Проблема вхождения и подалгебры свободных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ОД ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

2 2 мд;< 13Г5

На правах рукописи

УМИРБАЕВ Уалбай Утмаханбетович

ПРОБЛЕМА ВХОЖДЕНИЯ И ПОДАЛГЕБРЫ СВОБОДНЫХ АЛГЕБР

01.01.00 — математическая логика, алгебра н теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск — 1906

Работа выполнена на кафедре алгебры и математической логики Казахского государственного национального университета имени Аль-Фараби.

Научный консультант

Официальные оппоненты

Ведущая организация

— доктор физико-математических наук, профессор И. П. ШЕСТАКОВ.

— доктор физико-математических наук, профессор Л. А. БОКУТЬ;

— доктор физико-математических наук В. Т. ФИЛИППОВ;

— доктор физико-математических наук В. А. РОМАНЬКОВ.

— Московский государственный университет ИМ. М. В. ЛОМОНОСОВА.

час.

64

мин.

Защита состоится « (■> 1995 р. в 14

на заседании специализированного совета Д 002.23.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Институте математики СО РАН по адресу; 630090, Новосибирск — 90, Университетский пр. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН

Автореферат разослан « <~> »

<5Г

1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета, к. ф.-м. н.

Л

С. Т. ФЕДОРЯЕВ

Общий обзор п характеристика работы

Изучение алгоритмических свойств математических объектов всегда представляло болызой интерес для ученых. Проблемы алгоритмкчаского характера находились в центре внимания математиков с самого заровдения алгебра и теории чисел. В основном они были связаны с разрозасюстью уравнений, алгоритмами вычислении и многими другими вопросами. Одним из крупных достижений математики 19 века является теорема Абеля о давозмозшости выразить решение общего алгебрэического уравнения от одной переменной в радикалах.

В 1911 году М.Дэн [40] сформулировал ряд алгоритмических проблем теории групп, возникли* из потребностей топологии. Это проблемы равенства, сопряженности и изоморфизма. Наряду с этими вопросами рассматривается и проблема вхождения, стимулированная работами Ж.Нильсена, У.Магнуса (см. [13]). Постановка этих проблем на является специфической для груш и имэет обще алгебраический характер. Аналогичные вопросы изучаются для решеток, луп, полугрупп, колец и алгебр.

Внимание математиков к изучению алгоритмических проблем и комбинаторных вопросов теории алгебр Ли привлек А.И.Ширшов (см.[33]). В [6] он сформулировал ряд открытых вопросов теории алгебр Ли, которые в течение нескольких десятилетий слу-яки ориентиром развития этого направления (см.[6])

Алгебраисты давно занимаются проблемой описания подалгебр свободных алгебр. Классической является теорема Шрейера [48] о том, что подгрупзш свободных групп свободны. Позднее

такие многообразия алгебр стали называться шрейеровыми. Шрейеровость многообразии алгебр Ли доказана А.И.Ширшовым 131] и Е.Виттом [50]. В случае ассоциативных алгебр аналог теоремы Шрейора неверен. Некоторые необходимые и достаточные условия свободности подалгебр свободных ассоциативных алгебр приведены в работе П.Кона [39]. Настоящим аналогом теоремы Щрейера для свободных ассоциативных алгебр оказалась теорема П.Кона [9] о том, что подмодули свободного модуля над свободной ассоциативной алгеброй свободны.

Преобразования Нильсена [14, гл.З], с помощью которых доказывается и теорема Шрейера, сразу же дают две важные теоремы теории груш: а) проблема вхождения в конечно порок-денные (к.п.) подгруппы свободных групп разрешима; 0) автоморфизмы свободных груш конечного ранга являются ручными. Тесную связь этих вопросов для линейных алгебр показывает теорема Х.Левина [45] об эквивалентности свойств шрейеровое-ти и нильсеновости для однородных многообразий алгебр.

В 1958 году К.А.Михайлова 117] доказала, что проблема вхоадения неразрешима для прямого произведения свободных групп. Этот результат легко переносится на любые многообразия алгебр с неразрешимой проблемой равенства. Поэтому представляет интерес проблема вхождения для свободных алгебр. Именно в этой постановке она связана с общей задачей описания подалгебр свободных алгебр. Отметим, что неразрешимость проблема вхождения для свободной алгебры означает, что не существует удовлетворительного описания подалгебр этих алгебр. Хорошее решение проблемы вхождения даот важную ин-

формацию об автоморфизмах свободных алгебр.

В 1953 году Р.Фокс [421 начал разрабатывать теорию дифференцирований в групповом кольце свободное группы, которые нашли широкое применение в комбинаторной теории групп. В частности, приведенное ш (431 новое доказательство теоремы Шрейера проясняет связи мевду подгруппами и подмодулями фундаментального идеала. Ж.Бирман [37] получила характеризацию автоморфизмов свободных групп через производные Фокса.

Соответствующие дифференцирования свободных ассоциативных алгебр называются универсальными дифференцированиями (см., например, (36]). К сожалению, универсальные дифференцирования свободных алгебр ве всегда примешали для изучения всех подалгебр, как в групповом случае. Строение подалгебр свободных алгебр, как выяснилось, существенно зависит также от структуры универсальных мультипликативных обертывающих алгебр.

Результата диссертации касаются следущих вопросов:

1. Строение подалгебр свободных алгебр;

2. Проблема вхождения в подалгебры свободных алгебр;

3. Характеризации автоморфизмов свободных алгебр конечного ранга.

Основные результата диссертации опубликованы в работах (51-61]. Они докладывались на мехсдународных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989; Барнаул, 1991; Красноярск, 1993), на школах и международных конференциях по незссоциа-тивным алгебрам и их приложениям (Новосибирск, 1987; Сумча, 1990; Овиедо (Испания), 1993). Все результаты подробно кзла-

гались автором на семинарах "Алгебра и логика", "Теория колец" Института Математики СО РАН и на городском семинаре "Алгоритмические и структурные вопросы алгебраических еис-. тем" г. Алматы.

Содержание работы

Глава 1 посвящена изучению шрейеровых многообразий алгебр. В §1 приведены определения универсальных мультипликативных обертыващих алгебр и универсальных дифференцирований свободам! алгебр однородных многообразий. Введэны частные производные (аналог производных Фоксе) элементов свободных алгебр. Доказана дифференциальная отделимость подалгебр свободных алгебр Ли, свободных (абсолютно) алгебр и свободных коммутативных и антикоммутативнах алгебр.

Из работы А.И.Ширшова [31] о подалгебрах свободных алгебр Ли легко вывести алгоритм, решащий проблему вхоздешя для свободных алгебр Лж. Г.П.Кукин отметил, что свободные алгебры Ли характеристики р > 0 финитно аппроксимируемы относительно вхождения в конечно порожденные подалгебры и сформулировал вопрос [6, вопрос 2.61) о справедливости аналогичного результата для алгебр Ли характеристики 0. В §2 главы 1 доказана

ТЕОРЕМА 1.1. Свободные алгебры Ли финитно аппроксимируемы относительно вхождения в км. подалгебра.

Аналог этой теоремы для супералгебр Ли доказан А.А.Ми- . хаяевыы [21].

Известий пять шрейеровых многообразий (обычных) линей- ' них алгебр: многообразия всех алгебр (А.Г.Курош 1121), коммутативных и антиколмутативрыг алгебр (А.И.Ширшов [32]), алгебр Ли (А.И.Ширшов [31], Е.Вии [50]) и алгебр с нулевым умножением. Шрейеровыми являются.тамсе многообразия р-алгебр Ли [51], сугоралгебр Ли [19],[34] и р-супералгобр Ли [20]. Вопрос об описании шрейеровых многообразий алгебр (в частности, о существовании шрейеровых многообразий алгебр, от-личёых от пяти перечисленных вша) сформулирован в [6, вопрос 1.1Т91. Приведем некоторые теоремы, касакпдася этого вопроса. Для любой алгебра А многообразия Я через U^(A) обозначим универсальную мультипликативную обэргыващую алгебру алгебры А в многообразии а (см.[44]>.

ТЕОРЕМА 1.2. Если однородное жногообразиз алгебр Я -щхЛерово, то Я удовлетворят следущил условияя: '

1 ) Для любой свободной алгебры А тогообразия Я алгебра 0^(А) является свободной ассоциативной алгеброй;

2 ) Для любой однородной подалгебры В свободной <игебры А многообразия Ю алгебра U%(A) является свободным правим

)-лодулея о однородней базой.

Иногообразие алгебр над полем харствриапики 0, удовлетворяющее условиям 1), 2), является щхОвровил.

СЛЕДСТВИЕ. Однородное многообразие сигебр Ли шрейерово тогда и только тогда, когда оно совпадает с могообразием всех алгебр Ли или алгебр с нулевым ухнохениел.

Этот результат принадлежит Ю.А.Бахтурину (4].

Один из методов проверки шрейоровости многообразия ал-

геОр дает следующая

ГЕОРЕМА КЗ. Пусть Ш - однородное многообразие алгебр, уОовлетворяящэе следухщим условиям:

1) Для любой свободной алгебр* А многообразия Ю алгебра Уад(Л) является свободной ассоциативной алгеброй;

2) Многообразие К обладает свойством дифференциальной отделимости подалгебр.

Тогда многообразие К - шрейерово.

Из теоремы 1.3 следует шрейеровость многообразий всех алгебр, коммутативных алгебр (характеристики ? 2) и антикоммутативных алгебр, алгебр Ли. С использованием этой теоремы доказана также

ТЕОРЕМА 1.4. Многообразие алгебр, определенное тождеством

х з? = О

является шрейеровым.

Глава 2 посвящена изучению подалгебр свободных ассоциативных и йордановых алгебр. В качестве алгоритмического инструмента используется двухлонточные машины Минского [15]. В §1 доказано, что свойство двухленточных машин Минского иметь хотя бы один цикл алгоритмически нераспознаваемо.

В §2 главы 2 доказана следующая

'ГЕОРЕЫД 2.1. Пусть К - многообразие ассоцишйвкых алгебр, содержащее многообразие алгебр, определенное тождеством

х {у,г] [1,11] 1=0.

Тогда проблема вхождения для свободных алгебр многооб-

разия В неразрешима..

Аналогичное утверждение справедливо тага» и для многообразий ассоциативных алгебр, рассмотренных в [25]. Отмотум

СЛЕДСТВИЕ. Проблема вхожОекия Оля свободных ассоциативных алгебр неразрешма.

Ранее С.А.Агалаков [2] показал финитную неотделимость к.п. подалгебр свободных ассоциативных алгебр.

В связи с теоремой Л.Кона [39] возникает вопрос об описании свободных подалгебр свободных ассоциативных алгебр. В этом направлении представляется интересной следующая

ТЕОРЕМА 2.2. Алгебрамеская зависимость конечной системы элементов свободной ассоциативной алгебры алгоритмически, ^^распознаваема.

Эта теорема дает ответ на вопрос А.Г.Колотова из (6, . вопрос 2.51].

Методы доказательства теоремы 2.2 позволяют доказать также следующую теорему.

ТЕОРЕМА 2.3. Суирствует конечно определенная ассоциативная алгебра, с неразрешимой проблемой равенства, модуль соотношений которой свободен.

Понятие модуля соотношений широко используется в теории груш (см., например, [13]).

Напомним, что в кольце многочленов Р[х1,хг,...,хп1 проблема вхождения разрешима [22],С49].

ТЕОРЕМА 2.4. Проблема вхождения Оля свободных йордано-вих алгебр неразрешим.

При доказательстве этой теоремы используется неразреши-

мость проблемы равенства в многообразии йордановых алгебр [29] и теоремы А.И.Ширшова, П.Кона о специальных йордановых алгебрах (см.[7]).

Центральное место в нашем исследовании занимает глава 3. Для любой алгебры Ли I через 1](Ь) будем обозначать обычную универсальную обертывающую алгебру. В §1 этой главы доказана

ТЕ0РВ1А 3.1. Пусть I - свободная яетабелева алгебра Ми {достаточно большого ранга). Тогда в алгебре и(1.) проблема вхожветя в к.п. правъе идеалы неразрешила.

Это означает, что совместность линейного уравнения а, х, + а„ х0 а х = Ъ, а,, Ъ £ 11(1),

7 1 2' £ п,п - I

алгоритмически нераспознаваема. В случае конечномерных (в частности, свободных нильпотентных) алгебр Ли такая задача алгоритмически разрешима. Разрешимость системы линейных уравнений сводится к разрешимости одного уравнения увеличением ранга алгебры I.

Свободные метабелева алгебры Ли финитно аппроксимируемы относительно вхождения в к.п. подалгебры [8]. С.А.Агалаковым [1] доказано, что свободные разрешимые алгебры Ли (группы) ступени разрешимости > 3 не являются.финитно аппроксимируемыми относительно вхождения в к.п. подалгебры (подгруппы). Вопрос о разрешимости проблемы вхождения в этом случае оставался открытым. Оказалось, справедлива следующая

ТЕОРЕМА 3.2. Проблема вхождения для свободных разреш-мих алгебр Ла ступени разрешлюат > 3 алгоритмически нераз-■ ретива.

Хорошо известна неразрешимость проблема равенства в многообразии разрешимых алгебр Ли (груш) ступени разрешимости > 3 ([111,116),125],[30]). Другой пример такой алгебры дает следующая

ТЕОРЕМА 3.3. Существует к.о. в многообразии разрешимых алгебр Ли ступени разретлоаш > 3 алгебра с иеразрешмой проблемой равенства, с определяххцшеи соотношениями из последнего коммутанта.

Для алгебр Ли (групп) с одним таким опродвлявдин соотношением проблема равенства разрешима [27),1261.

В теории групп хорошо известна теорема К.А.Михайловой [18] о тон, что если для групп с,, <?2 проблема вхождения разрешила, то она разрешима и в свободном произведении 01*Сг этих групп. В случае алгебр Ли справедлива следующая ТЕОРЕМА 3.4. Вели I - свободная метабелева алгебра Ли (достаточна большого ранга), а Ъ1 - одномерная алгебра /и, ш в алгебре 1*Ь( проблема вхождения неразрешима.

Теорема 3.4 дает ответ на вопрос Г.П.Кукина (6, вопрос 1.86]. Другой пример, отвечающий на вопрос Г.П.Кукина, независимо построен С.А.Агалаковым [3]. В примере С.А.Агалакова, как и при доказательстве теоремы 3.1, интерпретируются деух-ленточные машины Минского.

Доказательства теорем 3.2-3.4 приводятся в 52 главы 3. Параграфы 3-5 главы 3 посвящены изучению проблемы вхождения для свободных разрешимых групп и здесь доказаны аналоги теорем 3.1-3.3. В $3 доказана алгоритмическая нераспозна-ваекость совместности систем линейных уравнэний над целочас-

лонным групповым кольцом некоторой метабелевой группы. С использованием этого результата в §4 доказана следующая

ТЕОРЕМА 3.5. Проблема вхохОенш в правые идеалы целочисленного группового кольца Щ свободной, метабелевой группа С (достаточно большого ранга) неразрешима.

ТЕОРЕМА 3.6. Проблема вхождения для свободных разрешимых групп ступени разрешимости. 2 3 неразрешима.

Последняя теорема дает ответ на вопрос М.М.Каргалолова из 123, вопрос 21).

ТЕОРЕМА 3.7. Существует к.о. в многообразии разрешила групп ступени разрешяоаш > 3 группа с неразрешмой проблемой равенства, с определяауиеи сооташетям. из последнего коммутант.

В глава 4 приводятся характеризации автоморфизмов и по-ровдапцих элементов некоторых алгебр.

' Пусть А - свободная алгебра многообразия И с базой X = (х1'х2.....хп)' ЧвР03 Эх € "ю^1 обозначим произ-

водные Фокса элемента /ел.

Пусть д(/) » , , где Г - транспониро-

12 п

ваше. Матрицей.ЯхоОи эндоморфизма <р: А —► А, <р(х1) = К1<л называется матрица

Л<р) - (в(/,), д(!г),..., дЦп)).

Гипотеза якобиана дня многообразия И [351 заключается в том, что матрица Лу) обратима над ¡/0Ш тогда и только тогда, когда <р - автоморфизм. В случае многообразия ассоциативно-коммутативных алгебр над полем характеристики О это совпадает с классической гипотезой якобиана (проблема Келлера

(6J). Для свободных груш такое утверждение доказано в работе Х.Бирман [37].

Пусть G - свободная группа с базой х,, хг..... хп. Напомним, что система элементов g(, gz,..., gh группы С называется примитивной, если она дополняется до базы группы G. 3. §1 главы 4 доказана следующая

ТЕОРЕМА 4.1. Система элементов gf, группы

G примитивна тогда и только тогда, когда матрица

fö(g;J,öfg2).....d(gk)) обратима слева над ZG.

Теорема 4.1 является простым следствием теоремы D из [38], которое доказывается с применением развитой теории концов в грушах. Однако утверждение этой теоремы лмеот большое методологическое значение. Под гипотезой о примитив-, них элементах для многообразия К далее подразумевается^утверждение теоремы 4.1 для свободных алгебр многообразия BJ. , Если L - свободная алгебра Ли с базой X и 1 идеал этой алгебры, то для алгебр вида Х/Г™, т % 2, удобнее рассматривать частные производные с коэффициентами из U(L/T). В §2 доказана следующая

ТЕОРЕМА 4.2. Система элементов /,./2»•••>/„ порождает алгебру Ь/Г01 (п&2) тогда и только тогда, когда ветори

öf/(;, d(f2).....d(fB) порождают U(L/T)-модуль (U(L/?)n]T.

Этот результат является аналогом теоремы А.Ф.Красникова [10] и независимо доказан также В.Шпильрайном.

СЛЕДСТВИЕ 1. эндоморфизм ip свободной алгебра Ли конечного ранга является автоморфизмом тогда и только тогда, когда матрица J(ip) обратима.

Справедливость этого утвзрадения отмечена также в [46]. Аналогичный факт -справедшв дня супоралгебр Ли (21 ] и ассоциативных алгебр [411,147].

Напомним, что многообразие всех нилыютентных алгебр Ли ' ступени нильпотентности < с+1 обозначается через 31 с, а мно-' гообразш а болевых алгебр Ли через It.

СЛЕДСТВИЕ 2. Эндоморфизм <р свободной сигвОри конечного ранга многообразия SlcE С с»}, еОе в - произвольное однород-нов многообразие алгебр Ли, является автоморфизмам когда и ' вольно тогда, когда лашрица J(ip) оОразяига.

• СЛЕДСТВИЕ 3. UopQsùœ&ocszb свободной помяаиьпотетной . сигебри Ли ранга п ровно л поданными злеметаяи алгоритмически распознаваема.

Справедливость гипотезы о пршгатшшых алемевтах для свободных ыэтабелевых груш доказана В.А.Романьковым [24], Е.И.Ткмошенко [28]. В §3 главы 4 доказана следующая

ТЕОРША 4.3. Пусть L - свободная алгебра многообразия Stcil, с », конечного ранга. Тогда следующие условия завива-лентни:

1. Система элеязняов ахгебры. L примитивна;

2. Метрит (ô(gJ),â(g2),...,â(gJt)) обратит слева над U(L/fL,LJ);

3. ¿'ихоры k-го траЗт ¿хзлрицы (d(g1),d(g2),...,ô(gk))

nopozdoxm единичный идеал алгебры U(L/[L,L]).

СЛЕДСТВИЕ. Примитивность конечной системы элементов свободной мшабелевай алгебры Ли над консигрутивныл тлел

алгоритмически распознаваема.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность своему учителю, заведущэму отдела теории колец ИМ СО РАН, профессору И.П.Шествкову за постоянное внимание к работе и моральную поддержку.

Литература

1. Агалаков с.А., 0 Синитной отделимости групп и алгебр Ли, Алгебра и логика, т. 22, Л 4(1903), с. 363-371.

2. Агалаков С.А., 0 финитной отделимости некоторых груш и алгебр Ли, 5-Сибирокая школа по многообразиям алгебраических систем, Барнаул; тез.докл., 1988, с.3-4.

3. Агалаков С.А., О проблеме вхоадения для свободного произведенля алгебр Ли, 3- Меад- конф. по алгебре, сб. тез., Красноярск, 1993, с. 4-5.

4. Бахтурцн Ю.А., Тоадоства в алгебрах Ли, М., Наука,

1985.

5. Бокуть Л.А., Кукин Г.П., Неразрешимые алгоритмические проблека для полугруш, груш и колец, Итоги науки и техника, ¿гтоора.Топология.Геомерия, т.25, Ц.: ВИНИТИ, 1987, с.3-66.

6. Днестровская тетрадь, Новосибирск, 1982.

7. Хевлакоз К.А., СЛинько A.M., Изстаков И.П., Ширшов . А.И., Кольца, близкие к ассоциативным, М., Наука, 1978.

8. Зайцев М.В., О фиттяоИ отделимости относительно свободных алгебр Ли, Меад. конф. по алгебре, сб. тезисов,

- Барнаул, 1991, с. 43.

9. Кон П., Свободные кольца к их связи, М., top, 1975.

10. Красников А.Ф., 0 порождающих элементах группы F/IN.NJ, Матом, заметки, т.24, Л 2(1978), с. 167-174.

11. Кукин Г.П., Алгоритмические вопросы для разрешимых алгебр Ли, Алгебра и логика, т. 17, J6 4(1978), с. 402-415.

12. Курош А.Г., Неассоциативные свободные алгебры и свободные произведения алгебр, Матем. сб., т.20(62), 1947, с. 119-126.

13. Линдон Р., Шупп П., Комбинаторная теория групп, М., Мир, 1980.

14. Магнус В., Каррас А;, Солитэр Д., Комбинаторная теория групп, М., Наука, 1974.

15. Мальцев А.И., Алгоритмы и рекурсивные функции, М., Наука, 1986.

16. Мельничук И.Л., Сапир М.В., Харлампович О.Г., Проблема равенства в многообразиях полугрупп, колец и алгебр Ли, Сиб. матем. згурн., т. 27, JS 6(1986), с. 144-156.

17. Михайлова К.А., Проблема вхождения для прямых произведений груш, ДАН СССР, т. 119, 1958, с. 1103-1105,

18. Михайлова К.А., Проблема вхождения для свободных произведении груш, ДАН СССР, Т. 127, № 4(1959), с. 746-749.

19. Михалев A.A., Подалгебры свободных цветных супералгебр Ли, Матем. заметки, т.37, .4 5(1985), с. 653-661.

20. Михалев A.A., Подалгебры свободных р-супералгебр Ли, Матем. заметки, т.43, Л 2(1988), с. 178-191.

21. Михалев A.A., О правых идеалах свободной ассоциативной алгебры, поровденных свободными цветными (р-)суперал-гобрами Ли, Усп. матем. наук, т. 47, » 5(1992), е., 187-188.

22. Носков Г.А., О проблеме вхоздения для кольца многочленов, Сиб. мат. жури., Т. 19, Я 6(1976), с. 1413-1414.

23. Носков Г.А., Ромесленников В.Н., Романьков В.А., Бесконечные группы. Итоги науки и техн., "Алгебра. Тополо-

гая. Геометрия, т.17", Ы., 1979, с. 65-157.

24. Романьков В.А., Критерии примитивности системы элементов свободной метабелевой группы, Укр. мат. журн., т.43, * 7(1991), с. 996-1002.

25. Сапир U.S., Харлампович О.Г., Проблема равенства в многообразиях ассоциативных алгебр и алгебр Ли, Изв. вузов, ыатем.,. 1989, * б, с. 76-84.

26. Соколов В.Г., Алгоритм тоздэства для одного'класса разрешимых групп, Сиб. ыатем. журн., т.12, й 6 (1971), С.1405-Н10.

27. Тавапов В.В., 0 полшилыготентшх алгебрах Ли, заданных одним определяю®»! соогноэонши, Сиб. матем. журн., т.23, JS 5(1982), с. 192-204.

28. Тимошенко Е.И., о включении данных элементов в базис свободной метабелевой группы, Доп. в ВИНИТИ, 11.04.83, й 2699.

29. Умарбаев У.У., Проблема равенства для йордановых и правоапьтернативных алгебр, В сб.: Некоторые проблемы и задачи анализа и алгебры, Новосибирск, 1985, с.120-127.

30. Хардашовш! О.Г., Конечно определенная разрешимая группа с неразрепЕМой проблемой равенства, Изв. АН СССР, сер. матем.. т. 45, & 4(1981), 852-873.

■ 31. Ширпов А.И., Подалгебры свободных лиевых алгебр, Натек, сб., т. 33(75), » 2(1953), с. 441-452.

32. Ширпов А.И., Подалгебры свободных коммутативных и свободных антикогалутаишных алгебр, Матем. сб., т. 34(76), а 1 (1954), с. 81-88.

33. Ширшов А.И.. Кольца и алгебры, М., Наука, 1984.

34. Штерн A.C., Свободные супералгебрн Ли, Сиб. матем. хурн.. т.27, » 1(1986), с. 170-174.

35. Ягжэв A.B., Об эндоморфизмах свободных алгебр, Сиб. матем. журн., т.21, J6 1(1980), С. 181-192.

36. Bergnan G.M., Dicks W., On universal derivations, J. Algebra, v. 36, 1975, p. 194-211.

37. Birman J.S., An Inverse function theorem ior Iree groupa, Proc. Amer. Math. Soc., v. 41, 1974, p. 634-638.

38. Cohen D.B., Groups oi cohomologlcal dimension one. Lecture Notes In Math., v. 245, Berlln-Heldelberg-New York; Springer, 19T2.

39. Cohn P.M., Subalgebras oi iree associative algebras, Proc. London Math. Soc., v. 56, 1964, p.618-632.

40. Dehn M., Uber unencîllche dlsccntlr.ulerllche Gruppen, Math. Ann., 7.72, 1911, p.116-144.

41. Dicks W., Lewln J., A Jacoblan conjecture lor Iree associative algebras, Сопит. In Algebra, v.10(12), 1982, p. 1285-1306.

42. Fox H.H., Free dlirerentlal calculus, 1, Annals oi Math., v. 57, 1953, p. 547-560.

43. Fox R.H., Free dlirerentlal calculus, 3, Annals of Math., v. 64, 1956. p. 407-419.

44. Jacobson H., Structure and representations or Jordan algebras, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., v. 39, Providence, R.I., 1968.

'45. Lewln J., On Schreier varieties ot linear algebras.

Trans. Amer. Math. Soc., v. 132, 1968, p. 553-562.

46. Reutenauer C., Applications or a noncoiamtatlye Ja-coblan matrix, J. Pure and. Appl. Algebra, v.77, 1992, p. 169-181.

' 47. Schofleld A.B., Representations of rings over skew fields, London Math. Soc. lecture Note Ser., N.92, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1985.

48. Schreier O.J., Die Untergruppen der freien Gruppen, Abh. Math., Sem. Onlv. Hamburg, v.5. 1927, p. 161-183.

49. Shannon D., Sweedler I!., Using Grobner bases to determine algebra membership, split ßurjectlve algebra hono-иогрМБпз, determine birathlonal equivalence, J. Symb. Сою-put., 7.6. * 2-3(1968), p. 267-273.

50. Hltt E., Die ünterrlnge der freien Lieschen Ringe, Math. Z.. 7. 64, 1956, p. 195-216.

Работы автора no теме диссертации

51. УкшрбааЕ У.У., Аппроксимация свободных алгебр Ли относительно вювденая, Ыеад. конф. ло алгебре памяти Мальцева А.И., тез. докл. то теории колец, алгебр и модулей, Новосибирск, 1989, с. 137.

52. Ушфбаев У.У., Об аппроксимации свободных алгебр Ли относительно вхождения, Ученые записки Тартуского университета, Моноида, кольца и алгебры, 878, 1990, с. 147-152.

53. Умирбаев У.У., Об якобиане алгебр Ли, 6- Сибирская школа по многообразиям алгебраических систем, тез. сообщ..

Магнитогорск, 1990, с. 32.

54. Умирбаев У.У., О проблема вхождения для свободных ассоциативных алгебр, 11- Межресп. ковф. по матем. логике, Казань, 1992, с. 145.

55. Умирбаев У.У., Проблема вховдения для алгебр Ли, Алгебра и логика, т. 32, * 3 (1993), с.326-340.

56. Умирбаев У.У., Некоторые алгоритмические вопросы ассоциативных алгебр. Алгебра и логика, т. 32, а 4(1993), с.450-470.

57. Умирбаев У.У., Частные производные и эндоморфизмы некоторых относительно свободна алгебр Ли, Сиб. матем. журн., т. 34. * 6(1993), с.179-188.

58. Умирбаев У.У., Примитивные элементы свободных групп. Успехи матем. наук, т. 49, Л 2 (1994), с.175-176.

59. Умирбаев У.У., О шрейеровых многообразиях алгебр. Алгебра и логика, т. 33, » 3 (1994), с.317-340.

60. Умирбаев У.У., Проблема вхождения для свободных разрешимых групп, Межд. конф. по алгебре и анализу, тез.. докл., ч. 1, Казань, 1994, с.94-95.

61. Умирбаев У.У., Системы линейных уравнений над групповыми кольцами разрешимых групп. Докл. ПАЯ РК, 1994, £ 4, с.7-13.