Инварианты некоторых подпространств групп аделей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

На правах рукописи УДК 512.71, 512.74

Будылин Роман Яковлевич

Инварианты некоторых подпространств групп аделей

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

1 5 [,|Др 20:2

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2012

005014080

005014080

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

академик РАН Паршин Алексей Николаевич Востоков Сергей Владимирович, доктор физико-математических наук (профессор математико-механического факультета Санкт-Петербургского гос. университета) Кузьмин Леонид Викторович, доктор физико-математических наук (НИЦ "Курчатовский институт", Институт информационных технологий) Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д. Ушинского

Защита диссертации состоится 23.03.2012 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 22.02.2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

А.О. Иванов

Общая характеристика работы Актуальность темы

Диссертация посвящена решению ряда актуальных задач алгебраической теории чисел и алгебраической геометрии. Строится формула для второго класса Черна двумерных векторных расслоений на поверхности, исследуются Ki—функтор и /^-функтор от адельных колец, связанных с кривой и поверхностью, доказывается, что вторые когомологии Ki от адельного комплекса вычисляют вторую группу Чжоу поверхности СН2(Х). Получен алгоритм для разложения Каждана-Бравермана невырожденных матриц над двумерным локальным полем. Исследуются решетки как двойной фактор аделыгой группы, вычисляются объемы некоторых их подмножеств.

Первоначально адели были определены А. Всйлсм и К. Шевалле для одномерного случая, а именно, для глобальных полой, т.е. конечных расширений поля Q или поля Fq{T). Аппарат аделей был успешно применен к решению многих фундаментальных задач алгебраической теории чисел, таких, как конечность групп классов, строение групп единиц, описание максимального абелева фактора группы Галуа глобального поля (теория полей классов), функциональное уравнение для дзета-функции Дедскин-да, нахождение ее специальных значений и вычетов. Попытка обобщить адельный подход на многомерный случай, т.е. для систем полиномиальных уравнений с рациональными или конечными коэффициентами, привела к созданию теории многомерных аделей. Переход от кривых к поверхностям был осуществлен в работах А. Н. Паршина О возникновении и развитии теории многомерных аделей см. обзор А.Н. Паршина3.

В статье 1980 года4 А. А. Бейлинсон определил адельный комплекс A(X.J7)' для любого многообразия X произвольной размерности и для квазикогерентного пучка Т на X. Также определен неполный, или рациональный, вариант а(Х, Ох)' адельного комплекса А(Х, Ох)'-

Теорема Бейлинсона-Хубер5 утверждает, что для любой нетеровой схемы когомологии комплексов A(X,f)' и а(Хканонически изо-

'А. Н. Паршин, "Об арифметике двумерных схем. I, Распределения и вычеты", Изв. Акад. Наук СССР 40(1976), 736-773.

2 А. Н. Паршин, "Абелевы накрытия арифметических схем", Докл.Акад.Наук.СССР 243(1978), 855858.

3А. N. Parsl •in, "Representations of higher allelic groups", Proceedings of International Congress of Mathematicians (Hyderabad, India, 19-27 August 2010), Volume 1: Plenary lectures and ceremonies, World Scientific, 2010, 362-392

"•А. А. Бейлинсон, "Вычеты и адели", Функц. анализ и прил., 14 (1980), 34-35.

5 A. Huber, "On the Parshm-Beilinson adeles for schemes", Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 61 (1D91),

249-273.

морфны когомологиям Н*(Х, Т). Таким образом адсльный комплекс позволяет строить резольвенты для квазикогерентных пучков на схемах. Важно, что структура аделей обеспечивает мультипликативность и кон-травариантность этих резольвент. Более точно, для любой схемы X и квазикогерентных пучков Т, Q на X определен морфизм комплексов тп : А(Х, f)' ® А(Х, б)* к{Х, F Q)', и для любого морфизма схем / : X —> Y и квазикогерентного пучка Т на X определен морфизм комплексов /* : А (У,/»Я* - А(ЛГ,Я'-

Больше деталей об аделыюм комплексе можно найти в монографии Фиммеля и Паршина6, где обсуждается идеология, согласно которой многие понятия и утверждения из алгебраической геометрии могут быть сформулированы и доказаны в терминах многомерных аделей.

Напомним, что пучки К-труип ассоциированы с предпучками, задаваемыми по формуле U Kn(k[U}), п ^ 0, где U С X — произвольное открытое подмножество в схеме X, а Кп{~) обозначает А'-группы Квилле-на. Пучки /Г-групп во многом представляют интерес благодаря их связи с теорией алгебраических циклов. Так, формула Блоха-Квиллсна7,8 для ко-гомологий этих пучков Нп(Х, Кп{Ох)) = СНп{Х) позволяет получать информацию о структуре групп Чжоу, изучение которых связано со многими глубокими гипотезами алгебраической геометрии (стандартные гипотезы Гротендика, гипотезы Ходжа, Тэйта, Блоха-Бейлинсона и многие другие).

Представляется интересным применить аделышй подход к построению резольвент для других пучков абелевых групп на схемах, например, для пучков if-групп К* = Кц{Ох), п > 0. Возникающие при этом конструкции должны быть одним из шагов на пути к построению теории полных многомерных аделей, связанных с ^-группами Милнора. Весьма общая ситуация пучков абелевых групп на схеме была рассмотрена С. О. Горчинским в работе 2008 года9. В 1997 году Д. В. Осипов построил адельный комплекс для пучка Кг-групп, члены которого являются некоторыми ограниченными произведениями Кч от пополненных локальных колец10. Им доказано, что построенный комплекс квазиизоморфен комплексу Герстена, а значит вычисляет когомолоГии пучка групп К2, в частности вторые когомологии, которые по теореме Блоха изоморфны группе Чжоу нуль-циклов СН2(Х).

eT. Fimmel, А. N. Parshin, "An introduction to the higher adelic theory", preprint (1999).

7S. Bloch, "Кг and algebraic cycles", Ann. Math. 99(1374), 349-379.

"D.Quillen, "Higher Algebraic tf-theory", Lecture Notes in Mathematics, 341 (1973), 85-147.

"С. О. Горчинский, "Адельпая резольвента для пучков гоыологий", Изв. РАН. Сер. матем., 72 G (2008), 133-202.

10Д. В. Осипов, "Адельные конструкции и прямые образы для дифференциалов и символов", Мат сборник, 188:5 (1997), 59-84.

Во второй главе данной диссертации рассматривается другой комплекс, связанный с группой К2 на поверхности, а именно К2 от рационального адсльного комплекса. Такой комплекс более подходит для наших целей от-носитсльно переноса подхода Блоха для адельного построения класса Черна. Исследуется вопрос о том, вычисляют ли вторые когомологаи данного комплекса двумерную группу Чжоу.

Отправной точкой для рассматриваемой в третьей главе задачи послужили две гипотезы, выдвинутые И. Р. Шафаревичсм в 1962 г. на Международном математическом конгрессе в Стокгольме11. Он рассмотрел вопрос о классификации алгебраических кривых X данного рода g > 1 над полем алгебраических чисел К. Помимо рода инвариантом кривой X выступает также множество точек S плохой редукции, Первая гипотеза Шафарсвича (гипотеза конечности) состоит в том, что если g > 1 (или g = 1 и кривая X имеет рациональную точку), то эти данные определяют кривую с точностью до конечного числа возможностей. Вторая гипотеза относится к ситуации, когда К = Q, а множество S пусто, и утверждает, что кривых рода g > 1 с такими инвариантами не существует. Эти гипотезы являются аналогами двух классических результатов из алгебраической теории чисел. Первый, теорема Эрмита (1857 г.), утверждает конечность числа расширений L/K поля К, имеющих заданную степень и фиксированные точки ветвления. Второй, теорема Минковского (1891 г.), состоит в том, что у поля Q нет неразветвленных расширений. Сравнение этих теорем с гипотезами Шафарсвича показывает, что последние, являются их аналогами для расширений полей относительной размерности 1 (схемной размерности 2), в то время как сами теоремы касаются случая конечных расширений (т. е. относительной размерности 0, или схемной размерности 1). При этом точки ветвления отвечают в новой ситуации точкам плохой редукции. В основе доказательства одномерных утверждений, теорем Минковского и Эрмита, лежит неравенство Минковского на дискриминант числового поля. Можно сформулировать аналоги гипотез Шафарсвича в геометрическом случае. Для доказательства обоих гипотез можно использовать неравенство Ван де Вена-Богомолова-Мияока-Яо (ВБМЯ). Пусть V - неособая проективная поверхность, определенная над замкнутым полем к характеристики О, и С1(У),С2(К) - ее классы Черна (ci(K) мы рассматриваем как элемент группы Пикара Pic(V) и Сг(^) (эйлерова характеристика поверхности) как целое число). Тогда ВБМЯ-перавепство утверждает, что

_ci{V)2 < max(2c2(V),3c2(V)).

"И. Р. Шафаревич, "Поля алгебраических чисел", bt.Congi.Math.Stockholni, 1902, 163-176.

Для доказательства гипотез Шафарсвича в геометрической ситуации удобнее следующая формулировка ВБМЯ -неравенства. Пусть /: V —► В - собственное отображение поверхности V на неособую проективную кривую В с геометрически неприводимым общим слоем. Обозначим через д род общего слоя, через д(В) —род базы В и предположим, что все слои суть стабильные кривые. Это означает, что все компоненты слоев приведены и все особые точки являются рациональными двойными точками с транс-версальиыми ветвями. Обозначим через <5„ число особых точек слоя и через гиу/в ~~ относительное ко касательное расслоение. Имеем следующий результат. Если д > 1 и поверхность V нелинейчата, то

Ы/в,ту/в)< 3^г„ + (2д-2)(25(В)-2). (1)

уев

Таким образом, ВБМЯ-неравенство играет по отношению к геометрическим гипотезам Шафаревича ту же роль, что классическое неравенство Минковского по отношению к теоремам Эрмита и Минковского. В статье А.Н.Паршина 1989 года12 появился арифметический аналог неравенства Ван де Вена-Вогомолова-Мияока-Яо в форме (1). Это гипотетическое неравенство даст эффективное доказательство гипотез Шафаревича в некоторой ослабленной форме.

Доказательства ВБМЯ-неравенства Ф. А. Богомоловым и И. Мияока используют теорию стабильных векторных расслоений, построенную Богомоловым. Чтобы перенести этот метод на доказательство арифметического аналога, для начала можно попытаться доказать неравенство Минковского с помощью арифметической теории стабильных векторных расслоений. А для этого, с точки зрения арифметико-гсометрической аналогии, полезно доказать геометрический аналог неравенства Минковского с помощью рассмотрения нестабильных расслоений. В 2006 году на юбилейной конференции к 60-летию Ф. А. Богомолова А. Н. Паршин сделал доклад, в котором помимо прочего прозвучало доказательство того, что если д - род кривой С над конечным полем то д не меньше 0, при помощи сравнения меры некоторого подмножества внутри множества всех расслоений и меры множества всех расслоений. Если воспринимать д как размерность линейной системы, соответствующей каноническому классу, то это неравенство тривиально. С другой стороны для такой меры Хаара ц на Ас, что КП^еС = 1, верно, что //(Ас) = д9"1, где Ас - адели на кривой С, кольцо 0„ - пополненное локальное кольцо точки и, к - поле функций

12А.Н.Паршин, "О применении разветвленных: накрытий в теории диофаитовых уравнений". Математический сборник, 180:2 (1989),244-259.

кривой С. Это равенство можно взять за определение д. Тогда неравенство д > 0 есть некоторое нетривиальное суждение об объеме. Существует аналогия между кривой над конечным полем и числовым полем. Какой результат получится при перенесении рассуждений в арифметическцю ситуацию? Для числового поля К возьмем на кк меру Хаара ц, такую что МО*) = 1 для всех конечных точек и, = ¿х для всех вещественных точек, = йх А ей для комплексных. Тогда ¡х(Ак/К) = поэтому неравенство д> 0 соответствует неравенству Минковского Ок > 1. Целью второй главы настоящей диссертации как раз и является получение такого неравенства. То есть доказательство неравенства Минковского с помощью арифметического аналога теории стабильных векторных расслоений.

С функциональным уравнением для ¿-функции тесно связана проблема локальных множителей.

Пусть С алгебраическая кривая над конечным полем ¥„, поле ее рациональных функций обозначим через К, а через К,п> сепарабельное замыкание поля К и рассмотрим характер

X : ваЦК^/К) ->

Предположим, что характер х неразветвлен, тогда можно определить Ь—функцию

г ее

где ь это мощность поля вычетов к(х). Для нее справедливо функциональное уравнение

= х(Ы)я'С1{Х)д-*С1{х)Ьс{ 1 - з,х~1).

Множитель называется б- множителем. Здесь ш - ра-

циональная дифференциальная форма, ¿-функция определяется как произведение по точкам на кривой. Интересно, что б-множитель также раскладывается в произведение по точкам.

Пусть их - нормирование локального кольца Ос,х, тогда

С1Р0 = X) "хМ йе9{х), (2)

хес

хМ =

хес

Таким образом, множитель в функциональном уравнении раскладывается в произведение по точкам.

Для поверхности над конечным полем П.Делинь доказал функциональное уравнение для L-функции абелева нсразветвленного характера х в явной форме

Lx(s,x) = e(x)qc>{X)q~MX)Lx(2 - s,*"1),

где е(х) - собственное значение отображения Фробениуса на detx{F), где F - этальный í-адический пучок, определяемый характером х-

В 1983 году А.Н.Паршиным было показано, что множитель е может быть записан в виде некоторого произведения по флагам х е С13. Хотелось бы иметь декомпозицию множителя qC2W> в произведение по флагам. С этой целью там же появилась формула для класса Черна сп(Е) векторного расслоения Е на алгебраическом многообразии в терминах матриц перехода между тривиализациями расслоения в схемных точках многообразия. В этой формуле использовались многомерные вычеты, и потому эта формула пригодна только для многообразий над полем характеристики нуль.

Для произвольных обратимых матриц ,..., -Xfti над коммутативной Q-алгсброй А можно рассмотреть форму

pm{Xh ...,Хт):= tr(Xfx... Х~ЧХх А • ■ • A dXm) 6 ОД.

Под внешним произведением матриц X = (a¿j) и Y — (bij) с коэффициентами в О,* (А) здесь подразумевается матрица X А У := aij л fy). Напомним формулу Ньютона, выражающую элементарные симметрические функции сгт через суммы степеней s¿:

О О

т — 1 «i

Положим w™{X\,... ,Хт) равным значению элементарной симметрической функции crm, после замены суммы степеней s¿ в формуле Ньютона на pi(Xi,..., Xi), а умножения на внешнее произведение. Пример 1.

w\ = trpT^X) = (det X)-1d(detX), «d = ^г(Х-^Х) A tx{Y-1)dY) - tr{Y~lX~ldX A dY).

13 A. H. Партии, "Chern classes, adeles and L-functions", J. fur die reine und angewandte Math. 341(1083), 174-192.

Cm =

m!

51

52

1

Si

Sm-1 Sm-2 Sm-3 Sm. Sm_2

Пусть X - произвольная нетерова неприводимая схема размерности п конечного типа над полем нулевой характеристики. Пусть Е - векторное расслоение на X, пучок £ - локально свободный пучок Ох-модулсй, определяемый расслоением Е. Для каждой схемной точки г) £ X рассмотрим пучковый слой £г). Пусть - базис свободного О^-модуля Набор Ь := {Ьп)пех называется адельной тривиализацией пучка Е. Мы можем связать с Ъ набор матриц перехода д = (дгк<т),дщ,ъ 6 СЬ(О^) следующим образом:

здесь 7?1 € щ, где щ обозначает замыкание схемной точки щ. Положим

Ы».-* := {Эщщ. ■ • чдти-^ту)-Тогда для гладкого многообразия X старшее число Черна Сп,х{Е) по формуле Паршина равно:

Здесь гев^у.....^ - многомерный вычет.

Если X - гладкое многообразие над полем конечной характеристики р > сИт(Х), то эта формула дает Сп<х по модулю р. Естественно возникает задача построения такой формулы в случае многообразия над полем конечной характеристики, которая бы давала точное значение Сп^х. В этом случае вместо групп Нт(Х, Пх) целесообразно использовать классы Черна со значениями в группах Нт(Х, Кт(Ох)), где Кт{Ох) - пучок, связанный с предпучком ^-функторов Квиллена от Ох- Согласно адельной идеологии формула для класса Черна векторного расслоения ищется в виде суммы не по точкам, а по флагам х £ С, где х точка на неприводимой кривой С.

В статье Блоха 1974 года класс Черна С2,х(Е) для расслоения Е с тривиальным детерминантом строился с помощью применения комплекса Чеха к точной тройке пучков

Он получается как образ кограничного отображения из Я^Х, ЭЬ(Ох)) в Н2(Х,К2(Ох)). В третьей главе мы применяем подход Блоха для адель-ных комплексов. В итоге получается формула для класса Черна расслоения по тривиализациям в схемных точках. В отличии от Блоха мы рассматриваем расслоения с произвольным детерминантом благодаря конструкции

1 - к2(ох) - эко*) - эцо*) -1.

Делиня. В 1979 году он построил обобщение точной тройки

1 - ЩА) -у ЩА) Е{А) 1

для СЕ(А) вместо Е{А), где СЕ(А) - подгруппа, порожденная элементарными и диагональными матрицами14.

В 2006 году А.Браверман и Д.Каждан доказали, что для редуктивной группы С? над двумерным локальным полем справедливо следующее разложение15:

<?(*((«))((*))) = С(%]Ш))С(*(М)[Й]).

Это было доказано с использованием инд-схем, кроме того доказательство было неявным. В четвертой главе мы предъявляем явный алгоритм подобного разложения в группе но для более общего кольца Я((*)), где Л -произвольное евклидово кольцо.

Цель работы

Целью работы является получение неравенства на основе сравнения объема множества всех решеток с множеством решеток, выделяемом некоторым условием стабильности; конструктивное доказательство разложения Каждана-Бравсрмана над двумерным локальным полем; проверка того, что вторые когомологии комплекса, получающегося из рационального адельного комплекса применением функтора К2, совпадают с двумерной группой Чжоу на поверхности; построение формулы для второго класса Черна векторного расслоения на поверхности, зависящей от тривиализа-ций в схемных точках, в виде суммы по флагам.

Научная новизна

В диссертации получены следующие результаты.

1. Предъявлена конкретная фундаментальная область для множества решеток над числовым полем. Вычислен объем множества нестабильных решеток ранга 2 со свободными факторами канонической фильтрации. Доказано неравенство, связывающее регулятор Як и дискриминант Вк числового поля:

2-3*(г + 4в)2Э*С*(2) >Кк.

в1РЬаыеЙ;ьш9)е 0ШШ СиЫЧие8 * Гете4еттМ Йе адУч*« 8.л. РаИегяоп)", 8епипа1ге

2. Построена формула для второго класса Черна векторного расслоения на поверхности, зависящая от матриц перехода между тривиализаци-ями данного расслоения в различных схемных точках, в виде суммы по флагам на поверхности, т.е. парам из неприводимой кривой на поверхности и точки на ней. Более точно класс Черна выражается через прообразы матриц перехода в группе Стейнберга. Данная формула функториальна относительно взятия обратных образов. Доказано, что формула Севсри получается из построенной формулы при конкретном выборе тривиализаций.

3. Доказано, что вторые когомологии комплекса, полученного применением К2 к рациональному адельному комплексу совпадают с двумерной группой Чжоу на поверхности.

4. Предъявлен алгоритм для разложения Каждана-Бравермана над двумерным локальным полем:

СЦк((и))((1))) = СЦк[[и]](М))СЦк((и))И]). Доказано также более общее разложение:

садиосфкоо)) = сцвд^сцдиоадм]),

где Я - произвольное евклидово кольцо. Основные методы исследования

В работе используются методы алгебраической геометрии, а именно теория аделей, векторные расслоения, а также теория меры Хаара, теория решеток, А'-теория. Кроме самого определения аделей и аделыюго комплекса, определенных в работах Паршина и Бейлинсона, мы используем адельную теорию пересечений, теорию расслоений и законы взаимности, развитые в работах Паршина. Во второй главе мы используем теорию стабильности для решеток над числовым полем, построенную в работе Грэйсона. Также используются результаты Зигеля о мере Хаара множества решеток. В третьей главе используется подход Блоха для построения класса Черна. Также в третьей главе мы строим расширение группы Стейнберга йБЬ, такое расширение было построено для матриц второго порядка и несколько иным способом в статье Делиня.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для алгебраической геометрии, теории чисел.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре по арифметической алгебраической геометрии под руководством А.Н.Паршина в Математическом институте им. Стеклова АН., семинаре по топологии под руководством Т. Е. Панова на механико-математическом факультете МГУ и научных конференциях Zeta function, Москва, 21.0625.06, 2010, Global fields, Москва, 25.10 - 28.10, 2011 и Ярославской школе по алгебраической геометрии, Ярославль, 23 - 28 мая 2011.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в трёх работах, список которых приведен в конце автореферата [1-3].

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа изложена на 89 страницах и состоит из введения и трех глав. Библиография включает 50 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении изложена история рассматриваемых проблем и приводятся основные результаты диссертации. В первой главе изложены определение аделей по Бейлинсону-Паршину, определение рационального адельного комплекса. Также исследуются /^-группы от аделей на поверхности. Вычислены Ко от адельных колец на кривой, адельных колец на поверхности Aoi,Ao2. Доказано, что К2 от вышеперечисленных адельных колец совпадает с К2 Милнора. Также группа Чжоу СН2{Х) на поверхности описана в терминах рационального адельного комплекса, что пригодится в третьей главе при построении класса Черна векторного расслоения по его адельной тривиализации.

Раздел 2.1 носит вводный характер. В нем дано определение косим-плициальной группы, нулевых и первых когомологий косимплициальных

групп и когомологий произвольного порядка в случае абелсвой косимпли-циальной группы. Вводятся понятия адслей и рациональных вдслей. При помощи понятия косимплициальной группы аделсй определяется адель-ный комплекс Бсйлинсона-Паршина и рациональный адольный комплекс для структурного пучка и для произвольных функторов из колец в абелевы группы. Также в этом раздело доказана лемма о существовании длинной точной последовательности когомологий для центрального расширения ко-симплициальных групп.

В разделе 2.2 понятия из раздела 2.1 демонстрируются в частном случае размерностей один и два (например, определение двумерных аделсй Аша)-В примере 2.2.3 введено важное для главы 3 определение адельной триви-ализации. Также сформулирована теорема Паршина, утверждающая что п-мерные векторные расслоения с точностью до изоморфизма находятся во взаимно однозначном соответствии с первыми когомологиями рационального адельного комплекса функтора СЬ„. Также здесь введено определение отображения ручного символа из К2{к(Х)) в Ъ и сформулированы его основные свойства, доказанные А.Н.Паршиным, закон взаимности вокруг кривой и точки. Теорема 2.2.6 дает выражение для индекса пересечения двух дивизоров в терминах ручных символов некоторых аделсй, связанных с уравнениями данных дивизоров.

В разделе 2.3 вычислена группа от адельных колец

Ао, Аь Аг, А01, А02 (теорема 2.3.5). Также доказано, что группа от этих адельных колец совпадает с группой К2 Милнора. Неизвестно является ли комплекс, полученный применением функтора Къ к адельному комплексу резольвентой пучка абслевых групп Къ(Ох), поэтому равенство его вторых когомологий двумерной группе Чжоу СН2(Х) не следует напрямую из теоремы Блоха. Тем не менее верна следующая теорема 2.3.9, являющаяся основным результатом первой главы:

Теорема 2. Пусть поверхность X регулярна. Тогда верно равенство

Также доказана следующая лемма:

Лемма 3. Существует отображение ф': Я2(К"2(А')) —► СН2{Х), такое что следующая диаграмма коммутативна:

Н\К§*( А')) = СН2{Х).

СН\Х)

Отображение г является вложением.

Вторая глава посвящена получению неравенства типа Минковского при помощи сдельных групп. Пусть К -числовое поле. Неравенство Минковского - это оценка на дискриминант поля К вида Б к > Внутри множества всех решеток выделяется подмножество, считается его объем по эквивариантной мере Хаара и сравнивается с объемом всех решеток, даваемом формулой Зигеля. В качестве подмножества берутся нестабильные решетки, факторы фильтрации которых суть свободные одномерные модули над кольцом целых О к. Полученное неравенство связывает-регулятор и дискриминант и является утверждением типа теоремы Брауэра-Зигеля.

В разделе 3.1 описывается метод А.Н.Паршина доказательства того, что род кривой над конечным полем больше либо равен нулю. При этом род кривой рассматривается как логарифм объема некоторой фундаментальной области, связанной с данной кривой. Ключевым в этом рассуждеиии оказывается рассмотрение векторных расслоений как двойного фактора адельных групп и выделение в этом множестве некоторого подмножества условием типа стабильности.

Разделы 3.2 - 3.4 носят вводный характер. В них даны основные определения и обозначения.

В разделе 3.2 вводится понятие решетки, арифметического аналога векторного расслоения. Вводятся понятия подрешетки, ее наклона, канонического многоугольника и стабильной решетки. Приводятся основные утверждения о каноническом многоугольнике: единственность канонической фильтрации и критерий каноничности данной фильтрации. Все определения и утверждения раздела 3.2 взяты из статьи Грэйсона.

В разделе 3.3 показано, что множество решеток является двойным фактором адельной группы СЦА).

В разделе 3.4 строится эквивариантная мера Хаара на множестве решеток с выделенным базисом через дифференциалы координат, связанных с разложением Ивасавы. Эту меру мы называем мерой Ивасавы, и она довольно удобна для вычисления объема главных нестабильных решеток.

В разделе 3.5 вводится понятие главной нестабильной решетки. В теореме 3.5.3 строится некоторая фундаментальная область для решеток. Приведен пример частного случая такой фундаментальной области. Теорема 3.5.5 дает характеризацию главных нестабильных решеток среди всех решеток в терминах разложения Ивасавы и вычисляет их объем в мере, связанной с разложением Ивасавы.

В разделе 3.6 вычисляется объем главных нестабильных решеток в мере,

связанной с координатами квадратичных форм. Это вычисление сводится к нахождению коэффициента пропорциональности между мерами Ивасавы и мерой, связанной с коэффициентами квадратичных форм. После сравнения с объемом фундаментального множества для всех решеток, который дается формулой Зигеля, получается основной результат второй главы и статьи[2]:

Теорема 4. Справедливо следующее неравенство, связывающее дискриминант Ок и регулятор Як числового поля

2~3"(г + 4я) |Дк10с(2) > Як, где б - число комплексных пополнений поля К.

Пусть X - гладкая поверхность. Набор базисов во всех схемных точках называется аделыюй тривиализацией (см. пример 2.2.3). Третья глава посвящена построению формулы для класса Черна в терминах адельных тривиализаций. Такой, чтобы по адельной тривиализации она выдавала цикл с(^) = 52хеса*,сх (здесь суммирование идет по флагам - точка и неприводимая кривая ее содержащая). Причем этот цикл должен обладать свойством функториальности при морфизмах / : У X, а именно, кратность а/(¡,),/(с) (кратность, соответствующая обратному образу с^е) при морфизме /) совпадает с соответствующей кратностью в

<гш

В разделе 4.1 даны основные определения, относящие к К - теории, определение матричных групп Е{Я), <2£(й), группы Стейнберга 5г(Я) и группы Кг{И). Также там вводится определение группы С81(Д)(см. определение 4.1.4) и строится центральное расширение с помощью для СЕ(Д)(теорсма 4.1.7):

1 К2{Я) СБ^Д) - СЕ(Й) 1.

В разделе 4.2 доказано, что адельная тривиализация 1е векторного расслоения лежит в СЕ(Д). А также доказан основной результат третьей главы и статьи [3]:

Теорема 5. второй класс Черна для двумерного векторного расслоения на гладкой поверхности можно выразить следующим образом

с2(Е) = иос11о в(гЕ)

Здесь tE - это элемент первого члена рационального адельного комплекса СЕ, отвечающий тривиализации расслоения Е, а в - это некоторое

ссчснис отображения вБ^А1) —> СЕ{А1) из раздела 4.1, а и - это отображение из второго члена рационального сдельного комплекса в группу СН2(Х). Эта формула обладает нужным нам функториальным свойством относительно обратных образов. Формула Севери

с2{Е) = (т) + (ю)(<1еЬЕ) - (и)(ги)

выражает второй класс Черна векторного расслоения через его произвольное сечение. В разделе 4.3 мы представляем формулу Севери для второго класса Черна двумерного расслоения на поверхности как частный случай нашей формулы при конкретном выборе тривиализаций и сечения 5.

Раздел 4.4 посвящен основному результату статьи [1], в нем приводится алгоритм для разложения матрицы над двумерным локальным полем /;((и) )((£)) следующего вида:

СЦп, Щи))(т = СЦп, к((и))М})СЦп, ВДШ)). Благодарности

Автор благодарен научному руководителю, академику А. Н. Паршину за постановки задач и всестороннюю поддержку. Также я хотел бы выразить благодарность к.ф.-м.н. С. О. Горчинскому и к.ф.-м.н. Д. В.Осипову за многочисленные обсуждения. С. О. Горчинскому я обязан идеей применить подход Блоха к адельному комплексу.

Список публикаций по теме диссертации

[11 Р. Я. Будылин, "Матричное разложение над двумерным локальным полем", Математические заметки, 85:6 (2009), 936-939.

[2] Р. Я. Будылин, "Неравенство, полученное при рассмотрении нестабильных решеток ранга 2", Успехи математических наук, 66:4 (2011), 183-184.

[3] Р. Я. Будылин, "Адельное построение класса Черна", Математический сборник, 202:11(2011), 75-96.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж I о оэкз. Заказ № / &