О дискриминантах полилинейных форм тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Л 1 ^ J ;/ Г) ^ О

ЯРОСЛАВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им.

К.Д.УШИНСКОГО

На правах рукописи

ДОЛОТИН Валерий Валерьевич

О ДИСКРИМИНАНТАХ ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ

}

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель член-корреспондент РАН А.Н.ТЮРИН

Ярославль - 1998

Актуальность темы. Исследование детерминантов многомерных матриц может быть полезным уже в линейной алгебре, которая существенно занята прямоугольными матрицами. Хорошим примером (см. Раздел 1) является трехмерная формулировка теории кронеккеровских пар, которая в этом контексте получает непосредственное обобщение. Также интересно получить обобщение теории собственных значений. Теория собственных значений в различных вариантах эквивалентна исследованию матриц типа А + ХВ, где А и В есть пара п х п матриц, и инвариантов этой пары, что можно выразить в терминах ОЬ(п) х (7£(п)-действия на п х п х 2 формах (3-мерных матрицах). Подобным образом "многомерная теория собственных значений" сводится к инвариантам 3-мерных матриц большего формата. В работе введено понятие ранга ¿-линейных форм, введена координатизация на пространстве орбит ¿-линейных форм под действием линейной группы, частным случаем которой являются плюккеровы координаты на грассмановом многообразии.

Исследование условий вырожденности полилинейных форм для случая симметрических форм непосредственно связано с вопросом вырожденности п-арных форм (однородных многочленов от п переменных) степени (1 и приводит к вычислению дискриминантов многочленов многих переменных. В этой работе мы покажем, как инварианты п-арных форм можно получать из дискриминантов полилинейных форм (детерминантов многомерных матриц), что следует рассматривать как обобщение операции взятия классических гессианов и результантов. В частности, эту технику можно применить (см. Раздел 3) для получения генераторов алгебры инвариантов бинарных форм.

Мы можем изучать вырожденость ¿-линейной формы в терминах структуры множества критических точек соответствующей однородной полиномиальной функции. В случае квадратичных форм такое рассмотрение привело к--..методу стационарной фазы для вычисления интегрального преобразования типа Гаусса (т.е. квадратичного). В физике это преобразование имеет бесконечномерный аналог, называемый континуальным интегрированием. Подобная же техника может быть развита (см. Раздел 4) для интегральных преобразований относительно форм степени 3 и выше. Результатом таких преобразований являются аналитические функции (называемые корреляционными функциями в физике) от коэффициентов формы имеющие полюса как раз на дискриминантном множестве формы.

Цель работы. Нахождение алгоритма вычисления дискриминантов (условия сингулярности) алгебраических многообразий. Развитие новой техники вычисления инвариантов п-арных форм. Развитие техники вычисления нового интегрального преобразования.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Приведен алгоритм вычисления дискриминантов (условий сингулярности) алгебраических многообразий. Дано определение ранга мультилинейной формы. Введена новая дифференциальная операция - гиперполяризация - для п-арных на основе которой развита новая техника вычисления инвариантов п-арных форм. Введено новое интегральное преобразование и даны точные формулы для его вычисления. Результаты могут быть использованы для выяснения вырожденности систем алгебраических уравнений от многих переменных, для вычисления генераторов колец нвариантов п-арных форм, для чи-

еденного континуального интегрирования в квантовой теории поля.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинарах И.М.Гель-фанда (Университет Rutgers, США 1994-95 гг.), на конференции "Функциональный анализ" (г.Нэшвилл, США, 1995 г.), на семинаре Э.Б.Винберга (МГУ, ноябрь 1997), на 2-х заседаниях семинара И.Р.Шафаревича (МИРАН, май 1997 г.), на семинаре С.П.Новикова (МИРАН, июнь 1997 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликованы 2 работы, указанные в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Текст диссертации изложен на 32 страницах. Нумерация сквозная. Библиография из 6 наименований.

О дискриминантах полилинейных форм

В.В.Долотин

Математический Колледж, Независимый Московский Университет

vd@mccme.ru

Abstract

Дан алгоритм вычисления дискриминантов полилинейных форм. Развита техника вычисления условий вырожденности и других инвариантов га-арных форм. Введено интегральное преобразование относительно форм степени 3 и выше (аналог преобразования Гаусса для квадратичных форм).

О Введение

Для некоторых объектов полилинейной алгебры уместно использовать терминологию из линейной алгебры (см. [1]). Так для множества коэффициентов ¿-линейной формы будет использоваться термин "(¿—мерная матрица", а для ее дискриминанта (см. определние ниже) мы можем использовать слово "детерминант" причем также имеет смысл понятие "минора".

Исследование детерминантов многомерных матриц может быть полезным уже в линейной алгебре, которая существенно занята прямоугольными матрицами. Хорошим примером (см. Раздел 1) является трехмерная формулировка теории кро-неккеровских пар, которая в этом контексте получает непосредственное обобщение. Также интересно получить обобщение теории собственных значений. Теория собственных значений в различных вариантах эквивалентна исследованию матриц типа А + ХВ, где Л и В есть пара га х га матриц, и инвариантов этой пары, что можно выразить в терминах GL(n) х GL(n)-действия на га х n х 2 формах (3-мерных матрицах). Подобным образом "многомерная теория собственных значений" сводится к инвариантам 3-мерных матриц большего формата.

Исследование условий вырожденности полилинейных форм для случая симметрических форм непосредственно связано с вопросом вырожденности га-арных форм (однородных многочленов от га переменных) степени d и приводит к вычислению дискриминантов многочленов многих переменных. В этой работе мы покажем, как инварианты га-арных форм можно получать из дискриминантов полилинейных форм (детерминантов многомерных матриц), что следует рассматривать как обобщение операции взятия классических гессианов и результантов. В частности, эту технику

можно применить (см. Раздел 3) для получения генераторов алгебры инвариантов бинарных форм.

Мы можем изучать вырожденость ¿-линейной формы в терминах структуры множества критических точек соответствующей однородной полиномиальной функции. В случае квадратичных форм такое рассмотрение привело к методу стационарной фазы для вычисления интегрального преобразования типа Гаусса (т.е. квадратичного). В физике это преобразование имеет бесконечномерный аналог, называемый континуальным интегрированием. Подобная же техника может быть развита (см. Раздел 4) для интегральных преобразований относительно форм степени 3 и выше. Результатом таких преобразований являются аналитические функции (называемые корреляционными функциями в физике) от коэффициентов формы имеющие полюса как раз на дискриминантном множестве формы.

Давайте проиллюстрируем некоторые свойства, характерные для полилинейного случая, на примере 3-линейных форм. Мы знаем, что в случае билинейных форм ("2-мерных матриц") детерминант (как гиперповерхность, задаваемая одним многочленом) определен только для квадратных матриц. Поэтому для задания размера 2-мерной матрицы, имеющей одно выражение (детерминант) в качестве условия вырожденности, достаточно задать одно число п - число ее строк или столбцов. Теперь возьмем "3-мерную матрицу" с элементами аг'1г2г-3, где 1 < ¿1 < п1; 1 < ¿2 < п2, 1 < ¿з < пз. Фиксируем п\ и п2. Тогда детерминант определен для матриц с п3 удовлетворяющим следующему неравенству (см. [1]):

(1) Щ - п2 + 1 < п3 < щ + п2 - 1

Таким образом размер ("формат") ¿/-мерных матриц, имеющих детерминант, в общем случае задается ¿ параметрами, в то время как в 2-мерном случае только одним. Но в ¿-мерном случае, при с/ > 2, также имеется класс матриц, чей размер описывается с1—1 параметром. Они называются матрицами "граничного формата", и их размер соответствует равенству в (1). В 2-мерном случае матрицы, чья вырожденность не может быть охарактеризована одним выражением - это прямоугольные матрицы. В случае высшей размерности это матрицы "грассманова формата", такие, которые в случае <1 = 3 не удовлетворяют (1). В этой работе мы приводим ряд свойств матриц граничного и грассманова форматов, которые показывают, что они являются подходящими обобщениями квадратных и прямоугольных матриц соответственно. В частности, условие того, что прямоугольная матрица имеет ко-ранг 1 - это равенство нулю детерминантов всех максимальных квадрантых подматриц (максимальных миноров). Соответствующее первое условие вырожденности для ¿-мерных матриц, определенное здесь как условия коранга 1 (см. Раздел 1.2.1) -это равенство 0 детерминантов всех максимальных подматриц граничного формата. Прямоугольной матрице можно поставить в соответствие множество ковекторов - ее строк или столбцов. Тогда условие коранга 1 для прямоугольной матрицы имеет геометрическую интерпретацию как линейная зависимость этих ковекторов (1-мерных матриц), ¿-мерной матрице с элементами а^...,^ можно поставить в соответствие набор "слоев" в к-м направлении, которые являются (с? — 1)-мерными матрицами с элементами а^ . . Тогда условие коранга 1 для ¿-мерных матриц грассманова формата можно выразить геометрически в терминах сингулярности пересечения

линейной оболочки этих слоев с подмногообразием (¿ — 1)—мерных матриц коранга 1. Замечательным фактом, делающим понятие коранга 1 корректным, является то, что это условие сингулярности не зависит от направления "среза" нашей матрицы (числа к).

Рассмотрим задачу нахождения ядра линейной комбинации 5(А) Ах Ах + ... + А/;Л/с из к прямоугольных матриц размера тхп. Это ядро будет (п—т)-мерным подпространством, т.е. элементом С?т)П. Меняя (Ах,..., А*,) мы получаем ¿-параметрическое подмножетво в ОтгП. В случае, когда к = п — т + 1, образ этого подмножества при плюккеровом вложении Ст,п будет многообразием Веронезе. Многообразия Веро-незе, получаемые таким образом называются здесь собственными. Условие вырожденности собственного многообразия Веронезе можно выразить двумя способами:

• как условия существования таких (Ах,..., А&), что все плюккеровы координаты ядра ¿"(А) (которые есть т х т миногы б'(А)) равны 0, или как сингулярность пересечения 8рап(А\,..., /Ц) с подмногообразием Мтп вырожденных тхп матриц;

• как условие того, что детерминант 3-мерной матрицы размера тхп х (п—т+1) составленной из элементов Ах,А„_т+1 равен 0.

В случае грассманова формата, когда к > п — т + 1, условие существования пересечения зрап(Ах,..., Ак) с Мтп - это что детерминанты всех т х п х (п — т + 1) подматриц соответствующей 3-мерной матрицы равны 0. Подобный факт имеет место в общем ¿-мерном случае. Это позволяет интерпретировать детерминанты максимальных подматриц граничного формата матрицы грассманова формата как многомерный аналог плюккеровых координат и рассмотреть аналог плюккерова отобра-

П

жения на пространстве ¿-мерных матриц грассманова формата: МП1...Пй —> Р , ставя в соответствие ¿-мерной матрице множество ее максимальных миноров граничного формата. Как и в 2-мерном случае здесь возникает фундаментальная проблема нахождения соотношений между минорами ¿-мерной матрицы, аналога плюккеровых соотношений, т.е. описать образ Мщ,,,па как алгебраическое многообразие.

В изучении дискриминантов полилинейных форм имеется фундаментальный вопрос об алгоритме явного вычисления этих дискриминантов. В Разделе 2.2 мы развиваем технику, которая дает алгоритм вычисления дискриминантов ¿-линейных форм граничного формата ("гиперплюккеровы координаты"). Эта техника оказывается основой для вычисления дискриминантов ¿-линеных форм общего формата. В Разделе 2.3 мы наметим и дадим пример применения этого общего алгоритма.

Пусть /(Хх,...,^) = ^ сь^Х^.-Х!? есть функция на РП1 х ... х РПс, э

(Хх,..., Х^) однородной степени т15..., т^ относительно Хх,..., Х^ соответственно. Здесь X1 := ж}1 ... х]?.

Определение 1 Будем говорить, что значение коэффициентов с принадлежит дис-криминантному множеству если система уравнений

(2) апхи„.л)= Д[ к = 1 ^

имеет решение в РП1 х ... х РП(Г В случае, когда дискриминантное множество является алгебраическим подмогообразием коразмерности 1 в пространстве коэффициентов, оно называется дискриминантом /, и обозначается /}(/).

Пример 1 Пусть ¿ = 2и /(ссьж2) = ах\ + Ьх^х2 + сх\. Система (2) в этом случае

^ у

—— = 2ах\ + Ьх2 = 0 —— = Ъх 1 + 2сх2 = 0, к = 1,..., <1 Ох 1 С/Жг

Условие ее разрешимости - это !?(/) = Ъ2 — 4ас = 0.

Утверждение 1 Условие разрешимости системы (2) есть условие того, что алгебраическая гиперповерхность ..., Хл) = 0 особа.

Поэтому изучение дискриминантов - это изучение множества особых гиперповерхностей данной однородной степени.

Теперь рассмотрим специальный случай этого определения, когда гщ = ... = тд — 1, т.е. случай ¿-линейной формы. Пусть УП1, ...,УПа есть набор линейных векторных пространств, таких что сИт(УП1) = щ. Пусть А £ У*^ ® ... ® У*Л есть «¿—линейная форма. Для набора векторов Хк € УПк, к = 1,...,с? с координатами Хк = (ж^,..., ж^) в выбранном базисе, форма А(Х\,..., Х^) есть многочлен от с/ наборов переменных Х\, ...,Х<1 степени й и система (2) состоит из с/ подсистем (с?—1)-линейных уравнений

(3) -ущ-= °> г = 1,...,пк, к = 1,..., а

Коэффициенты а^.-.^ этой системы (коэффициенты формы А) являются элементами мерной Пх х ... х п<1 прямоугольной матрицы.

Определение 2 Дискриминант многочлена А(Х 1,..., Х^ называется детерминатом п\ х ... х пл матрицы (а^...,^) и обозначается £)е£(А).

Пример 2 Пусть А £ II* ® V*. Тогда ее коэффициенты образуют обычную п х п квадратную матрицу. Тогда к = £ х^а^у}. Система (2) в этом случае:

1 <.г,]<п

п

(4) = 0, г — 1,..., гг = ¿ =

¿=1 ¿=1

Заметим, что эта система содержит однородную систему линейных уравнений вместе с ее сопряженной. Для дискриминантов полилинейных форм это свойство будет суще ственным.

Имеется естественное действие группы GLni х ... х GLnd на ®j=1 VHj с индуцированным действием на (g)j=1Vn* . Поскольку система (2) для / = А(Хх,..., Xj) инвариантна относительно этого действия, то мы получаем

Утверждение 2 Детерминант п\ х ... х п^ матрицы является инвариантом относительно действия GLni х ... х GL„d.

Обозначим Mni...nd :=

1 Геометрия детерминантного множества

1.1 Задачи линейной алгебры и детерминанты "3-мерных матриц"

1.1.1 Общая конструкция

Пусть Mnm, где п < т, есть линейное пространство п х т матриц. Пусть М'пт С Мпт подмногообразие матриц ранга п — 1. Пусть A\,...,Ak Е Мпт есть набор п х т матриц. Из их элементов можно составить п х т х к матрицу коэффициентов 3-линейной формы (а^^,-3). Имеется взаимно однозначное соответствие между линейными подпространствами span(Ai,..., А к) С Мпт для различных наборов Ai,...,Ak и орбитами соответствующих форм (Ai,..., Ак)) под действием

Пример 3 Пусть А ж В есть п х п матрицы.

Утверждение 3 Пусть ¿е1(В) ф 0. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

2) .0(о?е£(А + гВ)) = 0 ог Б(с1е1(АВ 1 — гГ)) = 0, т.е. характеристический многочлен для АВ~1 имеет крантные корни.

Здесь означает дискриминант многочлена /(г).

Пример 4 Пусть А и В есть п х (п + 1) матрицы.

Утверждение 4 Детерминант п х (п + 1) х 2 матрицы £>е£(аг-1г-2г-3 (Л, В)) ф 0 если и только если пара (А, В) является "кронеккеровой", т.е. действием ОЬп х (?£„+1 ее можно привести к следующему каноническому виду

GLk на Mnmk = V* У;.

1) Det(ailiaii(A,B)) = 0

В =

/о 1

0\

1.1.2 Многообразия Веронезе

Пусть к = т-п + 1, ...,Ак £ Мпт. Пусть Б (г ь ...,гк) := ггАх +... + гкАк есть точка в подпространстве врап^Ах,..., Л) С Мпт. Пусть А(гг,гк) (Д|-1...,-„(5)) 1 <г 1 <.■■■<i^¡ <т ^

С)

р \ т/ есть вектор с компонентами - п х п минорами образ Б (г) при плюккеро-вом вложении. Отображение <р : (2Х,...,гк) А(гх,...,гк) дает к—параметрическое

подмногообразие V(Ai,..., Ак) в Р

Утверждение 5 Для Ах,..., Ак в общем положении пересечение М'птС\зрап(Ах,..., пусто.

Утверждение 6 Для Ах,---,Ак в общем положении многообразие У(А%,..., Ак) : =

т

1р(С ) £ Р ^ п ' является многообразием Веронезе.

Многообразия Веронезе полученные таким образом мы будем называть собственными.

Теорема 1 Следующие утверждения эквивалентны:

1) пересечение М'пт П врап(Ах,..., Ак) не пусто

2) БеЬ((ц1ыя{Аи...,Ак)) = О

3) многообразие ..., А*,) особо

'т

4) V(Ai,..., Ак) принадлежит гиперплоскости Р

п

Пусть (xb...,xri),(y1,...,i/rn),(z1,...,^) есть координаты в Vn,Vm и Vk соответственно. Для (aili2h) = (аг-112гз(Л1,..., Ak)) £ Мптк = V* <g> <8> Vk система (2), где / = YLahi2izxnyi2Ziü, содержит подсистему

(5) дТ,апг^хг1уг2ггз = £ + ^ + ZkAk)^ = s[z)y = ^ г1 = 1,п

¿2 = 1

Данному Z £ Pjfc_i мы можем поставить в соответствие подпространство Ker(S(Z)) С Vm решений (5). Если rank(S(Z)) = п то Ker(S(Z)) имеет размерность (т — п). Если rank(S(Z)) < п то Ker(S(Z)) имеет размерность больше чем (ш — п).