Топологические фильтры на полугруппах, группах и кольцах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ



. /

МИНИСТЕРСТВО ЕЬ1а11ЕЕГ0 И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ УССР КИЕВСКИЙ ОРДЕНА ЛШША И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ГОСУДАРСТБИСзЫй УНИВЕРСИТЕТ им.Г.Г.ШЕВЧЕНКО

ТОПСЖОИШЖИЕ ШЬТРЫ НА ПОЛУГРУППАХ, ГРЛШАХ И КОЛЬЦАХ

01.01.05 - математическая логика,

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

алгебра и теория чисел

Киев - 1991

Работа выполнена на кафедре математических основ кибернетики Киевского ордена Ленина и.ордена Октябрьской революции государственного университета ш.Т.Г.Шзвченко.

Научный руководитель - кандидат физиког-матемахических

наук, доцонт И.В.ПРОТАСОВ.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических nayi

член-корреспондент All ССШ Б.И.АРНАУТОВ;

кандидат физико-математических наук А.Д.СЙДОРЧУК.

Ведущая организация - Институт математики и механики

Уральского отделения АН СССР (г.Свердловск).

Защита состоится " UW<HSt 1991 г. в часов

на заседании специализированного совета К 0Б8.18.II но присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Киевском государственном университете muT.Г.Шевченко по адресу:. 252127, г.Киев, проспект акад.Глушкова, Б, механико-математический факультет.

. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КГУ.

Автореферат разослан "30 " Шпре1/7.Я I9SI г.

Ученый секретарь (¡1 •

специализированного совета ^ Б.И.СУЩДШКИЙ

ОБЩАЯ ХАРАНЕРИСТШ РАБОТЫ

Актуальность теш. Е.Г.Зеленюк и И.В.Протасов разработали метод определяющих соотношений для задания хаусдорфовшс -групповых топологий на абвлевых группах. Роль соотношений, определяющее топологи» группа (г , играют специальные - фильтры на & - Г -фильтра. Характеризуются Г -фильтры чисто алгебраически н любая хаусдорфова групповая топология монет быть задана Г-фильтром. Методом I-фильтров построена серия абе-лавых групп с тонко сбалансированными тополого-алгебраичеокими свойствами, что позволяло ответить на ряд открытых вопросов,а. также существенно упростить доказательства некоторых ранее известных результатов. Поэтому естественно возникла задача рас- .. пространить метод 2* -фильтров на произвольные группы и кольвд.

Цель работы. Развить метод I-фильтров для произвольных групп и колец.

Иетодц наследования. .В основном это теоретико-множественные и комбинаторные методы.

Научная новизна. Бсо основные результаты являются новыми. Вот они:

построена топологическая оболочка фильтра на полугруп-по, группе и кольце;

получен критерий голологнзируемости счетной полугруппы о нулем;

получен критерий IT -последовательности на счетной группе и счетном кольце;

решена проблема Малыхина о кольцевых топологиях, различаете секвенциальность и свойство Фреше-Урысона;

теорема Хиндааиа о разбиении натуральных чисел обобщена на произвольные группы и на ее основе получено новое доказательство теоремы Арнаутова о топологязируемостп счетного кольца;

получен критерий предксшакгкости аченабелькой грушш.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет тео-. ретичеокий характер. Ее результаты могут быть применены в дальнейших исследованиях по теории топологических полугрупп, групп и колец, использованы при чтении спецкурсов и работе научно-исследовательских семинаров по теории топологических полугрупп, групп и колец.

Апробация работы. Результаты, диссертации докладывались на Тираспольской Республиканской школе по топологической алгебре ( 1988 г.), на 71 симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей { Львов, 1990 г.), на семинарах кафедры математических основ кибернетики и кафедры алгебры п математической логики Киевского госуняворситета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы.

Структура и объем работы. Диссертация содер.тат 87 страниц машинописного текста, состоит из введения, II параграфов, разбитых на 3 главы, и списка литературы из 21 названия.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы, дается анализ современного состояния изучаемых в диссертации проблем и аннотапдя полученных результатов.

В первой главе, состоящей из четырех -параграфов, изучаются мультипликативные фильтры на полугруппах с идемлотентами. Пусть С 5, е) - полугруша £ с фиксированным вдемпо-тентом е . Фильтр <р на £ называется мультипликативным ( Н -фильтром), если:

1) е е % для любого

2) для лдбого 11 £ существует такое что V- V £ <11 .

Максимальный -М-фильтр, содержащийся в фильтре <р , называем мультипликативной оболочкой и обозначаем Сц>3 ,

В первом параграфе дано конструктивное описание мультипликативной оболочки фильтра ¡у на.полугруппе (5,6).

Пусть 3 - произвольная последовательность элемен-

тов полугруппы С 5,6). Отождествим эту последовательность с фильтром с базисом из множеств вида {, е, аа , ,... 3 • Мультипликативную оболочку этого фильтра обозначим через С £аа>}] и назовем мультипоследовательносгью. В § I получены условия отделимости М. -фильтра <р и мультипоследовательноста С на полугруппе ( е ). Для счетной полугруппы С получены условия сущэствоваюш на ней отделимой недискретной мультипоследовательноста.

Полугруппа 5 называется локально топологизируеыой, . если в ней существует такой едемпогент е , что на полугруппе С 5, г) существует отделимый недискретный ^-фильтр.

В § 2 получен критерий локальной топологизируемости полугруппы (в, е).

Основным результатом § 3 является критерий топологизируемости счетной полугруппы о'нулем.

В § 4 изучается полугруппа ультрафильтров произвольной дискретной группы • Отождествляя стоун-чеховскую компак-тификацию 6 с семейством всех ультрафильтров на группе б , введем на £ б полугрупповую операцию * следующим образом:

<р*1р « [ X е б: Цбб: Х^"4в«рЗ

Операция * оказывается непрерывной по второму аргументу и, следовательно, компактная непрерывная справа полугруппа ^ б содержит адемпотенты. Если группа & бесконечна, то в качестве идемпотенга мо;шо выбрать неглавный ультрафильтр из ^ б . Такая конструкция впервые рассматривалась Глазером в случав, когда б - группа целых чисел. Используя эту конструкцию, получено обобщение известной теоремы Хиндаана о разбиении натуральных чисел на произвольные группы.

ТЕОРЕМА 10. Если бесконечную группу б- разбить на два непересекающихся подмножества и , то в од- . воы из них, скажем в б- , найдется такая бесконечная последовательность элементов ^п.»— • 410

Для аменабельных групп получен новый критерий предноилакт-ности.

- ТЕОРЕМА II. Пусть ~ аменабельная группа, <р -вдемпогент из ^ б , все злементц которого имеют полошиель-ную банахову меру, - групповая топология на В- . Топо-

логическая группа ¿Сч 1г> прадкомпактна тогда и только тог-, да, когда ультрафильтр ¿р сходится к единице в топологии V .

. . С помощью теоремы II получен отрицательный ответ на вопрос В.И.Арнаутова: пусть К - произвольное кольцо, - ультрафильтр на К , существует ли такая кольцевая топология на К , в которой ультрафильтр фундаментален ?

Вторая глава состоит из § 5.- 7. Основные результаты этой главы получены для счетных групп.

Последовательность - элементов группы б на-

зываем Г-последовательностью, если на б существует хаус-дорфова групповая недаскретная топология, в которой I йл.З сходится к единице. .

Б § 6 получен критерий ¡Г-последовательности для счетных групп. " -

ТЕОРЕМА 16. Последовательность С^п.! элементов счетной группы £ является Я1 -последовательностью тогда и только тогда, когда для любого нееданичного элемента ^ е б н любого группового слова - ^С «д , «№) от элементов группы В и переменных ... , с условием в 1 ,где 4. - единица группы 5 , найдется такое натуральное число т. , что

г 11 г

где = 1

Отметим,что из этой теореш извлекается критерий Маркова гопологизируемости счетных груш.

Обозначим через £т {«^З группу 6 , слабленную максимальной из всех групповых хаусдор$овых топологий, в которых последовательность {аггЗ сходится к едашщо.

В § 7 изучены топологические свойства счеткой группы

ТЕОРЕМА 1?. Счетная группа б (л^ секвенциальна для любой Т -последовательности .

ТЕОРЕМА 18. Если {¿О ~ нетривиальная Т -последовательность на счетной группе б , то группа не обладает свойством Фропе-Урысона.

Доказано также, что группа С полна по Вейлю.

Третья глава состоят из § 8 - II. Основные ее результата получены для счетных колец.

Последовательность - элементов кольца К на-

зываем Т -последовательностью, если на . |< существует недискретная хаусдоррова кольцевая топология, в которой (аа} сходится к нулю.

В § 9 получен критерий Т -последовательности на счетном кольце.

ТЕОРЕМА 23. Последовательность элементов

счетного кольца К является Т -последовательности тогда и только тогда, когда для любого ненулевого элемента в К и любого многочлена я4 ,, гса > , определенного на

кольце . К такого, что ф £ С О, ..., 0 5 , найдется

такое натуральное число т. , что я $ £ ••-» ^м.)» где 0, 1апг, ±ат+4 , ... 3.

В § 10 изучаются топологические свойства счетного кольца К СлпЗ ' ,где К - кольцо К , снабженное максималь-

ной хаусдорфовой недискретной кольцевой топологией, в которой последовательность сходится к нулю.

ТЕОРЕМА 25. Если нетривиальная Г -пос-

ледовательность на счетном кольцо К , то кольцо К {йа3 -секвенциально.

ТЕОРЕМА 26. Если {лп.З - нетривиальная Т -последовательность на счетном кольце К , то кольцо К { &а 1 не обладает свойством Фрешо-Урысона.

Из теорем 25, 2В следует положительный ответ на вопрос 1.14 из сборника "Нерешенные задачи топологической алгебры" (Кшшшев, "Штиквца", 1985 г.), поставленный В.И.Ыальшшым: существует ли групповые ( кольцевые) топологии на % , различающие сзквенцаальность и свойство Фреше-Урысона. Для групповых топологий на % положнтелышй ответ ранее получен Е.Г.Зе-леншом.

Доказано также, что счетное кольцо К Св,а3 полно.

В § II приведено новое доказательство теореш В.И.Арнаутова о гопологизируемости счетных колец, основанное на результатах четвертого параграфа.

Автор Еира-хает глубокую признательность своему научному руководителю Я.В.Прогасову за многочисленные советы и постоянное внимание к работе.

Результат диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Протасов И.В., Хромулях О.М. Полугруппа ультрафильтров и ее приложения // Топологическая алгебра. Тезисы лекций и научных сообщений Республиканской школы. Кишинев: Штиинца, 1988.

С. 63.

2. Хромуляк О.М. Т -последовательности на счетных кольцах // У1 симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы докладов. Львов, 1390. - С. 142.

3. Хроыуляк О.М. ¡Г-фильтры на кольцах. - Киев: Киевск.ун-т, 1990. (Рукопись депонирована в УкрНИИНТИ от 22 ноября 1990 г., № 187ГУК-90). - 27 с.

4. Хроыуляк О.М. Топологические фильтры на полугруппах. - Киев: Киевск.ун-т, 1990. (Рукопись депонирована в УкрНЖНТИ от

22 ноября 1990 г., № 1873 УК-90).' - 21 с.

Подп. в поч. 03. 04.91. Формат 60x84/16. Бумаге типогр.Офо.печ, Усл.печ.л. 0,46. Уол.-кр.отт. 0,46. Уч.-изд.л. 0,4.Тирак 100 экз. Заказ т . Бесплатно.

Отпечатано в Институте математики АН УССР. ¿52601 Киев 4, ГСП, ул.Репина,3