Адельная резольвента для пучков гомологий и бирасширения над группами Чжоу тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Математический институт им В А. Стеклова

Российская Академия Наук

На правах рукописи УДК 512 76

Горчинский Сергей Олегович

Адельная резольвента для пучков гомологий и бирасширения над группами Чжоу

Специальность-01 01 Об - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ

Москва - 2007

003178024

Работа выполнена в отделе алгебры Математического института имени В А Стеклова РАН

Научный руководитель:

д ф -м н , чл -корр. РАН Алексей Николаевич Паршин

Официальные оппоненты:

д ф -м н Евгений Соломонович Голод, к ф -м н Андрей Михайлович Левин

Ведущая организация:

Санкт-Петербургское Отделение Математического института им В А Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится 20 декабря 2007 года в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 002 022 03 в Математическом институте им В А Стеклова Российской Академии Наук по адресу 119991, Москва, ул Губкина, 8 (9 этаж)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института имени В А Стеклова РАН

Автореферат разослан 20 ноября 2007 года

Ученый секретарь диссертационного

Н П Долбилин

у

Общая характеристика работы Актуальность темы

Диссертация посвящена развитию теории многомерных аделей в алгебраической геометрии Первоначально адели были определены А Вейлем и К Шевалле для одномерного случая, а именно, для глобальных полей, т е конечных расширений поля Q или поля Fg(T) Аппарат аделей был успешно применен к решению многих фундаментальных задач алгебраической теории чисел, таких, как конечность группы классов, теорема Дирихле о единицах, описание максимального абелева фактора группы Галуа глобального поля (теория полей классов), функциональное уравнение для дзета-функции Дедекинда, нахождение ее специальных значений и вычетов Попытка обобщить адельный подход на многомерный случай, т е для систем полиномиальных уравнений с рациональными или конечными коэффициентами, привела к созданию теории многомерных аделей, автором которой является А Н. Паршин

Классические адели определяются как элементы кольца Ак = JJ Kv, где V пробегает все классы эквивалентности нормиро-

V

ваний глобального поля К, Kv является пополнением поля К относительно нормирования v, а ограниченное произведение JJ означает, что рассматриваются лишь такие наборы {/„} G J^J Kv, что

v

fv G Ov для почти всех v, где Ôv С Kv обозначает полное локальное кольцо, соответствующее (неархимедовому) нормированию v Группа обратимых элементов кольца аделей называется группой иделей.

Результаты, полученные для тех глобальных полей, которые являются конечными расширениями поля Fq(T), соответствуют фактам о кривых над конечными полями Ж.-П. Серр1 показал возможность применять адели для изучения кривых над произволь-

1J -Р Serre, "Groupes algébriques et corps de classes", Hermann, Pans (1959)

ными полями, а не только над конечными Этим методом им было получено доказательство теоремы Римана-Роха в одномерном случае При этом Серр использовал некоторый комплекс, состоящий из аделей, хотя явным образом этого не указывал

Переход от кривых к поверхностям был осуществлен в работах А Н. Паршина2. В них были определены неполные (названные рациональными) адели на поверхности, построен адельный комплекс, определен двумерный аналог иделей, связанный с ^-группами, сформулированы и частично доказаны утверждения, являющиеся двумерным обобщением теорем из классической теории полей классов Однако до сих пор не найдена адельная формулировка теории полей классов в высших размерностях Открытыми остаются проблемы прямого многомерного обобщения для других классических применений аделей конечность групп нуль-циклов и фук-циональное уравнение для дзета-функции Недавно был достигнут значительный прогресс3 в направлении адельного изучения дзета-функции, связанный с построением аналога гармонического анализа для адельных групп Для создания полной картины многомерного обобщения, по-видимому, должен быть использован гипотетический аналог группы иделей в многомерном случае, связанный с ^-группами Милнора

А А Бейлинсон4 определил адельный комплекс А(Х, Т)' для любого многообразия X произвольной размерности и для квазикогерентного пучка J7 на X. Например, для неприводимой кривой С над полем к адельный комплекс А (С, Ос)* имеет следующий вид

О - к(С) © Л Ос,х П °>

хес хес

где Ос,х является полным локальным кольцом в точке х Е С, к(С)х

2 А H Паршин, "Об арифметике двумерных схем I Распределения и вычеты", Из в акад наук СССР, 40 4 (1976), 736-773, "Абелевы накрытия арифметических схем", Дока акад наук СССР, 243 4 (1978), 855-858

3D V Osipov, А N Parshm, "Harmonic analysis on local fields and adelic spaces F'jflrXto 0707 1 766

4 А А Бейлинсон, "Вычеты и адели", Функц анализ и прил , 14 (1980), 34-35

является его полем частных, ограниченное произведение берется в указанном выше смысле, а дифференциал определяется по формуле (/с, {fx}) ^ {fx~fc} Теорема Бейлинсона-Хубер5 утверждает, что когомологии адельного комплекса А(Х, J7)' канонически изоморфны когомологиям Н1{Х,Т) Таким образом адельный комплекс позволяет строить резольвенты для квазикогерентных пучков на схемах Важно, что структура аделей обеспечивает мультипликативность и контравариантность этих резольвент

Представляется интересным применить адельный подход к построению резольвент для других пучков абелевых групп на схемах, например, для пучков ЛТ-групп Kn(öx), п > О Возникающие при этом конструкции должны быть одним из шагов на пути к построению теории полных многомерных аделей, связанных с /^-группами Милнора

Пучки .ЙГ-групп Кп{Ох) во многом представляют интерес благодаря их связи с теорией алгебраических циклов Так, формула Влоха-Квиллена для когомологий этих пучков Hn(X,Kn(öx)) = СНп(Х) позволяет получать информацию о структуре групп Чжоу, изучение которых связано со многими глубокими гипотезами алгебраической геометрии Для пучков Х-групп имеется резольвента Герстена6, отражающая связь когомологий пучков if-групп с (алгебраической) геометрией многообразий Однако резольвента Герстена не является мультипликативной и обладает контравариантностью лишь по отношению к узкому классу морфизмов. Отсутствие мультипливативности и котравариантно-сти является существенной трудностью при работе с резольвентой Герстена, что приводит к поиску специальных геометрических методов для каждой отдельной задачи

Формула Блоха-Квиллена дает определение индекса пересечения для групп Чжоу, не требующее геометрических конструкций, таких, как лемма о сдвиге или деформация к нормальному конусу

5А Huber, "On the Parshm-Beilinson adeles for schemes", Abh Math Sem Uruv Hamburg,

61 (1991), 249-273

eD Quillen, "Higher Algebraic if-theory", Lecture Notes m Mathematics, 341 (1973), 85-147

Это обстоятельство используется при построении теории пересечений на арифметических схемах7 Альтернативные подходы к арифметическому индексу пересечения были предложены С Блохом8 и А А Бейлинсоном9. Ими рассматривается точка зрения, утверждающая, что индекс пересечения для алгебраических циклов на арифметической схеме, те на плоской схеме X —> Spec(Z), должен быть интерпретирован как "индекс зацепления" между соответствующими циклами на общем слое X — Xq

Индексом зацепления в алгебраической геометрии является инвариант, который можно сопоставить двум циклам Z, W коразмерности р и q на гладком проективном многообразии X размерности d над полем к, где p+q — d+1 (например, двум кривым на трехмерном многообразии) Такой инвариант был предложен С Блохом10 Оказывается, что это уже не число, а к*-торсор, те множество, на которое свободно и транзитивно действует группа к* Более того, строится бирасширение пары {CHp(X\om,CHq(X)}lom) группой к*, обобщающее линейное расслоение Пуанкаре на произведении многообразий Пикара и Альбанезе, где СН*(Х)ъ0m обозначает группу классов рациональной эквивалентности гомологически тривиальных циклов на X

С. Блох поставил вопрос о связи данного бирасширения с линейным расслоением Пуанкаре на произведении промежуточных якобианов для случая комплексных многообразий Частичный ответ на данный вопрос дал С. Мюллер-Стах11 при помощи функтори-альных свойств высших групп Чжоу и отображения регулятора в когомологии Делиня Кроме этого возникает естественный вопрос о нахождении описания данного бирасширения в терминах пучков Üf-групп, аналогичного рассмотренному выше подходу к индексу

7С Soulé et al, "Lectures on Arakelov geometry", Cambridge Studies m Adv Math, 33 (1992)

8S Bloch, "Height pairing for algebraic cycles", Journal of Pure and Applied Algebra, 34 (1984), 119-145

9A A Beilinson, "Height pairing between algebraic cycles", Contemp Math , 67 (1987), 1-24

10"Cycles and biextensions", Contemporary Mathematics, 83 (1989), 19-30

US Muller-Stach, "C*-extensions of tori, higher Chow groups and applications to incidence equivalence relations for algebraic cycles", K-theonj, 9 (1995), 395-406

пересечения С другой стороны, индекс пересечения может быть выражен как ранг когомологий комплекса КГ(Х, 0\у) Ин-

тересным является вопрос о нахождении аналогичного описания для рассмотренного выше бирасширения.

Цель работы

Цель работы — исследование адельного комплекса для пучков абе-левых групп на схемах (в частности, для пучков, ассоциированных с теориями гомологий, удовлетворяющими некоторому набору аксиом), изучение специального случая пучков К-групп, а также описание различных способов построения бирасширений над группами Чжоу гомологически тривиальных циклов и доказательство совпадения получаемых бирасширений

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа изложена на 215 страницах и состоит из введения и двух частей, включающих в себя пять глав Библиография включает 68 наименований

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем

1 Построена принципиально новая мультипликативная адель-ная резольвента для пучков гомологий на гладких алгебраических многообразиях над бесконечным совершенным полем и, в частности, для пучков К-групп. Получено равномерное усиление результата Квиллена о локальной точности резольвенты Герстена

2 Доказаны формулы для произведений в К-когомологиях в терминах коциклов в комплексе Герстена, которые следуют

из наличия мультипликативной структуры на адельном комплексе. В частности, найдено новое доказательство совпадения произведения-пересечения для групп Чжоу и естественного произведения в АГ-когомологиях на гладких алгебраических многообразиях

3 Предложены новые методы построения бирасширений над группами Чжоу гомологически тривиальных циклов на гладком алгебраическом проективном многообразии в терминах определителя когомологий, а также в терминах К'-когомологий, доказаны совпадения бирасширения, построенного С Б лохом, с указанными выше бирасширениями, а также в случае комплексных многообразий с обратным образом бирасширения Пуанкаре над промежуточными якобианами относительно отображения Абеля-Якоби.

4 Для гладкой проективной алгебраической кривой установлена прямая связь между спариванием на группе иделей, задаваемым ручным символом, и бирасширением Пуанкаре, построенным в терминах определителя когомологий

Основные методы исследования

При построении многомерных аделей использован симплициаль-ный подход Бейлинсона Для доказательства того, что адельный комплекс является резольвентой для некоторого класса пучков, использовано развитие метода Квиллена доказательства гипотезы Герстена, а также построенная в диссертации техника сильно локально стираемых пар При описании бирасширений над группами Чжоу использованы результаты о высших группах Чжоу, теория определителя когомологий, теория Ходжа, а также предложенный в диссертации алгебраический аппарат, позволяющий строить фактор-бирасширения При рассмотрении случая алгебраической кривой использовано центральное расширение группы иделей, построенное Арбарелло, Кацом и де Кончини

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер Доказанные в диссертации теоремы представляют интерес для теории многомерных аде-лей, алгебраической if-теории схем и теории алгебраических циклов

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на российских (конференция "Арифметическая геометрия и теория чисел" (Санкт-Петербург, Россия, 2005), семинар по алгебраической геометрии под руководством А Н Паршина в МИАН (Москва, Россия, 2007)) и международных (конференция "Local fields, algebraic geometry, generalized .¿TP-hierarchy" (Берлин, Германия, 2005), конференция "Algebraic -ff-theory and its applications" (Триест, Италия, 2007)) научно-исследовательских семинарах и конференциях

Публикации автора по теме диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, список которых приведен в конце автореферата [1-3]

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения и двух частей, включающих в себя пять глав

Глава 1 — введение, в ней обсуждается история вопроса, дается обзор ранее известных результатов и формулируются основные утверждения, доказанные в работе

Первая часть посвящена построению нового типа резольвент для пучков абелевых групп на схемах, ассоциированных с теориями гомологии В главе 2 предлагается обобщение группы аделей на многомерный случай Заметим, что рассматриваемые

в диссертации адельные группы и адельные комплексы отличаются от адельных групп и адельных комплексов, построенных А H Паршиным и А А Бейлинсоном Одним из ключевых понятий в теории аделей является (невырожденный) флаг на схеме, а именно, последовательность схемных точек tjq. . т)р на X, для которых т/г+1 б rjt и fy+i ф т]г при всех г,0 < г < р— 1 При некоторых естественных ограничениях адельные группы А(Х, Т)р являются некоторыми подгруппами в прямых произведениях слоев пучков А(Х, Т)р с П -^о, элементы адельных групп называются

(rjo 1),)6М

аделями Из рассмотренных выше адельных групп строится адель-ный комплекс А(Х, JF)*. с которым связан комплекс вялых пучков А(Х, Т)' на нетеровой схеме X, определен канонический морфизм Т —> А(Х, Ту Возникает естественный вопрос о том, является ли комплекс А(Х, Т)' вялой резольвентой пучка Т, это основной предмет для изучения в первой части диссертации Отметим, что одно из главных преимуществ адельных комплексов заключается в их контравариантности и мультипликативности, которые возникают благодаря симплициальной структуре на множестве флагов В разделе 2 1 вводятся основные понятия, определяются адельные группы для произвольного пучка абелевых групп 3- на схеме X и изучаются их основные свойства, в частности, мультипликативность и контравариантность В разделе 2.2 показана связь между адельным комплексом и комплексом Кузена При некоторых естественных ограничениях определен канонический морфизм комплексов их А(Х,Т)* —> Cous(X, Т)*, называемый вычетом, где Соиз(Х,ТУ обозначает комплекс Кузена, кроме того, в некотором смысле комплекс Кузена оказывается правым модулем над адельным комплексом В разделе 2 3 доказывается адельный вариант формулы проекции, включающий в себя рассмотренную выше структуру модуля В разделах 2 4 и 2 5 устанавливаются дальнейшие свойства адельных групп в предположении некоторых достаточно слабых условий на пучки В частности, в примерах 2 4.7 приводится явное описание адельных групп для некоторых простей-

ших случаев В разделе 2 6 определяется еще один тип адельных групп, называемых А'-аделями, и устанавливаются их простейшие свойства, из таких адельных групп также строится адельный комплекс А'(Х, Р)' Хотя А'-адельный комплекс не обладает мультипликативной структурой, он оказывается резольвентой для широкого класса пучков (см теорему 2 6.4) и является промежуточным шагом к построению мультипликативной адельной резольвенты.

Глава 3 посвящена изучению адельного комплекса для некоторого специального класса абелевых пучков, а именно, пучков, ассоциированных с предпучками некоторых теорий гомологий Рассматриваемые в диссертации теории гомологий являются правилами, которые сопоставляют многообразиям над фиксированным полем градуированные абелевы группы, I и ф Рп(Х), удовлетворяющими некоторому набору аксиом Для теории гомологий Р* определяется комплекс Герстена СеггрС, п)' В разделе 3 1 вводится понятие теории гомологий, локально ацикличной в слоениях (лас теории гомологий), обсуждаются основные свойства лас теорий гомологий и определяются ассоциированные с ними пучки гомологий В примерах 3 1 11 рассматриваются несколько важных лас теорий гомологий В частности, к ним относится К'-теория нетеровых схем, I н 0 К'п(Х). Отметим, что для регулярного

П>0

многообразия X и для пучка Тп, ассоциированного с л а с теорией гомологий когомологии комплекса Герстена Нг(Сегз(Х, Е+. п)*) канонически изоморфны когомологиям Нг(Х,Рп) В разделе 3 2 определяются сильно локально стираемые пары (с л с пары) замкнутых подмногообразий в гладком многообразии относительно данной лас теории гомологий Данное понятие возникает из обобщения метода Квиллена доказательства гипотезы Герстена в геометрическом случае Раздел 3 3 содержит результаты о существовании и сложении с л с. пар (см теорему 3 3 3 и предложение 3 3 13) В частности, применение с л с пар позволяет установить следующий равномерный вариант локальной точности резольвенты Герстена, представляющий интерес сам по себе

Предложение (см следствие 3 3 6). Пусть к — бесконечное и совершенное поле, а X — гладкое многообразие над полем к Тогда для любого равноразмерного подмногообразия Z с X коразмерности р в X существует равноразмерное подмногообразие Z D Z коразмерности р — 1 в X со следующим свойством для любой (не обязательно замкнутой) точки х £ Z и набора {Л} £ © Kn{k{z)), являющегося коциклом в комплексе Герсте-

на Gers(Xx, п+р)* на локальной схеме Хх — Spec(C?x,x), найдется набор {gj} е ф Kn+i(k(z)) такой, что dx{{gг}) = {fz}, где dx zezP

— дифференциал в комплексе Gers(Xx,n + р)'

В разделе 3 4 вводится понятие заклеивающей системы для равноразмерного подмногообразия Z в гладком многообразии X Данная конструкция является основным инструментом при изучении связи между адельным комплексом и комплексом Герстена-, в свою очередь заклеивающие системы строятся исходя из с л с пар Раздел 3 5 содержит основной результат главы 3

Теорема (см теорему 3 5 1). Пусть к — бесконечное и совершенное поле, F* —лас. теория гомологий над полем k, а X — гладкое многообразие над полем к Тогда для любого п Е Z морфизм комплексов их A(X,Jrn)' —> Gers(X, F*,n)' является квазиизоморфизмом

Другими словами, адельный комплекс А(Х,Тп)' является резольвентой для пучка Тп на X Приведем пример данной теоремы для случал регулярной кривой X имеется естественный квазиизоморфизм между адельным комплексом и комплексом Герстена

о - кп(к(х))®Цкп(ОхгХ) ПЯп(ЬРО) О

хеС хеХ

I I

О кп(к(Х)) -> е К^Мх)) - О

хеХ

где первое вертикальная стрелка равна проекции на первое слагаемое, а вторая вертикальная стрелка задается вычетами в

А'-группах Раздел 3 6 посвящен явным построениям коциклов в адельном комплексе, представляющих коциклы из комплекса Гер-стена В частности, определяются хорошие коциклы, которые оказываются очень удобными для вычислений

В главе 4 рассматривается один пример лас теории гомоло-гий, а именно К'-теория схем Соответствующие пучки гомологий К* на гладком многообразии X, называемые пучками К-групп, являются пучками, ассоциированными с предпучками, заданными по формуле II Кп(11) для каждого открытого подмножества II С X Напомним, что между пучками А'-групп определено каноническое произведение, индуцированное произведением в самих АГ-группах, которое не может быть продолжено на комплекс Гер-стена, также комплекс Герстена контравариантен лишь по отношению к плоским морфизмам Оба этих свойства — мультипликативность и контравариантность — обнаруживаются у адельного комплекса В целом, разница между адельным комплексом А(Х, Кп)' и комплексом Герстена Сегэ(Х, п)* заключается в рассмотрении всех возможных систем локальных уравнений вдоль флагов со значениями в ^-группах для каждого неприводимого подмногообразия на X Таким образом, для определения произведения-пересечения на группах алгебраических циклов мы расширяем их системами локальных уравнений вместо того, чтобы рассматривать их по модулю некоторого отношения эквивалентности В разделе 4 1 рассматриваются некоторые общие свойства /Г-пучков, А'-когомологий и АГ-аделей, даются примеры явных А'-адельных коциклов, соответствующих дивизорам и кривым на трехмерных многообразиях Также устанавливается связь между АГ-аделями и рациональными аделями Паршина-Бейлинсона для пучков дифференциальных форм (см предложение 4 1.6) Далее в разделе 4 2 приводится явная конструкция отображения эйлеровой характеристики с носителем из А'-групп точной категории комплексов когерентных пучков на схеме Т, точных вне замкнутой подсхемы Б С Т, в А^-группы схемы Б При помощи этого отображения в разделе 4 3 доказываются формулы для произведений элементов из АГ-когомологий

(см следствие 4 3 2) В частности, возникает новое доказательство совпадения с точностью до знака естественного произведения в АТ-когомологиях и произведения-пересечения на группах Чжоу

Во второй части диссертации рассматриваются различные способы построения бирасширений над группами Чжоу гомологически тривиальных циклов на гладком проективном многообразии. Глава 5 содержит описание необходимых конструкций, используемых в следующей главе непосредственно для описания бирасширений над группами Чжоу В разделе 5 1 даются определения торсо-ров, бирасширений, биподгрупп, приводится основная конструкция — построение фактор-бирасширения по билинейному отображению из биподгруппы и рассматриваются ее простейшие свойства. Далее в разделе 5 2 показывается, как можно строить бирасширения по спариванию между комплексами и рассматривается несколько примеров Раздел 5.3 содержит описание одного содержательного примера к построенному выше формализму бирасширение Пуанкаре произведения двух двойственных компактных комплексных торов группой С* В разделе 5 4 перечисляются без доказательств некоторые известные свойства высших групп Чжоу, большинство из которых было установлено С Блохом Далее в разделе 5.5 из приведенных выше результатов выводятся различные свойства /^-цепей, т е элементов группы ф к(т})*, такие, как лемма сдвиге и много-

чеХЫ

мерный аналог закона взаимности Вейля В разделе 5 6 содержится несколько фактов об определителе когомологий, в частности, явно описывается действие рациональной эквивалентности алгебраических циклов на /с*-торсорах вида КГ(Х, О г ®ох СНу)\{0}, где Ог = тгОг, и Оуг = для циклов И = ]Гг т%гг

и IV = £ на X. Раздел 5.7 содержит несколько простых

фактов об отображении Абеля-Якоби из группы алгебраических циклов на комплексном гладком проективном многообразии в промежуточный якобиан

В главе 6 даются пять описаний бирасширений над группами Чжоу, использующих различные методы, рассмотренные

в предыдущей главе Для гладкого проективного многообразия X размерности (1 над полем к строятся бирасширения пары (СНР(Х)',СН*(ХУ) группой к*, где р + д = с1 + 1, а СН*(Х)' С СН'(Х) является некоторой подгруппой, содержащей группу классов рациональной эквивалентности гомологически тривиальных циклов СЯ*(Х)ьот Сначала в разделе 6 1 приводится предложенная С Блохом явная конструкция бирасширения Р. В разделе 6 2 дается интерпретация бирасширения Р в терминах спаривания между комплексами высших групп Чжоу Затем в разделе 6 3 рассматривается конструкция бирасширения, задаваемая в терминах /Г-когомологий и произведения между пучками Х-групп, для получения явного описания данного бирасширения и для установления его связи с бирасширением Р используется адельный комплекс и предложенная в первой части диссертации техника хороших коциклов (см предложение 6 3 1) Раздел 6 4 изучает подход к бирасширению над группами Чжоу в терминах определителя ко-гомологий

Предложение (см предложение 6 4.1). Пусть X — гладкое проективное многообразие размерности й над полем к, р-+ д = <1 + 1. Для любых двух циклов € Zp(X)hoш? УУ € ¿^РОьот рассмотрим к*-торсор {Ог, Оуу) — КГ(Х, 02®ох°^)\{0} Если циклы ^ и рационально эквивалентны, то определен канонический изоморфизм к*-торсоров (Ог,Оцг) — отсюда возни-

кает бирасширение пары (СНр {Х)ъот1 СНч{Х)^от), канонически изоморфное бирасширению Р.

Далее в разделе 6 5 для комплексного гладкого проективного многообразия доказывается совпадения бирасширения Р с обратным образом бирасширения Пуанкаре над промежуточными якобианами относительно отображения Абеля-Якоби (см предложение 6 5 1), при этом используются лишь общие факты из теории Ходжа. Отметим одно следствие из предложений 6 4 1 и 6 5.1

Утверждение (см. следствие 6 5.3). Пусть X — комплексное гладкое проективное многообразие размерности й, Z € ZP{X)\1 ош,

W G Zq(X)hom, p + q = d + 1, тогда существует канонический изоморфизм следующих <С*-торсоров

(г) detcBr(X, Oz ®èx Ow)\{0},

(гг) множество целых смешанных структур Ходжа Е, весовые присоединенные факторы которых канонически изоморфны чистым структурам Ходжа Z(0), Н2р^1(Х){р), Z(l) и такие, что [E/W-2E] = [Ez] G Ext^(Z(0),Н2Р-г(Х)(р)), [W-tE] = [E'w\ e Ex^(//2P-1(X)(p),Z(l))) где Ez и E^ -некоторые целые смешанные структуры Ходжа, связанные с циклами Z uW

Раздел 6 6 посвящен рассмотрению бирасширений квадрата якобиана для гладкой проективной кривой С. Оказывается, что в этом случае имеется прямая связь между ручным символом и бирасши-рением Пуанкаре, которую удобно формулировать в терминах центрального расширения А*с группы иделей А^, построенного Араба-релло, Кацом и де Кончини12 В частности, устанавливается связь &*-торсора К*\/(Aç)9-1 /О* с тэта-расслоением © на многообразии Pic5-1 (С), где (А£.)9-1 обозначает прообраз множества иделей степени 1 — g относительно отображения А^ —» А^ (см. предложение 6 6 9) С центральным расширением связано тривиальное бирасширение А((А£)°) пары (А^)° х (А£)° группой к*, где (А£.)° обозначает множество иделей степени нуль Доказывается, что бирасширение (К*хК*)\А((А*с)°)/(0*х(Э*) пары (Pic°(C), Pic°(C)) группой к* изоморфно бирасширению, построенному Делинем13 в терминах определителя когомологий (см предложение 6 6 10) В заключительном разделе 6 7 приводится явная формула для спаривания Вейля в многомерном случае, обобщающая известную формулу Вейля для дивизоров на кривой, а также дается интерпретация спаривания Вейля в терминах некоторого тройного произведения Масси в А-когомологиях (см следствие 6 7 1)

12Е Arbarello, С de Concmi, V G Кас, "The Infinite Wedge Representation and the Reciprocity Law for Algebraic Curves", Proc Sympos Pure Math 49 1 (19S9), 171-190

13P Deligne, "Le déterminant de la cohomologie", Contemp Math , 67 (1987), 93-177

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю А Н Паршину за постоянное внимание к данной работе и многочисленные советы, К Суле за полезные обсуждения, а также Л. Брину, Д. Грейсону, Д Каледину и Д. Осипову за важные замечания.

Публикации автора по теме диссертации

[1] С. О. Горчинский, "Бирасширение Пуанкаре и идели на алгебраической кривой", Математический сборник, 197:1 (2006), 25-38

[2] С О Горчинский, "Адельная резольвента для пучков ЛГ-групп", Успехи математических наук, 62'1 (2007), 203-204

[3] С О Горчинский, "О бирасдшрениях над группами Чжоу", Деп. в ВИНИТИ 16 10.07, №960-В2007

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать 23 /¿7 07 Формат 60x90 1/16 Уел печ л /,0 Тираж экз Заказ 3£

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

1 Введение

1.1 История вопроса.

1.2 Основные результаты диссертации.

1 Адельная резольвента для пучков гомологий

2 Общие свойства аделей

2.1 Определение и начальные свойства.

2.2 Связь с комплексом Кузена.

2.3 Формула проекции.

2.4 Пучки с контролируемым носителем.

2.5 1-чистые пучки.

2.6 А'-адельные группы.

3 Адели для пучков гомологий

3.1 Теории гомологий

3.2 Сильно локально стираемые пары.

3.3 Существование и сложение сильно локально стираемых пар

3.4 Заклеивающие системы.

3.5 Основная теорема

3.6 Явные коциклы.

1.1 История вопроса

Диссертация посвящена развитию теории многомерных аделей в алгебраической геометрии. Первоначально адели были определены А.Вейлем и К. Шевалле для одномерного случая, а именно, для глобальных полей, т.е. конечных расширений поля Q или поля Fq{T). Аппарат аделей был успешно применен к решению многих фундаментальных задач алгебраической теории чисел, таких, как конечность группы классов, теорема Дирихле о единицах, описание максимального абелева фактора группы Галуа глобального ноля (теория полей классов), функциональное уравнение для дзета-функции Дедекинда, нахождение ее специальных значений и вычетов. Попытка обобщить адельный подход на многомерный случай, т.е. для систем полиномиальных уравнений с рациональными или конечными коэффициентами, привела к созданию теории многомерных аделей, автором которой является А. Н. Паршин.

Классические адели определяются как элементы кольца Ак = JJ Kv. v где v пробегает все классы эквивалентности нормирований глобального поля К, Kv является пополнением поля К относительно нормирования v, а ограниченное произведение JJ означает, что рассматриваются лишь такие наборы {fv} € JJ Kv, что fv Е Ov для почти всех v, где Ov С Kv v обозначает полное локальное кольцо, соответствующее (неархимедовому) нормированию v. Группа обратимых элементов кольца аделей называется группой иделей и равна А*к = JJif*, где ограниченное произведение v берется в том же смысле, что и раньше, но с заменой групп Kv на К*, а л л групп Ov на О*.

Группа аделей по сложению и группа иделей по умножению обладают естественной топологией, возникающей из структуры ограниченного произведения. Имеет место следующий факт: диагонально вложенные подгруппы К С А к и if* С А*к дискретны, а фактор-группы Ак/К и (Ак)1/К* компактны, где (А^)1 обозначает множество таких иделей {/„} € А^, что ||{/г,}|| = П ИЛИ = 1) а II ' llv является нормализованным v нормированием к классе эквивалентности v. С другой стороны имеется связь группы иделей с группой классов идеалов С1(К) поля К, а именно, сюръективный гомоморфизм А^ —> С1(К), задаваемый по формуле {fv} Yluv(f) • М, где сумма берется но всем неархимедовым нормиv рованиям v поля К, а щ обозначает дискретное нормирование, соответствующее v. Компактность фактор-группы (А*к)1 /К позволяет вывести конечность группы классов С1(К), а также теорему Дирихле о единицах для поля К (см. [37]).

Группа иделей А*к играет центральную роль в классической одномерной теории нолей классов: определено отображение взаимности Артина вк : А*к/К* Galg из группы классов иделей в максимальный абелев фактор группы Галуа ноля К. Более того, в функциональном случае отображение в к имеет плотный образ и инъективно, а в числовом случае отображение вк сюръективно и его ядро равно связной компоненте единицы в группе классов иделей (см. loc.cit.).

Наконец, с аделями связан один эффективный подход к изучению дзета-функции Дедекинда. Важным свойством топологических групп и Ад- является их локальная компактность и вытекающее из нее существование на группах А к и А^ мер Хаара. Более того, оказывается, что группа А к двойственна по Понтрягину самой себе. Метод Тэйта-Ивасавы (см. [40]) выражает произведение дзета-функции Дедекинда (k{s) с гамма-множителем Coo(s) через интеграл по группе иделей: Ck(s)Coo(s) = /д* f(a)\\a\\sd*a, где a £ А^, d*a — мера Хаара на группе А*к, а / : А*к —» С является некоторой специальной функцией. Сочетание такого представления с анализом Фурье на самодвойственной группе А к позволяет получить функциональное уравнение для дзета-функции (k(s), а также информацию о некоторых ее специальных значениях и вычетах.

Результаты, полученные для тех глобальных нолей, которые являются конечными расширениями поля Fq{T), соответствуют фактам о кривых над конечными нолями. Ж.-П. Серр показал в [61] возможность применять адели для кривых над произвольными полями, а не только над конечными. Этим методом им было получено доказательство теоремы Римана-Роха в одномерном случае. Серром рассматривались неполные адели на алгебраической проективной гладкой кривой С над полем к, т.е. такие наборы fx} £ JJ что для почти всех замкнутых точек х € С выполняется хеС условие fx £ Ос,xi где Ос,х С к(С) обозначает локальное кольцо на кривой

X в точке х. Также можно рассматривать неполный вариант иделей А*с. При этом Серр использовал некоторый комплекс, состоящий из аделей, хотя явным образом этого не указывал.

Переход от кривых к поверхностям был осуществлен в работах А. Н. Паршина [53] и [54]. В [53] были определены неполные (названные рациональными) адели на поверхности и построил из них некоторый адель-ный комплекс. В [54] был определен мультипликативный вариант полных аделей на поверхности, связанный с ^-группами, сформулированы и частично доказаны утверждения, являющиеся двумерным обобщением теорем из классической теории полей классов. Однако до сих пор не найдена адельная формулировка теории нолей классов в высших размерностях. Открытыми остаются проблемы прямого многомерного обобщения для других классических применений аделей: конечность групп нуль-циклов и фукциональное уравнение для дзета-функции. Недавно в работе [52] был достигнут значительный прогресс в направлении адельного изучения дзета-функции, связанный с построением аналога гармонического анализа для адельных групп. Для создания полной картины многомерного обобщения, по-видимому, должен быть использован гипотетический аналог группы иделей в многомерном случае, связанный с if-группами Милнора.

На самом деле, доказательство конечности группы Чжоу нуль-циклов, а также построение теории полей классов в двумерном и даже в многомерных случаях было получено С. Блохом в [И], а также К. Като и С. Сайто в [38] и [39]. Однако предлагаемые в данных работах методы не являются прямым обобщением рассмотренного выше адельного подхода к одномерному случаю. В то же время доказательство функционального уравнения для дзета-функции является одним из центральных вопросов современной арифметической геометрии. Отметим, что для многообразий над конечным нолем функциональное уравнение дзета-функции было доказано П.Делинем в [21] методом, далеким от адельных рассмотрений. Также функциональное уравнение дзета-функции доказано для эллиптических кривых над числовым полем, для которых оно равносильно гипотезе модулярности Таниямы-Вейля (например, см. [19]); в частности, из него следует большая теорема Ферма.

А. А. Бейлинсон определил в [2] адельный комплекс А(Х, J7)* для любого многообразия X произвольной размерности и для квазикогерентного пучка Т на X. Также определен неполный, или рациональный, вариант а(Х,Ох)' адельного комплекса А(Х, Ох)' (см. [35]).

Опишем явно комплексы рациональных аделей в малых размерностях для структурного пучка. Для кривой X над полем к рациональный адельный комплекс а(Х, Ох)* имеет следующий вид:

О - к(Х) 0 Ц Ох* П °> хех хеХ где ограниченное произведение берется в указанном выше смысле, а дифференциал определяется по формуле (fx, {fx}) ^ {fx ~ fx}, использующей естественные вложения к(Х) С ]] к(Х) и f] Ох,х С Ц к(Х). хеХ хеХ хеХ

Для поверхности X рациональный адельный комплекс а(Х, Ох)' имеет следующий вид: о к(х) е Д Ох* е П х€Х СсХ

- П *(*) ф П *(*) © П П *ро °>

СсХ хеХ хес хеСсХ где ограниченные произведения определяются некоторым явным образом в терминах полюсов функций, а дифференциалы определяются по формулам fx, Ш, {fc}) " ({fc - fx}, {fx - fx], {fx - fc}), ({fxc}, {fxx}, {fcx}) {fcx - fxx + fxc}, использующим соответствующие естественные вложения.

Теорема Бейлинсона-Хубер (см. [2], [35]) утверждает, что для любой нетеровой схемы когомологии комплексов А(Х, J7)' и а(Хканонически изоморфны когомологиям Нг(Х,Т). Таким образом адельный комплекс позволяет строить резольвенты для квазикогерентных пучков на схемах. Важно, что структура аделей обеспечивает мультипликативность и контравариантность этих резольвент. Более точно, для любой схемы X и квазикогерентных пучков J7, Q на X определен морфизм комплексов т : А(Х, ТУ <8> А(Х, Q)' —> А(Х, Т ®ох Q)', и для любого морфизма схем / : X —> Y и квазикогерентного пучка Т на X определен морфизм комплексов /* : A (YJ^Y А

Больше деталей об аделыюм комплексе можно найти в монографии [24], где обсуждается идеология, согласно которой многие понятия и утверждения из алгебраической геометрии могут быть сформулированы и доказаны в терминах многомерных аделей. Примеры такого подхода представлены, в частности, в работах [29], [50], [51], [55], [57].

Представляется интересным применить адельный подход к построению резольвент для других пучков абелевых групп на схемах, например, для пучков /Г-групп К* = Кп(Ох), п >0. Возникающие при этом конструкции должны быть одним из шагов на пути к построению теории полных многомерных аделей, связанных с i^-группами Милнора. Случай поверхности X и пучка К$ был рассмотрен Д. В. Осиповым в [49].

Напомним, что пучки if-групи ассоциированы с нредпучками, задаваемыми по формуле U н-> Kn(k[U]), п > О, где U С X — произвольное открытое подмножество в схеме X, а Кп{—) обозначает i^-группы Квил-лена. Пучки К-групп во многом представляют интерес благодаря их связи с теорией алгебраических циклов. Так, формула Блоха-Квиллена для когомологий этих пучков Нп(Х, Кп(Ох)) = СНп(Х) (см. [б], [58]) позволяет получать информацию о структуре групп Чжоу (например, см. [10]), изучение которых связано со многими глубокими гипотезами алгебраической геометрии (стандартные гипотезы Гротендика, гипотезы Ходжа, Тэйта, Блоха-Бейлинсона и многие другие).

Для пучков if-групп на регулярной отделимой схеме X конечного типа над полем имеется резольвента Герстена, отражающая связь когомологий пучков К-трупп с (алгебраической) геометрией многообразий (см. [58]). При этом комплекс Герстена Gers(X, п)*, вычисляющий когомоло-гии пучков if-групи /С* п > 0, определяется по формуле Gers(X,n)p =

0 Kn-P(k(rj)), где k{rj) обозначает поле вычетов в точке ту коразмерности сти р на схеме X. Однако резольвента Герстена не является мультипликативной и обладает контравариантностью лишь по отношению к узкому классу морфизмов. Более точно, между пучками if-групп определено каноническое произведение /С* <g) /С* —> индуцированное произведением в самих /^-группах. Это произведение не может быть продолжено на комплекс Герстена: иначе существовала бы теория пересечений алгебраических циклов, не рассматривающая их ни по какому отношению эквивалентности. Также для любого морфизма многообразий / : X —> Y определен морфизм пучков /* : —> /*/Cjf. Данный морфизм продолжается на комплексы Герстена, лишь когда морфизм / плоский. Отсутствие мультипливативности и котравариантности является существенной трудностью при работе с резольвентой Герстена, что приводит к поиску специальных геометрических методов для каждой отдельной задачи. В частности, так Д. Грейсон доказал в [30], что произведение-пересечение на группах Чжоу совпадает с точностью до знака с естественным произведением между соответствующими группами /Г-когомологий. А. Жилле предложил в [26] другой метод, рассматривающий некоторую мультипликативную резольвенту для пучков iiT-групп. Данный подход во многом использовал специфику if-групп, например, их совпадение с когомологиями пучков симплициальных множеств, и не был достаточно явным.

В дальнейшем комплекс Герстена и утверждение о его локальной точности были обобщены для многих других функторов, помимо if-теории. Список некоторых из многочисленных работ на эту тему включает в себя [16], [18], [60], [5]. Отметим, что и в общем случае комплекс Герстена не обладает мультипликативностью и контравариантностью. Таким образом интересным вопросом представляется построение комплекса, квазиизоморфного комплексу Герстена, и обладающего мультипликативностью и контравариантностью. Отметим, что общая теория пучков позволяет строить контравариантные и мультипликативные симплициальные резольвенты, например, резольвенты Чеха или Годемана (см. [27]). Однако, по-видимому, такие резольвенты слишком общие, чтобы отражать алгебро-геометрическую структуру схемы, например, связь К-когомологий с алгебраическими циклами.

Приведенная выше формула Блоха-Квиллена дает определение индекса пересечения для групп Чжоу, не требующее геометрических конструкций, таких, как лемма о сдвиге или деформация к нормальному конусу. Это обстоятельство используется при построении теории пересечений на арифметических схемах (см. [63]). Отметим, что арифметический индекс пересечения является обобщением высотного спаривания между точками на эллиптической кривой, определитель которого входит в гипотезу Берча-Свиннертона-Дайера.

Альтернативные подходы к многомерному аналогу высотного спаривания были предложены в работах С. Блоха [9], [12] и в работе А. А. Бейлинсона [4]. В данных работах рассматривается точка зрения, утверждающая, что индекс пересечения для алгебраических циклов на арифметической схеме, т.е. на плоской схеме X —» Spec(Z), должен быть интерпретирован, как "индекс зацепления" между соответствующими циклами на общем слое X = Xq.

Индексом зацепления в алгебраической геометрии является инвариант, который можно сопоставить двум циклам Z, W коразмерности р и q на гладком проективном многообразии X размерности d над полем к, где р + q = d + 1 (например, двум кривым на трехмерном многообразии). Такой инвариант предлагается в работах [12] и [14]. Оказывается, что это уже не число, а £;*-торсор, т.е. множество, на которое свободно и тран-зитивно действует группа к*. Более того, строится бирасширение Р пары (CHp(X)i10m^CHq(X)i10m) группой к*, обобщающее линейное расслоение Пуанкаре на произведении многообразий Пикара и Альбанезе, где

CH*(X)hom обозначает группу классов рациональной эквивалентности гомологически тривиальных циклов на X. Для многообразий над числовым полем тривиализации бирасширения log|P|, возникающие при вложении числового поля в его пополнения, приводят к высотному спариванию между алгебраическими циклами, т.е. арифметическому индексу пересечения (см. [12]).

В [14] был поставлен вопрос о связи бирасширения Р с линейным расслоением Пуанкаре на произведении промежуточных якобианов для случая комплексных многообразий. Частичный ответ на данный вопрос был получен в [46] при помощи функториальных свойств высших групп Чжоу и отображения регулятора в когомологии Делиня. Кроме этого возникает естественный вопрос о нахождении описания бирасширения Р в терминах if-когомологий, аналогичного рассмотренному выше подходу к индексу пересечения. С другой стороны, индекс пересечения может быть выражен как ранг когомологий комплекса КГ(Х, Oz<8>oxOw). Так возникает вопрос о нахождении описания бирасширения Р в терминах данного комплекса.

1. Е. Arbarello, С. de Concini, V. G. Kac, "The 1.finite Wedge Representation and the Reciprocity Law for Algebraic Curves", Proc. Sympos. Pure Math. 49:1 (1989), 171-190.

2. А. А. Бейлинсон, "Вычеты и адели", Фуикц. анализ и прил., 14 (1980), 34-35.

3. A. A. Beilinson, "Notes on absolute Hodge cohomology", Contemp. Math., 55 (1986), 35-68.

4. A. A. Beilinson, "Height pairing between algebraic cycles", Contemp. Math., 67 (1987), 1-24.

5. A. Beilinson, V. Vologodsky, "A guide to Voevodsky's motives", arXiv:math/0604004v4.

6. S.Bloch, "K2 and algebraic cycles", Ann. of Math., 99:2 (1974), 349-379.

7. S. Bloch, "Algebraic if-theory and crystalline cohomology", Publications Mathematiques de I'l.H.E.S., 47 (1977), 187-268.

8. S. Bloch, "Torsion algebraic cycles and a theorem of Roitman", Compositio Mathmatica, 39:1 (1979), 107-127.

9. S. Bloch, "A note on height pairing, Tamagawa numbers, and the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture", Inventiones Math., 58 (1980), 65-76.

10. S. Bloch, "Lectures on algebraic cycles", Duke Univ. Math. Ser. ТУ (1980).

11. S. Bloch, "Algerbaic K-theory and class field theory for arithmetic surface", Ann. of Math., 114 (1981), 229-265.12