Некоторые комбинаторные вопросы спектральной теории узлов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РГВ ол

? Я УМ ?ооо

московский государственный университет

имени М.В. Ломоносова

механико-математический факультет

Турчин Виктор Эдуардович

Некоторые комбинаторные вопросы спектральной теории узлов

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 515.16

Москва 2000

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научные руководители

Официальные оппоненты

Ведущая организация

чл.-корр. РАН,

доктор физико-математических наук В. А. Васильев;

доктор физико-математических наук профессор А. В. Чернявский. ■ доктор физико-математических наук Б. Л. Фейгин; кандидат физико-математических наук С. К. Ландо. Государственный научный центр Российской Федерации - Институт теоретической и экспериментальной физики (ГНЦРФ ИТЭФ)

Защита диссертации состоится " " ^¿¿А.^0^ 2000 г. в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьёвы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией молено ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан

2000 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д.053.05.05 при МГУ Лу )

доктор физико-математических наук гЧу

профессор у В. Н. Чубариков.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Проблема классификации узлов является одной из центральных задач трехмерной топологии. Она оказывала и оказывает стимулирующее действие на развитие различных областей математики.

Наиболее известными инвариантами узлов являются так называемые полиномиальные инварианты. Исторически первым из полиномиальных инвариантов появился полином Александера (см. [Ale]1, 1923). Первоначально он был построен как определитель оператора монодромии в одномерной группе гомологии абелевого накрытия дополнения данного узла. Много лет спустя Дж. Конвей обнаружил чисто аксиоматический подход к полиномиальным инвариантам и изобрёл свою версию полинома Александера (см. [Con]2, 1970). После этого и после появления полинома Джонса, о котором будет сказано ниже, появляется множество новых полиномов, опирающихся на различные аксиоматические версии соотношения Конвея. Так например, полином от двух переменных, называемый HOMFLY в честь шестерых западных авторов, опубликовавших совместную статью [FHLMOY]3, был обнаружен почти дюжиной математиков.

Новозеландский математик Воган Джонс обнаружил свой полином, занимаясь исследованием представлений алгебр фон Неймана с помощью так называемого следа Окнеану (см. [Jonl]4). Его работа вызвала большой резонанс в математическом мире, за которым последовало открытие глубоких связей с операторными алгебрами [Jonl], статистической физикой [Jon2]5, [Каи]6, алгебрами Хопфа [Дри]7 и квантовой теорией поля

^Ale] J. W. Alexander, Topological invariants of knots and links, Transl. Amer. Math. Soc. 20 (1923), pp. 275-306.

2[Con] J. H. Conway, An enumeration of knots and links and some of their algebraic properties, Computational Problems in Abstract Algebra. Pergamon Press, New York, 1970, pp. 329-358.

3[FHLMOY] P. Freyd, J. Hoste, W. B. R. Lickorish. К. C. Millet, A. Ocneanu, D. Yetter, A new polynomial invariant of knots and links, Bull. Amer. Math. Soc. 12 (1985), pp. 239-246.

4[Jonl] V. F. R. Jones, A polynomial inoariant for links via von Neumann algebras, Bull. Amer. Math. Soc. 129 (1985), pp. 103-112.

5[Jon2] V. F. .R. Jones, On knot invariants related to some statistical mechanics models, Pacific J. Math. 137 2 (1989), pp. 311-334

6[Kau] L. H. Kauffman, State Models and the Jones Polynomial, Topology 26 (1987), 395-407.

7[Дри] В. Г. Дринфельд, Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Бакстера, Доклады АН СССР 32, том 1, 1985.

[Wit]8, [Aty]9.

Практически в то же время В. А. Васильев открывает новый подход в изучении инвариантов узлов (см. [Vasl]10). Инварианты, получаемые его методом, стали называться инвариантами конечного порядка или инвариантами Васильева. Большинство известных инвариантов, включая полиномиальные, являются инвариантами конечного порядка. Позднее М. Концевич обнаружил интегральный способ реализации инвариантов Васильева (см. [Коп]11). Чисто комбинаторное доказательство существования инвариантов конечного порядка было дано французским математиком П. Картье (см. [Саг]12). Объект, двойственный пространству инвариантов конечного порядка - так называемая биалгебра хордовых диаграмм была предметом активного изучения в последние 10 лет (см. [BN]13, [ChDL]14).

В работе [Vasl] В. А. Васильев рассматривает пространство некомпактных узлов, то есть гладких вложений R1 <—> R", п > 3, совпадающих с фиксированным гладким вложением вне некоторого компакта в К1. Пространство 1С всех отображений с таким поведением на бесконечности является афинным пространством, дискриминант Е С /С определяется как множество отображений, имеющих особенности или самопересечения. При тг = 3 пространство /С\Е несвязно. Компоненты связности соответствуют классам изотопии узлов. Тем самым нулевые когомологии этого пространства есть в точности пространство инвариантов узлов.

Любой класс когомологии 7 Е Нг(1С\£) пространства узлов в R™ может быть реализован как индекс зацепления с подходящей цепью, лежащей в Е, коразмерности г + 1 в 1С. Симплициальное разрешение а дискриминанта Е строится как некоторое пространство, при естественной

a[Wit] Е. Witten, Quantum field theonj and the Jones Polynomial, Comm. Math. Phys. 121 (1989), pp. 351

9[Aty] M. Atyah, The Jones-Witten invariants of knots, Sem. Bourbaki 715 (1989-90).

10[Vasl] V. A. Vassiliev, Cohomoloyy oj knot spaces, in Theory of singularities and its applications. Advances in Soviet Mathematics, vol.1. 1990, pp.23-70.

ll[Kon] M. Kontsevich, Vassiliev's knot invariants, Adv. in Sov. math. 16(2) (1993), pp. 137150.

12[Car] P. Cartier, Construction combinutoire des invariants de Vassiliev, C.R. Acad. Sei. Paris, Série I 316 (1993), 1205-1210.

13[BN] D. Bar-Natan, On the Vassiliev knot inuariants. Topology, 34 (1995), pp. 423-472.

14[ChDL] S. V. Chmutov, S. V. Duzhin, S. K. Laudo, Vassiliev knot invariants. I. Introduction, In: Singularities and Bifurcations, Providence. RI: AMS. 1994, pp. 117-126 (Adv. in Sov. Math. 21).

проекции которого на Е

П : о- —У Е

прообразом любой точки является замкнутый симплекс (размерность которого вообще говоря зависят от точки в Е), что обеспечивает гомотопическую эквивалентность этих пространств. Метод В. А. Васильева состоит в изучении спектральной последовательности, ассоциированной с естественной фильтрацией в разрешенном дискриминанте ст.

Подход В. А. Васильева позволяет изучать не только инварианты — нулевые когомологии пространства узлов в К3, но также и высшие ко-гомологии (этого пространства и аналогичных пространств узлов в М", п > 4), которые пока в сравнении с инвариантами оставались практически вне внимания со стороны математического сообщества, и задаче вычисления которых посвяшена диссертация.

Цель работы. Эффективное комбинаторное описание спектральной последовательности Васильева, вычисляющей гомологии и когомологии пространства некомпактных узлов в К".

Основные методы исследования. В работе применяются методы теории особенностей, теории дискриминантов. Также на протяжении всей работы постоянно используются различные методы гомологической алгебры.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Вычислены гомологии комплекса двусвязных графов.

2. Построены различные способы упрощения вычислений гомологий и когомологий пространств некомпактных узлов методом теории дискриминантов.

3. Построена структура дифференциальной алгебры Хопфа на нулевом члене спектральной последовательности Васильева, а также на построенных комплексах, упрощающих вычисления.

4. Доказана коммутативность в гомологиях этой дифференциальной алгебры Хопфа.

5. Вычислена производящая функция эйлеровой характеристики членов фильтрации разрешенного дискримината.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны специалистам в теории узлов, теории дискриминантов, теории операд.

Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре "Узлы и дискриминанты" под руководством В. А. Васильева в Независимом Московском Университете, на семинаре по Алгебраической топологии кафедры Высшей геометрии и топологии под руководством M. М. Постникова и Ю. П. Соловьёвым на механико-математическом факультете МГУ, а также на семинаре "Квантовые группы" под руководством П. Картье в Высшей Нормальной Школе (Ecole Normale Supérieure (ENS), Paris).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Текст диссертации изложен на 85 страницах. Список литературы содержит 27 наименований.

Содержание работы

Введение. Здесь описана постановка задачи и дан краткий исторический очерк исследований пространств узлов. Там же описаны структура и краткое содержание диссертации.

Первая глава. В первой главе дается краткое описание конструкции В. А. Васильева симплициального разрешения дискриминанта для пространств некомпактных узлов. Даётся описание естественной фильтрации

0 = (Го с С <7-2 с .... (1)

в разрешенном дискриминанте сг. Строится спектральная последовательность (В. А. Васильева), ассоциированная с фильтрацией (1), и считающая гомологии Бореля-Мура пространств а ~ S (которые по двойственности Александера изоморфны когомологиям пространства узлов /С\£). Формулируется неопубликованная теорема М. Концевича о вырождении

этой спектральной последовательности над Q в первом члене. По модулю этой теоремы основной задачей становится вычисление первого члена спектральной последовательности Васильева.

Фильтрация (1) определяет двойственные друг другу фильтрации

я(*0)(/с\г,к) с я^азд с я(*2)(/с\£,к) с — (2)

Я<°>(/С\£,к) э э Н?\К\Е,к) э .... (3)

соответственно в когомологиях и гомологиях пространства узлов ХД£. Определённая выше спектральная последовательность считает градуированный фактор, ассоциированный с фильтрациями (2) и (3).

При п > 4 фильтрации (2) и (3) для любой размерности * на конечном шаге исчерпывают все (ко) гомологии пространства узлов. Если же п = 3, то фильтрация (2) не исчерпывает все когомологии. Кого-мологии, реализующиеся этой фильтрацией называются когомологиями конечного порядка (по аналогии с инвариантами конечного порядка). Гипотеза о полноте "когомологии конечного порядка" есть условие того, что фильтрация (3) сходится к нулю. Эта проблема не решена даже для инвариантов - нулевых когомологий.

Далее в первой главе описывается введённая В. А. Васильевым вспомогательная фильтрация на пространствах ffj\<7;_i и ассоциированная с ней вспомогательная спектральная последовательность, вычисляющая первый член основной. Вспомогательная спектральная последовательность вырождается во втором члене, так как её первый член (для каждого г) сосредоточен в одной строке. Нулевой член вспомогательной спектральной последовательности вместе с нулевым дифференциалом на нём есть прямая сумма тензорных произведений комплексов связных графов. Гомологии комплексов связных графов (с вершинами в конечном множестве М) сосредоточены в одной размерности и изоморфны Z(m-1)!, где тп - мощность множества М. Они имеют простое описание как пространство, порождённое деревьями с вершинами в множестве М, и профакторизованное по трёхчленным соотношениям.

Другой способ вычисления первого члена основной спектральной последовательности, обнаруженный также В. А. Васильевым, состоит в определении обратной фильтрации на членах cr,\<7;_i (см. [Vas2]15). Вы-

l5[Vas2] V. A. Vassiliev, Topology of two-connected graphs and homology of spaces of knots, in

числение гомологий по этому методу связано с изучением комплексов двусвязных графов. В работе содержится следующая теорема.

Теорема 5.5. Комплекс двусвязных графой с вершинами в конечном множестве из т элементов гомотопически эквивалентен букету из (т — 2)! сфер размерности (2т — 4) (где т>2). О

Этот результат практически одновременно с автором (см. [Т]16), нескольким днями ранее, был получен группой математиков [BBLSW]17.

Вторая глава. Вторая глава посвящена различным способам вычисления второго члена вспомогательной спектральной последовательности. Во-первых, показывается, что задание ориентации клеток в сгДсг,-_х (тех, которые участвуют в первом члене вспомогательной спектральной последовательности) может быть заметно упрощено за счет взаимоуничтожения их (клеток) элементов ориентации. Получающийся при этом комплекс (который изоморфен первому члену вспомогательной спектральной последовательности вместе с первым дифференциалом на нем) зависит только от четности п размерности объемлющего пространства R". Этот комплекс я обозначаю через CT,Dodd, CT,Dewn (комплекс стар-диаграмм деревьев) для нечетного и четного п соответственно. Комплексы CT,Dod,i^ven^ биградуированы, дифференциал в них имеет биграду-ировку (0,-1). Комплексы CTtDodd^ven^ ® к, где к - основное коммутативное кольцо (абелева группа) коэффициентов, я обозначаю через CT>Dodd{even](k).

В дискриминанте мы можем рассмотреть страты, порожденные отображениями R1 —> R", имеющими только самопересечения (исключаем отображения имеющие особенности - вырождение первого дифференциала в какой-нибудь точке прямой R1). Диаграммы в CTtDodd<-even^(k), отвечающие этим стратам я называю (просто) диаграммами деревьев. На подпространстве, порожденном этими диаграммами, индуцируется структура факторкомплекса. Получающийся комплекс я обозначаю через CTDodd^ven\k) (комплекс диаграмм деревьев). В CTDoid{-even\k)

Differential and Symplectic Topology of Knots and Curves (S.Tabachnikov, ed.), AMS translations, Ser. 2, 190, AMS, Providence RI, 253-286, 1999.

16[Tj В. Э. Турчин. Гомологии комплексов двусвязных графов. Успехи матем. наук, 1997, 52(2), 189-190.

17[BBLSW] Е. Babson, A. Björner, S. Linusson, J. Shareshian, and V. Welker, Complexes of not i-connectedgraphs, Topology 38 (1999), No.2, 271-299.

можно рассмотреть подпространство элементов, граница которых, взятая в CT*DoU{-™m\к), остается в СТВоМ1^епЦк). Подкомплекс, образованный этим подпространством я обозначаю через CTQDodd^ve^{к) С СТ D°ddl-even\k) (комплекс ноль-диаграмм деревьев). Основной результат по упрощению вычислений первого члена основной спектральной последовательности состоит в том, что гомологии комплексов CT$D°ddíítwn\k) и CT,Dodd^ven\k) совпадают.

Рассмотрим свободную алгебру Ли от конечного набора образующих. Рассмотрим в ней подпространство, линейно порожденное скобками, в которых каждая из образующих встречается ровно один раз. Этот объект возникает в работе [BG]18. Когомологии комплексов связных графов естественно изоморфны этому подпространству, которое наилучшим образом подходит для описания комплексов (C'£„DotM(ewn)(¡k), CBDodd^mn\k), СВ0Вш^пЦк) - комплексы скобочных (стар/ноль)-диаграмм) двойственных к CT,Dodd{even)( к), CTDodd(eveл){к)( сг0£>и<и(евеп1(к) соответственно.

Заметим, что комплекс CBtDodd^ven){к) (а значит, и комплекс СB^Dodd<,even^{k)) вычисляет первый член спектральной последовательности, двойственной основной и считающей гомологии над к пространства некомпактных узлов.

Третья глава. В третьей главе я определяю структуру (суперкоммутативной) дифференциальной алгебры Хопфа на нулевом члене основной спектральной последовательности, которая индуцирует аналогичную структуру на комплексах CT.D^^k), CTDoid^ven^{k), СТ0йш^тп){к), CBtDodd<-nen\k), C'BDodd(evsn'>(k), CBüDodd^m\k).

Получающиеся дифференциальные алгебры Хопфа я обозначаю DH ATtDodd^ven\k), D Н AT Dodd^ven\к), DHATüDodd^wn\k), DHAB,Dodd^ven'i{к), DHABDoddieven1(k), DНAB^Dodd{-even\к), соответственно. При этом первые три из них суперкоммутативны, а следующие три - суперкокоммутативны. Как алгебры Хопфа DHABtDodd'~even\к), DEABDodi^tn\к), DHAB0Dodd[-emn\k) являются свободными алгебрами Хопфа от бесконечного набора Z-биградуированных чётных и нечётных образующих.

Если основным кольцом к было поле, тогда гомологии дифференци-

18[ВС] A.Beilinson, V.Ginzburg, Resolution of diagonals, homolopy algebra and moduli spaces, preprint 1993.

альной алгебры Хопфа относительно дифференциала образуют алгебру Хопфа; если же к не является полем, тогда соответствующие гомологии мы рассматриваем просто как алгебры над к.

Пространство некомпактных узлов в К", п > 3, является Н-пространством, следовательно, его (ко)гомологии с коэффициентами в поле образуют биалгебру (алгебру Хопфа, при п > 4). Для кольца коэффициентов к, не являющегося полем, мы рассматриваем (ко)гомологии этих пространств (с коэффициентами в к) просто как алгебры над к.

Ситуация, когда геометрия дискриминанта содержит некоторую информацию о мультипликативной (и комультипликативной - в случае, когда пространство дополнения является Я-пространством) структуре в когомологиях пространства дополнения, типична для многих дискриминантов. Гипотезы об имеющейся связи в нашем случае пространств некомпактных узлов формулируются в пункте 27.

Гипотеза 27.6. Умножение (и коумножение, если основное кольцо коэффициентов к является полем) в когомологиях и гомологиях пространства узлов К.\Е уважает фильтрации (2) и (3) соответственно. □

В соответствии с этой гипотезой мы получаем структуры дифференциальных алгебр Хопфа на градуированных факторах, ассоциированных с фильтрациями (2) и (3), то есть на членах Е^*, Е^ спектральной последовательности Васильева.

Гипотеза 27.7. Структура дифференциальной алгебры (алгебры Хопфа; если основное кольцо к является полем) на нулевом члене основной спектральной последовательности (см. пункт 26) индуцируется на все остальные ее члены Е^^, Е'1^... (Е{'*, . ■ ■), где в качестве дифференциала на 1-ом члене берется естественным образом 1-ый дифференциал этой спектральной последовательности. Получающаяся структура алгебры (Хопфа) на Е^, (соотв. Есовпадает с описанной выше. □

В работе доказаны теоремы, подтверждающие эти гипотезы и неопубликованную теорему Концевича о вырождении основной спектральной последовательности над <0> в первом члене.

Теорема 28.1. Биалгебра гомологий над полем характеристики ноль пространства некомпактных узлов в К", п > 3, суперкоммутативна. □

Теоремы 29.1,29.21. Алгебра (Хопфа) гомологий DHABDodd^vt^{k) суперкоммутативна для любого коммутативного кольца к. □

Теорема 32.1. Алгебра (Хопфа) гомологий DHABtD'wn(к) суперкоммутативна для любого коммутативного кольца к. □

Метод доказательства Теоремы 32.1 не обобщается на случай DHAB.Dodd(k).

Также показано, что естественное вложение

DHABDadd{even)(к) ■-> DHAB,Dodd^vtn){k) (4)

в случае, когда к - поле характеристики ноль, индуцирует сюръективное отображение в гомологиях. При этом в случае четного п ядром является идеал, порожденный одной примитивной образующей, в случае нечетного п - двумя. Из чего, в частности, следует, что алгебра Хопфа гомологий DHABtDodd(к) суперкоммутативна, если к - поле характеристики ноль.

Автор выражает свою глубокую признательность члену корреспонденту РАН В. А. Васильеву за постановку задачи, за ценные научные консультации, за понимание и поддержку. Также автор благодорит профессора А. В. Чернавского за внимание к работе и многочисленные обсуждения.

И конечно же автор очень благодарен П. Картье, М. Шапрону, М. Концевичу, М. Деза, Д. Панову, М. Финкельбергу, С. Локтеву.

Публикации автора по теме диссертации

[1] В.Э.Турчин. Гомологии комплексов двусвязных графов. Успехи ма-тем. наук, 1997, 52(2), 189-190.

[2] V.Turchin. Homology isomorphism of the complex of 2-Connected graphs and the graph-complex of trees. AMS Translations (2), vol.185, 1998, p.p.147-153.

[3] В.Э.Турчин. О гомологиях пространств некомпактных узлов, рукопись депонирована в ВИНИТИ, №2739-В00, 85с., 2000г.

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 515.16

Турчин Виктор Эдуардович

Некоторые комбинаторные вопросы спектральной теории узлов

01.01.04 - геометрия и топология

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: Член корреспондент РАН, доктор физико-математических наук В.А.Васильев

Профессор, доктор физико-математических наук А. В. Чернавский

Москва 2000

Оглавление

0. Введение................... . . ............4

Глава I. Введение в спектральную теорию узлов.............8

1. Пространства узлов............................8

2. Симплициальное разрешение дискриминанта.................8

3. Основная фильтрация в разрешенном дискриминанте; ассоциированная с ней спектральная последовательность......................9

4. Теорема Концевича о реализации и гипотеза Васильева........... 10

5. Комплексы связных и двусвязных графов; пространство Т^ ........ 10

6. J-блоки и комплексы связных графов................... 13

7. Вспомогательная фильтрация в члене аДс^-х основной фильтрации..... 13

8. Клеточное разбиение в Ориентация клеток ............ 14

9. Нулевой дифференциал основной спектральной последовательности..... 16

Глава II. Различные способы вычисления первого члена основной (=вто-

рого члена вспомогательной) спектральной последовательности .... 18

10. Другая реализация гомологий комплексов связных графов; пространство Т^ 18

11. Первый член вспомогательной спектральной последовательности...... 21

12. Дифференциал di вспомогательной спектральной последовательности. Комплексы диаграмм и стар-диаграмм деревьев CTDod<even\ C%Dodd(even>..... 24

13. Комплексы обобщенных Т-диаграмм и обобщенных Т*-диаграмм...... 26

14. Упрощение вычислений с помощью введения дополнительной фильтрации в первом члене вспомогательной спектральной последовательности. Комплексы CT0Dodd, CT0Deven........................... 27

15. Некоторые производящие функции .................... 29

16. Когомологии комплексов связных графов и свободная (супер)алгебра Ли; пространства В^, Вм........................... 30

17. Первый член двойственной вспомогательной спектральной последовательности 33

18. Отображения склейки и двойственные им отображения расклейки..... 35

19. Дифференциал д\ двойственной вспомогательной спектральной последовательности. Комплексы скобочных диаграмм и стар-диаграмм С В £)°dd(even))

СB*Dodd(even} ............ . . ....................36

20. Скобка Пуассона (Схоутена) и дифференциал комплексов С£ШосМ(е1;еи\ CB*Dodd(even^.............................. 40

21. Упрощение вычислений с помощью введения дополнительной фильтрации в первом члене двойственной вспомогательной спектральной последовательности. Комплексы CB0Dodd, CB0Deven ..................... 45

Глава III. Двадцать дифференциальных алгебр Хопфа, связанных с дискриминантами пространств некомпактных узлов............ 47

22. Об алгебрах Хопфа........................... 47

23. О дифференциальных алгебрах Хопфа......................51

24. Шесть дифференциальных алгебр Хопфа DHAB*Dodd, DHAB*Deven, DHAB0Dodd, DHAB0Deven, DHABDodd, DHABDeven скобочных (стар/ноль)-диаграмм................................ 52

25. Шесть дифференциальных алгебр Хопфа DHAT*Dodd, DHAT*Deven, DHAT0Dodd, DHAT0Deven, DHATDodd, DHATDeven (стар/ноль)- диаграмм деревьев . . 54

26. Восемь дифференциальных алгебр Хопфа, определенных нулевым членом основной спектральной последовательности.................. 55

0. Введение

0.1. История предмета

Топологическое изучение дискриминантов, то есть особых геометрических объектов было начато В.И.Арнольдом в конце 60-х годов, см. [Арнольд2]. Оно тесно связано с изучением дополнительных пространств к этим объектам. Позднее это привело к возникновению новой области в математике - теории дискриминантов, основным инициатором развития которой был В.А.Васильев, см. [Васильев, V5].

Основным инструментов в вычислении групп гомологий таких объектов являются симплициальные (или, в более общем случае, конические) разрешения дискриминант-ных пространств.

В данной работе я изучаю симплициальное разрешение о (построенное В.А.Васильевым, см. [VI]) дискриминанта для пространств некомпактных узлов в R™, п > 3. Некомпактными узлами называются неособые вложения R1 t-» Rn, совпадающие с некоторым фиксированным линейным вложением вне некоторого компактного подмножества в К1.

В а имеется естественная фильтрация

0 = сг0 С ах С <т2 С ... (0.1)

М.Концевич доказал, что спектральная последовательность (Васильева), ассоциированная с этой фильтрацией и считающая гомологии Бореля - Мура (= гомологии одноточечной компактификации, приведенные относительно точки) разрешения о (которые по двойственности Александера - Понтрягина изоморфны когомологиям пространства узлов) вырождается над Q в первом члене. С другой стороны, в членах Oi\ai-i фильтрации имеется простое клеточное разбиение (зависящее с точностью до сдвига в размерности только от четности п объемлющего пространства К"), которое делает вычисление первого члена спектральной последовательности Васильева геометрически тривиальным.

По ряду причин В.А.Васильев предположил, см. Гипотеза 4.1, что фильтрация (0.1) гомотопически расщепляется. Из чего должно следовать вырождение нашей основной спектральной последовательности в первом члене для любого коммутативного кольца (абелевой группы) коэффициентов. Исходя из этого предположения основной алгебраической задачей вычисления когомологий пространств некомпактных узлов в К™, п > 4 (при п = 3 изучаемая спектральная последовательность считает лишь некоторую подгруппу в когомологиях пространства узлов), становится вычисление первого члена, различным способам нахождения которого и посвящена моя работа.

Для вычисления первого члена этой спектральной последовательности В.А.Васильев ввел вспомогательную фильтрацию на членах <тДсг,-_1. Получающаяся вспомогательная спектральная последовательность, ассоциированная с этой фильтрацией и считающая гомологии относительно нулевого дифференциала основной спектральной последовательности, вырождается во втором члене, так как ее первый член (для каждого г) сосредоточен в одной строке. Нулевой член вспомогательной спектральной последовательности вместе с нулевым дифференциалом на нем есть прямая сумма тензорных произведений комплексов связных графов. Гомологии комплексов связных графов сосредоточены в одной размерности и образуют свободный Z-модуль. Они имеют простое описание как пространство, порожденное деревьями, и профакторизованное по трехчленным соотношениям. Комплексы связных графов возникают в симплициаль-ных разрешениях многих аналогичных дискриминантов.

При п = 3 в нулевых когомологиях спектральная последовательность Васильева вычисляет так называемые "инварианты (= нулевые когомологии) конечного порядка", которые можно определить и в других, более простых геометрических терминах, см. [ChDL]. Двойственный пространству инвариантов объект есть биалгебра хордовых диаграмм., которая активно изучалась в последние годы, см [BN, ChD, ChDL, Kl, Kn, L, NS, S, Z]. Целью моей работы было показать, что в высших когомологиях пространств (некомпактных) узлов также возникает очень красивая математика.

0.2. Содержание работы. Основные результаты

В первой главе дается краткое описание конструкции В.А.Васильева симплициаль-ного разрешения дискриминанта для пространств некомпактных узлов. Формулируются основные известные результаты, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Вторая глава посвящена различным способам вычисления второго члена вспомогательной спектральной последовательности. Во-первых, мною было замечено, см. пункты 11-12, что задание ориентации клеток в сгДаг_1 (тех, которые участвуют в первом члене вспомогательной спектральной последовательности) может быть заметно упрощено за счет взаимоуничтожения их (клеток) элементов ориентации. Получающийся при этом комплекс (который изоморфен первому члену вспомогательной спектральной последовательности вместе с первым дифференциалом на нем) зависит только от четности п размерности объемлющего пространства Rn. Этот комплекс я обозначил через CT*Dodd, CT*Deven (комплекс стардиаграмм деревьев) для нечетного и четного п соответственно. Комплексы C%Dodd^even"> биградуированы, дифференциал в них имеет биградуировку (0, —1). Комплексы CT.lfDodd(-eVRn^ <g>k, где к - основное коммутативное кольцо (абелева группа) коэффициентов, я обозначаю через CT*Dodd(even^(k).

В дискриминанте мы можем рассмотреть страты, порожденные отображениями R1 —> Rn, имеющими только (конечнократные) самопересечения (исключаем отображения имеющие особенности - вырождение первого дифференциала в какой-нибудь точке прямой R1). Диаграммы в CT*Dodd(even\к), отвечающие этим стратам я называю (просто) диаграммами деревьев. На пространстве, порожденном этими диаграммами, индуцируется структура факторкомплекса. Получающийся комплекс я обозначаю через CTDodd(even)^ (комплекс диаграмм деревьев). В CTDodd^ven^(k) можно рассмотреть подпространство элементов, граница которых, взятая в CT*Dodd(even^ (к), остается в CTDodd(even)(ky КоМПЛвКС, образованный этим подпространством я обозначаю через CToDodd(even)^ с CTDodd(eve«)до (к0мплекс ноль-диаграмм деревьев). Основной мой результат по упрощению вычислений первого члена основной спектральной последовательности состоит в том, что гомологии комплексов CT0Dodd{even){к) и C%Dodd(-even){k) совпадают, см. пункт 14.

Рассмотрим свободную алгебру Ли от конечного набора образующих. Рассмотрим в ней подпространство, линейно порожденное скобками, в которых каждая из образующих встречается ровно один раз. Этот объект возникает в работе [BG]. Я обнаружил, см. пункт 16, что когомологии комплексов связных графов естественно изоморфны этому подпространству, которое наилучшим образом подходит для описания комплексов {CB„Dodd^ven\k)y CBDodd^even\k), С BQDodd(-even\k) - комплексы скобочных (стар/ноль)-диаграмм) двойственных к CT*Dodd{>even\k), CTDodd{even\k), CT0Dodd^ven^{k) соответственно.

Заметим, что комплекс CB,Dodd(-even^k) (а значит, и комплекс CB0Dodd(-even\k)) вычисляет первый член спектральной последовательности, двойственной основной и считающей гомологии над к пространства некомпактных узлов.

В третьей главе я определяю, см. пункт 26, структуру (суперкоммутативной) дифференциальной алгебры Хопфа на нулевом члене основной спектральной последовательности, которая индуцирует аналогичную структуру, см. пункты 24-25 на комплексах CT*Dodd{-even\Ik), CTDodd{even)( k), CT0Dodd(-even^ (k), CB*Dodd(even\k), С В Dod^even\k), CB0Dodd^even^(k).

Получающиеся дифференциальные алгебры Хопфа я обозначаю DHAT*Dodd(even\к), DHATDodd^even\k),

DHAT0Dodd^ven^(k), DHAB*Dodd(even\(к), DHABDodd^even\k), DHAB0Dodd^even\k), соответственно. При этом первые три из них суперкоммутативны, а следующие три -суперкокоммутативны.

Ситуация, когда геометрия дискриминанта содержит некоторую информацию о мультипликативной (и комультипликативной - в случае, когда пространство дополнения является Я-пространством) структуре в когомологиях пространства дополнения, типична для многих дискриминантов. Гипотезы об имеющейся связи в нашем случае пространств некомпактных узлов формулируются в пункте 27 (Гипотезы 27.6-7).

Если основным кольцом к было поле, тогда гомологии дифференциальной алгебры Хопфа относительно дифференциала образуют алгебру Хопфа; если же к не является полем, тогда соответствующие гомологии мы рассматриваем просто как алгебры над к.

Пространство некомпактных узлов в Е", п > 3, является Я-пространством, следовательно, его (ко)гомологии с коэффициентами в поле образуют биалгебру (алгебру Хопфа, при п > 4). Для кольца коэффициентов к, не являющегося полем, мы рассматриваем (ко)гомологии этих пространств (с коэффициентами в к) просто как алгебры над к.

В работе доказаны следующие теоремы.

Теорема 28.1. Биалгебра гомологий над полем характеристики ноль пространства некомпактных узлов в Rn, п > 3, суперкоммутативна. □

Теоремы 29.1, 29.21. Алгебра (Хопфа) гомологий DHABDodd^ve^(к) суперкоммутативна для любого коммутативного кольца к. □

Теорема 32.1. Алгебра (Хопфа) гомологий DHAB*Deven(к) суперкоммутативна для любого коммутативного кольца к. □

Метод доказательства Теоремы 32.1не обобщается на случай DHAB*Dodd(k).

Также показано, см. пункт 36, что естественное вложение

DHABDodd{even) (к) <-»■ DHAB*Dodd{even) (к) (0.2)

в случае, когда к - поле характеристики ноль, индуцирует сюръективное отображение в гомологиях. При этом в случае четного п ядром является идеал, порожденный одной примитивной образующей, в случае нечетного п - двумя. Из чего, в частности, следует, что алгебра Хопфа гомологий DHAB*Dodd{к) суперкоммутативна, если к - поле характеристики ноль.

Также я позволил себе включить в эту главу, см. пункты 22-23, свое доказательство, инспирированное работой С.К.Ландо [L], некоторых классических результатов, см. [ММ], о (дифференциальных) алгебрах Хопфа, например, я доказал, что

1) Любая связная (дифференциальная) биалгебра над произвольным коммутативным кольцом является (дифференциальной) алгеброй Хопфа;

2) Любая связная суперкокоммутативная (дифференциальная) биалгебра над полем характеристики ноль является универсальной обертывающей (дифференциальной) супералгебры Ли ее примитивных элементов.

0.3. Благодарности

В первую очередь мне бы хотелось выразить свою глубокую признательность моему основному научному руководителю В.А.Васильеву за постановку задачи, за ценные научные консультации, за понимание и поддержку, которые я всегда находил у него.

Мне бы хотелось искренне поблагодарить своих руководителей - А.В.Чернавского (в МГУ) и Марка Шапрона (в Университете Париж 7) за мудрое научное руководство.

Я хочу сказать спасибо М.Финкельбергу и С.Локтеву за точные математические советы.

Также я очень признателен П.Картье, М.Концевичу, М.Деза, Д. Панову.

0.4. Обозначения.

X обозначает одноточечную компактификацию топологического пространства X.

Н*(Х), Н*(Х) - (ко)гомологии, приведенные относительно точки, пространства X.

Н*(Х), Н*(Х) - (ко)гомологии Бореля - Мура (=(ко)гомологии одноточечной ком-пактификации, приведенные относительно точки) пространства X.

п всегда обозначает размерность рассматриваемого пространства RK.

CT*Dodd, CT*Deven - комплексы Т*-диаграмм (возникающие при нечетном и четном п соответственно).

CTDodd, CTDeven - комплексы Т-диаграмм.

CT0Dodd, CT0Deven - комплексы Т0-диаграмм.

Аналогичным образом обозначаем, CB*Dodd, CB*Deven, GBDodd, CBDeven, CB0Dodd, CBoDeven - комплексы B^/B/Bq-диаграмм.

Если мы рассматриваем случай четного и нечетного п одновременно, то мы пишем: CT*Dodd(even\ CB*Dodd(evm) и т.д. DHAT*Dodd(even\

DHATDodd^even\ DHAT0Dodd(even\ DHAB*Dodd{even\ DHABDodd^even\ DHABQDodd(even) - дифференциальные алгебры Хопфа %/T/Tq/В*/В/Bq-диаграмм.

Если мы рассматриваем случай стардиаграмм и диаграмм одновременно, то мы пишем: (стар)-диаграммы, Tw/£(*гдиаграммы, CTMDodd^even\ CB[*)Dodd(-even> и т.д.

Глава I. Введение в спектральную теорию узлов

1. Пространства узлов

Узлы, то есть гладкие вложения S1 <-» Rn, п > 3, образуют открытое всюду плотное подмножество в пространстве /С = C°°(Sl, Rn) всех гладких отображений S1 —>• Rn. Его дополнение Е есть дискриминантное множество, состоящее из отображений, имеющих самопересечения или особенности. Любой класс когомологий у е Нг (/С\Е) пространства узлов может быть описан как индекс зацепления с подходящей цепью, лежащей в Е, коразмерности % + 1 в /С.

Аналогично обычным узлам, то есть вложениям S1 *—> Е71, можно рассматривать некомпактные узлы, то есть вложения К1 t-» Rn, совпадающие с фиксированным линейным вложением вне некоторого компактного подмножества в К1, см. [VI]. Пространство всех гладких отображений с таким поведением на бесконечности также обозначим /С, дискриминант Ее /С также определяется как множество всех отображений, имеющих особенности или самопересечения.

В этой работе мы ограничимся рассмотрением случая некомпактных узлов. Гомологии таких пространств наиболее интересны в силу богатой алгебраической структуры (так как пространства некомпактных узлов являются Я-пространствами).

Для простоты мы (следуя работе [V6]) будем предполагать, что пространство К имеет очень большую, но конечную размерность и>. Строгое объяснение этого предположения использует конечномерные аппроксимации пространства К. (см. [VI]). Ниже мы обозначаем кавычками нестрогие утверждения, использующие это предположение и нуждающиеся в уточнении.

2. Симплициальное разрешение дискриминанта

Разрешение а дискриминантного множества Е строится следующим образом. Обозначим через Ф пространство всех неупорядоченных пар (х,у) точек прямой R1 (позволяем х = у); легко видеть, что Ф есть полуплоскость (упорядочим (ж, у) так, чтобы х < у). Рассмотрим общее вложение I этой полуплоскости в пространство RN (очень)2 большой размерности N со2. Для любого вырожденного отображения Ф : R1 Rn рассмотрим все точки (х,у) € Ф такие, что либо х ф у и Ф(ж) = Ф(у), либо х = у и Ф'(ж) = 0. Обозначим через Д(Ф) выпуклую оболочку образов в R^ всех таких точек при вложении I. Если I общего положения, тогда выпуклая оболочка является симплексом, чьи вершины совпадают со всеми этими образами. Пространство а определяется как объединение всех симплексов вида Ф х Д(Ф) С К х RN. Ограничение на <т проекции К, х RN —> К, является собственным отображением и ин�