Аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГ6 од

7 *..'"! 1 " етШСТЕРСТВО ОЕРЛЗОЗАНЖ РЬ РОССИЙСКИЙ ГООУДАРСТВЫШи ПЩГОГИШСКИД ШВЕРСШЕЕ ¡ШШ1 А.И.ГЕРДША

На правах рукописи ШОЕШКОМ НАДЕЗДА аШШИНОША АППРОКаШШ ТРЕХОСИОЗШХ

пошрушошх листйшгашж алгебр

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория члсол 01.01.01 - г.ятеттическиа анализ

АВТОРЕФЕРАТ! диссертации па соискание ученой отепеня кандидата фиашго-* итег.таггпесгак наук

Сашсг-Потербург 1903

Работа наполнена на кафедре алгебры Российского государственного педагогического университет имени

А Л .Герцена

Научный руководитель — кандидат физико-иатематических наук» профессор ЛВСОдЩ Н.М.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор РОЗШ В.В.

кандидат физико-математических наук, доцаит ЛОКОТЬ В.В.

Ведущая организация - Ростовский государственный педагогический институт

— Защита состоится "'1С" УАУО УС^е 1993 Б

■ ■ • чао, на заседании Специализированного Совета К ИЗ .05.14 по защите диссертаций на соискание ученой стелена кандидата наук при Российском государственном педагогическом университете шени А.Д.Герцена /191186,Санкт-Пете^ •<5ург, наб.р.Мойки, 48, корпус I, ауд.203/.

С диссертацией можно ознакомиться, в фундаментальной библиотеке университета. ,

Автореферат разослан »•."■■ 1993 года.

Учений секретарь

Специализированного Совета - кандидат дизико-матаматических

наук ЯШИНА Е.Ю.

- 3 -

оТиМ хшгажктт раеош

Актуальность темп. Данная работа посвя-щега вопроса;.! аппроксимации трехосновных полугруплошх ди-стрлбутлвных алгебр. Дистрибутивный закон - это 0Д1Ш из основных законов современной алгебры. Полукольца, кольца, поли, ллнеПные пространства а другие изучаем«» в алгебре объекта удовлетворяют дистрибутивному зако!гу. Поэтог.<у изучение дистрибутивных операций представляет значительный интерес.

Дистрибутивный закон имеет смысл, когда дано несколько основных множеств и операщь;, заданных ш эт;1Х множеств®. В настоящей работе рассматривается частннЛ случай многооснов-1шх.алгебр, начало изучения которих в общем виде полотно Б.И,' Плоткиным. 3 1Шогоос!ЮВШ5Х элгебрах несколько основш1Х шозоств л, кроме алгебраических операщь":, определенных на кагдом из этих множеств, допускгиотся операции, связнвяпцле элементы из различных пиотвстя.

. 11а полугруппах рассмотрение многоосиовных алгебр начато Е.С. Ляшшш с изучения систем с внешним умножением, свойства которых более подробно билл исследованы М.М. Лесохлным. Слетки с внешним у:лю:£сшгсм - ото ш что иное, как трехосновное полутруттовпе дострлбутлъные алгебры.

Аиирокспмшслл, то есть приближение, помогает свести од-1Ш асгебры к друшм, более хорошо нзучешепл. 3 гдтамат:пес-ком анализе, в геометрии, в тсор;ш чисел нримстозтся метода аппроксимации различных объемов, а тагсле разделы математики, как теория приблхинси фунггцпп, чиеяеншо методы анализа, целиком поев, сцены аппроксн-ацгаг» игроков пргп.'.ененпе аппрок-симацлошпх методов в алгебре сачзапо с именем академик* Л.П. Мальцева. Он дал обзее пошггяе алпрокет.шцли алгебраических систем относительно предикатов. Агпроксшшля полу- ■ групп отноелтелыю предикатов превратилась в обшфнуа я интенсивно ра:вл;таы:цу12'зл область теории полугрупп. IS посая-щегл работы :,!.;,I. Лесохина, С.II. Кублановского, Э.А. Голубо-ла, Ж. Герхзрда, Т. Нордела, М.З. Caraipa к других.

Исатзи со сказанным выше представляется интересным рас— смотрение аппроксгс, :;u'in трехосновных полугруплошх дистрибутивных алгебр отноелтелыю различите нродгпсатов в классе на-

иболее изучеш. 'X. трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр. Одним из вашелдшс производных объектов, связанных о данной полугруппой, является полугруппа характеров. Ее изучению посвящены работы to. Шварца, к, ЮшКюрда, М.Ы. Лесо-хква. Так как полугруппы характеров достаточно изучена, то представляет штерес рассматривать аппроксимацию произвольных трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр относительно различных предикатов характерами. Изучение полугруш характеров тесно связано с абстрактный гармоническим анализам на полугруппах, поэтому аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр характерами позволяет в некотором смысле сводить проблей таких алгебр к проблемам гармонического анализа на полутруппах, а эта область функционального анализа в настоящее время достаточно развита /см. д. Л. .OCa^^tOftbC cuvaC^W» of -se^c-

^t-cu^vt». ^схилб ^.otx-dcH. 1-Ч{/.

Так 1сак в большинстве случаев свойства аппроксимируемос-Т1Г не сохраняются при переходе к прямим произведениям и гомо-поррным образам, то целесообразно параду с обычной рассмотреть так называв!,grco глобальную аппроксимацию, то есть iff-

S3t - и «Дд -аппроксимацию трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр.

Цель работы. Списание трехосновных полугруппоиде дистрибутивных алгебр, аппроксимируемых относительно равенства, делимости, вхоздения элемента в подполугруппу и в идеал когяиексгеи.ш, неотрицательными вещественными и рацио-шиьшш характераш. Нахождение необходимых и достаточных у слови!*. CJt —, - и «АА -аппроксн/оцин трехосновных полугруппових дистрибутивных алгебр относительно указашпк шше предикатов, а тагсш относительно вхождения элемента в конёчцо-иоролденцую и в монотонную подполугруппу, относительно вхозденпя элемента в подгруппу и в пакет ильную под-rpyraiy комплексами характерами.

Методы и'с следования. 3 работе использованы метода аппроксимации полугрупп, метод разложения полугруппы в коммутативную связку архщедошгх подполугрупп,

метод продолжения гомоморфизма максимальной полгруптш до гомоморфизма всей полугрупп» в группу с внешне присоедоненшм яулем, метод построения гомоморфизма трехосновной нолугруп-поводистрибутивной алгебры с помощью гомоморфизмов исход-lDiX полугрупп.

Научная новизна. Зсе результаты диссертация являются новнш.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа нослт теоретический характер. Ее результата могут бить использованы в теория шгогоосновных алгебраических систем, при решении задач, связали« с аппроксимацией трехосновннх полугрупповых дистрибутивных алгебр.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докяаднпаяись на Международной конференции по алгебре, посвященной памяти А.И. Мальцева /Новосибирск, август IS89 года/, на Научно-пого.лдческой конференции преподавателей математических кафедр педагогических институтов Северо-Западной зош PGXP /Сшстывглр, сентябрь 1980 года/, на Герценовских чтении /Сагая-Пстербург, апрель 1932 года/, на семинарах по атгебро при Ростовском пединституте /гай 1992 года/, Таганрогском пединституте /май 1992 года/, Минском пединституте /апрель 1992 года/, Кишиневском государственном университете /апрель Г992 года/, на городском семинаре по теории полугрупп /Сшшт-Петербург, март 1992 года/.

Публикации. Список работ, опубликованиях автором, приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Дисс ,рта-ция изложена на 91 странице глялногптсного текста, состоит из введения и двух глав. Библиография включает 21 работу ото- • чествешшх и зарубе;яшх авторов.

КРАТКОЕ СОДЕКиАШШ РАЕОШ

Определение!. Пусть , Н , С' - произ-вольпно полугруппы, j - отображение viWti-' е. , обладагкцео свойствами: для ncex «-,oi.,,a.».€ Л,

{ (а,в. во - / (а,в.)/(а, в.) . Тогда тройку полугрупп Л, С вместе с отображением будем называть трехосновной полутрупповой дистрибутивной алгеброй и обозначать |Л

Определение 2. Гомоморфизмом трехосновной полутрупповой дистрибутивной алгебра (-Я-, Ь-., С», в алгебру («Мибудем называть тройку ^и) гомоиор-Тшзмов «I.: «Й1_>Л^ , ъ.С, —С». , обладающие свойство;,!:

V для всех о.еЛ1 , 8еР .

Определение 3. Пусть ф - некоторое множество гомоморфизмов трехосновной полугрупповой дистрибутивной алгебры , Ц - предшит, опреде.чешшЙ на вся-

кой полугруппе. (Л, Р>,С , называется аппроксишруемой относительно предиката О. по первой компоненте го; ;омор])Изма-ми из Ф , если для любых гюдшоясств Л, и Л* полу-группи Л таких, что О, (ЛЛ О" /I , найдется гомоморфизм ^лиз Ф , при котором 01 (а (Л-Л, оЦЛ^1) «л (Л, И, <?,-£) аппроксимируема относительно предиката Q по второй компоненте гомоморфизмами из Ф , е^ли для любих подмножеств в л и Н л. полугруппы ь таких, что

, на.Ччетсл<\\ \ ' у^ при котором О ( . ^ «Л . (»Л, , С" _ I) аппроксимируема отно-

сительно (Я по третьей компоненте гомоморфизмами из Ф , если для любнх подмножеств <?•. и С ^ полугруппы С ких, что , наЯцется^'Ч ь")е при кото-

ром .

Рассматривая полугруппу характеров ко.чмутатлвной полугруппы --М , мл получаем трехосновную полугрупповую дистрибутивную алгебру

где Г' - мультипликативная полугруппа поля Р , } для любих ^ е -/и , Не^Слд.РЧ Тогда гомоморфизм произвольной трехосновной полутрупповой дистрибутивной алгебры

р в алгебру такого вида будем называть характером (. V», й ,е, }) .

Обозначим П - класс алгебр Ыи .Ис^(ои,К') ,к', где К' - полугруппа, полученная из мультипликативной группы

всех корней комплексных чисел из < внешним присоединением нуля О ; П' - класс .алгебр , Мо»^ (-Лл, О, И4, ^ ( гдо

Р.* - мультипликативная полугруппа неотрицательных вещест-веннмх чисел; II" - класс .Нс^ии .СП.С^А где О* -мультипликативная полугруппа рациональных чисел. Тогда гоггонор-Тягам ЬА,Р>,е,р в алгебру класса П будем называть комплексным характером р , гомоморфизм (Л,в,С, р

в а-ггсбру из (Г - вещественным характером (<Л,Р>,е, у) , а гомоморфизм (-Л , Р>, С, ^ 1 в атгебру из П" - рациональным характером (-.А, е>, С , р .

В данной диссертации исследуются даа крута вопросов:

1, Описаны трехосновные лолугруплопие дистрибутивные алгебры, аппроксимируете относительно равенств, делимости, вхо-лдснил элемента в подполугруппу и в идеал комплексными, веи-сствешд!'^! и рздгоналыпга! характерами.

2. Описаны трехосновные полугрутшовие дистрибутивные алгебры, 6 -А1 -аппроксимируемые относител1,но равенства, долимости, вхо:.£декня элемента в идеал, в подполугруппу, в конечно-порожденную и в моногешгуп подполугруппу, а тшем вхолдегшя элемента в подгруппу и в максимальную подгруппу когстлексинмн характерами.

Диссертация состоит из двух глав, в каздо;! из которых решается соотпетствугопал проблема.

Зо введения приведешь необходимые определения л обозначения.

Приведем краткое изложение каадой главы.

ГЛАВА I ЛШРСКСЛМАШ трйшкшос полугруппоид! хдаг.шу-ппшх алгебр харакгзиш

В первом параграфе получены необходимые и достаточные условия аппрокотпщш трехосповшх полугрупповых дистрибутивных алгебр по всем трем компонентам относительно равенства комплексными, вещественными и рациональными характерами.

. Предложение 1.1.2. Для того, чтобы произ-

вольная трехосновная полугрунповая дистрибутивная алгебра была аппроксимируема относительно равенства по второй ко;пюнентс комплексными характерами, необходимо и достаточно, чтобы 16 била :сог ¡мутатшзнол отделимо]! полугруппой.

Предложение 1,1,6. Для того, чтобы произвольная трехосновная полугруппе г.ая дистрибутивная аотебра («Л,е>,С\ была аппроксимируема относительно равенства по второй компоненте рацнокальшст характерами, необходимо и достаточно, чтоби (й была кощутативноЛ отдели: гой полугруппой без кручения, и тигш элементов, отличных от единицы, в полугруппе дробей полугруппы Ь имели вид (0,0, .

Второй параграф первой главы посвящен аппроксм.вдии трехосновных полу^руппових дистрибутивных алгебр относительно делимости и вхождения элемента в идеал комплексными характерами.

Будем говорить, что элемент е £ делится на элемент 5 слепа /справа/, если найдется такой элемент •» е й , что = / ,-х-зе.м /.

Предложение 1.2.3. Цусть 01 - коммутативная полугруппа. Для трехосновнол иолугрунповой диотрябутив-кой алгебры («Л, а, с-, {) следа-.ине условия эквивалентны:

11 аппроксимируема относительно делимости

слева и справа по третьей компоненте комплексными характерами,

2) (Л аппроксимируема относительно вхождения элемента в левне и правые идеалы по третье!! компоненте ком-плекотяи характерами,

3) С - инверспвл вполне регулярна»! полугруппа.

Третий параграф первой главы посвящен аппроксимации

трехосновных полугругшовых дистрибутивных алгебр относительно вхождения элемента в подполугруппу комплексными и вещественными харшстераш.

Теорема 1.3.3. Для произвольной трехосновной ло-лугрупповой дистрибутивной алгебры ий ^) следующие условия эквивалентны:

- 9 -

аппроксимируема относительно вхождения аяеыента в подполугруппу по второй компоненте вещественными характерами,

2) С^.Ь.С, ^ аппроксимируема относительно равенства по второй компоненте вещественными характерами,

3) Ь - коммутативная отделимая полугруппа, и для ло-бих гюеыентов «и.й^е^ из того, что 35. при некотором натуральном и. , следует, что €.< » 0». .

Из доказательства данной теоремы следует, что если для некоторой полугруппы 5 выполняется условие 3), то произвольная трехосновная псдугрупповая дистрибутивная адгебра, имеющая в своей второй компонентой, аппроксимируема относительно любого предиката, определенного на алиментах и подмножествах полугруппы & , по второй компоненте вещественными характерами.

Предложение 1.3.2. Пусть <.4 - коммутативная полугруппа. Для того, чтобы трехосновная полу групповая дистрибутивная алгебра е^С, бняа аппроксимируема относительно вхождения элемента в подполугруппу по третьей компоненте комплексными характерами, необходимо и достаточно, чтобы С была коммутативной регулярной периодической подупуппой, максимальная ггодлслуггупга идемпотентов полугруппы С' содержала ноль 4 , и произведение любых двух различных идемпотентов равнялось а. .

Четвертый параграф пе{вой главы посвяцен нахождении минимальной трехссновной полугрупповой дистрибутивной алгеб-[ы характеров для аппроксимации относительно вхождения аае мента в подполугруппу по третьей .компоненте.

Оказалось, что добавление к К' третьего идемпотента снимает в предяошши 1.3,2 условие дая идемпотентов полугруппы С. . Таким образом расширяется класс аппроксимации трехосновных полугрупповых дистрибутивах алгебр относительно вхождения элемента в подполугруппу по третьей компоненте.

Обозначим , где 0<И ; П -класс

трехосновных полугрупповнх диотрибутивлвх алгебр

(ОцИо^имД^К,

Теорема 1.4.1. Пусть «Я - коммутативная поду-

- 10 -

груша. Для того, чтобы трехосновная полугрупповая дистрибутивная алгебра (.Л, R, е , р была аппроксимируема относительно вхо.здения элемента в подполугруппу по .третьей компоненте гомоморфизмами в алгебры класса П , необходимо и достаточно, чтобы С- была коммутативной регулярной периодегчес-кой полугруппой.

П являстся минимальным классом аппроксимации трехоо-hobidix полугрупповых дистрибутивных алгебр относительно вхоздения элемента в подполугруппу по третьей компоненте, так как, обозначив через К собственную подполугруппу полугруппы К , чороз П - класо («М.Ис^^Лл ,К), R, ^ , могло доказать: . .

Теорема 1.4.2. Существует трехосновная полугруп-повач дистрибутивная алгебра, аппроксимируемая относительно вхождения элемента в подполугруппу по третьей компоненте го-момор^измагш в алгебры класса П , но не аппроксимируемая относительно вхо:здеши элемента в подполугруппу по третьей компоненте гомоморфизмами в алгебры класса О .

ГЛАВА II ГЛОБАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИИ ТРЕХОСНОВНЫХ ПОЛУГРУППОШХ ДПСТЙШУТШШХ АЛГйНР КОШШЕХСИШ ХАРАКТЕРАМИ

Во второй главе решается вопрос о так называемой глобальной аппроксимации, то есть об аппрокст.ицип трехосновной. полугрупповой дистрибутивной алгебры вместе с некоторым классом алгебр, которому данная алгебра пр:шадле::шт - ЭД -, S ,М -аппрокс1г,тцля трехосновной полугрупповой дистрибутивной алгебры относительно Есех рассматриваемых npejycca-гов комплекешпл! характерами.

В первом параграфе второй главы получены необходим;«? и достаточныо условия CR -аппроксимации трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр относительно равенства, делимости, вхо:кдения элемента в идеал, в подполугруппу, в ко-нечно-порогденнуга и в коногекную подполугруппу по всем трем компонентам комплексным! характерами.

- II -

Определение Ч. Трехосновная полу групповая дистрибутивная алгебра р называется 'Л -аппрокпв-

мирусмой относительно предиката Q по первой /второй, третьей/ компоненте характерами, если все гомоморфные образы аппроксимируемы относительно Q по первой /второй, третьей/ компонента характерами.

Соответствующее определение можно дать для Ск -аппроксимации комплексными характерами.

Предложение 2.1.3. Дня произвольной трехосновной псяугрупповой дистрибутивной алгебры следующие условия эквивалентны:

С, ^ -аппрокоимируема относительно вхождения этемента в моногенную подполугруппу по второй компоненте комплексными характерами,

2) , k,С, р -аппроксимируема относительно paeeit-отва по второй компоненте комплексными характерами,

3) Ь - коммутативная регулярная полугруппа.

Второй параграф второй плавы посвяден <3'Ж -аппроксимации трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр относительно всех рассматриваемых предикатов комплексными характерами.

Определение-*?. Трехосновная полугрупповая дистрибутивная алгебра М',J") называется подалгеброй алгебры ,te,С,, если Л' , В' и С' - подполугруппы соответственно полугрупп Л , В и С , и для всех элементов л € -JV , fei. ß' выполняются условия: . = J Ccv.fc^.

Определение 6. Трехосновная полу групповая дистрибутивная алгебра (tft, называется Л CK -ап-

проксимируемой относительно предиката Q по первой /второй, третьей/ компоненте характерами, если все подалгебры и все их гомоморфные образы аппроксимируемы относительно (5 по первой /второЯ, третьей/ компоненте характерами.

Предл ожение 2.2.4. Для произвольной трехосновной полугдепповой дистрибутивной алгебры (Jl.ft.P, р следующие условия эквивалентны:

I) (»H, ft.C, П ^ v5C-аппроксимируема относительно дели-

- 12 -

мооти олева и справа по второй компоненте комплексными характерами,

2) ('й.&.е, р -аппроксимируема относительно вхождения в левые и правые идеалы по второй компоненте комплексными характерами,

.^-аппроксимируема относительно вхождения элемента в подгруппу по второй компоненте комплексными характерами,

'О (Л .р -аппроксимируема относительно вхождения элемента в максимальную подгруппу по второй компоненте комплексными характерами,

5) В - инверсная вполне регулярная периодическая полугруппа.

3 третьим параграфе второй главы рассматривается вопросы -¡U -аппроксимапии трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр комплексными характерами.

Определение 7. Прямым произведением трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр ^^ ji) , Ii.Л , называется трехосновная полугрупповая дтстрибутив-ная алгебра П И;, ftc.C-t, {tV.^i,^: , р , где

Определение 8. Многообразием, порожденным трехосновной полугрупповой дистрибутивной алгеброй («А , te, С, ^ будем называть наименьшее множество, содержащее и замкнутое относительно операторов взятия подалгебр, гомоморрных образов и прямых произведений.

Многообразие, порожденное («й, й,С:, , обозначим JuCJl,b,c,p .

Определение 9. Трехосновная полугрупповая дистрибутивпая алгебра C-J*, Р>,С, р называется <JU -аппроксимируемой относительно предиката Q по первой /второй, третьей/ компоненте характерами, если всякая трехосновная полугрупповая дистрибутивная алгебра из сАК-Л, й, с, аппроксимируема относительно Q по первой /второй, третьей/ компоненте характерами.

Теорема 2.S.I. Дня произвольной трехосновной по-луг{упповой дистрибутивной рлгебрн (-J,О , |следущие

условия эквивалентны:

XI -аппрокоимируеиа относительно вхождения элемента в подполугруппу по второй компоненте комплексными характерами,

2) (»А, й,е, Да -аппроксимируема о^чосктельно вхо*^. дения элемента в конечно-порожденную подполугруппу по второй компоненте комплексными характерами,

8) (-.А, Й.С, <1и -аппроксимируема относительно вхо1&-дения элемента в моногеннуо полполугруппу г' второй компоненте комплексными характерами, •

(-Л. Й>,О, х/Ц -аппроксимируема относительно равенства по второй компоненте комплексными характерами,

5) & - коммутативная регулярная периодическая полугруппа с ограниченными в совокупности порядками элементов.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТШЕ ДИССЕРТАЦИИ .

Т. Плотникова Н.В. Аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебраических систем относительно равенства // Международная конференция по алгебре, поев, памяти А.Й. Мальцева! тез.докл. - Новосибирск, Г989. - СДОЗ.

2, Плотникова Н.В. Аппроксимация трехооновных полугрупповых дистрибутивных алгебр // Исследования полугрупп. - Л. -1990. - С,87-96,

3, Тютникова Н.В. Аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр // Полугруппы и нх гомоморфизмы. -Л. - 1991. - С.69-75.

4, [йотникова Н.В. Об аппроксимации трехосновных пояу-групповцх дистрибутивных алгебр относительно вхождения аяе-мента в подполугруппу // Полугруппа и их гомоморфизмы, - Л. - 1592. - С,113-117.

5, Плотникова Н.Э. -аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр // РГПУ им.Герцена. - С.Петербург. - 1992. - 20о. - Деп.В ВИНИТИ. 21.04.92. ЯПТ?~ В92.

6, Плотникова Н.В. -аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр// РГПУ им.Герцена. -