Дополнения к дискриминантам гладких отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ШМАШЕСЮЙ ИНСТИТУТ ИЛ, В. А. СТЕКЛОМ

Ка правах рукописи УДК 515.164.15

ВАСИЛЬЕВ ВИКТОР АНАТОЛЬЕВИЧ

дополнения к жскрттгж

ГЛАДКИХ ОТОЕРАШПЙ (01.01.04 - гпсквтрпя п гополопи)

Ав^орофорат

днссертодтпз ш соааканиэ учзкой степени доктора физико-математических нщгк

Москва - 1992

Работа выполнена в отделе функционального анализа

и математических методов в медицине

института прикладной математики им. М.В.Келдыша АН СССР

Официальные оппоненты: доктор физ.-кат. наук, профессор В.Е.Палаыодов

(Московский Государственный университет)

доктор физ.-кат. наук, профессор М. 11. Постников

(Математический институт РАЫ)

доктор (¡из.-мат. наук А..Г.Хованский

(НШ Системных Исследований РАН) Ведущая организация - институт теоретической физики им. Л.Д.Лаадау РАН

Защита диссертации состоится Ьс 193 ¿года

в (90 на заседании Специализированного совета Д.002.3802 при ШРАН им. В.А.Стеклова по адресу: Москва, 117366, ул. Вавилова 42

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке №1РАН Автореферат разослан МйД 1392_г.

Ученый секретарь Специализированного совета Д.002.3802 доктор фаз.-пат. наук,

профессор М.П.Ыинеев

I Актуальность темы. Дискриминант - это подмножество функционального пространства, состоящее из функций (или отображений),

p'-'PRlVW j

i шЖвЗфк особенности некоторого фиксированного типа. Многие важные математические объекты могут бить описаны как пространства дополнений .к (подходящим образом определенным) дискриминантам. Таковы, в частности:

- пространства полиномов без кратких корней, активно используемые в теории алгебраических функций1^ и в теории сложности вычислений*^; топология этих пространств изучалась в работах

В.И.Арнольда, Д.Б.Фукса, Г.Сигала, ®.Коэаа, Ф.вайнштейна и других;

- пространства морсовских и обобщенных морсовских функций на многообразиях, играющие ключевую роль в гладкой топологии а изучавшиеся в работах С.Смейла, Ж.Серфа, К.Игусы, В.В.Шарко, В.И.Арнольда;

- дополнения к бифуркационным диаграммам особенностей голоморфных функций"^' ^; такие дополнения встречаются во многих задачах физики и теории дифференциальных уравнений в частных ггроиз-водних как области регулярности ветвящихся функций, заданных ян-

1) Арнольд В.И. Топологические инварианты алгебраических функций. П // функц. анализ и его пршг. - 1970. -.4:2. - С.1-9.

2) Snole 3. On the topology of algorithms.IУ/ J. <st Complexity. -19Э7. - 3:2. - P. 81-89.

' 3) Арнольд В.И., Варченко A.H., Гусейн-Заде C.M. Особенности дифференцируемых отображений.I. - М.: Даука, 1982. - 340 е.; П. - М.: Наука, 1984. - 334 с.'

4) Арг.ольд В.И., Васильев В.А., Горюнов В.В., Дяшко О.В. Особенности. Г,П. / Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. математики. фундаментальные направления. Том 6. -1988. -М.: ' ВИНИТИ. -256 с. + Той 39. - 1989. -М.: ВИНИТИ. -256 с.

jerpaJüans* преобразовашуня*, изучашашсея й.Г.Пзтровскш, Е.Дерс, М.Ф.Атьзй, Р.Боттои, Л.Гордцнгш, Л.Хермавдером, В.П.Ыасловда, О.Еаысм в ъшогиш другими, см. сноски 3)-6);

- петлевые пространства S¿m(tfl"*\ 0), т<п , гоиотогшческс вквивалентшз пространствам £2mS , изучавшаяся Да.Адамосад, Э.Дайерои и Р.Лашофоья, Р.Милгрэмоы, Дз.Мшиюрогл, Г.Снгалом, Дд. иьви, Ö.Koshqu, В.Снэ2тоы п другими7^»

Деяь работы - Есследование топологических и геометрзческих свойств дополнений к дискриминантам и их прилозенае к теории сложности вычислений, теории алгебраических функций s гапербола-чзсшаа уравнения:! в частных производных. Основные результаты работы - следующие.

I. Теорема пша Сыейла - Хирда для пространств гладких отоб-рааекай без слоишх особенностей: для любого ксшактаого многообразия И и лабого класса Ol особенностей охобразевлй M ¡H такого, что множество отображений с особенностями' класса OL

5) Атья М.Ф., Ботт Р., Гординг Л. Лакунн для гшербояических ди$-феревдиальных операторов с постоянными коэффициентами. I, й// Успехк мат. наук. -1971. -26:2. -С.25-100 и IS84. -39:3. -

С.171-224.

6) <£аи ö. Введение в топологическое исследование особенностей Ландау. - М.: Мир, 1970.

7) Cohan 2.R., ЪаЛо. T.J., May J.P. The homology of iterated loop spaces// Lect. ilotes Math. - 1976. - V. 533. - 390 p.

8) Ддамс Да. Бесконечнохратные пространства петель. - M.: Цир, 1982. - 200 с.

9) Segal G.B. CorLfiguxation-epaoBU and Iterated loop-spaces // Invent. Math. - 1973. - 21:3. - P. 213-221.

имеет коразмерность -5 2, стандартное влоаение пространства отображений без особенностей класса 01 в соответствующее пространство допустимых сечений струйного расслоения индуцирует изоморфизм колец когомологий; более того, эго влоне-ние является слабой гомотопической эквивалентностью, если коразмерность множества отображений с запрещенными особенностяки {&] не меньше трех.

2. Вычисление стабильных колец когомологий дополнений к дискриминантам (бифуркационным диаграммам нулей) особенностей голоморфных функций з €. . (Стабильный класс когсмологий дополнений к дискриминантам - это набор талия классов когомологий, заданных для всех деформаций всех особенностей голоморфных функций в С" и переходящих друг в друга при вложениях дополнений к дискриминантам разных особенностей, определенных примыканиями этих особенностей, си. рис. I на стр. 29). Мы доказываем, что при любом

л кольцо стабильных когомологий дополнений к дискриминантам функций в С" естественно изоморфно кольцу когомологий пространства 2 п -нтатных петель 2п*1 -мерной сферы.

3. Положительное решение для почти всех строго гиперболических операторов с постоянными коэффициентами проблеш Лтии -Ботта - Гординга 7 об эквивалентности локальной регулярности фундаментального решения ("резкости") и локального топологического условия Петровского.

4. Полный список локальных лакун (областей регулярности фундаментального решения) вблизи всех простых особенностей волновых фронтов гиперболических операторов (го есть вблизи особенностей классов Е^ , см.^*^), в частности - вблизи вссх особенностей волновых фронтов типичных гиперболических операторов в !К при п.£ 7.

5. Асимптотически точная оценка минимального числа ветвлений (операторов î F 5 алгоритмов приближенного вычисления корней полиномов степени cl от одной комплексной переменной: вто число легшт в промежутке [с/- d-l].

5.' Точные по порядку оценки числа ветвлений алгоритмов, вычисляющих корщ систем полиномиальных уравнений от нескольких комплексных переменных: для большинства естественных пространств систем эти оценки - как верхние, гак и нижние, - асимптотически (по степени уравнений) пропорциональны размерности этих пространств, см. теореш 5-8 ше.

Научная новизна. Все основные результаты 1-5' являются новы-ка. Ранее были известны соответственно лишь следующие результаты (строго более слабые в случаях 2, 3, А, 5).

1. В случае, когда n= 1 и запрещенный класс состоит из особенностей функций M '-^"IR "сложнее As ", была доказана tn-связность вложения пространства допустимых функций в пространство допустимых сечений струйного расслоения-^•.

2. В простейшем случае голоморфных функций от одной переменной наша формула для стабильных когомологий дополнений к дискриминантам превращается в формулу Мэа-Сигала для когомологлй ста-бшгьной группы кос:

3. Атьей, Боттом и Гордангом®^ была доказана импликация (локальное условие Петровского) ==$» резкость. Обратная импликация доказана ими для неособых точек волновых фронтов^ и Д.Тор-

Ю)

Iguea К. Higher singul&rltlca of srsooth functiono are umt-

ceasary // Азии oî H&th. - 1984-. 119tl. - 5. 1-59.

Cexî J. Suppression d<a singularités de codimonolon plus

grande que 1 dans Isa ieailles de fonctions differentlablee • réelee // Ses. Bourbaki. - 1983/84. - Ho. 627. - 15 p.

дшгом12) - для простейших особенностей фронтов - типов

4. Случай неособых точек фронта был разобран А. ti. Давыдов о Jt ^ \ В.А.Боровиковым14\ 2.Лере15^, случай особенностей -Л.Гордингом12^.

5. Ранее была известна лишь более слабая нижняя оценка Смайла Z(d) ? d) (см. сноску 2) на стр.3).

Методы исследований относятся к теории особенностей гладких функций, гомологической алгебре, теории Пикара - Лефтеца, вещественной алгебраической геометрии. Основной новый метод - спектральная последовательность, различные варианты которой сходятся к когомологиям всех пространств, участвующих в формулировках основных результатов I, 2 (а также многих других пространств).

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты п метода могут быть использованы (и уае испольэуотся) в теории особенностей гладких отображений^'г интегральной геометрии^«Ю, дифференциальной топологии и теории

12) Гординг Л. Резкие фронты парных осциллирующих интегралов^ Успехи матеы. наук. - 1983. - 38:6. - С. 85-96.

13) Давыдова А.М. Достаточное условие отсутствия лакуны для дифференциального уравнения в частных производных гиперболического типа: канд. дисс. - И., МГУ, 1945. - 43 с.

14) Боровиков В.А. Фундаментальные решения линейных уравнений в частных производных с постоянными,коэффициентами/ Тр. Моск. матем. общества. - 1959. - Т.8. - С.199-257.

15) Лзре Ж. Обобщенное преобразование Лапласа. - M.sMnp, 1959. -168 с.

16) Arnol'4 V.I., Vasil'7.А. Jíenrton'e Eriaoipia read 300 увагя later// I7oticea imer. Math. Soc. - 1989.-36:9. - P.114S-1154.

узлов3-7*, теории сложности вычислений*8^, теории дифференциаль-

13)

шсс уравнений в частных производных1-".

Апробация и публикации. Результат работы докладывались на заседании Московского Математического общества (1987), на конференции "Единство и разнообразие математических наук" (г. Беркли, США, I9S0), на Колледже по теории особенностей (г.Триест,Италия, 1991/, на конференции по дифференциальным уравнениям и смежным вопросам (Москва, 1991), на совместных заседаниях семинаш им. И.Г.Петровского и ШО (-1986), на семинаре МГУ по теории особенностей (руководитель - В.И.Арнольд, 1985, 88 и 89), семинаре ш. И.Г.Петровского (1983), на ХШ Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Куйбышев, 1988), в математическом лектории для студентов Ж) (1989), на семинаре отдела топологии ЛОМИ (руководитель - О.Я.Виро, 1989), на семинаре им.К.И. Бабенка в ИШ АН СССР (1989), на семинаре кафедры алгебры и анализа Будапештского университета гол. Э.Лоранда (руководитель -Л.Лемлерг, 1988), семинарах МГУ (руководители - А.Н.Варченко, Д.Б.Фукс, А.Г.Хованский, 1984, 85, 88, 89), на ХХП Воронежской зимней математической школе (1989).

Результаты диссертации изложены в печатных работах [I] - [1б] (см. список на стр. 27 - 28 ).

Структура д объем. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 140 наименований, содержит 41 рисунок и 4 таблицы, общий объем - 300 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ГЛАВА I имеет подготовительный характер, в ней собраны технические результаты о когомологиях конфигурационных пространств, используемый в последующих главах.

Конфигурационное пространство /R m(dJ - это пространство

17) Vassiliev V.к. Cohomology of knot spaces// Advances in Soviet liath. Vol. 1. №oory of singularities and its applioa-tioas.- 1990. Publ, of the AMS. - irovidenee, R.I.

18) lovine H. A. lower bound for the topological complexity of Poly(D,n). - J. of Complexity, 1989.

[ всех подмножеств мощности д. в Ш™ ; например, В1(с1) - ото югассифицврувдее пространство для группы кос из с/ нитей 8>Г(с1)> а Я (о!) - мя симметрической группа 57с//

В § 3 ш предъявляем клеточную реализации -когомояогпЗ отпх пространств и реализуем полную систему свободных мультипликативных образующих алгебр Хопфа Нос>), ¿р при помовзл вложенных подмногообразий в

В § 4 изучаются когомологий пространств !В (о[)с коэффициентами в локальной системе групп -Ж , локально изоморфной £ , но меняющей ориентации при обходе вдоль путей, определяющих ночот-нкз перестановки с( точек в Я . Теорема I. Для любых целых

с1,к, г >0 отобрал 95313

заданное очевидным вложением гЯ9~к*г , эпнморфно. В част-

ности, эпиморфно отображение Н'*(2(с1),Т) Н (В>Г(сЛ)г Т), ^ДО Т - знакопеременное представление групп 2(с1)> 8>Г(с1) в ¿с. Теорема 2. Группа

/Г^Гй, ±2)

тривиальна, если (Ж не есть степень простого числа, и изоморфна Жр , если 6, =уэ* р~ простое.

(При ¿>о(-1 группа Н (о!)) с лябыии коэффициентами тривиальна по соображениям размерности.)

В ГЛАВЕ Д эти результаты применяются к теории сложности вычислений и к теории алгебраических функций.

Пространство Я?'(с() 2 Н(Ё)Г(с1)1 1) можно рассматривать как пространство всех комплексных полиномов вида

_+ ... - Х^г + Хд (I)

19) Варченко А.Н. О нормальных формах нагладкооти решений гипэр- ' боличзских уравнений // Изз. АН СССР. Сер. матам. - 1987. -51:3. - С. 652-6*5.

без кратных корней: любому такоцу полиному соответствует набор ого корней в С . Множество полиномов (I) с кратными корня-ш называется дискриминантом и обозначается через 21 ; вто - особая гиперповерхность в С* . Над пространством С* - £, имеется два нпкрытия; с// -листное "накрытие ^ •' М Сточки которого - ето упорядоченные набору из с/ различных точек в , и

с1 -листное накрытие ' // -Ж , точки которого - это пары веда (полином р е ! один из корней этого полинома).

С.Смейл^) попользовал топологические свойства накрытия ^ . дая оценки алгоритмической сложности задачи приближенного вычисления корней полиномов.

Алгоритыои, согласно Смейду, называется конечное ориентированное дерево с узлами следующих четырех видов (см. рис. 2): единственный входной узел, на которш! подаатся начальные данные (в нашем случае - вещественные п мнимые часта чисел X ^ ); вычислительные узлы, в которых производятся арифметические действия над етими данными и над другими числами, полученными выше по алгоритму; узлы ветвления, в кавдом из которых некоторое вычисленное вша ао алгоритму число сравнивается с нулем и в зависимости от результата происходит передача управления; наконец, узлы выхода, в которых некоторые вычисленные ранее числа объявляются есео-шш величинами и на этом выполнение алгоритма заканчивается.

Определение^. Топологической сложностью алгоритма называется число его узлов ветвления. Топологической сложностью вычислительной задачи называется минимальная топологическая сложность решающих ее алгоритмов.

Пусть 01 - единичный поликруг в пространстве полиномов (I), (£ - положительное число. Задача состоит в приближен-

ном (с точностью £ ) вычислении всех корней любого полинома из области 01 .

Смейл доказал, что при достаточно малых ¿ топологическая сложность Z(dt¿) о той задачи удовлетворяет неравенству

г (d,e)?(fy2df'* (2)

Мы доказываем следующую двусторонняя» оценку числа Z(d) =

= lim t(d,¿),

z->*o .

Теорет 3. Показатель. X (а) удовлетворяет неравенствам

d-m¿n dp(d) ^X(d) ¿d-i, (з)

где гашплум берется по всем простым р , a dp(d) - сукма цифр в р -ичноы разложении числа d .

В частности, всегда d-¿o^d, a вот d - степень

простого числа, то Z(d) ~d- i . Б последнем случае верно гораздо больсеа.

Геореиа 4. Если d - степень простого числа, то при достаточно калых £, топологическая сложность tt(dtí) задачи о нахождении с точностьэ £ хотя бы одного корм любого полинома ЕЗ СЬ равна d - 1

Теорема 4'. При произвольном d и малом £. число V±(d,£}*-i не меньше наибольшего делителя d , являющегося степенью проото-го числа.

Отметим, что даже эта оценка лучше оценки Смейла: из закона распределения простых чисел следует, что при d последний

показатель асимптотически не меньше Вп d.

Нижняя оценка (3), как и оценка Смейла, основана на изучешш рода d! -листного накрытия М С . Напомнш это

понятие (принадлежащее к.С.Шварцу2*^).

Определение. Родом расслоения х: X. У называется наи-меныаая возможная мощность покрытия его базы У* открытыми областями, над каждой из которых имеется непрерывное сечение этого 20) Цварц A.C. Род расслоенного пространства// Труды Моск. Матем.

общества. - ID3I. -Т. 2*. - С. 217-272.

расслоекля. Обозначение рода - а (X).

п\ <3

Теорема (принцип СмеШит'). Топологическая сложность задача P(d,C> при достаточно малых £ >0 т меньше числа Cj (f^) - 2

Аналогичное неравенство связывает топологическую сложность задачи о вычислении одного корня (см. теорему 4) и род накрытия

{.j?.| . Оценка (2) состоит из принципа Смейла и из гомологической оценки рода, основанной на результатах Д.Б.Фукса о кольцах

Н*(Вг(ф, • Нижняя оценка в нашей формуле (3) основана на более эффективных гомологических оценках рода (принадлежащих А.С.Шварцу*^) и на новых результатах о когомологиях груш кос, в частности на сформулированных выше теоремах I, 2.

Дня доказательства теоремы 4 (и а') мы явно вычисляем (единственное) топологическое препятствие к существованию покрытия

С ok областью, обладающей сечением накрытия If?,;

при d - р*1 это препятствие заведомо нетривиально.

Четвертый параграф главы II посвящен многомерным аналогам предыдущей задача: в нем оценивается топологическая сложность ре-аенкя полиномиальных систем от нескольких комплексных переменных. Приведем несколько основных результатов.

Пусть Ф~{%,...у j - система однородных полиномов в степеней di)t..,d„ , причем 0 - единственное решение систеш уравнений . ■■.-%, = 0 . Рассмотрим пространство полиномиальных систем вида F={fij,.., fnj , где ^ - полином степени d; с главной однородной частью ср4- , пусть 01 - замкнутый шар в этом пространстве с центром в точке cj?.

Задача Р(Ф} Glt ¿) состоит в приближенном (с точность*) £ ) вычпелерш всех d^ . . , • dn корней любой систеш F из ьао-кедтва (Л ; топологическая сложность, втой задачи обозначается через Г £)•

• Теорема 5. Дня любого ¿>0 . показатель г(Ф 01л) не щю-восходит числа aim ^ д

Для формулировки встречного неравенства без ограничения общности предположим, что с/А= гпах(с1;) и определим для любого целочисленного набора ,с/п) число М[(2)) как количество точек (О*,..., Оп) 6 ¿Г". удовлетворяющих неравенствам

см. рис. з.

Например, при имеем \№(с1) ,(1> (Ж)~

/п+о1\ /п+с'-Р/а]) .

\ п )~\ п ' ' ПРИ и фиксированном п эта

величина равна ¿й/п!) (1 ~2~П) с1"( 1+ 0(1 /Л)).

Теорема 6. Для почти любой системы однородных полиномов . Ф -фиксированных степеней 1,..., с/п , справедлива оценка т(ф) 01,5) ? • В частности, эта оценка верна для си-

стемы =

Замечания. I. При ~с(„=с1-*оо я фиксированном л

главные члены асимптотик верхней и нижней оценок из теорем 5, 6 отличаются умножением на константу 2п /(1 ~

2. При_.л=»1 верхняя и нижняя оценки из теорем 5,6 соответственно асимптотически в 2 раза больше и в 2 раза меньше истинной асимптотики Т(с() ~ с/ из формулы (3).

Доказательство теоремы 6 также (как и нижняя оценка (3)) основано на изучении топологии дополнений к дискриминантам: ш выбрасываем из пространства 01 множество систем, имеющих кратные корни, и рассматриваем естественное . . „ * -листное накрытие над его дополнением; гомологическая оценка рода этого накрытия дает теорему 6.

Теорема 5, как и верхняя оценка в формуле (3), доказывается непосредственным предъявлением алгоритма нужной сложности.

Обратился теперь к много;.:ерным аналогам теорем 4, 4' о сложности задачи вычисления одного корня. Пусть 2) - (с11).,., с1к ) , и 0Ь[3),я)- пространство всех полиномиальных систем

в ^ • № ~ непустая область в (С° • Обо-

значим через t(-D, >l,U,t) топологическую сложность задачи о нахождении с точностью е одного корня любой системы F 6 Ol (Q n)j лааацего в области У . (Алгоритм, решающий такую задачу, долкен либо предъявлять такой корень, леяаидай в £ -окрестности U , тбо выдавать верное утверждение об отсутствии таких корней в У). Положим z/D, п, U) = iim Гг СД nt U, &).

Теорема 7. А) для лябых фиксированных (кin)

справедлива асимптотическая (по d -*• оо ) оценка

ъ U) ?(d/k)k(i +0(i/ä)); (4)

Б) если область Uс С полуалгебраична и ограничена, то для любого J) i/V " все числа t4 (2), >\ Uограничены сверху некоторой константой с(J) П) V) , не зависящей от £ .

Одновременно с задачей о поиске одного корня рассматривается в некотором отношении более естественная задача о поиске £ -корня, то есть точки 2 е (ß , в которой jf^Mj^C. Для любого подмножества ß с СЧ(Ц п) обозначим через V^ (ßt s) топологическую слозшость задачи вычисления одного лежащего в U £ -корня любой системы из множества ß ; положим (Е>> U)~ fitm Г(ВД&) „ в частности гаФ(п,Ш= V)

Теорема 8. А) в условиях теореш 7, в формуле (4) моано заменить ua "Mj и, более того, на Z^l&^ U) , где ßj - произвольная область в С^/с/,...,^n)t содераащая тождественно нулевую систему;

Б) если область U ограничена в С , & множество £> ограяичо-но в Ol (В, п), ТО V^iß^ijü diin^Clil) n)+i при всех ¿>0.

В частности, если к=п и dx~ ,.. -dn -d-^oa , то верхняя а ншяя оценка из пл. Б), А) атой теоремы отличаются множителем

((n-i)>./SnnJ(i*0(i/d)).

Исследование когомологий групп кос было начато В.И.Арнольдом в связи с задачей о представимости алгебраических функций супер-

позициями функций от меньшего числа переменных. В § 5 главы П предъявлена новая конструкция препятствий к такому представлении, основанная на понятии рода накрытия,

В ГЛАВЕ Ш мы исследуем пространства гладких отображений многообразий в В , не имеющих сложных особенностей. Топологическая структура таких пространств является важной характеристикой отображаемого многообразия; регулярное исследование их было инициировано работами Смейла и Серфа по гладкой топологии и проводилось К.Игусой, Е.Серфом, А.Хэтчероы, В.В.Шарко, В.И.Арнольдом и диггики.

Для формулировки основного результата главы Ш введем несколько обозначений. Пусть М -гладкое вещественное многообразие, тогда через лад обозначается пространство К -струй гладких отоб-ракений М -+-1Р, . Пусть 01 - произвольное подмножество в 3 (В, инвариантное относительно очевидного действия группы 2)1^(1Нт). Тогда для любого т -мерного многообразия М инвариантно определе-ео подмножество С%(М) ^ ,7 (М, Я") , состоящее из к -струй, при любом выборе локальных координат на М попадающих в множество 01 . Пусть у.' - произвольное отображение, не имеющее

вблизи Ъ М особах точек типа 01 .

Обозначим через Й(М, ¿^(^пространство всех гладких отображений М-^Несовпадающих о у в некоторой окрестности ЪМ и таких, что их к -струи ни в одной точке М не принадлежат 01 (М) ; В (М1у) - это пространство гладких сечений очевидного расслоения «/ не пересекаюпСих множество &(М)ъ в некоторой окрестности ЪМ • совпадающих о к -струйным расширением отображения у. Операция к -струйного расширения задает вложение

Теорема 9. Пусть многообразие М™ компактно, а 01 - полуалгебраическое ) -инвариантное замкнутое подмножество в

г (Г, «у;

коразмерность которого не меньше т + 2. . Тогда

влонение (5) задает изоморфизм колец когомологий.

Теорема 10. Если в условиях теоремы 9 codim 01 ? т+3, so влоаенде (5) является слабой гомотопической эквивалентностью.

Это следует непосредственно из теоремы 9 и теоремы Уайтхеда.

Пример. Пространство Г'^-к гладких функций Я ~~*"IR, на иыеюада к -кратных нулей (к 9 4) и равных тождественно 1 вне некоторого компакта, слабо гоыотошгчески эквивалентно петлевому пространству ,QS . Пространство функций . 5-Г без ^ -кратных нулей гомотопически эквивалентно пространству непрерывных отображений . (Вероятно, ета гомотопи-

ческие эквивалентности шест место и при , но мы в этом

случае умеем доказывать лишь гомологическую эквивалентность, см. теорему 9.)

Изучение этих пространств было начата в где были вычислены ш группы гомалогпй н (при k=3 ) фувдаментальные группы.

Конечномерными аналога!ш пространства Fявляются пространства Pd -А*. вещественных полиномов вида (I) без к -кратных корней.

Теорема II. При любых dzk , кольцо Н (/^"¿^естест- ■

венно изоморфно кольцу Н*(£2. S ') , профакторнзованному по членам степени, большей d(k-S)/k . Если [с(/к] - [с/к] , то пространства , Рс гомотопическн эквивалентны.

Теорема 9 является побочным результатом эффективного метода вычисления когомологий обоих пространств,участвующих в отображе-

21) Арнольд В.И. Пространства функций с умеренными особенностя-ш// Функц. анализ и его прил. - 1989. - 23:3. - С. 1-10.

нии (5).- спектральной последовательности, два разных вариэдта которой сходятся к когомологиям этих пространств и изоморфны начиная с члена Е1 , см. § 4 главы Ш диссертации.

Многочисленные другие варианты этой спектральной последовательности помогают вычислять когомологни дополнений к лвбки разу!,шо определенным дискриминантам в функциональных пространствах: единственное существенное ограничение состоит в том, чтобы коразмерности этих дискриминантов были не меньше двух.

Пример. Простейший вариант пашей спектральной последовательности сходится к когомологиям пространства итерированных петель сферы ^ т<п . Действительно, это пространство гомотопн-чески эквивалентно пространству ¡Я"*-О) , которое молшо описать как пространство дополнения к дискриминанту: для этого нужно рассмотреть пространство всех гладких отображений ((Я > (1,0, ...,0)) ж объявить дискриминантом множество отобразений, образ которых пересекает точку 0. В этом случае член Ел напей спектральной последовательности £

приобретает следующий вид: с ' -0 при р>0 , а при р&0

где й^-р),- Ш - те ае, что в теореме I. Стабильный вариант втй спектральной последовательности вырождается в члене . и т получаем новое доказательство следующей формулы расщепления:

Несложное обобщение спектральной последовательности (6) дает спектральные последовательности, сходящиеся к когомологиям пространств отображений любых ж -мерных симшшциальных полиэдров в т «связные, см. § 5 главы Ш диссертации.

В ГЛАВЕ 1У рассмотрен еще один класс дискриминантов - бифуркационные диаграммы нулей голоморфных функций в (С.

Пусть

./••«Ь)

-*■(€, 0) - голоморфная функция, имеющая особен-

ность в точке О, и Г'-(£"*С\0)+'(С 0) - ее деформация,

0) . Дискриминантом деформации Г называется множество тар

ких значений параметра Хе (С » что функция Г(\\) имеет критическую точку с критическим значением 0. В частном случае, когда

П*1, , а деформация Г(г,Х) имеет вид (I), это определение совпадает с использованным выше, перед формулировкой теоремы 3.

Основной результат главы 1У - вычисление кольца стабильных когомологий дополнений к дискриминантам голоморфных функций. Определение атого кольца состоит в следующем.

Любая деформация любой конечнократной особенности голоморфной функции в определяет кольцо - кольцо когомологий дополнения к ее дискриминанту. Примыкания особенностей определяют гомоморфизмы олец: дополнение к дискриминанту деформации более простой особенности отображается в дополнение к дискриминанту любой достаточно большой деформации более сложной (например, любой ее версальной деформации^'На рис. I изображено типичное вложение дополнений к дискриминантам версальных деформаций, соответствующее примыканию вещественных особенностей

Эта система колец и гомоморфизмов между ними позволяет определить предельный объект - стабильное кольцо когомологий. По определению, элемент такого кольца - это правило, которое любой деформации любой особенности ставит в соответствие класс когомологий дополнения к ее дискриминанту, причем при примыкании особенностей класс, соответствующий более простой особенности, индуцируется из класса, соответствующего более сложной, при любом допустимом вложении дополнений к их дискриминантам. •

Например, при п*1 такое стабильное кольцо - это не что иное, как кольцо когомологий группы кос с бесконечным числом нитей. .

Задача о вычислении (и точном определении) таких стабильных колец для всех п была поставлена в и решается следующим об-

разом.

Теорема 13. Кольцо Ж стабильных когомологий дополнений к дискриминантам голоморфных функций от п комплексных перэмешшх изоморфно кольцу когомологий пространства- 2п -кратных петель 2п+ 1 -мерной сферы:

Следствия. I. При 1*1 теорема 13 дает теорему Мэя - Сигала о когомологиях стабильной группы кос: Н (Ьу(оо)) = Н (£2

2. Все группы конечны за исключением

Замечание. Гомологический изоморфизм (7) не является отрале-нием гомотопического: узе стабильные фундаментальные группы дополнений к дискриминантам пе равны (й **) ^2? > например, при п = 1 такая группа равна 6г(о°).

Равенство (7) задается естественными вложениями дополнений в дискриминантам в пространство ¿¡с О • Для иллюстрации рассмотрим вновь случай п-1 , когда деформация Г имеет вид (I). Любюгу значению параметра Л еС соответствует отображение 2У заданное формулой Хх (?) = {^З.Х); ?(', А.)}.

Образ этого отображения пересекает точку 0 тогда и только тогда, когда X принадлежит дискриминанту 2 . Следовательно, для любого А* € определено отображение ""Б , заданное формулой

• с помощью стереографической проекции отоа-дествим С1 о открытой нижней полусферой в <$'» тогда индуцированное отображение Х^ этой полусферы в продолжается по непрерывности на окватор, и это продолжение на экваторе не^ зависит ост -X . Поставим в соответствие любому значении Аб С отобра-аение » ограничение которого на ниянюю полусферу совпа-

дает с. , а ограничение на верхнюю - это произвольно выбранное

22) Арнольд В.И. Некоторые нерешенные задачи теории особенностей / Труды семинара С.Л.Соболева. Новосибирск,1976. -С.5-15.

не зависящее от А отображение!, согласованное на экваторе со всеми Ху. и переводящее северный полюс в отмеченную точку в S,

Мы построили вложение множества в пространство отоб-

ражений (Б**) I то есть в пространство

Предложение. Отображение И'(¿^в3)НСС^-Е), » индуцированное построенным только что вложением, является изоморфизмом при всех

Аналогичные вложения строятся (чуть более сложным образом) при любых п и Г . Эти влозення гомотопическп кошугируют с отображениями дополнений к дискриминантам, заданными примыканием особенностей (см. рис. I); переходя к проективному пределу по р

ш получаем гомоморфизм Ж*. Изоморфность

и

этого гомоморфизма следует из еще одной теоремы сравнения спектральных; последовательностей, сходящихся к этим группам.

Здесь не мы доказываем гипотезу ^о стабильной неприводимости стратов особенностей.

Пусть - две изолированные особенности голоморфных

функций в С" . и б - версальная деформация . По определению, д примыкает к ^ (или "является более сложной чем £ ") если в пространстве параметров деформации & в любой окрестности начала координат непусто множество {, соответствующее функциям

с особыми точками, эквивалентными ^ . Вообще говоря, это множество приводимо: например, в версальной деформации особенности типа страт [ представлен тремя компонентами. Оказывается однако, что если особенность С^ "достаточно сложна" по сравнению с ^ , то такая компонента единственна.

Теорема 14. Для любой конечнократной особенности ((£ (С,О) найдется такая конечнократная особенность ^ , что множество неприводимо в базе версальной дегор::ацпл особенности

Ч и любой особенности, примыкающей к О . л а

Это утверждение было высказано в качес"::>.гглэтезн в

ГЛАВА У посвящена применению топологии дискриминантов к теории лакун гиперболических операторов в частных производных.

Теория лакун построена И.Г.Петровским; М.Ф.Атья, Р.Ботт и П.Горданг^ достроили локальный аналог теории Петровского и сформулировали проблему об эквивалентности локального топологического

критерия Петровского и условия резкости (регулярности) фундамен-

(

гальпого решения вблизи волнового фронта. В 11 эта проблема по-южительно решена для неособых точек волновых фронтов, а в ^^ -*ля простейших особенностей фронтов - типов в0 И А, .

Теорема 15. При любых //} с/^2 локальный критерий Петровского и условие резкости эквивалентны вблизи всех точек волновых фронтов почти всех гиперболических операторов порядка с/ с постоянными коэффициентами в (Я

Следующий пример доказывает, что в этой теореме "почти все" операторы нельзя заменить на "все". ? <?

Пример. В случае оператора Ьу1/ локальный

хрлтеряй Петровского сальнее резкости. Волновой фронт этого оператора состоит пз кругового конуса л луча в ¿^ . Вблизи любой этличной от 0 точки этого луча тлеется резкость, а локальный кри-;ерпй Петровского не выполнен.

Этот пример опровергает анонсированное з ^ утверждение об жвавалентяости резкости и локального критерия Петровского для юех строго гиперболических операторов в .

В § 7 главы У найдены все-яолалыше лакуны (области резкости) ¡бдиза всех простых особенностей фронтов общего положения (то есть |близн особенностей типов . £к , см.3Ь п для некоторых

¡ругкх табличных особенностей (см. таблица I, 2 на стр. 22, 23 в 'соре;ту 16 низе). Тем самым подяостьз рзпеаа задача о резкости ¡ля всех особенностей волновых фронтов гиперболических операторов |бщзго пологення в

Таблица I

Тип особенности Нормальная форма Число лакун

п четно п нечетно

чет: ¡+ нет. ¡»чет. ¡(.неч

Ь а . 2 0 1 1

эс^'+а 0 0 й 0

0> ' 0 1 1 1

Ъ~ ч б 3 1 1

0 0 1 1

Ч.Л« 0 2 1 1

0 0 1 ' 1

-♦С« гО) 0 0 1 1

Е, х^ + х^-* О 0 0 1 1

Е, х* + х1*0. 0 0 1 1

Таблица 2

Тип особенности Нормальная ■ форма Число лакун

л четно п нечетко

<,чет, ¿»неч. ¿►чет. <-+неч.

¿1 0 0

X,1 а,оСг(х1*ах1х^х1ь01 /а|<2 0 0 . 0 0

х3< х^х^х^х^ах^-* О, аф,1) С 0 0

Таблица 2 (продолжение)

л четно я нечетно

¿^ чет. ¿,неч. ¿,. чет. неч.

тэ » «Ло J1 ■ "¡0 Щки х^хГх\)(хгах£)+С1, а <¡(0,1) зс^+ах^+х^+О, |а|-<2 Чх^х^ах^йК а<0 а>0 а>0 их^х^ах а>0 0 при к чет. >1 21 0 при к чет. 0 0 0 при 0 при /с?? Опра ь? 0 0 0 0 а о .

л«. Ь5 +-[(х1+4)г+а4+0.1 аФО •> 1 0 >л 0 при

*у + + а>о 0 при (с.£чет. >4 0

- \гкге !<»2гС ^(ах^'х^-х^й), аю 0 при 1 чет. 0 при к чет. £7 при • 0

Ы<£ Чах!х?-х?-х*е+С1), а>о 0 при к-Ып ;»2П£Ы 0 при к+Ы 0

кгз$е Нах^.х^х^+О), а>0 при 0 при к чет. 0 при Ы>% 0

2 (асе *х*-х»*сс/ы+а>. о>0 Ощщ к чех о при к+е-.г 0

•ХкиМ к>2 4« гсаат^+з^ +эсг + а>0 0 при к*г>ч 0

д, х^х^х* +ахЛэсау*0 0

(Геометрия локальных лакун вблизи неособах точек фронта и особенностей типа (\г ) была исследована в (12)-(15) ^

Определение. Однородный полином ..•, степени с!

называется ^строго гиперболическим, если его множество нулей неособо в Я и любая прямая в К , параллельная оси , но не совпадающая с ней, пересекает это множество ровно в. с/ различ ных точках. Дифференциальный оператор поряд-

ка с! с постоянными коэффициентами называется строго гиперболическим (еж гиперболическим по Петровскому), если его главный символ Рс}(й1),..) ~ строго гиперболический полином.

По теореме Петровского, любой строго гиперболический оператор в . обладает фундаментальным решением, носитель которого -собственный конус в полупространстве "(з-х,...,ЗС</|Такое фундаментальное решение единственно ж аяалигично всюду в |л внз некоторой конической гиперповерхности - волнового фронта^

оператора. Эта гиперповерхность определяется как пересечение /Н + с конусом, двойственным к конусу . нулей главного символа, то есть как множество таких точек . ЗС -(¿-^...¡Х^ь ¡Н^. , что и пространстве с координатами ¿>1>,.. > плоскость | | .., + ±ХЫ 0 касается конуса = [ £ «/Я*) (£)

Волновые фронты общих гиперболических операторов могут иметь особенности: например, вблизи простейших особенностей - типов йд и _ Л3 - волновой фронт диффеоморфен произведению линейного пространства на полукубическую параболу (соответственно, на ласточкин хвост, то есть поверхность, изображенную на рис. I справа). Пусть £ - произвольная точка волнового фронта. Определение, фундаментальное решение Е(Р) называется голоморфно резким в точке ^ со стороны локальной (вблизи ^ ) компоненты I дополнения к фронту, если в окрестности точки существует гладкая голоморфная функция, ограничение которой на ком-

аоненту I совпадает с £(Р) . В этом случае компонента 2 называется локальной лакуной оператора Р вблизи точки ^ .

Условие резкости вблизи особых точек фронта определяется его локальной геометрией. В таблице I на стр. 22 приведены данные о количестве локальных лакун вблизи всех проотых особенностей волновых фронтов гиперболических операторов общего положения. В атой таблице мы используем классификацию особенностей волновых фронтов по типам особенностей соответствующих производящих функций, определяемых следующим образом.

t/яокество нулей главного символа строго гиперболического оператора определяет неособую гиперповерхность в JHP . Пусть а

л *

- неособая точка этой поверхности flß и и, - произвольная двойственная ей точка волнового фронта, то есть такая точка, что про-ективизация Y" плоскости { | -Q касается поверхности

f\a в точке О. . Выберем в iRPV i аффинную систему координат

V"

Pi-f -'рм 1 0 литром в а. таким образом, чтобы плоскость I задавалась условием p^-t3^ * Т°гда поверхность Ащ вблизи Q. можно задать уравнением вида рЛ/ 1 = f?(p± fy г) причем

df\o

Определяемая таким образом функция £ называется проективной производящей функцией ростка волнового фронта вблизи точки ^ (и всех 1фатных ей точек фронта).

Классификация особенностей производящих функций порождает классификацию соответствующих особенностей волновых фронтов: первыми и наиболее важными являются так называемые цростые особенности функций (и фронтов), то есть особенности типов

£6( £?, Е8 . Волновой фронт оператора общего положения вблизи любой простой особой точки даффеоморфен произведению дао- . ■сриминанта соответствующей производящей функции на линейное прос-гранство; число и расположение локальных лакун в дополнении к этому фронту (дискриминанту) полностью определяется стабильным

^Щфёрёшцфуешм типом особенности производящей функции (то есть ее классом . , .Д, или ), четностью размерности N пространства ¡Я и четностью положительного индекса инерции Ц квадратичной части особенности этой производящей функции. Например, вблизи неособых точек фронта при четном /У обе компоненты дополнения к фронту либо являются локальными лакунами (при четком ¿г ) либо не являются (при нечетном ¿+ ); при нечетном У локальной лакуной является ровно одна из этих компонент. (Эти условия, которым должны удовлетворять N и для того чтобы локальная компонента дополнения к фронту вблизи его неоообой точки была лекальной лакуной, было установлено А. М. Давыдовой*"^ и Б.А.Боровиковым^ Вблизи особых точек фронта типа локальной лакуной является только компонента 2 (см. рис. I) при нечетном А/ и четном . Вблизи особенностей й^ лакунами являются: область 3 при нечетном и любом /V ; область 2 при четном и нечетном N .

Данные о числе локальных лакун для всех простых особенностей приведены в таблице I, явное перечисление этих лакун см. в п.2.9 главы У диссертации. Эти результаты можно суммировать следующим образом.

Оцределение. Локальная компонента дополнения к волновому фронту вблизи его особой точки удовлетворяет условию Ш, если, во-первых, вблизи любой неособой компоненты границы этой компоненты выполнено уоловие Давыдовой - Боровикова и, во-вторых, на границе нашей компоненты из лежат точки типа (ребра возврата),по отношению к которым эта компонента была бы "внешней" компонентой дополнения к ребру возврата, то есть компонентой, локально устроенной как компонента I по отношению к страту Йг на рис. I.

Очевидно, что 8то условие должно быть выполнено для любой локальной лакуны вблизи любой особенности волнового фронта.

Теорема 16. Локальная компонента дополнения к волновому фронту гиперболического оператора общего положения вблизи простой

особенности фронта является локальной лакуной тогда и только тогда, когда для этой компоненты выполнено условие Ш.

Данные о числе локальных лакун для некоторых непростых осо-Зенностей приведены в таблице 2.

Замечание. Теория локальных лакун является по существу раздэ-гом теории особенностей гладких функций, см.^'^; именно метода-га последней теории доказаны теоремы 15, 16. Условие невырожден-юсти, наложенное на гиперболические операторы в формулировке теоремы 15, состоит в том, что все особые точки ого волнового тронта определяют конечнонрагнне (комплексно изолированные) осо-'юнности производящих функций.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ '.. Васильев З.А. Резкость и локальное условие Петровского для строго гиперболических операторов с постоянными коэффициента!,ш // Изв. ЛИ СССР. Сер. штем. -1986. -50:2. - С. 242-233. . Васильев В.А. Стабильные когомологии дополнений к дискриминантам деформаций особенностей гладких функций// Итоги науки я техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. математики. Новейпше достижения. Т. 33. - 1988. - С. 3-29. . Васильев В.А. Когомологии групп кос и сложность алгоритмов //

функц. анализ и его прил. - 1988. - 22:3. - С. 15-24. . Арнольд В.И., Васильев В.А., Горюнов В.В., Липко О.В. Особенности. I. Локальная и глобальная теория// Итоги наука с техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. математики. Фундаментальные направления Т. 6. - 1988. - гл.: ВИНИТИ. - 256 с. (В.А.Васильевым написаны § 6 главы П и глава 1У (кроме § 4)). . Арнольд В.И., Васильев В.А., Горюнов В.В., Ляшко О.В. Особенности^. Классификация и приложения / Там же, том 39. - 1989. - М.: ВИНИТИ. - 256 с. (В.А.Васильевым написаны главы 1У,У). , Васильев В.А. Топология пространств функций без сложных особен-

ностей// Функц. анализ и его прил,- 1989. -23:4.- С. 24-36.

7. Васильев В.Л. Токологическая сложность алгоритмов приближенного решения систем полиномиальных уравнений // Алгебра и анализ. - 1989. - 1:6. - С. 98-113.

8. Васильев В.А. Локальное условие Петровского и теория Пикара -Лефшеца // УМН. - 1984. - 39:2. - С. 219-220.

9. Васильев В.А. Примечание переводчика к статье М.Ф.Атьи, Р.Бот-та и Л.Гординга "Лакуны для гиперболических дифференциальных операторов с постоянным коэффициентами.П"// УМН. - 1984. -39:3. - С. 221-223.

10. Васильев В.А. Резкие фронта гиперболических операторов с постоянным коэффициентами^ ОТ. - 1986. - 41:4. - С. 162.

11. Васильев В.А. Стабильные когоыологш дополнений к даскрими-нантным многообразиям особенностей голоморфных функции // УМН. - 1987. - 42:4. - С. 219-220.

12. Васильев В.А. Резкие и диффузные фронты гиперболических уравнений/' Итоги науки и техн. ВИШИ. Совр„ пробл, математики. Фундаментальные направления. Т. 31. - 1988. - С. 246-257. (Глава 6 в статье А.И.Комеча "Линейные уравнения в частных производных о постоянными коэффициентам^).

13. Ваоильев В.А. 0 топологии пространств функций без сложных особенностей // УМН. - 1989. - 44:3. - С. 149-150.

14. Васильев В.А. Лакуны гиперболических операторов в частных производных и теория особенностей// Теория операторов в функциональных пространствах. - 1989. - Куйбышев. - С. 30-43.

15. VasEil'ev V.A. Topology of complements to discriminants and loop spaces// Advances in Sot. Math. Theory of singularities and its appl. - 19ЭО. - Publ. of the AUS. -Providenco, B.I. Г. 9-21.

16. Васильев B.A. Геометрия локальных лакун гипсрбэлпческлх операторов с постоянный! коэффадаентаж/¡Xir.vücI202,.'J !, П4-Е

Вход

Т

г—-1——

| В1тслателыша

| узел

Виход

Рэо. 2

Рио. 3