Исследование интегралов по Rn с линейными особенностями многомерных вычетов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ (Госххмгзуз России)

ГЖЙНОЯРСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

<\>-—

Специализированный совет К064.61.01

РеикйгяЛ)?"

"сгд'Г',:-""""^^' правах рукописи

е.: 1

г -

С' . . -

Жданов Олег Николаевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГР АЛОВ'ПО С ЛИНЕЙНЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ МЕТОДАМИ МНОГОМЕРНЫХ ВЫЧЕТОВ

01.01.01.— МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КРАСНОЯРСК- 1994

Работа выполнена в Красноярском Государственном Университете Назгчи;>тйруководитель д.ф.-м.н. Цих А.К.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук, профессор Мураев Э.Б.; кандидат физико-математических наук, доцент Сафонов К.В.

Ведущая организация: Институт Математики СО РАН,г. Новосибирск

I г^^час ка

Защита состоится 9 декабря 1994 года гГ^ час Еа заседании специализированного сспетаК064.61.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Красноярском Государственном Университете ко адресу:. 660062, Красноярск, лр. Свободный, 79.

С хзксертахмсймстю ознакомиться в библиотеке Красноярского Государственного Университета.

Автореферат разослан 8 ноября 1994 года.

Ученый секретарь специализированного совета

/

л/

Е.К.Лейнартас.

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория вычетов функций одного комплексного переменного имеет многочисленные и эффективые применения. Одним го важных применений является вычисление определенных интегралов. В частности, к таким интегралам относятся интегралы следующих видов:

+оо

/

■dx, (1)

QM

— со

где F,Q — многочлены, +00

AS®, (2)

/

Q(X)

т.е. преобразования Фурье рациональных функций, и интегралы Меллина - Барнса:

т

-Т-Иоо П r(ajz+bj) - / fzi--t-*dz, (3)

Т—too

где Г ■— гамма - функция Эйлера, aj, bj, Ck,dk — вещественные числа.

Вычисление интегралов (1) - (3) основано на лемме Жордана и некоторых ее аналогах. Таге, если функция стремится к нулго при —оо, интеграл (2) равен сумме вычетов в верхней полуплой-к»сти(или со знаком минус сумме вычетов и нижней по луилоско сти).

Весьма актуальной является задача вычисления интегралов по 1R" — многомерных аналогов (1) - (3) . Тазсие многомерные интегралы встречаются во многих р ияелах математики и теоретической физики. Так, ж многомерным аналогам интегралов (1) сводятся мнопге интегралы и квантовой теории, поля, в частное ги, фейнма-новские интегралы. Интегралы вида (2) полезны при исследова-Him решений дифференциальных урашкчшй. Частные случаи интегралов вила (3) впервые появились в работах Римма, Пшпсерле и

Меллина . Барнс в серии статей, используя интегралы вида (3) , разработал метод получения асимптотических разложений для разных классов функций, определяемых степенными рядами или интегралами. Он также применил интегралы вида (3) в качестве интегрального представления решений гипергеометрического дифференциального уравнения и тем самым построил аналитическое продолжение для решений. Можно сказать, что интегралы Меллина -Барнсаоказалксь третьим подходом к изучению гипергеометрических функций: лерзые дза подхода были реализованы Гауссом как решения гхщгергеометрических дифференциальных уравнений и как суммы гипергеометричесзшх рядов.

Заметим, что в -современной ядерной физике интегралы Меллина - Варнсаиспользутотся в теории супер струн, а именно, в связи с изучением зеркальной симметрии пространств Калаби - Яо (см. статью Candelas Р.,de la Ossa Х.С., Green P.S., Parkes L. A pair of Calabi-Yau manifolds as exactly soluble superconformal theory // Nuclear Physics 1991. Б 359).

Обобщения функций гипергеометрического типа для многих переменных рассматривали Fox, Sharma, Ivhan, Srivastava, Гельфанд, Зелевкнский, Капранов, РетахБ.С. и др. Для построения многомерной теории функция гкпергеометрического типа использовались в основном два подхода. При первом подходе гипергеометрическая функция трактуется как решение системы дифференциальных уравнений в частных прокззодных, при втором — как гамма-ряд. Слабое развитие третьего подхода на основе представления гипергеометрической функции многомерным интегралом Меллина - Барнса, по-видимому, объясняется приншшиальными трудностями его вы-числешш.В работах многих авторов гипергеометрические функции многих переменных в весьма частных ситуациях определялись крат-ншш интегралами Меллина - Барнса, были получены соотношения между разными функциями гкпергеометрического типа, однако исследование общих интегралов Меллина - Барнсав литературе отсутствовало. Наконец, заметим, что потребность в формулах длл вычисления интегралов Меллина - Барнсаобъяснклась тем обстоятельством, что к ним сводятся многие интегралы, содержанок» элементарные ш специал1(Ные функции.

Цель настоящей диссертации состоит в исследовании многомерных аналогов интеграл?» (1) - (3) , характеризуемых условием

линейности множества их особенностей, т.е. интегралов

1 _ Г Р(х) (¡Х! ■ ■ ■ ^

а» П (<^,г>+с,-+«гу)

Н» П (< а^. х > + и'у-) ?=1

1 г

гг ^

7+^" П г(Ф=) = /

•«-'¿г. (3"1

(2ти)

Ч+гЯ.п

Здесь в интегралах (1') и (2') Р(я) —многочлен, < а1, х > — скалярное произведение векторов а3 и г из Е5.п, г 1 ф 0 для всех ] — 1,... ,п; з интеграле (3') Г — гамма - функция Эйлера,

п.

1/=1 п

= Ски ■ ¿V +-<?*!, .

1/=1

-- линейные функшш с вещественными коэффициентами.

Методика исследования. Кроме хорошо известных методов многомерного комплексного анализа (интегральное представление Коши-Фантаппье, формулы вычисления локального вычета), был использован специально развитый в применении к интегралам (1')~ (3') метод многомерной леммы Жордана, основанный на абстрактной лемме Жордана, недавно получеыго!® А.К.Цкхом [5].В этой лемме речь идет о вычислении интеграла по остову полиэдра П от мероморф-ной дифференциальной формы и. Лемма утверждает, что исходный интеграл равен сумме вычетов в полиэдре П, если полиэдр П и дивизоры удовлетворяют так называемым условиям согласованности и условиям Жордана (см. §0.4).

При реализации многомерной абстрактной леммы Жордана для интегралов по вещественному (мнимому) подпространству С С" возникают две трудные задачи комбинаторного и аналитического характеров, которые пришлось решить при исследовании интегралов (1') -(3').

Первая задача связана с построением полиэдра П С С", удовлетворяющего условию согласования с полярными дивизорами формы о; и имеющего остовом пространство интегрирования Еп (в одномерном случае эта задача тривиальная, т.к. вещественная прямая на комплексной плоскости является остовом всего двух полиэдров — верхней и нижней полуплоскостей, в то время как в многомерной ситуации можно предъявить континуум таких полиэдров; при этом условие согласования связано с комбинаторикой взаиморасположения дивизоров и граней полиэдра П.)

Вторая задача состоит в проверке условий Жордана, т.е. стремления к нулю при В. —» се интегралов от мероморфных. форм ^ (ра-лгкональным образом построенных по исходной форме ь.') по пересечениям граней стJ полиэдра П со сферой радиуса Д (в одномерном случае это условие состоит в том, что интеграл формы и> по полуокружности в верхней полуплоскости стрешгтся к нулю при неограниченном возрастании радиуса этой полуокружности).

Научная товизна.В диссертации впервые для исследования кратных интегралов применен метод многомерной леммы Жордана. Полученные формулы, выражающие интегралы по К" рациональных и специальных фушашй гипергеометрического типа, являются новыми. Основные результаты диссертации приводятся с подробными доказательствами.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при вычислении интегралов функций многих переменных, при построении решений систем дифференциальных уравнений с частными производными. Результаты, диссертации таюке могут быть применены к изучению многообразии Ка-лаби-Яо, имеющих важное значение » современной ядерной физике.

Апробация работы. Результаты .диссертации докладывались на следующих международных взнференциях:

— Комплексный анализ и его приложения — Николаевка, 1992;

— Теория потенциала— Кацизели, 1993;

— Сингулярности и дифференциальные уравнения — центр подготовки кадров им. Стефана Банаха при Институте Математики

Польской Академии Наук (Варшава) ,1993;

— Комплексный анализ и его приложения — Челябинск, 1994;

— Пр.псладная и индустриальная математика (Секция " Геометрическая теория функций)—Новосибирск, 1994. .

Результаты диссертации также неоднократно докладывались на научных семинарах Красноярского Государственного Университета и Института Физики им. Л.В.Киренского (1984-1994 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5], из них работы [4] и [5] в соавторстве, причем вклады соавторов приблизительно равны.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, главы 0 - предварительные сведения и основного текста - глав 1 и 2. Каждая глава разбита на пять параграфов. Диссертационная работа изложена на 83 страницах. Библиография содержит 70 наименований отечественной и зарубежной литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткое изложение содержания диссертации. В главе 0 приводятся факты, используемые в основном тексте и необходимые обозначения. Глава 1 посвящена вычислению интегралов (1') и (2') , т.е. интегралов по К™ рациональных функций с линейными особенностями и преобразований Фурье таких функций.

Сначала доказывается условие абсолютной сходимости интегралов (!') и (2'):

предложение. Если степень числителя подынтегральной формы в интегралах (1') и (2') не превосходит числа

огс1ф — п (т.е.йедР ^ ог<3 — п),

то интегралы (!') и (2') абсолютно сходятся.

(Здесь огс! С? — порядок роста на бесконечности многочлена С>{х). опредеякемыйнаимейышшпо с порядком роста многочлена С? (с!) од-лого переменного £)

В §1.2 приведена формула вычисления преобразования Фурье, т.е. интеграла {2'). Обозначим

:Р{г) ■ е'<А'г> ¿21 Л • • • А йгп и =---

П (< аз, 2 > + ¿г,-) •

3=1

дифференциальную форму, которая является юшплекспфикашсй подынтегрального выражения" в (2'). Пусть

Ьк = {г € С1 : < ак, г>+с1с-Ь 1гк = 0}

— полярные гиперплоскости формы и. Рассмотрим мнимое подпространство Е11 — 1хп С" и в нем вещественные гиперплоскости

К" :<ак,у> +гк = 0} = 1к П (г • К").

Далее, пусть

Ь = {уеЖп :<А,у>=0}. .

Предположим, что (п — 1) - мерное пространство 1х допускает раз-

т

биение 1\ = У К у на п конусов К^ так, что каждая гиперплоскость

3 = 1

1к не пересекает хотя бы один из конусов Kj, и это разбиение является полиэдральным и симплшшалышм. Определим дивизоры •Обследующим образом:

= : 1к П К5 = 0}, 7 = 1,..., П.

к

В условиях абсолютной сходимости интеграла (2') при указанных обозначешых справедлива

Те;"* г ема 1. Для иптегралй (2') имеет место формула

^(А) = ]Г тезш, (4)

а<Н{1т <А,Г > >0}

где гек и - вычет в точке а относительно системы дивизоровА

о

{£*з} (вычет Грожендика). Заметим, что полупространство

{1ш < Л, г > > 0}

можно считать вырожденным полиэдром с гранями "Щ| + ( ■ Ки его можно получить анпрокспмахшейневырожденныхполтадроз. При этом построенные дивизоры согласованы с атпфохеимирухшпоя! полиэдрами.

Формула (4) иллюстрируется примером для случая трёх переменных, чему посвяхяён §1.3. ■ Рассмотрим "интеграл:

У - 0(32 - »)(г3 - ») ■ (Х1 + + я3 - г)'

ЕЗ

где X} € К, 1,2,3.

Налрпмер, при Xj > 0 получаем формулы:

ДА) = —4тг3 • (е-<х>+л»+*»> -

где Ai, — минимальный среди Ai, Ао, А3. Аналогично вычисляются значения F(А) в других конусах, на которые разбивается пространство Е3 переменных А следующими гиперплоскосттш:

' Afc = 0, А„ = Afc = А„ -f Xj, Ai + A2 + A3 = 0.

В §1.4 рассматривается интеграл (1'), который совпадает с интегралом (2') при А = 0. Заметим, что при А —0 предельные положения гиперплоскостей ¡л заполняют все пространство К™ и, следовательно, в качестве 1\ (необходимой для полиэдрального разбиения) можно взять любую гиперплоскость I.

Поэтому приходим к следующему утверждению

ТЕОРЕМА 2. Для интеграла (1') имеет, место формула:

/ = (2тгг)п ^rescj, (5)

а ей

где res си — вычет в точке а формы.

P(z)dz1,\---Adzn

и =

П (< а',г > +Су 4- 1Т:)

относительно системы дивизоров = -(- г ■ П', а П.' —

полупространство в границей которого является 1.

Далее в §1.4 подробнее рассматривается случай двух переменных, т.е. интеграл (1') при п — 2:

-Í

P(x-i,x2)dx\dx2

(ti)

К? П + а^Х2 + ч + гг.)

Следствие. Если в подынтегральной форме -> (6)

degP<'oгdQ-2,

то интеграл (6) выражается •через локальные вычеты относительно системы дивизоров {!?+, О—} по формула-ч :

1=(2т)г- £ =-(2лч)2 • . геви, (7)

а£СхС_ аесхс+

где С± — верхняя (нижняя) полуплоскость переменного го, а дивизоры и £>_ определены условием положительности и отрицательности г^ соответственно в предположении а7-, > 0.

В §1.5 показывается, что для обратного преобразования Лапласа рациональных функций п переменных с линейными особенностями справедливы рассуждения §§1.1 -1.3, приводятся примеры.

Глава 2 посвяшена изучению кратных интегралов Меллина - Барнса, т.е. интегралов вида (3') Введем обозначения:

и = {* € (С \ {0})" ": ] аг5 Ц < V = 1,..., л, ]| агг *]| < § • а}.

В § 2.1 доказано следующее

предложение. ДляЬ € и интеграл (3') абсолютно сходится.

3 §2.2 применением интегрального представления Коши - Фантгл-пьс доказана

теорема 3. Для интеграла (3') справедлива формула обращения:

где М — некоторая окрестность точки у.

Заметим, что при п — 1 окрестность М может быть расширена до интервала, граничные точки которого последовательные полюсы функции F(2). Аналогично, для произвольного п, окрестность М ~ это многогранник образованный вещественными гиперплоасосхами

= 1тг„,г/ = (у1...уп), = {у е К." : [|у|| =.1} — единичная сфера в а",

В указанных обозначениях рассмотрим обласзь:

(3)

{х ежп : Э1{х) =-¡¿}, /¿ = о; 1,2,----

Получению формул, представляющих интегралы (3') суммами локальных вычетов, посвящен §2.3. Для простоты рассматривается случай двух, переменных (случай произвольного числа переменных отличается лишь усложнением технических деталей). Итак, рассматривается дифференциальная форма:

т

П Г(а^1 • га + а;2 ■ 22 + &,•) ^ = ---.¡'^агх Л

П Г(СЫ ' 21 + • гг + <1к) к=1

Пусть

Щ = {а;х • г1 • 22 + Ь; = -«'}> V =0,1,2,.... ,

— полярные комплексные прямые для формы и. Важной является следующая характеристика :Д = (Д1, Дг), где

т р

Предположим, чго А — ненулевой вектор. Через точку 7 проведем прямую

= ей2 :<Д,1>=< Д,7>},

имеющую Д своим нормальным вектором. Точка у делит прямую /д на лвэ. луча: !ди!д,и можно определить:

Пусть П_ — полуплоскость

{< Д,х><< Д,7 >}

с границей/д.

т р

Д1 =

/с=Х

ТЕОРЕМА 4. При сделанных предположениях справедлива формула:

* а

аеп_

гдетеьсо — вычета относительно системы дивизоров {-Оь-Ог},' «

а

ряд в правой части (9) абсолютно сходится для всех

«е(с\{о»2.

Пример. Рассмотрим интеграл:

-у-н-К2

Здесь 0 < 71 < 1, 0 < 72 < 1, а > 0—неделое. Формула (9) приводит к следующему ответу:

л (*\ _/ Е+*г • ЕИ 0 < N < Ы <

где

Е ч4кг-г(а-01

> = ) ^--—— • 1 ах ~а2-а)- —

1 , , _■> 0!1\а2\

аг!а2! 1*1/ 1

Формула (9) приобретает закоячежшй вид, если учесть формулы Еычета. Например, если дивизоры и пересекаются в каждой точке с индексом пересечения 1 (это означает, что черезкаждую тсч-иу а ~ Д (1 р! П П_ проходит лишь две прямые вида

{aji ■ zi + C.ji ■ ¿2 + bj = —у}), то

ф-г(о= E

E

(-1)

a+/3

a\p\

П

i/=i

dji dj2 bj +a

afci afc2 + /3

ílyl Йу2 bv

aj 1 aj2 + a Ofcl «fc2 bfc + /3

(10)

xí,

-i

«j2 bj + a «fc2 tfc + ¡3

■ t

i bk + ¡3 a,k\

где Д= ajl a-'2 —определитель. a/L-2

Здесь Iíjy¡ — некоторые конусы решетки ZÍ, определенные линейными неравенствами, коэффициенты которых зависят от коэффициентов линейных функций Sj = ajX • 21 + а:2 ■ z<i + bj.

Из формулы (10) , в частности, легко получается

Следствие 1. Если ajUaj2,bhCkUck2,dk рациональные числа, и каждая точка а 6 Л D% Л П_ является точкой пересечения дивизоров индекса 1, то ¿2) — алгеброиднот функция в С2.

В общем случае функция ¿2) является "логарифмо - алгеб-роидной", а именно, продетаьдиотся конечной суммой рядов вида:

Е

cp!¡n0 — вещественные числа, ¡i и l¿ — лик-гше функции ог а и ,Л, я /1 — максимальное число прямых, пересекающихся в точке а (логарифмический порядок не прс-цосхолит и — 2).