Минимальные лагранжевы подмногообразия в проективных комплексных пространствах в терминах функции Бейкера-Ахиезера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Рыбников Иван Павлович ^ ''

Минимальные лагранжевы подмногообразия в проективных комплексных пространствах в терминах функции Бейкера—Ахиезера

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 9 МАЙ 2011

Новосибирск — 2011

4846735

Работа выполнена на кафедре геометрии и топологии Механико-математического факультета Новосибирского государственного университета

Научные руководители: чл.-корр. РАН, д. ф.-м. н.,

профессор Тайманов Искандер Асанович,

д. ф.-м. н. Миронов Андрей Евгеньевич

Официальные оппоненты: д. ф.-м. н., профессор

Дубровский Владислав Георгиевич,

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет

Защита состоится 9 июня 2011г. в 16:00 на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 28 апреля 2011 года.

д. ф.-м. н., профессор Царёв Сергей Петрович

Ученый секретарь диссертационного совета

Гутман А.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы.

Минимальные лагранжевы подмногооразия интересны как с точки зрения интегрируемых систем, так и с точки зрения их приложений к теории струн, точнее к зеркальной симметрии. В математическом описании зеркальной симметрии, предложенном в [1], минимальные лагранжевы подмногообразия играют важную роль. В 8У2-теории зеркальная симметрия между многообразиями Калаби — Яо Ь\ и ¿2 объясняется в терминах двойственных трехмерных минимальных лагранжевых подмногообразий. Для СР2 теория минимальных лагранжевых торов хорошо изучена. Первые явные примеры таких торов получены в [2]. Конформная метрика (¿з1 = 2е"3йг(1г) минимального лагранжева тора в СР2 удовлетворяет уравнению Цицейки:

юг2 = е~2ш - ет

В [3] найдены квазипериодические решения этого уравнения и фактически формулы, полученные в этой работе, пригодны для построения всех минимальных лагранжевых торов [4],[5]. В [6] найдены минимальные лагранжевы конусы в С3, инвариантные относительно действия и(1) (это эквивалентно построению поверхностей в СР2).

В больших размерностях теория минимальных лагранжевых подмногообразий менее развита. Такие подмногообразия описываются сложной системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и большинство методов построения частных решений это редукция к ОДУ. Также в работе предложен метод построения криволинейных ортогональных систем координат в пространствах постоянной кривизны К ф 0 в терминах п — точечной функции Бейкера-Ахиезера. Метрики постоянной кривизны появляются в описании нелокальных гамильтоновых операторов гидродинамического типа (см. [7], где условие постоянства кривизны метрики является необходимым, для того чтобы скобка Пуассона была кососимметрической и удовлетворяла тождеству Якоби). Нелокальные скобки Пуассона гидродинамического типа, порождаемые метриками постоянной кривизны (скобки Мохова — Ферапонтова), играют важную роль в теории систем гидродинамического типа. Задача описания согласованных скобок Мохова — Ферапонтова эквивалентна задаче описания пучков метрик постоянной кривизны.

з

Цель работы.

1. Найти минимальные лагранжевы подмногообразия в проективных комплексных пространствах произвольной размерности.

2. Получить метод построения криволинейных ортогональных систем координат в пространствах с постоянной кривизной.

Методы исследований.

Доказательства основных теорем основаны на свойствах лагранжевых подмногообразий в СР" и методах конечнозонного интегрирования. Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.

1. Предложен подход к построению минимальных лагранжевых подмногообразий в комплексных пространствах произвольной размерности. Этот метод позволяет находить решения уравнений в частных производных, описывающих минимальные лагранжевы подмногообразия, без редуцирования к ОДУ. Решения этих уравнений строятся с помощью модифицированной конструкции Кричевера построения плоских криволинейных ортогональных систем координат [8]. Также в работе выписаны явные формулы для минимальных лагранжевых погружений Е" —> СР" в случае гиперэллиптической спектральной кривой.

2. Предложен метод построения криволинейных ортогональных систем координат в пространствах с постоянной кривизной. Этот метод основан на модификации конструкции Кричевера построения криволинейных ортогональных систем координат в К".

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в дифференциальной геометрии, в теории систем гидродинамического типа, специалистами по минимальным лагранжевым многообразиям.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН:

-дважды на семинаре «Геометрия, топология и их приложения» (руководитель чл.-корр. РАН И. А. Тайманов),

-на семинаре отдела анализа и геометрии (руководитель академик РАН Ю. Г. Решетняк).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата [12,13,14]. Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 30 наименований. Общий объем диссертации составляет 62 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описываются основные результаты диссертации и дается краткий обзор по теме диссертации.

В первой главе излагается метод построения минимальных лагранжевых подмногообразий в CP" с диагональной метрикой. В §1.1 объясняется почему лагранжевы подмногообразия в CP" можно искать в виде

% о ip : R" CP",

где

<р = (<р\ . . . , ipn+l) : R" -> S2n+1 с С"+\

Н — проекция Хопфа. Причем ip должно удовлетворять следующим уравнениям:

< If, tpXl >= • • • < tp, ipXn >=< <pXi, ч>х. >=0, {ф j, (1)

где <•,•>— эрмитово скалярное произведение в С"+1, < •, • >= (•, •) — здесь (•, •) — евклидово скалярное произведение в C"+1, cj(-, •) — симплектическая форма в С"+1. В §1.2 показывается, что если для функции

(р из параграфа 1.1 будет выполнено условие

det =const> (2)

где

I^J2 = 2е*'Ч..., |ч>Хп\2 = г = (хи..., *„),

то отображение Hip : R" —> CP" минимально. В §1.3 находятся дополнительные ограничения на функцию ip, чтобы условия (2) были выполнены. Эти условия состоят в следующем:

1т(1и + -"+ГЪ) = 0, i = l,...,n, (3)

где 1т — обозначение мнимой части, Г^ определяются из следующих разложений:

Ч>Х1Х} = Г^ц + - + Ц<рхп + Ь^, г, 3 = 1,..., п.

В §1.4 напоминается определение функции Бейкера — Ахиезера, поскольку в ее терминах будут находиться решения системы (1). В §1.5 найдены ограничения на спектральные данные функции Бейкера — Ахиезера ■ф, чтобы отображение <р = а^ф, где «{— некоторые константы, удовлетворяло системе (1) и было выполнено <ц>,ц> >= 1. В §1.6 найдены дополнительные ограничения на спектральные данные функциии </з, чтобы условия (3) были выполнены. Основным результаты этого параграфа является теорема: Теорема 2. Пусть спектральная кривая Г имеет антиголоморфную инволюцию

/х: Г Г

с фиксированными точками С} 1,..., Р1, ■■■, Рп и мероморфной 1-фор-

мой со следующими дивизорами нулей и полюсов:

{П)0 = 1 + ^ + Р1 + ... + Рп,

{П)оо = <Э1 + - + <2п+1 + Г, и пусть > 0. Тогда Нор задает лагранжевое отображение К" в

СР".

Если кроме того существует голоморфная инволюция

а : Г -4 Г,

такая, что

Ф) = аЬ)> т(г) = г, й € К и форма П имеет следующие разложения в окрестностях Р{

П = (с^! + (¿1Ю13 + ...)йги1, т1 = т",

(4)

П = (спги„ + ¿пЮп + ...)йтп, ып =

кп

то отображение минимально.

В §1.7 с помощью основной теоремы из §1.6 получены формулы для минимальных лагранжевых погружений в случае гиперэллиптической спектральной

кривой. Эти погружения задаются в терминах тэта — функций многообразия Якоби. Основным результатом параграфа является теорема: Теорема 3. Пусть спектральная кривая Г задается уравнением

w2 = P{z) = (z - zi)...(z - z2g+2), Zi S M, (5)

тогда отображение Я о (¡р\ ..., ip2s+2) : R2s+1 -> CP2fl+1 Qi

в(/U) + Xif/2 + ... + X2g+lU2g+2 + KJ /Л» = a—-_ei(l1.....l2»+l) (61

лагранжево и минимально, где Ai — некоторые константы (см. (6)), 9{z) — тэта функция Римана поверхности Г, и = (wi,..., u)g) — базис голоморфных дифференциалов на Г, Qi — некоторые точки на Г (см. теорему 2), Qj — мероморфные дифференциалы на Г с полюсами второго порядка

в (zj, 0), j — 2,... ,2g + 2, и нулевыми а-циклами. U3 — b-периоды Qj,

Qi Qi

L(xi,...,x2g+i) = 2тTixifQ.2 + ... + 2mx2g+i f ^2g+2, r = (^,0), K7 =

г г

71 Ъ

К — f и — ■ ■ • — f и, где К — вектор римановых констант, 7; — точки

г г

дивизора 7 (см. теорему 2).

В случае эллиптической спектральной кривой в этом параграфе найдены условия периодичности получаемых отображений.

В §1.8 строятся примеры минимальных лагранжевых подмногообразий в СР3 в вырожденном случае, когда спектральная кривая является приводимой и каждая неприводимая компонента изоморфна СР1. В этом случае функция Бейкера — Ахиезера выражается через элементарные функции. В §1.8 мы следуем методам работы [9]. Приведем пример одного из построенных подмногообразий. Это подмногообразие задается формулами:

=(à+¿) é~ïi(№z) ((з ■4i)e2ix+ei{iy+z)) ' = (è - Ть) \/|e4,(6l+5(6ï+z)) (e2ix + (3 + W{4y+Z)) ,

ip3 = —((1 + 2i)e2ix + (3 + 6î)e2i(l+y+2)+ +(1 - 2i)e3i(-2y+z) + (3 - 6i)ei(4î/+2)) ,

щ = ((-2 + г)е2{х + (6 - 31)е2«х+^ -

-(2 + г)е3^+2) + (6 + Зг)е,(4г'+г)) . Лагранжев угол и индуцированная метрика имеют вид

е* = -г,

¿в2 = <1х2 + 1 (2 соз(х - 2у - §) + ят( х -2 у- § ))2 йу2+

(соз(х -2у-\)~ 2зт(х -2 у- §))2 йг2. Секционная кривизна полученного подмногообразия тождественно равна 1, вторая фундаментальная форма равна 0, т.е. погружение вполне геодезическое. Следовательно, построенное подмногообразие — КР3. Вторая глава посвящена криволинейным ортогональным системам координат в пространствах постоянной кривизны К ^ 0. В этой главе предложен метод построения таких систем координат в терминах п — точечной функции Бейкера — Ахиезера. Диагональной метрике

й82 = Н2{йщ)2 + --- + Н2Мип)\

где Н^щ,..., ип) — коэффициенты Ламе, постоянной кривизны К отвечает решение следующей системы

= (7)

дфц + дфц + £ = -КЩНЬ (8)

д Н ■

где, /Зу = -^Д, г ф В данной работе с помощью модифицированной конструкции Кричевера построения криволинейных ортогональных систем координат в К" [8] находятся/решения систем уравнений (7), (8). В §2.1 напоминается конструкция Кричевера построения криволинейных ортогональных систем координат в К". В §2.2 указывается модификация этой конструкции, сформулированная в следующей теореме: Теорема 4. Предположим, что существует 1-форма П, такая что

{П) = В + аО + Р-(Э1-----<2п+1 — Д — СП-----аП.

Будем использовать следующие обозначения. Пусть А{ = Яев^П, В = ReSj.il, и С; определяется из разложения (—С^А;,-1 +...) йк^1 формы Г2 в окрестности точки Pi, г = 1... п. Пусть К = 1р(г) — константа

нормировки функции Бейкера — Ахиезера ■ф в точке г, и /¿(щ,..., ип), ] = 1,..., п определяется как первый коэффициент разложения в окрестности точки Р, функции е~и'к',ф = ^ + ^ + ...Тогда имеют место следующие соотношения:

п+1

^Ш2Ак + Ь?В = 0, (9)

к=1

п+1

^^чШФцШАк = 1,3 = 1.(10) А:=1

п+1

= = (11)

к=1

Функции "ф{и\, • • •! ип, Я 1)11 = 1, •.., п + 1 зависящие от п вещественных переменных щ}..., ип, вообще говоря, комплексные. Для того чтобы получить вещественность этих функций, будем требовать выполнения условий, сформулированных в следующей лемме:

Лемма 5. Пусть существует антиголоморфная инволюция т, такая что точки дивизоров Р,Ю,Я и точки <5ь..., <2п+1 неподвижны относительно т, причем в окрестности точек Р, инволюция т действует как тк{ = к{. Тогда функции "ф{и 1,..., и„, (?{), г = 1,..., п + 1 вещественны. Для функции Бейкера — Ахиезера, чьи спектральные данные удовлетворяют Лемме 5, можно сформулировать следующие следствия Теоремы 4: Следствие 4. Предположим, что Д вещественные, такие что Д > 0 для всех г = 1... п + 1, и Ы?В = —1, тогда функции

хг(иъ ...,ип) = \/Д V ("ь ■ ■ ■, ип, <?{), г = 1,..., п

задают ортогональные координаты в 5". При этом коэффициенты Ламе II{ = \fJfCi удовлетворяют системе (7-),(ё) пРи К = 1. При рассмотрении ортогональных систем координат в гиперболическом пространстве мы будем использовать стандартную модель на гиперболоиде, т.е. будем рассматривать Я" как компоненту связности гиперболоида

(х1)2 - (х2)2-----(я"+1)2 = 1

в пространстве Минковского К1'".

Следствие 5. Предположим, что Ai вещественные, такие что Д < 0, г = 2,..., п + 1, А\ > 0 и И2В = —1, тогда функции.

¿(и1, ...,0 = у/Щ-ф (и1, ....и", (?<) ,г = 1,... ,п + 1

задают ортогональную системы координат в Нп. При этом коэффициенты Ламе Н^ = \f~SiCi удовлетворяют системе (?■),(&) при К = — 1. В §2.3 с помощью Теоремы 4 строится пример криволинейных ортогональных систем координат на 52:

Х2(и,ь) = ¿[(3 + л/з)со8(^ + V) + 3(-1 + ч/3)соз(^ - у) - 3(1 + \/3) + V) + (-3 + л/5) - V)},

Х3(и,у) = ¿[3(1+ч/3)соз(^+т;)+(-3+ч/3)со8(^-^)+(3+ч/3)8т(^+ Индуцированная метрика имеет вид

Координатные линии этой системы изображены на рис.1. Отметим, что при фиксированном V, координатные линии являются окружностями радиуса 1, но в отличии от обычной сферической системы координат, эти окружности не имеют общих точек в северном и южном полюсах.

Рис. 1

ю

Также в этом параграфе построены криволинейные ортогональные системы

координат на Я2:

v) = + (2 +

x2(u,v) = 3^y((-2e-u-v+(6+4V3)eu+")cosü-2(^/3e-u-''+(2+V3)eu+'')x х sin v),

хз(и, v) = + + (5 + 3v/3)e"+") cos v + ((-1 - v^e"""" +

(9 + 5\/3)еи+и) sin v).

В координатах и и v метрика на Н2 имеет вид:

^ 52 + 30л/3 J

Координатные линии этой системы координат изображены на рис. 2.

Рис. 2

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность А.Е. Миронову за постановку задачи и внимание к работе, И. А. Тайманову за внимание к работе и поддержку, а также всему коллективу кафедры геометрии и топологии Новосибирского государственного университета за доброжелательную атмосферу.

Литература

[1] Strominger A., Yau S.-T., Za-slow E. Mirrow Symetry is T-duality // Nucl. Phys. 1996. V. B479. P. 243-259.

[2] Castro I., Urbano F. New examples of minimal Lagrangian tori in the complex projective plane // Manuscr. Math. 1994. V. 85, N 3-4. P. 265281.

[3] Шарипов P.А. Минимальные торы в пятимерной сфере // Теор. и матем. физика. 1991. Т. 87, № 1. С. 48-56.

[4] Hui Ma, Yujie Ma Totally Real Minimal Tori in CP2 // Math. Z. 2005 V. 249, N 2. P. 241-267.

[5] Carberry E., Mcintosh I. Minimal Lagrangian 2-tori in CP2 come in real families of every dimention //J. London Math. Soc. 2004. V. 69. P. 531544.

[6] Haskins M. Special Lagrangian Cones // American Journal of Mathematics. Vol. 2004. V. 126, N 4. P. 845-871.

[7] Мохов О.И., Ферапонтов E.B. О нелокальных гамильтоновых операторах гидродинамического типа, связанных с метриками постоянной кривизны // Успехи Мат. Наук. 1990. Т. 45, № 3(273). С. 191-192.

[8] Кричевер И.М. Алгебро-геометрические n-ортогональные криволинейные системы координат и решения уравнений ассоциативности // Функц. Анал. и его прил. 1997. V. 31, № 1. С. 32-50.

[9] Миронов А.Е., Тайманов И. А. Ортогональные криволинейные системы координат, отвечающие сингулярным спектральным кривым // Тр. МИАН. 2006. Т. 255. С. 180-196.

Работы автора по теме диссертации

[10] Рыбников И.П. Минимальные лагранжевы помногообразия в СР" с диагональной метрикой // Сиб. мат. журнал. 2011. Т. 52, № 1. С. 133— 142.

[И] Рыбников И.П. Минимальные лагранжевы подмногообразия в СРП в терминах функций Бейкера-Ахиезера спектральных кривых // Матем. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, № 2. С. 98-108.

[12] Бердинский Д.А., Рыбников И.П. Об ортогональных криволинейных системах координат в пространствах постоянной кривизны // Сиб. мат. журнал. 2011. Т. 52, № 3. С. 502-511.

В работе [12] вклад авторов равноценный.

Рыбников Иван Павлович

Минимальные лагранжевы подмногообразия в проективных комплексных пространствах в терминах функции Бейкера-Ахиезера

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 26.04.2011. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 0,7 Печать RISO.

Тираж 50 экз. Заказ №336

Отпечатано в центре оперативной печати ООО «АртЛайн», 633005, г. Новосибирск, ул. Ломоносова, 57

Введение

1 Минимальные лагранжевы подмногообразия с диагональной метрикой в СРП

1.1 Уравнения лагранжевых подмногообразий в СРП.

1.2 Лагранжев угол лагранжева подмногообразия.

1.3 Критерий минимальности погружений в СРП.

1.4 Функция Бейкера-Ахиезера.

1.5 Лагранжевы подмногообразия в СР".

1.6 Минимальные лагранжевы погружения.

1.7 Формулы для минимальных лагранжевых погружений в случае гиперэллиптической спектральной кривой.

1.8 Примеры минимальных лагранжевых погружений, соответствующих сингулярным спектральным кривым

2 Криволинейные ортогональные системы координат В|?"и Нп

2.1 Конструкция Кричевера построения криволинейных ортогональных координат в Мп

2.2 Модификация конструкции Кричевера.

2.3 Ортогональные координаты на пространствах постоянной кривизны, отвечающие сингулярным кривыми. Примеры.

Подмногообразие в СР™ вещественной размерности п называется лаг-ранжевым, если на нем зануляется симлектическая форма Фубини-Шту-ди. Подмногообазие минимально, если его вектор средней кривизны тождественно равен нулю.

Минимальные лагранжевы подмногообразия интересны как с точки зрения интегрируемых систем, так и с точки зрения их приложений в аналитической механике (см. [1]). Так же такие подмногообразия играют важную роль в теории струн, точнее в их приложениях к зеркальной симметрии. В математическом описании зеркальной симметрии, предложенном в [2], зеркальная симметрия между многообразиями Калаби-Яо Ьг и Ь2 объясняется в терминах двойственных трехмерных минимальных лагранжевых торов и некоторых трехмерных сингулярных лагранжевых подмногообразий.

Для СР2 теория минимальных лагранжевых торов хорошо изучена. Первые явные примеры таких торов получены Кастро и Урбано в [3]. Торы, построенные в [3], обладают свойством, инвариантности относительно действия некоторой однопарамметрической группы изометрий СР2. Это условие для минимального лагранжева подмногообразия позволяет в окрестности каждой точки ввести конформный параметр г = х 4- гу так, что индуцированная метрика д имеет вид д = еи^хЫг(1г. Известно, что функция и должна удовлетворять уравнению Цицейки, но поскольку и зависит от одной переменной, это уравнение переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение ихх + е2и - е~Ли = 0. (1)

Решения уравнения (1) известны, они выражаются в эллиптических функциях. В [3] из этих решений выбираюся двоякопериодические, и по этим решениям строятся торы.

В [4] Хаскинс строит примеры минимальных лагранжевых конусов в С3, инвариантных относительно действия 1/(1). Задача построения таких конусов и минимальных лагранжевых подмногообразий эквивалентны (см. параграф 1.1). Конусы в [4] определяются следующим образом. Для любого компактного связного ориентированного подмногообразия Е в 52п1 определим конус С(Е) С С":

С(Е) = {Ьх : * 6 К ^ 0, х е £}•

Причем С(£) является минимальным лагранжевым конусом тогда и только тогда, когда Е — минимальной лагранжево подмногообразия в б*2"-1. Основным результатом этой статьи является построение двупараметрического семейства минимальных лежандровых отображений и : К2 —>• 55, и нахождение условий двоякопериодичности таких отображений. То есть построено семейство таких минимальных лагранжевых торов, что их пересечение с в5 являются торами. Ключом к такому построению служит тот факт, что конформное гармоническое отображение является минимальным, а также связь между 5"1 — инвариантными гармоническими отображениями и : К2 —>• и полность интегрируемой системой Неймана, описывающей движение на сфере под действием квадратичного потенциала. Действительно, гармоническое отображение и : М2 —> должно удовлетворять следующему уравнению

А и = -(и,Ди)и. (2)

Из инвариантности и относительно действия З1 следует, что и имеет вид:

3) где А € зо(6), г : К. —> 55. Для (3) условие (2) переписывается в следующем виде: + |2К (4)

Уравнение (4) описывает движение посфере под действием потенциала \Аг\2, то есть являются системой Неймана, решения которой известны. Для построения искомых минимальных лежандровых торов остается выбрать такие решения этой системы, чтобы были выполнены условие конформности и лежандровости отображения и:

Ы - Ы = о, (иа,щ) = О, и(и, иа) — и; (г, Аг) = 0, ш(и, щ) — ш(г, = 0.

Такие решения найдены в [4], в том числе и двоякопериодические.

Отметим, что большинство методов построения минимальных лагранжевых подмногообразий в СР2 это наложение дополнительных ограничений на эти подмногообразия, чтобы нелинейные дифференциальные уравнения, их описывающие, сводились к ОДУ.

Как уже отмечалось, конформная метрика (с^2 = 2еи>йгйг) минимального лагранжева тора в СР2 удовлетворяет уравнению Цицейки: ч,г-г = е~ъ" - еш

В [5] Шариповым найдены квазипериодические решения этого уравнения и фактически формулы, полученные в этой работе, пригодны для построения всех минимальных лагранжевых торов (см. [6],[7]).

Отметим также работу [8]. В этой работе решения уравнений, описывающих минимальные лагранжевы подмногообразия в СР2, решаются без сведения к ОДУ, методом конечнозонного интегрирования. В этой работе построен конкретный пример минимальной лагранжевой сферы в СР2.

В больших размерностях теория минимальных лагранжевых подмногообразий менее развита. Такие подмногообразия описываются сложной системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и большинство методов построения частных решений — это редукция к ОДУ. В [9] Миронов находит семейство конформно плоских минимальных лагранжевых торов в СР3. Искомые многообразия М ищются как композиция р = Чг : М3 57 СР3, 6 аналогом уравнения Цицейки служит уравнение v\zf + e2v^ + ф"01'« - 2(с? + 4) = О, хде с1,сг,сз — некоторые константы. Это уравнение уравнение интегрируется с помощью абелева интеграла на гиперэллиптической кривой рода 2. Искомое минимальное конформно плоское лагранжево отображение имеет вид r р^ег(а2х+/32У) p^g-i((ai+a2)a:+(/3i+/32)y) р^)) где cti,«2,/^i,(З2 — некоторые константы, P(z), Pi(z) — некоторые функции от v(z) (см.[9]). Далее, чтобы получить минимальные лагранжевы торы, в [9] найдены условия, при которых данное отображение периодично по x,y,z.

В [10] Джойс строит минимальные лагранжевы конусы в Ст, инвариантные относительно действия группы G = U(l)m~2. Основным инструментом построения таких конусов служат отображения моментов (moment maps). Интерес к таким отображениям вызван тем, что лагранжевы подмногообразия в Сш, инвариантные относительно действия любой подгруппы U(m) х С771, где Ст — группа трансляций, лежат в множествах уровней отображений моментов. В [10] показано, что минимальный лагранжев конус в Ст, инвариантный относительно действия группы U(l)m~2 может быть задан в виде reiai у/alU(t) + 1,., reia™^/amu(t) + 1 : г > 0, t е (-6, с) cxj е М, ai Н-----h ат — Q(t), aiai Н-----Н amam = ip(t)}, где и(£), 0(£),-0(£) : (—6, б) —> К — дифференцируемые функции, удовлетворяющие ОДУ (см.[10]).

Исключением является работа [11], где по пересечению вещественных квадрик в евклидовом пространстве строятся минимальные и ^-минимальные лагранжевые подмногообразия в С" и СРП. Погружения строятся для подмногообразий следующего вида

М1=Мк х Тп~к/Щ~к, где Мк — /с-мерное многообразие, заданное в Мп системой уравнений : -I-----Н еп^а2п — ^ ] = 1,., п — к, ^ € К, е^ £ Ъ. грп-к ^ мерный тор, группа действует свободно на

Мк х Тп~к. Если Мк является конусом с вершиной в 0 Е С", то эта эта конструкция дает минимальные и гамильтоново-минимальные подмногообразия в СРП1 для этого нужно взять пересечение образа М\ с единичной сферой , а затем применить проекцию расслоения Хопфа. Таким способом можно получить погружения и вложения таких подмногообразий как п-мерная бутылка Клейна К", Кп~г х б11, Зп~2 х 52, 51"-1 х 5"1 и так далее. Отображение многообразия М\ имеет следующий вид: где /¿(х-) — набор вещественных функций, задающих карту на Мк, у Е

Также в данной работе излагается метод построения криволинейных ортогональных координат в пространствах с постоянной кривизной.

Напомним некоторые результаты из классической задачи об ортогональных криволинейных системах координат в К" (К = 0). Пусть в ортогональной системе координат щ,. ,ип метрика имеет вид йз2 = Н2(йщ)2 + ■ ■ ■ + Н2{<1ип)2, где //г ('//],., ип) — коэффициенты Ламе. Тогда метрика будет плоской, если и только если выполнено дк/Зц = РхкРкзЛ фзфк, (5) дгРг] + Эфц + ^ РтшРт] = 0, (6) где — коэффициенты вращения = ,г фу.

Решение системы (6),(7) с применением методов теории солитонов предложено Захаровым в [12]. Уравнение (6) имеет вид абстрактной задачи п волн. К системе (6) в [12] применена процедура одевания и указана дифференциальная редукция, позволяющая находить решение всей системы (6),(7). Процедура интегрирования методом обратной задачи рассеяния уравнений, описывающих ортогональные системы координат в пространствах диагональной кривизны (пространства постоянной кривизны являются пространствами диагональной кривизны), описана Захаровым в [13].

Метод конечнозонного интегрирования к задаче построения криволинейных ортогональных систем координат в Мп применен Кричевером в [14]. В конструкции Кричевера координатные функции х^щ,. ,ип), ] = 1,., п выписываются в явном виде как где О, — точки римановой поверхности Г, и ~ф(щ,. ,ип,г), где г € Г, является п-точечной функцией Бейкера-Ахиезера.

Связь плоских диагональных метрик с интегрируемыми системами гидродинамического типа [15] была открыта Царевым [16] в 1984 году, что возобновило интерес к классической задаче описания ортогональных криволинейных систем координат в плоском пространстве и ее приложениям в математической физике.

С помощью плоских диагональных метрик егоровского типа возможно строить решения уравнений ассоциативности Виттена-Дийкграафа-Верлинде-Верлинде [17], [14], [18].

Нетрудно проверить, что метрике постоянной кривизны К отвечает решение следующей системы дкРу = РшРк},* ФзФ К (7) дфгз + + ^ = -КЩН(8) где, как и ранее, /5^ = ф у. Как видно, уравнения (8) и (6) совпадают.

Укажем, что метрики постоянной кривизны появляются в описании нелокальных гамильтоновых операторов гидродинамического типа (см. [19], где условие постоянства кривизны метрики является необходимым, для того чтобы скобка Пуассона была кососимметрической и удовлетворяла тождеству Якоби). Нелокальные скобки Пуассона гидродинамического типа, порождаемые метриками постоянной кривизны (скобки Мохова-Ферапонтова) играют важную роль в теории систем гидродинамического типа. Задача описания где % — проекция расслоения Хопфа, удовлетворяет следующим уравнениям: <р, 4>х > = < <£>, <-ру > = < V, <Рг > = <Ч?х, 4>у > = < 4>х, > = < <Ру, Ч>z >= О, индуцированная метрика на М предполагается конформной: (¡в2 = еу(х'У<г)(с1х2 + йу2 + ¿г2). Из минимальности, лагранжевости искомого отображения, а также из конформности метрики следует, что матрица

R = г1 r2 гз r4

-vrlx e-V2 e -v'i X e-V4 vrl 'у e-v 2 e ' У e У e-vr4v

-vrl e~Vz2 e -v'A z e~vr4z принадлежие группе U(4), deti? = const (см. параграфы 1.1, 1.2). С точностью до умножения на постоянную матрицу можно считать, что deti? = 1, таким образом задача построения минимальных конформно плоских лагранжевых отображений сводится к поиску такого отображения г : М3 —> S7, что R G SU(4). Рассмотрим матрицы X,Y,ZE su(4) :

Rx = XR, Ry — YRt Rz — ZR, причем должны быть выполнены условия нулевой кривизны:

Ху-Ух + [х,у] = 0, х2-гх + [х,я\ = о,уг-гу + \у,г] = о

В работе [9] рассматривается полностью интегрируемый случай, когда матрицы X, У, Z зависят только от одной переменной г. В этом случае согласованных скобок Мохова-Ферапонтова эквивалентна задаче описания пучков метрик постоянной кривизны. Для этого достаточно классифицировать пары диагональных метрик постоянной кривизны имеющие специальный вид и эта проблема решена методом обратной задачи [20]. При этом ранее Моховым была доказана интегрируемость уравнений, описывающих плоские пучки метрик (согласованные скобки Дубровина-Новикова), и отвечающие важным редукциям уравнений (6),(7).

Отметим также, что в [21] построены пары Лакса со спектральным параметром и для значительно более общих классов ортогональных криволинейных координат в пространствах постоянной кривизны, описываемых более общими интегрируемыми редукциями уравнений (8),(9) и отвечающих паре согласованных скобок Пуассона гидродинамического типа, одна из которых — скобка Мохова-Ферапонтова, а вторая — произвольная нелокальная скобка Пуассона гидродинамического типа. При этом в [22] показано, что сами интегрируемые уравнения (8),(9), являются условием совместности для линейной системы, но без спектрального параметра. Спектральный параметр появляется для важных в теории систем гидродинамического типа интегрируемых редукций системы (8),(9), связанных с согласованными нелокальными скобками Пуассона гидродинамического типа.

В этой работе мы укажем спектральные данные, для которых координатные функции, записанные в терминах функции Бейкера-Ахиезера, будут описывать ортогональные системы координат на пространствах постоянной кривизны К ф 0. Мы также дадим частные решения уравнений (8),(9) в явном виде.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Каждая глава в свою очередь разбита на несколько параграфов. Нумерация формул состоит из двух чисел-номер главы и порядковый номер формулы в главе. Для предложений и теорем используется сплошная нумерация. Замечания пронумерованы номером главы и порядковым номером в главе.

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики // Наука. 1989.

2. Strominger A.,Yau S.-T.,Zaslow Е. Mirrow Symetry is T-duality // Nu-cl. Phys. 1996. V. B479. P. 243-259.

3. Castro I., Urbano F. New examples of minimal Lagrangian tori in the complex projective plane // Manuscr. Math. 1994. V. 85, N 3-4. P. 265-281.

4. Haskins M. Special Lagrangian Cones // American Journal of Mathematics. 2004. V. 126, N 4. P. 845-871.

5. Шарипов P.A. Минимальные торы в пятимерной сфере // Теор. и матем. физика. 1991. Т.87, № 1. С. 48-56.

6. Hui Ma, Yujie Ma. Totally Real Minimal Tori in CP2 // Math. Z. 2005. V. 249, N 2. P. 241-267.

7. Carberry E., Mcintosh I. Minimal Lagrangian 2-tori in CP2 come in real families of every dimention //J. London Math. Soc. 2004. V. 69. P. 531-544.

8. Mironov A.E. Finite-gap Minimal Lagrangian Surfaces in CP2 // OCA-MI (Osaka City University Advanced Mathematical Institute) Studies Series. 2010. V. 3. P. 185-196.

9. Миронов A.E. Об одном семействе конформно плоских минимальных лагранжевых торов в CP3 // Матем. заметки. 2007. Т. 81, № 3. С. 374-384.

10. Joyce D. Special Lagrangian m-folds in Cm with symmetries // Duke Math. J. 2002. V. 115, N 1. P. 1-51.

11. Миронов A.E. О новых примерах гамильтоново-минимальных и минимальных лагранжевых подмногообразий в Сп и СРП // Матем. сб. 2004. Т. 195, № 1. С. 89-102.

12. Zakharov V.E. Description of the n-orthogonal curvilinear coordinate systems and Hamiltonian integrable systems of hydrodinamic type, 1: Integration of the Lame equation // Duke Math. J. 1998. V. 94. P. 103-139.

13. Zakharov V.E. Application of the inverse scattering transform to classical problems of differential geometry and general relativity // Contemporary Mathematics 2002. V. 301. P. 15-34.

14. Кричевер И.М. Алгебро-геометрические n-ортогональные криволинейные системы координат и решения уравнений ассоциативности // Функц. Анал. и его прил. 1997. Т. 31, № 1. С. 32-50.

15. Дубровин Б.А., Новиков С.П. Гидродинамика слабо деформированных солитонных решеток. Дифференциальнаягеометрия и гамильтонова теория // Успехи Мат. Наук. 1989. Т. 44, № 6(270). С. 29-98.

16. Царев С.П. Геометрия гамильтоновых систем гидродинамического типа. Обобщенный метод годографа // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. Т. 54, № 5. С. 1048-1068.

17. Dubrovin В. Geomctry of 2D topological field theorics, Integrable Systems and Quantum Groups. // (Montecatini Terme, 1993), Lect. Notes in Math. Springer, Berlín. 1995. V. 1620. P. 120-348.

18. Миронов A.E., Тайманов И.А. О некоторых алгебраических примерах фробениусовых многообразий // ТМФ. 2007. Т. 151, №2. С. 195-206.

19. Мохов О.И., Ферапонтов Е.В. О нелокальных гамильтоновых операторах гидродинамического типа, связанных с метриками постоянной кривизны // Успехи Мат. Наук. 1990. Т. 45, № 3(273). С. 191-192.

20. Мохов О.И. Согласованные метрики постоянной римановой кривизны: локальная геометрия, нелинейные уравнения и интегрируемость // Функц. Анал. и его прил. 2002. Т. 36, №3. С. 36-47.

21. Мохов О.И. Пары Лакса для уравнений, описывающих сограсованные нелокальные скобки Пуассона гидродинамического типа, и интегрируемые редукции уравнений Ламе. // ТМФ. 2004. Т. 138, № 2. С. 283-296.

22. Мохов О.И. Пары Лакса для неособых пучков метрик постоянной римановой кривизны. // Успехи Мат. Наук. 2002. Т. 57, № 3(345). С. 155-156.

23. Wolfson J. Minimal Lagrangian Diffeomorfisms and the Monge-Ampere equation// J Differential Geom. 1997. V. 46. P. 335-373.

24. Дубровин Б.А., Кричевер И.М., Новиков С.П. Уравнение Шредингера в магнитном поле и римановы поверхности // ДАН СССР. 1976. Т. 229, № 1. С. 15-18.

25. Миронов А.Е. Спектральные данные для гамильтоново минимальных лагранжевых торов в CP2 // Тр. МИАН. 2008. Т. 263. С. 120-134.

26. Миронов А.Е., Тайманов И.А., Ортогональные криволинейные системы координат, отвечающие сингулярным спектральным кривым. // Тр. МИАН. 2006. Т. 255. С. 180-196.

27. Спрингер Дж., Введение в теория римановых поверхностей. // Издательство иностранной литературы. 1960.Работы автора по теме диссертации

28. Рыбников И.П. Минимальные лагранжевы помногообразия в СРП с диагональной метрикой. // Сиб. мат. журнал. 2011. Т. 52, № 1. Р. 133-142.

29. Рыбников И.П., Минимальные лагранжевы подмногообразия в СРП в терминах функций Бейкера-Ахиезера спектральных кривых. // Матем. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, № 2. Р. 98-108.

30. Бердинский Д.А., Рыбников И.П. Об ортогональных криволинейных системах координат в пространствах постоянной кривизны. // Сиб. мат. журнал. 2011. Т. 52, № 3. С. 502-511.