Многомерные интегральные преобразования в теориях алгебраических уравнений и аналитического продолжения

Антипова, Ирина Августовна

Многомерные интегральные преобразования в теориях алгебраических уравнений и аналитического продолжения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Антипова, Ирина Августовна АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Красноярск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Многомерные интегральные преобразования в теориях алгебраических уравнений и аналитического продолжения»

Автореферат диссертации на тему "Многомерные интегральные преобразования в теориях алгебраических уравнений и аналитического продолжения"

На правах рукописи

Антипова Ирина Августовна

003462506

МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ТЕОРИЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 с оез

Красноярск 2009

003462506

Работа выполнена в Сибирском федеральном университете

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор A.M. Кытманов

доктор физико-математических наук, профессор А.Г. Сергеев доктор физико-математических наук, профессор А.Д. Медных доктор физико-математических наук, профессор В.В. Чуешев

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

Защита состоится _" илмпл- 2009 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д 212.099.02 в Сибирском федеральном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

" " А

Автореферат разослан

2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Н.А. Бушуева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Известно, что одно из самых популярных интегральных преобразований в математическом анализе - преобразование Фурье играет важную роль при обработке сигналов, т.е. в проблеме передачи информации. Аналогичными свойствами обладают и все родственные ему интегральные преобразования (Лапласа, Меллина, Коши, а также более позднее преобразование Радона, лежащее в основе принципа действия современного томографа). Эффективность использования интегральных преобразований особенно ярко проявляется в рамках комплексного анализа, где благодаря теореме Коши-Пуапкаре, т.е. теории вычетов, значительно расширяются возможности точного или асимптотического вычисления интегралов. Теория вычетов, лежащая на стыке комплексного анализа и алгебраической геометрии, играет важную роль в этих направлениях математики и в математической физике.

Наибольшее применение преобразования Меллина получают в теориях специальных функций. Например, в теории чисел преобразование Меллина переводит тэта-функцию Якоби в дзета-функцию Римана1, а значит, из функционального уравнения для первой следует функциональное уравнение для второй. В середине прошлого столетия были сформированы многомерные интегралы Меллина-Барнса, которые представляют собой обратные преобразования Меллина для отношения произведений конечного числа гамма-функций в композициях с линейными функциями. Такие интегралы представляют гипергеометрические функции - самый обширный класс среди всех специальных функций. В него входит подкласс неконфлуэнтных гипергеометрических функций, содержащий в себе классическую гипергеометрическую функцию Гаусса и А - гипергеометрические ряды,2,3 в частности, фундаментальные периоды многообразий Калаби-Яу.4

хМамфорд Д. Лекции о тэта-функциях. М.: Мир. 1988. 446 С.

2Гельфанд И.М., Зелсвинский A.D., Капранов М.М. Гипергеометрические функции и торинеские многообразия // Функц. анализ и его приложения. 1989. Т. 23. Вып. 2. С. 12-26.

3Passare М., Sadykov Т., Tbikh A. Singularities of hypergeometric functions in several variables // Corapositio Math. 2005. V. 141. P. 787-810.

4Candelas P., De la Ossa X., Font A., Katz S., Morrison S.R. Mirror Symmetry for Two Parameter Model - I // Nucl. Phys. 1994. B416. P. 481.

В последнее время обнаружилось, что преобразования Меллина настолько пропитаны природой комплексного анализа, что их можно считать частью теории вычетов. Несколько неожиданным оказался и тот факт, что многомерная теория интегральных преобразований Меллина практически отсутствовала. Поэтому, ввиду огромной важности как для самого комплексного анализа, так и в теориях гипергеометрических функций и -D-модулей, в проблемах обработки сигналов актуальной задачей является построение теории многомерных преобразований Меллина.

Одно из ярких применений преобразований Меллина состояло в предъявлении интегральной формулы для решения общего алгебраического уравнения, найденной Меллином в 1921 году5. В начале нынешнего столетия в работах Б. Штурмфельса6, А. Циха и его соавторов7,8 были получены аналитические продолжения для решения общего алгебраического уравнения, а также области сходимости для гипергеометрических рядов, представляющих решение, и взаимное расположение этих областей относительно дискриминантного множества уравнения. К этому времени уже были достаточно глубоко изучены так называемые А-дискриминанты9,10 (дискриминанты полиномов нескольких переменных). Однако, оставались открытыми вопросы обобщений интегральных представлений для решений системы уравнений, описания областей сходимости представляющих интегралов и дискриминантных множеств общих полиномиальных отображений.

5Mellin H. Résolution de l'équation algébrique, générale à l'aide de la fonction gamma // C.R. Acad. Sei. Paris. 1921. V. 172. P. G58-GG1.

6Sturmfcls D. Solving algebraic equations in terms of A-hypergeometric series // Discrete Math. 2000. V. 210. P. 171-181.

7Семушева А.Ю., Цих A.K. Продолжение исследований Меллина о решении алгебраических уравнений // Комплексный анализ и дифференциальные операторы: Сб. науч. тр. Красноярск: КрасГУ. 2000. С.134-146.

8Passare M., Tsikh A. Algebraic equations and hypergeometric series. In the book „The legacy of N.H. Abel". Springer - Verlag. Berlin. 2004. P. 653-672.

9Gelfand I., Kapranov M., Zelevinsky A. Discriminants, resultants and multidimensional determinants. Birkhäuser. Boston. 1994. x+523 pp.

10Kapranov M. A characterization of A-discriminantal hypersurfaces in terms of the logarithmic Gauss map // Math. Ann. 1991. V. 290. P. 277-285.

этих объектов. В качестве подтверждения достаточно указать роль интегрального представления Бохнера-Мартинелли в обосновании знаменитого феномена Гартогса (Der Hartogs-Bochner Kugelsatz) или результат Атьи о мероморфном продолжении функции Рх. Несколько иную методологию в задачах аналитических подолжений доставляет идея Карле-мана о восстановлении голоморфных функций по ее значениям, например, на части границы области. Здесь, следуя идее физиков-теоретиков Фока и Куни, вместо интегральных представлений целесообразно использовать интегральные преобразования. Эта идеология получила развитие в монографии JI.A. Айзенберга11, статьях A.M. Кытманова12. При этом, оставался неисследованным вопрос о голоморфном продолжении наиболее общих функциональных объектов - гиперфункций. Естественность рассмотрения такого класса функциональных объектов подтверждалась результатом Полкинга и Уэллса13, согласно которому пространство функций, голоморфных в области с вещественно аналитической границей, изоморфно пространству СЯ-гиперфункций на границе.

Цель диссертации состоит в развитии теории многомерных преобразований Меллина и их применении к исследованию систем п алгебраических уравнений с тг неизвестными, в частности, к описанию дискриминантов таких уравнений. Кроме того, стояла задача исследования условия одностороннего голоморфного продолжения в область для гиперфункций, заданных на вещественно аналитической гиперповерхности.

Методика исследования

Для формулировки и доказательства теорем обращения преобразований Меллина были использованы идеи торической геометрии и интегральное представление Коши-Фантаппье. В нахождении интегральных представлений и степенных рядов для решений систем алгебраических уравнений были применены доказанные в первой главе формулы обращений для преобразований Меллина, а также мегод разделяющих циклов в теории многомерных вычетов. Параметризация дискриминантного

11 Айзенберг Л.А. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Новосибирск: Наука. 1990. 246 С.

12Кытманов A.M. Голоморфное продолжение интегрируемых CR-функций с части границы области // Матем. заметки. 1990.

"Polking J.С., Weils R.O.Jr. Boundary values of Dolbeault cohomology classes and a generalized Dochner Ilartogs theorem // Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg. 1978. V. 47. P. 3-24.

множества осуществлена на основе линеаризации системы уравнений и детальном изучении якобиана линеаризации. Для доказательства критерия голоморфного продолжения СД-гиперфункций были использованы теория вычетов Гротендика и интегральные представления Бохнера-Мартинелли и Коши-Фантаппье.

Научная новизна

Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены строгими доказательствами.

Практическая и теоретическая ценность

Результаты имеют теоретическую ценность и могут быть использованы в исследованиях специалистов МИ им. В.А. Стеклова РАН, ИМ им. С.Л. Соболева СО РАН, ИМ с ВЦ УНЦ РАН, МГУ, НГУ, СФУ, а также университетов Стокгольма, Бордо, Буэнос-Айреса, Беркли, Торонто и др.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались:

• на Красноярском городском семинаре по многомерному комплексному анализу;

• на семинаре по многомерному комплексному анализу в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова;

• на международных конференциях по комплексному анализу:

г. Варшава (1997), г. Красноярск (2002, 2007), г. Волгоград (2004), г. Краснодар (2005), г. Уфа (2007);

• на международных симпозиумах „Геометрия и анализ на комплексных алгебраических многообразиях" в рамках совместного российско-японского проекта: г. Москва (2006), г. Киото (2006), г. Красноярск (2006, 2007), г. Токио (2007).

Публикации

Основные результаты опубликованы в девяти работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста и приложения, где изложены некоторые вспомогательные сведения. Список литературы содержит 98 наименований. Работа изложена на 156 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Характеризуя диссертационную работу в целом можно сказать, что она посвящена развитию техники многомерных интегральных преобразований и ее применению для решения некоторых проблем теории алгебраических уравнений и аналитического продолжения. Изложение начинается с теории многомерных преобразований Меллина (глава 1), где вводятся естественные классы голоморфных функций, между которыми прямое и обратное многомерные преобразования Меллина осуществляют биекцию. Доказанные в этой главе формулы обращения для многомерного преобразования Меллина применяются к решению общего алгебраического уравнения и к исследованию суперпозиции общих алгебраических функций. В главе 2 решается проблема параметризации дискриминант-ного множества общего полиномиального преобразования С" на основе идеи линеаризации. В главе 3 рассматриваются интегральные преобразования Бохнера-Мартинелли, в частности, преобразования, связанные с логарифмическим дифференциалом, и их применения в задачах голоморфного продолжения СЯ-функций.

Прежде, чем приступить к изложению содержания первой главы, приведем основополагающий результат об одномерных преобразованиях Меллина.

Преобразования Меллина14 для функций одной переменной были введены им в 1896 году: это прямое преобразование

оо

М[ Ф](г) = J Ф{х)х2~Чх о

и обратное преобразование

а-Иос

M~l{F]{x) = / F{z)x~zdz.

2кг J

а—too

С помощью замены переменной х = е~ь эти преобразования сводятся к преобразованиям Лапласа. Меллин ввел свои преобразования в поис-

MMellin H. Uber die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy für die Theorien der Gamma und der hypergeometrischen Funktionen // Acta Soc. Sei. Fennica. 1896. V. 21. №1. P. 1-115.

ках обращения преобразований Лапласа. Он догадался о виде обратного преобразования и указал некоторые случаи восстановления оригинала по изображению: Ф = М~1М[Ф\. Применительно к преобразованию Лапласа такая формула обращения играет большую роль в операционном исчислении и в теории обработки сигналов. Позднее были выделены два класса функций, между которыми М и М~1 осуществляют изоморфизм15 (мы отступаем от принятых обозначений классов с тем, чтобы отразить симметрию между ними):

- класс (5 > О, Р > а) функций Ф(х), голоморфных в каком-либо секторе

Ski — : I argz| < к > 1

и удовлетворяющих условию

Ф(®) = 0{х~а) при х -> 0, (1)

Ф(х) = О(х~0) при X -+ оо,

а также

- класс W^p функций F{z) = F(u + те), голоморфных в полосе

{г : а < 3íz < /?},

и убывающих в ней экспоненциально по v:

|f(u + iv)| < K(u)e~k's'"I, к' > 1. (2)

Заметим, что условия (1) можно записать в виде

Ф(ж) = 0(аГ°) для всех х € а б (а,/3),

и это наблюдение будет основополагающим для формирования многомерной теоремы обращений преобразований Меллина.

В Главе 1 введены подходящие классы функций многих переменных, для которых справедливы формулы обращения для многомерных преобразований Меллина:

ММ-1 = 1 = м~хм.

15Евграфов М.А. Ряди и интегральные представления. Анализ-1. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. Т. 13. М.: ВИНИТИ. 1986. С. 5-92.

Преобразование Меллина функции Ф(х), заданной в ортанте IR" (произведении положительных вещественных полуосей), определяется интегралом

М№)=/ ФМх-'.х, (3)

щ.

где мультииндексная запись xz~' означаетСоответственно, обратное преобразование Меллина функции F(z), заданной в мнимом (вертикальном) подпространстве а + гЖп (а — фиксированный вектор из вещественного подпространства М" С С"), — это интеграл

a+íRn

Рассмотрим пару выпуклых областей U С R", © С R", причем в ограничена и содержит начало координат: 0 € 0. Область U порождает в комплексном пространстве трубчатую область U+¿Rn (прообраз 5i_1(¡7) при проектировании С" на вещественное подпространство), а в — векториальную область Sq = Arg~1(Q) на декартовом произведении римановых поверхностей логарифма. Итак, пусть:

М@ — векторное пространство функций Ф(.т), голоморфных в какой-либо области

Sk& = {х € в : argx € Ю}, к > 1

(.к зависит от Ф, а к& означает гомотетию 0 с коэффициентом к) и удовлетворяющих условию

|Ф(а;)| < С(а)|х-0| для всех х G Ske, a eU, (5)

где С(a) не зависит от х\

W® — векторное пространство функций F(z) = F(u+iv), голоморфных в трубчатой области U + iRn и убывающих в ней экспоненциально по v:

\F(u + iv)\ < K{u)e~k'H^v\ к' > 1, (6)

где Hq(v) := sup{0,u) — опорная функция для в. веб

Преобразования Меллина осуществляют биекцию между классами Mq , W®, о чем гласят следующие теоремы.

Теорема 1.1. Если Ф(х) 6 М&, то ее преобразование Меллина существует, принадлежит. Wц и справедлива формула М~1М{Ф] = /[Ф], т.е.

I х-Чг Jф{OC~Idt = Ф(х), х е (7)

о+Ж" К!"

где а £11 .

Теорема 1.2. Если Р{г) е то ее обратное преобразова-

ние Меллина существует, принадлежит М& и справедлива формула ММ"1^] = /[Я, т.е.

[х'-Ых-^— [ /'ЮаГ'А = Иг), геи + Ж", (8) ] (2тгг)п ]

о+Ш"

где а €.11.

Видимо, первое внедрение многомерного преобразования Меллина было сделано также им в статье, цитированной на странице 4. В качестве применения в ней было доказано, что решение общего алгебраического уравнения представляется гипергеометрическим рядом от переменных коэффициентов уравнения. Однако, в указанной краткой статье Меллин ничего не писал о справедливости многомерной формулы обращения — вероятно, в нужном ему примере он знал ее обоснование с помощью повторных одномерных процедур.

Применению формул обращения посвящены разделы 2 и 3 первой главы диссертации. В первом из них обобщается классическое интегральное представление Меллина для решения общего алгебраического уравнения

хпуп Н-----Ъ х\у + ха = О

с комплексными коэффициентами ха,...,хп. Ввиду свойства двойной однородности решения у(х0,..., хп), с помощью мономиальной замены переменных х (с рациональными показателями) коэффициенты при двух мономах у4, ур могут быть сделаны единичными. В диссертации исследован случай произвольного д и р = 0:

хпуп + --- + у'1 + --- + х1у-1 = 0. (9)

А именно, приведено интегральное представление типа Меллина-Барнса для ветви решения этого уравнения вблизи х — 0, выделенной условием у(0) = 1 (такую ветвь называем главным решением уравнения (9)). Кроме того, найдена область сходимости представляющего интеграла.

Теорема 1.3. Пусть у{х) — главное решение уравнения (9). Для любого [X > 0 функция ум(х) представляется следующим интегралом Меллина-Барнса

1 [ „ГЫ...Ы...ГЫГ(;->,))

г(5 + }(м + 1) (10)

где а = (1, ..[<?]..,п), /? = (д - 1,-И.., ц - п), вектор а = (аи ..[?].., о„) 6 К""1 фиксирован и берется из симплекса

£/ = {иеТ1-1 > 0, з = 1,..[д]..,п, (а,и) < .

Область сходимости интеграла (10) секториалъная и в переменных в = ащх определяется неравенствами ни

/„ \звк - кв}\ < тг?, 3, к € 1Ф j < к, (11)

где 1Ч — набор индексов {1, ..[д]..,п}.

В случае д = п формула (10) была известна Меллину, однако, он гарантировал сходимость интеграла в значительно меньшей области

Для того, чтобы сопоставить область сходимости интеграла (10) с сингулярным множеством полной (многозначной) алгебраической функции у(х), заметим, что последнее множество есть не что иное как дискри-минантная гиперповерхность V уравнения (9). Рассмотрим образ V при отображении Агд : Т"-1 —» К"-1:

(жь ..[?].., г„) -» (а^Х1, .,[д]..,а^:гп).

Указанный образ называют коамебой гиперповерхности V С Т"-1, по той причине, что образ V при проекции

называют амебой16 для V. Например, для кубического уравнения (п = 3, р = 0, д — 3) дискриминант равен

Б(х) - 27 + 4х\ ~ 4ж2 + -

а его коамеба изображена серым цветом на рис. 1 в рамках квадрата

Щ < Щ < X.

Рис.1. Коамеба дискриминанта Рис.2. Область сходимости I

кубического уравнения. интеграла Меллина-Барнса.

Для данного случая Меллин гарантировал сходимость интеграла в области |6>х| < |02] < §, в то время как истинная область сходимости, в соответствии с (11), есть

7Г 2-7Г

1^1 <3> Щ <у, \в3-Щ< тг;

она изображена на рис. 2 черным цветом. I

В разделе 3 исследуется суперпозиция общих алгебраических функций. Известно, что суперпозицию п алгебраических функций17 можно проинтерпретировать как п-ю координату уп решения системы п алгебраических уравнений „треугольного вида", причем под „треугольно-стью" понимается, что первое уравнение зависит только от первой неиз- ;

16ОеИап<11., Каргапоу М., 7,с\еч'тзку А., цит. выше.

17Васильев В.А. Топология дополнений к дискриминантам. М: ФАЗИС. 1997. XIV+538 С.

вестной переменной, второе - от первой и второй и т.д. Такую треугольную систему запишем в виде:

Аел*

где в г-м уравнении суммирование ведется по множеству мультииндексов Л* = х [1 , т,- — 1], Л; С Ну1 - конечные множества. Набору показателей Л = (Ах,..., А*) € Ъ\ в г-м уравнении соответствует коэффициент хх■ Вектор из коэффициентов системы обозначим х. В теоремах 1.5, 1.6 диссертации приведены интегральная формула и ряд Тейлора для моно-миальной функции

составленной из координат ветви у(х) = {у\{х),... ,у„(х)), выделенной условиями Уг(0) = 1, i — 1,..., п. Теоремы 1.5, 1.6 обобщают классический результат Меллина, их итоговым следствием является

Теорема 1.7. Мономиалъная функция у^{х) разлагается в ряд гипергеометрического типа. В частности, суперпозиция уп(х) общих алгебраических функций представляется в виде отношения двух рядов гипергеометрического типа.

Во второй главе исследуется дискриминантное множество общего полиномиального преобразования

Р = (РЬ...,Р„):С"-*С1

пространства С™. Считаем, что множества А^ показателей мономов в Рг фиксированы, а все коэффициенты переменные. В таком случае мы говорим, что Р - общее полиномиальное преобразование пространства С".

Для большей общности рассматривается отображение

Р : Т" С",

где Т" = (С \ {0})п - комплексный тор, а Рг - полиномы Лорана.

Для таких отображений обозначим через V0 множество всех коэффициентов, при которых Р имеет в Т71 кратные нули, т.е. нули, в которых якобиан Р равен нулю.

Определение. Дискриминантным множеством V отображения Р назовем замыкание множества V0 в пространстве коэффициентов.

Таким образом, для нас представляет интерес система полиномиальных уравнений вида

£ а£У = 0, г = 1,...,п (13)

дел«

с неизвестными у = (уи ...,уп) € Т", где А^ с Ъп - конечные подмножества, ух = у*1... у„п и переменные коэффициенты.

Следуя идеологии монографии18, введенное дискриминантное множество V уместно назвать (Л'1',..., А^)-дискриминантным множеством.

Дискриминантное множество V не всегда имеет коразмерность 1. Например, для общей системы п линейных уравнений дискриминантное множество задается одновременными нулями всех миноров порядка п расширенной матрицы системы.

Основной результат второй главы состоит в параметризации дего-могенизированного дискриминантного множества (Теорема 2.2), которое соответствует приведенной системе полиномиальных уравнений

Е ¿ = (14)

Например, для дискриминантного множества классического приведенного уравнения

ут + хт.1ут~1 + --- + хгу-1 = 0 (15)

такая параметризация имеет вид19

где а = (1,..., т — 1) - это вектор из показателей мономов у, у2,..., ут~1 уравнения (15), а /3 = -{т - 1, т — 2,..., 1).

18Се1Гапс1 I., Каргапоу М., 7с1сутзку А., дит. выше.

19Раззаге М., такЬ А., дит. выше.

Возможность приведения системы (13) к виду (14) обусловлена наличием свойства полиоднородности ее решения. А именно, справедливо следующее утверждение.

Предложение 2.2. 1) Если для любого набора п пар А^,//*) g А® показателей системы (13) определители

8x^det(\f -if)

равны нулю, то система (13) зависит от п — 1 неизвестных и потому якобиан отображения Р есть тождественный нуль.

2) Если хотя бы один из определителей не равен нулю, то с помощью мономиалъного преобразования коэффициентов х® системы

(13) ее можно свести к приведенной системе (Ц)-

Множества показателей AW \ {ш^, 0} в системе (14) обозначим Л^, Обозначим через Л дизъюнктное объединение множеств Л^, которое представим в виде матрицы

Л=(А\...,А"), (16)

столбцами которой являются векторы \k = (А*,..., А*) из показателей мономов системы (14). Обозначим матрицу из вектор-столбцов и/1),..., и/") в (14) через и. По теореме об инвариантных делителях20 существуют унимодулярные матрицы А и В такие, что выполняется

АиВ = Dm, (17)

где Dm - диагональная матрица с целыми mi,..., тп на диагонали. Введем матрицу

Ф := BD^AA.

Строки матрицы Ф далее будем обозначать <¿>i,..., <рп. Обозначим через характеристические функции подмножеств Л^ С Л системы

(14); отождествим х^ с векторами, имеющими координаты Наряду с векторами <¿>¿ будем рассматривать векторы <pi = — i = 1,... ,n.

20Curtis Ch., Reiner I. Representation theory of finite groups and associative algebras. Wiley. 1988.

Определим алгебраическое (многозначное) отображение д ; СР*-1 -> С* = С|л11)| х • • • х с|л(п)|

из проективного пространства в пространство коэффициентов {хл} системы (14), полагая

где (Л,) = ВБ^АХ.

Напомним понятие логарифмического отображения Гаусса21 гиперповерхности V = {/ = 0} С ТЛ'. Оно представляет собой отображение

7 : V -> СР^1

с координатами 7и(х) = хид/(х)/дхи. Геометрическая интерпретация 7 состоит в том, что вектор 7(2) задает нормальную прямую к гиперповерхности в точке Ьод(х) = (к^хь... , к^х/у), и эта нормаль определяет точку в СРЛ'-1.

Основной результат второй главы составляет

Теорема 2.2. Пусть все строки матрицы Ф ненулевые и дискрими-нантное множество V системы (14) неприводимо. Тогда отображение Д параметризует V. В случае, когда V есть гиперповерхность, это отображение является обратным к логарифмическому отображению Гаусса 7 : V СРР1.

Отметим, что требование неприводимости не является существенно ограничительным. Например, применительно к системе (13) условие приводимости равносильно тому, что какая-то группа из к < п уравнений зависит лишь от к неизвестных.

Пример. Рассмотрим систему уравнений вида

[у\ + аут -1 = 0, Ы + Ъу1Уг -1 = 0.

21КаргапОУ М., цит. выше.

Рис. 3. Амеба дискриминанта и ее контур.

Для нее параметризация дискриминантного множества имеет вид: — 3 ^-2+аЛ V3 /l-2a'iV3

" -2+3 \ 1+s ) V 1+s ) 1 (-IQ)

h___3s /~2+*\УЗ /1-2а\1/3

U l~2s I ltJ V 1+s )

Дискриминант D(o, b), получаемый исключением параметра s в (18), ра-

вен

a4b2 - 4а3 - 27 4- 6a2b 4- баб2 - 2a3b3 - 4а3 + а2&4.

На рисунке 3 изображена амеба дискриминантного множества V = {£>(а, Ъ) = 0}, где выделенные линии составляют контур амебы22, который определяется как множество критических значений логарифмического проектирования. Из рисунка видно, что нормаль к контуру амебы при полном его обходе делает один оборот, и это подчеркивает, что параметризация Д является обратным отображением к логарифмическому отображению Гаусса для V.

Глава 3 диссертации посвящена применению интегральных преобразований в задачах аналитического продолжения. А именно, в ней

22Passare M., Tsikh A. Amoebas: their spines and their contours // Contemporary math. 2005. V. 377. P. 275-288.

изучаются условия голоморфного продолжения СЛ-гиперфункций, заданных на произвольной вещественно аналитической гиперповерхности. Эти условия задаются в терминах логарифмического преобразования Бохнера-Мартинелли.

Рассмотривается произвольная область П С С" (п > 1) и в ней вещественно аналитическая гиперповерхность

Г = {z € П : p(z) = 0},

где р — вещественно аналитическая функция такая, что dp 0 на Г. Предполагается, что Г связна и что она разбивает О, на два открытых множества QT — {p{z) 55 0}.

В главе 3 исследуется задача о продолжении СД-гиперфункции, заданной на Г, в множество В случае, когда fî = Cn, а Г - замкнутая гиперповерхность, ограничивающая область для обычных гладких на Г функций Ф указанная задача разрешима всегда, о чем свидетельствует известная теорема Бохнера-Севери. В этом случае продолжение для функции Ф в осуществляется интегральным преобразованием Бохнера-Мартинелли этой функции, суженным на íí+. При этом указанное преобразование равно нулю на и тем самым, оно вещественно аналитически продолжается в f2f через Г. Основной результат третьей главы (Теорема 3.6) гласит, что это свойство продолжимости преобразования Бохнера-Мартинелли является определяющим для формулировки критерия продолжимости гиперфункции с Г в Ü+. Для большей общности используется логарифмическое преобразование Бохнера-Мартинелли, ассоциированное с голоморфным отображением / (в случае, когда / - тождественно, получается обычное преобразование Бохнера-Мартинелли). Указанная общность позволит нам получить признак продолжения с Г любой СД-гиперфункции, используя язык комплексной аналитической геометрии.

В работе используется определение гиперфункции предложенное Мартино23 '24. Гиперфункции в М™ определяются таким образом25, чтобы локально они были эквивалентны аналитическим функционалам в С" с компактными носителями из R". Пространства аналитических функционалов обозначаются Л , а гиперфункций - 05.

23Martineau A. Les hyperfonctions de M. Sato. Sém. Bourbaki 1960-1961. Exposé №214.

24Шапира П. Теория гиперфункций. M.: Мир, 1972.

25Хёрмандер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с ■частными производными. 1. Теория распределений и анализ Фурье. М.: Мир. 1986. 462 С.

Для определения СД-гиперфункций введем набор векторных полей Laß, порождающих антиголоморфную часть касательного расслоения к Г:

_ (:2г)п / др д др д aß 2\др\ \dza&z3 dzßdzat

1 < а < 0 < п,

где

\др\ =

i=1

др_ dzj

Для компакта К С Г под действием Lap на аналитический функционал Ф € Л'(К) будем понимать значение

(LaßV,<p) = (V,Laßip)1

где ф — вещественное аналитическое продолжение функции tp 6 «4(Г) в некоторую окрестность Г. Результат действия Laß(p не зависит от продолжения ip в окрестность Г, так как Laß есть касательный оператор.

Пусть S — открытое подмножество гиперповерхности Г. Выберем на нем семейство координатных окрестностей Sj С 3 (USj = 5).

Определение. Гиперфункция Ф £ iB(F), заданная набором гиперфункций Фj G S(5j), удовлетворяет на S касательным условиям Коши-Римана, если для каждого представителя /,■ € А'(Sj) гиперфункции выполняются включения

suppLaßfj С dSj, 1 ^ а < ß < п.

Гиперфункция Ф € 23 (Г), удовлетворяющая па S С Г касательным условиям Коши-Римана, называется СR-гиперфункцией на S. Обозначим через En разность по Минковскому

¡1 - П = {С - z : С, г 6 f2}.

Пусть U — область голоморфности, содержащая Ец. Рассмотрим голоморфное отображение

f(w) = (ЛН,..., fn{w)) : U -> Сп,

имеющее в U единственный нуль w = 0 кратности ß и сопоставим ему д-замкнутую дифференциальную форму (логарифмический дифференциал

Бохнера-Мартинелли) — z)), где и - дифференциальная форма

Бохнера-Мартинелли26 ,2Т

^ ' к—1

В разделе 3.4 диссертации доказан ряд утверждений, имеющих самостоятельный интерес и устанавливающих когомологическую связь логарифмического дифференциала с формой Коши-Фантаппье специального вида.

Для формулировки этой связи рассмотрим представления

/>м=i=1,..., п

к= 1

с Pik G 0(U), которые получаются из разложений Хефера с учетом условий /¿(0) = 0.

Для вектор-функции А(С, z) — (Ai(£, z),..., А„(£, z)) с координатами

MC ,г) = £Р<*(С-*ШС-*)

t=l

рассмотрим дифференциальную форму Коши-Фантаппье

ы(С - Z, А) = tili ^(-iJ^i-MlÄL л (19)

Обозначим через р. кратность отображения / в точке w = 0. Теорема 3.5. Форма Коши-Фантаппье, умноженная на кратность /1, и логарифмический дифференциал Бохнера-Мартинелли В когомологичны в области ( ф г:

мс -а(с, *)) - w(/(c - = а*(с,л с

28Кытманов A.M. Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения. Новосибирск: Наука. 1992. 240 С.

2TLieb I., Michel J. The Cauchy-Riamann Complex (Integral Formulae and Neumann Problem). Aspects of Math. E 34. Vieweg. 2002.

Для гиперфункции Ф с компактным носителем на Г определим логарифмическое преобразование Бохнера-Мартинелли:

da(Q — элемент поверхности Г. Заметим, что ^[Ф1(г] — вещественно аналитическая функция вне носителя Ф.

Грубо говоря, основной результата главы 3, Теорема 3.6, утверждает, что заданная на вещественно аналитической гиперповерхности CR-гиперфункция Ф продолжается в одну из сторон гиперповерхности тогда и только тогда, когда ее логарифмическое преобразование Бохнера-Мартинелли продолжается вещественно аналитически из другой стороны. Для более точной формулировки необходимо исчерпать область П монотонным семейством ограниченных областей Qj и произвести локализацию заданной гиперфункции Ф на Г в виде гиперфункций Я/j с компактным носителем на Sj+i.

Теорема 3.6. Если Ф есть CR-гиперфункция на Г, то для голоморфного продолжения Ф в Q+ необходимо и достаточно, чтобы F[4>j]{z) продолжались вещественно аналитически из связной компоненты О," П ilj в Qj для всех j.

В качестве применения этого критерия приводится достаточное геометрическое условие на гиперповерхность Г, обеспечивающее одностороннее локальное голоморфное продолжение с Г любой CR-гиперфункции.

Теорема 3.7. Если в точке р гиперповерхности Г существует росток голоморфной кривой {/i = • • • = fn-i — 0}, расположенный в П+, то всякая CR-гиперфункция Ф на Г голоморфно продолжается в некоторую одностороннюю окрестность V~ С этой точки.

Этот результат обобщает теорему Леви28 и ее аналог для интегрируемых функций29. Последняя из упомянутых теорем утверждает, что интегрируемая C/f-функция, заданная на дважды гладкой вещественной

28Levi Н. On the local character оf the solution of an atypical liner differential equation in three variables and a related theorem for regular functions of two complex variables // Ann. of Math. 1956. V. 64. P. 514-522.

29Хенкин Г.М., Чирка E.M. Граничные свойства голоморфных функций нескольких переменных. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. Т. 4. М.: ВИНИТИ. 1975. С. 13-142.

гиперповерхности Г голоморфно продолжается в окрестность U точки О 6 Г, если сужение формы Леви в нуле на комплексную касательную плоскость Тц (Г) не равно тождественно нулю. Невырожденность формы Леви влечет за собой возможность коснуться гиперповерхности в нуле комплексной кривой, лежащей в области {z € С" : ß(z) > 0}, т.е. условие Теоремы 3.7 выполняется. Однако, обратная импликация неверна. Это показывает следующий пример гиперповерхности

Г = {z € С2 : p{z) = Re(^2 - г? + |zi|4 + \z2\8) = 0}.

Для нее форма Леви в точке 0 6 Г тождественно равна нулю. При этом кривая 7 = {zi = £, z2 = £2}, расположенная в области {z £ С" : p{z) > 0} , касается Г в точке нуль, поскольку

pl7 = Re(t2 - t2 + |i(4 + |i|8) = |i|4 + |i|8 > 0. Кроме того, p|7 = 0 тогда и только тогда, когда t = 0.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты диссертации следующие:

• Решена проблема обращения для многомерных преобразований Меллина с описанием зеркально-симметричных векторных пространств, переводимых друг в друга указанными преобразованиями.

• Получены новые формулы для решения общего алгебраического уравнения, уточнен классический результат Меллина о сходимости интеграла, представляющего решение.

• Предъявлены формулы для суперпозиции общих алгебраических функций.

, • Найдена параметризация неприводимого диекриминантного множества общего полиномиального преобразования Сп.

• Получен критерий голоморфного продолжения СД-гиперфункций в терминах логарифмического преобразования Бохнера-Мартинелли.

Работы автора по теме диссертации

1. Кытманов A.M., Цих И.А. (Антипова И.А.) О голоморфном продолжении С/¡/-гиперфункций в фиксированную область // Сиб. матем. журн. 1997. V. 38. Х«6. С. 1319-1334.

2. Кытманов A.M., Цих И.А. (Антипова И.А.) Об устранении особенностей СЯ-гиперфункций, заданных на гиперповерхности // Фундамент. и прикл. матем. 2000. Т. б. Вып. 2. С. 441-454.

3. Антипова И.А. Применение логарифмического дифференциала к задаче голоморфного продолжения С/?-гиперфункций // Сиб. матем. журн. 2000. Т. 41. № 6. С. 1238-1251.

4. - Выражение суперпозиции общих алгебраических функций через гипергеометрические ряды // Сиб. матем. журн. 2003. Т. 44. №5. С. 972980.

5.-06 аналитическом продолжении суперпозиции общих алгебраических функций // Вестник Красноярского госуниверситета. Серия физ.-мат. науки. 2004. №1. С. 99-104.

6. - О мономиальной функции вектор-решения общей системы алгебраических уравнений // Вестник Красноярского госуниверситета. Серия физ.-мат. науки. 2005. №1. С. 106-111.

7. - Обращения многомерных преобразований Меллина // УМН. 2007. Т. 62. Вып. 5(377). С. 147-148.

8. - Обращения многомерных преобразований Меллина и решения алгебраических уравнений // Матем. сб. 2007. Т. 198. № 4. С. 3-20.

9.-0 параметризации дискриминантного множества для общего полиномиального преобразования С" // Доклады РАН. 2008. Т. 422. № 4. С. 439-442.

Подписано в печать /б. о/. ОЗг. 60 х 84/16

Бумага офсетная N 1 Печать офсетная

Усл. печ. л. 2 Усл. изд. л. 2

Тираж 100 экз. Заказ N

Отпечатано в ИПК СФУ. 660041 Красноярск, пр. Свободный, 79.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Антипова, Ирина Августовна

Введение б

1 Многомерные преобразования Меллина и их применения к решению алгебраических уравнений

1.1 Теоремы обращения.

1.1.1 Классы и формулировки теорем обращения

1.1.2 Доказательство Теоремы обращения 1.2.

1.1.3 Доказательство Теоремы обращения 1.1.

1.2 Применение формул обращения к решению алгебраических уравнений.

1.2.1 Общее алгебраическое уравнение и интегральная формула для его решения.

1.2.2 Секториальная область голоморфности главного решения.

1.2.3 Доказательство интегрального пре/оставления

1.3 Выражение суперпозиции общих алгебраических функций через гипергсометрические ряды.

1.3.1 Система п алгебраических уравнений „треугольного" вида.

1.3.2 Преобразование Меллина мономиальной функции у'1(х).

1.3.3 Интегральная формула и ряд Тейлора для

2 Дискриминантное множество общего полиномиального преобразования С"

2.1 Понятия дискриминанта и дискриминантного множества

2.1.1 Классический дискриминант и А-дискриминант

2.1.2 Определение дискриминантного множества общего полиномиального преобразования Сп

2.1.3 Приведенная система и дегомогенизация дискриминантного множества.

2.2 Параметризация дискриминантного множества.

2.2.1 Классический случай и А-дискриминант

2.2.2 Формулировка теоремы о параметризации. Каноническая система и ее линеаризация.

2.2.3 Структура якобиана линеаризации.

2.2.4 Окончание доказательства Теоремы 2.2. Условие коразмерности 1 для V

2.2.5 Примеры

3 Другие преобразования в задачах голоморфного продолжения СГ1-гиперфункций

3.1 Гармоническое представление гиперфункций.

3.1.1 Гармоническое представление аналитических функционалов

3.1.2 Пучок абелсвых групп 55. Гомоморфизм пучков и 55.

3.1.3 Граничные значения гармонических функций

3.2 CR— гиперфункции как граничные значения голоморфных функций.

3.2.1 Условия Коши-Римаиа

3.2.2 Граничные значения голоморфных функций

3.3 Теорема о гармоническом продолжении.

3.4 Логарифмическое преобразование Бохнсра-Мартинелли и критерий голоморфного продолжения СД-гиперфункций

3.4.1 Когомологическая связь логарифмического дифференциала с формой Коши-Фантаппье

3.4.2 Критерий голоморфного продолжения CR-гиперфункций.

3.4.3 Признак локального голоморфного продолжения

Введение диссертация по математике, на тему "Многомерные интегральные преобразования в теориях алгебраических уравнений и аналитического продолжения"

Известно, что одно из самых популярных интегральных преобразований в математическом анализе - преобразование Фурье играет важную роль при обработке сигналов, т.е. в проблеме передачи информации. Аналогичными свойствами обладают и все родственные ему интегральные преобразования (Лапласа, Меллина, Коши, а также более позднее преобразование Радона, лежащее в основе принципа действия современного томографа). Эффективность использования интегральных преобразований особенно ярко проявляется в рамках комплексного анализа, где благодаря теореме Коши-Пуанкаре, т.е. теории вычетов, значительно расширяются возможности точного или асимптотического вычисления интегралов. Теория вычетов, лежащая на стыке комплексного анализа и алгебраической геометрии, играет важную роль в этих направлениях математики и в математической физике.

Наибольшее применение преобразования Меллина получают в теориях специальных функций. Например, в теории чисел преобразование Меллина переводит тэта-функцию Якоби в дзета-функцию Римана [27], а значит, из функционального уравнения для первой следует функциональное уравнение для второй. В середине прошлого столетия были сформированы многомерные интегралы Меллина-Барнса, которые представляют собой обратные преобразования Меллина для отношения произведений конечного числа гамма-функций в композициях с линейными функциями. Такие интегралы представляют гипергеометрические функции - самый обширный класс среди всех специальных функций. В него входит подкласс неконфлуэнтных гипергсометрических функций, содержащий в себе классическую гипергеометрическую функцию Гаусса и А-гипергеометрические ряды [51, 78], в частности, фундаментальные периоды многообразий Калаби-Яу [53].

В последнее время обнаружилось, что преобразования Меллина настолько пропитаны природой комплексного анализа, что их можно считать частью теории вычетов. Несколько неожиданным оказался и тот факт, что многомерная теория интегральных преообразований Меллина практически отсутствовала. Поэтому, ввиду огромной важности, как для самого комплексного анализа, так и в теориях гипергеометрических функций и £>-модулей, а также в проблемах обработки сигналов, актуальной задачей является построение теории многомерных преобразований Меллина.

Одно из ярких применений преобразований Меллина состояло в предъявлении явной формулы для решения общего алгебраического уравнения, найденной Меллином в 1921 году [71]. В начале нынешнего столетия в работах Б. Штурмфельса [85], А.К. Циха и его соавторов [29, 75] были получены аналитические продолжения для указанного решения, а также области сходимости для гипергеометрических рядов, представляющих решение, выявлено взаимное расположение этих областей относительно дискриминантного множества уравнения. К этому времени уже были достаточно глубоко изучены так называемые А-дискриминанты [51, 59] (дискриминанты полиномов нескольких переменных). Однако, оставались открытыми вопросы обобщений интегральных представлений для решений системы уравнений, описания областей сходимости представляющих интегралов и описания дискрими-нантных множеств общих полиномиальных отображений.

Интегральные представления функциональных объектов (обычных и обобщенных функций, дифференциальных форм, сечений расслоений) составляют важный инструмент в вопросах аналитических продолжений этих объектов. В качестве подтверждения достаточно указать роль интегрального представления Бохнера-Мартинелли в обосновании знаменитого феномена Гартогса (Der Hartogs-Bochner Kugelsatz) или результат Атьи о мероморфном продолжении функции Рх. Несколько иную методологию в задачах аналитических продолжений доставляет формула Карлемана о восстановлении голоморфной функции по ее значениям, например, на части границы области. Здесь, следуя идее физиков-теоретиков Фока и Куни, вместо интегральных представлений целесообразно использовать интегральные преобразования. Эта идеология получила развитие в монографии JT.A. Айзенберга [1], статьях A.M. Кытмано-ва [4, 20] и др. При этом, оставался неисследованным вопрос о голоморфном продолжении наиболее общих функциональных объектов - гиперфункций. Естественность рассмотрения такого класса функциональных объектов подтверждалась результатом Полкинга и Уэллса [77], согласно которому пространство функций, голоморфных в области с вещественно аналитической границей, изоморфно пространству C-R-гиперфункций на границе.

Цель диссертации состоит в развитии теории многомерных преобразований Меллина и их применении к исследованию систем п алгебраических уравнений с п неизвестными, в частности, к описанию дискриминантов таких уравнений. Кроме того, стояла задача исследования условия одностороннего голоморфного продолжения в область для гиперфункций, заданных на вещественно аналитической гиперповерхности.

Прежде, чем приступить к изложению содержания первой главы, приведем основополагающий результат об одномерных преобразованиях

Меллина. Эти преобразования были введены им в 1896 году (см. [69]): оо м[Ф]0) = J Ф(х)хг~1с1х, о а+гоо

2т J а—гоо

С помощью замены переменной х = е~1 эти преобразования сводятся к преобразованиям Лапласа. Меллин ввел свои преобразования в поисках обращения преобразований Лапласа. Он догадался о виде обратного преобразования и указал некоторые случаи восстановления оригинала по изображению: Ф = М~1М[Ф]. Применительно к преобразованию Лапласа такая формула обращения играет большую роль в операционном исчислении и в теории обработки сигналов. Позднее были выделены два класса функций, между которыми М и М"1 осуществляют взаимно обратные изоморфизмы (см. [17]). Это:

- класс

М^ {а < /?, 6 > 0) функций Ф(ж), голоморфных в каком-либо секторе $кб = {х : | < кб}, к > 1 и удовлетворяющих условию ф(ж) = 0(х~а) при ^ 0, (0.1)

Ф(х) = 0(х~Р) при х —» оо, и

- класс Ифункций = Р(и + гу), голоморфных в полосе {г : а < ¿Яг < /5}, и убывающих в ней экспоненциально по у:

Г(и + гу)\ < К(и)е~к>6^: к' > 1.

Заметим, что условия (0.1) можно записать в виде

Ф(а;) = 0(х а) для всех х £ вкз, & £ (а->Р)

Такая форма записи кардинальным образом поможет нам ввести соответствующий класс функций в многомерной ситуации.

Видимо, первое внедрение многомерного преобразования Меллина было сделано также им, в 1921 году в статье [71], где в качестве применения было доказано, что решение общего алгебраического уравнения представляется гипергеометрическим рядом от переменных коэффициентов уравнения. Однако, в краткой статье [71] Меллин ничего не писал о справедливости многомерной формулы обращения — вероятно, в нужном ему примере он знал ее обоснование с помощью повторных одномерных процедур.

Преобразование Меллина функции Ф(ж), заданной в ортанте М™ (произведении положительных вещественных полуосей), определяется интегралом но, обратное преобразование Меллина функции Р(г), заданной в мнимом (вертикальном) подпространстве а + Жп (а — фиксированный вектор из вещественного подпространства Мп С С"), — это интеграл а+гКп

В первой главе диссертации введены подходящие классы функций многих переменных, применительно к которым устанавливаются формугде мультииндексная запись хг 1 означает х^1 1 •. • 1. Соответственп лы обращения для многомерных преобразований Меллина:

М • М-1 = I = М'1 ■ м.

Указанные классы функций определяются парой выпуклых областей U С Rn, 0 С Мп, причем предполагается, что в ограничена и содержит начало координат: 0 6 0. Область U порождает в комплексном пространстве трубчатую область U + Ж", а 0 — секториальную область Sq. Более точно, секториальныс области будем брать в множестве © = х Rn, которое представляет собой область наложения над комплексным тором Тп = (С \ {0})п Точки х = (г, 0) Е 6 (г Е в Е Rn) проектируются в векторы reie = {г\ег0\ ., rnei9n) Е Тп.

Тогда сектор (секториальная область) над 0 — это множество S© = {я; Е & : О Е 0}. На Т"' обращение этой проекции можно рассматривать многозначным, если 0 не помещается в куб со стороной длины 27г (например, одна из ветвей функции одного переменного 1/(1 + л/z) голоморфна в секторе над интервалом \в\ < 2ж). Итак, пусть:

М@ — векторное пространство функций Ф(ж), голоморфных в какой-либо области

Ske = {х Е & : arg а; Е Ю}, к > 1 к зависит от Ф, а к0 означает гомотетию 0 с коэффициентом к) и удовлетворяющих условию

Ф(ж)| < С(а)\х~а\ для всех х Е Sk&, а EU, где С (а) не зависит от х;

W® — векторное пространство функций F(z) = F(u+iv), голоморфных в трубчатой области 17 + Жп и убывающих в ней экспоненциально по у: ^ К(и)е~к'Нв{ь\ к > 1, где Я©(г>) := 8ир(0,г>) — опорная функция для в. вев

Изоморфность введенных таким образом классов функций М@, \¥® установлена в следующих теоремах.

Теорема 1.1. Если Ф(ж) Е М@; то ее преобразование Меллина существует, принадлежит и справедлива формула М~1М[Ф] = /[Ф], т.е. I х-Чг I Ф(С)С2"Ч = Ф(х), х е а+Ж™ где а Е 11 .

Теорема 1.2. Если Р(г) е И^"®, то ее обратное преобразование Меллина существует, принадлежит М@ и справедлива формула ММ-1^] = ОД, т.е. ^(г), г е £/ + г!Г,

J {2тп)п ] где а Е II.

Применению формул обращения посвящены разделы 2, 3 первой главы диссертации. В них обобщено классическое интегральное представление Меллина (см. [71]) для решения общего алгебраического уравнения

ХпУп Н-----Ь х\У + ^о = О с комплексными коэффициентами • • •, хп. Ввиду свойства двойной однородности решения у(хо,., хп) с помощью мономиалыюй замены переменной с рациональными показателями коэффициенты при двух мономах у'1, у1' могут быть сделаны единичными. В диссертации исследован случай произвольного q и р — 0: хпуп + ---+у(! + --- + х1у-1 = 0. (0.2)

А именно, приведено интегральное представление типа Меллина-Барнса (определение интегралов Меллина-Барнса см. в Приложении, П. 1.3) для ветви решения этого уравнения вблизи х — 0, выделенной условием ?/(0) = 1. Такую ветвь назовем главным решением уравнения (0.2).

Теорема 1.3. Пусть у(х) — плавное решение уравнения (0.2). Для любого /л > 0 функция у^(х) представляется следующим интегралом Меллина-Барнса

1 Г

271-г)"-1 J q Г Гм+ а+Ш"-1 \<1 ' ) где а = (1, .[q].,n), ß = (q — 1, .[q].,q-п). Вектор а = (аь . [g]., ап) € R""1 берется из симплекса

U = {и Е R""1 : u:j > 0, j = 1, .[g].,n, (а, и) < ß) .

Область сходимости интеграла (0.3) секториалъная и в переменных 0 = arg а; определяется неравенствами

TCP

6V\ <—,иЕ Iq- I j0k - k9j\ < тrj, j, k E It], j < k, где Iq — набор индексов {1, .[<?]., n}.

Замечание. В случае q = n формула (0.3) была известна Меллину, однако, он гарантировал сходимость интеграла в значительно меньшей области

I ~ I KV в„\ < —, и = l,.,n- 1. In

Для того, чтобы сопоставить область сходимости интеграла (0.3) с сингулярным множеством полной (многозначной) алгебраической функции у{х), заметим, что последнее множество есть не что иное как дискрими-нантная гиперповерхность V уравнения (0.2). Рассмотрим образ V при отображении Arg : f"-1 —> xh .[д].,жп) (argrci, .[g].,arga;n).

Указанный образ называют коамебой гиперповерхности V С (по той причине, что образ V при проекции (х\, .[q].,xn) —■> (log |a;i|, log |ж„|) называют амебой для V [51]). Например, для кубического уравнения (п = 3, р = 0, q — 3) дискриминант равен

А(х) = 27 + 4x1 ~ 4х2 + 18^1^2 - х\х\, его коамеба изображена на рис. 1.1 в рамках квадрата \в\\ < тг, \02\ < 7г, а область сходимости

7Г Г

N< 3, N<y, \в2-2в1\<7Т соответствующего интеграла Меллина-Барнса — на рис. 1.2. Меллин же гарантировал сходимость лишь в области |0i| < |#2| < §.

В разделе 3 первой главы исследуется суперпозиция общих алгебраических функций. Как отмечено в [8], суперпозицию п алгебраических функций можно проинтерпретировать как п-ю координату решения системы п алгебраических уравнений „треугольного вида", причем под „треугольностью" понимается, что первое уравнение зависит только от первой неизвестной переменной, второе - от первой и второй и т.д. Такую треугольную систему запишем в виде: vT + Y. х^ ■ ■. ■ ^ - 1 = 0, i = 1, • • •, П, (0.4)

АеЛ i где в г-м уравнении суммирование ведется по множеству мультииндек-сов Аг С 'Л^ х [1,Шг — 1], Л(г) С - конечные множества. Набору показателей А = (А1,., А*) Е в г-м уравнении соответствует коэффициент х\. Вектор из коэффициентов системы далее будем обозначать х. В Теоремах 1.5, 1.6 приведены интегральная формула и ряд Тейлора для мономиальной функции у"(х)=у£1(х)-.-ур(х), ¡1г> О, составленной из координат ветви у(х) = (2/1 (ж)> ■ • • ^Уп{х)), выделенной условиями 1/1(0) = 1, г = 1,. ,п. Эту ветвь называем главным решением системы (0.4). Теоремы 1.5 и 1.6 обобщают классический результат Меллина, их итоговым следствием является

Теорема 1.7. Для главного решения системы (0-4) функция у^(х) разлагается в ряд гипергеометрического типа. Суперпозиция уп(х) общих алгебраических функций представляется в виде отношения двух рядов гипергеометрического типа.

Определение ряда гипергеометрического типа см. в П. 1.3. Во второй главе исследуется дискриминантное множество общего полиномиального преобразования

Р = (РЬ.,РП) :СП->С" пространства Сп. Будем считать, что множества А^ показателей мономов в Рг фиксированы, а все коэффициенты переменные. В таком случае будем говорить, что Р - общее полиномиальное преобразование пространства Сп.

Для большей общности будем рассматривать отображение

Р : Тп -> С", 16 где Tn = (С \ {0})" - комплексный тор, а Р\ - полиномы Лорана.

Для таких отображений обозначим через V0 множество всех коэффициентов, при которых Р имеет в Тп кратные нули, т.е. пули, в которых якобиан Р равен нулю.

Определение. Дискриминантиым множеством V отображения Р назовем замыкание мноэюества V0 в пространстве коэффициентов.

Таким образом, для нас представляет интерес система полиномиальных уравнений вида

4V = 0, г = 1,., п (0.5)

АеЛМ с неизвестными у = . ,уп) Е Тп, где А^ С Ъп - конечные подмножества, Л = (Ai,., А„), ух = у\1 • . ■ и х^ - переменные коэффициенты .

Следуя идеологии монографии И.М. Гельфанда, A.B. Зелевинско-го, М.М. Капранова [51], введенное выше дискриминантное множество V уместно назвать ,., А^)-дискриминантным множеством. В самом деле, в [51] для скалярных отображений Р : Тп —>• С было определено и исследовано так называемое А-дискриминантное множество. Отождествив конечное множество А С Zn с множеством мономов УХ '■— У11 ' - - - ' Упп> А G А там рассматривалось пространство Сл, состоящее из полиномов

P{x,y) = J2xMX а 6-4 с комплексными переменными коэффициентами х = {сса} £ ^А и показателями А Е А. При этом А—дискримипантным, множеством называется замыкание в множества всех таких коэффициентов х = {жд}, для которых система уравнений дР дР имеет решение у Е Тп; так определяемое А-дискриминантное множество обозначается Ча- Если множество Ул есть гиперповерхность (т.е. сос!нпУл(а:) = 1), то ее определяющий полином называется А-дискриминантом. Если сосЦтУл(я) > 1, то полагают Аа(^) = 1

Дискриминантное множество V = У^а) не всегда имеет коразмерность 1. Например, для общей системы п линейных уравнений дискриминантное множество V задается одновременными нулями всех миноров порядка п расширенной матрицы системы.

Во второй главе приводится параметризация „дегомогенизированно-го" дискриминантного множества, которое соответствует „приведенной" системе полиномиальных уравнений

У-1 = 0, ¿=1,.,П. (0.6) аел(0\{ш(0,0}

Например, для дискриминантного множества классического приведенного уравнения ут + Хт-1Ут-г + ■ • • + Х1У - 1 = 0. (0.7) такая параметризация имеет вид (см. [75]) т*д /</?,*)\А/™ где а = (1,., т — 1) - это вектор из показателей 1,., т — 1 мономов уравнения (0.7), а ¡3 = — (га — 1, т — 2,., 1).

Следующее утверждение показывает, что, как правило, систему (0.5) можно свести к приведенной системе (0.6).

Предложение 2.2. 1) Если для любого набора п пар А(г\ £ А^ показателей системы (0.5) определители равны нулю, гпо система (0.5) взвешенно однородная и фактически зависит от п — 1 неизвестных.

2) Если хотя бы один из определителей 5\(1 не равен нулю, то с помощью мономиалъного преобразования коэффициентов х^ системы (0.5) ее можно свести к приведенной системе (0.6).

Данное утверждение показывает, что в вырожденном случае 1) все корни из Тп кратные. В этом случае задача вычисления дискриминанта сводится к задаче о совместности системы п уравнений от п — 1 неизвестных. Этот вырожденный случай нами не рассматривается.

Множества показателей А^ \ {и/г\ 0} в системе (0.6) обозначим Л(г). Обозначим через Л дизъюнктное объединение множеств

Л«, и пусть N есть мощность множества Л, т.е. число коэффициентов в системе (0.6). Всю информацию о показателях мономов системы (0.6) удобно записать в виде матрицы

Л=(А\.,А"), столбцами которой являются векторы \к = (А^,., А^) из показателей мономов системы (0.6). Обозначим матрицу из вектор-столбцов а/1),., в (0.6) через и. По теореме об инвариантных делителях (см. [47]) существуют унимодулярпые матрицы А и В такие, что выполняется

АиВ = Вт, где — диагональная матрица с целыми тх,. ., тп на диагонали. Введем матрицу

Ф := ВО~}АК. т

Строки матрицы Ф далее будем обозначать (рх:. ,<рп. Обозначим через х^ характеристические функции подмножеств Л« С А системы (0.6); отождествим х^ с векторами, имеющими координаты Наряду с векторами ц>{ будем рассматривать векторы <р{ = ^ — ъ = 1,. ,п.

Определим алгебраическое (многозначное) отображение

А : СР"^-1 —> С^ = С'Л(1)' х ■ • • х С'л(7°' из проективного пространства в пространство коэффициентов {жл} системы (0.6), полагая где (Л-,) - ВП-'АХ.

Напомним понятие логарифмического отображения Гаусса гиперповерхности V = {/ = 0} С Т^ (см. [59] или [76]). Оно представляет собой отображение

7 : V —>• СР^"1 с координатами 7и{х) = хид/(х)/дхи. Геометрическая интерпретация 7 состоит в том, что вектор 7(ж) задает нормальную прямую к гиперповерхности Ьс^(У) в точке 1^(а;) = ., \ogXN), и эта нормаль определяет точку в СР^-1.

Основной результат второй главы составляет

Теорема 2.2. Пусть все строки матрицы Ф ненулевые и дискрими-нантпое множество V системы (0.6) неприводимо. Тогда отобраэ/сение А параметризует V. В случае, когда V есть гиперповерхность, это отобраэюение является обратным, к логарифмическому отображению Гаусса 7 : V СР*-1.

Отметим, что в Теореме 2.2 требование неприводимости дискрими-нантного множества не является существенно ограничительным. Оно равносильно тому, что какая-то группа из к < п уравнений зависит лишь от к неизвестных.

Условие коразмерности 1 для дискриминантного множества V дает следующее утверждение.

Предложение 2.3. Если все векторы щ, ф^ г = 1 , имеют ненулевые координаты, то дискриминантное множество V есть гиперповерхность.

Глава 3 диссертации посвящена применению интегральных преобразований в задачах аналитического продолжения. А именно, в ней изучаются условия голоморфного продолжения С К- г и 11 е р фу н к ц и й, заданных на произвольной вещественно аналитической гиперповерхности. Эти условия задаются в терминах логарифмического преобразования Бохнера-Мартинелли.

Рассмотривается произвольная область Г2сСп(п>1)ив ней вещественно аналитическая гиперповерхность

Г = {г 6 П : р{г) = 0}, где р — вещественно аналитическая функция такая, что Ар Ф 0 на Г. Предполагается, что Г связна и что она разбивает О, на два открытых множества = {р(г) ^ 0}.

В главе 3 исследуется задача о продолжении СД-гиперфункции, заданной на Г, в множество П+. В случае, когда Г2 = Сп, а Г - замкнутая гиперповерхность, ограничивающая область для обычных гладких на Г функций Ф указанная задача разрешима всегда, о чем свидетельствует известная теорема Бохнера-Севери. В этом случае продолжение для функции Ф в осуществляется интегральным преобразованием Бохнера-Мартинелли этой функции, суженным на При этом указанное преобразование равно нулю на и тем самым, оно вещественно аналитически продолжается в Г2+ через Г. Основной результат третьей главы (Теорема 3.6) гласит, что это свойство продолжимости преобразования Бохнера-Мартинелли является определяющим для формулировки критерия продолжимости гиперфункции с Г в Для большей общности используется логарифмическое преобразование Бохнера-Мартинелли, ассоциированное с голоморфным отображением / (в случае, когда / - тождественно, получается обычное преобразование Бохнера-Мартинелли). Указанная общность позволит нам получить признак продолжения с Г любой СЛ-гиперфункции, используя язык комплексной аналитической геометрии.

В работе используется определение гиперфункции но Мартино (см. Приложение). Гиперфункции в Rn определяются таким образом, чтобы локально они были эквивалентны аналитическим функционалам в Сп с компактными носителями из Шп. Пространства аналитических функционалов обозначаются Ä, а гиперфункций - 95.

Для определения СЯ-гиперфункций введем набор векторных полей Laß, порождающих антиголоморфную часть касательного расслоения к

Г (см. [68, п. 8]): а

1 < а < ß < п, где

1 дГ* т =»Е

N U dz>

Для компакта К С Г под действием Laß на аналитический функционал Ф Е Л'(К) будем понимать значение где (¿5 — вещественное аналитическое продолжение функции ip Е Д(Г) в некоторую окрестность Г. Результат действия Lnß(p не зависит от продолжения р в окрестность Г, так как Laß есть касательный оператор.

Пусть S — открытое подмножество гиперповерхности Г. Выберем на нем семейство координатных окрестностей Sj С S (USj = S).

Определение. Гиперфункция Ф Е Ш(Г), заданная набором гиперфункций Ф^- Е *B(Sj), удовлетворяет на S касательным условиям Коши-Римана, если для каждого представителя fj Е j((Sj) гиперфункции Ф^- выполняются включения s\ippLaßfj С dSj, 1 ^ а < ß ^ п.

Гиперфункция Ф Е ®(Г); удовлетворяющая на в С Г касательным условиям Коши-Римана, называется С Я -гиперфункцией на 5. Обозначим через Е^ разность по Минковскому а-П = {С- г : С,-г Е П}.

Пусть и — область голоморфности, содержащая Еп. Рассмотрим голоморфное отображение имеющее в и единственный нуль ги = 0 кратности /1 и сопоставим ему д-замкнутую дифференциальную форму (логарифмический дифференциал Бохнера- Мартинелли) — г)), где ш - дифференциальная форма

Бохнера-Мартинелли (см. Приложение к диссертации) = ^^ У (-1)*-1Г1^М*] А йи. v ; (2тгг)" ' \и\2п 1 J к—1

Для формулировки этой связи рассмотрим представления п к=1 с Р{к € О (и), которые получаются из разложений Хефера с учетом условий /¿(0) = 0.

Для вектор-функции А(С, = (А;[(С, г),., г)) с координатами п ¿=1 рассмотрим дифференциальную форму Копти-Фантаппье ш{< - ,, А) = (Г " !)! ТЫГ1 А ¿С. (0.8)

2«)" ¿Г <С - А(С, г)>» ^ '

Обозначим через ¡1 кратность отображения / в точке и] = 0. Теорема 3.5. Форма Коши-Фантаппъе, умноженная на крат-ностъ [1, и логарифмический дифференциал Бохнера -Мартинелли д когомологичны в области С, ф г:

МС - А(С, г)) - ш(/(С - г)) = дХ(С, г) А ¿С

Для гиперфункции Ф с компактным носителем на Г определим логарифмическое преобразование Бохнера-Мартинелли: с1а((,) — элемент поверхности Г. Заметим, что Т\Ч>](г) — вещественно аналитическая функция вне носителя Ф.

Грубо говоря, основной результата главы 3, Теорема 3.6, утверждает, что заданная на вещественно аналитической гиперповерхности С Я-гипсрфункция Ф продолжается в одну из сторон гиперповерхности тогда и только тогда, когда ее логарифмическое преобразование Бохнера-Мартинелли продолжается вещественно аналитически из другой стороны. Для более точной формулировки необходимо исчерпать область О монотонным семейством ограниченных областей и произвести локализацию заданной гиперфункции Ф на Г в виде гиперфункций Ф^- с компактным носителем на Sj+l.

Теорема 3.6. Если Ф есть С Я-гиперфункция на Г7 то для голоморфного продолжения Ф в необходимо и достаточно, чтобы продолжались вещественно аналитически из связной компоненты П Qj в для всех у.

Теорема 3.7. Если в точке р гиперповерхности Г существует росток голоморфной кривой {/х = • • • = /пх = 0}; расположенный в Г2+; то всякая СR-гиперфункция Ф на Г голоморфно продолжается в некоторую одностороннюю окрестность С этой точки.

Этот результат обобщает теорему Леви [63] и ее аналог для интегрируемых функций [35]. Последняя из упомянутых теорем утверждает, что интегрируемая С/¿-функция, заданная на дважды гладкой вещественной гиперповерхности Г голоморфно продолжается в окрестность U точки 0 6 Г, если сужение формы Леви в нуле на комплексную касательную плоскость Тд(Г) не равно тождественно нулю. Невырожденность формы Леви влечет за собой возможность коснуться гиперповерхности в нуле комплексной кривой, лежащей в области {z е Сп : g(z) > 0}, т.е. условие теоремы 3.7 выполняется. Однако, обратная импликация неверна. Это показывает следующий пример гиперповерхности

Г = {z Е С2 : p(z) = Re(z2 - zf + ki|4 + M8) - 0}.

Для нее форма Леви в точке 0 G Г тождественно равна нулю. При этом кривая 7 = {zi = t, Z2 = t2}, расположенная в области {z Е С"' : p{z) > 0} , касается Г в точке нуль, поскольку р|7 = Re(t2 - t2 + \t\4 + \t\8) = \t\4 + |i|8 > 0. Кроме того, p|7 = 0 тогда и только тогда, когда t = 0.

Таким образом, основные результаты диссертации состоят в следующем:

• Предъявлены формулы для суперпозиции общих алгебраических функций.

• Найдена параметризация дискриминантного множества общего полиномиального преобразования Сп.

• Получен критерий голоморфного продолжения С В,- гиперфункций в терминах логарифмического преобразования Бохнера-Мартинелли.

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Антипова, Ирина Августовна, Красноярск

1. Айзенберг J1.A. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Новосибирск: Наука. 1990. 246 С.

2. Айзенберг JI.A., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука. 1979. 368 С.

3. Айзенберг Л.А., Даутов Ш.А. Дифференциальные формы, ортогональные голоморфным функциям или формам, и их свойства. Новосибирск: Наука. 1975. 144 С.

4. Айзенберг Л.А., Кытманов A.M. О возможности голоморфного про-. должения в область функций, заданных на связном куске ее границы. I // Матем.сб. 1991. Т. 182. №4. С. 490-507.

5. Айзенберг Л.А., Кытманов A.M. О возможности голоморфного продолжения в область функций, заданных на связном куске ее границы. II // Матем.сб. 1993. Т. 184. №1. С. 3-15.

6. Айзенберг Л.А., Митягин Б.С. Пространства функций, аналитических в гг-круговых областях // Сиб.матем.журн. 1960. Т. 1. №2. С. 153-170.

7. Айрапетян P.A., Хенкин Г.М. Интегральные представления дифференциальных форм на многообразиях Коши-Римана и теория CR-функций // УМН. 1984. Т. 39. Вып. 3. С. 39-106.

8. Арнольд В.И. Топологические инварианты алгебраических функций. II // Функц. анализ и его прил. 1970. Т. 4. № 4. С. 1-9.

9. Вейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1973.

10. Белошапка В.К. Вещественные подмногообразия комплексного пространства, их полиномиальные модели, автоморфизмы и проблемы классификации // УМН. 2002. Т. 57. Вып. 1. С. 3- 44.

11. Васильев В.А. Топология дополнений к дискриминантам. М: ФАЗИС. 1997. XIV+538 С.

12. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука. 1964. 411 С.

13. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз. 1962. 1100 С.

14. Гельфаид И.М., Граев М.И., Ретах B.C. Общие гипергеометрические системы уравнений и ряды гипергеометрического типа // УМН. 1992. Т.47. Вып. 4. С. 3-82.

15. Гельфанд И.М., Зелевинский A.B., Капранов М.М. Гипергеометрические функции и торические многообразия // Функц. анализ и его приложения. Т. 23. Вып. 2. 1989. С. 12-26.

16. Жданов О.Н., Цих A.K. Исследование кратных интегралов Мсллина Барнса с помощью многомерных вычетов // Сиб. матем. жури. 1998. Т. 39. №2. С. 282-298.

17. Евграфо в М.А. Ряды и интегральные представления. Анализ—1. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. Т. 13. М.: ВИНИТИ. 1986. С. 5-92.

18. Егоров Ю.В., Шубин М.А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. Т. 30. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 5-255.

19. Кытманов A.M. Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения. Новосибирск: Наука. 1992. 240 С.

20. Кытманов A.M. Голоморфное продолжение интегрируемых CR-функций с части границы области // Матем. заметки. 1990. Т. 48. №2. Р. 64-71.

21. Кытманов A.M., Мысливец С.Г. О голоморфности функций, пред-ставимых формулой логарифмического вычета // Сиб. матем. журн. 1997. Т. 38, №2. С. 351-361.

22. Кытманов A.M., Никитина Т.Н. Голоморфное продолжение CR-функций с особенностями на порождающем многообразии // Изв. РАН. Сер. матем. 1992. Т. 56. №3. С. 673-686.

23. Кытманов A.M., Цих И.А. Построение гармонического представления гиперфункций, заданных на гиперповерхности // Сб. "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные мето