Геометрия семейств линейных подмногообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ

1.1. Семейства аффинных подмногообразий

1.1.1. Категория flfr и ее некоторые подкатегории

1.1.2. Метод изучения объек тов категории /)fr

1.1.3. Теорема об эквивалентности двух подкатегорий

1.2. Невырожденные системы подпространств.

1.2.1. Невырожденные тройки подпространств

1.2.2. Невырожденные четверки подпространств

1.2.3. Двойное отношение невырожденной четверки подпространств.

1.3. Семейства подпространств в евклидовом пространстве.

1.3.1. Семейства подпространств общего положения

1.3.2. Пара подпространств.

1.3.3. К вопросу о тройке подпространств в евклидовом пространстве

1.4. Первоначальные факты геометрии пространства М €) М.

1.4.1. Основные формулы.

1.4.2. Аффинные преобразования пространства И® М

1.4.3. Изометрические и подобные преобразования пространства М ®М.

ГЛАВА 2. К АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ ЧЕТНО

МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА

2.1. Сведения о категориях, связанных с гипертреугольником

2.1.1. Об эквивалентности подкатегорийXr;

2.1.2. Подкатегория гипертреугольников с трансверсалями.

2.1.3. Замечание о классификации объектов категории

2.2. Канонический вид и инварианты гипертреугольника.

2.2.1. Об аффинной эквивалентности объектов подкатегории гипертреугольников.

2.2.2. Об аффинной эквивалентности объектов подкатегории Д,.

2.2.3. Свойства гипертреугольника с простыми трансверсалями.

2.3. Формула морфизма одного гипертреугольника в другой.

2.4. Две геометрические конструкции, связанные с пятеркой и шестеркой линейных подмногообразий

2.4.1. Понятие диагональной конструкции

2.4.2. О геометрическом смысле коммутирования операторов.

ГЛАВА 3. К ГЕОМЕТРИИ ЧЕГНОМЕРНОГО

ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА.

3.1. Гипербиссектриса пары подпространств.

3.1.1. Подпространства симметрии и равноудаленные для двух подпространств.

3.1.2. Определение гипербиссектрисы

3.1.3. Полуправильная и правильная тройки подпространств

3.1.4. Свойства гипербиссектрис пары подпространств

3.2. К геометрии гипертреугольника в евклидовом пространстве

3.2.1. Высотный и серединный каркасы гипертреугольника.

3.2.2. Эйлерово подмногообразие гипертреугольника.

3.2.3. Особенности правильного и равнобедренного гипертреугольников

3.3. О некоторых подобных конфигурациях в евклидовом пространстве

Известно, что основой почти всех традиционно сложившихся математических дисциплин, в том числе и различного рода классических геометрий - аффинной, евклидовой, проективной - является линейная алгебра. Связи геометрии с линейной алгеброй восходят к исследованиям еще в прошлом столетии - к работам Г.Грассмана по многомерным проективным геометриям, к классическим работам А.Кэли и Дж. Сильвестра по теории алгебраических инвариантов, наконец, к работам К.Жордана и "Эрлангенской программе" Ф.Клейна.

Взаимосвязь алгебры и геометрии подчеркивается в классической литературе как учебного, так и чисто научного плана [5 - 8, 37, 47, 48, 52, 53]. Достаточно последовательно эта точка зрения проводится и современными учеными [II, 21, 26, 43 - 46].

Применение при решении геометрических задач средств линейной алгебры служит зачастую источником важной геометрической информации [17, 19, 23, 29, 30, 35, 36, 49]. Однако при исследованиях, связанных с геометрией многомерных пространств, применение классических методов не всегда дает желаемые результаты, так как многие естественные задачи для таких пространств сложны и не очевидны. При этом порой бывает невозможно преодолеть трудности чисто технического характера, которые возрастают с увеличением размерности пространства. Поэтому естественно стремление к созданию новых методов решения такого рода задач.

Так, современные геометры широко используют метод конструирования пространств более высокой размерности на пространствах низших размерностей [38 - 40]. Создан также ряд методов, основанных на использовании линейных операторов, - например, введение операторных координат ^-плоскостей в л -пространстве [35, Зб]. Довольно эффективным оказывается использование аппарата аддитивных бинарных отношений [4, 14 - 17, 29] и их частнооо случая -графика линейного оператора [45, 46]. Например, с помощью графика линейного оператора в работе P. HaPmos'a "Two su6space$" [45] впервые вводится аналог угла для пары подпространств многомерного евклидова пространства.

Однако в современной многомерной геометрии почти не изученным является ее раздел о системах аффинных линейных подмногообразий в аффинных /и тем более, евклидовых/ пространствах. Вопрос о классификации и инвариантах такой конечной системы подмногообразий совершенно не тривиален и интересен по многим соображениям как геометрического, так и линейно-алгебраического характера. Конечную систему аффинных линейных подмногообразий Lrаффинного пространства Т можно рассматривать как объект | Т; Li, L^j некоторой категории Подходы к изучению такой общей категории в настоящее время неизвестны. Категория Д^х изучению уже не поддается, так как сводится к задаче отыскания канонического вида пары линейных операторов в линейном пространстве, попытки решения которой пока считаются безуспешными. Единственной задачей, которая может иметь обозримое описание, является задача классификации четверок линейных подмногообразий в аффинном пространстве. Так, в статье И.М. Гельфанда и В.А. Пономарева "Четверки подпространств конечномерного векторного пространства" [16, 17] изучена одна полная подкатегория категории flfr , когда у всех подмногообразий существует общая точка и аффинное пространство Т можно рассматривать как векторное пространство, а все линейные подмногообразия L.£ считать его линейными подпространствами. В указанной работе полностью решен вопрос о нахождении инвариантов четверки подпространств векторного пространства без метрики. Вопрос об унитарных инвариантах пары подпространств евклидова пространства решен еще в последней четверти XIX века С, Ъг-dcLn, 'ом [22].

Предметом исследования настоящей диссертации являются следующие вопросы:

1. Постановка новой задачи о классификации произвольного семейства аффинных линейных подмногообразий аффинного пространства.

2. Нахождение инвариантов троек и четверок аффинных линейных подмногообразий частного вида в многомерном пространстве и использование их для исследования свойств этого пространства.

3. Применение для изучения свойств различных геометрических объектов в 1п-мерном пространстве аналитического аппарата графиков линейных операторов, предложенного й Ha£mos'>ем. Указанный аппарат дает возможность решения широкого класса задач, не поддающихся решению другими методами, которые могут составить основу для построения систематической теории координатной геометрии чет-номерного пространства.

На защиту выносятся следующие положения диссертации.

I. Пусть - категория с объектами T^-jl) , : Т - аффинное пространство над полем К; L[- его аффинные линейные подмногообразия. /Морфизмом У объекта Гг в объект называется такое аффинное отображение Ф: , что У* Li Q для всех i ; если при этом морфизм ^: Т'-^Т - такой, что и {P4J= Ij/ , то объекты Гг и Гг ''изоморфны/. В работе мы ограничиваемся лишь невырожденными объектами, или объектами общего положения /такими, что dj/riT-2ri,dlmL'L-ri и для всех 1Л dimLiOLi-OI, которые составляют полную подкатегорию

Gr С . Если, в частности, существует общая точка, принадлежащая всем L i , то аффинное пространство можно рассматривать как векторное пространство Р с нулем в этой точке, а линейные подмногообразия - как его линейные подпространства EL- , и тогда получим новую подкатегорию Crc flfr с объектами = {Р; Ег}.

Рассмотрим другуй категорию , объектами которой являются системы Ar~\Q -конечномерное векторное пространство размерности 2/7 над полем /С, Е^ - его п -мерные линейные подпространства, причем EiHEj-О Для всех паРнекото~ рое множество векторов в первом из подпространств. /Морфизмом V: Л^Л'г объекта Аг в объект /\/.=/Р; Ef'f.t Е'г\ ^называется такое линейное отображение что и •

Доказана

Теорема. Категории Qp. и эквивалентны.

2. В диссертации приведена классификация невырожденных объектов категорий С3 и Сц •

Теорема.

Всякая невырожденная тройка подпространств jP- Ef) £2) изоморфна канонической тройке М®0> 0©И, дщркТ}' гДе а всякая невырожденная четверка подпространств {Р • Efi., изоморфна канонической четверке jM®M; М®О,О®М,0юрА l)(jrrxpk^ где M-Ej, Д - линейный оператор в М такой, что Кег Й-О, кег (я-l) - О.

3. Найден новый удобный инвариант невырожденной четверки подпространств конечномерного векторного пространства, имеющих одинаковую размерность; он назван двойным отношением четверки подпространств и обобщает классическое понятие двоцного отношения четверки точек на проективной прямой.

Так как пару подпространств Е^ , Ej, в пространстве Р таких, что Eif)E;-0 и El+E;~P, можно задать при помощи оператора проеко я тирования А/ положив Ec-Jm Pcj и = то всякая невырожденная четверка подпространств {Pi —, Е^ однозначно определяет объект, состоящий из линейного пространствар и проекторов Р^ , Р^ в нем /к, t 6 {i,2,3,4}/ Доказана

Теорема.

Для того чтобы четверка Е19.,,Е^) была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы соответствующие различным парам подпространств Е[ , Ej 12 операторов проектирования Удовлетворяли соотношениям: IР,• + Д= I ; 2°. А; Q-ltO.

Ц /L Lr №

Сформулировано новое

Определение.

Двойным отношением невырожденной упорядоченной четверки подпространств , Ej, , Е ^ , Eg пространства р назовем линейный оператор

Е/ Ei

-- (V4)

-Jдействующий в Р , где Р^ и - пара проекторов в Р , определяемых данной четверкой.

Доказано, что двойное отношение четверки подпространств обладает свойствами, аналогичными свойствам двойного отношения четверки точек на проективной прямой, - это позволяет утверждать, что различным перестановкам индексов соответствуют шесть различных двойных отношений. Если одно из них обозначить через £) , то это множество состоит из следующих операторов: d, D-< (i-ьЛ (i-ГП (i-ъП (i-D)}.

Теорема. а/. Каждое из подпространств £ {•/, 2,3,4}/ инвариантно относительно любого двойного отношения

Г ес £j\

Ef В к. б/. Ограничения оператора на подпространства Е^ и подобны при любых d ,jS 6 2,3,4}'

Одной из важных теорем, доказанных в диссертации, является Теорема.

Пусть [M,/?j- пространство Л/ и линейный оператор й в нем, и |Р) - четверка, соответствующая объекту {Мтак,

ЧТО Р-М®М, Е1 =М®0 , Ег=0®М , Е3 = {<эс, эс> е М},

Я? 6 Л?}. Тогда двойное отношение

Е, t5

Ь h таково, что его ограничение на любое из подпространств ? ^ е . .,-4} есть оператор, подобный оператору й » т.е.

- ft ®й.

Г Ь Ез' и

Из этой теоремы следует, что двойное отношение является инвариантом невырожденной упорядоченной четверки. А именно: две четверки j и / Р''} . - эквивалентны тогда и тветствующие им двойные отношения подобны.

4. В диссертации изучаются семейства подпространств в евклидовом пространстве. Методика двойного отношения четверки подпространств позволяет усовершенствовать аналог угла между двумя-подпространствами в многомерном евклидовом пространстве, введенный Р, HcLtmOS' ем [45]. В настоящей диссертации найден более удобный вид для стационарных углов пары подпространств четномер-ного пространства /половинной размерности/.

Если рассматривать категорию с объектами в которых Т теперь - евклидово пространство, то морфизмом из Т,1 в ггЦт; L'r] называется изометрия U: при которой

UU с L'L /говорят, что I р, и j^Z изометричны, если существует изометрия V.-r — Г такая, что I/Ц - lj и uv= Ijt/.

Аналогично тому, как это сделано в аффинном случае, можно определить объекты Sr-{H; Erj: Н - конечномерное евклидово векторное пространство, Е[ - его подпространства. Считаем семейство подпространств -^Н > Е^,,} /гг} - общего положения, если любая пара Ei,Ejj из этого семейства - общего положения, т.е./по П.Халмошу [45]/:

ЕiiEj = ЕfnE. = EinEf = Etnsf ={0).

Задание пары подпространств в евклидовом пространстве Ef,E2} /общего положения/ эквивалентно заданию в нем пары ортогональных операторов проектирования Р и Q /JmP=Ei, JmQ-E2/, поэтому задать пару подпространств в евклидовом пространстве означает задать в нем невырожденную четверку: | Н Ei7 Ег> Е^ Инварианты такой четверки мы находим с помощью понятия введенного в диссертации понятия двойного отношения. Найдено, что всевозможные операторы двойного отношения указанной четверки исчерпываются следующим множеством: ^ ^ ^

Г с"2 -Т'2 -Т2 С \ с2> S , 5 ' ' ' ]> где £ = Р +Q-I , §=P-Q И б2=(1 + Т2)~\

§*=т2(1+т2у!

Теорема.

Пара подпространств общего положения в евклидовом пространстве { Н ^ } £2} разлагается в ортогональную сумму п двумерных объектов {Й1\Е1ЬЕ^ где EyL = Ej, П Hi. </ , L*{1, ./г}, dim Ejc - i.

Введено

Определение.

Углы вi между прямыми двумерных объектов [Hi, E^yE2i} называются стационарными углами между подпространствами

Ei и Е2 .

Доказано, что ограничение любого оператора двойного отношения данной пары подпространств Е1зЕ^ на каждое из двумерных подпространств Н[ есть оператор, кратный единичному оператору с коэффициентом Л , равным собственному значению , принадлежащему множеству: сoi'Gi, Щ , где Q-l - стационарные углы между подпространствами Е1 и Е2 •

5. Представление 2/1 -мерного аффинного /евклидова/ пространства в виде прямой суммы М®М двух экземпляров пространства М, элементами которого являются пары <Oci)Xty>, Х^М, оказывается весьма удобным для изучения в нем троек и четверок П -мерных подпространств. При этом подпространства М®0 и 0®М можно рассматривать как координатные плоскости /ортогональные в евклидовом случае/, а всякое аффинное линейное подмногообразие Li размерности Г1 , пересекающееся с 0®М по точке, определять графиком некоторого линейного оператора ff:M~^M так: L£ -CL + (^TCLph ft » гДе ~ точка /вектор/ пространства М®М,а graph Д = {<х,/]х>\хбМ}

В диссертации доказывается ряд теорем и выводится ряд формул, которые могут послужить основой для построения координатной теории геометрии четномерного пространства: а/. Найдено необходимое и достаточное условие инцидентности одной точке трех линейных подмногообразий аффинного пространства, изоморфного М<±>М . б/. Доказано, что ортогональным дополнением подпространства CjTCLph К в евклидовом пространстве М®М является подпространство fyr&ph. (~К*) 1 /* - символ сопряжения/. в/. Доказано, что для симметрии относительно подпространства Сргщ^, К и ег0 ортогонального дополнения (graph К) ±> необходимо и достаточно, чтобы оператор К был ортогональным. г/. Выведена формула расстояния от точки пространства М®М до заданного линейного подмногообразия. д/. Выведены формулы линейного и ортогонального преобразований векторного пространства, аффинного преобразования аффинного пространства, изометрии и подобного преобразования евклидова пространства, изоморфного прямой сумме /7©/7 . е/. Найдены формулы для линейного оператора, определяющего в евклидовом пространстве: I/ подпространства, относительно которых симнетричны друг другу два заданных подпространства общего положения; 2/ подпространства со свойством: каждая точка любого из них одинаково удалена от заданных. На основании сопоставления этих формул сформулировано

Определение.

Любое из подпространств, относительно которых симметричны два заданных подпространства, назовем гипербиссектрисой этих подпространств.

6. Особое место занимает в диссертации изучение категориии бтз с , объекты которой названы г и п е р - ' треугольниками. Если Т - аффинное пространство размерности 2fl , то гипертреугольник в нем есть не что иное, как тройка его аффинных линейных подмногообразий L1 , » размерности П , пересекающихся по точкам ^сли все три точки р. разлинны, то двумерный треугольник /^/^/з/ назван каркасом этого гипертреугольника.

Гипертреугольник в аффинном пространстве служит аналогом обычного треугольника на двумерной плоскости. Канонически гипертреугольник можно описать объектом: jM@M ; МФО, 0<ВМ}^ирк1;аеМУ

Теорема.

Любые два невырожденных гипертреугольника одинаковой размерности аффинно эквивалентны.

В работе получена формула, задающая все морфизмы одного из произвольно заданных гипертреугольников в другой.

Базисная характеристика гипертреугольника приводит к наглядному геометрическому факту: гипертреугольник в 2п -мерном аффинном пространстве распадается в прямую сумму одного невырожденного двумерного треугольника /каркас/ и /г-/ вырожденных, состоящих каждый из троек прямых, принадлежащих двумерным пучкам.

7. Исследуется подкатегория гипертреугольников с трансверса-лями. Так, объект Ц Lit.tL^ категории Q является гипертреугольником с одной трансверсалыо, если в гипертреугольнике Г^= линейное подмногообразие Lа /названное его трансвер-салью/ проходит через одну из вершин p'j-Li^Lj

Определение.

Трансверсаль гипертреугольника называется простой , если соответствующий ей оператор Д кратен единичному: й ~р I. Если у7 - - / , то трансверсаль называется медианой гипертреугольника.

Доказано, что три п -мерные медианы гипертреугольника всегда пересекаются в одной точке, которая принадлежит каркасу гипертреугольника. Эта точка названа центроидом .

Теорема.

Если задан аффинный объект, состоящий из гипертреугольника с несколькими простыми трансверсалями, то на него автоматически распространяются все теоремы двумерной аффинной геометрии.

8. Строится геометрия гипертреугольника в евклидовом пространстве, в котором он намного сложнее, чем в аффинном пространстве, и потому не может служить аналогом двумерного треугольника.

Показано, что произвольный гипертреугольник в евклидовом пространстве изометричен объекту: ; М®0, дшркТ, gmpfb К; Qefi} / Т ~ симметрический положительно определенный, f{ - произвольный невырожденный операторы в /. Такое задание гипертреугольника считается каноническим.

Естественным образом вводятся понятия /Ъ -мерной высоты и Гъ -мерного серединного перпендикуляра гипертреугольника.

В общем случае тройка высот и тройка серединных перпендикуляров гипертреугольника пересекается /каждая/ в трех точках / ТК * ~ КТ - необходимое и достаточное условие пересечения каждой из троек в одной точке/; полученные двумерные треугольники названы в диссертации высотным и серединным каркасами гипертреугольника. Доказано, что плоскости этих каркасов параллельны. В диссертации получен интересный результат, в определенном смысле напоминающий классическую теорему о прямой Эйлера.

Теорема.

Высотный и серединный каркасы невырожденного гипертреугольника гомотетичны с коэффициентом гомотетии, равным -2, и центром гомотетии, совпадающим с центроидом гипертреугольника.

Тройка попарно различных прямых, проходящих через соответствующие вершины высотного и серединного каркасов гипертреугольника и имеющих общую точку, определяет в 2.Г1- мерном евклидовом пространстве некоторое трехмерное линейное подмногообразие, названное эйлеровым подмногообразием гипертреугольника.

Содержание диссертации опубликовано в работах [24, 25, 31 -34].

Результаты диссертации докладывались на геометрических семинарах в МГПИ им. В. И. Ленина /1973 - 75 гг/, в Ярославском госпединституте /1974 - 76 гг/, в Воронежском госуниверситете /1977 - 81 гг/, в Казанском госуниверситете /1979 г/, в Ленинградском госпединституте /1980 г/, на научных семинарах Воронежского госпединститута.

1. А р т и н Э. Геометрическая алгебра. - М.: Наука, 1969. -283 с.

2. Атанасян Л. С. Основы многомерной геометрии: Учебное пособие для студ. физ.- мат. ф-тов педин-тов. М.: МГПИ им. В. И. Ленина, 1963. - 272 с.

3. Б а с с X. Алгебраическая К теория. - М.: Мир, 1973. -591 с.

4. Бернштейн И. П., Гельфанд И. М., Пономарев В. А. Функторы Кокстера и теорема Габриэля. -Успехи матем. наук, 1973, т. 28, № 2, с. 19 35.5 .BLeSerSach L. ftnafytische Geometric, Leipzig^ъеНОп, mo.

5. Ывбегбйск L. Projektfre Geometry. -Leipzig,Berlin, 1930.

6. Btrkhoff G. and MctcZane S. Й Survey of MocUrn ~ New York, 1948.

7. В / a s с h ke W. Phojtktci/e G&rnetrie. Wogfen-buttel,

8. Б у к у p И. и Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. М.: Мир, 1972. - 259 с.Ю.Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра. М.: Физматгиз, 1962. - 516 с.

9. Б э р Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. М.: Изд. иностр. лит., 1955. - 400 с.

10. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. 3-е изд. - М.: Наука, 1967. - 575 с.

11. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. 4-еизд., доп. М.: Наука, 1971. - 271 с.

12. Гельфанд И. М. и Пономарев В. А. Неразложимые представления группы Лоренца. Успехи матем. наук, 1968, т. 23, вып. 2, с. 3 - 60.

13. Гельфанд И. М., Пономарев В. А. Замечания о классификации пары коммутирующих линейных преобразований в конечномерном пространстве. Функцион. анализ и его приложения, 1969, т. 3, вып. 4, с. 81 - 82.

14. G elf and J. И., ро п о mare i/of {ineat- aCgeSra and clccssifccatwn of cpaadrup oj- sudspam in a finite, -dimensional vecfor- space. -Coifotpuia. Mathematica Somtatu Уагих Bofycu, 5 fti£8er£ spaa operutirs, Tikan^ (Hungary), 1970.-p. 163-zb?.

15. Гельфанд И. M., Пономарев В. А. Четверки подпространств конечномерного векторного пространства. -Докл. АН СССР, 1971, т. 197, № 7, с. 762 765.

16. Г р о т е н д и к А. 0 некоторых вопросах гомологической алгебры. М.: Изд. иностр. лит., 1961. - 175 с.

17. Гуревич Г. Б. Основы теории алгебраических инвариантов. М.-Л.: Гостехиздат, 1948, 408 с.

18. Добровольская Н. М. и Пономарев В. А. Пара встречных операторов. Успехи матем. наук, 1965, т. 20, вып. 6, с. 81 - 86.

19. Дьедонне Ш. Линейная алгебра и элементарная геометрия. М.: Наука, 1972. - 335 с.2Z. J о г d & п- С. Essai sat- а „п"cLLmxnscorur. butt. Sac. Math. ok France , t. 3 . flnn&e, 1874 - p,, 103 - .

20. Калужнин Л. А., Хавиди X. Геометрическаятеория унитарной эквивалентности матриц. Докд. АН СССР,1966, т. 169, № 5, с. 1009 1012.

21. К а п л е н к о Э. Ф. К вопросу о тройках и четверках подпространств конечномерного векторного пространства. -Современная геометрия. Межвузовский сборник науч. трудов. Л.: ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1981, вып. 10, с. 70 77.

22. Капленко Э. Ф., Пономарев В. А. Двойное отношение четверки подпространств. Функцион. анализ и его приложения, 1981, т. 15, вып. I, с. 76 - 77.

23. К a to Т. Notes on, pjrojections and pertur£atL0/i ±НлОгу. Technical Report. No 9. Unci/. СаЩ.3 195$.

24. Мальцев А. И. Основы линейной алгебрв. М.: Наука, 1975. - 400 с.

25. М а н и н Ю. И. Лекции по алгебраической геометрии. Ч. I. Аффинные схемы. М.: Изд. Моск. ун-та, 1970. -133 с.

26. Реуцкая Э. Ф. Инвариантное определение графиков симметрических и кососимметрических операторов. Геометрия однородных пространств. Сборник трудов. М.: МГПИ им. В. И. Ленина, 1973. - с. 133 - 137.

27. Реуцкая Э. Ф. Некоторые метрические задачи геометрии гипертреугольника. Геометрия однородных пространств. Сборник трудов. М.: №ПИ им. В. И. Ленина, 1973.с. 126 138.

28. Реуцкая Э. Ф. Обобщение некоторых аффинных теорем планиметрии на многомерное пространство. Воронеж, 1975. -18 с. - Рукопись представлена Воронежским госпедин-том. Деп. в ВИНИТИ 21 февраля 1975, № 1940 - 75.

29. Реуцкая Э. Ф. "Прямая" Эйлера в многомерном евклидовом пространстве. Воронеж, 1975. - 6 с. - Рукопись представлена Воронежским госпедин-том. Деп. в ВИНИТИ21 февраля 1975, № 1941 75.

30. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. -М.: Наука, 1966. 647 с.

31. Розенфельд Б. А. Неевклидовы геометрии. М.: Наука, 1969. - 547 с.

32. S е у ге В. Letioni dl yeomdHa moctema.- Fonda-mitbbu dj£ cfeometria sopra un corpo cfucrfsiasi. Bofoyna, i94Q.

33. Скопец P. 3. Отображение четырехмерного аффинного пространства на аффинную плоскость. Вопросы геометрии и ее преподавания. Уч. зап. ЯГПИ, вып. 92, Ярославль, 1971.

34. Скопец Р. 3. Отображение шестимерного аффинного пространства на аффинную З-шюскость. Геометрия и топология. Межвузовский тематич. науч. сборник, вып. I. JI.: ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1974, с. 126 - 131.

35. Скопец Р. 3. Построение плоской модели пятимерного проективного пространства посредством многообразия Сегре. Геометрия и топология. Межвуз. тематич, науч. сб., вып. I. Л.: ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1974, с. 132 - 137.

36. X а в и д и X. М. Взаимное расположение подпространствв конечномерном унитарном пространстве. Укр. матем. журнал, 1966, вып. 18, № 6, с. 130 - 134.

37. На&поз P. Finite dimensional vector spaces. - Дпп. Math. Studies, 7. Princeton, 194-0.

38. И а i т о s P. Jrdrodudwn to Hi^ert $рас£. -л4?и/ York, 1951.

39. X а л м а ш П. P. Конечномерные векторные пространства.М.: Физматгиз, 1963, 262 с.

40. Н & £ гп о s P. Two sufapac&i. Tram, timer. Mdk.1969, v. 144, p- 381-389.

41. H a £ rn о s P,: FcrLite-climensLonctf Hi&ert spaces.-fl/мг. Math' Mori., 1Q7D> 77, $> p. 457-464-.

42. H e / / t er L. und Ко fer C. LeArguc/i der anafyUtcAen Geormtrie. ~ 3d. 1-2. far&ruht, Leipzig^ Ш9,

43. X о д ж В. и П и до Д. Методы алгебраической геометрии. Т. I. М.: Изд. иностр. лит., 1954. - 462 с.

44. X о л л М. Теория групп. М.: Изд. иностр. лит., 1962. -468 с.

45. Шилов Г. Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства: Учеб. повобие для ун-тов. М.: Наука, 1969. - 432 с.

46. Широков П. А. Тензорное исчисление. 2-е изд. -Казань, Изд. Казанск. ун-та, 1962. - 447 с.

47. Шрейер 0. и Шпернер Е. Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении. Т. I. - M.-JI.: Гостехиздат, 1934.53 .Schreier 0. und S р е г п е г Е. Einfilkrung, in die am^Usche Geometnk, und flf-gtfaa. Bd.1.2. Leipzig, Ber&n, 1QS1