Поиск многообразий Хигмана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

омский ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

На правах рукописи

ГАТЕЛЮК Олег Владимирович

ПОИСК МНОГООБРАЗИИ ХИГМАНА

01.01.06 — математический логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ'

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ОМСК 1 9 9 2

Работ* выполнена в, Омском институте инженеров железнодорожного транспорта.

Научный руководитель —

доктор физико-математических наук, профессор КУКПН Георгин Петрович.

~ Официальные оппоненты —

доктор физико-математических наук, профессор БОКУТЬ Л. А.;

кандидат физико-математических паук ЕПАНЧИНЦЕВ В. И.

Ведущее учреждение —

Алтайский государственный университет.

Защита состоится « 2 ^ * О-ЯМСк/рЦ_1992 г. в

часов на заседании специализированного совета К 064.36.02 при Омском государственном университете по адресу: 644077, Омск, пр. Мира, 55-г.

С диссертацией можно ознакомиться.в библиотеке Омского государственного университета.

Автореферат разослан с 2// »

1992 г.

Ученый секретарь специализированного сове'

кандидат физ.-мат. наук^ . А. РОМАНЬКОВ

Теорема Г.Хигмона 0 том,что любая конечио-пороаден-ная (к.-п.) группа рекурсивно определена (р.о.) тогда и только тогда .когда она влотима в конечно-опреленнута (к.о.) группу, дала начало новому направлению в алгебре - характериэационным теоремам.Л именно,речь идет о теоремах,в которьх алгоритми-че -кие свойства групп,колец,алгебр характеризуются структурными свойствами этих объектов.Яркие примеры - это теорема Буня-Хигмана С21 .давняя характеризацию к.-п. групп с разрешимой проблемой равенства .теорема л!акинтайра-Ноймэна СЗЗ.С'О, связавшая разрешимость проблем равенства в к.-п. группах с их влсошостыо в такой неконструктивный обьект.кая экзистенциально замкнутые группы.Близко к этим задачам стоит и теория марковских свойств,разработанная для полугрупп и групп С.И.Дцяном и Л.Рабином 10, 173,Ш.

Аналоги теоремы Хигмана за пределами теории групп хорошо известны.Это дало прчво ввести термин "хигманово (квази-) многообразие" алгебраических систем.А именно,квазимногоофа-зие 0 называется хигмановыы тогда и только тогда,когда любой обьект Кб и рекурсивно определен в, 0 в том и только том случае,если К плохим в к.о. обьект Кб-Ц . Таковыш многообразиями сказались полугруппы (В.Л.Мурский I.^Л ) .инверсные полугруппы (В.Я.Беляев [10] ).ассоциативные кольца, алгебры над полем р ,к.-п. над простым подполем (В.Я.Беля-, ев [I Г]) .кольца Ли,алгебры Ли над полем Я с теми >:се ограничениями (Г.П.Кукин [12]). Л.А.Бокуть и Г.П.Кукин [13] поставили задачу списания хигмановых (квази-) многообразий алгебраических систем.Впрочем,это скорее программа,а не одна задача.Поясним это утверждение.

Во-ггрвых, работа О.В.Ьелеградека и Н.И.Ковешнщцовой [Дч3 показала,что естестренч-е изучать с зтой точки зрения именно квазимногоеб^азия.Во-вторых.хнгмачоды многообразия бывают как бы двух "ортов:"большие",где существуют к.о. обьекты с неразрешимой проблемой равенства,и "малые",где это не так.

(Например,многообразие ассоциативно' коммутативных алгебр -"малое" хигманово.)Мы изучаем в основном '.'большие" хигмановн многообразия.В-третьих .первоначально худеет во вал о убеждение, что хигмановость многообразия - свойство,характерное для ассоциативны* алгебр (или близких к ним).Попытка Г.П.Цукина дать (для спецкурса) единое доказательство теорем об лсеотив-ных и о лиевых алгебрах привела к появлению работы В.И.Епан-чинцева и Г.Л.Кукина £15] .Здесь даны условия,достаточные для того,чтобы квазимногообразие алгебр над поаем Р было хкгма-новым.В этой работе явно видна связь ассоциативных ачгебр и "близких" к ним (хотя здесь"близость" обусловлено иными причинами,чем в книге Г16] ) .Еще сильнее укрепилась ориентация на ассоциативные и близкие к ним алгебры после того,как автор обнаружил,что любое многообразие кваэиассоциативных алгебр хигменово.

Неожиданно Г.П.%кин[173 ,продолжая исследования Ю.М.Ва-женинаСИЗ по проблеме равенства для не ассоциативных колец, доказал,что многообразие всех колец хигмяново.Ьго резко расширило границы поиска.

Наконец,если ранее хигмановых многообразий было известно не 1ак уж много (они перечислены выше,а ключевая работа [Х5] дала лишь одно новое многообразие - многообразие 2) - алгебр),то теперь благодаря исследованиям,составившим эту диссертацию,оказалось,что хигманоЕЫ многообразия встречаются весьма часто,так что программа Л.А.Бокутя-Г.Н.Нукича далека от исчерпания.

Опишем структуру диссертации.Источник исследования - это метатоорема В.И.Епанчинцева и Г.П.Кукина.деттг достаточные условия хигиановости квазимногообрачий алгебр ^ад полем Р , к.п. над простым подполем С . Очи сформулированы в виде условий А1 - АЬ. Для того,чтобы в многообразии Щ, алгебр выполнялись свойства А1 и ЛЗ,достаточно наличия то'кдептв вида : »

- б -

("хуг» щ* AxLj/, г] + 6[у,г]Х [ хуг = x(«j2)tCy(xz-eiAK®(дг-02х}у (*)

i.tfj далее всегда издаем именно многообразие "Wh .определенное тождествами (I) и (<) и проверяем выполнение свойств AI - А5.

Пусть А = ] - свободная алгебра многообразия

ш •

X Ц, I - ее свободние породающие.Рассмотрим

V г

подпространство у , натянутое на полилинейные слова 5 длины 3 от букв Х( У 2 • Тогда равенства (1)-(<!) - пто линейчь-'в зависимости метду одночленами 5 . Таких одночленов - 12, и мочою говорить о матриц») М системы (I)-(ü) .iVhoro-обра:)1"я Ш м.ч классифицируем по рангу LH) этоГ матр1$ы. Сведем результаты первой главы диссертации в таблицу.В ней показано,к каким многообразиям сводятся различные значения

t,(M),a так ге "больиим" или "малым" хигмановым яьчяется то или инсг* многообразие .Коли отпета автор не знает.то в этом счучае ставится знак "?". Li& ~ многообразие всех алгебр

ли, А$ь

- мтгообраэи» всех ассоциативных алгебр, QASS -семейство многообразий квязиассоциативньк алгебр, 0, О* многообразно всех £) - алгебр и алгебр антиизоморфных им.

О

! г CM) =9 ' l(M) = В ! l(iA) =.7 ! Z U) = 6

t

т Lie - "'оль

!иое" или ! противоречие

!с кг.

I. Слова

У?* - линейно независимы - YI (тождества

*уг=у2х=гух

"малое", с. Слова

у^г», xzt/, «^гх -

линейно зависимы. -

Lit - "боль-' шое" или проти-! вооечие с А2. !

I. А 4 0 или А = О, В 4 I -

Li6 "большое" или противоречие с А2.

<:. а - о, в = i

а) 9 ¿1-Ш (то'здеетза Ху2-

= у гх = гул ) -

"малое"

б) б = g - противоречие с AZ.

'I. А ^ 0..Справедливо тождество Дчг)=Кхуг-*1хг^

а) 3 * Дл± & / ± 1 - "большое". Здесь: Ду [>,0*

б) Л/4- 0 = 1'или '

М± & = +1 - "•?"

кро;:е случая

2Сх,у.2)= СиЦ.у] -

"больлоз".

2. А = 0 - "?", кроме случаев

1*Л2)=ПлЗД

"больпие".

- коммутатор элементов X и у ,( X, у, 2 ) - ассоциатор элементов X, у » ^ ,

¿>1у у;ке отметили связь (в теории групп), теоремы типа Хигмана и теорем Буна-Хигмана,;Ъкинтайра-Нсймана.Оказалось, что для выполнения таких теорем квазимногообразие Q должно обладать дополнительными свойствами (кроне свойств А1 -А5). Ключе вое свойство В.Я.Беляев назвал "леммой Бокутя". Сформулируем ее для ассоциативных алгебр

Пусть С - ассоциативная алгебра над полем Я , -

ее денулевыэ элементы.Тогда существует ассоциативная алгебра

.содержащая подалгебру изоморфную С, причем идеалы, порожденные в С элементами Си, £ совпадают.При этом ассоциативная алгебра к.о.,если С - к.о. ассоциативная алгебра.Если алгебра С - с рекурсивным базисом,то и алгебра С с рекурсивным базисом.

Для исследования свойств типа Буна-Хигмана,Макинтайра-Ноймана тто было бы пополнить список условий А1 - А5 так, чтобы новые условия гарантировали выполнение "леммы Бокутя". Если удается это сделать,то далее (довольно формально) выводим теоремы типа Буна-Хигмана,1.1акинтайра-Ноймана.Такой подход реализован в статье Г.И.Кукина и автора [313 .Г.П.Ку-кин предложил схему работы (но для алгебр Ли),а автор распространил результаты на иные многообразия.

Следует отметить,что в данной работе исследуются тождества алгебр,отличные от тех,которые встречались ранее (при изучении колец,близких к ассоциативным,(см. [1<] ) .Зачастую это потребовало разработки новой техники,подчас весьма громоздкой.Неудивительно,что подчас необходимо было использовать компьютер.Здесь ьеоценимую помощь оказал Р.Э.Ро-омельди, университет города Тарту,Эстония) .предоставивший автору возмо+иость воспользоваться его программой доказательства тожеств, описанной в [193 , реализованной на ЭВМ ЕС-1060 в Вычислительно'! центре Тартусского университета.

Отметим,однако,что компьютерные вычисления используются

лишь для отсечения некоторых семейств многообразий и многообразий,не удовлетворяющих, условиям AI - А5. Таким образом, во всех случаях,когда ми утвер.гд«ем,что некоторые многообразия алгебр хигмяновы,мы проводим полное доказательство,не ' использующее компьютерных вычислений.

Перед формулировкой результатов второй главы дадим следующие определения.

Определение I. Пусть f- - нумерованное поле, (_ - алгебра над полем F и существует алгоритм,который для любого конечного множества Т элементов алгебры L вопрос о линейной зависимости Т сводит к проблеме равенства в F • Тогда говорят,что алгебра L обладает рекурсивным базисом.

Пусть Q - некоторое квазимногообоаэие (многообразия алгебр'.Лусть Д0~ A* L (Х|(Х1(Хз(... ) - свободное произведение алгебры Л t 0. со свободной алгеброй Элементы {,t£ Ао записываем в виде . Us. ll(Qt- ОС; ) >

ГДе Л Л

Определение Z. Алгебра А& Ц над произвольным полем

F называется экзистенциально замкнутой,если произвольная конечная система равенств

и неравенств (т.е. отрицаний равенств)

Vt о , 4*i*T .

допускающая решение в некоторой алгебре Д^с Ц .содержащей А,имеет решение уте в алгебре А.

Во второй главе получена алгебраическая характеризация алгебр с рекурсивным базисом в многообразии У1 из следующего списка:

- многообразие всех алгебр ЛИ:

Lie .

- многообразие всех ассоциативных алгебр: AS5 . п

- семейство многообразий квазиассоциятивных алгебр: UASS .

- многообразие 2) - алгебр и антиизомор}ное ему: 0,0* •

- многообразие ц1- 3 ( тождество ( X, ) - 3 ( -

-ijгх+ Сг^З У ))•

Tf.'op"Ma 6.Z. Пусть основное поле F конечно порочено над простил подполем.Конечно-поротденная алг*бра L одного из многообразий H обладает рекурсивным базисом тогда и только тогда,когда L зложима в простую центральную подалгебру Р конечно-определенной алгебры X из многообразия над полем F

Теорема 7.'¿. Цусть основное поле F как в теореме 6.<2. Произвольная алгебра AtVt имеет рекурсивный базис тогда и только тогда,когда А влотама в каждую экзистенгдаально замкнутую из yi над полем F"*.

Результаты диссертации докладывались на алгебраических семинарах Омского и Тлртусского университетов,на семинарах "Ассоциативные кольца" и "Кольца, близкие к ассоциативным" Института математики СО АН СССР,на ХУП Всесоюзной алгебраической конференцш (Минск 1УЬЗ),на У1 Всесоюзной школе по теории многообразий алгебраических систем (Магнитогорск 1990),на .Международной конференции по ал'гебре памяти А.И. Шиппова (Барнаул 1991) и опубликованы в работах автора и совместных работах Г.П.Кукина и автора [26-31].

Автор выра:кает глубокую благодарность профессору Г.П. Кукину за руководство,профессору И.П.Шестаксву за внимание к работе и полезные обсуждения,сотруднику Лаборатории прикладной математики Тартусекогс университета Р.Э.Роокельди па огромную помочь в работе и любезно предоставленную возможность воспользоваться его программой доказательства тождеств.Автор такте благодарит студентов МЗИ Фурсова В.Ю. и ОмИИТа Власенко C.B. за помочь в проверке некоторых вычислений.

ЛИТЕРАТУР A

1. Htgmon Ст. Sunups о/ LiiùÂi тшлЫ Qrnps, // Pwc-% Soc.49U- AUl.-p.W-iiH.

2. Воопг У. W., Ийрлл G. An oifiviui Jmcuttriwtw o( ik sMiiitu 0(ihn woid pnoi&m // J. Ausfoi. ïmh Soc - -Î97V.- ^ II,-P. M-53.

3. IJlambm A. Oa о!фттЩ dosai агат // Am o( ШМг\№гЧ.%- P. 53-97.

А.Мгштп ô. H. Ku ¿îonoipbim piot&m /от cdfè-

5. Линдон P., Шупп il. Комбинат op тя теория групп: Пер. с англ. - M: Мир, I9b0.

6. Адян С.И. Алгоритмическая неразрешимость проблем распознавания некоторых свойств групп // Докл. АН СССР. -1955. - Т. 103, J,î 4. - С. 533 - С35.

7. Дцян С.И. Неразрешимость некоторых алгоритмических проблем теории групп. - Тр. Моск. мат. о-ва. - 1957, № 6. -С. 231 - 29Ь.

е. Rafùi At0. Recmu/e шЖаЯМц ol мсир ihcra-tic pio^&ins// Ami■ of fllath-Wr-vGT,*/- P.W-M.

9. А^грский ВД. Изоморфная вложимость полугруппы с перечислимым множеством определдацих соотношений в конечно определенную полугруппу II Нач. заметки. - 1967, T. I, № 2. -С. 217 - 224.

10. Беляев В.Я. Вложимость рекурсивно-определенных инверсных полугрупп в конечно определенные // Сиб. мат. ж. -

. I9d4, Т. 25, А'. 2. - С. 50 - 54.

11. Беляев В.Я. Подкольца конечно-определенных ассоциативных колец // Алгебра и логика. - 1978, Т. 17, 6. -

С. 627 - 638.

12. Кукин Г.11. Подалгебры конечно-определенных алгебр

// Алгебра и логика. - 1979. - Т. IB, № 3. - С. 311 - 327.

13. Днестровская тетрадь. - изд. 3-е. - Новосибирск,

1982.

14. Белегредек О.В., Ковешникова H.H. О подалгебрах относительно конечно определенных алгебр // Вопросы теор1и < групп. - Кемерово, КемГУ,-1980.-С. 22 - 23, Деп. в ВИНИТИ

№ 961 - во дан.

15. Епанчинцзв В.Н., Кукин Г.П. О квазммногообразиях Хигмана // Вычислимые инварианты в теории алгебраических систем.-Новосибирск, 1987,-С. 90 - 108.

16. Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца,близкие к ассоциативным. - М.: Наука, 1978.

17. Кукин Г.П. Многообразие всех колец хигманово //

У1 Всес. школа по теории многообразий алгебраических систем (тезисы сообщений). - Магнитогорск, 1990. - С. 19.

18. Важенин Ю.М. Проблема равенства в неассоциативных кольцах /1 Алгебра и логика. - 1991. - Т. 30, № I. - С. Р -27.

19. Роомельди Р.Э. О доказательстве товдеств в свободных неассоциативных кольцах с помощью ЭВМ // Уч. зап. Тартусск. ун-та, 1987, 764.-С. 109 - 122.

20. Бокуть Л.А., Кукин Г.П. Неразрешимые алгоритмические проблемы для полугрупп,групп и колец Ц Итоги науки и техники. Алгебра,топология и геометрия. Т. 25. ВИНИТИ. М., 1987.-С. 3 - 66.

21. (Лэльников О.В., Ремесленников В.Н. и др. Общая алгебра. - Т. I. - М.: Наука, 1990.

22. Дедков А.И. Некоторые свойства квазиассоциативных и квазиальтернативных алгебр // Сиб. матем. журн. - IÖ69. -

Т. 30, № 3. - С. 169 - 174.

23. Ширшов А.И. Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли // Сиб. матем. журн. - 1962. - Т. 3, № 2. - С. 292 - 296.

24. Ширшов А.И. Об одной гипотезе теории алгебр Ли //

Сиб. ыатеы. журн. - 1962. - Т. 3, Ü 2, - С. 297 - 301.

25. Мальцев А.П. 0 предотавлении беоконвчных алгебр // Мат. об. - 1943, №2-3. - С. 263 - 285.

26. Гателюк О.В., Кукин Г.П. Характеразадал алгебр Ли о разрешимой проблемой равенства // ХУЛ Воее. алгебраическая конференция (тезиоы докладов). Минск, 1983. - С. 51.

27. Гателюк О.Г. Поиок многообразий Хигмана. - Омск: ОмШТ, 1990. - Доп. в ВИНИТИ К 1414 - В90.

28. Гателюк О.В. Поиок многообразий Хигмана // У1 Воес. шкала по теории многообразий алгебраичеоких оиотем (тезиоы обобщений). - Магнитогорск, 1990. - С. II.

29. Гателюк О.В. Новое локально финитно аппроксимируемое многообразие алгебр. - Омок: ОмИИТ, 1991. - Деп. в ВИШПИ № 2984 — B9I.

30. Гателюк О.В. Поиок многообразий Хигыана П. - Омок: ОмШТ, 1992. - Деп. в ВИНИТИ » 2156 - В92.

31. Гателюк О.В., Кукин Г.П. Алгебраическая характери-вацая алгебр о рекуроивным базиоом в некоторых многообразиях // Уч.зап. Тартуоок. ун-та, 1992. - Г.953.-Ç.bJ-gH.

Ротапринт ОмИИТа. Закат *■](' Тира» '> (