О вычислении кратных интегралов от рациональных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Бураченко Мария Викторовна

О ВЫЧИСЛЕНИИ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ОТ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2005

Работа выполнена в Красноярском государственном университете

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент

Работин Виктор Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Пензенский государственный университет

Защита состоится "19" января 2006 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета К 212.098.03 в Красноярском государственном техническом университете по адресу 660074, г. Красноярск, ул. Киренско-го, 26.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

профессор

Быков Валерий Иванович

кандидат физико-математических, доцент

Осипов Николай Николаевич

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

К В. Сафонов

1ШГ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Необходимость в вычислении интегралов от рациональных функций многих переменных возникает в различных областях математики и теоретической физики, в частности, в квантовой теории поля, например, в конце 50-х годов было обнаружено, что к ним приводятся фейнмановские интегралы. В 80-х годах было замечено, что некоторые интегралы такого типа, а именно интегралы со значениями из поля рациональных чисел, выражают топологические заряды инстантонных полей. В 90-х годах интегралы от рациональных функций, зависящие от параметров, были рассмотрены цак обобщения интегрального представления Эйлера для бета-функции в многомерной теории гипергеомегрических функций (Варченко А.Н., Гельфанд И.М. и ДР-)-

Несмотря на то, что асимптотика и характер ветвления интегралов от рациональных функций с параметрами были хорошо изучены, для многомерного случая до недавнего времени были вычислены лишь единичные примеры интегралов такого вида [2, 5].

Один из способов вычисления интегралов от рациональных функ-,ций в одномерном случае заключается в нахождении первообразной для подынтегральной функции и последующем применении формулы Ныатона-Лейбница. Для вычисления первообразной подынтегральное выражение раскладывается на простейшие дроби, для которых первообразные легко вычисляются и представляют собой рациональную либо трансцендентную функцию.

В многомерном случае, в соответствии с леммой Пуанкаре, для подынтегрального выражения интеграла, рассматриваемого как дифференциальная форма и, всегда существует (п — 1)-форма у?, удовлетворяющая свойству dip = ш, и называемая первообразнокоторая, как и в одномер-

^ОСИА^НОИАЛЬ^Я «ИКЛНОТЕКА

ном случае, раскладывается в сумму рациональной формы и "обобщенного арктангенса-логарифма" <р2- Таким образом, всякая рациональная п-форма и представляется в виде суммы с?</>1 + <1-Р2 = о>1 + и>2, где форма шг имеет рациональную первообразную (такие дифференциальные формы называются алгебраически точными).

Для алгебраически точных форм понижение кратности интегрирования по К", п > 1 производится в классе рациональных форм и достигается несколькими заменами переменных. Причем, каждая такая замена переменных есть переход к другим координатам некоторой компак-тификации X пространства К", построенной по знаменателю подынтегрального выражения. Дальнейшее вычисление интеграла основано на интерпретации множества К" в виде цепи интегрирования в этой ком-пактификации и последующем применении формулы Стокса. Для решения данной задачи оказалось удобно использовать торическую компак-тификацию пространства К", так как в этом случае функции перехода от одних локальных координат к другим являются мономами Лорана. Торическое многообразие ассоциируется с веером в пространстве сопряженном с К", который представляет собой набор конусов, удовлетворяющих определенным требованиям. Понятие веера и гладкого торического многообразия, ассоциированного с ним, ввел в 1970 г. М. Демазюр. Поз- "

же такие многообразия изучались в работах Мамфорда, Фултона, Оды, Данилова и многих других авторов. В данных работах торическое многообразие рассматривалось как обобщение аффинного пространства и определялось с помощью склейки некоторых аффинных многообразий иа (координатных окрестностей), каждое из которых является множеством смежных классов точек пространства С" = С" по некоторому отношению эквивалентности. Однако, в 1991 году М. Оден предложила интерпретировать торическое многообразие в виде факторпростран-ства некоторого открытого (по Зарисскому) подмножества аффинного

пространства по действию некоторой алгебраической группы. Данный подход к построению торических многообразий был успешно применен в работах В.В. Батырева и Д. Кокса В контексте данного подхода ториче-ское многообразие выступает как обобщение проективного пространства.

Применяя торические компактификации пространства К", А.К. Цих [7] получил формулу понижения кратности интеграла для алгебраически точной подынтегральной формы с эллиптическим знаменателем. Его метод был обобщен в совместной работе Т.О. Ермолаевой и А.К. Циха [3] на случай квазиэллиптического знаменателя.

Понижение кратности интегрирования для форм, которые не являются алгебраически точными, осуществляется только в классе алгебраических форм, и для его реализации используются многомерные вычеты [1, 6]. Например, в работах [б, 8] рассматривались случаи, когда знаменатель С} раскладывается в произведение линейных множителей над полем С, а в работе О.Н. Жданова этот результат был обобщен на случай п переменных. Важную роль при решении данной задачи играет приведение интеграла к более простому виду. Одним из способов такого упрощения является понижение порядка полюсов подынтегральной формы, которое достигается заменой исходной формы на когомологичную ей форму более простого вида. Теорема Лейнартаса-Южакова [1] позволяет понизить количество полярных дивизоров до размерности пространства, а их порядок понизить до единицы.

Однако, данные методы дают лишь теоретическую возможность для вычисления интегралов от рациональных функций, и существенной проблемой является недостаточная конструктивность самих методов. Таким образом, возникает потребность уточнить и дополнить имеющиеся методы, с тем, чтобы преобразовать их к виду, допускающему алгоритмизацию и компьютерную реализацию.

Цель исследования состоит в разработке алгоритмов вычисления

кратных интегралов от рациональных функций и реализации этих алгоритмов в системе компьютерной алгебры Maple.

Задачи исследования:

1. Разработать и реализовать алгоритм понижения кратности интеграла по R" от алгебраически точной рациональной дифференциальной формы с квазиэллиптическим знаменателем.

2. Реализовать алгоритм цилиндрического алгебраического разбиения.

3. Разработать и реализовать алгоритм простого разбиения конического полиэдра.

4. Разработать и реализовать алгоритм когомологического приведения рациональной дифференциальной формы.

5. Доказать необходимые предложения, касающиеся упрощения рациональных дифференциальных форм.

6. Реализовать расширенные алгоритмы Бухбергера построения нормальной формы и базиса Гребнера.

Основные результаты:

1. Разработан алгоритм понижения кратности интеграла по К" от алгебраически точной рациональной дифференциальной формы с ква-зиэдлиптическим знаменателем и получена его реализация в гистеме i компьютерной алгебры Maple для случаев интегрирования по Ж2 и

R3.

2. Реализован алгоритм цилиндрического алгебраического разбиения в системе компьютерной алгебры Maple.

3. Разработан алгоритм простого разбиения конического полиэдра и получена его реализация в системе компьютерной алгебры Maple.

4. Разработан алгоритм когомологического приведения рациональной дифференциальной формы и получена его реализация в системе компьютерной алгебры Maple.

5. Доказаны необходимые предложения, касающиеся упрощения рациональных дифференциальных форм.

6. Реализованы расширенные алгоритмы Бухбергера построения нормальной формы и базиса Гребнера в системе компьютерной алгебры Maple.

Методика исследования. При разработке алгоритма понижения кратности интеграла от рациональной функции использовались формулы А.К. Циха и Т О. Кочетковой. Проверка квазиэллиптичности знаменателя, осуществляемая в процессе работы этого алгоритма, потребовала привлечения алгоритма цилиндрического алгебраического разбиения, предложенного в 1973 году Г. Коллинзом, сделавшим эффективным вычислительно чрезвычайно трудоемкий алгоритм Тарского 1948 года. При описании торической комиактификации пространства Ж" существенную роль играет построение многогранника Ньютона, соответствующего знаменателю подынтегрального выражения, и двойственного ему веера. Эти построения осуществляются при помощи алгоритма Моцкина Бургера и его реализации, выполненной П. Буровским. Алгоритм когомологического приведения разработан на основе теоремы Лейнартаса-Южакова и, существенным образом, использует теорию базисов Гребнера, разработанную Б. Бухбергером.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и получены лично автором. Все рассматриваемые алгоритмы были впервые реализованы в системе компьютерной алгебры Maple 9, и, насколько известно, до сих пор не имеют аналогов в других системах.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты представ-.

ляют теоретический интерес и могут быть полезны при решении различных задач алгебры, математического анализа, теоретической физики. Практическая значимость результатов диссертации и их компьютерной реализации состоит в возможности их использования для вычисления кратных интегралов от рациональных функций, для упрощения дифференциальных форм и при решении задач теории идеалов и алгебраических систем.

Апробация работы. По материалам диссертации делались доклады

• на студенческой конференции (Красноярск, апрель 2005 г.);

• на ХЫИ Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, апрель 2005 г.);

• на городском научном семинаре по многомерному комплексному анализу при Красноярском государственном университете (2003 2005).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12]- [15].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав основного содержания, заключения, приложения и списка литературы из 43 наименований. Общее число страниц диссертационной работы - 121.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 представляется метод понижения кратности интеграла

1= / -р—йх = / —}-^...еЬп, (1)

к» вя

от рациональной алгебраически точной дифференциальной формы с квазиэллиптическим знаменателем, приводится алгоритм, и описывается

его реализация в системе компьютерной алгебры Maple 9.

Первый раздел главы 1 (нумеруется 1.1) является вводным. В нем, следуя работам А.К. Циха и Т.О. Ермолаевой [3, 4], приводятся некоторые определения и условные обозначения, необходимые для описания формулы понижения кратности интеграла. Помимо классических определений многогранника Ньютона, конуса, конического полиэдра и алгебраически точной дифференциальной формы, вводятся новые, а именно, определение квазиэллиптического полинома, обобщающее понятие эллиптического полинома, а также определение рациональной первообразной, не имеющей полюса на бесконечности, для рациональной дифференциальной формы. Далее, в разделе описывается способ сопоставления знаменателю подынтегрального выражения из интеграла (1), точнее, его многограннику Ньютона Д, торической компактификации пространства К" и формулируется теорема из [3], обеспечивающая возможность понижения кратности интеграла вида (1), в случае, когда подынтегральное выражение является алгебраически точной дифференциальной формой, знаменатель которой квазиэллиптичен и не обращается в нуль на R", а интеграл сходится абсолютно.

Более подробно, будем рассматривать интегралы вида (1), где Р (х) и Q (х) - полиномы с комплексными коэффициентами. Пусть полином Q = Q(x) = саХа = £ cctb...]aflxai.. ,ха", где под N понимается мпожество целых неотрицательных чисел. Сопоставим ему многогранник Ньютона Д — Д (Q). Напомним, что многогранником Ньютона полинома Q (х) называется выпуклая оболочка показателей мономов, входящих в этот полином с ненулевыми коэффициентами. Срезкой Qv полинома Q в направлении ковектора v £ Rn* (здесь Rn* означает сопряженное пространство к R") будем называть полином Qv = сах°-

ае Л"

где Д" = < щ 6 Д : (w, v) = min (и, v) > - грань Д в направлении и.

Определение 1. Полином Q называется квазиэллиптическим, если для любого ненулевого ковектора v С Rn* срезка Qv не обращается в нуль в торе (R\{0})n.

Далее будем считать, что знаменатель подынтегрального выражения Q в интеграле (1) является квазиэллиптическим полиномом и не обращается в нуль на R".

Обозначим символом Ед веер, двойственный многограннику Д, а Ед

- простое подразбиение веера Ед. Пусть v1,..., vd - образующие Ед (d

- число гиперграней многогранника Д), a vd+1,... ,v'ihr - векторы, добавленные в результате простого подразбиения.

Каждому вектору vk, 1 < fc < d ставится в соответствие матрица С*, = С к, = (vki, ...,vk"~' ,vk), столбцами которой служат векторы vkl, ...ji)*"-1, порождающие вместе с vk n-мерный симплициаль-ный конус в Ед. С каждой матрицей Ск свяжем биномиальную замену переменных х = уСк, которая в терминах координат запишется так: vk

Xi = Ух ... ?/„'_! Уп', г = 1, • • •, П.

На подынтегральное выражение в (1) будем смотреть как на дифференциальную форму, и записывать ее в виде

" = QtlZltdXlA---AdXn- (2)

Дифференциальная форма (2) называется алгебраически точной, если найдется рациональная (п — 1)-форма дифференциал dip, которой равен и). Форму ip, удовлетворяющую такому условию назовем рациональной первообразной для формы и).

Будем говорить, что форма ¡р не имеет, полюса на бесконечности. если для каждого 1 < k < d форма <р (уСк) не имеет полюса па гиперплоскости у„ = 0.

Введем обозначения: |i>*| = vk + ... + vk,

G± = {(in, •■•»J/n—l) € К"-1 : vK1'-1 ■... • ¿Г'1"1 £ o} .

В указанных обозначениях справедлива следующая теорема из [3]

Теорема 1. Пусть Q - квазиэллиптический полином, не обещающийся в нуль на К", и интеграл (1) абсолютно сходится. Если рациональная первообразная ip подынтегральной формы (2) не имеет полюса на бесконечности, то для интеграла (1) верна формула

i = (-1)» £ * (Д - jf ) [<р (гЛ)] (3)

где коэффициенты Sk принимают значения 0 или ±2 по формуле Sk =

(l + (-l)H).det Ck.

Раздел 1.2. посвящен описанию метода понижения кратности и представлению алгоритма, реализующего формулу Циха-Ермолаевой. В отдельные параграфы выделены описания вспомогательных алгоритмов, которые могут быть полезны и отдельно от основного алгоритма. Таковы алгоритмы проверки всех условий теоремы, а именно, алгоритмы проверки полинома на квазиэллиптичность и неравенство нулю на К™, основывающиеся на алгоритме цилиндрического алгебраического разложения, алгоритм вычисления рациональной первообразной, не имеющей полюса на бесконечности, для подынтегральной дифференциальной формы ш в случае, когда и) - алгебраически точная дифференциальная форма, и алгоритм проверки абсолютной сходимости интеграла (1). Помимо этого, представляются алгоритмы построения многогранника Ньютона и двойственного ему веера, а также алгоритм простого подразбиения этого веера. Все эти алгоритмы, за исключением алгоритмов построения многогранника Ньютона и двойственного ему веера, принадлежащих П.А. Буровскому. разработаны в рамках настоящей диссертации.

В разделе 1.3. представляется реализация основного алгоритма в системе компьютерной алгебры Maple 9 для пространств Ж2 и К3 (пакеты quasiell iptic2 и quasielliptic3), и рассматриваются примеры понижения

кратности некоторых интегралов. Заметим, что в R2, а в некоторых случаях и в К3, интегралы вычисляются до конца. Коды пакета quasielliptic3 приведены в приложении к основному тексту диссертации.

В качестве примеров вычисляются следующие интегралы по пространству R2.

Пример 1. / = 2тг.

Пример 2. / = » - JW5.

Пример 3. - I'

Пример 4. f (¿-Х^Л^У - i

Для демонстрации работы пакета программ в случае трех переменных понижается кратность следующих интегралов.

Г00 Г°° 1 , „ J , 1 níl 1.

= LL 7TWT^d,2,dyl = 2'Bt-VÍ>-

roo /»00

/oo roo

00 У-00 1 '

i dy2 dyl = 7Г2.

. + у1г + у2' + у¥у2л Пример 7- ¿ =

00 /»00 ^

+ 2/14 + J/22 + yl2 y22'

/00 1*00

Xi+r' ■ ■ - -ii>u>1=

ж

= 2 [ " „ Лу\

1-оо^/1 + у14 + у12 + у1в Глава 2 посвящена решению задачи когомологического приведения

рациональных дифференциальных форм.

Раздел 2.1. является вводным, в нем даются некоторые обозначения и формулируется теорема Лейнартаса Южакова из [1].

Более подробно, пусть С}т - неприводимые полиномы с ком-

плексными коэффициентами в С" и 5,- = {г € С" : С,(г) = 0}, 1 < У < т ~ множества нулей этих полиномов. Предполагается, что многообра-

зия Sj. 1 < j < m находятся в общем положении (то есть пересечение любых к многообразий из этого списка пусто, если к > п, и является гладким многообразием коразмерности к. если к <п).

Напомним, что две дифференциальные n-формы ииш называются когомологичными, обозначается w « ш, если существует дифференциальная (п — 1)-форма <р, такая, что ш — ш = dip. Такую дифференциальную форму ip мы будем называть когомологическим остатком приведения формы из к форме со или, проще, когомологическим остатком.

Справедлива следующая теорема из [1]

Теорема 2. Пусть Qi,..., Qm - неприводимые полиномы в С" и S} = {z € С" : Qj (z) — 0}, 1 < j < m - многообразия в общем положении. Тогда форма

P(z)dz

Id ~

где Р (г) - полином, dz = dz\ Л ... Л dzn, когомологична в С"\ (5i U ... U Sm) форме вида

V pj{z)dz

^Qn-Qi:

(5)

где Pj - полипомы и J = {ji,. ..,jk} С {1,..., тп} ,k < п.

В разделе 2.2. представляются некоторые возможности дальнейшего упрощения дифференциальной формы, а именно, доказываются два предложения.

Предложение 1. Пусть ш = Q{z)dz - рациональная дифференциальная форма, и пусть найдется переменная такая, что JQ(z)dzl -рациональная функция, тогда и» ~ 0.

Предложение 2. Пусть Р (г) - произвольный, а ,.<Зт (г)

неприводимые полиномы в С и Б] = {г Е С" : Ол (г) = 0} , 1 <

j < т. Если Р(г) = Р (г) + А (г) ф (г) и для некоторого 1 <

1=1

I ^ f

I < m существует переменная zit, такая, что J (z) ~ Pa~

циональная функция, тогда форма ui = Q^Jj*}^ (z) когомологичш в

С"\ (Si U ... U Sm) форме ш — ^-' ■

Из предложений вытекает

Следствие 1. В предположениях предложения 2, если P(z) = P(z) +

rn

^2At(z)Q,(z) и для каждого г найдется переменная zтакая, что <=1

f q^^i^q (z) ~ рациональная функция, тогда форма ш = Q^Jf^Q (г) когомологична в С"\ (Si U ... U Sm) форме ш = q^*q* (г) ■

Раздел 2.3. посвящен базисам Гребнера и нормальным формам, а также расширенным алгоритмам Бухбергера. В него включены: определения мономиального порядка, нормальной формы, базиса Гребнера и стандартного представления, введенные Б. Бухбергером; алгоритм вычисления нормальной формы полинома относительно множества полиномов и заданного мономиального порядка, алгоритм построения базиса Гребнера идеала, порожденного множеством полипомов, относительно заданного мономиального порядка. Данные алгоритмы дополнены нахождением стандартного представления исходного полинома, принадлежащего идеалу, порожденному некоторым множеством полиномов, относительно базиса Гребнера этого идеала и некоторого мономиального порядка. Далее рассмотрены некоторые возможности улучшения полученных алгоритмов, связанные с редукцией и порядком выбора полиномов, представлена реализация алгоритмов в системе Maple 9 и приведены примеры работы Мар1е-программ.

В разделе 2.4• представляется основной алгоритм, позволяющий для исходной формы (4) найти форму более простого вида (5), когомологич-ную данной, и вычислить когомологический остаток.

Раздел 2.5. посвящен описанию программного пакета DiffForm, роа-

лизующего алгоритм когомологического приведения в системе Maple 9, и примерам его работы. Коды программ данного пакета приведены в приложении диссертации.

Например, с помощью пакета DiffForm мы определяем, что форма

dw Adz w3(wz- l){w2 + z2- l)2 когомологичиа следующей сумме форм

5 z w

Т+в

ш := -- в 2 0 ,—-Тdw A dz+

(юг - 1) {w* + zl - 1)

_|--------dw/\dz-*r

Wl + Zl — 1

1 5 5 1 о 5

--w--z--z--Z 1

+_J2-6-4-12—dw A dz± —y———dw a dz.

wz—1 4.w(w' + z' — l)

Аналогичным образом доказывается, что форма

dw Adz A dv

ш i =

(w + z-wz + lУ{z + v + 1 у {ьг - 1)" когомологична нулю. Заметим, что тем самым доказывается, что форма <¿1 имеет рациональную первообразную, причем, способом, отличным от предложенного в первой главе. Выражение для этой первообразной сохраняется при работе программы под заранее указанным пользователем именем переменной.

В заключении выделены основные результаты диссертации.

В приложении приведены коды программ пакетов quasíellipticЗ и Б^АТЪгт.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] АЙЗЕНБЕРГ Л. А., ЮЖАКОВ А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979.

[2] градштейн И.С., рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: ГИФМЛ, 1963.

[3] Ермолаева Т.О., Цих А.К. Интегрирование рациональных функций по R" с помощью торических компактификаций и многомерных вычетов // Матем. сб 1996. Т. 187, вып. 9. С. 45-64.

[4] кочеткова т.о. Вычисление интегралов некоторых рациональных функций с помощью торических компактификаций. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. На правах рукописи. Красноярск. 1998.

[5] Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981.

[6] ЦИХ А. К. Многомерные вычеты и их применения. Новосибирск: Наука, 1988.

[7] ЦИХ А. К. Интегралы рациональных функций по пространству R" // ДАН СССР. 1989. Т. 307. №6. С. 1325-1329.

[8] южаков a.n. Один класс двойных интегралов, вычисляемых с помощью кратных вычетов // Изв. вузов. Математика. 1986. Вып. 9.С. 78-81.

[9] collins G.E. Quantifier elimination for real closed fields by cylindrical algebraic decomposition In Second GI Conf. Automata Theory and Firmal Languages, Kaiserslauten, volume 33 of Lecture Notes Сотр. Sci., pages 134-183. Springer, 1975.

4

(10| JlSTRAND M. Cylindrical Algebraic Decomposition - an Introduction. Technical report, Lincoping University, Sweden, 1995.

[11] mlshra b. Algorithmic Algebra. Texts and Monographs in Computer Science. Springer-Verlag, 1991.

Работы автора по теме диссертации

[12] бураченко м. Компьютерная реализация алгоритма когомологического приведения рациональной дифференциальной формы // Вестник Красноярского государственного университета / Серия физ.-мат. науки. 2005. Вып. 1. С. 81-87.

[13] бураченко м.в. Понижение кратности интеграла от рациональной функции с квазиэллиптическим знаменателем // Материалы XLIII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс'": Математика / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2005. С. 61-62.

[14] бураченко м.в. Реализация алгоритма понижения кратности инт.еграла от рациональной функции с квазиэллиптическим знаменателем // Комплексный анализ и его приложения: Тезисы докладов международной школы-конференции КубГУ, 2005. С. 19-21.

[15] бураченко М.В. Реализация расширенного алгоритма Бухбер-гера и его применение к решению задачи когомологического приведения II Практика применения научного программного обеспечения в образовании и научных исследованиях. Труды III Межвузов-

ской конференции по научному программному обеспечению. СПб. Нестор, 2005. С. 9-15.

Подписано в печать 2005 Формат 60 х 84 1/16

Бумага офсет. №1 Печать офсетная

Ус. печат. лис. 0,9 Ус. печат. лис. 0,9

Тираж 100 Заказ

Издательский центр Красноярского государственного университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

№262 72

РНБ Русский фонд

2006-4 29030

Введение

Глава 1. Понижение кратности интеграла алгебраически точной дифференциальной формы с квазиэллиптическим знаменателем

1.1. Основные определения и формулировка результата Циха-Ермолаевой

1.2. Алгоритм

1.2.1. Построение многогранника Ньютона и двойственного ему веера

1.2.2. Простое разбиение веера нормалей

1.2.3. Проверка квазиэллиптичности полинома и условия неравенства его нулю в Rn

1.2.4. Проверка абсолютной сходимости интеграла

1.2.5. Нахождение рациональной первообразной

1.2.6. Основной алгоритм

1.3. Реализация алгоритма и примеры вычислений

Глава 2. Когомологическое приведение рациональных дифференциальных форм

2.1. Теорема Лейнартаса-Южакова

2.2. Некоторые возможности упрощения числителя коэффициента рациональной дифференциальной формы

2.3. Расширенные алгоритмы Бухбергера

118 (f

2.3.1. Основные определения

2.3.2. Алгоритмы Бухбергера

2.3.3. Расширенные алгоритмы Бухбергера

2.3.4. Реализация алгоритмов и примеры вычислений

2.4. Метод когомологического приведения

2.5. Реализация и примеры вычислений

Необходимость в вычислении интегралов от рациональных функций многих переменных возникает в различных областях математики и теоретической физики, в частности, в квантовой теории поля. В конце 50-х годов было обнаружено, что к ним приводятся фейнмановские интегралы [16, 19]. В 80-х годах было замечено, что некоторые интегралы такого типа, а именно интегралы со значениями из поля рациональных чисел, выражают топологические заряды инстантонных полей [15]. В 90-х годах интегралы от рациональных функций, зависящие от параметров, были рассмотрены как обобщения интегрального представления Эйлера для бета-функции [2, 35] в многомерной теории гипергеометрических функций.

Несмотря на то, что асимптотика и характер ветвления интегралов от рациональных функций с параметрами были хорошо изучены в работах [3, 13, 16], для многомерного случая до недавнего времени были вычислены лишь единичные примеры интегралов такого вида [6, 14].

Один из способов вычисления интегралов от рациональных функций в одномерном случае заключается в нахождении первообразной для подынтегральной функции и последующем применении формулы Ньютона-Лейбница. Для вычисления первообразной подынтегральное выражение раскладывается на простейшие дроби, для которых первообразные легко вычисляются и представляют собой рациональную либо трансцендентную функцию.

В многомерном случае, в соответствии с леммой Пуанкаре, для подынтегрального выражения интеграла, рассматриваемого как дифференциальная форма и, всегда существует (п — 1)-форма ср, удовлетворяющая свойству dtp = ш, и называемая первообразной, которая, как и в одномерном случае, раскладывается в сумму рациональной формы (fi и "обобщенного арктангенса-логарифма" ср2■ Таким образом, всякая рациональная n-форма и представляется в виде суммы dipi + d(fi2 — +^2, где форма иi имеет рациональную первообразную (такие дифференциальные формы называются алгебраически точными).

Для алгебраически точных форм понижение кратности интегрирования по Rn, п > 1 производится в классе рациональных форм и достигается несколькими заменами переменных. Причем, каждая такая замена переменных есть переход к другим координатам некоторой компактификации X пространства R", построенной по знаменателю подынтегрального выражения. Дальнейшее вычисление интеграла основано на интерпретации множества Rn в виде цепи интегрирования в этой компактификации и последующем применении формулы Сток-са. Для решения данной задачи оказалось удобно использовать то-рическую компактификацию пространства Мп, так как в этом случае функции перехода от одних локальных координат к другим являются мономами Лорана. Торическое многообразие ассоциируется с веером в пространстве сопряженном с Rn, который представляет собой набор конусов, удовлетворяющих определенным требованиям. Понятие веера и гладкого торического многообразия, ассоциированного с ним, ввел в 1970 г. М. Демазюр. Позже такие многообразия изучались в работах [17, 18] и [24]-[26]. В 1973 г. в работе [37] было впервые рассмотрено торическое многообразие с особенностями, которое в последствии изучалось в монографиях Т. Оды [39] и У. Фултона [34], а также в работе В.И. Данилова [8]. В данных работах торическое многообразие рассматривалось как обобщение афинного пространства и определялось с помощью склейки некоторых афинных многообразий Ua (координатных окрестностей), каждое из которых является множеством смежных классов точек пространства С" = по некоторому отношению эквивалентности. Однако, в 1991 году М. Оден [27] предложила интерпретировать торическое многообразие в виде факторпростран-ства некоторого открытого (по Зарисскому) подмножества афинного пространства по действию некоторой алгебраической группы. Данный подход к построению торических многообразий был успешно применен в работах В.В. Батырева и Д. Кокса [28]-[30] и [32]. В контексте данного подхода торическое многообразие выступает как обобщение проективного пространства.

Применяя торические компактификации пространства Rn, А.К. Цих [21] получил формулу понижения кратности интеграла для алгебраически точной подынтегральной формы с эллиптическим знаменателем. Его метод был обобщен в совместной работе Т.О. Ермолаевой и А.К. Циха [10] на случай квазиэллиптического знаменателя.

Понижение кратности интегрирования для форм, которые не являются алгебраически точными, осуществляется только в классе алгебраических форм, и для его реализации используются многомерные вычеты [1, 7, 13, 20]. Например, в работах [20, 23] рассматривались случаи, когда знаменатель Q раскладывается в произведение линейных множителей над полем С, а в работе О.Н. Жданова [11] этот результат был обобщен на случай п переменных. Важную роль при решении данной задачи играет приведение интеграла к более простому виду. Одним из способов такого упрощения является понижение порядка полюсов подынтегральной формы, которое достигается заменой исходной формы на когомологичную ей форму более простого вида. Теорема Лейнартаса-Южакова [1] позволяет уменьшить количество полярных дивизоров знаменателя формы до размерности пространства, а их порядок понизить до единицы.

Однако, данные методы дают лишь теоретическую возможность для вычисления интегралов от рациональных функций, и существенной проблемой является недостаточная конструктивность самих методов. Таким образом, возникает потребность уточнить и дополнить имеющиеся методы, с тем, чтобы преобразовать их к виду, допускающему алгоритмизацию и компьютерную реализацию.

Цель исследования состоит в разработке алгоритмов вычисления кратных интегралов от рациональных функций и реализации этих алгоритмов в системе компьютерной алгебры Maple 9. Задачи исследования были следующие: разработать и реализовать алгоритм понижения кратности интеграла по пространству Мп от алгебраически точной рациональной дифференциальной формы с квазиэллиптическим знаменателем; реализовать алгоритм цилиндрического алгебраического разбиения; разработать и реализовать алгоритм простого разбиения конического полиэдра; разработать и реализовать алгоритм когомологического приведения рациональной дифференциальной формы; доказать необходимые предложения, касающиеся упрощения рациональных дифференциальных форм; реализовать расширенные алгоритмы Бухбергера построения нормальной формы и базиса Гребнера.

При разработке метода понижения кратности интеграла от рациональной функции использовались формулы А.К. Циха и Т.О. Ермолаевой [10]. Проверка квазиэллиптичности знаменателя, осуществляемая в ходе этого метода, потребовала привлечения алгоритма цилиндрического алгебраического разбиения, предложенного в 1973 году Г. Коллинзом [31], сделавшим эффективным вычислительно чрезвычайно трудоемкий алгоритм Тарского 1948 года. При описании торической компактификации пространства Rn существенную роль играет построение многогранника Ньютона, соответствующего знаменателю подынтегрального выражения, и двойственного ему веера. Эти построения осуществляются при помощи алгоритма Моцкииа-Бургера [22] и его реализации, выполненной П. Буровским [4]. Алгоритм когомологического приведения разработан на основе теоремы Лейнартаса-Южакова [1] и, существенным образом, использует теорию базисов Гребнера, разработанную Б. Бухбергером [5].

Перейдем к непосредственному описанию содержания диссертации.

В главе 1 представляется метод понижения кратности интеграла

1 = f 7Tf\dx = [ о!'1.^ • • • *°п> С0-1)

J Q{X) J Q{xxn)

IR." R.n от рациональной алгебраически точной дифференциальной формы с квазиэллиптическим знаменателем, приводится алгоритм, и описывается его реализация в системе компьютерной алгебры Maple 9.

Первый раздел главы 1 (нумеруется 1.1) является вводным. В нем, следуя работам А.К. Циха и Т.О. Ермолаевой [9, 10, 12], приводятся некоторые определения и условные обозначения, необходимые для описания формулы понижения кратности интеграла. Помимо классических определений многогранника Ньютона, конуса, конического полиэдра и алгебраически точной дифференциальной формы, вводятся новые, а именно, определение квазиэллиптического полинома, обобщающее понятие эллиптического полинома, а также определение рациональной первообразной, не имеющей полюса на бесконечности, для рациональной дифференциальной формы. Далее в разделе описывается способ сопоставления знаменателю подынтегрального выражения из интеграла (0.1), точнее, его многограннику Ньютона Д, торической компактификации пространства Мп и формулируется теорема из [10], обеспечивающая возможность понижения кратности интеграла вида 8

0.1), в случае, когда подынтегральное выражение является алгебраически точной дифференциальной формой, знаменатель которой ква-зиэллиптичен и не обращается в нуль на Мп, а интеграл сходится абсолютно.

Более подробно, будем рассматривать интегралы вида (0.1), где Р (х) и Q (х) - полиномы с комплексными коэффициентами. Пусть полином Q = Q(x) = 52 с<*яа = X) Саъ.,апха1 • • , где под ai,.,a„)eN™

N понимается множество целых неотрицательных чисел. Сопоставим ему многогранник Ньютона А = А (Q). Напомним, что многогранником Ньютона полинома Q (х) называется выпуклая оболочка показателей мономов, входящих в этот полином с ненулевыми коэффициентами. Срезкой Qv полинома Q в направлении ковектора v £ Шп* (здесь Шп* означает сопряженное пространство к Rn) будем называть полином Qv = саХа, где Av = IweA : (w,v) = min (u,v) > - грань A абД" I J в направлении v.

Определение 0.1. Полином Q называется квазиэллиптическим, если для любого ненулевого ковектора v € Жп* срезка Qv не обращается в нуль в торе (R\ {0})п.

Далее будем считать, что знаменатель подынтегрального выражения Q в интеграле (0.1) является квазиэллиптическим полиномом и не обращается в нуль на ]Rn.

Обозначим символом Ед веер, двойственный многограннику А, а Ед - простое подразбиение веера Ед. Пусть v1,., vd - образующие Ед (d - число гиперграней многогранника А), а vd+1,. ,vd+r - векторы, добавленные в результате простого подразбиения.

Каждому вектору vk, 1 < k < d ставится в соответствие матрица Си = Ck^kn-ik = (vkl,.,vkn~\vk), столбцами которой служат векторы vkl, .,vkn~l, порождающие вместе с vk n-мерный симплициаль-ный конус в Ед. С каждой матрицей С к свяжем биномиальную замену переменных х = уСк, которая в терминах координат запишется так: vfcl vk xi — Ul • ■ • Уп-1 Уп 5 ^ = ' • • ' П'

На подынтегральное выражение в (0.1) будем смотреть как на дифференциальную форму, и записывать ее в виде

LJ=^1,'",Xn\dx1A.Adxn. • (0.2)

Ц/ (^1, ., хп)

Дифференциальная форма (0.2) называется алгебраически точной, если найдется рациональная (п — 1)-форма ср, дифференциал dip которой равен uj. Форму </?, удовлетворяющую такому условию, назовем рациональной первообразной для формы и).

Будем говорить, что форма ip не имеет полюса на бесконечности, если для каждого 1 < k < d форма (р (уСк) не имеет полюса на гиперплоскости уп = 0.

Введем обозначения: |i>fc| = + . +

2/ь.)Ы)6К?1-1:2/1 1 -.-PL I 1

В указанных обозначениях справедлива следующая теорема из [10].

Теорема 0.1. Пусть Q - квазиэллиптический полином, не обращающийся в нуль на Шп, и интеграл (0.1) абсолютно сходится. Если рациональная первообразная <р подынтегральной формы (0.2) не имеет полюса на бесконечности, то для интеграла (0.1) верна формула

I = (-1)" £ 3* ( [ - [ )[v (!/с*)] L=o, (0.3) k— 1 \J G+ JG—J где коэффициенты Sk принимают значения 0 или ±2 по формуле Sk = l + (-l)H).detCfc.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Разработан алгоритм понижения кратности интеграла по Мп от алгебраически точной рациональной дифференциальной формы с квазиэллиптическим знаменателем и получена его реализация в системе компьютерной алгебры Maple для случаев интегрирования по Е2 и К3.

2. Реализован алгоритм цилиндрического алгебраического разбиения в системе компьютерной алгебры Maple.

3. Разработан алгоритм простого разбиения конического полиэдра и получена его реализация в системе компьютерной алгебры Maple.

4. Разработан алгоритм когомологического приведения рациональной дифференциальной формы и получена его реализация в системе компьютерной алгебры Maple.

5. Доказаны необходимые предложения, касающиеся упрощения рациональных дифференциальных форм.

6. Реализованы расширенные алгоритмы Бухбергера построения нормальной формы и базиса Гребнера в системе компьютерной алгебры Maple.

Заключение

1. Айзенберг Л. А., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979.

2. Алякринский А.А., Цих А.К. Интегрирование некоторых рациональных функций по Еп // Комплексный анализ и дифференциальные уравнения. Краснояр. ун-т. Красноярск, 1996. С. 3-15.

3. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Монодромия и асимптотика интегралов. М.: Наука, 1984.

4. Буровский П. А. Алгоритм Моцкина-Бургера и вычисление выпуклых оболочек точек п -мерного пространства // Вестник КГУ / Серия физ.-мат. науки. 2005. №1. С. 85-92.

5. Бухбергер Б. Базисы Гребнера. Алгоритмический метод в теории полиномиальных интегралов / В кн. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. Ред. Б. Бухбергер, Дж. Коллинз, P. JIooc. М.: Мир, 1986. С. 331-372.

6. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: ГИФМЛ, 1963.

7. Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. В 2-х т. М.: Мир, 1982.

8. Данилов В.И. Геометрия торических многообразий // УМН. 1978. Т. 33. С. 85-134.

9. Ермолаева Т.О. Некоторые примеры вычисления кратных интегралов рациональных функций с помощью торических компактификаций // Комплексный анализ и дифференциальные уравнения. Краснояр. ун-т. Красноярск, 1996. С. 68-78.

10. Кочеткова Т.О. Вычисление интегралов некоторых рациональных функций с помощью торических компактификаций. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. На правах рукописи. Красноярск. 1998.

11. JlEPE Ж. Дифференциальное и интегральное исчисление на комплексном аналитическом многообразии. М.: ИЛ, 1961.

12. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981.

13. Сергеев А.Г. Теория твисторов и классические калибровочные поля // Монополи: Топологические и вариационные методы. Сб. статей 1983-1989 г.г. М.: Мир, 1989. С. 492-555.

14. Фам Ф. Введение в топологические исследования особенностей Ландау. М.: Мир, 1967.

15. Хуа Р., Теплиц В. Гомологии и фенмановские интегралы. М.: Мир, 1969.

16. Цих А. К. Многомерные вычеты и их применения. Новосибирск: Наука, 1988.

17. Цих А. К. Интегралы рациональных функций по пространству Еп // ДАН СССР. 1989. Т. 307. ^6. С. 1325-1329.

18. Черников С. Н. Линейные неравенства / С.Н. Черников. М.: Наука, 1968.

19. Южаков А.П. Один класс двойных интегралов, вычисляемых с помощью кратных вычетов // Изв. вузов. Математика. 1986. №9. С. 78-81.119

20. Южаков А.П., Южаков О.И. Двойственные базы гомологии, в торическом многообразии // Комплексный анализ и математическая физика. Краснояр. ун-т. Красноярск, 1998. С. 257-264.

21. Audin М. The Topology of Torus Action on Symplectic Manifolds. Basel Boston Berlin: Birkhauser-Verlag, 1991.

22. Batyrev V. Quantum cohomology rings of toric manifolds // Journees de geometrie algebrique d'Orsay. Asterisque. 1993. V. 218. P. 9-34.

23. Batyrev V. Dual polyhedra and mirror symmetry for Calabi-Yau hypersurfaces in toric varieties // J. Algebraic Geom. 1994. V. 3. P. 493-535.

24. Batyrev V., Cox D. On the Hodge structure of projective hypersurfaces in toric varieties // Duke Math. J. 1994. V. 74. P. 293-338.

25. Collins G.E. Quantifier elimination for real closed fields by cylindrical algebraic decomposition. In Second GI Conf. Automata Theory and Firmal Languages, Kaiserslauten, volume 33 of Lecture Notes Сотр. Sci., pages 134-183. Springer, 1975.

26. Cox D. The homogeneous coordinate ring of a toric variety // J. Algebraic Geom. 1995. V. 4. P. 17-50.

27. Demazure M. Sous-droupes algebriques de rang maximum du groupe de Cremona I j Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1970. V. 3. № 4. P. 507-588.

28. Fulton W. Introduction to Toric Varieties. Princeton: Princeton Univ. Press, 1993.

29. Gelefand I.M., Kapranov M.M., Zelevinsky A.V. Generalized Euler Integrals and A-Hypergeometric Functions // Advances in Math. 1990. V.84. P. 255-271.

30. Jistrand M. Cylindrical Algebraic Decomposition an Introduction. Technical report, Lincoping University, Sweden, 1995.

31. Kempf G., Knudsen F., Mumford D., Saint-Donat B. Toroidal embeddings, I. Lect. Notes Math. № 339. Springer-Verlag, 1973.

32. Mishra B. Algorithmic Algebra. Texts and Monographs in Computer Science. Springer-Verlag, 1991.

33. Oda T. Convex Bodies and Algebraic Geometry. Berlin: Springer-Verlag, 1988.

34. Работы автора по теме диссертации

35. Бураченко М. Компьютерная реализация алгоритма когомологического приведения рациональной дифференциальной формы // Вестник КГУ / Серия ф из .-мат. науки. 2005. №1. С. 81-87.

36. Бураченко М.В. Реализация алгоритма понижения кратности интеграла от рациональной функции с квазиэллиптическим знаменателем // Комплексный анализ и его приложения: Тезисы докладов международной школы-конференции. КубГУ, 2005. С. 19-21.