Сизигии некоторых вложений Сегре и Веронезе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 512.815.2, 512.664.1, 512.723

Нетай Игорь Витальевич

Сизигии некоторых вложений Сегре и Веронезе

Специальность: 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2013

$ ЯНВ 2014

005544372

Работа выполнена на в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики».

Научный руководитель: заместитель декана по научной работе

на факультете математики НИУ ВШЭ, кандидат физико-математических наук, профессор Алексей Львович Городенцев.

Официальные оппоненты: профессор кафедры алгебры и геометрии

Тольяттинского Государственного Университета, доктор физико-математических наук профессор Марат Харисович Гизатуллин; начальник сектора Объединённого Института Ядерных Исследований доктор физико-математических наук профессор Николай Андреевич Тюрин.

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Математический институт им. В. А. Стеклова РАН Защита диссертации состоится 28 января 2014 г. в 16:00 часов на заседании диссертационного совета Д002.077.03 при федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, расположенном по адресу: 127994, г. Москва, ГСП-4, Большой Каретный переулок, 19, стр. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем передачи информации им. А. А. Харкевича. Автореферат разослан^, декабря 2013 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по указанному адресу на имя учёного секретаря диссертационного совета. Учёный секретарь диссертационного совета Д002.077.03 в ИППИ

кандидат физико-математических наук I Л { А. Н. Соболевский

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Работа посвящена вычислению сизигий некоторых однородных пространств и некоторых обратимых пучков на них.

Для любого проективного многообразия X С Р(И^) рассмотрим проективную координатную алгебру А = Sß{X) как градуированный ¿'-модуль, где S = k[V7] — алгебра многочленов на пространстве W и 1(Х) — однородный идеал многообразия X. Существует резольвента

... —F2 —Fi —F0—"А—-О,

являющаяся точной последовательностью свободных градуированных S-модулей. По теореме Гильберта о сизигиях1 , если выбирать минимальный набор образующих в ядрах, то процесс оборвётся, и мы получим конечную свободную резольвенту. В каждом таком модуле Fp выберем минимальный набор образующих и породим ими векторное пространство. Обозначим через Ярд его д-ую однородную компоненту. Обозначим через (р) сдвиг градуировки на р, то есть прибавление р к степени каждого элемента модуля. Тогда

Fp = 5®k 0 RyM-

qez

Резольвента минимальна, если все однородные компоненты дифференциала d имеют положительные степени. Пространство Rpt4 для минимальной резольвенты называется пространством р-ых сизигий степени q. Следовательно, тензорное умножение на тривиальный ^-модуль к аннулирует все дифференциалы в минимальной свободной резольвенте, и мы получаем

(Тогр5(Л,к))?, (1)

откуда следует, что пространства сизигий не зависят от выбора образующих. Пространство (ТоГр(Л, — g-ая однородная компонента градуированного векторного пространства ТоГр {А, к).

В общем случае вычисление сизигий является очень трудной задачей. Остаются неразрешённые вопросы даже для проективных кривых. В случае

1 D. Hilbert, "Uber die Theorie der algebraischen Formen", Ges. Abk., II 2, Springer-Verlag (1970), 199-257.

нормальной рациональной кривой в проективном пространстве очень хорошо известен ответ2 Для нормальной эллиптической кривой минимальная резольвента может быть найдена в3. Для кривых рода п в общем случае вопрос остаётся открытым. В работе4 доказано, что если для канонического вложения гладкой кривой С рода д в проективное пространство пространство (Тогг_2(1(С)Д))э-4 Ф 0, то кривая С тригональна и лежит на двумерном рациональном нормальном свитке, где 1(C) — однородный идеал кривой С.

Отдельной широкой областью исследования является изучение так называемого iVp-свойства. Свойство Np состоит в том, что Rjj — 0 для j Ф i +1 и 1 < К Р, а также Roj = 0 при j ф 0 и Во,о = Иг. В частности, No означает проективную нормальность, Ni означает, что многообразие X является пересечением квадрик и так далее. Это свойство введено в5. В работе6 исследовано свойство Np для вложений Веронезе. В работе7 исследуется ^-свойство для кубического вложения Веронезе. В работе8 исследовано свойство Np для вложений Сегре. В работе9 свойство Np исследовано для флаговых многообразий. В работе10 исследуется связь свойства Np для многообразия в проективном пространстве и для его плоских сечений.

Допустим, группа G С GL(W) линейно действует на проективном пространстве Р(1У) и сохраняет многообразие X С P(W). Значит, группа G сохраняет и идеал 1(Х). Отсюда можно получить действие G на минимальной резольвенте и на пространствах сизигий. Таким образом, пространства сизигий можно описывать как представления группы G.

В работе11 найдены алгебры сизигий плюккеровых вложений грассман-

2 J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course, Springer-Verlag, 1995.

3 D. Eisenbud, The Geometry of Syzygies, 2002.

4 B. Saint-Donat, "On Petri's analysis of the linear system of quadrics trough a canonical curve", 206 (1973), 157-175.

5 M. Green, "Koszul cohomology and the geometry of projective varieties, 1,1Г', J. Diff. Cfiom., 19, 20 (1984), 125-171, 279-289.

6 G.Ottaviani, R. Paolctti "Syzygies of Veronese embeddings", http://arxiv.org/abs/math/9SlH31.

7 Thavn Vu, "iV6 property for third Veronese embedding", http://arxiv.org/abs/1303.5532vl

8 E. Rubei "On syzygies of Segre embeddings", Proceedings of the American Mathematical Society, 130:12 (2002), 3483-3493.

9 L. Manive!, "On syzygies of flag manifolds", Proceedings of the American Mathematical Society, 124:8 (1996).

10 D.Eisenbud, M.Green, K.Hulek, S.Popescu, "Restricting linear syzygies: algebra and geometry" (2004), http://arxiv.org/abs/math/0404516vl.

11 A. L. Gorodentsev, A. S. Khoroshkin, A. N. Rudakov, "On syzygies of highest weight orbits", Лшег. Math. Soc. Transl. (2), 221 (2007), 79-120.

нианов Gr(2,n), и описаны представления группы GL(rc) в пространствах сизигий. (На прямой сумме пространств сизигий любого проективного многообразия существует естественная структура алгебры.) В работе12 показано, что сизигии вложения Сегре произведения нескольких проективных пространств могут быть порождены конечным набором «семейств соотношений» (то есть соотношений, из которых все сизигии получаются заменами переменных), не зависящим от количества проективных пространств.

В данной диссертации мы исследуем вложение Сегре произведения двух проективных пространств и квадратичное вложение Веронезе. Пространства сизигий этих вложений описываются теоремами 5 и 8.

Широко исследуются сизигии детерминантальных многообразий и идеалов. Допустим, W — некоторое пространство матриц, и в алгебре k[W] задан идеал I, порождённый минорами матриц. Например, если W — пространство симметрических матриц, а идеал I порождён всеми 2 х 2-минорами, то идеал I является однородным идеалом квадратичного вложения Веронезе P(V) С P(W), где W = Sym2 V. Сизигии идеалов определяются аналогичным образом. Если I — однородный идеал в алгебре то положим КрЛ = ^ТоГр'11/1(/, Es) j . Аналогичным образом можно определять сизигии градуированных модулей над к[Ж]. В работе13 исследуются свойства детерминантальных идеалов методами теории колец. В данной работе мы исследуем сизигии некоторых естественно геометрически возникающих модулей над алгебрами k[Sym2 V] и k[ü7® V] (см. теоремы 7, 11), обобщая результаты работ1415

Рассмотрим на проективном пространстве Р(1У) когерентный пучок &. Обозначим через coh(X) категорию когерентных пучков на многообразии X, через grmod(S') — категорию конечно порождённых градуированных 5-модулей. Пусть X С IP" - проективное многообразие. Определим функтор F: coh(X) —» grmod(S) формулой

П&) = 0 Г (Р", Щп)) (-«) = HonlpJV ( ф Û(-n), Л .

n^O \nJ0 /

12 A. Snowden, "Syzygies of Segre einbeddings and Д-modules", http://arxiv.org/abs/1006.5248.

13 (Mitsuyasu Hashimoto) "Determinantal Ideals and Their Betti Numbers — A Survey", даШЯЯНвЗШ 38 85701994^, 40-50.

14 A. Lascoux, "Syzygies de variétés déterminantales", Adv. Hath., 30 (1978), 202-237.

15 V.Reiner, J.Roberts, "Minimal resolutions and the homology of matching and chessboard complexes" (1997).

Определение 1. Назовём минимальной резольвентой пучка последовательность

... ф МЛ( W) ® -> Ф MoJF(^)) ® -> ^ -»■ О,

gez geZ

где МР)?(—) = (Тогр(—, Факт, что эта последовательность является резольвентой, следует из теорем А к В работы16. Пространства MM(F{&)) будем называть сизигиями пучка & и будем обозначать Rp

Таким образом, минимальные резольвенты пучков на проективном пространстве P(V) оказываются связаны с сизигиями градуированных модулей над к[У]. Результаты о построении минимальных резольвент пучков на некоторых детерминантальных многообразиях могут быть найдены в17. В данной работе мы построим минимальные резольвенты пучков &ту){а) в P(Sym2 V) для а ^ - dim^) и 0р(и)хЩУ){а, Ь) в Р(U®V) для а > - dim(t/) и 6 ^ — dim(y) (см. теоремы 7, 11).

Таким образом, тема диссертации относится к актуальным направлениям эквивариантной алгебраической геометрии.

Цель работы

Цель работы — вычисление сизигий некоторых однородных пространств, вычисление сизигий некоторых обратимых пучков на этих многообразиях, построение минимальных свободных резольвент этих пучков.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Классифицированы все пары (G, 7г), состоящие из полупростой алгебраической группы G и доминантного веса ж, при которых

• в представлении группы G в каждой внешней степени неприводимого представления со старшим весом 7Г нет кратных подпредстав-лений;

16 М. Green, "Koszul cohomology and the geometry of projective varieties, I, 1Г, J. Diff. Geom., 19, 20 (1984), 125-171, 279-289.

17 Л. Weyman, "Cohomology of vector bundles and syzygies", CUP (2003).

• в тензорном произведении любого неприводимого представления группы (3 и любого неприводимого представления со старшим весом, кратным 7г, нет кратных подпредставлений.

2. Для бесконечных серий этой классификации вычислены сизигии обратимых пучков на однородном пространстве X, являющихся произведением обильного пучка и канонического пучка Кх многообразия X, где X является проективизацией орбиты вектора старшего веса в представлении группы С со старшим весом ж.

Основные методы исследования

В диссертации используются методы гомологической алгебры, кошуле-вых когомологий, теории представлений полной линейной группы.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация имеет теоретический характер. Доказанные в диссертации результаты представляют интерес в эквивариантной алгебраической геометрии, теории представлений и гомологической алгебре.

Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались

• на семинаре «Геометрия алгебраических многообразий» им. В. А. Псковских под руководством Ю. Г. Прохорова, В.В.Пржиялковского, Д.О.Орлова, К. А.Шрамова в МИАН (Москва, 2012),

• на летней школе-конференции «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов» (Самара, 2009),

• на конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу (Лютово, 2011),

• на международной конференции по алгебре и алгебраической геометрии (Екатеринбург, 2011),

• на третьей ежегодной самарской летней школе-конференции «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов» (Тольятти, 2012),

• на международной конференции «Homological projective duality and non-commutative geometry» (Coventry, University of Warwick, 2012),

• на конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу (Лютово, 2013),

• на международной русско-китайской конференции «Torus actions: topology, geometry and number theory» (Хабаровск, 2013),

• на семинаре «Алгебраическая топология и её приложения» им. М.М.Постникова (Москва, 2013).

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в четырёх единоличных работах. Список публикаций приведён в конце автореферата.

Структура и объём диссертации

Диссертация изложена на 49 страницах и состоит из введения, трёх глав и трёх приложений. Библиография включает 29 наименований.

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из четырёх глав и трёх приложений. Глава 1 — введение, в ней обсуждаются история вопроса и мотивировки, даётся общий обзор работы и формулируются основные результаты.

Глава 2 носит в основном вспомогательный характер и описывает технические средства, позволяющие вычислять сизигии.

В главе 3 мы вводим основные обозначения. В параграфе 3.1 мы вводим понятие обрезанного комбинаторного куба, являющего комплексом над абелевой категорией. В параграфе 3.2 мы формулируем условия на старший вес 7г неприводимого представления редуктивной группы G, при выполнении которых сизигии проективизации вектора старшего веса в неприводимом

представлении группы б со старшим весом 7Г допускают комбинаторное вычисление. Свойства состоят в следующем.

Свойство 2. Для каждого к представление Л*^ группы (7 не имеет кратных подпредставлений18.

Свойство 3. Для любого доминантного веса ц и любого п в представлении Уц 0 Ут нет кратных подпредставлений.

Следующая таблица содержит все многообразия X, являющиеся проек-тивизациями орбит вектора старшего веса в неприводимом представлении Ъ^ полупростой группы в над алгебраически замкнутым полем характеристики 0, для которых вес п обладаем свойствами 2 и 3.

X = G/P 0V(V^)(l)\x

P(V) P(V) 0(1)

V(V) P(Sym2 V) 0(2)

pi Pn, n ^ 6 0(n)

p2 p9 0(3)

P(tZ) x P(V) P(t/<8> V) 0(1,1)

p2 x pi pn 0(2,1)

P1 x P\ к < 4 p3fc+2 0(2,1)

pi x pi p7 0(3,1)

P1 x P1 x P1 p7 ¿7(1,1,1)

Данная классификация приводится в приложении А. В параграфе 3.3 мы вводим обозначения, связанные с диаграммами Юнга.

Глава 4 содержит основные вычисления и доказательства основных результатов диссертации. В параграфе 4.1 мы изучаем изотипические компоненты комплекса Кошуля, вычисляющего сизигии пучков 0(а,Ь) на Р({/) х P(V) С Р([/®У). Оказывается, что эти изотипические компоненты являются обрезанными комбинаторными кубами.

Определение 4. Для диаграммы Юнга Л обозначим через 1(А) и wt(A) длину диагонали диаграммы А (то есть пересечение диаграммы с множеством

18 Отсутствие кратностых подпредставлений во внешней алгебре представления редуктнвных групп {так называемое SMF-свойство) является очень близком свойством и классифицирована в статье «Classification of skew multiplicity-free modulesTobias Pecher, Transformation Groups, 17:1 (2012), 233-257.

клеток {(к, к)} для всех к G Z) и вес (то есть количество клеток в Л). Обозначим через е(А, к) диаграмму, полученную из Л добавлением клетки в конец каждого из первых к столбцов диаграммы Л. Символом А' обозначим диаграмму, полученную из Л транспонированием. Обозначим через V> неприводимое представление группы GL(V) со старшим весом Л.

Теорема 5. Пусть Rp)4 — пространства сизигий вложения Сегре P(t/) х P(V) С Р(!7 ® V). Тогда существует изоморфизм представлений G = GL(t/) х GL(V):

Яр,9 = ф {Уккч-Р) ® ^*(А',9-Р)) •

wt(A)«p,

Обозначения, связанные с отмеченными диаграммами Юнга в, вводятся в параграфе 3.3. Отмеченной диаграммой в будем называть диаграмму Юнга, в которой некоторые из клеток отмечены буквами 'L' и 'R', где

• в каждом столбце не более одной 'L', в каждой строке не более одной 'R';

• во, воU6z, и воивц являются диаграммами Юнга, где во, вь и 0д означают объединения неотмеченных клеток в, клеток, содержащих 'L', и клеток, содержащих 'R'.

Обозначим диаграммы Х(в) = ва U 6L, ц(в) = (в0 U 0д)' и пару диаграмм ш(в) = (\(в),ц(в)).

Определение 6. Для диаграмм Юнга А и (i обозначим через В(Х, /¿) множество таких клеток с диаграммы А П ц', что

• снизу от с нет клеток А, и

• справа от с нет клеток ц'.

Для пары диаграмм и> = (А, ц) для краткости будем писать В(ш) = В(Х,ц).

Обозначим через S(w,a,b,k) множество таких отмеченных диаграмм Юнга, что

• неотмеченных клеток w — к;

• буквой 'L' отмечено а + к клеток, буквой 'R' отмечено Ь + к клеток;

• каждая клетка множества В{ио{в)) отмечена 'LR'.

Теорема 7. Рассмотрим вложение Сегре X = Р(U) х P(V) С P(U ® V). Пусть а ^ — т и b Js —п. Тогда существует резольвента

■ ■ ■ — Ф RTmi - *) — ф ® — ^(а.—

где т = dim U, п = dim V и

\ ф|..*м=, ® Колы-?)' д>0илир = 9 = 0;

[ Фве5(а,Ь,РЛ) [Щ(0) ® ) , 9 = 0, р > 0.

В параграфе 4.2 мы изучаем изотипические компоненты комплекса Ко-шуля, вычисляющего сизигии пучков ¿?р(у){а) на Р(У) с Р(Эут2 V). Оказывается, что изотипические компоненты этого комплекса также являются обрезанными комбинаторными кубами.

Теорема 8. Пусть Крц — пространства сизигиг1 вложения Вероне-зе Р(У) С Р(3ут2 V). Тогда существует изоморфизм представлений группы <3 = вЦУ):

ф У?.

1(А)-2,-2 Г Л«Л'

Определение 9. Пусть Л — диаграмма Юнга. Будем обозначать Л = А = (а!,..., Ьк,..., 61), если диаграмма Л состоит из вложенных крюков, пары ширины и высоты которых равны соответственно (а^, Ь1),..., (ак, ЬНазовём эти крюки в диаграмме А главными.

Допустим, А = (аь ..., ак\Ьк>..., 61).

Определение 10. Через С(А) обозначим множество таких 1 ^ / ^ к, что

• а; > 6;, то есть ¿-ый крюк имеет ширину больше его же длины;

• а(+1 < Ь(+1 + 1 или I = к, то есть следующий крюк имеет ширину разве что на один больше, чем высоту, или 1-ый крюк последний, то есть I = к.

Теорема 11. Пусть X = P(V) С P(Sym2 V) — вложение Веронезе степени 2. Пусть а ^ —п. Тогда существует резольвента

До,* ® 0{-к) — бх{к) — о,

к^О ' kz о

где п = dim V и

е v:

па _

Р,Р+9 »

wt(w)-<r i(w)«2g-tt

0

w=(al.....ак\Ьк.....

bi<ai<i«i_1+l, tel.....к

wt(w)=2p+u

q > 0 или p = g — 0,

(3)

zJe s

= 5 (£*=i \ai - 6< - 1| - a)-

В приложении А классифицируются представления полупростых групп, обладающие свойствами 2 и 3. В приложении Б обсуждается связь результатов работы с сизигиями взвешенных проективных пространств. Приложение В содержит примеры и список литературы.

Благодарности

Автор выражает благодарность научному руководителю

A. Л. Городенцеву, С. О. Горчинскому, А.Г.Кузнецову, Э.Б. Винбергу и

B. М. Бухштаберу за полезные обсуждения работы.

Публикации по теме диссертации

[1] И. В. Нетай, "Алгебры сизигий вложений Сегре", Фуикц. анализ и его прил., 47:3 (2013), 54-74 иаыы» йЮл»; Funct. Anal. Appl., 47:3 (2013), 210-226 шиши

[2] И. В. Нетай, "Параболически связные подгруппы", Матем. сб., 202:8 (2011), 81-94 «шш«. <КЙЯ» ммом; Sb. Math., 202:8 (2011), 1169-1182 tlSUr* ттмжт.

[3] И. В. Нетай, "Сизигии вложений Сегре", тезисы летней школы-конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу для моложъи: учёных России, Ярославль, ЯГПУ, 2013, 65-67.

[4] И. В. Нетай, "Syzygies of quadratic Veronese embedding", тезисы международной русско-китайской конференции Torus actions: topology, geometry and number theory, Хабаровск, ТОГУ, 2013, 53-55.

Подписано в печать: 24.12.2013 Объем: 1,0 п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 483 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, пр-т Вернадского, д. (495) 363-78-90; www.reglet.ru

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

На правах рукописи

14201453283 УДК 512.815.2, 512.664.1, 512.723

Нетай Игорь Витальевич

Сизигии некоторых вложений Сегре и Веронезе

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, профессор А. Л. Городенцев

Москва - 2013

Содержание

Глава 1. Введение..........................................................3

1.1. Постановка задачи....................................................3

1.2. Основные результаты диссертации..................................6

Глава 2. Предварительные сведения..................................9

2.1. Комплекс Кошуля....................................................9

2.2 Проективные координатные алгебры...............10

2.3. Когомологии алгебр Ли.......................11

2.4. Резольвенты пучков.........................12

Глава 3. Обозначения и комбинаторика...............17

3.1. Комбинаторные кубы........................17

3.2. Представления............................18

3.3. Диаграммы..............................21

Глава 4. Изотинические компоненты комплекса Кошуля ... 26

4.1. Вложение Сегре...........................26

4.2. Квадратичное в. юженпе Веронезе.................35

Приложение А. Представления с простым спектром......40

A.1. Классификация представлений со свойствами 3.2.1 и 3.2.2 ... 40

Приложение Б. Взвешенные проективные пространства .... 43

Приложение В. Примеры........................44

B.1. Сишгпи................................44

В 2. Резольвенты пучков.........................47

I [> б шкации по 1сме диссертации ....................48

Слисок литературы ............................48

Глава 1 Введение

1.1. Постановка задачи

Работа посвящена вычислению сизигий некоторых однородных пространств.

Для любого проективного многообразия X с Р(И/) рассмотрим проективную координатную алгебру А = Б/1{Х) как градуированный 5-модуль, где Б = — алгебра многочленов на пространстве IV и 1{Х) — однородный идеал многообразия X. Существует резольвента

——-О,

являющаяся точной последовательностью свободных градуированных ^-модулей. По теореме Гильберта о сизигиях [5], если выбирать минимальный наборы образующих в ядрах, то процесс оборвётся, и мы получим конечную свободную резольвенту. В каждом таком модуле выберем минимальный набор образующих и породим ими векторное пространство. Обозначим через его д-ую однородную компоненту. Обозначим через (р) сдвиг градуировки на р, то есть прибавление р к степени каждого элемента модуля. Тогда

Резольвента минимальна, если все однородные компоненты дифференциала с? имеют положительные степени. Пространство Ярл для минимальной резольвенты называется пространством р-ых сизигий степени д. Следовательно, тензорное умножение на тривиальный ¿'-модуль к аннулирует все дифференциалы в минимальной свободной резольвенте, и мы получаем

Ям=(Тогр5(Дк))д, (1.1)

откуда следует, что пространства сизигий не зависят от выбора резольвенты. Пространство (Тог^ (А, к))^ — д-ая однородная компонента градуированного векторного пространства Тог^(Л,к).

В общем случае вычисление сизигий является очень трудной задачей. Остаются неразрешённые вопросы даже для проективных кривых. В случае

нормальной рациональной кривой в проективном пространстве очень хорошо известен ответ (см. пример 2.4.5, а также [6, 26]). Для нормальной эллиптической кривой минимальная резольвента может быть найдена в [6]. Для кривых рода п в общем случае вопрос остаётся открытым. В работе [7] доказано, если для канонического вложения гладкой кривой С рода д в проективное пространство Р51-1 пространство (Тог5_2(/, k))g-4 Ф 0) то кривая С тригональна и лежит на двумерном рациональном нормальном свитке X (см. [26]), где I — однородный идеал кривой С.

Отдельной широкой областью исследования является изучение так называемого iVp-свойства. Свойство Np состоит в том, что Rij = 0 для j ф i +1 и 1 ^ г ^ р, а также R0j = 0 при j ф 0 и о = к. В частности, Nq означает проективную нормальность, N\ означает, что многообразие X является пересечением квадрик и так далее. Это свойство введено в [17]. В работе [9] исследовано свойство Np для вложений Веронезе. В работе [10] исследуется Л^-свойство кубического вложения Веронезе. В работе [11] исследовано свойство Np для вложений Сегре. В работе [12] свойство Np исследовано для флаговых многообразий. В работе [13] исследуется связь свойства Np для многообразия в проективном пространстве и для его плоских сечений.

Допустим, группа G С GL(W) линейно действует на проективном пространстве P(W) и сохраняет многообразие X С Р(И/"). Значит, группа G сохраняет и идеал 1(Х). Отсюда можно получить действие G на минимальной резольвенте и на пространствах сизигий. Таким образом, пространства сизигий можно описывать как представления группы G.

В работе [8] найдены алгебры сизигий плюккеровых вложений грассман-нианов Gr(2,n), и описаны представления группы GL(n) в пространствах сизигий. (На прямой сумме пространств сизигий любого проективного многообразия существует естественная структура алгебры.) В работе [14] показано, что сизигии вложения Сегре произведения нескольких проективных пространств могут быть порождены конечным набором «семейств соотношений» (то есть соотношений, из которых все сизигии получаются заменами переменных), не зависящим от количества проективных пространств.

В данной работе мы исследуем вложение Сегре произведения двух проективных пространств и квадратичное вложение Веронезе. Пространства сизигий этих вложений описываются теоремами 1/2.2 и 1.2.4. В замечании 4.1.11 мы доказываем некоторое свойство умножения в сумме пространств сизигий

вложения Сегре.

Широко исследуются сизигии детерминантальных многообразий и идеалов. Допустим, У — некоторое пространство матриц, и в алгебре к [У] задан идеал I, порождённый минорами матриц. Например, если У — пространство симметрических матриц, а идеал I порождён всеми 2 х 2-минорами, то идеал I является однородным идеалом квадратичного вложения Веро-незе Р(1У) С Р(У), где У — Зут2^. Сизигии идеалов определяются аналогичным образом. Если I — однородный идеал в алгебре к[У], то положим = (Тог^и , к)^ . Аналогичным образом можно определять сизигии градуированных модулей над к [У]. В работе [18] исследуются свойства детерминантальных идеалов методами теории колец. В данной работе мы исследуем сизигии некоторых естественно геометрически возникающих модулей над алгебрами к[Эут2 У] и к[II <8> V] (см. теоремы 4.1.9, 4.2.4), обобщая результаты работ [19, 20].

Рассмотрим на проективном пространстве Р(У) когерентный пучок . Обозначим через соЬ(Х) категорию когерентных пучков на многообразии X, через grmod(S') — категорию конечно порождённых градуированных ¿"-модулей. Пусть X С Р*^ — проективное многообразие. Определим функтор соЬ(Х) —>• grmod(S') формулой

= 0 Г (Р*, (-п) = Нот ( 0 -

Определение 1.1.1. Назовём минимальной резольвентой пучка & последовательность

■•■->© М1Л{Р(3?У) ® -> 0 М0,,(^)) ® 0(-д) & 0,

дей qeZ

где МРЛ{—) = (Тогр(—, к)) . Факт, что эта последовательность является резольвентой, следует из теорем А и В работы [17]. Пространства МРЛ(Р{^)) будем называть сизигиями пучка & и будем обозначать

Таким образом, минимальные резольвенты пучков на проективном пространстве Р(У) оказываются связаны с сизигиями градуированных модулей над к [У]. Результаты о построении минимальных резольвент пучков на некоторых детерминантальных многообразиях могут быть найдены в [15]. В данной работе мы построим минимальные резольвенты пучков ^(у)(а)

в P(Sym2 V) для а ^ — dim V и <^р(£/)хр(у)(а> Ь) в Р(£/ <8> У) для а ^ — dim(C/) и 6 ^ — dimУ (см. теоремы 4.1.9, 4.2.4).

1.2. Основные результаты диссертации

Диссертация состоит из четырёх глав и приложения.

Глава 1 — введение, в ней обсуждаются история вопроса и мотивировки, даётся общий обзор работы и формулируются основные результаты.

Глава 2 носит в основном вспомогательный характер и описывает технические средства, позволяющие вычислять сизигии.

В главе 3 мы вводим основные обозначения. В параграфе 3.1 мы вводим понятие обрезанного комбинаторного куба, являющего комплексом над абелевой категорией. В параграфе 3.2 мы формулируем условия на старший вес 7г неприводимого представления редуктивной группы G, при выполнении которых сизигии допускают комбинаторное вычисление (см. свойства 3.2.1 и 3.2.2, а также предложение 3.2.3). В параграфе 3.3 мы вводим обозначения, связанные с диаграммами Юнга.

Глава 4 содержит основные вычисления и доказательства основных результатов диссертации. В параграфе 4.1 мы изучаем изотипические компоненты комплекса Кошуля, вычисляющего сизигии пучков &(а,Ь) на Р(С7) х P(V) С Р(U®V). Оказывается, что эти изотипические компоненты являются обрезанными комбинаторными кубами.

Определение 1.2.1. Для диаграммы Юнга Л обозначим ¿(А) и wt(A) длину диагонали диаграммы Л (то есть пересечение диаграммы с множеством клеток {(к, £;)} для всех к G Z) и вес (то есть количество клеток Л). Обозначим через е(А, к) диаграмму, полученную из А добавлением клетки в конец каждого из первых к столбцов диаграммы А. Символом А' обозначим диаграмму, полученную из А транспонированием. Через V\ обозначим неприводимое представление группы Gh(V) со старшим весом А.

Теорема 1.2.2. Пусть Ярл — пространства сизигий вложения Се-гре Р(С/) х P(V) С Р(U (g> V). Тогда существует изоморфизм представлений G = GL(U) х GL(V):

RP,1 ~ ф (Ue(X,q-p) ® Ve(X>,q-p)) •

wt(A)=p, i(A)=g-p

Обозначения, связанные с отмеченными диаграммами Юнга 9, диаграммами А(9) и ¡и(9) вводятся в параграфе 3.3. Для отмеченной диаграммы Юнга 9 множество В(9) определено в 3.3.2. Множество ¿¡(го, а, Ь, к) отмеченных диаграмм Юнга определено в параграфе 4.1.

Теорема 1.2.3 (4.1.9). Рассмотрим вложение Сегре X — Р(17) х Р(У) с Р(и ® V). Пусть а ^ — т и Ъ ^ —п. Тогда существует резольвента

?а>Ъ ^ /9 Г 1 1Л__ /ТЛ Г)аФ

• • • — Ф Rimi ® ^(-1 - fe) — Ф ® — 0х(а, Ь) —»О,

где т = dim U, п — dim V и

{® д>0шшр = д = 0;

оа,6 _ ) wt(^=p v > ч/ v , чу

1 Ф^М.М) (c^V) ® vke)) > g = О, Р > 0.

В параграфе 4.2 мы изучаем изотипические компоненты комплекса Ко-шуля, вычисляющего сизигии пучков fff(у){а) на P(V) С P(Sym2F). Оказывается, что изотипические компоненты этого комплекса также являются обрезанными комбинаторными кубами.

Теорема 1.2.4. Пусть Rpq — пространства сизигий вложения Вероне-зе P(F) С P(Sym2y). Тогда существует изоморфизм представлений группы G = G L(V):

0 П-

wt(A)=2p l(X)=2q-2p A—A'

Для диаграммы Юнга А множество C(А) будет определено в 3.3.7. Обозначение диаграммы Юнга (ai,..., ak\bk,..., b\) будет дано в 3.3.6.

Теорема 1.2.5 (4.2.4). Пусть X = Р(У) с P(Sym2 V) — вложение Веронезе степени 2. Пусть а ^ —п. Тогда существует резольвента

Ф Д?ы-1 ® 0{-k - 1) — ф Щь ® 0(-к) — 0х{а) — 0,

Li,fc+i

к^О к>0

где п = dim V и

ф V*, q > 0 или р = q — 0,

Т>а __

p,p+q *

wt (uj) — q l(u>)=2q—a

e (КГ)®^"'), p> 0,! = 0,.e

(1.3)

wt(cj)=2p-f-a

где 5 = \ (]Сг=1 \аг - &» - 1| - а).

Приложение А содержит классификацию старших весов представлений полупростых групп, обладающих свойствами 3.2.1 и 3.2.2. Приложение Б описывает связь результатов с сизигиями взвешенных проективных пространств. Приложение В содержит примеры и список литературы.

Автор выражает благодарность научному руководителю

A. Л. Городенцеву, С. О. Горчинскому, А.Г.Кузнецову, Э. Б. Винбергу и

B. М. Бухштаберу за полезные обсуждения работы.

Глава 2

Предварительные сведения

2.1. Комплекс Кошуля

Пусть X С Р(И/) — вложение проективного многообразия X в проективное пространство, Ая = Н°(Х, ^(д)) — б?-ая однородная компонента проективной координатной алгебры многообразия X. Пусть г: —)• А?~~1\¥* <8> У/* — отображение, двойственное ко внешнему умножению АР~1\¥—»■ Ар\¥. При помощи умножения ттд: А\®АЧ —Д^+1 определим отображение как композицию:

—-ЛР-1^*® А1®АЧ (2.1)

г®И

И®7Г,

?

ApW*®Aq-5-^Ap~lW*®Aq+1,

Un -

J'P,<?

где верхняя стрелка индуцирована естественным отображением ограничения

ТУ* = Н°(Р(И0, ^(1)) -> Н°(Х, ^(1)) = Аь Лемма 2.1.1. Цепь морфизмов

... ^АР+1\у* ® ® Ач -^ХАР-^* ® Ач+1 —...

является комплексом. Более того, его когомологии являются пространствами сизигий

_ кег(с^д)

im

(dp+l,q-l)

Доказательство. Рассмотрим комплекс Кошуля A*W*<g)Sym* W* = А'Ж*®

S (ем. [21], гл.1). Он квазиизоморфен тривиальному 5-модулю к. Тензорно

ь

умножая над S на А, получаем квазиизоморфизм A*W* (g) А = k (g) А. Следо-

5

вательно, цепь

AP+1W* <g> А -» APW* <g> Л ^ Ap-lW* <g> А ...

является комплексом, и её когомологии равны градуированным векторным пространствам ТоГр(к, А).

Поскольку дифференциал ё однороден и имеет степень 0, мы можем разложить комплекс Кошуля на сумму подкомплексов:

... — А® Д^-^А^* (8) Ад М-ЛР-^* ® Ад+1 —...

В итоге мы получаем ЯР:Р+д = (Тог¡¡(А, к))р+д = □

2.2. Проективные координатные алгебры

Пусть С — редуктивная алгебраическая группа. Обозначим через IV = У\ неприводимое представление группы С старшего веса А. Пусть X — ^-орбита точки ги Е Р(И^), соответствующей вектору старшего веса в представлении V/. В [22] доказано, что такое многообразие X является пересечением квадрик в Р(ТУ).

Замечание 2.2.1. Напомним, что X = С • ъи = С/Р является проективным многообразием, где Р является параболической подгруппой. Обозначим через I множество простых корней, ортогональных к А. Каждому набору I простых корней соответствует параболическая подгруппа Р/ с (7, содержащая некоторую фиксированную борелевскую подгруппу В группы 6?. Напомним, что однородные линейные расслоения на многообразии Сг/Р/ соответствуют весам группы С, ортогональным ко всем корням множества /. В частности, расслоение — соответствует весу А.

Следующее предложение с более подробным доказательством и другие результаты об орбитах старшего веса и более общих квазиоднородных пространствах можно найти в [23].

Предложение 2.2.2. Во введённых обозначениях проективная координатная алгебра многообразия X равна

АХ = ®УпХ-п> О

Доказательство. По теореме Бореля-Ботта-Вейля (см. [2-1]) имеем

А* = ©Г(Х,0Ип)) = фГ(С/Р,^пА) = 0Г(С/5,УпА) = 0к

*

пА•

п^О п^О п^О п^О

Следствие 2.2.3. Во введённых обозначениях комплекс

... -> л^тг ®к к(;_1)л ар\¥* ®к У;л -> кр~1\¥* ок У(;+1)л ...

представлений группы С вычисляет пространства сизигий многообразия X = в • у; СР(Ж).

Обозначим через Ед функтор Шура Vect Vect. Это полиномиальный функтор на категории векторных пространств, для которого относительно действия группы (7 = СЬ(У) представление ЕдУ является единственным представлением группы С со старшим весом Л. Символ ЕдV' означает то же, что Ух, если V' = У — тавтологическое представление группы вЦУ). Явное построение функтора Шура можно найти, например, в [10].

Следствие 2.2.4. Пусть И^ = Ед® ... ® — неприводимый СЦУ[) х ... х СЬ(ут)-модуль, X С Р(И^) — орбита вектора старшего веса Ах 0 ... © Хт в IV = ® ... ® Тогда проективная координатная алгебра многообразия X рав}1а

п^О

как СЬ^) х ... х -модуль. В частности, комплекс Кошуля Л,(И/1 (8)

... 0 У/п) ® Ах вычисляет сизигии многообразия X.

2.3. Когомологии алгебр Ли

Пусть А — градуированная алгебра. Она называется линейно порождённой, если Ло = к, а естественное отображение Т*(Л1) —> А сюръективно. Линейно порождённая алгебра А называется квадратичной, если ядро отображения Т*(Л_1) А порождено как двусторонний идеал в Т^Лх) подпространством /д = П (А\ ® А\) С А\ ® Ль Обозначим через (Л^/д) алгебру Т9(А\)/(1а)- Квадратично двойственная алгебра Л! определена парой {А\,1^).

Квадратичная алгебра называется кошулевой алгеброй, если Л ~ Ех^(к, к). Хорошо известно, что проективная координатная алгебра орбиты старшего веса в неприводимом представлении редуктивной группы кошуле-ва (см. [25]).

Алгебра А' является универсальной обёртывающей для градуированной супсралгебры Ли

1

где J>fie(y) — свободная градуированная алгебра Ли, порождённая векторным пространством V.

Предложение 2.3.1. Допустим, что проективная координатная алгебра Ах многообразия X кошулева. Тогда существует следующий изоморфизм алгебр

R ~ ЩЬ>2, k), Rp,q ~ (Нq-p(L>2, к))в.

Здесь К'{Ь>2, к) означает когомологии алгебры Ли. Это предложение доказано в [8]. Таким образом вычислены сизигии плюккерова вложения грас-сманнианов Gr(2,n).

Пример 2.3.2. Рассмотрим X = Gr(2,n) С Р(А2У), где dimV = п. Тогда из [8] имеем

^рл = ф ^а ■

wt(A)=p A=(lj, ,11+3)

Здесь (ai,..., ..., bi) обозначает диаграмму Юнга, составленную из вложенных крюков с парами длины и ширины (ai, 6i), . •., (a^, 6а,), веса которых равны wt(A) = XT=i(a* + ~ к-

2.4. Резольвенты пучков

Обозначим через coh(X) категорию когерентных пучков на многообразии X, через grmod(/S) — категорию конечно порожденных градуированных ¿"-модулей. Пусть X С ¥N — проективное многообразие Определим функтор F: coh(X) —> grmod(S') формулой

F{&) = ® Г (¥N,^{n)) (-п) = Horn

гфО

Ясно, что он может быть продолжен до производного функтора RF: Dbcoh(X) Db(grmod(5)).

Лемма 2.4.1. Имеем

= (Р N,^(n)) (-п) = Ext* (ф^(-п),^) .

Доказательство. По определению п-ой однородной компоненты функтора F имеем Fn(&) = НотПоэтому = Ext* (¿?(-п), так

что = 0п^оЕхгг(^(-п), JF). □

Лемма 2.4.2. Если Нк(Х,^(п)) — 0 для п ^ 0 и к > 0, то <8>

ГГ(г + п)) = 0 для п ^ 0, к > 0 и i > 0.

Доказательство. Рассмотрим точную последовательность

О ->• Л'Г <g> б Л^1^* <g> б{\) ■ ■ ■ ¿?(г) -У 0.

Тензорно умножим на ¿^"(п) и посмотрим на спектральную последовательность гиперкогомологий. □

Предложение 2.4.3. Пусть ¿Р Е Db coh(X) — пучок на гладком проективном многообразии X С P(W) = Р^, для которого для любых п > 0 и k ^ 0 верно Wl(X^(k)) = 0. Тогда для любых р и q

Доказательство. Пусть А: Р^ —> Р-^ х Р-^ — вложение диагонали. Рассмотрим диаграмму

piV �