Метод Ә-одевания и интегрируемые иерархии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ имени Л. Д. ЛАНДАУ

На правах рукописи

Богданов Леонид Витальевич

УДК 517.9

Метод д-одевания и интегрируемые иерархии Специальность 01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2003

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН. Официальные оппоненты:

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ.

Защита состоится "26"июия 2003 г. в 11.30 на заседании Специализированного совета Д-002-41-01 по присуждению ученой степени доктора наук в Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН (142432, Черноголовка Ногинского района Московской области, Институтский проспект 12).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау.

Автореферат разослан "23"мая 2003 г.

доктор физ.-мат. наук И. М. Кричевер, доктор физ.-мат. наук А. К. Погребков, доктор физ.-мат. паук А. В. Забродин.

Ведущая организация:

Ученый секретарь Специализированного совета, доктор физ.-мат. наук

Л.А. Фальковский

Общая характеристика работы Актуальность исследования.

Появившийся в конце 60х - начале 70х годов метод обратной теории рассеяния привел к возникновению новой, бурно развивающейся области математической физики - теории солитонов. Был обнаружен большой класс нелинейных уравнений в частных производных, а именно, интегрируемые уравнения, который обладает весьма примечательными свойствами. Для этих уравнений оказалось возможным явно найти многочисленные частные решения (в частности, многосолитонные решения), а также бесконечный набор симметрий и интегралов движения. Интегрируемые уравнения нашли многочисленные применения в различных разделах физики (теория нелинейных волн, теория поля) и математики (теория поверхностей, комплексный анализ, римановы поверхности), они тесно связаны с глубокими математическими структурами.

Важную роль в развитии теории солитонов сыграл метод одевания. Метод одевания берет начало с работ Захарова и Шабата, в которых была предложена схема конструирования интегрируемых уравнений и одновременно вычисления их решений. Эта схема основана на факторизации интегрального оператора на прямой в произведение двух операторов Вольтерра. Позднее в схему метода одевания была введена задача Римана-Гильберта.

Одним из признанных методов в арсенале теории интегрируемых систем сейчас является метод 9-одевания. Этод метод возник в результате двух

БИБЛИОТЕКА

важных наблюдений, сделанных при изучении обратной задачи рассеяния для Ь-операторов уравнений КП1 и КП2. В 1981 году С. В. Манаков показал, что обратная задача для Ь-оператора КП2 (зависящего от времени одномерного оператора Шредингера) в классе убывающих потенциалов сводится к нелокальной задаче Римана. В 1983 году Абловиц, Бар Яаков и Фокас обнаружили, что обратная задача для Ь-опсратора КП1 (оператора теплопроводности) сводится к 3-проблеме на комплексной плоскости. Осознание общей структуры, стоящей за этими двумя результатами, привело С. В. Маиакова и В. Е. Захарова к формулировке метода 3-одевания.

Метод З-одевапия представляет собой метод конструирования решений интегрируемых уравнений, используя вспомогательную линейную задачу в плоскости комплекной переменной (нелокальную 9-проблему), сводящуюся к линейным интегральным уравнениям. В общем случае решения строятся локально в окрестности некоторой точки пространства-времени, и их глобальное поведение не фиксировано.

Одновременно метод 9-одевания является методом построения интегрируемых (2+1)-мерных уравнений, так как если уравнение вкладывается в схему этого метода, для него существует бесконечное количество симметрий и представление в виде условий совместности (что обычно и подразумевается под интегрируемостью в этом случае).

Метод 3-одевания, начиная с первоначальной схемы, предложенной Захаровым и Мапаковым, сразу привел к новым интересным результатам, как в области построения решений известных интегрируемых уравнений, так и

в области конструирования новых интегрируемых уравнений. Но также возникли важные вопросы, связанные с самой схемой метода, так как, например, было неясно, как находить уравнения в ситуации общего положения. С развитием теории солитонов, появлением интереса к дискретным интегрируемым системам и интегрируемым системам в геометрии, появись необходимость ввести новые конструкции в метод 3-одевания. Развитию метода, начиная с первоначальной схемы Захарова-Манакова и поставленных в ее рамках задач и кончая современным состоянием метода, посвящена настоящая работа.

Цели работы

Целью настоящей работы является развитие метода 3-одевания как метода построения интегрируемых (2+1)-мерных уравнений и их решений, в частности, нахождение уравнений в случае общего положения, исследование редукций и решений непрерывного спектра, включение дискретных переменных в схему метода и изучение возникающих интегрируемых систем и их решений. Еще одна важная задача - формулировка схемы конструирования интегрируемых уравнений, возникшей в рамках метода, в более общих терминах, чтобы она была применима и в алгебро-геометрической технике, и в подходе школы Киото, делая возможным обмен идеями и перенесение результатов, полученных в рамках метода 9-одевания, в более широкий контекст.

Научная новизна

В метод 9-одевания введены различные нормировки и с их помощью получена интегрируемая (2+1)-мерная система, соответствующая случаю общего положения для 9-одевания на плоскости.

Найдена система уравнений, связанная с двумерным оператором Дирака, редукции которой дают уравнение Веселова-Новикова и модифицированное уравнение Веселова-Новикова (введено впервые). Найдены новые редукции системы Веселова-Новикова, связанные с проективной дифференциальной геометрией.

Развита техника, позволяющая выделять малые убывающие решения (непрерывный спектр) и решения, стационарные по какому-либо времени, в терминах условий на ядро 5-проблсмы.

В схему метода 5-одевания введены дискретные и q-paзнocтныe переменные. Исследованы возникающие дискретные системы. Найден дискретный и q-paзнocтный интегрируемые аналоги геометрической системы Дарбу.

В рамках 9-метода введена функция Коши-Бейкера-Ахиезера (плавающая нормировка) и доказано тождество Хироты для нее. Изучены свойства тождества Хироты для функции Коши-Бейкера-Ахиезера вне рамок д-метода, как самостоятельного уравнения. Стартуя с тождества Хироты, найдена детерминантная формула для преобразования функции Коши-Бейкера-Ахиезера, соответствующего произвольной рациональной петле (фактически эта формула решает интегрируемые дискретные уравнения при произвольной начальной точке грассманиана явно, средствами линейной алгебры).

Получены различные типы дискретных производящих уравнений для од-нокомпонентной и многокомпонентной иерархии КП и иерархии двумерной цепочки Тоды, в частности, новые Мебиус-инвариантные дискретные уравнения.

Практическая ценность

Ряд результатов работы уже нашел приложения. Хотелось бы выделить приложения к геометрии. Оказалось, что модифицированное уравнение Веселова-Новикова связано с описанием поверхностей Уилмора и в настоящее время широко используется. Недавно найденная автором и Е. Ферапонтовым редукция системы Веселова-Новикова играет важную роль в описании проективных поверхностей (соответствует уравнениям Гаусса-Петерсона-Кодацци); обнаружено также, что целый класс редукций, к которому принадлежит эта редукция, тесно связан с проективной дифференциальной геометрией, что существенно расширяет приложения теории интегрируемых систем к геометрии.

Дискретная система Дарбу позднее возникла в интегрируемой дискретной геометрии (Долива, Сантини). Выяснилось, что она описывает систему дискретных поверхностей, состоящих из плоских четырехугольников. После этого в работах по дискретной геометрии стал широко использоваться метод 9-одевания, включая конструкции, введенные в настоящей работе (дискретные переменные в методе одевания, функция Коши-Бейкера-Ахиезера и билинейное тождество для неё).

Дискретное Мебиус-инвариантное уравнение КП нашло неожиданную геометрическую интерпретацию: оно представляет собой обобщение теоремы Менелая в инверсивной геометрии (Конопельченко, Schief). Это наблюдение послужило началом исследования подобных систем в рамках интегрируемой дискретной геометрии.

Апробация работы

Результаты работы многократно докладывались на международных конференциях, в том числе Plasma theory and nonlinear and turbulent processes in physics (Kiev, 1987), The nonlinear Schrodinger equation (Черноголовка 1994), Workshop on Nonlinear Physics - Theory and Experiment (Gallipoli (Lecce), Italy, June 29 - July 7, 1995), SIDE III (Рим 1999), SOLITONS, COLLAPSES and TURBULENCE: Achievements, Developments and Perspectives (SCT-1999) (Черноголовка 1999), Workshop on Nonlinearity, Integrabil-ity and All That: Twenty Years after NEEDS '79 (Gallipoli, 1999), Integrable Hierarchies and Modern Physical Theories (NATO ARW-UIC 2000) (Чикаго, 2000), NEEDS 2001 (Cambridge), Дни Ландау (Черноголовка, 24-26 июня 2002 года), SOLITONS, COLLAPSES and TURBULENCE: Achievements, Developments and Perspectives (SCT-2002) (август 18-22, 2002, Черноголовка), а также на семинарах и в университетах.

Публикации

По теме диссертации опубликована одна монография и 22 статьи (в том числе 18 в рецензируемых изданиях).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из Введения, шести глав и Заключения. Объем диссертации 349 страниц, список литературы содержит 141 наименование.

Содержание работы

Во Введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели исследования и кратко излагается содержание работы. ГЛАВА 1. Метод 3-одевания 1.1.Первоначальная формулировка метода

Первая глава начинается с первоначальной формулировки метода 9-одевания, предложенного Захаровым и Манаковым. Схема метода 9-одевания использует нелокальную 3-проблему в комплексной плоскости со специальной зависимостью ядра от дополнительных (пространственных и временных) переменных

5х(х,А) = Лх(х,А),

(1)

где х(х, Л) - в общем случае матричнозначная функция, А € С, д = д/д\, Ki{\) - рациональные функции (со значениями в пространстве диагональных матриц), выбор которых определяет систему, которая может быть проинтегрирована с использованием задачи (1). Задача (1) сводится к интегральному уравнению на функцию ^ = х — 1, которое предполагается однозначно разрешимым при заданном ядре R. Разрешимость может быть гарантирована малостью оператора d~lR. С другой стороны, есть важный класс ядер, для которых задача (1) разрешима явно средствами линейной алгебры, а именно, вырожденные ядра.

Нелокальная 9-проблема и ее специальные случаи (9-проблсма со сдвигом, нелокальная задача Римана, задача Римана со сдвигом) дают мощное средство конструирования нелинейных иитегрируемых уравнений и их решений.

Алгебраическая схема конструирования уравнений основывается на следующем свойстве задачи (1): если х(х> ~ решение (1), тогда функции и(х)х, Dix = diX+xKi ~ тоже решения. Таким образом, операторы Д являются образующими кольца операторов Захарова-Манакова, которые размножают решения задачи (1). При наличии двух образующих, при размножении решений размерность дивизора полюсов возникающего линейного пространства решений растет медленнее, чем количество линейно независимых элементов кольца Захарова-Манакова, и поэтому, в силу однозначной разрешимости задачи (1), возникают линейные дифференциальные соотношения между решениями, которые приводят к возникновению дифференциальных

уравнений на коэффициенты разложения функции х(Х) А) по степеням (А — Ар) в полюсах К{(А).

Рассмотрена схема метода 3-одевания для иерархии КП и системы Дарбу-Захарова-Манакова. Иерархия КП возникает в общем скалярном одноточечном случае метода 5-одевания, когда функции Л* (А) имеют полюс в одной точке. Система Дарбу-Захарова-Манакова соответствует простейшему многоточечному случаю, когда функции К{(Х) имеют один простой полюс в различных точках.

1.2.Различные нормировки и система общего положения Рассматривается вопрос о том, какая интегрируемая система соответствует случаю общего положения, в котором функции К{(А) имеют произвольное число простых несовпадающих полюсов. Решение вопроса о нахождении системы общего положения было дано в работе [4], оно основано на наблюдении о существовании различных нормировок нелокальной 9-проблемы.. С использованием различных нормировок находится интегрируемая (2+1)-мерная система, соответствующая случаю общего положения для 5-одсвания на плоскости (произвольное количество простых несовпадающих полюсов в показателях экспонент, одевающих ядро). Это система типа системы N волн, для нее выписан Лагранжиан и некоторые законы сохранения. Показано, что из Лагранжиана системы общего положения предельным переходом можно получить Лагранжиан уравнений с кратными полюсами (на примере КП).

1.3. Система Веселова-Новикова и ее редукции

С использованием различных нормировок находится система уравнений, свя-

занпая с двумерным оператором Дирака, редакции которой дают уравнение Веселова-Новикова и модифицированное уравнение Веселова-Новикова (см. [1, 2])

{дь - д1 - д\)и + 3(д2и)дг1дг(и2) + 3(д,и)д;%(и2) +3-ид;>дЦи2) + = 0. (3)

которое, как обнаружилось позднее, играет интересные применения в геометрии. Это уравнение определяет поток, сохраняющий функционал Уил-мора (интеграл квадрата средней кривизны поверхности) и играет важную роль в теории поверхностей Уилмора, минимизирующих этот функционал. Предъявлен Лагранжиан системы, найдены условия на ядро 3-проблемы, обеспечивающие редукции. 1.4-Дискретные и д-разностные переменные

Рассматривается ведение дискретных и д-разностных переменных в схему метода 3-одевания и проводится исследование возникающих дискретных систем ([7, 9, 10, 11]). Возникающие дискретные системы дают интегрируемые дискретизации соответствующих непрерывных систем, а также преобразования Бэклунда для непрерывных систем и формулы суперпозиции преобразований Бэклунда. Расширено кольцо операторов Захарова-Манакова, в него включены дискретные и q-paзнocтныe операторы.

Построены дискретный и я-разностный аналоги системы общего положения, и КП иерархии. Найден дискретный и д-разностный интегрируемые аналоги системы Дарбу (впервые)[10]. Дискретная система Дарбу (в терми-

нах коэффициентов Ламе) имеет вид

\AjHk = 7?((Д,Я,)ЯГ1)Д<Як + 2)((Д1Я,)Я,-1)Д,Яь (4)

Построены симметрии этого уравнения в терминах 9-проблсмы, показано, что геометрическое преобразование Комбескура соответствует произволу в выборе нормировки.

1.5.Дуальная д-проблема и тождество Хироты

При исследовании различных задач методом 5-одевания возникает необходимость одновременного использования 5-проблсмы и дуальной ^-проблемы. Рассмотрены нелокальная 3-проблема (1) и дуальная нелокальная д-проблема, нормированные на (А — /л)-1, и показано, что им соответствует одно решение с переменной нормировкой (ядро Коши-Бейкера-Ахиезера нелокальной 9-проблемы). Получено билинейное тождество Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера х(А, /х; #(х)),

[ *(!/, А; х)5(х)-15(х')х(м. V, х')с1и = 0, (5)

4 дв

где интегрирование проводится по границе открытого множества, в котором ядро Д(А, ц) равно нулю по обеим переменным (обычно предполагается, что оно включает окрестности особенностей функций К{(А) и окрестность бесконечности) Билинейное тождество Хироты (5) может служить основой алгебраической схемы конструирования интегрируемых уравнений с помощью кольца операторов Захарова-Манакова [10, 9]. ГЛАВА 2. Убывающие решения и размерные редукции Во второй главе развита техника, позволяющая выделять малые убывающие

решения (непрерывный спектр) и решения, стационарные по какому-либо времени, в терминах условий на ядро 3-проблемы. В частности, непрерывному спектру в (1+1) соответствуют задачи типа Карлемана (задачи Ри-мана со сдвигом) на некоторых кривых в комплексной плоскости. Подробно расмотрены соответствующие задачи для различных случаев уравнения Буссинеска, а также солитонный сектор уравнения Буссинеска. Результаты, изложенные в этой главе, опубликованы в работах [5, 6, 8, 20].

2.1. Специальные случаи нелокальной В-проблемы

Выделение специальных классов решений в рамках метода 3-одсвания производится в терминах условий на ядро нелокальной 3-проблемы и приводит к возникновению различных типов задач в комплексной плоскости. В наиболее важных случаях ядро Д(А, ц) представляет собой обобщенную функцию с носителем, принадлежащим некоторому многообразию в С2. Это означает, что ядро содержит ¿-функции, локализованные на соответствующем многообразии. Оператор д~1К в этом случае хорошо определен. В начале главы рассматриваются основные типы таких задач, которые будут использоваться в дальнейшем, в частности, 3-проблема со сдвигом, нелокальная задача Римана, задача Римана со сдвигом (задаче Карлемана).

2.2. Выделение решений со специальными свойствами

Рассмотрены условия на ядро 3-проблсмы, выделяющие регулярные и убывающие решения.

Выберем вектор щ (^ п] = 1), определяющий направление в пространстве х. Для того, чтобы решение задачи (1) было регулярно в окрестности

прямой Х{ — и было ограничено (убывало) вдоль этой линии при £ —>

±оо, достаточно, чтобы на носителе ядра Д(А, /х) выполнялось условие

з

Ие^п4(ВД-ад) = 0, (6)

¿=1

и ядро было 'достаточно малым' (для убывания необходима также достаточная гладкость ядра на многообразии (6)). Это простое наблюдение связано с тем, что мы ограничиваем носитель ядра на многообразие, где показатели одевающих экспонент чисто мнимые, и поведение решения по динамическим переменным определяется интегралами типа интеграла Фурье.

Рассмотрены решения, независимые от переменной х^ которые могут быть получены с помощью задачи (1) с носителем ядра, принадлежащим многообразию

К^Х)-К^) = 0. (7)

Это наблюдение позволяет применять (2+1)-мерный метод одевания к (1+1)-мерным уравнениям. Оно приводит к д-проблеме со сдвигом, и, в случае убывающих решений, к задаче Римана со сдвигом (задаче Карлемана). 2.3.Метод д-одевания и уравнение Буссинеска Уравнение Буссинеска

- = - + ^ (8)

описывает распространение волн в слабонелинейных и слабодиспергирую-щих средах в обоих направлениях. Одноволновое приближение сводит уравнение Буссинеска к уравнению Кортевега-де Фриза. В зависимости от выбора констант, имеются четыре существенно различных случая уравнения Бус-

синеска (8). Свойства уравнения Буссинеска существенно зависят от этого выбора. Технически, уравнение Буссинеска можно рассматривать как результат размерной редукции уравнения КП в движущейся системе координат.

С использованием техники, развитой в начале главы, рассмотрены непрерывный спектр и солитонный сектор этого уравнения. Поведение солитон-ного сектора достаточно необычно, солитоны могут распадаться и образовывать особенность за конечное время. Наиболее подробно изучается уравнение нелинейной струны

- ьхх + ^Ухххх + (|и2)Х1 = 0. (9)

ГЛАВА 3. Билинейное тождество Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера

В предыдущей главе в рамках метода 9-одевания было получено билинейное тождество Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера. В настоящей главе билинейное тождество вводится в более общей постановке, и изучаются некоторые свойства билинейного тождества. Тождество Хироты связывает метод 9-одевания с другими методами теории интегрируемых систем и позволяет поместить результаты, полученные с его помощью, в более широкий контекст. Изложение этой главы основывается на работе [9] и монографии

И-

3.1. Обращение оператора д в единичном круге

Сначала рассматривается вопрос об обращении 5-оператора в единичном круге (или, в более общем случае, в некотором наборе областей комплекс-

ной плоскости). Оператор В действует из пространства функций, гладких почти всюду, в пространство обобщенных функций. Для того, чтобы определить обратный оператор, необходимо поставить некоторые граничные условия. Стандартное ядро Коши (А — д)-1 определяет обратный оператор для оператора В, который задает отображение из пространства обобщенных функций в пространство решений 3-проблемы, аналитичных вне круга и убывающих на бесконечности. Граничное условие, соответствующее стандартному ядру Коши, можно записать в терминах проекционного оператора, действующего на окружности.

Мы рассматриваем одновременно пару взаимно дуальных граничных условий и изучаем случай, когда оператор В имеет нулевой индекс и ядро конечной размерности. Случай граничных условий, соответствующих нулевому индексу, рассматривался Виттеном, который показал, что пространство допустимых граничных значений в этом случае соответствует точке бесконечномерного грассманиана (Сато, Сегал-Вильсон). Для полной пары взаимно дуальных граничных условий, приводящих к конечномерному ядру оператора В, мы введем ядро Коши (пропагатор Дирака в терминах работы Виттена) и изучим его свойства. В простейшем случае нулевой размерности ядра оператора В, обратный оператор однозначно определен на всем пространстве (для каждого из дуальной пары граничных условий) и ядро Коши х(А, ц) является функцией, аналитичной по обеим переменным вне диагонали А = ¡1 и имеющей на диагонали простой полюс с единичным вычетом. Любая такая функция определяет некоторое обращение оператора В, причем двумя

способами - как оператор по А и как оператор по ц. Получены граничные условия, соответствующие этим двум (дуальным) случаям.

3.2. Рациональные деформации граничных условий

Вводится понятие деформации граничных условий под действием петли (гладкой функции на границе без нулей). При деформации пространство допустимых граничных значений просто умножается на петлю д, а дуальное пространство на д~1, при этом дуальность пары граничных условий сохраняется. Показано, что для деформаций ядра Коши возникает билинейное тождество Хироты. Таким образом, билинейное тождество Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера возникает не только в методе 9-одевания, но и в более общем случае, соответствующем грассманиану Сато и Сегала-Вильсона, который включает в себя и решения, получаемые методом 9-одевания, и конечнозонные решения. Наиболее подробно изучаются рациональные деформации (деформации, порождаемые рациональными петлями).

3.3. Свойства билинейного тождества

Билинейное тождество Хироты рассмотрено само по себе, как уравнение. Показано, что для этого уравнения можно поставить начальную задачу, показана единственность решения этой задачи и изучены некоторые ее свойства.

3-4- Детерминантная формула для действия мероморфных петель на ядро Коши

Показано, что задача о преобразовании ядра Коши под действием мероморфных петель решается явно методами линейной алгебры, и найдена де-

терминантная формула для решения, имеющая вид (в случае простых нулей и полюсов)

где Лдг+1 = А, hn+i = петля д(А) мероморфна в G (области определения ядра КБ А) и имеет простые нули в точках ¡ij и простые полюса в точках А,-, 1 < г < N, 1 < j < N.

3.5. т-функция для однокомпонентпного случая

В однокомпонентном случае детерминантная формула дает возможность ввести понятие т-функции для рациональных петель, принадлежащих Г+. Для петель с простыми нулями и полюсами

(п)

где g(X) = Пь=1 Рассмотрены основные свойства т-функции, получены формулы сложения в детерминантной форме, обсуждается вопрос об описании различных страт грассманиана.

ГЛАВА 4. Метод ö-одевания и интегрируемые иерархии I. Производящие дискретные уравнения

В четвертой главе тождество Хироты для ядра КБА используется для получения дискретных производящих уравнений интегрируемых иерархий. Результаты, изложенные в главе, опубликованы в работах [13, 14, 16] и монографии [I].

В однокомпонентном случае, соответствующем иерархии КП, ядро КБА определено в единичном круге, и группа петель Г представляет собой груп-

пу гладких функций (без нулей) на единичной окружности. Нетривиальная динамика в однокомпонентном случае сводится к группе петель Г+, где Г+ определяется как группа петель, аналитических и не имеющих нулей впе круга и равных 1 на бесконечности, и именно эта группа определяет иерархию КП.

В многокомпонентном случае рассматривается ядро КБА, определенное на N копиях единичного круга, когда имеется N компонент петли, заданных на (копиях) единичной окружности. В этом случае для корректного определения динамики достаточно равенства нулю суммарного индекса всех компонент петли, и нетривиальная динамика (с точностью до калибровочной) сводится к группе петель, для которой каждая компонента аналитична и не имеет нулей вне единичного круга, на бесконечности <;,(А) —> А"', 1 ^ г < А'',

Для этой группы мы используем обозначение Г^; переменные щ будем называть индексными (существенно дискретными) переменными. Группе Г^ соответствует многокомпонентная иерархия КП.

Рассмотрены интегрируемые дискретные уравнения, отвечающие элементарным рациональным петлям (производящие уравнения интегрируемых иерархий) Для однокомпонентной КП-иерархии из билинейного тождества получено простейшее дискретное (функциональное) уравнение для КБА-функции, отвечающее рациональной петле с одним нулем и полюсом, и из него получены теорема сложения для тау-функции, дискретное уравнение для потенциала и линейные задачи для него (первый уровень иерархии), дискрет-

N

1=1

ное уравнение для волновых функций первого уровня и линейные задачи для него (второй уровень иерархии), дискретное уравнение для волновых функций второго уровня (КБА-фупкция, проинтегрированная с произвольными весами) (третий уровень). Уравнение третьего уровня - новое, Мёбиус-инвариантное (discrete Schwarzian КР; discrete КР singular manifold equation). Получены преобразования Миуры 3->2->1. Рассмотрены соответствующие уравнения для многокомпонентной КП иерархии (с нулевыми индексными переменными) и иерархии двумерной цепочки Тоды. 4-1. Однокомпонентный случай

Рассмотрены интегрируемые дискретные уравнения, которые следуют из тождества Хироты для функции КБА, определенного на границе единичного круга в комплексной плоскости. Динамика в этом случае задается рациональной подгруппой группы Г+, где Г+ определяется как группа петель, аналитических вне круга и равных 1 на бесконечности. Детально обсуждаются уравнения, соответствующие набору петель с одним нулем и полюсом в единичном круге (такие петли мы будем называть элементарными рациональными петлями). Эти уравнения были выведены в работе [14], более подробно они описаны в монографии [I]. Замкнутые интегрируемые дискретные уравнения возникают для произвольной тройки элементарных рациональных петель. Эти уравнения можно рассматривать как принципы суперпозиции преобразований, определяемых элементарными рациональными петлями, или как уравнения на решетке, которая образуется при итерировании элементарных преобразований.

Получены три различных типа интегрируемых дискретных уравнений, которые связаны, соответственно, с КП иерархией в обычной форме (в терминах потенциала), модифицированной КП иерархией и иерархией уравнений типа уравнения многообразия особенностей для КП иерархии. Эти уравнения возникают для различных функций, связанных с ядром КБ А, удовлетворяющим тождеству Хироты

У х(V, 51)51 Мд^Мх^, "15г)Л/ = 0, (12)

(где ядро КБА является функцией двух комплексных переменных и функционалом петли).

На первом уровне возникают уравнения на диагональную часть регуля-ризованного ядра Коши в нуле (потенциал)

«Ы = м; д) - (А - А4)-1|а=о,м=о ,

имеющие вид

X)е^Тк ( — и - «71«) = 0, (13)

т 4 а'" '

где Т{/(д) = /(д(и) х Д,- = Т{- 1, <ц - параметры.

На втором уровне возникают уравнения на волновые и дуальные волновые

функции типа Бейкера-Ахиезера (модифицированные уравнения)

где Щд) = $х(\0\9)9(Ь)р№\, Щд) = § рШ~ХШ(0, К 9)Лц, и р(А), р{ц) - некоторые произвольные весовые функции.

На третьем уровне получим Мёбиус-инвариантные уравнения для волновых функций второго уровня

Ф(д) = - (Л - нУМ^рШМ».

Эти уравнения записываются как

»

(2}Д,Ф)(ВДФ)(Т4ДкФ) = (Т,Д*Ф)(Т*Д;Ф)(ЗДФ). (14)

»

Уравнения всех трех уровней обладают бесконечным набором симметрии и образуют в каком-то смысле иерархию интегрируемых дискретных уравнений, представленную в виде общего уравнения, зависящего от трех непрерывных параметров (параметров решетки). Три уровня иерархии связаны между собой преобразованиями Миуры (3—>2—>1), или, в дополнительных терминах, через инварианты преобразования Комбескура. 4-2. Общие матричные уравнения для многокомпонентного случая Рассмотрен многокомпонентный случай с нулевыми локальными индексами, т.е. каждая компонента многокомпонентной петли принадлежит Г+. Мы

1 стартуем с тождества Хироты для функции Коши-Бейкера-Ахиезера, опре-

деленного на границе N копий единичного круга, состоящей из N единичных окружностей (его можно рассматривать также в матричной форме). В полной аналогии со скалярным случаем, выбор трех элементарных рациональных петель приводит к дискретному уравнению для преобразований различных объектов, определяемых этими петлями. Получены дискретные уравнения для ядра КБА и производящие дискретные уравнения многокомпонентной иерархии.

4-3. Иерархия Дэви-Стюартсона

В этом разделе более подробно рассматривается иерархия Дэви-Стюартсона, или, иными словами, двухкомпонентная иерархия КП. Основные формулы для этого случая следуют из формул для общего многокомпонентного случая. Вводятся векторные модифицированные уравнения. 4-4- Система Дарбу

В рамках многокомпонентной иерархии КП рассмотрена дискретная система Дарбу

ЛА'Ф* = + (15)

возникающая как векторное модифицированное уравнение. Эта система сейчас широко используется в дискретной геометрии. 4-5. Иерархия двумерной цепочки Тоды

Рассмотрен общий случай двухкомпонентной иерархии, с учетом дискретной индексной переменной.

При обсуждении иерархии ДС (а до этого - при обсуждении общей многокомпонентной иерархии) мы ограничивались случаем нулевых локальных индексов, т.е., , <72 € Г+. В двухкомпонентном случае имеется также одна индексная переменная (динамика по которой корректно определена, так как она не меняет суммарный индекс задачи), и элементарная петля, соответствующая индексной переменной, имеет вид

/V.

9ш (А) —

V 0 ч

Особенностью иерархии двумерной цепочки Тоды является присутствие ин-

дексной петли, которая приведет к уравнениям для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера, слегка отличающихся от тех, что были получены ранее. Поэтому дискретные уравнения иерархии 2БТЬ нельзя получить непосредственно из общих уравнений для многокомпонентного случая с нулевыми локальными индексами. Разные уровни иерархии модифицируются в разной степени. Сильнее всего модифицируется первый уровень (уравнения на потенциал). Мебиус-инвариантные уравнения практически не модифицируются (с точностью до замены переменных). Их форма инвариантна, независимо от того, какие дискретные преобразования выбраны: преобразования, содержащие решеточный параметр, или существенно дискретные индексные преобразования. ГЛАВА5.

Метод 3-одевания и интегрируемые иерархии П. От дискретного случая к непрерывному

В этой главе из производящих дискретных уравнений получены уравнения иерархий (КП иерархия, многокомпонентной КП иерархия, иерархия двумерной цепочки Тоды) в частных производных.

При разложении по параметрам возникают также различные типы смешанных уравнений, определяющие преобразования Бэклунда и принципы суперпозиции для них. В терминах иерархии в форме РОЕ полностью дискретные уравнения интерпретируются как алгебраический принцип суперпозиции для трех преобразований Бэклунда.

Рассмотрено также разложение по параметрам дискретных линейных за-

дач и получена иерархия линейных задач в терминах непрерывных переменных иерархии, преобразования Дарбу и формулы суперпозиции.

Результаты, изложенные в главе, опубликованы в в работах [13, 14, 16] и монографии [I]. 5.1. Скалярная иерархия КП

Вводится параметризация группы петель в терминах непрерывных переменных (времен),

и показывается, что разложение по параметрам дискретных производящих уравнений генерирует в виде уравнений в частных производных 1) КП иера-хию для потенциала, 2) мКП иерархию для волновых функций, 3) иерархию уравнений многообразия особенностей, (Мебиус-инвариантных уравнений) для волновых фунций второго уровня. Рассмотрены также различные типы смешанных уравнений, определяющих преобразования Бэклунда и формулы суперпозиции для них.

Приведем цепочку уравнений от дискретного к непрерывному случаю, возникающую при разложении по параметрам Мёбиус-инвариантного дискретного уравнения КП.

Раскладывая дискретное Мебиус-инвариантное уравнение КП

00

(2}Д{Ф)(Т*Д;Ф)(ТгДкФ) = (Ту Ацф) (ГЛА,Ф) (Т, Дуф) (16)

по степеням а,-, Т1/(х) = /(х + [а,]), в первом порядке получим

(Т^х)(ТкА^)АкФ = (Тк Фг)(2)Д*Ф)Д,Ф.

(17)

Второй порядок разложения по а^ приведет к уравнениям

а ) 2 V Ф, )'

(осталось всего одно дискретное преобразование, поэтому мы опустили индекс к). И, наконец, производя разложение по а, в первом неисчезающем члене получим

Это уравнение известно, оно впервые возникло в Пенлеве анализе уравнения КП как уравнение многообразия особенностей. Высшие члены разложения уравнения (16) приведут к иерархии подобных уравнений, которую мы называем Мебиус-инвариантной иерархией КП.

Обсуждается связь между различными уровнями иерархии, преобразования Миуры и Комбескура.

Найдена замкнутая 1-форма, определяющая т-функцию через ядро КБА в непрерывном случае,

и получены формулы сложения, исходя из дискретных (функциональных) уравнений для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера. 5.2. Многокомпонентная иерархия КП

Рассматривается многокомпонентная иерархия КП с нулевыми локальными индексами (без учета существенно дискретных переменных), динамика для которой определяется многокомпонентной группой петель Г+ДГ. Получено

Ъ = + + = (19)

XX

(20)

общее функциональное уравнение на ядро Коши-Бейкера-Ахиезера, определяющее иерархию. Вводится замкнутая форма, определяющая т-функцию в многокомпонентном случае, получены формулы сложения.

Непрерывные уравнения иерархии, а также преобразования Бэклунда для них, последовательно выводятся из производящих дискретных уравнений, введенных в предыдущей главе. Детально рассмотрена двухкомпонент-ная иерархия (иерархия ДС) и некоторые уравнения, принадлежащие этой иерархии, в том числе уравнение ДС, систему Веселова-Новикова и ее редукции. Обсуждается общая техника получения редукций в терминах ядра КБА.

5.3. Группа петель Г и иерархия 2БТЬ

Индексная переменная впервые появляется в двухкомпонентном случае, в котором есть одна независимая индексная переменная. В этом случае возникает иерархия 2БТЬ, связанная с группой петель Показано, что вместо этой группы можно эквивалентным образом использовать группу произвольных однокомпонентных петель Г (параметризуемую одной дискретной переменной и двумя бесконечными наборами непрерывных времен). Рассмотрены различные типы непрерывных и смешанных (дискретно-непрерывных) уравнений, возникающие при разложении производящих дискретных уравнений и формулы сложения для т-функции. ГЛАВА 6. О развитии метода и некоторых приложениях Изложение данной главы основано на работах [21, 18, 19, 22]. 6.1.Редукции и проективная геометрия

Развивая технику получения редукций, изложенную в главе 5, мы рассмот-риваем класс редукций многокомпонентной иерархии КП, тесно связанный с проективной дифференциальной геометрией, уделяя особое внимание двух-компонентному случаю и геометрической интерпретации редукций в этом случае [21]. Частные примеры редукций из класса, который мы рассмотри-ваем, были уже введены в главе 5; это редукции, выделяющие модифицированное уравнение Веселова-Новикова и уравнение Веселова-Новикова из общей системы Веселова-Новикова. Показано, что интересующий пас класс редукций характеризуется весьма простым свойством, а именно, существованием дифференциального оператора Л„ порядка п (порядок редукции), преобразующего волновые функции линейных операторов иерархии в волновые функции дуальных операторов. В двумерном случае (иерархия Дэви-Стюартсона) Ь-опрератором является оператор Дирака

играющий важную роль в диффенциальной геометрии и математической физике; дуальный оператор имеет вид

Основное наблюдение, связывающее редукции с геометрией, состоит в том, что редукция порядка п совпадает с проективно-геометрическими уравнениями Гаусса-Кодацци, описывающими специальные классы конгруэнций прямых в проективном пространстве Р2"-1, которое представляет собой про-ективизированное ядро преобразования Вп. Во втором порядке возникают

дхЪ2 = = 7Ф2,

(21)

(22)

W-конгруэнции в пространстве Р3, принадлежащие линейному комплексу. Третий порядок соответствует изотропным конгруэнциям в Р5. Рассмотрен также многокомпонентный случай и дифференциальные операторы, связывающие волновые функции линейных уравнений системы Дарбу

di^j = (23)

i,j = 1,..., N\i ф j, и дуальных линейных уравнений

(24)

6.2. Неизоспектралъные симметрии

Рассмотрены неизоспектральные симметрии иерархий в рамках трехуровневой структуры иерархии, описанной выше. Показано, что преобразование Мёбиуса на третьем уровне КП иерахии отвечает дискретной неизоспек-тральной симметрии (связанной с бинарным преобразованием Дарбу), найдена интерпретация этой симметрии в терминах тождества Хироты, построены рациональные и тригонометричесие неизоспектральные потоки. Показано, что симметрийная редукция по этим потокам приводит к рациональной (тригонометрической) системе Калоджеро-Мозера [18, 19].

6.3. Квазиклассический метод В-одевания

Недавно для исследования бездисперсионных интегрируемых иерархий была предложена квазиклассическая версия метода 3-одевания (Конопельченко, Martinez Alonso). Этот подход связывает бездисперсионпые интегрируемые иерархии с некоторыми важными объектами комплексного анализа (нелинейное уравнение Бсльтрами, квазиконформные отображения).

Так же, как и для стандартных иерархий, для бездисперсионных интегрируемых иерархий можно найти производящие уравнения, которые при разложении по параметрам генерируют всю иерархию. Важным отличием от стандартного случая является то, что для обычных иерархий эти уравнения дискретные (функциональные), а для бездисперсионных иерархий -дифференциальные (используют квазиклассический вертексный оператор) Из производящих уравнений следует существование т-функции и бездисперсионные формулы сложения (уравнения Хироты). В качестве примеров рассмотрены бездисперсионные КП и 2БТЬ иерархии. В нашем изложении мы следуем работе [22]. Получены производящие уравнения для бездисперсионной КП и 2БТЬ иерархий в терминах потенциала и в терминах действия (аналоги первого и второго уровня иерархии в обычном случае), а также бездисперсионные формулы сложения.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Основные результаты

Сформулируем основные результаты диссертации.

Введены различные нормировки нелокальной 9-проблемы, и с их использованием найдена интегрируемая (2+1)-мерная система, соответствующая случаю общего положения для 3-одевания на плоскости (произвольное количество простых несовпадающих полюсов в показателях экспонент, одевающих ядро). Это система типа системы N волн, для нее выписан Лагранжиан и некоторые законы сохранения. Показано, что из Лагранжиана системы об-

щего положения предельным переходом можно получить Лагранжиан уравнений с кратными полюсами (на примере КП).

С использованием различных нормировок найдена система уравнений, связанная с двумерным оператором Дирака, редукции которой дают уравнение Веселова-Новикова и модифицированное уравнение Веселова-Новикова (введено впервые). Построен Лагранжиан системы, найдены условия на ядро 9-проблемы, обеспечивающие редукции.

Развита техника, позволяющая выделять малые убывающие решения (непрерывный спектр) и решения, стационарные по какому-либо времени, в терминах условий на ядро ¿¡-проблемы. Подробно расмотрены соответствующие задачи и солитонный сектор для различных случаев уравнения Буссинеска.

В схему метода 9-одевания введены дискретные и q-paзнocтныe переменные. Исследованы возникающие дискретные системы. Найден дискретный и q-paзнocтный интегрируемые аналоги геометрической системы Дарбу.

В рамках 3-метода введена ядро Коши-Бейкера-Ахиезера (плавающая нормировка) и дуальная 3-проблема. Получено тождество Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера.

Тождество Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера рассмотрено самостоятельно, как уравнение. Для этого уравнения поставлена начальная задача и показано, что для преобразований, определяемых рациональными петлями, эта задача решается явно, средствами линейной алгебры. Доказано также, что решение начальной задачи единственно. Стартуя с тождества Хироты, найдена детсрминантная формула для преобразования функ-

ции Коши-Бсйкера-Ахиезера, соответствующего произвольной рациональной петле. Показано, что детерминантная формула в однокомпонентном случае позволяет ввести т-функцию для рациональных петель и дает детерми-наптную форму теорем сложения для нее.

Для скалярной иерархии КП из билинейного тождества выведено дискретное (функциональное) уравнение для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера, отвечающее элементарной рациональной петле. Из этого уравнения получены: теорема сложения для тау-функции, дискретное уравнение па потенциал и линейные задачи для него (первый уровень иерархии), дискретное уравнение для волновых функций первого уровня и линейные задачи для него (второй уровень иерархии), дискретное уравнение для волновых функций второго уровня (третий уровень иерархии). Уравнение третьего уровня - новое, Мёбиус-инвариантное (discrete Schwarzian КР; discrete КР singular manifold equation). Получены преобразования Миуры 3->2->1. Рассмотрены соответствующие уравнения для многокомпонентной КП иерархии и иерархии двумерной цепочки Тоды.

Из дискретных производящих уравнений получены уравнения иерархий (КП иерархия, многокомпонентной КП иерархия, иерархия ДС, иерархия двумерной цепочки Тоды) в частных производных. Показано, что разложение по параметрам введенных дискретных уравнений генерирует в виде уравнений в частных производных в случае иерархии КП 1) иерахию уравнений на потенциал (стандартная иерархия КП) 2) иерархию уравнений для волновых функций (модифицированная иерархия КП) 3) иерар-

хию уравнений для волновых фунций второго уровня (Мебиус-инвариантная иерархия КП). Показано, что из дискретных производящих уравнений получаются также преобразования Бэклунда и формулы суперпозиции для них. Найдены соответствующие уравнения для многокомпонентной иерархии КР, иерархии ДС и для однокомпонентной иерархии цепочки Тоды. В многокомпонентном случае получены также векторные модифицированные уравнения.

Обнаружено, что целый класс редукций многокомпонентной иерархии КП, совместных с динамикой по нечетным временам, низшими представителями которого в двухкомпонентном случае являются редукции, выделяющие уравнение Веселова-Новикова и модифицированное уравнение Веселова-Но-викова, а в многокомпонентном случае - егоровская редукция и уравнения Ламе, тесно связан с проективной дифференциальной геометрией. Показано, что рассматриваемый класс редукций характеризуется существованием дифференциального оператора Бп порядка п (порядок редукции), преобразующего волновые функции линейных операторов иерархии в волновые функции дуальных операторов. Это свойство достаточно для явного вычисления редукций. Показано, что в двухкомпонентном случае редукция порядка п совпадает с проективно-геометрическими уравнениями Гаусса-Кодацци, описывающими специальные классы копгруэнций прямых в проективном пространстве Р2"-1, которое представляет собой проективизированное ядро преобразования £>„. Редукция третьего порядка дает уравнения Гаусса-Кодацци для поверхностей в Р3. Рассмотрен также многокомпонентный слу-

чай, дифференциальные операторы, связывающие волновые функции линейных уравнений системы Дарбу и дуальных линейных уравнений, получены соответствующие редукции и рассмотрена их геометрическая интерпретация. С использованием уравнений для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера, отвечающих редукциям, построены производящие формы для редукций произвольного порядка. Эти формы полностью определяют редукцию и играют критическую роль в геометрической интерпретации.

Показано, что преобразование Мёбиуса на третьем уровне КП иерахии отвечает специальной неизоспектральной симметрии, найдена интерпретация этой симметрии в терминах тождества Хироты, построены рациональные и тригонометричесие неизоспектральные потоки, показано, что симметрийная редукция по этим потокам приводит к возникновению тригонометрической системы Калоджеро-Мозера.

С использованием квазиклассического метода 9-одевания получены производящие уравнения для бездисперсионной КП и 2БТЬ иерархий в терминах потенциала и в терминах действия (аналоги первого и второго уровня иерархии в обычном случае).

... .. библиотека I С.Петербург ^

^ ОЭ 300 мт I

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации Монография

[I] Bogdanov, L. V. (1999) Analytic-Bilinear Approach to Integrable Hierarchies. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.

Статьи

[1] Bogdanov, L. V. (1987) The Veselov-Novikov equation as a natural generalization of the Korteweg- de Vries equation, (Russian) Teoret. Mat. Fiz., 70(2), 309-314

[2] Bogdanov, L. V. (1987) About two-dimensional Zakharov-Shabat problem, Teor. Mat. Fiz., 72,

[3] Bogdanov, L. V. and Manakov, S. V. (1988) Nonlocal 3-problem and (2 + l)-dimensional soliton equations, Plasma theory and nonlinear and turbulent processes in physics, Vol. 1, 2 (Kiev, 1987). World Sci. Publishing, Singapore, 7-19

[4] Bogdanov, L. V.; Manakov, S. V. (1988) The nonlocal д problem and (2 + l)-dimensional soliton equations, J. Phys. A, 21(10), L537-L544

|5j Bogdanov, L.V. and Zakharov, V.E. (1992) Decreasing solutions and dispersion laws in the (2+l)-dimensional dressing method, St. Petersburg Math. J., 3, 533-540

[6] Bogdanov, L. V. and Zakharov, V. E. (1994) Integrable (1 + l)-dimensional systems and the Riemann problem with a shift, Inverse Problems, 10(4), 817-835

[7] Bogdanov L. V. (1994) Generic solutions for some integrable lattice equations, Teor. i Mat. Fiz., 99, 177-185

[8] Bogdanov, L. V. and Zakharov, V. E. (1995) On some developments of the dbar-dressing method, St. Petersburg Math. J., 6(3), 475-493

[9] Bogdanov, L. V. (1995) Generalized Hirota bilinear identity and integrable «/-difference and lattice hierarchies, Phys. D, 87(1-4), 58-63

[10] Bogdanov, L. V. and Konopelchenko, B. G. (1995) Lattice and g-difference Darboux-Zakharov-Manakov systems via 9-dressing method, J. Phys. A, 28(5), L173-L178

[11] Bogdanov, L. V. and Konopelchenko, B. G. (1996) Continuous, lattice and q-difference integrable systems and their transformation properties via 5-dressing method, Proceedings of the first workshop on Nonlinear Physics -Theory and Experiment, Gallipoli (Lecce), Italy, June 29 - July 1, 1995. World Scientific, Singapore, 29-37

[12] Bogdanov, L. V. and Konopelchenko, B. G. (1997) Generalized integrable hierarchies and Combescure symmetry transformations, J. Phys. A, 30(5), 1591-1603

[13] Bogdanov, L. V. and Konopelchenko, B. G. (1998) Analytic-bilinear approach to integrable hierarchies. I. Generalized KP hierarchy., J. Math. Phys., 39(9), 4683-4700

[14] Bogdanov, L. V. and Konopelchenko, B. G. (1998) Analytic-bilinear approach to integrable hierarchies. II. Multicomponent KP and 2D Toda lattice hierarchies., J. Math. Phys., 39(9), 4701-4728

[15] Bogdanov, L. V. and Ferapontov, E. V. (1998) A nonlocal Hamiltonian formalism for semi-Hamiltonian systems of hydrodynamic type, Teoret. Mat. Fiz., 116(1), 829-835

[16] Bogdanov, L. V. and Konopelchenko, B. G. (1999) Moebius invariant integrable lattice equations associated with KP and 2DTL hierarchies, Phys. Lett. A, 256(1), 39-46

[17] Bogdanov, L. V. and Konopelchenko, B. G. (2000) Moebius invariant integrable lattice equations associated with the generalized KP hierarchy, CRM Proc. Lecture Notes, 25, 33-45

[18] Bogdanov, L. V. and Konopelchenko, B. G. (2001) Generalized KP hierarchy: Moebius symmetry, symmetry constraints and Calogero-Moser system, Physica D: Nonlinear Phenomena, 152-153, 85-96

I

I

[19] Bogdanov, L. V., Konopelchcnko, B. G. and Orlov, A. Yu. (2001) Trigonometric Calogcro-Moscr System as a Symmetry Reduction of KP Hierarchy, Integrable Hierarchies and Modern Physical Theories (NATO ARW-UIC

I

2000). Kluwer, Dordrecht, 277-287

[20] Bogdanov, L. V. and Zakharov, V. E. (2002) The Boussinesq equation revisited, Phys. D, 165(3-4), 137-162

[21] Bogdanov, L.V. and Ferapontov, E.V. (2002) Projective differential geometry of higher reductions of the two-dimensional Dirac equation. Препринт nlin.SI/0211040

[22] Bogdanov, L.V., Konopelchcnko, B.G. and Martinez Alonso, L. (2003) Quasi-classical 5-mcthod: Generating equations for dispersionless integrable hierarchies, ТМФ, 134(1), 46-54

2.00? -ñ "W

1 477*

Введение

1. Метод 9-одевания

1.1. Первоначальная формулировка метода.

1.1.1. Иерархия КП.

1.1.2. Система Дарбу-Захарова-Манакова

1.2. Различные нормировки и система общего положения

1.2.1. Вырождение системы общего положения

1.3. Система Веселова-Новикова и ее редукции.

1.3.1. Редукции в терминах 9-проблемы.

1.4. Дискретные и ^-разностные переменные.

1.4.1. Дискретная и q-paзнocтнaя иерархия КП.

1.4.2. Дискретная и я-разностная система общего положения

1.4.3. Дискретная и q-paзнocтнaя система Дарбу-Захарова Манакова.

1.5. Дуальная 9-проблема и тождество Хироты.

2. Убывающие решения и размерные редукции

2.1. Специальные случаи нелокальной

-проблемы.

2.2. Выделение решений со специальными свойствами.

2.2.1. Малые убывающие решения (непрерывный спектр)

2.2.2. Размерные редукции.

2.3. Метод д-одевания и уравнение Буссинеска.

2.3.1. Непрерывный спектр.

2.3.2. Солитонный сектор.

Билинейное тождество Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахие

3.1. Обращение оператора д в единичном круге.

3.1.1. Оператор д с нулевым индексом.

3.2. Рациональные деформации граничных условий.

3.3. Свойства билинейного тождества.

3.4. Детерминантная формула для действия мероморфных петель на ядро Коши.

3.5. т-функция для однокомпонентного случая.

Метод ^-одевания и интегрируемые иерархии I. Производящие дискретные уравнения 143 4.1. Однокомпонентный случай.

4.1.1. Уравнения для потенциала.

4.1.2. Модифицированные уравнения.

4.1.3. Уравнение многообразия особенностей.

4.1.4. Связь различных уровней иерархии.

4.2. Общие матричные уравнения для многокомпонентного случая

4.2.1. Уравнения на потенциал.

4.2.2. Матричные модифицированные уравнения.

4.2.3. Матричное уравнение многообразия особенностей

4.2.4. Общая картина многокомпонентной иерархии.

4.3. Иерархия Дэви-Стюартсона.

4.3.1. Линейные задачи.

4.3.2. Векторные модифицированные уравнения ДС.

4.4. Система Дарбу.

4.5. Иерархия двумерной цепочки Тоды

4.5.1. Уравнения 2БТЬ-иерархии.

4.5.2. Модифицированные дискретные уравнения 2DTL

4.5.3. Дискретные Мебиус-инвариантные уравнения 2DTL . . 214 Метод d-одевания и интегрируемые иерархии II. От дискретного случая к непрерывному

5.1. Скалярная иерархия КП.

5.1.1. Иерархия КП: уравнения, преобразования Дарбу и Бэк-лунда

5.1.2. Модифицированная иерархия КП.

5.1.3. Иерархия Мебиус-инвариантных уравнений КП

5.1.4. Связь между различными уровнями иерархии.

5.1.5. Преобразование Комбескура

5.1.6. т-функция и формулы сложения.

5.2. Многокомпонентная иерархия КП.

5.2.1. Система Дарбу.

5.2.2. Иерархия ДС.

5.2.3. О редукциях

5.2.4. г-функция и замкнутая 1-форма для многомерного случая

5.3. Группа петель Г и иерархия 2БТЬ.

5.3.1. Формулы сложения для иерархии 2БТЬ.

6. О развитии метода и некоторых приложениях

6.1. Редукции и проективная геометрия

6.1.1. Определение класса редукций и элементарные свойства

6.1.2. Явный вид редукций и геометрический смысл.

6.1.3. Производящая форма 5 для редукции произвольного порядка.

6.2. Неизоспектральные симметрии.

6.2.1. Тригонометрические потоки.

6.2.2. Преобразования Мебиуса.

6.2.3. Симметрийные редукции и система Калоджеро-Мозера

6.3. Квазиклассический метод ^-одевания.

6.3.1. Без дисперсионная иерархия КП

6.3.2. Бездисперсионная иерархия 2БТЬ.

Теория солитонов и метод обратной задачи, с которыми связана настоящая диссертация, являются сейчас важным разделом математической физики, которому посвящено множество публикаций и монографий (см., например, [76]). В результате развития теории солитонов получено большое количество новых интегрируемых систем, обладающих замечательными математическими свойствами и имеющих множество приложений. Одним из важных методов в современной теории солитонов является метод d-одевания, предложенный В.Е. Захаровым и C.B. Манаковым [111, 112]. Этот метод позволяет конструировать интегрируемые уравнения одновременно с широким классом их решений. Настоящая диссертация посвящена развитию метода <9-одевания. Основное внимание уделено исследованию схемы конструирования интегрируемых уравнений и расширению ее возможностей, а также изучению свойств возникающих интегрируемых систем (непрерывных и дискретных симметрий, редукций). Получены новые интегрируемые системы и щ редукции, имеющие интересные приложения, в частности, к непрерывной и дискретной геометрии.

Метод одевания берет начало с работ Захарова и Шабата [83, 107], в которых была предложена схема конструирования интегрируемых уравнений и одновременно вычисления их решений. Эта схема основана на факторизации интегрального оператора на прямой в произведение двух операторов Вольтерра. Дальнейшее развитие метод одевания получил в работе [109], где в схему метода одевания была введена задача Римана-Гильберта.

Метод <9-одевания возник в результате двух важных наблюдений, сделанных при изучении обратной задачи рассеяния для L-операторов уравнений КП1 и КП2. В 1981 году С. В. Манаков показал [68], что обратная задача для L-оператора КП2 (зависящего от времени одномерного оператора Щре-дингера) в классе убывающих потенциалов сводится к нелокальной задаче Римана. В 1983 году Абловиц, Бар Яаков и Фокас [1] обнаружили, что обратная задача для L-оператора КП1 (оператора теплопроводности) сводится к d-проблеме на комплексной плоскости. Осознание общей структуры, стоящей за этими двумя результатами, привело С. В. Манакова и В. Е. Захарова к формулировке метода <9-одевания [111, 112].

Метод ^-одевания представляет собой метод конструирования решений интегрируемых уравнений, используя вспомогательную линейную задачу в плоскости комплекной переменной (нелокальную ^-проблему), сводящуюся к линейным интегральным уравнениям. В общем случае решения строятся локально в окрестности некоторой точки пространства-времени, и их глобальное поведение не фиксировано.

Одновременно метод ^-одевания является методом построение интегрируемых (2+1)-мерных уравнений, так как если уравнение вкладывается в схему этого метода, для него существует бесконечное количество симметрий и представление в виде условий совместности (что обычно и подразумевается под интегрируемостью в этом случае).

В работах [111, 112] было показано, что формализм метода ^-одевания применим к уравнениям КП1, КП2. Было также замечено, что метод одевания позволяет строить широкий класс частных решений, зависящий от функциональных параметров, в явной форме. Этот класс соответствует вырожденным ядрам интегральных уравнений нелокальной ¿^-проблемы, в него входят, в частности, решения в виде набора плоских солитонов.

Технически, уравнения КП1 и КП2 в методе ^-одевания [111, 112] определялись тройкой функций вспомогательной (спектральной) переменной, которые входят в показатели экспонент, определяющих зависимость ядра нелокальной 5-проблемы от пространственных и временных переменных. Для КП1 это функции К\(Х) = iA, К2(А) = iA2, К3(А) = iA3; для КП2 К^Х) = iA, К2(Х) = А2, Кз(Х) = iA3. Было также выяснено, что введение дополнительных переменных tn с Кп(X) = гАп+3 (или Кп(X) = (гА)п+3 для КП2) соответствует высшим уравнениям КП. В работах [111, 112] было также построена интегрируемая система (система Захарова- Манакова), соответствующая функциям К{{А), имеющим один простой полюс в различных точках. Имея в виду многочисленные приложения ^-метода к геометрии, возникшие в последнее время, достаточно символично, что первая же новая интегрируемая система, сконструированная в рамках метода <9-одевания, оказалась геометрической по природе. Позднее выяснилось, что в скалярном случае система Захарова-Манакова совпадает с системой Дарбу, описывающей системы сопряженных поверхностей и хорошо известной в геометрии.

Возник естественный вопрос, какая интегрируемая система соответствует произвольной тройке рациональных функций Ki(X), и, в частности, какие уравнения возникают в случае общего положения, когда эти функции имеют произвольное число простых несовпадающих полюсов. Схема конструирования интегрируемых (2+1)-мерных уравнений, предложенная в работах [111, 112], использовала кольцо операторов (кольцо Захарова-Манакова), позволяющих размножать решения нелокальной ô-проблемы. Изучение общих свойств линейного пространства решений, получаемых с помощью этого кольца, показывало, что произвольной тройке рациональных функций должна соответствовать интегрируемая система, но выписать эту систему в явном виде не удавалось. Ключом к решению этой задачи стало наблюдение о существовании различных нормировок нелокальной ^-проблемы, сделанное в работе автора и C.B. Манакова [123]. В этой работе было показано, что, наряду с канонической нормировкой, с той же степенью корректности определена и нормировка нелокальной ^-проблемы на произвольную рациональную функцию Используя специальный набор решений ô-проблемы, в работе [123] удалось построить интегрируюмую систему, соответсвующую ситуации общего положения (функции Ki(Л) имеют произвольное число простых несовпадающих полюсов). Эта система представляет собой модификацию известной интегрируемой системы N волн. Оказалось, что система общего положения формально лагранжева, для нее было найдено действие и выписаны простейшие интегралы движения [123]. В принципе, произвольная система, интегрируемая методом д-одевания, может быть получена из системы общего положения вырождение, при котором простые полюса функций Кг(Х) сливаются и превращаются в кратные. Это также должно означать, что системы, интегрируемые методом д-одевания, лагранжевы, и действие для них получается предельным переходом (вырождением) из действия системы общего положения. В работе [123] на примере уравнения КП было показано, что процедура предельного перехода действительно работает для действия, и (известный) лагранжиан КП был получен предельным переходом из лагранжиана системы общего положения (системы типа N волн).

В связи с тем, что метод ^-одевания дает процедуру получения лагранжиана интегрируемой системы, возникла следующая интересная задача. При изучении изоспектральных (при фиксированном уровне энергии) деформаций двумерного оператора Шредингера было найдено новое интегрируемое уравнение - уравнение Веселова-Новикова [96]. Лагранжиан для него найти не удавалось. Встал вопрос, нельзя ли получить этот лагранжиан предельным переходом из лагранжиана системы общего положения. Процедура интегрирования уравнения Веселова-Новикова методом ¿¡¡-одевания была уже известна, но в ней пара точек с особенностями (ноль и бесконечность), технически равноправные, использовались несимметрично, и с самого начала вводилась сильная редукция, состоящая в занулении магнитного поля в двумерном операторе Шредингера. Для использования предельного перехода возникла необходимость вывести нередуцированную систему с использованием различных нормировок (в нуле и на бесконечности). В результате возникла система Веселова-Новикова на две функции, связанная с двумерным оператора типа оператора Дирака [120]. Редукциями этой системы являются уравнение Веселова-Новикова и модифицированное уравнение Веселова-Новикова (новое уравнение). Лагранжиан системы Веселова-Новикова легко находился и без предельного перехода, но оказалось, что при редукции, соответствующей модифицированному уравнению ВН, из него получается лагранжиан этого уравнения, а при редукции, соответствующей уравнению ВН, лагранжиан вырождается. Таким образом, стоявшая первоначально задача (нахождение лагранжиана уравнения ВН) решена не была. Однако, были получены новые интересные уравнения (система ВН и уравнение мВН), которые через некоторое время нашли важные приложения в геометрии и сейчас широко используются [53, 87]. Следует заметить, что при выводе этих уравнений существенно использовались различные нормировки нелокальной 5-проблемы.

В связи с заметным интересом к дискретным интегрируемым системам в 90-х годах, возник вопрос о месте дискретных переменных в методе д-одевания. В первой работе автора в этом направлении [126] было показано, как включить дискретные (разностные) операторы в кольцо Захарова-Манакова, и с использованием этого кольца был построен дискретный аналог КП иерархии, а также дискретный аналог системы общего положения (системы типа N волн).

Продолжением работы по изучению интегрируемых дискретных систем в рамках метода 5-одевания стала статья [129]. В этой работе были впервые построены дискретный и я-разностный аналоги системы Дарбу-Захарова-Манакова (ДЗМ). Была найдена интерпретация различных типов преобразований симметрии для системы ДЗМ (преобразования Бэклунда, Дарбу, Комбескура), известных (в непрерывном случае) из геометрии, в спектральных терминах (на языке д-проблемы). Были построены также некоторые решения дискретной и q-paзнocтнoй системы ДЗМ.

Безусловно, задача о дискретизации системы ДЗМ была поставлена не случайно. Поскольку в непрерывном случае эта система играет важную роль в геометрии и интенсивно изучалась, была надежда, что и ее дискретный аналог имеет геометрический смысл. Через два года Долива и Сантини пришли к той же системе из геометрических соображений [18]. Геометрическая интерпретация ее оказалась неожиданно простой: она описывает систему дискретных поверхностей, состоящих из плоских четырехугольников. После того, как выяснилось, что возникшая в работе [18] система уже проинтегрирована методом д-одевания [129], этод метод стал широко использоваться в работах по дискретной геометрии [13, 19], включая конструкции, введенные в работах [128, 129] (дискретные переменные в методе 5-одевания, функция Коши-Бейкера-Ахиезера в методе 5-одевания). В геометрическом контексте функция Коши-Бейкера-Ахиезера (матричная) играет фундаментальную роль: она задает компоненты радиус-вектора, задающего систему поверхностей.

В работе [126] были сделаны наблюдения о том, что построение общего решения рассматриваемых полностью дисретных интегрируемых систем сводится к линейной алгебре и возникающие формулы для решений связаны с детерминантной формулой типа формулы для т-функции Мивы [72]. Были выписана формулы для таких решений в терминах функции Коши-Бейкера-Ахиезера (КБА). Автор использует название, предложенное в работе Грине-вича и Орлова [37], в которой была введена функция (ядро) Коши-Бейкера-Ахиезера на римановой поверхности. В рамках метода д-одевания эта функция связана с решением нелокальной 5-проблемы с нормировкой (Л — ¿¿)-1 ('плавающая нормировка'). Эти наблюдения послужили для автора толчком к дальнейшему изучению свойств функции Коши-Бейкера-Ахиезера, как в рамках метода д-одевания, так и в контексте интегрируемых иерархий, результаты которого были сформулированы в работе [128]. В этой работе было введено тождество Хироты для функции КБА. Было показано, что, стартуя с этого тождества, можно воспроизвести все необходимые элементы схемы конструирования интегрируемых нелинейных уравнений, применяемые в методе 5-одевания (кольцо Захарова-Манакова и свойства линейного пространства, в котором оно действует). В то же время, тождество Хироты для фунции Коши-Бейкера-Ахиезера не является объектом, специфическим для метода д-одевания, оно воспроизводится и в методе конечнозонного интегрирования и может быть помещено в более общий контекст подхода Сато и Сегала-Вильсона, в котором функция КБА является хорошо определенным объектом. Таким образом, тождество Хироты связывает метод д-одевания с другими методами теории интегрируемых систем и позволяет поместить результаты, полученные с его помощью, в более широкий контекст.

Следует отметить, что первый шаг, связывающий метод ^-одевания с подходом Сато и Сегала-Вильсона, был сделан в работе Кэррола и Коно-пельченко [10], где в рамках метода д-одевания было получено стандартное тождество Хироты для функции Бейкера-Ахиезера. Вывод в рамках метода <9-одевания тождества Хироты для функции КБА, введенного в работе [128], дан в работе [129]. Для этого вывода существенно наблюдение, что решение нелокальной ^-проблемы, нормированное на (Л — /л)-1 (ядро КБА), одновременно решает нелокальную ^-проблему по Л и дуальную проблему по ¡1. Это же наблюдение было независимо сделано Манаковым и Зенчуком [118] и использовалось при изучении редукций интегрируемых систем в терминах метода д-одевания.

В связи с важностью функции Коши-Бейкера-Ахиезера и билинейного тождества для нее, автором (совместно Б.Г. Конопельченко) были предприняты усилия по изучению тождества Хироты самого по себе, вне контекста метода д-одевания, и анализа функциональных уравнений для функции Коши-Бейкера-Ахиезера, возникающих из этого тождества [132, 133]. Динамика функции Коши-Бейкера-Ахиезера, задаваемая тождеством Хироты, связана с группой петель (гладких функций на кривой без нулей); ее можно рассматривать как основной объект интегрируемой иерархии. Для тождества Хироты можно поставить начальную задачу и показать, что для преобразований, определяемых рациональными петлями, эта задача решается явно, средствами линейной алгебры. Решение дается детерминантной формулой для преобразования функции Коши-Бейкера-Ахиезера, соответствующего произвольной рациональной петле [128] (фактически эта формула решает интегрируемые дискретные уравнения при произвольной начальной точке грассманиана явно, средствами линейной алгебры). Таким образом, решение начальной задачи для тождества Хироты существует (по крайней мере, в подгруппе рациональных петель). Кроме того, в работе [119] было показано, что решение единственно. Эти утверждения показывают, что тождество Хироты является содержательным объектом и его можно изучать в отрыве от конструктивных методов построения решений.

Детерминантная формула позволяет ввести т-функцию для рациональных петель и дает детерминантную форму теорем сложения для нее. Найдена также формула, выражающая тау-функцию через ядро Коши-Бейкера-Ахиезера в терминах вариационной 1-формы. Показано, что стартуя с билинейного тождества Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера (без отсылки к ^-проблеме), можно получить картину динамики на грассманиане и ввести стандартные объекты.

Особую роль играют функциональные (дискретные) уравнения на ядро Коши-Бейкера-Ахиезера, возникающие из тождества Хироты, которые отвечают элементарным рациональным петлям (т.е. петлям, имеющим простой ноль и простой полюс). Эти уравнения в компактной форме содержат всю информацию об соответствующей интегрируемой иерархии и дают различные типы производящих уравнений иерархии. В работах [132, 133, 119] из функционального уравнения для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера, соответствующего КП иерархии, получены теорема сложения для тау-функции, дискретное уравнение для потенциала и линейные задачи для него (первый уровень иерархии), дискретное уравнение для волновых функций первого уровня и линейные задачи для него (второй уровень иерархии), дискретное уравнение для волновых функций второго уровня (КБА-функция, проинтегрированная с произвольными весами) (третий уровень), преобразования Миуры 3->2-> 1.

Наибольший интерес представляет уравнение третьего уровня. Это новое Мёбиус-инвариантное дискретное уравнение (discrete Schwarzian КР; discrete КР singular manifold equation) которое недавно получило геометрическую интерпретацию, связанную с классической теоремой Менелая, известной с глубокой древности [57].

Дискретные производящие уравнения дают уравнения иерархий (КП иерархия, многокомпонентной КП иерархия, иерархия двумерной цепочки Тоды) в частных производных. Разложение по параметрам введенных дискретных уравнений генерирует в виде уравнений в частных производных

1) КП иерахию для потенциала

2) мКП иерархию для волновых функций

3) иерархию уравнений многообразия особенностей (Мебиус-инвариантных уравнений) для волновых фунций второго уровня.

В терминах иерархии в форме PDE дискретные уравнения интерпретируются как алгебраический принцип суперпозиции для трех преобразований Бэклунда.

В монографии [119] рассмотрены также соответствующие уравнения для многокомпонентной КП иерархии и иерархии двумерной цепочки Тоды. Преимуществом подхода, базирующегося на тождестве Хироты для функции Коши-Бейкера-Ахиезера, является то, что многокомпонентный случай рассматривается в основном аналогично однокомпонентному и требует лишь минимальной модификации. Спецификой общего многокомпонентного случая является наличие существенно дискретных переменных (типа дискретной переменной цепочки Тоды). В многокомпонентном случае возникает также новый класс уравнений - векторные модифицированные уравнения. В связи с этим общая картина многокомпонентного случая достаточно сложна, и в монографии [119] сделана попытка описать лишь ее основные элементы.

При изучении Мебиус-инвариантных дискретных уравнений интегрируемых иерархий обнаружилось, что преобразование Мёбиуса на третьем уровне КП иерахии отвечает специальной неизоспектральной симметрии, связанной с бинарным преобразованием Дарбу [137]. Была найдена интерпретация этой симметрии в терминах тождества Хироты и построены рациональные и тригонометричесие неизоспектральные потоки [137, 138]. Симметрийные редукции иерархии по этим потокам приводят к возникновению рациональной и тригонометрической системы Калоджеро-Мозера.

В рамках метода 5-одевания была также развита эффективная техника исследования редукций интегрируемых систем. При изучении системы Веселова-Новикова было выяснено, что редукции, выделяющие уравнение Веселова-Новикова и модифицированное уравнение Веселова-Новикова соответствуют простым линейным условиям на ядро нелокальной ^-проблемы, сохраняющимся при динамике по нечетным временам иерархии [36, 120]. Дальнейшее развитие исследование редукций в рамках метода 5-одевания получило в работе [115], где было показано, что уравнения Ламе, хорошо известные в геометрии и описывающие 1Ч-ортогональные системы координат, получаются в результате сходной редукции. В работе [116] был изучен общий класс условий на ядро нелокальной ^-проблемы, определяющих редукции. В монографии [119] введены условия на ядро Коши-Бейкера-Ахиезера, соответствующие редукциям.

Недавно автором совместно с Е.В. Ферапонтовым [140] было обнаружено, что целый класс редукций многокомпонентной иерархии КП, низшими представителями которого в двухкомпонентном случае являются редукции, выделяющие уравнение Веселова-Новикова и модифицированное уравнение Веселова-Новикова, а в многокомпонентном случае - егоровская редукция и уравнения Ламе, тесно связан с проективной дифференциальной геометрией.

Было показано, что рассматриваемый класс редукций характеризуется весьма простым свойством, а именно, существованием дифференциального оператора Вп порядка п (порядок редукции), преобразующего волновые функции линейных операторов иерархии в волновые функции дуальных операторов. Это свойство достаточно для явного вычисления редукций. В двумерном случае (иерархия Дэви-Стюартсона) Ъ-опрератором является оператор Дирака

0яФ2 = 0Фь №= 7^2, играющий важную роль в диффенциальной геометрии и математической физике; дуальный оператор имеет вид

Основное наблюдение, связывающее редукции с геометрией, состоит в том, что редукция порядка п совпадает с проективно-геометрическими уравнениями Гаусса-Кодацци, описывающими специальные классы конгруэнций прямых в проективном пространстве р2п1; которое представляет собой про-ективизированное ядро преобразования Бп. Во втором порядке возникают И^-конгруэнции в пространстве Р3, принадлежащие линейному комплексу. Третий порядок соответствует изотропным конгруэнциям в Р5. Был рассмотрен также многокомпонентный случай, дифференциальные операторы, связывающие волновые функции линейных уравнений системы Дарбу /З^Фг, i, j = 1,i ^ j, и дуальных линейных уравнений

ЭгЩ = получены соответствующие редукции и рассмотрена их геометрическая интерпретация. С использованием уравнений для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера, отвечающих редукциям, были построены производящие формы для редукций произвольного порядка. Эти формы полностью определяют редукцию и играют критическую роль в геометрической интерпретации.

Недавно был предложен квазиклассический метод 9-одевания, полученный в длинноволновом пределе из обычного метода [54, 55, 56]. Этот метод дает возможность конструировать уравнения бездисперсионных интегрируемых иерархий и их решения, стартуя с нелинейного уравнения Бельтрами в комплексной плоскости. С использованием этого метода, автором совместно с Б.Г. Конопельченко и Л. Мартинесом Алонсо были получены производящие уравнения для бездисперсионной КП и 2БТЬ иерархий в терминах потенциала, в терминах действия и в терминах бездисперсионного аналога ядра Коши-Бейкера-Ахиезера (аналоги первого, второго и третьего уровня иерархии в обычном случае).

Изложение настоящей диссертации в основном следует историческому развитию метода д-одевания.

Первая глава начинается с первоначальной формулировки метода д-одевания, предложенного Захаровым и Манаковым. Затем рассмотрены различные нормировки и система общего положения, система Веселова-Новикова и ее редукции. Конец главы посвящен введению дискретных и д-разностных переменных в методе 5-одевания и возникающим дискретным интегрируемым системам. В рамках 5-метода введено ядро Коши-Бейкера-Ахиезера (плавающая нормировка) и доказано тождество Хироты для него.

Во второй главе развита техника, позволяющая выделять малые убывающие решения (непрерывный спектр) и решения, стационарные по какому-либо времени, в терминах условий на ядро ^-проблемы. Подробно расмотре-ны соответствующие задачи для различных случаев уравнения Буссинеска.

В третьей главе тождество Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера рассматривается самостоятельно, вне контекста ^-метода. Сформулирована начальная задача для тождества Хироты (рассматриваемого как уравнение). Получены детерминантные формулы для преобразований ядра КБА. Рассмотрен вопрос о введении т-функции.

В четвертой главе из билинейного тождества Хироты выводятся производящие дискретные уравнения интегрируемых иерархий. Рассмотрены иерархия КП, многокомпонентная иерархия КП и иерархия двумерной цепочки Тоды.

В пятой главе изучается переход от дискретных производящих уравнений к непрерывному случаю и различные типы уравнений, возникающих при этом переходе.

В шестой главе рассмотрены некоторые приложения и дальнейшее развитие метода <9-одевания.

Сначала изучается класс редукций многокомпонентной иерархии КП, имеющий важные приложения приложения к проективной дифференциальной геометрии.

Затем рассмотрены неизоспектральные симметрии, связанные с преобразованием Мебиуса, и симметрийные редукции.

В конце главы сформулирован квазиклассический метод <9-одевания и получены производящие уравнения для бездисперсионных иерархий.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации.

Введены различные нормировки нелокальной ¿^-проблемы, и с их использованием найдена интегрируемая (2+1)-мерная система, соответствующая случаю общего положения для 5-одевания на плоскости (произвольное количество простых несовпадающих полюсов в показателях экспонент, одевающих ядро). Это система типа системы N волн, для нее выписан Лагранжиан и некоторые законы сохранения. Показано, что из Лагранжиана системы общего положения предельным переходом можно получить Лагранжиан уравнений с кратными полюсами (на примере КП).

С использованием различных нормировок найдена система уравнений, связанная с двумерным оператором Дирака, редукции которой дают уравнение Веселова-Новикова и модифицированное уравнение ВеселовагНовикова (введено впервые). Построен Лагранжиан системы, найдены условия на ядро д-проблемы, обеспечивающие редукции, решена обратная задача для малых убывающих потенциалов при фиксированной энергии.

Развита техника, позволяющая выделять малые убывающие решения (непрерывный спектр) и решения, стационарные по какому-либо времени, в терминах условий на ядро ^-проблемы. Подробно расмотрены соответствующие задачи и солитонный сектор для различных случаев уравнения Буссинеска.

В схему метода 9-одевания введены дискретные и q-paзнocтныe переменные. Исследованы возникающие дискретные системы. Найден дискретный и q-paзнocтный интегрируемые аналоги геометрической системы Дарбу.

В рамках д-метода введена ядро Коши-Бейкера-Ахиезера (плавающая нормировка) и дуальная д-проблема. Получено тождество Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера.

Тождество Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера рассмотрено самостоятельно, как уравнение. Для этого уравнения поставлена начальная заг дача и показано, что для преобразований, определяемых рациональными петлями, эта задача решается явно, средствами линейной алгебры. Доказано также, что решение начальной задачи единственно. Стартуя с тождества Хироты, найдена детерминантная формула для преобразования функции Коши-Бейкера-Ахиезера, соответствующего произвольной рациональной петле. Показано, что детерминантная формула в однокомпонентном случае позволяет ввести т-функцию для рациональных петель и дает детерми-нантную форму теорем сложения для нее.

Для скалярной иерархии КП из билинейного тождества выведено дискретное (функциональное) уравнение для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера, отвечающее элементарной рациональной петле. Из этого уравнения получены: теорема сложения для тау-функции, дискретное уравнение на потенциал и линейные задачи для него (первый уровень иерархии), дискретное уравнение для волновых функций первого уровня и линейные задачи для него второй уровень иерархии), дискретное уравнение для волновых функций второго уровня (третий уровень иерархии). Уравнение третьего уровня - новое, Мёбиус-инвариантное (discrete Schwarzian КР; discrete КР singular manifold equation). Получены преобразования Миуры 3->2->1. Рассмотрены соответствующие уравнения для многокомпонентной КП иерархии и иерархии двумерной цепочки Тоды.

Из дискретных производящих уравнений получены уравнения иерархий (КП иерархия, многокомпонентной КП иерархия, иерархия ДС, иерархия двумерной цепочки Тоды) в частных производных. Показано, что разложение по параметрам введенных дискретных уравнений генерирует в виде уравнений в частных производных в случае иерархии КП 1) иерахию уравнений на потенциал (стандартная иерархия КП) 2) иерархию уравнений для волновых функций (модифицированная иерархия КП) 3) иерархию уравнений для волновых фунций второго уровня (Мебиус-инвариантная иерархия КП). Показано, что из дискретных производящих уравнений получаются также преобразования Бэклунда и формулы суперпозиции для них. Найдены соответствующие уравнения для многокомпонентной иерархии КР, иерархии ДС и для однокомпонентной иерархии цепочки Тоды. В многокомпонентном случае получены также векторные модифицированные уравнения.

Обнаружено, что целый класс редукций многокомпонентной иерархии КП, совместных с динамикой по нечетным временам, тесно связан с проективной дифференциальной геометрией. Показано, что рассматриваемый класс редукций характеризуется существованием дифференциального оператора £>п порядка п (порядок редукции), преобразующего волновые функции линейных операторов иерархии в волновые функции дуальных операторов. Это свойство достаточно для явного вычисления редукций. В двумерном случае (иерархия Дэви-Стюартсона) Ь-опрератором является оператор Дирака, играющий важную роль в диффенциальной геометрии и математической физике. Выяснено, что редукция порядка п совпадает с проективно-геометрическими уравнениями ГауссагКодацци, описывающими специальные классы конгруэнций прямых в проективном пространстве Р2п1, которое представляет собой проективизированное ядро преобразования £)„. Показаг но, что во втором порядке возникают Ж-конгруэнции в пространстве Р3, принадлежащие линейному комплексу, а третий порядок соответствует изотропным конгруэнциям в Р5. Рассмотрен также многокомпонентный случай, дифференциальные операторы, связывающие волновые функции линейных уравнений системы Дарбу и дуальных линейных уравнений, получены соответствующие редукции и найдена их геометрическая интерпретация. С использованием уравнений для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера, отвечающих редукциям, построены производящие формы для редукций произвольного порядка. Эти формы полностью определяют редукцию и играют критическую роль в геометрической интерпретации.

Показано, что преобразование Мёбиуса на третьем уровне КП иерахии отвечает специальной неизоспектральной симметрии, найдена интерпретация этой симметрии в терминах тождества Хироты, построены рациональные и тригонометричесие неизоспектральные потоки, показано, что симметрийная редукция по этим потокам приводит к возникновению тригонометрической системы Калоджеро-Мозера.

С использованием квазиклассического метода ^-одевания получены производящие уравнения для бездисперсионной КП и 2БТЬ иерархий в терминах потенциала, в терминах действия и в терминах бездисперсионного аналога ядра Коши-Бейкера-Ахиезера (аналоги первого, второго и третьего уровня иерархии в обычном случае).

1. Ablowitz, M. J.; Bar Yaacov, D.; Fokas, A. S. (1983) On the inverse scattering transform for the Kadomtsev- Petviashvili equation. Stud. Appl. Math. 69(2), 135-143

2. Adler, M.; van Moerbeke, P. (1994) Birkhoff strata, Bäcklund transformations, and regularization of isospectral operators. Adv. Math. 108 (1), 140204

3. Aoyama, Shogo; Kodama, Yuji. (1996) Topological Landau-Ginzburg theory with a rational potential and the dispersionless KP hierarchy. Comm. Math. Phys. 182(1), 185-219

4. Beals, R.; Deift, P.; Tomei, C. (1988) Direct and inverse scattering on the line. Mathematical Surveys and Monographs, 28. American Mathematical Society, Providence, RI.

5. Blaschke W. (1929) Vorlesungen über Differentialgeometrie, V.3. Springer-Verlag, Berlin.

6. Boiti, M.; Pempinelli, F.; Pogrebkov, A. K.; Prinari, B. (1998) On the theory of the inverse scattering problem for two-dimensional nondecreasingpotentials. Teoret. Mat Fiz. 116(1), 3-53

7. Bol G. (1954) Projektive Differentialgeometrie. Gôttingen.

8. Burstall F., Pedit F. and Pinkall U. (2001) Schwarzian derivatives and flows on surfaces. Препринт arXiv:math.DG/0111169.

9. Carroll, R.; Konopelchenko, B. (1993) Z?-bar dressing and Sato theory. Lett Math. Phys. 28(4), 307-319

10. Carroll, R.; Kodama, Y. (1995) Solution of the dispersionless Hirota equations. J. Phys. A 28(22), 6373-6387

11. Caudrey, P. J. (1982/83) The inverse problem for a general nxn spectral equation. Phys. D 6(1), 51-66

12. Cieslinski J., Doliwa A., Santini P.M. (1997) The integrable discrete anar logues of orthogonal coordinate systems are multi-dimensional circular lattices. Phys. Lett. A 235(5), 480-488

13. Darboux, G. (1910) Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvilignes. Paris.

14. Date, E.; Kashiwara, M.; Jimbo, M.; Miwa, T. (1983) Transformation groups for soliton equations, Nonlinear integrable systems—classical theoryand quantum theory (Kyoto, 1981), M. Jimbo and T. Miwa (Eds). World Sci. Publishing, Singapore. 39-119

15. Deift, P.; Tomei, C.; Trubowitz, E. (1982) Inverse scattering and the Boussinesq equation. Comm. Pure Appl. Math. 35(5), 567-628

16. Dickey L. A. (1991) Soliton equations and Hamiltonian systems. World Scientific, Singapore.

17. Doliwa, A.; Santini, P. M. (1997) Multidimensional quadrilateral lattices are integrable. Phys. Lett A 233(4-6), 365-372

18. Doliwa A., Manakov S.V., Santini P.M. (1998) Dbar-reductions of the multidimensional quadrilateral lattice. The multidimensional circular lattice. Commun. Math. Phys. 196(1), 1-18

19. Dryuma V.S. (1974) Analytic solution of the two-dimensional Korteveg-de Vries equation. Soviet ZETP letters 19, 387

20. Dubrovin, B. A.; Novikov, S. P. (1989) Hydrodynamics of weakly deformed soliton lattices. Differential geometry and Hamiltonian theory. Russian Math. Surveys 44(6), 35-124

21. Dubrovin, B. (1992) Integrable systems in topological field theory. Nuclear Phys. B 379(3), 627-689

22. Dubrovin, B. A. (1992) Hamiltonian formalism of Whitham-type hierarchies and topological Landau-Ginsburg models. Comm. Math. Phys. 145(1), 195-207

23. Dubrovin, Boris; Zhang, Youjin. (1998) Bi-Hamiltonian hierarchies in 2D topological field theory at one-loop approximation. Comm. Math. Phys. 198 (2), 311-361

24. Dunajski, M.; Mason, L.J.; Tod, P. (2001) Einstein-Weyl geometry, the dKP equation and twistor theory. J. Geom. Phys. 37(1-2), 63-93

25. Eisenhart, L. P. (1923) Transformation of surfaces. Princeton Univ. Press.

26. N. M. Ercolani et al, eds., Singular limits of dispersive waves, Nato Adv. Sci. Inst. Ser. B Phys. 320, Plenum, New York (1994).

27. G.E. Falkovich, M.D.Spector and S.K. Turitsyn (1983) Destruction of stationary solutions and collapse in the nonlinear string equation, Phys. Lett. A 99 (6-7) (1983) 271-274.

28. Ferapontov E.V. Lie sphere geometry and integrable systems, Tohoku Math. J. 52 (2000) 199-233.

29. Ferapontov E.V. Surfaces with flat normal bundle: an explicit construction, Diff. Geom. Appl 14, N1 (2001) 15-37.

30. Finikov S.P. Projective Differential Geometry. Moscow-Leningrad, 1937.

31. Finikov S.P. Theory of congruences. Moscow-Leningrad, 1950.

32. Gibbon, J. D.; Tabor, M. (1985) On the one- and two-dimensional Toda lattices and the Painleve property. J. Math. Phys. 26(8), 1956-1960

33. Gibbons, John; Tsarev, Serguei P. (1999) Conformal maps and reductions of the Benney equations. Phys. Lett. A 258(4-6), 263-271

34. Grinevich, P.G.; Manakov, S.V. (1986) Inverse scattering problem for the two-dimensional Schrodinger operator, the ^-method and nonlinear equations. Funct. Anal. Appl. 20, 94-103

35. Grinevich, P. G.; Orlov, A. Yu. (1989) Virasoro action on Riemann surfaces, Grassmannians, det dj and Segal-Wilson r-function, Problems of modern quantum field theory (Alushta, 1989). Springer, Berlin. 86-106

36. M. Jimbo and T. Miwa (1983) Solitons and infinite-dimensional Lie algebras. Publ. RIMS, Kyoto Univ. 19, 943-1001

37. Jin, Shan; Levermore, C. David; McLaughlin, David W. (1999) The semi-classical limit of the defocusing NLS hierarchy. Comm. Pure Appl. Math. 52(5), 613-654

38. Kac, V. G.; van de Leur, J. W. (1993) The n-component KP hierarchy and representation theory, Important developments in soliton theory. SpringerVerlag, Berlin. 302-343

39. Kodama, Yuji. (1988) A method for solving the dispersionless KP equation and its exact solutions. Phys. Lett. A 129(4), 223-226

40. Kodama, Yuji. (1990) Solutions of the dispersionless Toda equation. Phys. Lett A 147(8-9), 477-482

41. Kodama, Yuji. (1999) The Whitham equations for optical communications: mathematical theory of NRZ. SIAM J. Appl Math. 59 (6), 2162-2192

42. Konopelchenko, B. and Strampp, W. (1991) The AKNS hierarchy as symmetry constraint of the KP hierarchy. Inverse Problems 7(5), L17-L24

43. Konopelchenko, B. and Strampp, W. (1992) New reductions of the Kadomtsev-Petviashvili and two-dimensional Toda lattice hierarchies via symmetry constraints. J. Math. Phys. 33(11), 3676-3686

44. Konopelchenko, B. G. (1990) Soliton eigenfunction equations: the 1ST in-tegrability and some properties. Rev. Math. Phys. 2 (4), 399-440

45. B. G. Konopelchenko (1993) Solitons in multidimensions. World Scientific, Singapore.

46. Konopelchenko B.G. Nets in R3, their integrable evolutions and the DS hierarchy, Phys. letters A 183 (2-3), 153-159 (1993).

47. Konopelchenko B. G. and Schief W. K. (1993) Lamé and Zakharov-Manakov systems: Combescure, Darboux and Backlund transformations .Preprint AM 93/9, UNSW, Sydney.

48. Konopelchenko B.G. Induced surfaces and their integrable dynamics, Studies in Appl. Math., 96(1) 9-51 (1996).

49. Konopelchenko B.G. and Pinkall U. Integrable deformations of affine surfaces via Nizhnik-Veselov-Novikov equation, Preprint SFB 288 No. 318, Berlin (1998).

50. Konopelchenko, B. G.; Taimanov, I. A. (1996) Constant mean curvature surfaces via an integrable dynamical system. J. Phys. A 29 (6), 1261-1265

51. Konopelchenko, B.; Martinez Alonso, L.; Ragnisco, O. (2001) The d-approach to the dispersionless KP hierarchy. J. Phys. A 34(47), 1020910217

52. Konopelchenko, B.; Martinez Alonso, L. (2001) ^-equations, integrable deformations of quasiconformal mappings and Whitham hierarchy. Phys. Lett A 286(2-3), 161-166

53. Konopelchenko, B.; Martinez Alonso, L. (2002) Dispersionless scalar integrable hierarchies, Whitham hierarchy, and the quasiclassical ^-dressing method. J. Math. Phys. 43 (7), 3807-3823

54. B.G. Konopelchenko and W.K. Schief. Menelaus' theorem, Clifford configurations and inversive geometry of the Schwarzian KP hierarchy. J. Phys A 35, 6125-6144 (2002)

55. I.K. Rostov et al, r-function for analytic curves, in: Random matrices and their applications, MSRI Publications, 40, 1-15 (2001).

56. Krichever, I. M. (1978) On rational solutions of Kadomtsev-Petviashvili equation and integrable systems of N particles on the line. Funct. Anal, i Pril. 12(1), 76-78

57. Krichever, I. M. (1988) The averaging method for two-dimensional "integrable" equations. (Russian) Funktsional. Anal, i Prilozhen. 22(3), 37-52

58. Krichever, I. M. (1992) The dispersionless Lax equations and topological minimal models. Comm. Math. Phys. 143, 415-429

59. Krichever, I. M. (1994) The r-function of the universal Whitham hierarchy, matrix models and topological field theories. Comm. Pure Appl. Math. 47(4), 437-475

60. Kuperschmidt, B. A.; Manin, Ju. I. (1977) Long wave equations with a free surface. I.Conservation laws and solutions. (Russian) Funktsional. Anal, i Prilozhen. 11 (3), 31-42;

61. Kuperschmidt, B. A.; Manin, Ju. I. (1978) Long wave equations with a free surface. II. The Hamiltonian structure and the higher equations. (Russian) Funktsional. Anal. I Prilozhen. 12 (1), 25-37

62. Kalantarov, V. K.; Ladyzhenskaja, O. A. (1977) Formation of collapses in quasilinear equations of parabolic and hyperbolic types. (Russian) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 69, 77-102

63. Lax, Peter D.; Levermore, C. David. (1983) The small dispersion limit of the Korteweg-de Vries equation. I,II,III. Comm. Pure Appl. Math. 36(3,5,6), 253-290, 571-593, 809-829

64. Leznov, A. N.; Saveliev, M. V.; Smirnov, V. G. (1980) Explicit solutions to two-dimensionalized Volterra equations. Lett. Math. Phys. 4(6), 445-449

65. Manakov, S. V. (1976) The method of the inverse scattering problem, and two-dimensional evolution equations. (Russian) Uspehi Mat Nauk 31(5(191)), 245-246

66. Manakov S. V. (1981) The inverse scattering transform for the time-dependent Schrodinger equation and Kadomtsev-Petviashvili equation. Physica D 3, 420-427

67. Manas, M.; Doliwa, A.; Santini, P.M. (1997) Darboux transformations for multidimensional quadrilateral lattices. I. Phys. Lett. A 232(1-2), 99-105

68. Matveev V. B. and Salle M. A. (1991) Darboux transformations and Solitons. Springer-Verlag, Berlin.

69. M. Mineev-Weinstein P. B. Wiegmann and A. Zabrodin (2000) Integrable Structure of Interface Dynamics. Phys. Rev. Lett. 84, 5106-5109

70. Miwa, T. (1982) On Hirota's difference equations. Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 58(1), 9-12

71. Nijhoff, F. W.; Capel, H. W. (1990) The direct linearisation approach to hierarchies of integrable PDEs in 2 + 1 dimensions. I. Lattice equations and the differential-difference hierarchies. Inverse Problems 6 (4), 567-590

72. Nizhnik, L. P. (1980) Integration of multidimensional nonlinear equations by the inverse problem method. (Russian) Dokl. Akad. Nauk SSSR 254(2), 332-335

73. Novikov, S.; Manakov, S. V.; Pitaevskií, L. P.; Zakharov, V. E. (1984) Theory of solitons. The inverse scattering method. Consultants Bureau Plenum], New York-London.

74. A.Yu. Orlov, Collapse of solitons in integrable models, Preprint IAiE No 221 (IAiE, Novosibirsk, 1983).

75. Orlov, A. Yu. and Shulman, E.I. (1986) Additional symmetries for integrable equations and conformal algebra representation. Lett. Math. Phys. 12, 171-179

76. Orlov, A. Yu. (1993) Volterra Operator Algebra for Zero Curvature Representation. Universality of KP, in A. Fokas et al (eds.), Nonlinear Processes in Physics. Potsdam-Kiev, 1991. Springer, Berlin. 126-131

77. Orlov, A. Yu. (1994), Ph. D. Thesis, Chernogolovka.

78. M. Sato (1981) Soliton equations as dynamical systems on infinite dimensional Grassmann manifolds. RIMS, Kokyuroku, Kyoto Univ. 439, 30-46

79. Sato, M.; Sato, Y. (1983) Soliton equations as dynamical systems on infinite-dimensional Grassmann manifold, Nonlinear partial differential equations in applied science (Tokyo, 1982). North-Holland, Amsterdam-New York. 259-271

80. Segal, G.; Wilson, G. (1985) Loop groups and equations of KdV type. Inst. Hantes Etudes Sci. Publ. Math. 61, 5-65

81. Schief, W. K. (1994) On a (2 + l)-dimensional Darboux system: integrable reductions. Inverse Problems 10(5), 1185-1198

82. Shabat A.B. (Шабат А.Б.) (1973) Об уравнении Кортевегагде Фриза. ДАН СССР 211, 1310

83. Shabat, А. В.; Yamilov, R. I. (1997) То a transformation theory of two-dimensional integrable systems. Phys. Lett. A 227(1-2), 15-23

84. Shiota, T. (1986) Characterization of Jacobian varieties in terms of soliton equations. Invent Math. 83 (2), 333-382

85. Shiota, T. (1994) Calogero-Moser hierarchy and KP hierarchy. J. Math. Phys. 35, 5844-5849

86. Taimanov I.A. Modified Novikov-Veselov equation and differential geometry of surfaces, in Solitons, Geometry and Topology (eds. V.M. Buchstaber and S.P. Novikov) Transí AMS, ser.2 179 (1997), 133-155.

87. Takasaki, K. (1989) Geometry of universal Grassmann manifold from algebraic point of view. Rev. Math. Phys. 1 (1), 1-46

88. K. Takasaki and T. Takebe (1992) Int. J. Mod. Phys. A, Suppl IB, 889922

89. Takasaki, K.; Takebe, T. (1995) Integrable hierarchies and dispersionless limit. Rev. Math. Phys. 7(5), 743-808

90. Tsarev, S. P. (1991) The geometry of Hamiltonian systems of hydro-dynamic type. The generalized hodograph method. Math. USSR-Izv. 37(2), 397-419

91. Tsarev, S. P. (1993) Classical differential geometry and integrability of systems of hydrodynamic type, Applications of analytic and geometric methods to nonlinear differential equations (Exeter, 1992). Kluwer Acad. Publ., Dordrecht. 241-249

92. Ueno, K. and Takasaki, K. (1984) Toda lattice hierarchy, in K. Okamoto (ed.), Group representations and systems of differential equations (Tokyo, 1982). North-Holland, Amsterdam-New York. 1-95

93. Van Moerbeke, P. (1994) Integrable foundations of string theory, Lectures on integrable systems (Sophia-Antipolis, 1991), Eds. 0. Babelon et al. World Sci. Publishing, River Edge, NJ. 163-267

94. I.N. Vekua, Generalized analytic functions, Pergamon Press, Oxford (1962).

95. Veselov, A. P.; Novikov, S. P. (1984) Finite-gap two-dimensional potential Schrodinger operators. Explicit formulas and evolution equations. (Russian) Dokl Akad. Nauk SSSR 279(1), 20-24

96. Vladimirov, V. S. (1984) Equations of mathematical physics. "Mir", Moscow.

97. Weiss, John; Tabor, M.; Carnevale, George (1983) The Painlevé property for partial differential equations. J. Math. Phys. 24(3), 522-526

98. Wiegmann, P. B.; Zabrodin, A. (2000) Conformai maps and integrable hierarchies. Comm. Math. Phys. 213 (3), 523-538

99. Wilczynski E.I. Projective-differential geometry of curved surfaces, Trans. AMS 8 (1907) 233-260; 9 (1908) 79-120, 293-315.

100. Wilczynski E.I. Sur la théorie générale des congruences, Mémoire couronné par la classe des sciences. Mémoires publiés par la Classe des Sciences de l'Académie Royale de Belgique. Collection en 4. Deuxième série. Tome III (1911).

101. Wilczynski E.I. The general theory of congruences, Trans. Amer. Math. Soc. 18 (1915) 311-327.

102. Segal, G.; Wilson, G. (1985) Loop groups and equations of KdV type. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 61, 5-65

103. Witten, E. (1988) Quantum field theory, Grassmannians, and algebraic curves. Comm. Math. Phys. 113 (4), 529-600

104. Zabrodin, A. V. (1997) Hirota difference equations. Teoret. Mat. Fiz. 113(2), 179-230

105. Zakharov, V.E. (1974) On stochastization of one-dimentional chains of nonlinear oscillations. Soviet Phys. JETP 38, 108-110

106. Zakharov, V.E.; Shabat, A.B. (1974) A scheme for integrating the nonlinear equations of mathematical physics by the method of the inverse scattering problem. I. Funct. Anal. Appl. 8, 226-235

107. Zakharov, V. E.; Mikhailov, A. V. (1980) On the integrability of classical spinor models in two-dimensional space-time. Comm. Math. Phys. 74(1), 21-40

108. Zakharov, V.E.; Shabat, A.B. (1980) Integration of nonlinear equations of mathematical physics by the method of inverse scattering. II. Funct. Anal. Appl. 13, 166-174

109. Zakharov, V. E. (1980) Benney equations and quasiclassical approximation in the inverse problem method. Funktsional. Anal, i Prilozhen. 14 (2), 1524

110. Zakharov, V. E.; Manakov, S. V. (1984) Multidimensional nonlinear integrable systems and methods for constructing their solutions. (Russian) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 133, 77-91

111. Zakharov, V. E.; Manakov, S. V. (1985) Construction of multidimensional nonlinear integrable systems and their solutions. (Russian) Funktsional. Anal, i Prilozhen. 19(2), 11-25

112. Zakharov, V. E. (1990) On the dressing method, Inverse methods in action (Montpellier, 1989), ed. P. C. Sabatier. Springer, Berlin. 602-623

113. V. E. Zakharov, Dispersionless limit of integrable systems in (2+1)-dimensions, 27], 165-174 (1994)

114. Zakharov, V.E. (1998) Description of the n-orthogonal curvilinear coordinate systems and Hamiltonian integrable systems of hydrodynamic type. I. Integration of the Lamé equations. Duke Math. J. 94(1), 103-139

115. Zakharov, V. E.; Manakov, S. V. (1998) On reductions in systems integrable by the method of the inverse scattering problem. Dokl. Akad. Nauk 360(3), 324-327

116. Zakharov V. E. (2001) Integration of the Gauss-Codazzi equations. Teoret. Mat. Fiz. 128, 133-144

117. Zenchuk, A. I.; Manakov, S. V. (1995) The dual ^-problem, (2 + 1)-dimensional nonlinear integrable evolution equations and their reductions. Theoret. and Math. Phys. 105(3), 1490-1499

118. Публикации автора по теме диссертации1. Монография

119. Bogdanov, L. V. (1999) Analytic-Bilinear Approach to Integrable Hierarchies. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.1. Статьи

120. Bogdanov, L. V. (1987) The Veselov-Novikov equation as a natural generalization of the Korteweg- de Vries equation. ТМФ 70 (2), 309-314

121. Bogdanov L.V. (1987) About two-dimensional Zakharov-Shabat problem. ТМФ 72(1), 155-159

122. Bogdanov, L. V.; Manakov, S. V. Nonlocal ^-problem and (2 + 1)-dimensional soliton equations. Plasma theory and nonlinear and turbulent processes in physics, Vol. 1, 2 (Kiev, 1987), 7-19, World Sei. Publishing, Singapore, 1988.

123. Bogdanov, L. V. and Manakov, S. V. (1988) The nonlocal д problem and (2 + l)-dimensional soliton equations. J. Phys. A 21 (10), L537-L544

124. Bogdanov L.V. and Zakharov V.E. (1992) Decreasing solutions and dispersion laws in the (2+l)-dimensional dressing method. St. Petersburg Math. J. 3, 533-540

125. Bogdanov, L. V. and Zakharov, V. E. (1994) Integrable (1 + 1)-dimensional systems and the Riemann problem with a shift. Inverse Problems 10 (4), 817-835

126. Bogdanov L. V. (1994) Generic solutions for some integrable lattice equations. ТМФ 99, 177-185

127. Bogdanov, L. V. and Zakharov, V. E. (1995) On some developments of the ^-dressing method. St. Petersburg Math. J. 6(3), 475-493

128. Bogdanov, L. V. (1995) Generalized Hirota bilinear identity and integrable g-difference and lattice hierarchies. Phys. D 87(1-4), 58-63

129. Bogdanov, L. V. and Konopelchenko, B. G. (1995) Lattice and ^-difference Darboux-Zakharov-Manakov systems via ^-dressing method. J. Phys. A 28(5), L173-L178

130. Bogdanov, L. V. and Konopelchenko, B. G. (1997) Generalized integrable hierarchies and Combescure symmetry transformations. J. Phys. A 30(5), 1591-1603

131. Bogdanov, L. V. and Konopelchenko, B. G. (1998) Analytic-bilinear approach to integrable hierarchies. I. Generalized KP hierarchy. J. Math. Phys. 39 (9), 4683-4700

132. Bogdanov, L. V. and Konopelchenko, B. G. (1998) Analytic-bilinear approach to integrable hierarchies. II. Multicomponent KP and 2D Toda lattice hierarchies. J. Math. Phys. 39(9), 4701-4728

133. Bogdanov, L. V. and Ferapontov, E. V. (1998) A nonlocal Hamiltonian formalism for semi-Hamiltonian systems of hydrodynamic type. TM& 116(1), 113-121

134. Bogdanov, L. V. and Konopelchenko, B. G. (1999) Moebius invariant integrable lattice equations associated with KP and 2DTL hierarchies. Phys. Lett. A 256 (1), 39-46

135. Bogdanov, L. V.; Konopelchenko, B. G. (2000) Moebius invariant integrable lattice equations associated with the generalized KP hierarchy. CRM Proc. Lecture Notes 25, 33-45

136. Bogdanov, L. V. and Konopelchenko, B. G. (2001) Generalized KP hierarchy: Mobius symmetry, symmetry constraints and Calogero-Moser system. Physica D 152-153, 85-96

137. Bogdanov, L. V., Konopelchenko, B. G. and Orlov, A. Yu. Trigonometric Calogero-Moser System as a Symmetry Reduction of KP Hierarchy, in Integrable Hierarchies and Modem Physical Theories (NATO ARW-UIC 2000), Kluwer, Dordrecht, 2001.

138. Bogdanov, L. V. and Zakharov, V. E. (2002) The Boussinesq equation revisited. Phys. D 165(3-4), 137-162

139. Bogdanov L.V. and Ferapontov E.V. (2002) Projective differential geometry of higher reductions of the two-dimensional Dirac equation. Препринт nlin.SI/0211040

140. Bogdanov, L.V., Konopelchenko, B.G. and L. Martinez Alonso (2003) Quasi-classical ¿'-method: Generating equations for dispersionless integrable hierarchies. ТМФ 134(1), 46-54