Полугрупповые алгебры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Казанский государственный энергетический университет"

ЯШАГИН ЕВГЕНИЙ ИВАНОВИЧ

ПОЛУГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ

Специальность 01 01.01. - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

на правах рукописи

УДК 517.98

ООЗ1588

Казань - 2007

003158813

Работа выполнена на кафедре высшей математики Казанского государственного энергетического университета.

Научный руководитель - доктор физ.-мат. наук,

профессор С. А. Григорян

Официальные оппоненты - доктор физ.-мат. наук,

профессор Ф. А. Шамоян, член-кор. Академии наук Татарстана, профессор Д. X. Муштари

Ведущая организация - Омский филиал Института математики им. Соболева Сибирского отделения РАН

Защита состоится "-$0" г^ 2007 г. в на

заседании диссертационного совета К 212. 133. 01. в Московском государственном институте электроники и математики по адресу: 109028, Москва, Б. Трехсвятительский пер. 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного института электроники и математики.

Автореферат разослан " Ъ Ч " СЛ1« <Гр^ 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, ______

доцент Хакимуллин

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Теория полугрупповых алгебр является одним из актуальных направлений функционального анализа, имеющее применение в других областях математики Она тесно переплетается с теорией почти-периодических функций, теорией динамических систем, теорией представления, теорией полугрупповых С*-алгебр, /■('-теорией С помощью методов этой теории удалось дать ответ на многие вопросы

Интерес к этой теории обусловлен еще и тем, что в последние годы она все более широко применяется в различных задачах теоретической физики, ее результаты востребованы в математическом аппарате квантовой механики. Современные суперсимметричные теории элементарных частиц связаны с полугрупповыми обобщениями супермногообразий, для описания которых вместо фундаментальной группы используется так называемая башенная полугруппа Точечные дифференцирования алгебры последней несут информацию об исходных супермногообразиях

Особенно большой интерес в приложениях представляют полугрупповые алгебры, порожденные некоторой полугруппой характеров компактной абелевой группы Такие алгебры иногда называют алгебрами Аренса и Зингера, так как эти авторы впервые установили связь между полугрупповыми алгебрами и алгебрами почти-периодических функций. Дальнейшее развитие идей Р. Аренса и И Зингера проявилось в работах Г Хельсона и Д. Лауденслагера, К. Гофмана, Ф. Фо-релли, К де Лю и И Гликсберга, В Рудина, Т Гамелина, С. А Григоряна.

Естественным обобщением полугрупповых алгебр являются инвариантные алгебры функций на группах Ли и на одно-

з

родных областях.

Исследования на таких алгебрах функций можно проследить по работам М. Л Аграновского, Е А. Горина и В М Золотаревского, В М. Гичева.

Основным объектом исследования в данной работе является описание некоторых новых свойств полугрупповых алгебр Цель работы. Изучение вопроса о числе идемпотентов для некоторых видов полугрупп, а также их полугрупповых расширений гранями, описание точечных дифференцирований полугрупповых алгебр, исследование нелокальных полугрупповых алгебр, у которых есть нелокальное дифференцирование и построение примера полугрупповой алгебры -унимодулярной максимальной алгебры Дирихле, у которой одноточечные доли Глисона плотны в в *-слабой топологии

Метод исследования. Исследования проводились на стыке нескольких математических теорий с использованием методов теории полугрупп, теории алгебр функций, теории характеров и компактных абелевых групп

Теоретическое и практическое значение. Диссертация имеет теоретический характер Полученные результаты могут быть использованы в теории полугрупп, в теории равномерных алгебр, а также и в различных приложениях. Особенно актуальны и востребованы результаты для исследований полугрупповых обобщений супермногообразий.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту. Основные результаты, полученные в ходе работы, являются новыми Из них выделим следующие

1 изучен вопрос числа идемпотентов для некоторых видов полугрупп, а также их полугрупповых расширений гранями,

2. описано пространство точечных дифференцирований порожденных классами сильно р-крайних точек,

3 дано интегральное представление точечных дифференцирований порожденных классами сильно р-крайних точек,

4. исследованы точечные дифференцирования в точках М5 \ Ы5 для полугрупповой алгебры ^(5),

5. исследованы доли Глисона алгебр Бляшке - индуктивного предела простейших полугрупповых алгебр, построен пример унимодулярной максимальной алгебры Дирихле

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения докладывались и обсуждались на научном семинаре "Банаховы алгебры"в Казанском государственном энергетическом университете, на семинарах "Геометрическая теория функций "и "Новейшие проблемы теории поля"в Казанском государственном университете, на итоговых научных конференциях ЗФ КГУ1999-2004 г.г., на международных школах - конференциях "Теория функции, её приложения и смежные вопросы "(Казань, 2005-2007)

Публикации. По теме диссертации опубликовано девять работ. Список работ приведён в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация, объемом 105 страниц, состоит из введения и четырех глав, разбитых на 18 параграфов, а также списка литературы, содержащего 65 наименований.

Краткое содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы, указана цель работы и изложены основные результаты диссертации

Глава I состоит из шести параграфов, в ней собраны необходимые для дальнейшего определения и утверждения, при-

ведена полная классификация пространства мультипликативных функционалов полугрупповых алгебр на двумерном торе Этому посвящены первые три параграфа. В §3 также определяется алгебра которая является основным объектом исследования в следующей главе.

Для некоторой компактной абелевой группы (7, обозначим через О её группу характеров Рассмотрим аддитивную группу Г, наделенную дискретной топологией, которая изоморфна группе характеров О Для а 6 Г пусть х°' ~ соответствующий характер из (5 Каждую функцию / € Ьг(С, /х), где ¡1 - нормированная мера Хаара группы С, можно формально представить в виде ряда Фурье

аег

с коэффициентами Фурье

4 = 1

с

Пусть 5 - подполугруппа группы Г, 0 е 5, и ^(Б) - пространство всех непрерывных функций на группе С, которые можно представить в виде абсолютно сходящегося ряда

/ = £ с/аХ\ Е|С«1<0°

аб5 аеЗ

Это пространство является банаховой алгеброй относительно операции поточечного произведения и нормы

иль = Е 1^1

аб5

Так как эта алгебра порождается полугруппой 5, то ее естественно назвать полугрупповой алгеброй.

Четвертый параграф посвящен идемпотентам, среди изложенных примеров приводится теорема о числе идемпотентов для S С Zn. Здесь дано определение расширений полугруппы гранями, а также ставится вопрос о связи между этими расширениями полугруппы и размерностью множества Ids

Более подробно речь идет о следующем Пусть Г - группа, порожденная гранью К С S, т.е. Г = К — К. Введем новую полугруппу S = S U Г, где Г - ее грань. Для п > 2 обозначим через S* полугруппу, полученную с помощью п — 1 последовательного расширения гранями полугруппы S В указанном параграфе доказана следующая теорема

Теорема 1. Любая полугруппа S С К™, имеющая т > п идемпотентов, допускает не более чем п — 1 последовательное групповое расширение гранями, после чего для полученной S* card Ids- = 1 -

В последних параграфах указывается на свойство аналитичности в пространстве мультипликативных функционалов полугрупповых алгебр

Глава II, состоящая из четырех параграфов, посвящена точечным дифференцированиям на полугрупповых алгебрах. Напомним определение точечного дифференцирования для коммутативной банаховой алгебры А с единичным элементом е £ А Обозначим через М& - пространство максимальных идеалов алгебры А. Непрерывный линейный функционал д А —> С называется точечным дифференцированием в т € Ма, если для любых f,g Е А выполняется равенство

9(f 9) = m(f)d(g) + d(f)m(g) Понятие точечного дифференцирования тесно связано с понятием аналитичности в спектре банаховой алгебры. Согласно результатам А. Браудера и Т Рида, если в точке

теМ/1 для равномерно замкнутой подалгебры А алгебры всех непрерывных функций на некотором компакте любое точечное дифференцирование непрерывно, то в некоторой метрической окрестности точки т можно определить многомерную аналитическую структуру

Пусть Нот(5', В) - множество всех полухарактеров полугруппы 5', т е множество всех гомоморфизмов полугруппы 5 в единичный диск В комплексной плоскости С. Каждый полухарактер С € Нот(5, В) определяет мультипликативный функционал т^ Г (5") —>• С на алгебре ^(б')

а€3

Верно и обратное Каждый мультипликативный функционал т на определяет полухарактер

Ст (гп(а) = т(ха)

Отображение ( —» т^ порождает изоморфизм между Нот(5, В) и пространством максимальных идеалов Му алгебры ^(Я) Так как Нот(£>, В) - полугруппа, то с помощью изоморфизма С —► т^ можно определить полугрупповую структуру на Мэ- Множество тех элементов р £ Мэ, для которых р2 = р, образуют подполугруппу идемпотентов Ид полутруппы М,$' В § 2 второй главы дается полное описание точечных дифференцирований в точках из И5 для алгебры С этой целью вводится понятие сильно р-крайней точки для р е И5 Идемпотент р е М5 разбивает полугруппу 5 на две подполугруппы

= {а 6 5 р(а) — 1}, {а 6 5 р{а) = 0}

Элемент

о, (Е называется р-крийним в если его нельзя представить в виде суммы двух элементов из Элемент

а € называется сильно р - крайним в Я, если для любого с1 Е элемент ¿ + а - р-крайний в в. Множество Ь сильно /жрайних точек в в можно разбить на классы эквивалентности а ~ Ъ (а, Ь Е Ь), если найдутся ¿,с € ^ такие, что а + ¿ = Ъ + с

Пусть Ь(а) - множество всех сильно р-крайних точек, эквивалентных элементу а Каждый такой класс задаёт точечное дифференцирование

Основные утверждения § 2 - следующие две теоремы.

Теорема 2. Пространство всех линейных комбинаций точечных дифференцирований, порождённых сильно р-крайними точками, плотно в *-слабой топологии в пространстве всех точечных дифференцирований в р.

С помощью полугруппы породим подгруппу

Гр = {о — Ъ а.Ь Е 5д} группы Г Пусть

(?р = {а 6 С Ха(а) = 1 Для всех а € Гр}

Теорема 3. Пусть а Е 5 - сильно р-крайняя точка Тогда

где сгр - нормированная мера Хаара группы О.

В § 3 данной главы исследуются точечные дифференцирования в точках множества М^.

ф) - С, ЗД) = £ /(6)

Ь€Ца)

Пусть Ет, т € Мз\ Из, линейное пространство тех аддитивных конечных функций к на 5™ = {а е 5 |та(ха)| > 0}, для которых выполняется неравенство

вир |т(ха) М°01 < °°

С помощью к 6 Ет определим линейный функционал Ш = Е №МФ(а) на

Данный линейный функционал является точечным дифференцированием в точке т € Мб>\ И,д. Мультипликативный функционал то € порождает идемпотент ргп € И^:

( \ _ / 1> если ° е ^о1 > - | 0; если а е

Основным результатом этого параграфа является

Теорема 4. Пусть д I1 (£') —> С - точечное дифференцирование на е точке т €Е МДЫз- Тогда

ге/

где <9/г - выше определённое дифференцирование, дг - дифференцирование, заданное на каждом классе эквивалентности сильно рт-крайних точек, I - множество классов эквивалентности в Ь сильно рт-крайних точек

Не каждое точечное дифференцирование продолжается с алгебры I1 (5') до алгебры Л5. Последний параграф главы II посвящен вопросу продолжения точечного дифференцирования с I1 (Б) на Аз

Глава III данной работы - о нелокальных алгебрах, инвариантных относительно сдвигов, на компактных группах, содержит четыре параграфа.

Пусть А - равномерная алгебра, те замкнутая в равномерной норме подалгебра алгебры С(Х) всех непрерывных функций на компакте X, содержащая константы и разделяющая точки множества X Пусть X совпадает с Мд. Говорят, что функция / € С(Х) локально принадлежит алгебре А, если для любой точки х 6 X существуют функция д € А и окрестность и точки х такие, что сужение / на и совпадает с сужением д на и Если каждая функция из С(Х), локально принадлежащая алгебре А, принадлежит этой алгебре, то говорят, что А - локальная алгебра, в противном случае А -нелокальная алгебра

В середине 30х годов прошлого века М. Крейном был поставлен вопрос о существовании нелокальных алгебр. Долгое время этот вопрос стоял открытым. Первый пример нелокальной алгебры был построен Э Каллин в 1963 г Понятие нелокальной алгебры тесно переплетается с понятием нелокального точечного дифференцирования Непрерывное точечное в хо € X дифференцирование д на алгебре А называется нелокальным, если <9(/) = 1 для некоторой функции / £ А, равной нулю на некоторой окрестности точки хо В работе Б Т. Батикяна и Е А. Горина предлагается общая схема построения нелокальных алгебр, используя алгебры с нелокальными точечными дифференцированиями. Пусть

5 = {абГ по е 5 для некоторого п > 0} . В § 1 этой главы представлена

Теорема 5. Пусть 5* = Тогда Дд - локальная алгебра

В следующем параграфе строится пример локальной алгебры, инвариантной относительно сдвигов, имеющей нелокальное дифференцирование.

Этот пример позволяет, используя конструкцию Б Т. Ватикана и Е. А. Горина, построить нелокальную инвариантную относительно сдвигов алгебру функций на компактной абелевой группе, имеющей нелокальное точечное дифференцирование В § 3 главы III дается

Теорема 6. Следующие условия эквивалентны.

a) As - локальная алгебра,

b) если преобразование Гельфанда некоторого характера ха, а € S, локально принадлежит преобразованию Гельфанда As алгебры As, тогда а € S

Последний параграф главы III посвящен нелокальным инвариантным алгебрам на n-мерном торе. В данном параграфе строится пример равномерной инвариантной относительно сдвигов алгебры на двумерном торе Т2, имеющей нелокальное точечное дифференцирование. Основной результат данного параграфа -

Теорема 7. На n-мерном торе Т" при п > 3 существует нелокальная инвариантная относительно сдвигов равномерная алгебра.

Нужно заметить, что при п < 2 все инвариантные алгебры на Т" локальные

Глава IV данной работы посвящена исследованию долей Глисона алгебр Бляшке - индуктивного предела простейших полугрупповых алгебр В этой главе также четыре параграфа.

Пространство Ma можно разбить на классы эквивалентности (доли Глисона), полагая mi ~ тог, если \\rrii — тгЦ < 2. В большинстве случаев долю Глисона можно наделить такой аналитической структурой, что сужение преобразования Гельфанда функций из алгебры А на эту долю будет аналитической функцией. Например, если вещественная часть Re А — {Re f f £ А} алгебры А плотна в алгебре всех ве-щественнозначных функций на X, т.е А - алгебра Дирихле, то каждая неодноточечная доля Глисона этой алгебры имеет одномерную аналитическую структуру, гомеоморфную единичному диску (теорема Вермера ). Первый пример алгебры, у которой каждая точка есть одноточечная доля Глисона, был предложен Коулом До сих пор не известно, существуют ли алгебры Дирихле, у которых каждая доля Глисона состоит из одной точки.

Пусть A(D) - диск алгебра, т.е. алгебра непрерывных функций на единичном диске D аналитических в mtD, Л(Т) -сужение A{D) на единичную окружность Т в D. Конечное произведение Бляшке

ОС , ч

порождает накрытие

Ь £>-*£>, я -»• b{z) ,

которое в свою очередь порождает вложение

b* A(D)^A{D)

алгебры A(D) в A(D). Бесконечное семейство Ъ = {Ьп}^=1 конечных произведений Бляшке порождает проективный предел

D D Л- D Л- D ...

единичных дисков и индуцированный предел

Аф) Л. А{р) Л Л(£>) Л .

диск алгебр. Алгеброй Бляшке {А, Ь) называется замыкание индуктивного предела

1ш1 А(В)

Ж

Ряд свойств алгебр Бляшке были получены С. А. Григоряном и Т. В Тоневым В частности, они показали, что проективный предел

Г>оо = Ьт В Ьп

совпадает с пространством мультипликативных функционалов алгебры {А,Ь), граница Шилова совпадает с

Тоо = 1ш1 Т ,

и сужения (А, Ъ) на Т^ есть максимальная унимодулярная алгебра Дирихле. В последней главе диссертации доказывается следующая

Теорема 8. Каждая доля Глисона, содержащая особую точку, есть одноточечное множество

Диссертация завершается следующими результатами

Теорема 9. Существует такая алгебра Бляшке, одноточечные доли Глисона которой плотны в в *-слабой топологии

Теорема 10. Существует максимальная унимодулярная алгебра Дирихле, у которой одноточечные доли Глисона плотны в пространстве мультипликативных функционалов

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физ.-мат наук С А Григоряну за постоянное внимание к работе и ценные советы

Работы автора по теме диссертации

1 Яшагин ЕИ. О размерности точечных дифференцирований инвариантных равномерных алгебр // Теория функций, ее прил и смеж. вопр. Казанское матем общество -1999.-С 257- 259

2 Яшагин Е. И О нелокальных точечных дифференцированиях на инвариантных равномерных алгебрах на двумерном торе // XVI Петровские чтения. Волга'16 - 2004. - С. 79 -80

3 Яшагин Е. И. Точечные дифференцирования алгебры 11(Б) в к],5' // Теория функций, ее прил. и смеж. вопр Казанское матем. общество. - 2005. - Т 30 - С 170 - 171.

4. Яшагин Е. И О взаимосвязи между подполугруппами полугруппы Б и идемпотентами спектра алгебры 11{Б) // XVII Петровские чтения Волга'17 - 2005 - С 54-55

5 Яшагин Е. И Об одноточечных долях Глисона. // Функциональный анализ и его приложения - 2006 - Т 40

- № 1. - С 92 - 94.

6 Яшагин Е И Точечные дифференцирования в М^ для полугрупповой алгебры 11(Б). // Новейшие проблемы теории поля - Казань. Изд-во Казанск ун-та, - 2006. - Т 5 - С. 252

- 258.

7. Яшагин Е. И. О сравнении и Ы-з* для полугруппы Б и её расширения гранями Б* // Теория функций, ее прил.

и смеж вопр. Казанское матем. общество - 2007 - Т 35 -С. 288 - 289

8 Яшагин Е. И. О геометрической интерпретации дифференцирований полугрупповых алгебр // XIX Петровские чтения. Волга'19. - 2007. - С 53

9. Яшагин Е И. Об одном примере максимальной унимо-дулярной алгебры Дирихле // Сиб матем. журнал - 2007. -Т 48 - № 4. - С 951 - 956

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства Казанского государственного университета им В И Ульянова-Ленина Тираж 90 экз Заказ 47/9

420008, ул Профессора Нужина, 1/37 тел 231-53-59,292-65-60

Основные обозначения

Введение

1 Полу групповые алгебры

1.1 Полугруппы.

1.2 Веса на полугруппах.

1.3 Полугрупповая алгебра ^{S).

1.4 Идемпотенты в Ms.

1.5 Аналитичность в спектре иолугрупповых алгебр.

1.6 Антисимметричные полугрупповые алгебры

2 Точечные дифференцирования на полугрупповых алгебрах

2.1 Основные свойства точечных дифференцирований.

2.2 Точечные дифференцирования на Ids Для алгебры I1 (S)

2.3 Точечные дифференцирования на положительных полухарактерах на алгебре ls(G).

2.4 Точечные дифференцирования на алгебре As.

3 Нелокальные точечные дифференцирования на полугрупповых алгебрах

3.1 Предварительные замечания.

3.2 Нелокальные точечные дифференцирования.

3.3 Локальные алгебры

3.4 Инвариантные равномерные алгебры на n-мерном торе

4 Доли Глисона алгебр Бляшке

4.1 Алгебра Дирихле и доли Глисона.

4.2 Алгебры Бляшке.

4.3 Алгебры Бляшке индуктивного предела.

4.4 Одноточечные доли Глисона алгебр Бляшке.

Алгебра функций - одно из основных понятий функционального анализа. Существует много разных алгебр функций, разнообразие которых определяется множествами с которыми они связаны. Эта работа посвящена описанию некоторых свойств алгебр функций, порождённых полугруппами.

Теория полугрупповых алгебр является одним из актуальных направлений функционального анализа, имеющее применение в других областях математики. Она тесно переплетается с теорией почти-периодических функций, теорией динамических систем, теорией представления, теорией полугрупповых С*-алгебр, К-теорией. С помощью методов этой теории удалось дать ответ на многие вопросы.

Интерес к теории полугрупновых алгебр обусловлен еще и тем, что она нашла широкое применение в теоретической физике, особенно в квантовой механике. Современные сулсрсимметричныс теории элементарных частиц связаны с полугрупповыми обобщениями супермногообразий, для описания которых вместо фундаментальной группы используется так называемая башенная полугруппа. Точечные дифференцирования алгебры последней несут информацию об исходных супермногообразиях.

Основным объектом исследования в данной работе являются полугрупповые алгебры, порождённые некоторой полугруппой характеров компактной абелсвой группы. Такие алгебры иногда называют алгебрами Аренса и Зингера, так как именно эти авторы впервые установили связь между полугрупповыми алгебрами и алгебрами почти-гюриодических функций [22, 23]. Дальнейшее развитие идей Р. Аренса и И. Зингера проявилось в работах Г. Хсльсона и Д. Лауденслагера [37, 38, 39], К. Гофмана [11], Ф. Форелли [26], К. дс Лю и И. Гликсберга [41], В. Рудина [47], Т. Гамелина [6, 27], С. А. Григоряна [12, 13, 14, 28-33].

Естественным обобщением полугрупповых алгебр являются инвариантные алгебры функций на группах Ли и на однородных областях. Исследования таких алгебр функций можно проследить по работам М. JI. Аграновского [1], Е. А. Горина и В. М. Золотаревского [10], В. М. Гичева [8].

Данную диссертационную работу можно условно разбить на три части. В первой части (глава II) описываются точечные дифференцирования полугрупповых алгебр. Во второй (глава III) исследуются нелокальные полугрупповые алгебры, у которых есть нелокальное дифференцирование. Последняя часть (глава IV) посвящена долям Глисона алгебр Бляшке -индуктивному пределу простейших полугрупповых алгебр.

Перейдём теперь к более подробному разбору диссертации по главам.

1. Аграновский М. Л. Инвариантные алгебры на границах симметрических областей. //ДАН СССР. - 1971. - Т. 197. - № 1. - С. 9 - И.

2. Батикян Б. Г., Горин Е. А. Заметка о не локальных алгебрах. // Записки науч. семинаров ЛОМИ. 1973. - № 65. - С. 172 - 177.

3. Варшавский А. Д. Функциональная алгебра второй степени нелокальности. // Мат. сб. 1969. - Т. 80. - № 2. - С. 266 - 280.

4. Гамелин Т. Равномерные алгебры. М.: Мир, 1973.

5. ГарнеттДж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.

6. Гичев В. М. Инвариантные алгебры функций на группах Ли. // Сиб. матем. журнал. 1979. - Т. 20. - № 1. - С. 23 - 36.

7. Горин Е. А. Подалгебры конечной коразмерности. // Матем. заметки. 1969. - № б. - С. 321 - 328.

8. Горин Е. А., Золотаревский В. М. Максимальные инвариатные алгебры в алгебрах с инволюцией. // Матем. сб. 1971. - Т. 85. - N2 3. -С. 373 - 387.

9. Гофман К. Банаховы простанства аналитических функций. -М.:ИЛ., 1963.

10. Григорян С. А. Алгебра конечного типа на компактных группах. // Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1979. - Т. 14. - № 3,- С. 168 - 183.

11. Григорян С. А. Максимальные алгебры обобщенных аналитических функций. Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1981. - Т. 16. - № 5. -С. 168 - 183.

12. Григорян С. А. Обобщённые аналитические функции. // Успехи матем. наук 49. 1994. - № 2. - С. 3 - 42.

13. Клифорд А., Престон. Г. Алгебраическая теория полугрупп. -М.: Мир,- 1972, Т. 1, 2.

14. Левитан Б. М. Почти периодические функции. М.: ГИТТЛ, - 1953.

15. Лснг С. Алгебра. М.: Мир, - 1965.

16. Ляпин Е. С. Полугруппы. М.:ГИФМЛ, - 1960.

17. Рудин У. Теория функций в поликруге. М.: Мир, - 1974.

18. Форстер О. Римановы поверхности. ~ М.: Мир, 1980.

19. Чирка Е. М. Комплексные аналитические множества. М.: Наука, - 1985.

20. Arens R. The boundary integral of log\ip\ for generalized analytic functions. // Т. A. M. S. 1957. - Vol. 86. - P. 57 - 69.

21. Arens R. and Singer I. Generalized analytic functions. // Т. A. M. S. -1956. Vol. 81. - P. 379 - 393.

22. Batikyan В. T. Point derivations on algebraic extension of Banach algebra. // Lobachevskii J. Math. 2000. - Vol. 6. - P. 33-37.

23. Browder A. Point derivations and analytic structure in the spectrum of a Banach algebra. // J. Funct. Anal. 1971. - Vol. 7. - P. 156-164.

24. Forelli F. Analytic measures. // P. J. M. 1963. - Vol. 13 - P. 571 - 578.

25. Gamelin T. Remarks on compact groups with ordered duals. // Rev. U. Math Arg. 1967. - Vol. 23. - P. 97 - 108.

26. Grigoryan S. A., Pankrateva T. N., Tonev Т. V. Inner automorphisms of shift invariant algebras on compact groups. // Из. АН. Армения. -1998.- Т. 34. - No 5. - C.57 - 62.

27. Grigoryan S. A., Pankrateva T. N., Tonev Т. V. Invariant algebras on groups and completeness of their generating semigroups. // Теория функций, её прил. и смеж. вопр. Казанское матем. общество. 1999. -С. 260-261.

28. Grigoryan S. A., Pankrateva Т. N., Tonev Т. V. The validity range of two complex analisis theorems. // Complex variables. 2002. - Vol. 47. -No 12 - P. 1085 - 1095.

29. Grigoryan S. A., Tonev Т. V. Blaschke inductive limits of uniform algebras. // IJMMS 27 : 10. 2001. - P. 599 - 620.

30. Grigoryan S. A., Tonev Т. V. Shift invariant algebras on groups. // Contemporary Math. - 363. - P. 111-127. - American Mathematical Society. Providence. RI. - 2003.

31. Grigoryan S. A., Tonev Т. V. Linear multiplicative junctionals of algebras of S analytic functions on groups. // Lobachevsky. Math. J. - 9 (2001).- P. 29 35.

32. Hallstrom A. On bounded point derivation and analytic capacity. // J. Funct. Anal. 1969. - Vol. 4. - P. 153 - 165.

33. Helson H. and Lowdenslager D. Prediction theory and Fourier series in several variables. // Acta Math. 1958. - Vol. 99. - P. 165 - 202.

34. Helson H. and Lowdenslager D. Prediction theory and Fourier series in several variables. // II, Acta Math. 1960. - Vol. 103. - P. 175 - 213.

35. Helson H. Lectures on invariant subspaces. N.Y.:Acad. Press, - 1964.

36. Hoffman K. and Singer I. Maximal subalgebras of С(Г). //Amer. J. Math.- 1957. Vol. 79. - P. 295 - 305.

37. Kallin E. A nonlocal function algebra. // Proc. Nat. Acad. Sci. 1963. -Vol. 49. - P. 821 - 824.

38. B. J. Cole One point parts and the peak - point conjecture. // Ph. D. Dissertation, Yale University, New Haven, Conn. - 1968.

39. Lecuw K. and Glicksberg I. Quasi invariance and measures on compact groups. // Acta Math. - 1963. - Vol. 109. - P. 179 - 205.

40. Leeuw K. de. and Mirkil H. Translation invariant function algebras on ahelian groups. // Bull Soc. Math. Franse. - 1960. - Vol. 88. - P. 345 -370.

41. Leiboitz G. M. Lectures on Complex Function Algebras. Scott, Foresman and Co., Illinois, 1970. MR 55#1072. Zbl 219.46037.

42. Loomis L. Introduction to abstract harmonic analysis. // Van Nostrand. Princction. N.J. 1953.

43. Read Т. T. The powers of a maximal ideal in a Banach algebra and analytic structure. // Trans. Amcr. Math. Soc. 1971. - Vol. 161. - P. 235 -248.

44. Rider D. Translation invariant Dirichlet algebras on compact groups. // P. A. M. S. - 1966. - Vol. 17. - No 5. - P. 977 - 985.

45. Rudin W. Fourier analysis of groups. :Interscicnce. N. Y., 1962.

46. Sawon Z., Warsecha A. On the general from of subalgebras of codimension 1 of В algebras. // Studia Math. - 1968. - Vol. 29. - P. 249 - 260.

47. Sidney S. High order nonlocal uniform algebras. // Proc. Arner. Math. Soc. - 1971. - Vol. 23. - P. 735 - 752.

48. Sidney S. Point derivations in certain sup norm algebras. // Trans. Amer. Math. Soc. - 1968. - Vol. 131. - P. 119 - 127.

49. Taylor J. L. Measure algebras. // Expository Lectures from the CBMS Regional Conference held at the University of Montana. June 1972.

50. Toncv Т. V. Big-planes, boundaries and function algebras. // North -Holland Math, studies. 1992. - Vol. 172.

51. Tonev Т. V. Generelized-analytic functions recent results. // C. R. Acad. Bulgare Sci. 34 - 1981. - No 8. - P. 1061 - 1064.

52. Tonev Т. V., Grigoryan S. A. Analytic functions on compact groups and their applications to almost periodic functions. // Contemporary Math. -328. P. 299 - 322. - American Mathematical Society. Providence. - 2003.

53. Wermer J. Dirichlet algebras. // J.Duke Math. 27 (1960). P. 373 - 382.

54. Wolf J. Translation invariant function algebras on compact groups. // P. J. M. - 1965. - Vol. 15. - No 3. - P. 1093 - 1099.

55. Яшагин E. И. О размерности точечных дифференцирований инвариантных равномерных алгебр. // Теория функций, её прил. и смеж. вопр. Казанское матем. общество. 1999. - С. 257 - 259.

56. Яшагин Е. И. О нелокальных точечных дифференцированиях на инвариантных равномерных алгебрах на двумерном торе. // XVI Петровские чтения. Волга'16. 2004. - С. 79 - 80.

57. Яшагин Е. И. Точечные дифференцирования алгебры ^(S) в Ids- // Теория функций, её прил. и смеж. вопр. Казанское матем. общество. 2005. - Т. 30 - С. 170 - 171.

58. Яшагин Е. И. О взаимосвязи между подполугруппами полугруппы S и иденпотентами спектра алгебры ll(S). // XVII Петровские чтения. Волга'17. 2005. - С. 54- 55.

59. Яшагин Е. И. Об одноточечных долях Глисона. // Функциональный анализ и его приложения. 2006. - Т. 40 - № 1. - С. 92 - 94.

60. Яшагин Е. И. Точечные дифференцирования в Ids полугрупповой алгебры S). // Новейшие проблемы теории поля. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, - 2006. - Т. 5. - С. 252 - 258.

61. Яшагин Е. И. О сравнении Ids и ids* для полугруппы S и её расширения гранями S* // Теория функций, её прил. и смеж. вопр. Казанское матем. общество. 2007. - Т. 35 - С. 288 - 289.

62. Яшагин Е. И. О геометрической интерпретации дифференцирований полугрупповых алгебр. // XIX Петровские чтения. Волга'19, 2007. -С. 53.

63. Яшагин Е. И. Об одном примере максимальной унимодулярной алгебры Дирихле. // Сиб. матем. журнал. 2007. - Т. 48 - № 4. - С. 951 - 956.