэффициентами и на алгебре представляющих функций данной группы можно так задать локальво-выцуклые топологии и структуры алгебр Хопфа, что сши окажутся взаимно сопряжены.

Метода исследования. В диссертации используются методы топологической алгебры и функционального анализа.

Практическая и .теоретическая ценность работы. Диссертация носит теорвтичэский характер. Результаты могут найти применение в топологической алгебре, теории представлений, гармоническом анализе..

Ашзробавдш диссертации. Результаты докладывались на

международных конференциях по алгебре в Барнауле (1991г.), в Иркутске (1992), а также на симпозиуме по алгебрам, кольцам и модулям во Львове (1990).

. . .Публикации. Основные результаты опубликованы б 8-ми работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объеы диссертации. Изложение основного материала-диссертации разбито на 5 глав, содержащих в общей сложности 13 параграфов. Объем диссертации 117 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор исследований по теш диссертации, сформулированы основные результаты и изложен план диссертации.

Глава I имеет вспомогательное значение и посвящена задаче продолжения топологий. Упомянутая задача является главной темой значительной, если не большей, части публикаций в данной области7. Это не удивительно: прежде, чем исследовать те или иные топологии надо доказать их существование.

УТВЕЕЗДШОЗ 1.1.1s. Пусть (S,T0) - топологический моноид. Тогда множество его открытых левых конгрузнций порождает шлугрушовую топологию на 5 .

Полученную топологию обозначим через 11C(TQ} (topology of left congruences). Аналогичным образом строятся TBD(TQ) (topology of right congruences) и TC(TQ) (topology-of congruences).

Пусть теперь (R,T)'— топологическое кольцо. Множество его открытых левых идеалов образует базис кольцевой топологии, которую обозначим ТП(Т^) (topology of left Ideals).

Пусть о - открытая левая конгруэнция (S,T0) , J - открытый левый идеал (R,T^).

Рассмотрим левый идеал кольца flfSJ

ТЕ0Ш4А I.I.5. Пусть (S*Tq) - топологический моноид, a (R,T^) - топологическое кольцо. Тогда множество J всех левых идеалов RCS1 вида Ia j , где о - открытая левая конгруэнция (S,TQ) , a J - открытый левый идеал (R.T , образует базис окрестностей нуля некоторой кольцевой топологии X кольца ЯШ , прячем: - __

ft} T|R= ,.Т|д- TKfr0);

/гiJ если ТН(Т^) , Т1С(Т0) - отделимы, то 3" также отделима; (ЧШ если некоторая топология Т' кольца RfSJ порождается базисом окрестностей нуля из левых идеалов и TU[Ty) ,

^Например: Арнаутов В.И., Михалев A.B. . Компактные группы и их групповые кольца., Мат.Зам., 1989, т.46, J6 6, с.3-9.

Нумерация утверждений та же, что и в диссертации и имеет вид: *_главы. .»параграфаутверждения.

ч

7Ш(Т0) -, то 7"' < Г.

Обозначим построенную топологию через 711(7^7^}. Точно таким же образом строятся топологии TRI(70,7^.) а Т1(70,7%).

Топологии .полугругаювого кольца вида Ш1(Т0,Т%} , TBI(TQtTT1(TQ,T^ ) будем называть специальный! линейными топологиями. Отдельный случай, когда 3"1 - дискретная топология кольца H . Тогда топологии шда ТЫ(Т0,Т1 ) , ?В1(70,7 TI(TQ,T^ ) будем называть сильными линейными топологиями.

Пусть (R,7х) - отделимое топологическое кольцо, S предкомпактный в TQ , о - открытая конгруэнция S , V окрестность нуля в 7 у . Положим

П(7,а) = { х е ЯШ - х = E^r^V E-f^-sp ^ г№

гс = tnd а , г^ 7 , s^o sj .

ТЕОРЕМА 1.2.10. Пусть (S,70) - отделимая, компактная, полугруппа, a (R,7^} - отделимое топологическое кольцо. Тогда-совокупность всех-множеств вида V(7,o) , где 7 - окрестность О в (R,7 ) a о - открытая конгруэнция полугруппы fS'^V образует базис окрестностей нуля некоторой отделимой кольцевой топологии 7 на RIS) , такой что 7"|R= 7у , ТС(70) .

Пусть (R,71) - топологическое кольцо, причем, 3"1 - имеет базис окрестностей нуля из аддитивных подгрупп. Для любой такой открытой подгруппы 7 'и бткратой конгруэнции о топологической полугруппы S опредз-тим множество 1 Щ7,а) = { х : i = 2 îW 2 ¡"¡(s'- sp J , где г±с 7 ,

si 0 ' ■ ■ ■ ■ • - •

ТЕОРЕМА 1.2.20. Пусть (R,7- топологическое отделимое

кольцо с топологией, порогдевной базисом окрестностей нуля из

подгрупп аддитивной группы. Тогда для любого топологического

моноида (S,7q) совокупность всех множеств 'ff(7,oJ - является

Оазисом окрестностей нуля некоторой кольцевой топологии 7 на

R[S] , такой что:

(I) Г|н- Г, , Г|д= ТС(70);

(II) если TIC(TQ) - отделима, то 7" также отделила.

Нетрудно увидеть, что топологии, полученные в теоремах 1.2.10, 1.2.20 порождаются, множествами, имещими следующий вид: U = U0 , UQ~ { J : г±е V ) , где о - открытая

конгруэнция (S,7 ) , а 7 - окрвстност нуля кольца Я. Такие

Ь

топологии назовем специальными полулинейными. Ранее автором9 показано, что эта топологии дают в определенном смысле полное решение задачи продолжения топологий для некоторого класса полугрупп.

Тема . главы 2 - псевдонормируемость топологических полугрупшвых колец и нормируемость топологических полугрупповых алгебр (при этом возникающие на них топологии' должны продолжать исходные топологии основного моноида и кольца (шля) коэффициентов).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.1. Топологический моноид (5,7") будем называть (неархимедово) псввдонормированшм при помои® пары (ц,р) , если неархимедова метрика ц согласована с топологией 7 и p(s) = \î(s,0) для любого s е S.

Топологический коноид назовем сжимающим если он неархимедовЬ псевдонормфован при помощи некоторой метрики ц причем ii(Ors) < 1 для любого ses.

Схимаапций моноид назовем строго сжимающим если S \ 1 -топологически нилыштентное множество. '

ТЕОРШ 2.1/2. Пусть (S,TQ) - строго сжимающий топологический моноид , a R - кольцо. Тогда следующие утверждения эквивалентны: I) существует-неархимэдово--псбвдонормирувмое кольцо-- -(R[S1,T) , где Т!3= TQ ;

il) (S,TQ) - на архимедово псевдонормирован при помощи пара,

, где p(S\1) < 1 ; Ш) топология TQ моноида S отделима и порождена счетной, убывающей системой конгрузнций fon).

Зададим M —» £К+ следующим образом ^(1) = 1; ,<уО) = 0;

e^fn; = trente )п я € * 4

■ Пусть (R,3"t ) - неархимэдово псевдошрм!гфувмое при помощи g кольцо.

Рассмотрим функцию —> Е+ , заданную следующим

9Пяртли с.А. Топологический аналог почти полициклических груш и задача продолжения топологий. Еестн. МГУ, сер. I, матвм-маг, 1992, J6 3

образом:

= in-fx=£r- m тр ГД0 Г1 € К ' mi € 1 •

ТЕОРЕМА 2.2.3. Пусть (S,TQ) - топологический, строго сжимающий моноид, неархимедово псввдонормировянннй при помощи метрики (1 , а (й,7"1 ) - неархимедово псевдонормированное при, помощи £ кольцо. Тогда функция ^ является нвархимедовой

псевдонормой кольца RfSJ, порождащей топологию 7 . так что

'Vo » Cf.„|H-È -

ТЕОРЕМА 2.2.4. Пусть (S,7Q) - топологический, строго сжимающий моноид , неархимедово псевдонормированный, .при помощи . пары (р.,р.), а К - поле с неархимедовой нормой j • | . Тогда функция Сн ^ является неархимедовой "нормой алгебры ' ÄfSJ, порождащей'топологию 7 , так что X|s= TQ и Сн = Iй! » где a î Я .

ТЕОРЕМА 2.3.3. Пусть - строго сжимащий1

топологический моноид Ç - не архимедова псевдонорма кольца R . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

(I) на кольце HÎSJ существует неархимедова псевдонорма Ç , такая что Ç|s= р , Ç|R= £ , 7r |s= 3~Q , где . 7, -¡-топология кольца HfSJ , поровденная псевдонормой С;

f tU S неархимедово псевдонормирован при помощи пара для

некоторой р. , такой что порождает на кольце топологию 7 ,

причем г|B« 70 и ^.„la-p;

fîtU S . псевдоноршфован,при помощи пащ (у.,р) дли .некоторой , причем существует такая конечная совокупность ffK^t)±)) псевдонормированных колец и такая совокупность { x^RlS] —* ^ J непрерывных на S кольцевых гомоморфизмов, что

mar-q^x^s)) = p(s)

Введем еще несколько важных понятий.

Пусть р - псевдонорма моноида (3,7) . Через ор обозначим конгруэнцию

S, Ор S2 ~ V t,f S p(ts^t')= p(tszf).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3.4. Пару (7,р) на топологическом моноиде (S,7) будем называть сбалансированной если каяднй ненулевой класс эквивалентности а открыт в Т.

Понятие сбалансированности можно трактовать так: для любого s € S все элементы из достаточно малой его окрестности ведут себя "одинаково" относительно р.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2.3.6. Пусть (.Э,Т) - топологический моноид, псевдонорлфованый при помощи пары причем

' и'^О

Тогда пара (7",р) - сбалансирована.

ТЕОРИЙ. 2.3.9 . Пусть - строго сжимающий топологический моноид, на архимедов о псевдонормированный при помощи пары (li.fi) , 5 ~ неархимедова псевдонорма кольца й . Если пара (Г0,р) сбалансирована, то на кольце РЛ51 существует неархимедова псевдонорма с . такая что С|3= р , С1Г= ? , Т^ |3= Та , где Т^ - топология кольца ЯШ , порозденная псевдонормой С- . ~ ■..... , ' '

ТЕ0РЕЯ4 2,4.1 . Пусть ~ строго сжимаиций

топологический моноид, псевдонормированный при помощи пары Гц,р.) для некоторой ц , ? - неархимедова псевдонорма кольца й . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

(I) на кольце Ш51 существует неархимедова псевдонорма £ , такая что СГ^- зг) = , 5 ;

Ш) вг) = , С|к= 5 ;

(Ш) существует такое конечное множество ((Т1Гг\±)} псевдонормированных колец и такая конечная совокупность ( %±:ШЗ] -» Т^- }■ кольцевых гомоморфизмов, , что

ШХ Т} ("ТС Зг)) = (НЗ,- Вг) для любого X € Ш51 .

В предыдущих утверждениях рассматривались неархимедово псевдонорлированные полугрушгавые кольца. При этом на полугруппу индуцировалась нульмерная топология. Ситуация, описанная ниже позволяет выйти за это ограничение.

Комплексным полухарактером назовем непрерывный гомоморфизм х.-Я В , где В = С г € С : |г| « 1 ) .

Характером нормированной алгебры А будем называть непрерывный гомоморфизм А —► С .

Пусть С - некоторая система комплексных полухарактеров Б . Будем говорить, что она согласована с метрикой ц если

= зир^с - х(вг)\

порождает ту ке топологию на 5 что и р. .

. Каждому полухарактеру .-* В . сопоставим .его продолжение —- С , являющееся гомоморфизмом алгебр.

Систему полухарактеров С будем называть полной если пКег X = fО]

ТЕОРЕМА 2.5.1. Пусть 5 - коммутативный топологический моноид, метризованный метрикой ц , и пусть С - полная - система полухарактеров, согласованная с ц . Тогда на <£[£] существует норма' ]•1 , индуцирухщая на' г исходную топологию, причём €[Б1

и. ее пополнение £[31 . по этой норме полупросты в смысле Джекобсона.

Глава 3 посвящена категорной интерпретации ряда результатов из предыдущих глав. Все основано на следующем наблвдении: дискретное полугрупповое кольцо может быть охарактеризовано, как' представлявдий объект некоторого функтора, ошсыванцэго представления основного моноида.

Пусть теперь у нас есть некоторая категория А и функторы •Р.-А и Т.-А $СТ . Через Р«7.- А ЖГ обозначал

функтор, сопоставляющий каждому объекту А категории А декартово произведение множеств ?(А) и 1 (А) , а каждому, морфизму - декартого произведение соотвзтствуюцих морфизмов.

Рассмотрим категорию - топологических полугрупповнх

колец,' имащих базис окрестностей нуля из открытых левых идеалов.

Пусть ШСГ. .-СТО. —► ¥5 - функтор, сопоставляющий каждому топологическому кольцу его мультипликативную полугруппу с сохранением топологии!" функтор' ЖР^-.&Ж —»"50" определим как }13{Ж1СТ^ (•)) , где й3 - основной ковариантный функтор категории 15 . рассмотрим функтор ПСР1яд= йн , где К € , Ян

- основной ковариантный функтор в .

ТЕОРЕМА 3.1.2 . функтор представим и полугрупповое

кольцо с топологией ТЫ является представляющим объектом.

Теперь перейдем к случаю псевдонормированвых полугрупповнх колец.

Пусть объектами категории СТ1К будут пары (Б.,%) , состоящие из кольца Д и неархимедовой псевдонорда I , . а морфизмами -кольцевые гомоморфизмы, неувеличивввдие псевдонорму. Пусть также объектами категории . Ш5 будут моноиды с не архимедовой, согласованной метрикой, а морфизмами - полугрупповые гомоморфизма, неувеличиванцие метрику.

Также, как и выше положим: М1СТг - функтор, сопоставлявдий кавдому псевдонормированному кольцу его мультипликативную полугруппу, с индуцированной метрикой. КСТ^ = НВ(Ж1СГ(■)) , где 5 е 0й_ШК5 , Э3 - основной ковариантный функтор в категории №5. Пологам также Л€Р = « Нп , где Я е ОМРДОК и

Э

основной коварцантный функтор в категории PffiR.

ТЕОЕША 3.1.3 . Вьшолнены следующие условия: (I) функтор представим;.

(It), если S - строго сжимающий, то полугрушовое ■ кольцо RIS] с псевдонормой ^ ^ , -где Ç - псевдонорма й , a fi - метрика S , будет представляющим объектом функтора ШЭ2НЗ .

Рассмотрим, как связаны представляющие объекта некоторого функтора, описывающего представления полугрупп в категории банаховых, алгебр и полугрупповые алгебры. Кроме того, мы увидим, что требование неархимедовости не очень существенно.

Пусть S - моноид с нулем, топология S порождена метрикой ц. Также F - произвольное поле, с нормой |•] .

Пусть А - банахова алгебра над F с нормой | • { , В -банахова алгебра с нормой | • | ' . Алгебраический гомоморфизм ф:Л —► В будем называть гомоморфизмом банаховых алгебр, если

Полученная совокупность - объектов и ' морфизмов образует категорию Валу

Пусть А - банахова алгебра г 1*1— норма А.

Функтор ШСТА пусть сопоставляет каждой такой алгебре ее мультипликативную полугруппу, с индуцированной метрикой.

Полугрупповой гомоморфизм ф :S -* Ж1СГ а(А) , где

[ц>(5) - фГе'Д < для любых s.s'z S назовем ешшающиы

представлением метризованного моноида в А.

Сжимающее представление ' ф метризованного моноида (S,\i) в А , где - <f(s'}\ = nfs,s'J для любых s,s'€ S , называется

изонетричным.

Зададим функтор .-ВоПр —» SETT следующим образом: .

ЖРлзи> = Я3(Ж1СГА(-)) для А € ObJBcffîj,.

ТЕОРЕМА 3.1.Б . Функтор Я£РДЗ представим.

ТЕОРЕМА. 3.1.7. Пусть ÎS.iiJ имеет изометричное представление в некоторой банаховой алгебре, а также существует норма С алгебры РШ, такая что Çfs - s'; ^ ¡iCs,s'j для

любых s,s' € S . Тогда пополнение FfSJ алгебры FCS3 по

некоторой норме является представляющим объектом функтора К£РДЗ .

Глава 4' Посвящена пополнениям полугрушовых алгебр. • • ■

Пусть К - неархимедово нормированное поле, S топологический моноид.

Как и в главе 2 положим U = { sp : sltsl е S\1 ) U {0,1).

io

Рассмотрим множество 7 строго возрастающих функций

, где f(O) = 0. Пусть 8 - ограниченная псевдонорма на S. Пару (Я,В) будем называть норлирумщм моноидом KCS1 (ср. § 2.2 ) если существует/ € 7 , такая что fíB^ün}} в(т).

ТЕОРЕМА 4.Í.2 . Пусть fS,7"Qj - строго сжимающий, неархимедово псевдонормировэнный при помощи ц. моноид, СМ,0J -нормирующий моноид алгебры KfSJ. Тогда функция ¡ ¡: KfSJ—► Е+ , задаваемая формулой:

1*1 = Inf-^rr, m supf jajefm^ где a± e К , € 3í .

является нормой KfSJ.

В таком случав "будем говорить, что j ■ пороадена-нормирующим моноидом (H,Q).

ТЕОРЕМА 4.1.12. Пусть К - неархимедово нормированное поле.. Пусть также fS,7"0J - строго сжимающий, неархимедово

псевдонормированннй при помощи . ц моноид, ÍM,9) - нормирующий

моноид алгебры KIS1 , Im 8 с Сf^UfO) , где О < f < 1 , (S,Q)

пороздает | • I . Тогда пополнение KÍS1 алгебры KÍS1 метрически изоморфно 0(В,К,J•IJ как линейное пространство над t .

Элементы алгебры KIS1 можно рассматривать, как функции над S с конечным носителем. Попробуем обобщить этот подход на

пополнение K[S] некоторой топологической алгебры KCSJ.

Пусть К - нормированное (необязательно неархимедово) поле, € - поле комплексных чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.1. Элемент х <= KIS1 реализуется функцией h:S -* К тогда и только тогда, когда существует сходящаяся обобщенная последовательность ха~* х , где ха= 2 agas , s е 5 к h(s) = Ilm аза .

Можно показать, что в общем случае элемент пополнения нормированной алгебры KÍS1 не может быть реализован функцией.

Пусть Í = С и на подугрупповой • алгебра задана локально-выпуклая топология.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4.2.5. Линейное пространство (СКП)^ со слабой топологией топологически изоморфно пространству . .непрерывных линейных функционалов над 7*, снабженному ^-слабой топологией.

1Н

ТЕОРЕМА 4.2.6 . Пусть К - полное - неархимедово нормированное пола. Пусть также - строго снимающий, не архимедово

псевдонормированный при помощи ц моноид, (И,в) - шрмирувдий моноид алгебры MS1 , (М,В) пороздает § * | . Тогда пополнение

K[S1 алгебры -ifSJ по норме |•| изометрично вложено в

пространство непрерывных линейных функционалов некоторого

нормированного функционального пространства над S , снабженное операторной нормой.

Для произвольного элемента х f CfSJ определим оператор

й следующим образом:

(Rj.y) =

Ясно, что (RJRyf)^) = (Rjf.zx) = (f,zzy) ~ , то

есть отображение TR:x —♦ Rz является представлением алгебры

CfSJ операторами над Назовем его естественный правым

представлением алгебры CfSJ .

_ Теперь пусть S - полугруппа с инволюцией * . Определим для

произвольного элемента х е CfSJ оператор следующим •

образом: г

(IJ.y) = (f,x*y> Легко доказывается, что Гх„."х -* представление алгебры

CfSJ. Назовем его естественным инволвтяввыц представлением.

ТЕОРЕМА 4."2.7." Пусть S - ' топологический моноид, ' CfSJ -локально-выпуклая отделимая полугрушовая алгебра, чья топология продолжает топологию основного моноида. Тогда естественное правое

представление является топологическим изоморфизмом между (C[Sl)v и алгеброй , снабженной сильной операторной

топологией.

ТЕОРЕМА 4.2.8. Пусть S - топологический моноид с инволюцией * , непрерывно продолжаемой до простой инволюции локально-выпуклой отделимой алгебры CfSJ , чья топология продолжает топологию основного моноида. Тогда естественное инволютивное гфэдетавлэниэ

является топологическим изоморфизмом между (tlS))v ж алгеброй Ы(ТЪг) , снабженной сильной операторной топологией.

Заметим, что линейные функционалы на пространстве - можно рассматривать, как аналоги обобщенных функций. Е случав, когда основной моноид является топологической, группой с внешне присоединенным нулем, естественное инволютивное представление

if

звязывзет алгебру СГ57 с некоторой "сверточной" алгеброй таких функционалов.

В главе 5 рассматриваются топологические полугрупповые злгебры в связи с гармоническим анализом.

Пусть К - неархимедово нормированное поле. . Через, р збозначим характеристику его поля классов вычетов й. Мы зассматриваем случай, когда р * О.

Рассмотрим категорию ТЗ , чьими объектами будут соммутативные, компактные моноиды с О и 1, а морфизмами -»прерывные полугрупповые гомоморфизмы между ними.

Пусть 5 е 0Ь_¥$. Положим 0д= П^дКег % , где Б шокэство всех Я-значных полухарактеров 5 , и рассмотрим

УТВЕЩЦЕНИЕ 5.1.4. Следующие утвервдения выполнены:

I) для любого 5 € 0„ € Ер1_55;

II) отображение —>-'®3 - радикал в категории ¥5;

III) для любого 2 е 0Ь_15 ®3(3} - отделим; .

iv) для любого Я £ 0Ь_И2 имеет систему непрерывных юлухарактеров, разделяющую его точки.

Рассмотрим топологическую алгебру [К[3],?) , где У -ильная линейная топология, 5 - компактный, коммутативный моноид

метрикой ц. Пусть К[&3($)]. ' .....

ТЕОРВДА 5.1.8. Пусть 5 € 0Ь_И5 - компактен, совместим с : , и топология Т0 на г пороадена метрикой даархимэдовой ц. огда выполняются следующие утверждения:

I) р - непрерывный гомоморфизм отделимых алгебр и любые два лемента ,зг моноида разделяются некоторым характером

алгебры К[&3(5)];

II) Кег р - псевдонормируемое кольцо.

ТЕОРЕМА 5.1.11 . Пусть 5 е ОЕ>_¥$ - компактный, совместимый с моноид с топологией,- порожденной нэархимэдовой метрикой ц . огда следующие условия эквивалентны:

и существует неархимедова норма на Ы8] , порождающая Т на

г

И) существует неархимедова норма на ИЗ] , пороздающая Т на , такая что любой Я-значный полухарактер % имеет непрерывное родоласение на нормированную алгебру К[3]; Ш) ,Кег е>3 - открытая конгруенция.

Систему полунорм алгебры С[С) , индексированную по

экоторой направленности А и удовлетворяющую следующим условиям:

(1) V а е А , в е С = и

(2) V а £ А , х е О Ш") =

(3) V а,р е А ( а ур »

назовем приведенной.- .....

Везде в дальнейшем, будем-, полагать, что топология алгебры С [С] поровдена приведенной системой полунорм.

Существует взаимно-однозначное соответствие между

непрерывными линейными функционалами на пополнении €Ю пространства £[С1 и иг ограничениями на 0. Таким образом,

имеем изоморфизм линейных пространств (СЮ})' и некоторого функционального пространства У с С (С) (ясно, что

(С[С])'<* (СЮ)'). Для / € 5 обозначим соответствующий ей линейный функционал через ? .

ТЕОРЕМА 5.2.8. Пусть С - компактна, / е Т , \ $ & .и /СЛ.; о , где / - преобразование Фурье функции 7 .. Тогда неприводимое унитарное представление класса I продолжается

до непрерывного представления алгебры €(С1.

ТЕОРЕМА 5.2.9. Пусть " С - компактна, х € €ГсУ .' Если для

любого непрерывного СЮ) -* ЕпЗ Нк , поровденного

неприводимым представлением класса X , Т^Гх; = О , то х = О .

СЛЕДСТВИЕ 5.2.10. Алгебра- СГ« полупроста по Джекобсону. .Пусть С - отделимая компактная груша, -К - алгебра представляющих функций, с топологией поточечной сходимости. Рассмотрим групповую алгебру СШ1 , задав на тай топологию при помощи следувдэй системы полунорм:

для любого класса К - неприводимых унитарных представлений группы С выберем представителя и обозначим его продолжение на С 1С) .через Тх ; теперь положим ^(х) = |ГХ| , где | | - операторная норма. Ясно, что определение корректно с точностью до эквивалентности полунорм.

Теперь зададим на СГС} и Я структуры, алгебр Хопфа,в (т,и,Ь,Е,т)) и (иЧиЧЛЧеЧт)',).

Построенную локально-выпуклую алгебру Хопфа С(С) с

"*Лсм. например: Бахтурин Ю.А. Основные структурн_ современной алгебры. М:Наука 1990.

операциями (m,u,A,s,r}) назовем естественной алгеброй Хопфа компактной группы G.

Пусть А - блок-алгебра и ее топология Т порождается следующей'системой полунорм:...... -

рх(.х) = \%(х)\ , где % - симметричный алгебраический гомоморфизм А на С.

Построенную топологию блок-алгебры 4 назовем естественной топологией.

ТЕОРЕМА 5.3.8 . Выполнены следущие утверждения: (I) для любой компактной, отделимой группы G ее естественная алгебра Хопфа взаимно сопряжена с алгеброй Хопфа представлящих функций в топологии поточечной сходимости.

(Ii) на любой блок-алгебре с естественной топологией можно задать структуру ал?ебры Хопфа, так что она будет взаимно сопряжена с естественной алгеброй Хопфа некоторой кошактной отделимой группы-С.

В сущности мы получили иную форму двойственности Танаки-Крейна, где основным объектом является естественная алгебра Хопфа группы С , а двойственным - алгебра Хопфа представляющих функций.

Автор -выражает огромную благодарность своему научному руководителю Михалеву A.B. за неоценимую помощь и'советы, а' также' Арнаутову и Кожухову И.Б. за обсуждения научной

проблематики.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ [13 Пяртли O.A. Псевдоноршруемость топологических полугрупповых колец, УМН, 1992, а 3(285), т. 49, с. 171.

CS1 Пяртли O.A. Об одновременном продолжении топологии' и псевдонормы моноида на его полугрупповое кольцо, Мат.Зам., 1993, £ 2, т. 53, с'. II0-II3.

[33 Пяртли O.A. К вопросу об одновременном продолжении топологии и. псевдонормы моноида на его полугрупповое кольцо, Веста.МГУ, 1993, » I, с.38-42.

■14)■ Пяртли.С.А..Топологические полугрупповые кольца:.специальные топологии ж вопросы.нетеровости. VI симпозиум по теории колец, алгебр и модулей Львов, 1990, с. 107 .

[53 Пяртли С.А.Открытая нетеровость топологических полугрупповых колец. Вестн. МГУ, сер. I, матем-мех, 1991, а 5, с. 62-67.

[61 Пяртли O.A. Топологический аналог почти полициклических групп и задача продолжения топологий. Веста. МГУ, сер. I, матем-мех, 1992, Jé 3

■ 171 - Pyartley S. Completions oí non-Archimedean • paeudonormed

Q

. semigroup-algebras. 3 Международная конф. по алгебре, Красноярск 1993, Тезисы сообщений, с..429.

t8] Pyartley S. Haar measure contra pseudonormed semigroup algebras 1л non-Archimedean case. 3я Международная конф. по алгебре, Красноярск 1993, Тезисы сообщений, с. 430.