Интегралы Меллина-Барнса, представляющие решения алгебраических уравнений, и их множества сходимости

Зыкова, Татьяна Викторовна

Интегралы Меллина-Барнса, представляющие решения алгебраических уравнений, и их множества сходимости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Зыкова, Татьяна Викторовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Красноярск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Интегралы Меллина-Барнса, представляющие решения алгебраических уравнений, и их множества сходимости»

Автореферат диссертации на тему "Интегралы Меллина-Барнса, представляющие решения алгебраических уравнений, и их множества сходимости"

На правах рукописи

Зыкова Татьяна Викторовна

Интегралы Меллина-Барнса, представляющие решения алгебраических уравнений, и их множества сходимости

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005018596

1 2 ДПРШ

Красноярск - 2012

005018596

Работа выполнена в Институте космических и информационных технологий Сибирского федерального университета.

Научный руководитель

д-р физ.-мат. наук, доцент Антипова Ирина Августовна

Официальные оппоненты:

Сафонов Константин Владимирович, д-р физ.-мат. наук, доцент, Сибирский государственный аэрокосмический университет, кафедра прикладной математики, заведующий

Михалкин Евгений Николаевич, канд. физ.-мат. наук, доцент, Красноярский государственный педагогический университет, кафедра математического анализа и методики обучения математике в вузе, доцент

Ведущая организация

Кемеровский государственный университет

Защита состоится 27 апреля 2012 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.099.02, Сибирский федеральный университет, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79/10.

Автореферат разослан «,23ъ марта 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Интегралы Меллина-Барнса являются обратными преобразованиями Меллина для отношений произведений конечного числа гамма-функций в композициях с линейными функциями. Частные случаи этих интегралов впервые появились в работах Б. Римана, связанных с теорией гипергеометрических функций. Позднее X. Меллин1 развил их теорию, а Е. Варне2 разработал метод получения асимптотических разложений для разных классов функций, определяемых степенными рядами и интегралами. Асимптотическое поведение интеграла определяется структурой особенностей подынтегрального выражения, в частности, гамма-функций.

Интегралы Меллина-Барнса представляют гипергеометрические функции - самый обширный класс специальных функций. В недавней работе Ф. Бёйкерса3 они применяются к вычислению группы монодромии А-гипергеометрических систем дифференциальных уравнений. Кроме того, интегралы Меллина-Барнса нашли широкое применение в теоретической физике, в частности, в задачах квантовой электродинамики4.

Отдельно следует подчеркнуть роль интегралов Меллина-Барнса в теории алгебраических уравнений. Впервые такое их применение было продемонстрировано X. Меллином5 в работе 1921 года, где были найдены интегральные формулы для решения общего алгебраического уравнения. Интегральную формулу и неполную область сходимости Меллин привел без доказательства. Полное доказательство этой формулы с указанием истинной области сходимости было предъявлено И.А. Антиповой6. В работах

1 MeUiii H. Über die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy für die Theorien der Gamma und der hypergeometrischen Punktionen // Acta Soc. Sei. Fennica. 1896. V. 21. № 1. P. 1-115.

2Barnes E. W. The asymptotic expansion of integral functions defined by generalized hypergeometric series //Proc. London Math. Soc. 1907. V. 5. № 2. P. 59-116.

3Beukers F. Monodromy of A-hypergeometric functions // arXiv:1101.0493.vl [math.AG]. 3 Jan 2011.

4Aguilar J.P., Greynat D., Dc Rafael E. Muon anomaly from lepton vacuum polarization and the Mellin-Barnes representation // Phys. Rev. D 77 2008 093010 [arXiv: 0802. 2618 [hep-phl|.

5Mellin H.R. Résolution de l'équation algébrique générale à l'aide de la fonction gamma/ / C.R. Acad. Sei. Paris Sér. I Math. 1921. V. 172. P. 65&-661. '

6Антипова И.A. Обращенья многомерных преобразований Меллина и решения алгебраических уравнений // Матем. сб. 2007. Т. 198. № 4. С. 3-20.

Б. Штурмфельса7, A.K. Циха и соавторов8,9 были получены аналитические продолжения для решения общего алгебраического уравнения, описаны области сходимости гипергеометрических рядов, представляющих решение, а также взаимное расположение этих областей относительно дискриминант-ного множества уравнения.

Интегральные преобразования Меллина для решения общей системы алгебраических уравнений исследовались в ряде современных работ10,11, в которых прямое преобразование было вычислено с помощью линеаризации системы (замены переменной специального вида). Идея линеаризации алгебраического уравнения принадлежит Меллину. Ее реализация для системы алгебраических уравнений позволила получить параметризацию дис-криминантного множества общей системы п полиномов Лорана от п переменных12. Отметим, что линеаризация также используется для получения самого интеграла Меллина-Барнса, представляющего решения уравнений. В настоящее время остается актуальным дальнейшее исследование свойств линеаризации систем уравнений в связи с изучением сингулярного множества и монодромии общей алгебраической функции.

7Sturmfels В. Solving algebraic equation in terms of A-hypergeometric series // Discrcte Math. 2000. V. 210. P. 171-181.

8Семушева А. Ю., Цих А. К. Продолжение исследований Меллика о решети алгебраических уравнений // Комплексный анализ и дифференциальные операторы: Сб. науч. тр. Красноярск: КрасГУ. 2000. С. 134-146.

9Passare М., Usikh А. Algebraic equations and hypergeometric series. In the book 'The legacy of N.H. Abel". Springer-Verlag. Berlin. 2004. P. 653-672.

10Антипова И.А. Выражение суперпозиции общих алгебраических функций через гипергеометрические ряды Ц Сиб. матеы. жури. 2003. Т. 44. № 5. С. 972-980.

11Степаненко B.A. О решении системы п алгебраических уравнений от п неизвестных с помощью гипергеометрических функций // Вестник Красноярского госуниверситета. Серия физ.-мат. науки. 2003. № 2. С. 35-48.

12Антипова И.А., Цих А.К. Дискриминантное мнооюество системы п полиномов Лорана от п переменных// Изв. РАН. Сер. матем. 2012. Т. 76. № 5. С. 2S-55.

13Dixon A.L., Ferrar W.L. А class of discontinuous integrals // The Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series). 1936. V. 7. P. 81-96.

"Slater L.J. Generalized Hypergeometric Functions. Cambridge University Press. 1966. 143 P.

15Бейтмсн Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Москва: Наука. 1973.

и X. Сриваставой16, О.Н. Ждановым и А.К. Цихом17. Окончательно область сходимости многомерного интеграла Меллина-Барнса найдена М. Пассаре, А. Цихом и JI. Нильсон18.

Представляет интерес задача исследования сходимости интегралов Меллина-Барнса в граничных точках их областей сходимости. Для интегралов, представляющих решения алгебраических уравнений (систем), эта задача сопряжена с исследованием дискриминантных множеств уравнений и систем.

Цель диссертации

Целью диссертационной работы является исследование структуры множеств сходимости интегралов Меллина-Барнса, представляющих решения общей системы алгебраических уравнений, а также вычисление степени для линеаризации системы.

Методы исследования

В диссертационном исследовании применяются методы вещественного, комплексного и асимптотического анализа, а также многомерной теории функций. В частности, существенно используются теоремы обращения для многомерных преобразований Меллина. Вычисление преобразования Мел-лина мономиальной функции координат решения системы основано на линеаризации этой системы уравнений.

Научная новизна

Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены строгими доказательствами.

16Buschman R., Srivastava Н. Convergence regions for some multiple Mellin-Barnes contour integrals representing generalized hypergeometric functions // Internat. J. Math. Ed. Sei. Tech. 1986. V. 17. № 5. P. 605-609.

17Жданов O.H., Цих A.K. Исследование кратных интегралов Меллина-Барнса с помощью многомерных вычетов И Сиб. матем. журн. 1998. Т. 39. № 2. С. 281—298.

18Nilsson L. Amoebas, Discriminants, and Hypergeometrie Functions // Doctoral Thesis, Department of Mathematics. Stockholm University. Sweden. 2009.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты имеют теоретическую ценность и могут быть использованы в теориях алгебраических уравнений, гипергеометрических функций, интегральных преобразований.

Апробация работы

Результаты работы докладывались:

• на Красноярском городском семинаре по многомерному комплексному анализу (СФУ, 2010 - 2012);

• на международной научной конференции "Студент и научно-техничекий прогресс" (Новосибирск, 2007, 2011);

• на VI Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2010);

• на молодежных научных школах-конференциях "Лобачевские чтения" (Казань, 2010, 2011);

• на международной конференции "Геометрия многообразий и ее приложения" (Улан-Удэ, 2010);

• на международной школе-конференции по геометрии и анализу (Кемерово, 2011).

Публикации

Основные результаты опубликованы в 7 работах, из них 6 работ без соавторов. В изданиях, входящих в перечень ВАК, опубликованы 2 работы.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, двух глав основного текста, приложения и заключения. Список литературы содержит 40 наименований. Работа изложена на 70 страницах.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ (НШ- 7347.2010.1).

Содержание работы

Характеризуя диссертационную работу в целом, можно сказать, что она посвящена проблемам сходимости многомерных интегральных преобразований Меллина, возникающих в задачах теории алгебраических уравнений.

В первой главе диссертации исследовано множество сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение общего алгебраического уравнения. А именно, получено достаточное условие сходимости такого интеграла в граничных точках области сходимости.

Изложение начинается с краткого обзора условий сходимости одномерных интегралов Меллина-Барнса (раздел 1.1).

Главный объект исследования - многомерный интеграл Меллина-Барнса вводится в разделе 1.2. Он имеет следующий вид:

£-Хр • • ■ x;*>dz, (1)

7+Ш»

fc=l

здесь параметры Aj, Вк е 1RP, Cj, dk е R, dz = dz\... dzp, вектор у 6 W выбран так, что подпространство интегрирования 7 + iW не пересекает полюсы гамма-функций в числителе. Полагаем, что параметр х = (zi,..., хр) изменяется в римановой области над комплексным алгебраическим тором V = (С \ {0})', и

x~z- = e-z"logx", argz^eR.

Области сходимости интегралов Меллина-Барнса являются секториаль-ными: они определяются условиями на аргументы параметров х\,...,хр. Максимальная область сходимости19 интеграла (1) представляет собой прообраз Агд~1 (Р°) при отображении

Arg : Тр W, (хъ..., хр) {вг,..., 9р)

внутренности многогранника Р, гиперграни которого имеют нормальные векторы - одномерные конусы полиэдра, образованного гиперплоскостями {Aj, v) = 0, {Вк, v) = 0, v = {vv) ,vv = Imzu,v=l,...,p (Теорема 1.1).

Рассмотрим общее алгебраическое уравнение

уп + хруп' + • • • + х\уП1 -1 = 0 (2)

l9Nilsson L., цит. выше.

с комплексными коэффициентами х*, г е 7 := {1,... ,р}, п > пр > ... > п\ > 1. Интеграл Меллина-Барнса, представляющий /х-ю степень > 0) главного решения (ветви у(х) с условием 2/(0) = 1) уравнения (2), имеет вид

{2пуЛп ^+¿(^«>+1) 1 р ()

здесь тр = (п1,... ,пр), тр = (п ~ П1,... ,п ~ Пр), вектор 7 Е фиксирован и выбирается из открытого симплекса

и = {и 6 Кр : щ > 0, (ф,и) < ¡л] . (4)

Интеграл (3) сходится в секториальной области 5р°20, основание которой в пространстве аргументов #1 = а^жь ..., 9Р = а^:гр есть внутренность Р° выпуклого многогранника

Р = {0 6 Ер : 0)| < тт. < 1ЛЗ € < Л, (5)

здесь

<Р1 = пег, ^у = -п^ек + пке в1,...,ер~ базисные векторы в

Основной результат главы 1 (достаточное условие сходимости интеграла (3) в граничных точках области сходимости) содержится в разделе 1.2.3 (Теорема 1.3 и Теорема 1.4). Пусть в уравнении (2) показатели мономов подчинены условию п < 2п2, тогда среди неравенств, определяющих многогранник Р, нет лишних. В этом случае он имеет р2 +р гиперграней, которые задаются пересечением соответствующих гиперплоскостей с самим многогранником Р :

Г? = {0 6 Р : (^,0) = ±тгпг}, I 6 I

Т% = {0 6 Р: (<РЪ, в) = ±7ГП*} ,к<з,к^€1.

Теорема 1.3. Прообразы Агд~1в точек в из относительной внутренности гиперграней (6) многогранника Р принадлежат множеству сходимости интеграла (3).

Если п > 2п2) то среди неравенств (5), определяющих Р, появляются лишние, следовательно количество гиперграней многогранника Р уменьшается. Рассмотрим крайнюю ситуацию, когда многогранник Р превращается

20Антипова И.А., дит. выше.

в р-мерный параллелепипед, которая наступает при п > 2пр. Зафиксируем поднаборы Js = {ji,...,js} С J, Jt = {ji, ■ ■ -Jt] С J, Js П Jt = 0. При s = 0 считаем Js = 0, при t = 0 считаем Jt = 0- Рассмотрим грань параллелепипеда коразмерности s +1

Г {Js, Jt) = {0eP: (ipi, 0} = 7Гn,,le Js, (<Pj, 0) = -TTnh j € Jt} . (7)

Заметим, что Г( Jq, Jq) — Р.

При условии р>3,п> 2пр имеет место

Теорема 1.4. Прообразы Агд~1в точек в из относительной внутренности грани (7) многогранника Р принадлежат множеству сходимости интеграла (3), если (s, t) Е {0,1,2}2.

В заключительных разделах 1.2.4 и 1.2.5 приводится подробное описание множества сходимости интегралов Меллина-Барнса, представляющих главные решения тетраномального и пентаномиального уравнений. Рассматривается интеграл вида (3) с двумя параметрами xi,x2, представляющий ц-ю степень главного решения тетраномиального алгебраического уравнения

у" + х2уП2 + xiущ -1 = 0, п > п2 > П1 > 1. (8)

Он сходится на множестве, угловая проекция которого есть многогранник

Р = {(öi, в2) 6 К2 : |öi| < —, \в2\ < —, |niflj - n20i| < тгщ}

I Tl ТЬ '

без четырех вершин 0^),

(_m)7r (i _ 5а)) (затемненный шестиугольник с четырьмя "выколотыми" вершинами на Рис. 1).

Сопоставим множество сходимости интеграла с сингулярным множеством полной (многозначной) алгебраической функции у(х). Это сингулярное множество есть дискриминантная гиперповерхность V С Р уравнения (2).

Коамебой дискриминантной гиперповерхности V С Тр уравнения (2) называется ее образ при отобажении Arg. Например, для кубического уравнения (п = 3, п2 = 2, щ = 1)

у3 + х2у2 + %гУ -1 = 0

дискриминант равен

D(x) = 27 + 4х\ - 4х\ + ^гг -9

а его коамеба изображена серым цветом на Рис. 2 в рамках квадрата < |#г| < т- Заметим, что выделенные точки на Рис. 2 принадлежат коамебе дискриминанта Б{х). "Выколотые" вершины шестиугольника на Рис. 1 есть точки коамебы и они не входят в множество сходимости интеграла.

дискриминанта.

Рис. 1. Множество сходимости интеграла.

Рис. 2. Коамеба

Для пентаномиального уравнения (с тремя переменными коэффициентами) многогранник Р есть двенадцатигранник с восемнадцатью вершинами (см. Рис. 3). Соответствующий интеграл Меллина-Барнса сходится в прообразах почти всех граничных точек Р, за исключением шести вершин Аз, Л5, Ац, А\2, А15, А16, принадлежащих коамебе дискриминанта пентаномиального уравнения.

Вторая глава посвящена исследованию интегралов Меллина-Барнса, представляющих мономиальную функцию вектор-решения системы уравнений. Применительно к вычислению прямого преобразования Меллина моно-миальной функции найдена степень отображения, линеаризующего систему уравнений (разделы 2.2 и 2.3). Исследовано множество сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего мономиальную функцию вектор-решение системы полиномиальных уравнений специального вида (раздел 2.5).

Рис. 3. Многогранник Р : р = 3, га < 2п2. Рассмотрим приведенную систему п полиномиальных уравнений:

ІГ+Х>аУ- 1 = 0,г=1,...,п, (9)

АєЛ«

с неизвестными у = (уі, ■ ■ ■, уп) Є Тп и переменными коэффициентами дДО. д(») с - фиксированные конечные подмножества, ?/л = у^1 • ■ гщ Є г = 1,... ,п. Обозначим через Л дизъюнктное объединение множеств Л® и пусть ІУ = #Л - число коэффициентов в системе (9). Множество коэффициентов этой системы пробегает векторное пространство СЛ = С^, в котором координаты точек х = индексируются элементами А Є Л.

Посмотрим на систему (9) как на систему полиномиальных уравнений в пространстве САхГс координатами х = (ж^ и у = (уи ... ,уп). Введем в этом пространстве замену координат (£, И^) —> (х, у) следующего вида:

Ад

4ю = ЇХ п Л = (Л,) є Л», і = 1,... ,п, і

= , і = 1,..., ті. Тем самым, система (9) преобразуется в систему линейных уравнений вида

ЛеАО)

Рассматривая (9) как систему относительно неизвестных у ~ (уі,...,уп), получаем, что при замене (линеаризации) Ф : С^ —> определяемой формулами:

=^ П (1 + £ -Л=мє л(!''- *=і.....(")

3=1 V ЛєЛО) /

координаты У]{—х) решения системы (9) приобретают вид

\ АЄЛСЛ / Для системы (9), удовлетворяющей условию

У2—<1' А = (Аі) є Л,

справедлива

Теорема 2.1. Отображение Ф|н« собственное. Его степень йед Ф корректно определена и равна 1.

Как упоминалось выше, идеи Меллина были развиты для систем алгебраических уравнений в ряде современных работ. В частности, в работе И.А. Антиповой21 для мономиальной функции

1 1 і Щ > 0, (12)

составленной из координат у^(—х) решения системы уравнений (9), формально с помощью замены переменной (11), было вычислено прямое преобразование Меллина, определяемое интегралом

_у»{-х)

(г)= [——-х'-'йх, 13

и?

где X2'1 = Х^1 _1 • • • Х^-1, йх = йх\--- йхм-

Теорема 2.1 подтверждает корректность применения замены переменной (11) к вычислению интеграла (13). Результат вычислений преобразования Меллина приведены в разделе 2.4 диссертации (Теорема 2.2).

21Антипова И.А.0 мономиальной функции вектор-решения общей системы алгебраических уравнений // Вестник Красноярского госуниверситета. Серия физ.-мат. науки. 2005. № 1. С. 106-111.

В разделе 2.5 второй главы диссертации рассматривается приведенная система двух полиномиальных уравнений

2/Г + адЛ<°-1 = 0. » = 1.2.

(14)

с двумя переменными коэффициентами Х\,Х2 € С. Составим матрицы из показателей мономов системы (14):

Ф =

А'1' Л(!2)

(1) Л(2)

А'1' \?-т2

Предположим, что Л := ¿еЬ Ф > 0. Введем векторы ф^ = ^А^2', тп\ — А^ ,

= ^тг — А®, А^ , ортогональные вектор-строкам матрицы Ф. Справедлива

Теорема 2.3. Мономиалъная функция у„(1д), составленная из координат решения системы (Ц), представляется следующим интегралом Меллина-Барнса

/ Ц

7+Ж2

где полином

'(£+¿(6.*)) п*)

<3(г йгхйгг, (15)

Я{*ъгг) = —— + + М2А^2)22 - А21г2) ,

т^гпг V '

а вектор 7 € К2 выбирается из открытого множества

и = |и € : щ + {фи и) > 0, г = 1,2}.

Множество сходимости интеграла (15) в переменных в = агдх определяется неравенствами

1,2.

Основные результаты

• Для интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение общего алгебарического уравнения, получено достаточное условие сходимости в граничных точках области сходимости.

• Найдена степень отображения, линеарезующего общую систему п полиномиальных уравнений с п неизвестными.

• Получено интегральное представление типа Меллина-Барнса мономи-альной функции вектор-решения системы полиномиальных уравнений специального вида с указанием множества сходимости.

Публикации по теме диссертации

[1] Зыкова Т.В. О множестве сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение алгебраического уравнения // VI Всесибирский конгресс женщин-математиков (в день рождения C.B. Ковалевской): Материалы Всероссийской конференции / Красноярск: РИЦ СибГТУ, 2010. С. 161-164.

[2] Зыкова Т.В. О структуре множества сходимости интеграла Меллина-Барнса // Геометрия многообразий и ее приложения: Материалы научной конференции с международным участием / Улан-Удэ: Бурятский гос. ун-т, 2010. С. 23-28.

[3] Зыкова Т.В. О представлении решения алгебраического уравнения в виде интеграла Меллина-Барнса // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского: Материалы Девятой молодежной научной школы-конференции „Лобачевские чтения - 2010" / Казань: Казан, матем. об-во, 2010. Т.40. С. 139-143.

[4] Антипова И.А., Зыкова Т.В. О множестве сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решения тетраномиального алгебраического уравнения // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. 2010. Т. 3. № 4. С. 475-486.

[5] Зыкова T.B. О множестве сходимости интеграла Меллина-Барнса // Тезисы докладов Международной школы-конференции по геометрии и анализу. Кемерово, 19-26 июня 2011. [Электронный ресурс] / Кемерово: КемГУ, 2011, номер гос. per. 0321102235 (http: //www.math.kemsu.ru/kma/file/tesis/index. htm).

[6] Зыкова T.B. О преобразовании Меллина мономиальной функции вектор-решения общей системы алгебраических уравнений // Тезисы VI Уфимской международной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения посвященной 70-летию чл.-корр. РАН В.В. Напалкова / Уфа: ИМВЦ, 2011. С. 69-70.

[7] Зыкова Т.В. О сходимости интеграла Меллина-Барнса на границе его области сходимости // Вестник КемГУ. 2011. Т. 47. № 3/1. С. 199-202.

Подписано в печать 21.03.2012 Формат 60x84/16. Усл. печ. л. ^ Тираж 110 экз. Заказ 6751

Отпечатано полиграфическим центром Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041 Красноярск, пр. Свободный, 82а Тел/факс (391)249-74-81, 249-73-55 E-mail: print_sfu@mail.ru; http://lib.sfu-kras.ru

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Зыкова, Татьяна Викторовна, Красноярск

61 12-1/948

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

Зыкова Татьяна Викторовна

Интегралы Меллина-Барнса, представляющие решения алгебраических уравнений, и их множества сходимости

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физ.-мат. наук, доцент И.А. Антипова

Красноярск — 2012

Оглавление

Введение 4

Глава 1. Интегралы Меллина-Барнса и алгебраические уравнения 15

1.1 Одномерные интегралы Меллина-Барнса.......... 15

1.1.1 Условия сходимости.................. 16

1.1.2 Множество сходимости интеграла, представляющего решение триномиального алгебраического уравнения........................ 18

1.2 Многомерные интегралы Меллина-Барнса ......... 20

1.2.1 Область сходимости.................. 20

1.2.2 Интегральное представление главного решения общего алгебраического уравнения.......... 22

1.2.3 Множество сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение общего алгебраического уравнения........................ 23

1.2.4 Тетраномиальное уравнение.............. 34

1.2.5 Пентаномиальное уравнение.............. 36

Глава 2. Интегралы Меллина-Барнса и полиномиальные системы 43

2.1 Каноническая приведенная система полиномиальных уравнений............................ 44

2.2 Замена переменных и линеаризация системы........ 44

2.3 Степень отображения .................. 45

2.4 Преобразование Меллина мономиальной функции / х . 48

у \ х/

2.5 Множество сходимости интеграла, представляющего функцию ^фщ..................................................49

Приложение 59

П.1 Многогранники и многогранные конусы......................59

П.2 Общее алгебраическое уравнение..............................60

П.З Преобразования Меллина......................................61

П.4 Степень отображения..........................................62

П.4.1 Собственное отображение..............................62

П.4.2 Определение степени отображения....................62

П.4.3 Степень и интеграл......................................63

П.4.4 Форма Пуанкаре........................................64

Заключение 65

Список использованных источников 66

Введение

Интегралы Меллина-Барнса являются обратными преобразованиями Меллина для отношений произведений конечного числа гамма-функций в композициях с линейными функциями. Частные случаи этих интегралов впервые появились в работах Б. Римана, связанных с теорией гипергеометрических функций. Позднее X. Меллин [1], [2] развил их теорию, а Е. Варне в серии статей [3-5] разработал метод получения асимптотических разложений для разных классов функций, определяемых степенными рядами и интегралами. Асимптотическое поведение интеграла определяется структурой особенностей подынтегрального выражения, в частности, гамма-функций.

Интегралы Меллина-Барнса представляют гипергеометрические функции - самый обширный класс специальных функций. В недавней работе Ф. Бёйкерса [6] они применяются к вычислению группы монодромии А-гипергеометрических систем дифференциальных уравнений. Кроме того, интегралы Меллина-Барнса нашли широкое применение в теоретической физике, в частности, в задачах квантовой электродинамики [7].

Отдельно следует подчеркнуть роль интегралов Меллина-Барнса в теории алгебраических уравнений. Впервые такое их применение было продемонстрировано X. Меллином [8] в работе 1921 года, где были найдены интегральные формулы для решения общего алгебраического уравнения. Интегральную формулу и неполную область сходимости Меллин привел без доказательства. Полное доказательство этой формулы с указанием истинной области сходимости было

предъявлено И.А. Антиповой [9]. В работах Б. Штурмфельса [10], А.К. Циха и соавторов [11], [12] были получены аналитические продолжения для решения общего алгебраического уравнения, описаны области сходимости гипергеометрических рядов, представляющих решение, а также взаимное расположение этих областей относительно дискриминантного множества уравнения.

Интегральные преобразования Меллина решения для общей системы алгебраических уравнений исследовались в ряде современных работ [13], [14], в которых прямое преобразование было вычислено с помощью линеаризации системы (замены переменной специального вида). Идея линеаризации алгебраического уравнения принадлежит Меллину. Ее реализация для системы алгебраических уравнений позволила получить параметризацию дискриминантного множества общей системы п полиномов Лорана от п переменных [15]. Отметим, что линеаризация также используется для получения самого интеграла Меллина-Барнса, представляющего решения уравнений. В настоящее время остается актуальным дальнейшее исследование свойств линеаризации систем уравнений в связи с изучением сингулярного множества и монодромии общей алгебраической функции.

Проблема сходимости интегралов Меллина-Барнса привлекала внимание специалистов на протяжении последнего столетия. В одномерном случае вопрос о сходимости был решен в серии статей и монографий: А. Диксон и Б. Феррар [16], Л. Слейтер [17], Г. Бейтмен и А. Эрдейи [18]. Шаги к решению этой проблемы в многомерном случае были сделаны X. Меллином, Р. Бушманом и X. Сриваставой [19], О.Н. Ждановым и А.К. Цихом [20]. Окончательно область сходимости многомерного интеграла Меллина-Барнса найдена М. Пассаре, А. Цихом и Л. Нильсон [21].

(систем), эта задача сопряжена с исследованием дискриминантных множеств уравнений и систем [22], [23].

В диссертационном исследовании применяются методы вещественного, комплексного и асимптотического анализа, а также многомерной теории функций. В частности, существенно используются теоремы обращения для многомерных преобразований Меллина. Вычисление преобразования Меллина мономиальной функции координат решения системы основано на линеаризации этой системы уравнений.

Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены строгими доказательствами.

Изложение начинается с краткого обзора условий сходимости одномерных интегралов Меллина-Барнса (раздел 1.1).

здесь параметры Aj,Bk Е е М, dz = dzl...dzp, вектор

7 € выбран так, что подпространство интегрирования 7 + Жр не пересекает полюсы гамма-функций в числителе. Полагаем, что параметр х = (х1,...,хр) изменяется в римановой области над комплексным алгебраическим тором Тр = (С \ {0})р, и

xvZv = е argzv £ R.

Области сходимости интегралов Меллина-Барнса являются секториальными: они определяются условиями на аргументы параметров х\,... ,хр. Максимальная область сходимости [21] интеграла (0.1) представляет собой прообраз Агд~г (Р°) при отображении

Arg:Tp^RP,(xh...,xp)^(eh..., 9Р)

внутренности многогранника Р, гиперграни которого имеют нормальные векторы - одномерные конусы полиэдра, образованного гиперплоскостями (Aj,v) = 0, () = 0, v = (vv), vv — Imzv, v — 1,... ,p (Теорема 1.1).

Рассмотрим общее алгебраическое уравнение

уп + хруп<> + • • • + х1УП1 -1 = 0 (0.2)

с комплексными коэффициентами х^ г £ J := {1,. .. ,р} , п > пр > ... > щ > 1. Интеграл Меллина-Барнса, представляющий ¡1-ю степень {ц > 0) главного решения (ветви у(х) с условием у(0) = 1) уравнения (0.2), имеет вид

I V vi; yPJ \п nw, Llx-zi...x-zPdZj (о.З)

7+ЖР п п

здесь ф — (пх,..., пр), ф = (п — щ,..., п — пр), вектор 7 6 фиксирован и выбирается из открытого симплекса

и = {и е : Щ > 0, {ф, и) < ц) . (0.4)

Как доказано в [9], интеграл (0.3) сходится в секториальной области Бро, основание которой в пространстве аргументов

9\ = а^Жь ..., вр = a,тgxp есть внутренность Р° выпуклого многогранника

Р = {веШр: <<кпи <тгп,, (0.5)

здесь

щ = пеи 4>кз = —щек + пке ... ,ер - базисные векторы в Мр.

Основной результат главы 1 (достаточное условие сходимости интеграла (0.3) в граничных точках области сходимости) содержится в разделе 1.2.3 (Теорема 1.3 и Теорема 1.4). Пусть в уравнении (0.2) показатели мономов подчинены условию п < 2п2, тогда среди неравенств, определяющих многогранник Р, нет лишних. В этом случае он имеет р2 + р гиперграней, которые задаются пересечением соответствующих гиперплоскостей с самим многогранником Р :

г± = {9е Р: (Р1,6) = ±тгп1},1е^

г± = {в е Р : , 0) = ±7тпк} ,к<з, к, з е ^

Теорема 1.3. Прообразы Агд~1в точек 0 из относительной внутренности гиперграней (0.6) многогранника Р принадлежат множеству сходимости интеграла (0.3).

Если п > 2 щ, то среди неравенств (0.5), определяющих Р, появляются лишние, следовательно количество гиперграней многогранника Р уменьшается. Рассмотрим крайнюю ситуацию, когда многогранник Р превращается в р-мерный параллелепипед, которая наступает при п > 2пр. Зафиксируем поднаборы <7, = {^ь • • • Ля] С J)

— {з\т ■ ■ 5Зг} С 7, 38С\11 = 0- При в = 0 считаем Js = 0, при £ = 0 считаем ^ = 0. Рассмотрим грань параллелепипеда коразмерности

в + г

Г (Л, Ъ) = {веР: (ч>иВ)=тти I € Л, (<^,0> = -тг Е . (0.7)

Заметим, что Г( Jq, Jq) = Р.

При условии р > 3, п > 2пр имеет место

Теорема 1.4. Прообразы Агд~19 точек в из относительной внутренности грани (0.1) многогранника Р принадлежат множеству сходимости интеграла (0.3), если (s,t) G {0,1,2} .

В заключительных разделах 1.2.4 и 1.2.5 приводится подробное описание множества сходимости интегралов Меллина-Барнса, представляющих главные решения тетраномального и пентаномиального уравнений. Рассматривается интеграл вида (0.3) с двумя параметрами х\,х2, представляющий fi-ю степень главного решения тетраномиального алгебраического уравнения

уп + х2уП2 + xi уП1 -1 = 0, п>п2>п 1 > 1. (0.8)

Он сходится на множестве, угловая проекция которого есть многогранник

Р = {(0i, в2) € М2 : N < —, Щ < —, |Щв2 - Mil < тгщ) L п п J

без четырех вершин , ^f) , тг (f - l)) , (-2^, ,

(—7г (1 — (затемненный шестиугольник с четырьмя

"выколотыми" вершинами на Рис. 1).

Коамебой дискриминантной гиперповерхности V С Тр уравнения (0.2) называется ее образ при отобажении Arg. Например, для кубического уравнения (п = 3, п2 = 2, п\ = 1)

у3 + х2у2 + х\у — 1 = 0

дискриминант равен

Б{х) = 27 + 4ж? - 4х32 + 18x1^2 - х\х\,

а его коамеба изображена серым цветом на Рис. 2 в рамках квадрата 1 < 7г, < к. Заметим, что выделенные точки на Рис. 2

принадлежат коамебе дискриминанта И(х). "Выколотые" вершины шестиугольника на Рис. 1 есть точки коамебы и они не входят в множество сходимости интеграла.

1 . .. . • ...... . .

Рис. 1. Множество сходимости. Рис. 2. Коамеба дискриминанта,

интеграла.

принадлежащих коамебе дискриминанта пентаномиального уравнения.

Вторая глава посвящена исследованию интегралов Меллина-Варнса, представляющих мономиальную функцию вектор-решения системы уравнений. Применительно к вычислению прямого преобразования Меллина мономиальной функции найдена степень отображения, линеаризующего систему уравнений (разделы 2.2 и 2.3). Исследовано множество сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего мономиальную функцию вектор-решение системы

полиномиальных уравнений специального вида (раздел 2.5).

Рассмотрим приведенную систему л полиномиальных уравнений:

УТ+ £ (0-9)

АеЛ(')

с неизвестными у — (у\,..., у.„) € Тп и переменными коэффициентами АЫ С Ж™ - фиксированные конечные подмножества, Vх = У\1 ■■■Уп-, "Ч '1 = 1,...,п.

Рис. 3. Многогранник Р : р — 3. п < Ъщ,

Обозначим через Л дизъюнктное объединение множеств Л^ и пусть N = фА число коэффициентов в системе (0.9). Множество коэффициентов этой системы пробегает векторное пространство СЛ = С;}', в котором координаты точек х — (^'д^ индексируются э.;гементами Л £ Л.

Посмотрим на систему (0,9) как на систему полиномиальных уравнений в пространстве СЛ х Т" с координатами х = (^л') и у = (у\ ,.... уГ(). Введем в этом пространстве замену координат (Ц, \¥) —> (:с. у) следующего вида:

# = # П ЩШ а Л = Ш е А 1 =

^■=1 (0.10)

щ = Шр, ] = 1,.... п.

Тем самым, система (0.9) преобразуется в систему линейных уравнений вида

Е £а) = 1> ¿ =

ЛбЛ«)

Рассматривая (0.9) как систему относительно неизвестных у — (у\,... ,уп), получаем, что при замене (линеаризации) Ф : С^ —> С^, определяемой формулами:

= «?'П ( 1 + Е "" ■ А = (А^) 6 Л®, < = 1,...,«, (0.11)

;=1 V дел«) /

координаты yj{—x) решения системы (0.9) приобретают вид

и (-*(£))=(!+ Е^Г-

V ЛбЛО) / Для системы (0.9), удовлетворяющей условию

Е—<1, Л = (Лг)€Л,

справедлива

Теорема 2.1. Отображение Ф|жлг собственное. Его степень дед Ф корректно определена и равна 1.

Как упоминалось выше, идеи Меллина были развиты для систем алгебраических уравнений в ряде современных работ. В частности, в работе И.А. Антиповой [24] для мономиальной функции

1 1

-, (Лг > о,

(0.12)

у»{-х) ' у?1

составленной из координат у^{~х) решения системы уравнений (0.9), формально с помощью замены переменной (0.11), было вычислено прямое преобразование Меллина, определяемое интегралом

г-1

дх,

(0.13)

где хг~1 = х!1"1 ■ ■ ■ х^ дх = йх\ • • • дхм-

Теорема 2.1 подтверждает корректность применения линеаризации (0.11) к вычислению интеграла (0.13). Результат вычислений преобразование Меллина М —^у (г)) приведены в разделе 2.4 диссертации (Теорема 2.2).

В разделе 2.5 второй главы диссертации рассматривается приведенная система двух полиномиальных уравнений

у?* + хгу*ю -1 = 0, г = 1,2, (0.14)

с двумя переменными коэффициентами х!,х2 € С. Составим матрицы из показателей мономов системы (0.14):

Ф - ( ^ ^

~ А« \ (2) Л2 Л2

А« — ТПх

(1)

(2)

Предположим,

что

2 ~™2

Введем векторы ортогональные вектор-

Д := ¿еЬЪ > 0. / = (Ш2

строкам матрицы Ф. Справедлива

Теорема 2.3. Мономиальная функция координат решения системы (0.14), представляется следующим интегралом Меллина-Варнса

у^(-х) ■

составленная из

(2тгг)2

7+Ж2

г=1

пг+^мгы

Г I & + —(Л, г) + 1

' ГГЦ /

(5(^1, гг)^! *1х2 дг1(1г2,

(0.15)

где полином

Я{гьг2) =

77717712

ЛЛМ2 + М!^1^! + г2 - Кг\г2

а вектор 7 £ Е2 выбирается из открытого множества 11 = <Е : А4» + (Фи и) > 0, г = 1, 2} .

Множество сходимости интеграла (0.15) в переменных в = агдх определяется неравенствами

|6>г| < - [777,;

777;

ФГ.о

к -х

<—А,

ГПг

1,2.

Для удобства прочтения диссертационной работы некоторые важные понятия и вспомогательные результаты вынесены в специальный раздел "Приложение".

Глава 1. Интегралы Меллина-Барнса и алгебраические уравнения

Одним из самых ярких применений преобразований Меллина в теории алгебраических уравнений стала интегральная формула для решения общего алгебраического уравнения, найденная самим X. Меллином в 1921 году [8]. Он указал часть максимальной области сходимости интеграла Меллина-Барнса и выписал решение общего алгебраического уравнения в виде гипергеометрического ряда. Истинная область сходимости такого интеграла найдена И.А. Антиповой в работе [9]. Представляется актуальной задача исследования сходимости интегралов Меллина-Барнса в граничных точках их областей сходимости.

В настоящей главе диссертации получено достаточное условие сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение общего алгебраического уравнения, в граничных точках области сходимости.

1.1 Одномерные интегралы Меллина-Барнса

Интегралы Меллина-Барнса, зависящие от одного параметра х, имеют следующий вид

Здесь предполагается, что 7 € М, числа А,-, Вк е М, путь интегрирования представляет собой параллельную мнимой оси прямую, некоторые отрезки которой могут быть заменены дугами для обхода полюсов подынтегральной функции.

(1.1)

1.1.1 Условия сходимости

Случаи сходимости интегралов Меллина-Барнса вида (1.1) приведены в книгах [17], [18], [25], [26]. Опишем их кратко, следуя упомянутым источникам.

Введем обозначения:

s ч

« = Е (1-2)

i=i fc=i , « _

л = ci ~ И + j=l fc=l

Для исследования сходимости интеграла (1.1) используем формулу Стирлинга

Г (и + iv) ~ V^lv^-h-^, оо. (1.3)

Далее в интеграле (1.1).полагаем

z = u + iv (и, we Ж), x = rei9 (r>O,0eR).

Тогда абсолютное значение подынтегральной функции в (1.1) при больших значениях Imz — v оценивается сверху выражением

const р\ (1.4)

Возможны четыре типа сходимости интеграла (1.1). Первы�