Индикаторные характеризации некоторых свойств многообразий ассоциативных колен тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

гй о;:

5 '' ■п ''.....

*" " На правах рукописи

Пайсоп Ольга Борисовна

ИНДИКАТОРНЫЕ ХАРАКТЕРИЗАЦИИ НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ МНОГООБРАЗИЙ АССОЦИАТИВНЫХ КОЛЕЦ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург, 1998

Работа выполнен.! на кафедре алгебры и дискретной математики Уральского государственного университета.

НаучныИ руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор М. В. Волков

доктор физико-математических наук, профессор Ю. Н. Мальцев

кандидат физико-математических наук, доцент И. Л. Хмельницкий

Московский государственный университет

Защита диссертации состоится " " ¿^¿счиг 1998 года в ^ '' часов на заседании диссертационного совета Д 002.07.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан (.ОСХ^Л— 1998 г.

Учёный секретарь диссертационного совета,

кандидат физ.-мат. наук, /"*

доцент (/' ¿2с! ¿г!_ В. В. Кабанов

?

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

К началу 80-х годов развитие теории многообразий привело к осознанию особой роли различного рода минимальных контрпримеров н многообразий, экстремальных относительно естественных алгебраиче-:ких свойств. Поиск таких экстремальных многообразий и контрпримеров весьма часто приводит к появлению индикаторных гаракпнриза-ций. Под индикаторной характеризацией многообразий, удовлегворяю-цих некоторому свойству 0, мы, следуя Л. Н. Шеврину (см. §0 обзора 11]), понимаем утверждения типа:

Многообразие обладает свойством 0 тогда и только тогда, когда не содержит ни одной из алгебр1 Л\, Ао,....

Конечно же, нас интересуют только нетривиальные описания подоб-юго сорта. Естественно, например, стремиться к отысканию индикаторных характеризаций, и которых ни одна из "запрещенных'" алгебр 41,-42,... не может быть отброшена или заменена алгеброй меньшей мощности. Подобные характеризации будем называть минимальными.

Плюсы индикаторных описаний ярко проявляются, например, при алгоритмическом подходе, влияние которого на теоретическую алгебру, и в частности, теорию многообразий, заметно возросло в последнее десятилетие ( см., например. [12]). Алгоритмический подтекст заста-шяет интересоваться не только описаниями изучаемого свойства, по и юзможносгью эффективно проверять, удовлетворяет ли произвольное многообразие этому свойству.

Предположим, что для свойства в найдена минимальная индикатор-гая характеризация. Мы хотим построить алгоритм, который по произ-юльному многообразию 21 проверяет, удовлетворяет ли оно свойству 0. Для удобства многообразия, обладающие свойством, будем называть 0-лногообразиями, а не обладающие — не ^-многообразиями.) Конечно, и должно быть задано эффективно. Возможны два основных способа такого эффективного задания:

1) <У порождено конечной алгеброй .4;

2) задается конечным набором тождеств

Легко видеть, что если 47 — уаг Л (т.е. использован первый способ шдания), достаточно проверить, лежат ли в Ш конечные запрещенные

'Здесь и далее в тексте, чтобы юбел:ать разночтений, слово "алгебра" употребляется

I одном смысле "ассоциативная алгебра над ассоциативно-коммутативным кольцом ■единицей", а сл<.;но "кольцо" всегда означает "ассоциативное кольцо".

алгебры. При этом, поскольку каждые две различные запрещенные алгебры порождают различные многообразия (характеризация минимальна), а в Ю конечное число подмногообразий (см. [4]), то и проверять нужно лишь конечное число запрещенных алгебр. Какие именно, обычно нетрудно установить, используя характеристики А (порядок, экспоненту и т.д.). Ясно, что проверка, лежит ли в Ч] конечное число конечных алгебр, может быть осуществлена эффективно.

Рассмотрим теперь задачу, когда проверяемые многообразия задаются вторым способом. В этом случае доказательство того, что Ш является О-многообразием, превращается в почти рутинное. Достаточно убедиться, что ни одна из алгебр А\, Ап,... не удовлетворяет системе тождеств Е. Весьма часто (а точнее, нам не известен пример индикаторной харак-теризации, когда бы это было не так) подобная проверка осуществляется эффективно.

Отметим, что картина несколько меняется, если для в найдена не индикаторная, а скажем, эквационалъиая характеризация, т.е. описание этого свойства на "языке тождеств". В этом случае получение на основе характеризации требуемого алгоритма — задача, как правило, нетривиальная. Например, если проверяемое многообразие ® задается конечным набором тождеств Е, то при построении алгоритма мы по сути сталкиваемся с проблемой разрешимости эквациональной теории многообразия 23. В случае ассоциативных колец эта проблема до сих пор открыта, т.е. неизвестно, существует или нет алгоритм, который но заданному многочлену / и конечной системе тождеств Е определяет, является ли тождество / = 0 следствием тождеств из Е.

Одна из наиболее естественных стратегий, приводящая к появлению индикаторных характеризаций, связана с поиском почти-в-.многообразий. Многообразие ЭД будем называть почти-0-многообразием, если оно само не удовлетворяет свойству в, в то время как любое его собственное подмногообразие этим свойством обладает. Другими словами, такие многообразие — в точности минимальные (относительно включения) элементы в множестве не-0-многообразий.

Пусть 0 — наследственное свойство, т.е. такое, что все подмногообразия любого ^-многообразия — также ^-многообразия. В этой ситуации почти-в-многообразия играют роль минимальных контрпримеров, и любая информация о них оказывается чрезвычайно полезной. Но наибольшую ценность эта информация приобретает в случае, когда каждое не-0-многообразие содержит почти-0-многообразие. Так проис-

ходит, например, если каждое ^-многообразие лежит в каком-нибудь конечнобазнруемом ^-многообразии. Действительно, из коалгебраично-сти решетки многообразий немедленно вытекает, что полурешетка не-0-многообразий удовлетворяет лемме Цорна "вниз", а значит, каждое не-^-многообразие содержит почти ^-многообразие. В этой ситуации наше свойство обладает индикаторной характеризацией — достаточно в качестве "запрещенных алгебр" взять порождающие алгебры почти в -многообразий. Легко видеть, что такая характеризация будет минимальной.

Подобный подход неоднократно и весьма успешно реализовывался в теории многообразий колец. Были найдены индикаторные характери-зации кроссовых, цепных многообразий, многообразий колец с разрешимой элементарной теорией, дистрибутивных многообразий алгебр над полем характеристики 0, коммутативных, нильпотентных, периодических, (локально) финитно аппроксимируемых многообразий колец и т.п.

Аналогичный подход применяется и в данной диссертационной работе, основная цель которой — нахождение индикаторных характериза-цнй некоторых естественных свойств многообразий колец. Изучаемые своИгтва разбиваются на три группы. Первая из них связана с хорошо известными обобщениями свойства коммутативности эпгелевостью и mрсетановочностъю. Напомним, что кольцо или многообразие называется энгелевым, если оно удовлетворяет некоторому тождеству вида [г, у,..., у] = 0, и перестановочным, если удовлетворяет некоторому тождеству вида

" ' ' Х„ = Хх„Х2<7 ■ ' ' Хпа, где п — произвольное натуральное число, а сг — нетривиальная перестановка множества {1,2,____п}. Описание почти энгелевых многообразии алгебр над полем характеристики 0 получено Ю. Н. Мальцевым в [01. Почти энгелевы многообразия алгебр над полем положительной характеристики, по-видимому, не исследовались вообще. Случай колец рассматривался в [8]. Там доказано, что локально конечные почти энгелевы многообразия колец суть в точности ненильпотентные почти коммутативные' многообразия, полный список которых был найден в [7]. Вопрос о существовании других почти энгелевых многообразий, а тем более о полном их описании, оставался открытым (см. [2], проблема 3.5:1)- Список же почти перестановочных многообразий не был найден даже в случае алгебр над полем нулевой характеристики. Восполнению этих пробелов посвящена первая глава диссертации.

Следующая группа изучаемых в работе свойств касается свойства финитной отделимости. Подмножество М алгебры А называется финитно отделимым в А, если для любого элемента х £ Л \ М существует гомоморфизм <р алгебры А в конечную алгебру, при котором <р(х) ^ (f{M). Это естественное понятие впервые возникло в известной работе А. И. Мальцева [5], который указал на его тесную связь с классическими алгоритмическими проблемами. Нас интересуют многообразия колец с финитно отделимыми подмножествами тех или иных типов. Описание многообразий, в которых все (все конечнопорожден-ные) кольца обладают лишь финитно отделимыми двусторонними идеалами несложно извлечь из [13] (соответственно, из [3]). Многообразия, в которых условие финитной отделимости накладывается на подкольца всех или всех конечнопорожденных колец, исследованы М. В. Волковым и М. В. Сапиром в [1].

Неизученными, таким образом, оставались многообразия, в которых аналогичные условия касались бы правых идеалов. Такие многообразия мы исследуем во второй главе данной работы.

Последняя группа свойств касается многообразий с ог раничениями на критические кольца. Напомним, что кольцо называется критическим, если оно конечно и не лежит в многообразии, порожденном собственными подкольцами и гомоморфными образами. Информация о строении критических колец чрезвычайна полезна при исследовании многообразий. В этой связи заметный интерес представляют многообразия, в которых критические кольца удовлетворяют важным кольцевым или решеточным свойствам.

Наиболее естественные решеточные ограничения приводят прежде всего к изучению алгебр с цепными и дистрибутивными решетками кон-груэнций. Кольцо будем называть цепным (арифметическим), если оно обладает цепной (дистрибутивной) решеткой двусторонних идеалов. В третьей главе диссертации изучаются многообразия, все критические кольца которых являются цепными (арифметическими). Отметим, что в [9] найдено несколько эквивалентных описаний многообразий GF(p)-алгебр, все критические алгебры которых арифметические.

В работе используются методы, конструкции и результаты теории колец и теории многообразий колец.

В диссертационной работе получены следующие теоретические результаты:

описаны почти энгелевы многообразия алгебр над полем и почти энге-хеиы многообразия колец; найдена индикаторная характеризацня свой-:тва энгелевос.ти;

исследованы почти перестановочные многообразия алгебр над полем; голучен полный список таких многообразий как в случае бесконечного, 'ак и в случае конечного поля:

найден простой базис псевдотождеств для псевдомногообразия всех юнечных перестановочных гыгебр;

получены индикаторные и эквациональные характеризации много-»бразий, все (конечнопорожденные) кольца которых обладают лишь фи-гатно отделимыми правыми идеалами;

описаны многообразия колец, все критические кольца которых явля-отся арифметическими;

Доказано, что все найденные в работе описания эффективны, т.е. сказаны алгоритмы, которые по конечному заданию многообразия (ко-гечной порождающей алгеброй или конечным базисом тождеств) опре-1еляют, обладает ли оно одним из указанных выше свойств.

Все перечисленные результаты являются новыми.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные »езультаты могут быть применены в теории колец и теории многообра-1ИЙ колец.

Основные результаты диссертации докладывались на III Междуна-юдной Алгебраической конференции (Красноярск, 1993), Международной конференции, посвященной 100-летию Н. Г. Чеботарева (Казань, 1994), Третьей Суслинской конференции (Саратов, 1994), Междуна-юдной конференции по теории колец (Мишкольц, Венгрия, 1996), IV Международной Алебраической конференции (Санкт-Петербург, 1997), |аседаннях семинаров ''Теория колец" СО РАН (1996, 1997), "Алгебра i логика" СО РАН (1997), заседании семинара по теории колец кафе-1ры высшей алгебры МГУ (1997), заседаниях семинара "Многообразия солец" кафедры алгебры и теории чисел Алтайского госуннверситета 1995, 1996, 1997), заседаниях семинара "Алгебраические системы" (Ур-

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14]-[20].

Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 10 пара-рафов, и библиографии, включающей 66 наименований. Общий объем щссертации составляет 99 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даны основные определения, обоснование и описание рассматриваемых вопросов и обзор результатов диссертации.

Первая глава посвящена обобщениям коммутативности — -ш голевым и перестановочным тождествам.

Договоримся обозначать через Я* многообразие, двойственное к Л : в случае же алгебр К* — алгебра, антиизоморфная К.

Прежде чем сформулировать результаты §1, введем необходимые обозначения для алгебр. Пусть Р — произвольное коммутативное кольцо. Тогда положим

где Ь,с пробегают конечное расширение С? поля Г. а <х — такой Р-автоморфизм поля Сг, что поле инвариантов О" — единственное максимальное подполе в б, содержащее Р.

Теорема 1.1. Многообразие алгебр над бесконечным полем .Р положительной характеристики является почти энгелевым тогда и только тогда, когда оно порождено одной из алгебр А(Р) или А(Р)*.

Таким образом, для произвольного бесконечного поля описание почти энгелевых многообразий по форме оказывается в точности таким, как и найденное в [6] описание для случая поля нулевой характеристики.

Теорема 1.2. Многообразие алгебр над конечным полем Р является почти энгелевым тогда и только тогда, когда оно порождено одной из алгебр А{Р), А(Р)* или

Простым следствием теоремы 1.2 и результата из [6] является следующее утверждение, решающее проблему 3.52 из [2]. (Через С.Г(</) мы обозначаем поле из д элементов.)

Теорема 1.3. Многообразие колец является почти энгелевым тогда и только тогда, когда оно порождено одним из колец А(СР(р)), А(ОР{р))* или В(СР(р),0,а), где р — простое число.

Если теперь Р — конечное поле, то

Благодаря полученным результатам можно утверждать, что энгеле вость — свойство, зависящее лишь от конечных алгебр.

Следствие 1.1. Если все конечные кольца (конечномерные алгебры) многообразия энгелевы, то и само многообразие энгелево.

В этом смысле ситуация с энгелевостью практически повторяет аналогичную с коммутативными многообразиями — и для них выполняемся подобное утверждение (см. [7]). Более того, как показывает следующий результат, отличие энгелевости от коммутативности кроется в конечных нильпотентных алгебрах.

Следствие 1.2. Пусть ьсе конечные нилъпотентные кольца (конечномерные

нилъпотентные алгебры) многообразия коммутативны. Тогда, если 57 энгелево, то оно коммутативно.

Для того, чтобы сформулировать основные результаты §'2, нам понадобятся новые тождества и обозначения для многообразий.

Введем однопараметрическую серию Ср. Многообразие Со задается тождествами

х[у, с]/ + ф, ф + ф. ф = О, а СР (р > 0), помимо указанных тождеств, еще и следующими:

И!Л=Н = <1,

[[г/, ф-'\ и] = 0. [хуР:,и] = 0,

хуР + уРх = ухур~\ ху': - гх/х = [г, Ф/ + уг[г, х].

Обозначим через Х>о — многообразие, удовлетворяющее следующим двум тождествам:

[аМ/]М = 0,

Через Эр (р > 2) будем обозначать многообразие, задаваемое помимо двух тождеств, выписанных выше, еще и тождеством

х? = 0.

Последнее многообразие этой серии £Ь задается двумя тождествами

*У = 0,

[х2, у] = 0.

Теорема 2.1. Многообразие алгебр над бесконечным полем характеристики р > 0 является почти перестановочным тогда и только тогда, когда оно совпадает либо с Ср, либо с Эг.

Следующая теорема посвящена почти перестановочным многообразиям алгебр над конечным полем. Для ее формулировки нам понадобятся еще две серии многообразий.

Базис многообразия £Яр,?, состоит из двух следующих тождеств:

{х - х*)[у, г] = 0, (х - х1)уР = 0,

Наконец, последняя серия состоит из многообразий &р,дщ, задаваемых тремя тождествами:

[х,у]г = г^[х,у], х1туМт = у^х, хгиГ+1 = о.

Теорема 2.2. Многообразие алгебр над конечным полем характеристики р и порядка д является почти перестановочным тогда и только тогда, когда либо порождается конечной алгеброй, либо совпадает с одним из многообразий Ср, Эр, ©р,7,т или

Почти перестановочные многообразия, порождаемые конечной алгеброй, изучаются в §3. Зафиксируем обозначения для следующих алгебр. Пусть Р — конечное поле. Тогда

( а 6 с)

0 0 А

\ 0 0

где а.Ь,с,с1 пробегают F.

Через А* обозначается алгебра, полученная из А присоединением единицы.

Основным результатом §3, заканчивающим характеризацию почти перестановочных многообразий, начатую в теореме 2.2, является

Теорема 3.1. Кроссово многообразие Р-алгебр является почти перестановочным тогда и только тогда, когда оно порождено алгеброй В(Г, С, <т), С{Г), Т(Г) или где J — алгебра, порождающая нилъ-потенгпное почти коммутативное многообразие.

Отметим, что свойства алгебр типа ,7 и порождаемые ими многообразия изучались несколькими авторами (см., например, [7], [10]), но законченного описания таких алгебр пока не найдено. Тем не менее приведенная в теореме 3.1 характеризация оказывается достаточно эффективной. В качестве одного из ее приложений мы указываем простой базис псевдотождеств для псевдомногообразия ф/,„ всех конечных перестановочных алгебр (предложение 3.2).

Отметим также неожиданное

Следствие 3.1. Конечная алгебра перестановочна тогда и только тогда, когда все ее двупорожденпые подалгебры перестановочны.

В §4 (следствия 4.1-4.5) приведены явные индикаторные характериза-ции энгелевых и перестановочных многообразий. Здесь же доказывается (предложение 4.1) существование алгоритма, который по конечной системе тождеств Е определяет, является ли многообразие уагЕ энге-левым. Аналогичное утверждение для перестановочных многообразий сформулировано и доказано в предложении 4.2.

Во второй главе характеризуются многообразия, в которых все (все конечнопорожденные) кольца обладают лишь финитно отделимыми правыми идеалами. Такие многообразия будем для сокращения называть -отделимыми (соответственно, локально К,-отделимыми).

Нам понадобятся следующие кольца. (Первое из них будет использовано еще раз при формулировке теоремы 9.1.)

Мр — (mi.ni2 | рт! = ртп2 = 0, т\ = тп\ = гпхшг 4- тчт\ = 0), Лр = <"о | РЩ = 0, = 0),

Тр = (I I Р1 = 0), = <г|г2 = о>.

Теорема 5.1. Для многообразия колец Ш следующие условия эквивалентны:

(¡) в каждом кольце из © все правые идеалы финитно отделимы; (и) © не содержит кольца и ни одного из колец А(ОР(р)), Мр и Мр; (ш) для некоторых натуральных п и т в 23 выполняются тождества

Такую же исчерпывающую характеризацию мы даем и для локально 7£-отдслимых многообразий.

Теорема 6.1. Для многообразия колец Ш следующие условия эквивалентны:

(¡) в каждом конечнопорожденном кольце из Ш все правые идеалы финитно отделимы;

(и) 27 не содержит ни одного из колец 4(7},);

(¿11) для некоторого натурального п и для некоторых многочленов /¿(^мУ) 6 ® выполняется тождество

Нетрудно убедиться, что каждое из "запрещенных" колец А(ТР) конечно определено и обладает не финитно отделимым правым идеалом. Отсюда легко вывести

Следствие 7.1. Пусть 23 — многообразие колец. Каждое конечноопре-деленное в классе всех колец кольцо из 9? будет Л-отделимым тогда и только тогда, когда Ш — локально ТЬ-отделимое многообразие.

пх = 0, ху{1 - ут)(1 - хт) = 0.

(5.1)

хау~ Е «'у/К«.!/)-

(6.1)

0<|<п

Тождество в третьем условии теоремы 6.1 — это тождество, характеризующее свойство локально правой нетеровости (см. [3]). Таким образом, локальная '/¿-отделимость многообразия колец эквивалентна локально правой негеровости.

Следствие 7.2. Пусть 43 —многообразие колец. Каждое конечиопоро-жденное кольцо из Я удовлетворяет условию максимальности для правых идеалов тогда и только тогда, когда <И — локально К-отделимое многообразие.

Завершает §7 утверждение об алгоритмической проверяемости свойств 72-отделимости и локальной 72-отделимости (предложение 7.1).

Класс многообразий, в которых все конечнопорожденные кольца не только право, но и лево нетеровы, характеризуется еще одним эквивалентным условием.

Теорема 8.1. Многообразие V удовлетворяет условию максимальности для односторонних идеалов тогда и только тогда, когда каждое конечнопорожденное кольцо из V содержит лишь конечное число идем-потентов.

Эта теорема — основной результат §8.

В третьей главе изучаются многообразия с ограничениями на критические кольца. Для того чтобы сформулировать основной результат этого раздела введем некоторые обозначения.

Ьр - (¡и ...,/„ | р/,- = 0, /? = 0, lilj = /,/„ I,] = 1,... ,р ), ир = </, и I Р2/ = о, /и = и/ = и, /2 = /, и2 = 0),

Ур = (г I р2у — 0, V3 = 0, ), ИГР — (и> | рлт ~ 0, и'4 = 0, ри'~ = 0, /ги> = и>3 ). Многообразия:

3 = уаг{ху = 0} = уаг Zo.

51(р", к) — уаг{рпж = 0, х, • ■ • .г* = 0, рху - 0. [х,у] = 0, .г, • • • хг = 0}.

Пусть ЯЯ и 91 — многообразия колец. Наименьшее многообразие, содержащее ЯЯ и ЭТ, обозначается через V91 и называется их объединением.

Через rot о 91 обозначим мальцевское произведение многообразий ЯЛ и

К

в классе коммутативных колец. (Напомним, что класс ЯЛ о (Я состоит из

к

всех коммутативных колец R, обладающих таким идеалом I, что I & Ш

и я/1 е эт.)

Через M„(F) мы обозначаем полную матричную алгебру порядка п над кольцом F.

Теорема 9.1. Для многообразия колег{ 2J следующие условия эквивалентны:

(i) решетка двусторонних идеалов каждого критического кольца из в)

является цепью:

(ii) все критические кольца из 9J арифметические;

(iii) 9J не содержит колец Lp, Мр. Vp, Wp при любом просто м и колец Up при любом простом р > 2;

(iv) многообразие 2J лежит в многообразии одного из двух типов:

3 V V[varM2(GF(9i)) V9l(P;'',3) V9J(p„3) . var СГ(Ч,)] (9.1) i=i к

или

V [var M2(GF(qi))V«j], (9.2)

i=i

где

9U - «П(р?3) V 9l(p,-, 3) о var GF(qi) или h

5Я, = 91 (pr, р{) V 91 (pi, р() о var GF(q,) л

(p\ ,P2, ■ ■ ■ ,Ps — попарно различные простые числа, q, — степень числи pi, i — 1,..., s ).

Эта теорема так же, как и предыдущие, -эффективна в том смысле, что она обеспечивает существование алгоритма, который по данной конечной системе тождеств £ определяет, будет ли чадаmюг -пой системой тождеств многообразие varE удовлетворять условиям рассматриваемой теоремы. Соответствующее утверждение составляет содержание предложения 10.1.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору М. В. Волкову за внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Литература

[1] Волков М.В., Пайсон О.Б., Сапир М.В. Финитная отделимость в многообразиях ассоциативных колец// в печати

[2] Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы теории колец и модулей. 1-е изд. Новосибирск: IIii-т математики СО РАН, 1993.

[3] Кублановский С.II. О л ногообразиях ассоциативных алгебр с локальными условиями конечности// Алгебра и анализ. 1997. Т.9, N4, С. 119-174.

[4] Львов И.В. О многообразиях ассоциативных колец.I// Алгебра и логика. 1973. Т. 12, N3, С.269-297.

[5] Мальцев А.И. О гомоморфизмах на конечные группы// Учен. зап. Ивановск. пед. ин-та. 1958. Т.18, N5, С.49-60.

[6] Мальцев Ю.Н. О многообразиях ассоциативных алгебр// Алгебра и логика. 1976. Т. 15, N5, С.579-584.

[7] Мальцев Ю.Н. Почти коммутативные многообразия ассоциативных колец// Сиб. матем. ж. 1976. Т.17, N5, С.1086-1096.

[8] Мальцев Ю.Н. Почти энгелевы локально конечные многообразия ассоциативных колец// Изв. вузов. Математика. 1982, N11, С.41-42.

[9] Мальцев Ю.Н. О многообразиях алгебр, критические алгебры кото-рыг являются арифметическими//Сиб. матем. ж. 1983. Т.24. N6, С.91-100.

[10] Петров Е.И. О почти коммутативных многообразиях ассоциативных колец// Ден. в ВИНИТИ, 21.05.96, N1506-B96, С.1-30.

[11] Шеврин Л.Н., Суханов Е.В. Стуктурные аспекты теории многообразий полугрупп// Изв. вузов. Математика. 1989. N6, ('.3-39.

[12] Kharlanipovirh О.С., Sapir М. V. AlgorUhmic problems in varietur// Int. J. Algebra and Computation. 1995. V.5, N4-5, P.379-602.

[13] McKenzie R. Residually small varieties of К-rings/ / Algebra Universalis. 1981. N14, P.181-196.

Работы автора по теме диссертации

[14] Пайсой О.Б. Перестановочные псевдомногообразия ассоциативных алгебр над конечным полем//III Международная конф. по алгебре: Тезисы докладов. Красноярск, 1993. С.252.

[15] Пайсон О.Б. Многообразия ассоциативных колец, все критические кольца которых арифметические// Международная конф. "Алгебра и анализ": Тезисы докладов. Казань, 1994. С.72.

[16] Пайсон О.Б. Базис псевдотоокдеств псевдомногообразия перестановочных алгебр// III Суслинская конференция: Тезисы докладов. Саратов, 1994. С.65.

[17] Пайсон О.Б. Перестановочные псевдомногообразия ассоциативных алгебр над конечным полем// Изв. вузов. Математика. 1995, N1. С.71-80.

[18] Пайсон О.Б. Многообразия ассоциативных колец, все критические кольца которых являются арифметическими // Изв. вузов. Математика. 1997. N.1. С.42-55.

[19] Paison O.B. On finite separability in associative ring varieties// Ring Theory Conf., Abstracts, Miskolc. 1996. P.44.

[20] Paison O.B. Minimal non-permututive varieties of associative algebras// Int. Conf. on Algebra, Abstracts, St Petersburg. 1997. P.94-95.

Подписано H i ic'i. 1 J- - ^ y ^ Формат 60 x 84 1 /16.

Бумага Cuc¿ г-г^Л Ji Объем n /".Тир. ■fct Зак. i ' Í Екатеринбург, K-85, пр. Ленина, 51 Тигголаборатория УрГУ.

/а

УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А.М. ГОРЬКОГО

На правах рукописи

Пайсон Ольга Борисовна

УДК 512.552.4

ИНДИКАТОРНЫЕ ХАРАКТЕРИЗАЦИИ НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ МНОГООБРАЗИЙ АССОЦИАТИВНЫХ КОЛЕЦ

(01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел)

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук профессор М. В. Волков

Екатеринбург 1998

Содержание

Введение 2

1. Некоторые обобщения коммутативности 17

1. Почти энгелевы многообразия алгебр....................................17

2. Почти перестановочные многообразия,

не порождаемые конечной алгеброй...................32

3. Кроссовы почти перестановочные многообразия. Псевдомногообразие ф/гп..................................................54

4. Индикаторные характеризации и алгоритмы

распознавания свойств энгелевости и перестановочности.......60

2. Финитная отделимость

в многообразиях колец 67

5. Глобальная отделимость..................................................67

6. Локальная отделимость ..................................................72

7. Следствия....................................................................77

8. Доказательство теоремы 8.1..............................................79

3. Многообразия, все критические кольца

которых являются арифметическими 82

9. Доказательство теоремы 9.1..............................................82

10. Эффективность теоремы 9.1.......................93

Литература 94

Введение

0.1. Индикаторные характеризации. Почти в-многообразия

С развитием теории многообразий все чаще наряду с вопросом что изучать, стал подниматься и вопрос о том, как это делать. Осознание особой роли различного рода минимальных контрпримеров и сложности, стремительно нарастающие по мере углубления в "конкретные" многообразия, привели к новой концепции, образно и ёмко сформулированной в известном обзоре Ю. А. Бахтурина и А. Ю. Ольшанского "Тождества":

"Картина безбрежного моря многообразий алгебр с отдельными островами важных примеров заставляет думать, что правильно поставленные задачи о свойствах многообразий и тождествах алгебр чаще должны вести к поиску многообразий и тождеств, экстремальных относительно естественных алгебраических свойств, нежели к описанию решеток всех подмногообразий."

Поиск таких экстремальных многообразий и контрпримеров в свою очередь весьма часто приводит к появлению индикаторных характеризаций. Под индикаторной характеризацией многообразий, удовлетворяющих некоторому свойству 0, мы, следуя Л. Н. Шеврину (см. §0 обзора [42]), понимаем утверждения типа:

Многообразие обладает свойством 9 тогда и только тогда, когда не содержит ни одной из алгебр1 Аг,....

Конечно же, нас интересуют только нетривиальные описания подобного сорта. Естественно, например, стремиться к отысканию индикаторных характеризаций, в которых ни одна из "запрещенных" алгебр А\. А2,... не может быть отброшена или заменена алгеброй меньшей мощности. Подобные характеризации будем называть минимальными.

Плюсы индикаторных описаний ярко проявляются, например, при алгоритмическом подходе, влияние которого на теоретическую алгебру, и в частности, теорию многообразий, заметно возросло в последнее десятилетие (подробно об этом рассказывается в фундаментальном обзоре М. В. Сапира и О. Г. Харлампо-вич "Алгоритмические проблемы в многообразиях", см. [45]). Алгоритмический подтекст заставляет интересоваться не только описаниями изучаемого свойства, но и возможностью эффективно проверять, удовлетворяет ли произвольное многообразие этому свойству.

Предположим, что для свойства в найдена минимальная индикаторная ха-рактеризация. Мы хотим построить алгоритм, который по произвольному многообразию Ш проверяет, удовлетворяет ли оно свойству 0. (Для удобства много-

1 Здесь и далее в тексте, чтобы избежать разночтений, слово "алгебра" употребляется в одном смысле — "ассоциативная алгебра над ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей" , а слово "кольцо" всегда означает "ассоциативное кольцо". Тем не менее, большинство понятий и подходов, обсуждаемых во введении, естественным образом переносится на случай алгебр в самом широком смысле.

образия, обладающие свойством, будем называть 9-многообразиями, а не обладающие— не 9 -многообразиями.) Конечно, должно быть задано эффективно. Возможны два основных способа такого эффективного задания:

1) Ш порождено конечной алгеброй А;

2) задается конечным набором тождеств £.

Легко видеть, что если = мат А (т.е. использован первый способ задания), достаточно проверить, лежат ли в конечные запрещенные алгебры. При этом, поскольку каждые две различные запрещенные алгебры порождают различные многообразия (характеризадия минимальна), а в Ш конечное число подмногообразий (см. [23]), то и проверять нужно лишь конечное число запрещенных алгебр. Какие именно, обычно нетрудно установить, используя характеристики А (порядок, экспоненту и т.д.). Ясно, что проверка, лежит ли в 5) конечное число конечных алгебр, может быть осуществлена эффективно.

Рассмотрим теперь задачу, когда проверяемые многообразия задаются вторым способом. В этом случае доказательство того, что Ш является ^-многообразием, превращается в почти рутинное. Достаточно убедиться, что ни одна из алгебр А\, Аг,... не удовлетворяет системе тождеств Е. Весьма часто (а точнее, нам не известен пример индикаторной характеризации, когда бы это было не так) подобная проверка осуществляется эффективно.

Отметим, что картина несколько меняется, если для 9 найдена не индикаторная, а скажем, эквационалъноя характеризадия, т.е. описание этого свойства на "языке тождеств". В этом случае получение на основе характеризации требуемого алгоритма — задача, как правило, нетривиальная. Например, если проверяемое многообразие Ш задается конечным набором тождеств Е, то при построении алгоритма мы по сути сталкиваемся с проблемой разрешимости эквациональной теории многообразия ЯЗ. В случае ассоциативных колец эта проблема до сих пор открыта, т.е. неизвестно, существует или нет алгоритм, который по заданному многочлену / и конечной системе тождеств Е определяет, является ли тождество / = 0 следствием тождеств из Е.

Рассмотрим одну из наиболее естественных стратегий, приводящую к появлению индикаторных характеризаций. Она связана с поиском почти-9-многообразий. Многообразие 93 будем называть почти- 0-многообразием, если оно само не удовлетворяет свойству 9, в то время как любое его собственное подмногообразие этим свойством обладает. Другими словами, такие многообразие — в точности минимальные (относительно включения) элементы в множестве не- 9 -многообразий.

Пусть 9 — наследственное свойство, т.е. такое, что все подмногообразия любого в-многообразия — также ^-многообразия. Тогда решетку всех многообразий можно изобразить следующим образом:

почти 9 -многообразия

не 9 -многообразия

О -многообразия

Почти-9 -многообразия играют здесь роль минимальных контрпримеров, и любая информация о них оказывается чрезвычайно полезной. Но наибольшую ценность эта информация приобретает в случае, когда каждое не- 0-многообразие содержит почти 9-многообразие. Так происходит, например, если каждое 9-многообразие лежит в каком-нибудь конечнобазируемом ¿/-многообразии. Действительно, из коалгебраичности решетки многообразий немедленно вытекает, что полурешетка N0 удовлетворяет лемме Цорна "вниз", а значит, каждое не-9-многообразие содержит почти ^-многообразие. В этой ситуации наше свойство обладает индикаторной характеризацией — достаточно в качестве "запрещенных алгебр" взять порождающие алгебры почти в -многообразий. Легко видеть, что такая характеризация будет минимальной. Нетрудно убедиться и в обратном — если Ах, А2,... — запрещенные алгебры из минимального индикаторного описания, то многообразия уаг А1, уаг А2,... и только они, являются почти 9-многообразиями. Отметим, в частности, что такая тесная связь между индикаторными характеризациями и почти 9-многообразиями существует для всех свойств, изучаемых в данной работе.

В следующем разделе мы продемонстрируем, что такой подход неоднократно и весьма успешно реализовывался в теории многообразий.

0.2. Обсуждение проблематики. Постановка задач

По-видимому, одним из первых результатов, содержащих индикаторную ха-рактеризацию, стала работа И. В. Львова [24]. В ней найдено описание почти кроссовых многообразий колец. Напомним, что многообразие называется кроссовым., если оно локально конечно, конечнобазируемо и содержит лишь конечное число подмногообразий. Согласно теореме Львова-Крузе (см.[23] и [47]) многообразие колец является кроссовым тогда и только тогда, когда оно порождено конечным кольцом. Такие многообразия задаются двумя тождествами специального вида. Как уже отмечалось выше, в этом случае описание почти кроссовых многообразий по сути является индикаторной характеризацией для свойства 9 — быть кроссовым многообразием. Из найденного описания, в частности,

вытекает, что кроссовы многообразия и только они имеют конечную решетку подмногообразий.

Аналогичный подход применялся и для исследования других свойств, выражаемых на языке решетки подмногообразий. Речь идет прежде всего об изучении цепных и дистрибутивных многообразий. В. А. Артамоновым в [2] получено описание цепных (т.е обладающих цепной решеткой подмногообразий) многообразий алгебр над нетеровым коммутативным кольцом с единицей. Индикаторная характеризация, а точнее, список почти цепных многообразий колец найден М. В. Волковым и Б. М. Берниковым в [3]. Здесь же было продемонстрировано, что произвольное многообразие с нецепной решеткой подмногообразий содержит некоторое почти цепное подмногообразие. Аналогичное утверждение для дистрибутивных многообразий колец доказано в [58]. В данный момент известны 5 счетных серий почти дистрибутивных многообразий колец и высказана гипотеза, что они составляют полный список почти дистрибутивных многообразий колец (см.[6]). В случае же алгебр над полем нулевой характеристики существует ровно одно такое многообразие (см. [32]).

Язык "запрещенных алгебр" активно используется и при описании классов с различными разрешимыми алгоритмическими проблемами. Именно на этом языке А. П. Замятин охарактеризовал многообразия колец с разрешимой элементарной теорией и многообразия, класс конечных колец которых обладает разрешимой элементарной теорией (см. [11]). Поиск индикаторных характеризаций ведется и для других классов, например, для многообразий колец с разрешимой проблемой равенства слов (см. [40], [41], вопрос 3.73 из [10]).

Большое число индикаторных характеризаций появилось в связи с изучением наиболее известных и естественных тождеств, таких как тождество нильпотентности, коммутативности, энгелевости и некоторых других. Пионерской работой и в этом направлении послужила уже упоминавшаяся статья [24]. В ней описаны почти нильпотентные многообразия алгебр над произвольным коммутативным кольцом с единицей.

Почти коммутативные многообразия колец подробно изучались Ю. Н. Мальцевым. В частности, оказалось, что каждое такое многообразие порождено конечным кольцом. В [30] получено полное описание ненильпотентных почти коммутативных многообразий колец. Позже оно было перенесено на случай алгебр над произвольным нетеровым коммутативным кольцом Джекобсона. с единицей, (см. [48]). Нильпотентные же почти коммутативные многообразия, как выяснилось, достаточно сложно устроены. Их специфика была выявлена и исследовалась в [30], [48], [31], [13], [39], [54]. Найдено множество примеров, накоплена содержательная информация о строении алгебр, их порождающих. Несмотря на это, задача полного описания таких многообразий открыта до сих пор и представляется весьма трудной. Тем не менее, и мы постараемся это продемонстрировать, данная характеризация часто оказывается очень эффективной.

С этих же позиций исследовалось другое свойство, близкое к коммутативности, — энгелевость. Напомним, что кольцо или многообразие называется энгелевым, если оно удовлетворяет некоторому тождеству Энгеля, т.е. тождеству вида [ж, у,..., у) = 0. По-видимому, впервые в теории ассоциативных колец

такие тождества были рассмотрены Дженнингсом в [43] и [44]. Одно из направлений, где весьма часто фигурируют тождества Энгеля, — задачи бернсайдовского типа (см. [15], [14], [19], [57]). Кроме того, в случае алгебр над полем характеристики 0, наличие энгелева тождества эквивалентно локальной левой и правой нетеровости многообразия ([29], [38]).

Описание почти энгелевых многообразий алгебр над полем характеристики О получено Ю. Н. Мальцевым в [29]. В других случаях дела с таким описанием обстояли не столь благополучно. Почти энгелевы многообразия алгебр над полем положительной характеристики, по-видимому, не исследовались вообще. Случай колец рассматривался в [33]. Там доказано, что локально конечные почти энгелевы многообразия колец суть в точности ненильпотентные почти коммутативные многообразия. Вопрос о существовании других почти энгелевых многообразий, а тем более о полном их описании, оставался открытым. Сформулируем перечисленные проблемы в явном виде

Задача 1. Описать почти энгелевы многообразия алгебр над полем положительной характеристики.

Задача 2. ([10], вопрос 3.53) Описать почти энгелевы многообразия колец.

Еще один класс многообразий, для которых была реализована подобная схема, — многообразия, в каждом из которых выполняется какое-нибудь полугрупповое тождество, т.е. тождество вида и = V [и, V — произвольные слова). Этот класс подробно изучался в [9]. В частности, было найдено индикаторное описание таких многообразий алгебр над полем характеристики 0. Для алгебр над бесконечным полем положительной характеристики подобные многообразия охарактеризованы в [56], но их индикаторное описание пока не найдено. В случае же алгебр над конечным полем такие многообразия не изучались вообще.

Легко видеть, что и тождество нильпотентности, и тождество коммутативности являются специфическими полугрупповыми тождествами. Помимо них на языке "запрещенных" алгебр были охарактеризованы периодические многообразия колец, т.е. многообразия, удовлетворяющие тождествам вида хк = х! (к < I) (см. [4]).

"За кадром" оставалось давно известное и одно из наиболее естественных полугрупповых тождеств. Мы имеем в виду тождество перестановочности. Многообразие или кольцо будем называть перестановочным, если оно удовлетворяет некоторому тождеству вида

Х\Х2 ' " " Хп — Ж1<т®2<т " " ' ®п<т?

где п — произвольное натуральное число, а а — нетривиальная перестановка множества {1,2, ...,п}. Тождества такого вида (их обычно называют перестановочными) начали изучаться в теории полугрупп в конце пятидесятых годов [59]; в теорий колец их впервые рассмотрел, по-видимому, В. Н. Латышев в [21]. Им доказана шпехтовость любого перестановочного многообразия

алгебр над полем характеристики 0. Позже этот результат был обобщен на случай алгебр над произвольным нетеровым коммутативным кольцом с единицей (см. [17]). Помимо комбинаторных рассмотрений, перестановочные тождества играют заметную роль и при изучении структурных аспектов теории колец (см., например, [53]). Мы интересуемся полным описанием перестановочных многообразий на языке запрещенных алгебр.

Задача 3. Описать почти перестановочные многообразия алгебр над различными полями.

Следующий большой массив активно изучавшихся свойств, для которых, в частности, были найдены индикаторные характеризации, связан с условиями конечности и прежде всего со свойством финитной отделимости.

Подмножество М алгебры А называется финитно отделимым в А, если для любого элемента х € А \ М существует гомоморфизм ср алгебры А в конечную алгебру, при котором <р(х) ^ <р(М). Это естественное понятие впервые возникло в известной работе А. И. Мальцева [28], который указал на его тесную связь с классическими алгоритмическими проблемами. Так, например, если в алгебре А финитно отделимы все одноэлементные подмножества (напомним, что алгебры с таким свойством называются финитно аппроксимируемыми) и она конечно определена, то в А разрешима проблема равенства слов; если в конеч-ноопределенной алгебре А финитно отделимы все подалгебры, то в А разрешима проблема вхождения элемента в подалгебру (см. [28, §7]).

Нас интересуют многообразия колец с финитно отделимыми подмножествами тех или иных типов. Чтобы компактно сформулировать результаты, достигнутые в этой области, и остававшиеся открытыми задачи, зафиксируем следующие три свойства подмножеств кольца К:

• свойство 5 быть подкольцом;

• свойство И быть правым идеалом;

• свойство X быть двусторонним идеалом.

Пусть 8 — одно из свойств 5Ди1. Кольцо Д будем называть 5 -отделимым кольцом, если все его подмножества со свойством 6 финитно отделимы в К. Многообразие колец Ю назовем (локально) отделимым, если все (соответственно, все конечнопорожденные) ко