Вариационные меры в теории интеграла тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.518.126

0030В70ВЗ

Жеребьёв Юрий Александрович ВАРИАЦИОННЫЕ МЕРЫ В ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА

Специальность 01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2006

003067063

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.А. Скворцов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.К. Захаров

кандидат физико-математических наук, доцент K.M. Нараленков

Ведущая организация: Саратовский государственный

университет им. Н.Г. Чернышевского

Защита диссертации состоится 16 марта 2007 г. в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 16 февраля 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ,

доктор физико-математических

профессор Cjj^ yj ^J l^P Т.П. Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Данная работа является исследованием в области теории меры и интеграла. В настоящей диссертации изучаются различные свойства вариационных мер ( сг-конечность, абсолютная непрерывность, теоремы Радона-Никодима и др.), а также обобщенно абсолютно непрерывные функции множества — так называемые BACGs -функции. При помощи полученных результатов выводятся как известные, так и новые дескриптивные характеристики некоторых кратных интегралов хенстоковского типа.

Основоположником дескриптивного подхода к введению интеграла является А. Лебег. Хорошо известна теорема Лебега о том, что функция точки является неопределенным интегралом Лебега на отрезке [a, b] тогда и только тогда, когда она абсолютно непрерывна на этом отрезке. Эта теорема допускает также обобщение на многомерный случай1. Вообще определение, полностью описывающее класс функций, являющихся неопределенными интегралами в каком-либо смысле, называется дескриптивным. Довольно быстро после появления интеграла Лебега выяснилось, что несмотря на свою общность этот интеграл не восстанавливает неизвестную первообразную по известной конечной производной, не охватывая тем самым интеграл Ньютона (неопределенный интеграл). Это обстоятельство послужило толчком для дальнейшего развития теории функций действительного переменного в направлении поиска концепций интегрирования, более общих по сравнению с суммированием по Лебегу, которые бы восстанавливали первообразную по точной конечной производной. Первый интеграл, восстанавливающий первообразную, был построен А. Данжуа в 1912 г.2,3 и стал называться узким интегралом Данжуа. В том же году Н.Н. Лузин охарактеризовал все неопределенные узкие интегралы Данжуа4.

Определение А. Функция /: [а, 6] R называется АС*-функцией на множестве Ес[а, &]', если для любого е > О существует 7?>0, такое, что для любого конечного набора неперекрывающихся отрезков

1 Сакс С. Теория интеграла. М.: 2004.

-Denjoy Л. Une extension de l'intégrale de M. Lebesgue // C. R. Acad. Sci. Paris. 1912, 154, P. 859-862.

3Denjoy A. Calcul de la primitive de la fonction dériveé la plus générale // C. R. Acad. Sci. Paris.

1912, 154, P. 1075-1078.

iLusin N. Sur les propriétés de l'intégrale de M. Denjoy // C. R. Acad. Sci. Paris. 1912, 155,

P. 1475-1477.

{[tij,i;i]}J=1 с концами G Е суммарной длины - щ) < 1]

i—1

справедливо неравенство

р i=1

где w(f,[ui,vi\) обозначает колебание функции / на отрезке [щ,иЦ. Если множество Е пусто либо одноточечно, то по определению считается, что / является ЛС-функцией на Е. Непрерывная функция

/: [а, 6] К называется АСС*-функцией на отрезке [a, b], если спра-

+ 00

ведливо представление [a, b] = |J Еп, где / является АС-функцией

п=1

на каждом множестве Еп.

Теорема А (Лузин). Функция F: [а,£>] R является неопределенным узким интегралом Данжуа тогда и только тогда, когда она является АСС*-функцией на отрезке [а, 6].

Теорема А позволяет сформулировать следующее дескриптивное определение узкого интеграла Данжуа.

Определение В. Функция /: [о, Ь] R, принимающая значения из расширенной действительной прямой R, интегрируема по Данжуа в узком смысле (D*-интегрируема), если существует АСС?*-функция F: [а, Ъ] R, такая, что F'(x) = f(x) почти всюду на отрезке [а,Ь]. Функция F называется неопределенным D*-интегралом функции /, а ее приращение F(b)—F{a) — Б*-интегралом функции f по отрезку [а,Ь].

Из определения В вытекает, что всякая £)*-интегрируемая функция необходимо конечна почти всюду. Чуть позже в работах О. Перрона0 и О. Бауэра6 был предложен еще один интеграл, восстанавливающий первообразную, который стал называться интегралом Перрона. Однако впоследствии выяснилось, что узкий интеграл Данжуа и интеграл

5 Perron О. Über den Integralbegriff // Sitzber. Heidelberger Akad. Wiss. Abt. 1914, A16, P. 1-16.

8 Bauer ff. Der Perronsche Integralbegriff und seine Beziehung zum Lebesgueschen // Monatshefte Math. Phys. 1915, 26, P. 153-198.

Перрона эквивалентны7,8'9'10. Эквивалентные определения интеграла Перрона были предложены также С. Саксом11 и А. Бардом12.

Таким образом, к середине 20 в. в теории обобщенных интегралов было построено несколько эквивалентных концепций интегрирования, приводящих к восстановлению первообразной по известной точной конечной производной. Определения интегралов, а также большинство утверждений построенной теории, использовали специфику действительной прямой, что сильно ограничивало возможности приложения данных интегралов в анализе по сравнению с интегралами Римана и Лебега. Это обстоятельство обусловило развитие теории интеграла во второй половине 20 в. в направлении обобщения уже построенной одномерной теории на многомерный случай.

В 1952 г. Я. Маржиком было предложено определение кратного интеграла Перрона^ с помощью которого ему удалось доказать теорему Фубини для указанного многомерного интеграла13. Однако дальнейшие шаги в этом направлении сопровождались слишком большими трудностями, чтобы можно было говорить о применении этих многомерных конструкций где-то еще. В 1957 г. Я. Курцвейлем было предложено определение интеграла римановского типа14. Чуть позже Р. Хен-сток независимо от Курцвейля также определил указанный интеграл и в одномерном случае доказал его эквивалентность интегралу Перрона15' 16. Собственно говоря, это обстоятельство определило то, что в настоящее время за этим интегралом закрепилось название интеграл Курцвейля-Хенстока. На многомерный случай результат Хенсто-

7Hake H. Über de la Vallée-Poussins Ober- und Unterfunktionen einfacher Integrale und die Integraldefinition von Perron // Math. Ann. 1921, 83, P. 119-142.

8Aleksandroff P. Über die Äquivalenz des Perronschen und des Denjoyschen Integralbegriffes jj Math. Zeitschr. 1924, 20, P. 213-222.

s Alebandroff P. L'intégration au sens de M. Denjoy considérée comme recherche des fonctions primitives ¡¡ Матем. Сборник. 1924, 31, С. 463-476.

laLooman H. Ueber die Perronsche Integraldefinition // Math. Ann. 1925, 93, P. 153-156.

11 Сакс С. Теория интеграла. M.: 2004.

12 Ward AJ. The Perron-Stieltjes integral // Math. Zeitschr. 1936, 41, P. 578-604.

"Marth J. Základy theorie integrálu v euklidovvch prostoreh // Casopis Peät. Mat. 1952, 77, АП, P. 1-51, 125-145, 267-300.

14 Kurzweil J. Generalized ordinary differential equations and continuous dependence on a parameter // Чехословацкий математический журнал. 1957, 7(82), ЛЧ, С. 418-446.

lsHenstock R. A new descriptive definition of the Ward integral // J. London Math. Soc. 1960, 85, P. 43-48.

wHensiock R. Definitions of Riemann type of the variational integrals // Proc. London Math. Soc. ser. 3. 1961, 11, №13, P. 402-418.

ка был перенесен К. Осташевским в 1985 г.17 Именно римановский подход к введению указанных интегралов, предложенный Курцвейлем и Хенстоком, стал тем самым решающим шагом, позволившим в конечном итоге при помощи определения интеграла Курцвейля-Хенстока перенести большинство известных одномерных результатов на многомерный случай, а также существенно упростить доказательство многих результатов теории кратного интеграла Перрона. Разумеется, возник вопрос о возможности перенесения дескриптивного определения обсуждаемых интегралов на многомерный случай. Видно, что определение класса ACG* -функций существенно зависит от специфики прямой, поэтому основной проблемой в этом направлении являлась проблема поиска такого определения обобщенной абсолютной непрерывности функции множества, которое бы не зависело от размерности пространства, в одномерном случае было бы эквивалентно определению ACG* -функции и вместе с тем полностью описывало бы класс всех кратных интегралов Курцвейля-Хенстока (или. что то же самое, кратных интегралов Перрона). Таким определением, как недавно выяснилось, является понятие ACGs-функции, введенное Р. Хенстоком18. В 1990 г. независимо Чу Туан Сенгом19 и Р. Гордоном20 была доказана следующая теорема.

Теорема В (Chew Tuan Seng, Gordon). Функция F: [а,Ь] —R

является неопределенным интегралом Курцвейля-Хенстока тогда и только тогда, когда она является ACGs -функцией на отрезке [а, &].

Теорема В позволяет сформулировать еще одно дескриптивное определение узкого интеграла Данжуа, эквивалентное определению В.

Определение С. Функция / : [а, 6] —> R называется D*-интегрируемой на отрезке [а, 6], если существует ACGs -функция F: [а, Ъ\ —>• M, такая, что F'{x) — f(x) почти всюду на [а,Ь]. Функция F называется неопределенным D*-интегралом функции f, а ее приращение F(b) — F(a) — D*-интегралом функции f по отрезку [а, Ь].

17 Ostaszewski K.M. Henstock integration in the plane // Mem. Amer. Math. Soc. 1986, 63, .V353, P. 1-106.

18Henstock R. Theory of Integration. London: 1963.

10 Chew Tum Seng. On the equivalence of Henstock-Kurzweil and restricted Denjoy integrals in E" // Real Analysis Exchange. 1989/90, 15, Ш, P. 259-268.

20 Gordon R.A. A descriptive characterization of the generalized Ricmann integral // Real Analysis Exchange. 1989/90, 15, №1, P. 397-400.

Из определения С также вытекает, что всякая 1>*-интегрируемая функция в смысле этого определения необходимо конечна почти всюДУ-

Наконец, только в начале 21 в. Ли Туо-Йеонгу удалось распространить теорему В на многомерный случай21'22. Это оказалось возможным в связи с бурным развитием теории вариационных мер (см. определение 2.3 ниже).

Теорема С (Lee Tuo-Yeong). Пусть на множестве всех m-мерных интервалов, содержащихся в некотором т.-мерном интервале I, задана аддитивная функция F. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1 ) функция F является неопределенным■ кратным интегралом Курц-вейля-Хепстока;

2) вариационная мера p¡ абсолютно непрерывна на m-мер-ном интервале I относительно меры Лебега;

3) F является ACG¡ -функцией на m -мерном интервале I.

Вместе с тем развитие теории ортогональных рядов потребовало построения интегралов, более общих по сравнению с узким интегралом Данжуа и интегралом Перрона. В конце 60-х годов 20 в. В.А. Скворцовым был определен двоичный интеграл Перрона, решающий задачу восстановления коэффициентов всюду сходящихся рядов по системам Хаара и Уолша23'24'25'26. Аналогом двоичного интеграла Перрона для мультипликативных систем являются V-ичные интегралы Перрона. В 1977 г. А. Пакеманом был определен двоичный интеграл Курцвейля-Хенстока27. Аналогичным образом определяется V-ичный интеграл Курцвейля-Хенстока, при этом двоичный ин-

21 Lee Tuo-Yeong. A full descriptive definition of the Henstock-Kurzweil integral in the Euclidean space // Proc. London Math. Soc. 2003, 87, №3, P. 677-700.

22Lee Tuo-Yeong. Some full descriptive characterizations of the Henstock-Kurzweil integral in the Euclidean space // Czech. Math. J. 2005, 55(130), P. 625-637.

23 Скворцов В.А. О рядах Хаара, сходящихся по подпоследовательностям частичных сумм // ДАН СССР. 1968,183, ЛЧ С. 784-786.

24Скворцов В.А. Некоторое обобщение интеграла Перрона // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1969, №1, С. 48-51.

гъ Skvortsov V.A. Generalized integrals in the theory of trigonometric, Haar and Walsh series // Real Analysis Exchange. 1986/87, 12, ЛП, P. 59-62.

'26Skvortsov V.A. Nonabsolutely convergent integrals in the problem of recovering the coefficients of orthogonal series // Banach Center publication. 2002, 56, P. 107-117.

27Pacquement A. Détermination d'une fonction au moyen de sa dérivée sur un réseau binaire // C. R. Acad. Sei. Paris, ser. A,B. 1977, 284, №6, P. 365-368.

теграл Перрона является частным случаем V -ичного интеграла Перрона. а двоичный интеграл Курцвейля-Хенстока — частным случаем "Р-ичного интеграла Курцвейля-Хенстока. В 1985 г. К. Осташев-ским была доказана эквивалентность кратного двоичного интеграла Перрона кратному двоичному интегралу Курцвейля-Хенстока и кратного V-ичного интеграла Перрона кратному Р-ичному интегралу Курцвейля-Хенстока соответственно17. Наконец, в 1991 г. Р. Гордоном была получена дескриптивная характеристика двоичного интеграла Курцвейля-Хенстока на отрезке [0,1] в терминах ACG¿-функций28, подобная теореме В, а Б. Бонжорно, Л. Ди Пьяццей и В.А. Скворцовым в предположении ограниченности последовательности натуральных чисел V была получена дескриптивная характеристика Т'-ичных интегралов Курцвейля-Хенстока также на отрезке [0,1] в терминах абсолютной непрерывности соответствующих вариационных мер'29'30, аналогичная утверждению 2) теоремы С. Рассмотрению дескриптивных характеристик кратных интегралов хенстоковского типа, аналогичных теореме С, посвящена данная диссертация. Исследования в этом направлении активно ведутся и в настоящее время.

Актуальность данной темы определяется еще и тем, что интегралы хенстоковского типа находят все более широкое применение в смежных разделах математики, таких как: гармонический анализ, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, случайные процессы и ДР.

Цель работы. Исследовать свойства а -конечных вариационных мер относительно различных дифференциальных базисов. Охарактеризовать абсолютно непрерывные вариационные меры посредством класса BACGs -функций. Найти в явном виде производные Радона -Никодима абсолютно непрерывных вариационных мер, рассмотренных относительно различных дифференциальных базисов. Использовать указанные результаты для получения дескриптивных характеристик некоторых кратных интегралов хенстоковского типа, включая кратный Р-ичный интеграл Курцвейля-Хенстока, в терминах BACGs -функций и абсолютно непрерывных вариационных мер, а также для

28Gordon R.A. The inversion of approximate and dyadic derivatives using an extension of the Henstoek integral // Real Analysis Exchange. 1990/91, 16, №l, P. 154-168.

29Bongiorno В., Di Piazza L., Skvortsov V. A. On variational measures related to some bases // J. Math. Anal, and Appl. 2000, 250, №2, P. 533-547.

30Bongiorno В., Di Piazza L., Skvortsov V. A. The Ward property for a P-adic basis and the P-adic integral // J. Math. Anal, and Appl. 2003. 285, P. 578-592.

характеризации класса функций обобщенной д-вариации УСС?* в терминах а-конечности соответствующих вариационных мер.

Методы исследований. В работе использованы не только классические методы теории меры и теории функций действительного переменного, но также развиты новые и современные методы теории интеграла, в частности, метод характеризации интегралов с помощью вариационных мер, определяемых относительно различных дифференциальных базисов.

Научная новизна. Главные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказано, что производной Радона--Никодима абсолютно непрерывной вариационной меры, построенной по аддитивной функции 'Р-ичпого интервала относительно 'Р-ичного базиса, где последовательность натуральных чисел V ограничена, является модуль обычной (в смысле Сакса) Р-ичной производной функции при этом вариационные меры, рассмотренные относительно той же функции ^ и р-регулярных V-ичных базисов, совпадают с исходной вариационной мерой для всех значений параметра регулярности р.

2. Доказано, что аддитивная функция F, заданная на т-мерных V-ичных интервалах, является неопределенным кратным V-ич-ным интегралом Курцвейля-Хенстока тогда и только тогда, когда вариационная мера, построенная по этой функции, относительно Р-ичного базиса абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, при этом последовательность V также предполагается ограниченной.

3. Доказано, что аддитивная функция Р1, заданная на ш-мерных V -ичных интервалах, является неопределенным кратным 'Р-ич-ным интегралом Курцвейля-Хенстока тогда и только тогда, когда .Р является ТАСС^ -функцией (последовательность V ограничена).

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер и является вкладом в теорию интегралов хенс-токовского типа. Полученные результаты могут найти применение в теории меры и интеграла, теории ортогональных рядов, теории случайных процессов.

Аппробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством академика

П.Л. Ульяновад.ф.-м.н., профессора М.К. Потапова, д.ф.-м.н., профессора М.И. Дьяченко, д.ф.-м.н., профессора В.А. Скворцова и д.ф.-м.н., профессора Т.П. Лукашенко в 2006 г., на семинарах по теории функций под руководством д.ф.-м.н., профессора В.А. Скворцова, д.ф.-м.н., профессора Т.П. Лукашенко и к.ф.-м.н. А.П. Солодова в 2003 — 2006 гг., а также на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" в 2003 г., 12-й и 13-й Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" в 2004 и 2006 гг., XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова в 2004 г., Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова в 2004 г., IV Международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения" в 2006 г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 9 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 183 наименования. Общий объем диссертации составляет 157 страниц (из них 144 страницы — текст диссертации и 13 страниц — список литературы).

Краткое содержание диссертации

Во введении содержится обзор исследований по тематике настоящей диссертации.

В первой главе вводятся основные понятия. Дается определение дифференциального базиса, формулируются определения основных классов дифференциальных базисов: базисы Перрона, ВР -базисы, базисы Витали, базисы макшейновского типа, базисы со свойством Витали, базисы со свойством Варда, базисы обладающие свойством разбиения. В таблице § 1.1 приводятся примеры конкретных дифференциальных. базисов, наиболее важными из которых являются полный базис и Т-ичный базис Вр. Затем в §1.2 вводятся различные виды производных и производных чисел функции множества относительно дифференциального базиса. Наконец, в § 1.3 кратко приводятся определения и формулировки некоторых теорем общей теории меры,

необходимые для дальнейшего изложения, включая понятия умеренной, полуумеренной и полуконечной меры. Всюду далее через В будет обозначаться дифференциальный базис, а через Ф — класс В-множеств.

Вторая и третья главы являются основными.

Во второй главе определяется вариационная мера и изучаются основные свойства этого класса мер.

В параграфе 2.1 даётся определение вариационной меры в произвольном метрическом пространстве.

Определение 2.3. Пусть в метрическом пространстве X задан дифференциальный базис Витали В. Тогда со всякой функцией В-мно-жества Р: Ф Е и непустым множеством ЕсХ можно связать величины = зир £ Им)| И У{В,Р,Е) = ЫУаг(В6,

т (1,м)етг 6

Р, Е), где яиргетит берется по всем разбиениям тг на множестве Е, согласованным с $(•), а тйтит — по всем функциям 6:Е —>■ (0, -Ьоо). По определению считается У{В,Р, 0) = 0. Функция множества Уаг (Д[, Г, •) называется 5-вариацией, а функция V(В, Р, •) — вариационной мерой, построенной по функции Р, относительно базиса В.

Затем доказываются наиболее общие свойства вариационных мер о том, что вариационная мера является внешней метрической, а значит, борелевской мерой, обсуждается вопрос о представимости всякой умеренной борелевской меры в К"1 в виде вариационной меры, что позволяет сделать вывод о том, что класс вариационных мер в Жта содержит в себе класс всех мер Лебега-Стилтьеса.

Параграф 2.2 посвящен изучению свойств, связанных с ег-ко-нечностыо вариационных мер. Основными результатами данного параграфа являются следствие 2.3 и теорема 2.6, характеризующие классы о--конечных вариационных мер относительно базисов макшейновс-кого и перроновского типов.

Следствие 2.3. Пусть на непустом подмножестве Е сепарабельно-го метрического пространства (X, (Г) задан дифференциальный базис макшейновского типа В, являющийся базисом Витали, и функция В-множества -» М. Вариационная мера У(В,Р,•) является умеренной (конечной) борелевской мерой в (компактном) метричес-

ком пространстве (Е,й) тогда и только тогда, когда она полуконечна в этом пространстве.

Приводится пример, показывающий, что условие сепарабельности пространства X в следствии 2.3 отбросить нельзя. Из следствия 2.3 вытекает также, что в отличие от общей ситуации в сепарабельных метрических пространствах классы а -конечных и полуконечных вариационных мер относительно некоторого базиса макшейновского типа, являющегося базисом Витали, совпадают. В компактных же метрических пространствах вообще не существует а -конечных вариационных мер относительно описанного класса базисов, принимающих бесконечные значения.

В теореме 2.6 рассматриваются базисы Перрона В, удовлетворяющие следующим условиям:

а) всякое Б-множество М имеет непустую внутренность 1пЬ М;

б) каждая граничная точка, принадлежащая В-множеству М, является точкой положительной нижней плотности для М.

Из этих условий вытекает, в частности, измеримость по Лебегу всех таких В-множеств М.

Теорема 2.6. Пусть на непустом Ра -множестве Е С1т задан дифференциальный В Г-базис Перрона и Витали В, удовлетворяющий условиям а) и б), и функция В -множества Г: Ф —» М. Вариационная мера \Г{В, Г, ■) сг -конечна на множестве Е тогда и только тогда, когда она а-конечна на каждом компактном множестве КС Е меры ц(К) = 0.

В параграфе 2.3 изучаются различные свойства, абсолютно непрерывных вариационных мер (имеется ввиду абсолютная непрерывность относительно меры Лебега в Ет). Показывается, что абсолютная непрерывность вариационной меры, рассмотренной относительно дифференциального базиса В, влечет ее конечность, умеренность, полуумеренность либо а -конечность в зависимости от пространства, на котором эта мера рассматривается, и от свойств дифференциального базиса В (следствия 2.5, 2.6). Затем доказывается вариационный аналог теоремы Банаха-Зарецкого (теорема 2.8). Наконец, основными результатами §2.3 являются теоремы 2.11 .и 2.12, для различных видов дифференциальных базисов в Ет устанавливающие связь между абсолютной непрерывностью вариационных мер и классом обобщенно абсолютно непрерывных функций множества — ВАСС^-функций.

Определение 2.5. Пусть на непустом множестве ЕсШ.т задан дифференциальный базис Витали В, у которого В-множества измеримы по Лебегу. Функция В-множества Р: Ф —> Е называется ВАС$-функцией на множестве Е, если для любого е > 0 существуют функция 5 : Е —(0,+оо) и г) > 0, такие, что для любого разбиения

{(ана множестве Е, согласованного с £(■), со свойством р

<г\ справедливо неравенство

¿=1

■ Х>(М-)|<е. ¡=1

По определению считается, что всякая функция В-множества F: Ф —>

М является ВАС$-функцией на пустом множестве. Наконец, функция

В-множества Р: Ф —> Е называется ВАСО$-функцией на множест-

+00

ее Е С Ет, если справедливо представление Е = У Еп, где Р яв-

П=1

ляется В АС^ -функцией на каждом множестве Еп. Если при этом множество Е является ^-множеством, а множества Еп можно выбрать компактными, то такие функции будут называться ВАСС^Е]-функциями.

Теорема 2.11. Пусть на непустом множестве ЕсШт задан дифференциальный базис макшейновского типа В, являющийся базисом Витали, В -множества которого измеримы по Лебегу и имеют границу нулевой меры либо замкнуты. Вариационная мера \Г(В, Р, •), построенная по функции В-множества Р : Ф Ж, абсолютно непрерывна на (компактном.,) множестве Е тогда и только тогда, когда Р является В АС С ¡-функцией (В АС ¡-функцией) на Е, при этом множества Еп, на которых Р является ВАС^ -функцией, можно выбрать открытыми в Е.

Теорема 2.12. Пусть на непустом измеримом по Лебегу множестве Е С Кт задан дифференциальный базис Витали В, удовлетворяющий условиям теоремы 2.6, В-множества которого замкнуты либо имеют границу нулевой меры. Вариационная мера У(В,Р,-}, построенная по функции В -множества Р: Ф -> Ж, абсолютно непрерывна на множестве (Ра -множестве) Е тогда и только тогда, когда .Г является В АС О ¡-функцией (В АС(7 ¡[Е] -функцией) на

E, при этом справедливо представление Е = (J Еп, где F явля-

П=1

ется ВАС& -функцией на каждом множестве Еп, множества Еп (п = 2,3,...) компактны, а мноэюество Е\ является G¡-множеством в Е меры ß(E{) = 0.

Параграф 2.4 посвящен посвящен доказательству теорем о производных Радона-Никодима вариационных мер относительно различных дифференциальных базисов. В чуть более общем случае дается новое доказательство (см. доказательство теоремы 2.14) известного результата о производной Радона-Никодима абсолютно непрерывной вариационной меры, рассмотренной относительно произвольного дифференциального В F -базиса Перрона и Витали в Rm , обладающего свойством Витали31,32,33. Основной результат главы 2 и §2.4 содержится в теореме 2.15 о производной Радона-Никодима абсолютно непрерывной вариационной меры, рассмотренной относительно Р-ичного базиса. Этот результат является новым. Параллельно в теореме 2.15 формулируется аналогичный известный результат для абсолютно непрерывной вариационной меры относительно полного базиса21, и приводится упрощенное доказательство этого результата Ли Туо-Йеонга.

Теорема 2.15. Пусть задана аддитивная функция В-интервала

F, где В обозначает один из дифференциальных базисов Вкн или Bv с ограниченной последовательностью V. Вариационная мера V{B, F, ■ ) абсолютно непрерывна на измеримом по Лебегу множестве ßclm (в случае V-ичного базиса вместо Кт рассматривается единичный куб [0,1]т) тогда и только тогда, когда функция |íg(a;)| является производной Радона-Никодима для V(B, F, ■), т.е. для каждого измеримого по Лебегу множества X С Е справедливо равенство

V(B,F,X) = (L)J\F"B\dp, (1)

X

при этом вариационные меры V(BP,F,-) и V(B,F, •) совпадают для всех ре(0,1].

31 Bongiorno В., Vetro Р. Un teorema sulla rappresentazione degli integrali // Rend. Cire. Mat. Palermo. Ser. 2. 1979, 28, ЛН, P. 33-36.

32Bongiorno В. Essential variation. Measure Theory Oberwolfach 1981 // Lect. Notes in Math. 945, P. 187-193. Berlin: Springer-Verlag, 1981.

33Di Piazza L. Variational measures in the theory of the integration in Km // Czech. Math. J. 2001, 51(126), ЛП, P. 95-110.

Завершается §2.4 доказательством теоремы о производной Радона-Никодима абсолютно непрерывной вариационной меры, рассмотренной относительно некоторого класса базисов макшейновского типа (теорема 2.16). Теорема 2.16 также является новой.

Наконец, третья глава касается приложений вариационных мер в теории интеграла и содержит главные результаты данной диссертации.

В параграфе 3.1 доказаны теоремы, характеризующие сг-конечные вариационные меры относительно полного базиса, заданные на отрезке действительной прямой, посредством подкласса функций обобщенной д-вариации УВС* (д ^ 1) и, наоборот, класс всех УВС*-функций охарактеризован с помощью некоторого класса вариационных мер, более широкого по сравнению с а-конечными вариационными мерами (теоремы 3.3 и 3.4).

В параграфе 3.2 определяется интеграл Курцвейля-Хенстока относительно произвольного дифференциального базиса В, обладающего свойством разбиения, ЮИв-интеграл, и доказываются его основные свойства.

В параграфе 3.3 выводятся дескриптивные характеристики кратного 'Р-ичного интеграла Курцвейля-Хенстока (теоремы 3.7 и 3.8), являющиеся главными результатами настоящей диссертации. Эти результаты являются новыми. Параллельно в теоремах 3.7 и 3.8 формулируются известные дескриптивные характеристики кратных интегралов Курцвейля-Хенстока21'22, и приводится их упрощенное доказательство.

Теорема 3.7. Пусть В обозначает один из дифференциальных базисов

вкч

или В?, где поогедовательность V ограничена. Аддитивная функция В -интервала Р является неопределенным КИв -интегралом тогда и только тогда, когда вариационная мера У(В,Р, •) абсолютно непрерывна на т-мерном интервале /о (в случае V-ичного базиса рассматривается V -ичный интервал Iо).

Теорема 3.8. Пусть В обозначает один из дифференциальных базисов В™ или Вг, где последовательность V ограничена. Аддитивная функция В -интервала Р является неопределенным )СНв -интегралом тогда и только тогда, когда Р является ВАСб^/о] -функцией на т -мерном интервале /о (в случае V -ичного базиса Вр рассматривается V -ичный интервал 1о ).

Автор выражает благодарность своему научному руководителю

доктору физико-математических наук, профессору В. А. Скворцову за плодотворные обсуждения поставленных задач и постоянную поддержку.

Работы автора по теме диссертации

1. Жеребьев Ю.А., Скворцов В.А. О производной Радона-Никоди-ма для вариационной меры, построенной по двоичному базису // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2004, №5, С. 6-12.

Лемма 7 принадлежит В.А. Скворцову, остальные результаты — Ю.А. Жеребьёву.

2. Жеребьев Ю.А. VBG*-функции и cr-конечные вариационные меры // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2005, №6, С. 17-22.

3. Жеребьев Ю.А. О дескриптивной характеризации многомерного двоичного интеграла Курцвейля-Хенстока с помощью вариационной меры // Труды XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова — М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2004, т. 1, С. 93-96.

4. Skvortsov V., Zherebyov Y. On classes of functions generating absolutely continuous variational measures If Real Analysis Exchange. 2004/05, 30, №1, C. 361-372.

Теорема 2 принадлежит B.A. Скворцову, остальные результаты — Ю.А. Жеребьёву.

5. Жеребьев Ю.А. О дескриптивной характеристике двоичного многомерного интеграла Курцвейля-Хенстока // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции - Воронеж: ВГУ, 2003, С. 97.

6. Жеребьев Ю.А. ACGs-функции и кратный интеграл Данжуа-Перрона // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы — Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2004, С. 82-83.

7. Жеребьев Ю.А. Характеристика и -конечных вариационных мер при помощи УВО* -функций //' Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, база отдыха Ростовского госуниверситета "Лиманчик", 5-11 сентября 2004 г. - Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦВВР", 2004, С. 103-104.

8. Жеребьев Ю.А. О достаточном условии а -конечности вариационной меры // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы — Саратов: ООО Изд-во "Научная книга", 2006, С. 68-69.

9. Жеребьев Ю.А. Вариационные меры и -функции относительно макшейновского базиса // XIV Международная конференция "Математика. Экономика. Образование". IV международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Труды. — Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦВВР", 2006, С. 26.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж)00 экз- Заказ № Ц,

Введение

1 Вводные понятия.

1.1 Дифференциальные базисы.

1.2 Производные и производные числа относительно дифференциальных базисов.

1.3 Некоторые сведения из общей теории меры.

2 Вариационные меры.

2.1 Определение вариационной меры и некоторые её свойства.

2.2 (Т-конечные вариационные меры.

2.3 Абсолютно непрерывные вариационные меры.

2.4 Теоремы Радона-Никодима для вариационных мер.

Данная работа является исследованием в области теории меры и интеграла. В настоящей диссертации изучаются различные свойства вариационных мер (сг-конечность, абсолютная непрерывность, теоремы Радона-Никодима и др.), а также обобщённо абсолютно непрерывные функции множества — так называемые BACGs-фушцт. При помощи полученных результатов выводятся как известные, так и новые дескриптивные характеристики некоторых кратных интегралов хенстоковского типа. Эти интегралы являются более общими по сравнению с интегралом Лебега и находят применение в теории ортогональных рядов в связи с задачей восстановления коэффициентов всюду сходящихся рядов Фурье по различным ортогональным системам. С обзора исследований, связанных с поиском дескриптивных характеристик указанных интегралов, начинается данная диссертация.

В 1901г. в заметке [74] А. Лебег определил, а затем в своей диссертации [75] и монографии [148] развил понятие интеграла Лебега, которое во многом определило дальнейшее развитие анализа 20 в. Столь широкое распространение в анализе интеграл Лебега получил благодаря совокупности всех своих свойств, выгодно выделяющих его среди остальных концепций интегрирования. Но вместе с тем суммирование по Лебегу обладает некоторыми недостатками, один из которых был выявлен довольно быстро после появления самого интеграла. Выяснилось, что, несмотря на большую общность по сравнению с определённым интегралом Римана, интеграл Лебега не решает задачу восстановления неизвестной первообразной по известной производной, пе охватывая тем самым интеграл Ныотона (неопределённый интеграл). Задача о восстановлении первообразной заключается в следующем. Известно, что функция /: [а, Ь] —У М является точной производной некоторой, вообще говоря, неизвестной, функции F: [а,Ъ] М. Требуется построить такой процесс интегрирования функции /, который бы восстанавливал первообразную F на отрезке [а, 6] с точностью до константы. Стандартные примеры, показывающие, что интеграла Лебега для решения этой задачи недостаточно, основаны на построении всюду дифференцируемой функции, не являющейся абсолютно непрерывной. Рассмотрим функцию

Она, очевидно, дифференцируема всюду на отрезке [—1,1], поэтому всякая функция вида F+ С, где С — некоторая константа, является первообразной для производной

7Г 2тт 7Г . .

О при х = 0.

Вместе с тем функция / не суммируема на отрезке [—1,1], так как не суммируема функция cos Дг. Поиск интегралов, решивших бы задачу восстановления первообразной, породил в начале 20 в. ряд исследований, выделившихся в итоге в отдельную ветвь действительного анализа под названием "теория интеграла".

В 1912 г. А. Данжуа в заметке [21] предложил процесс интегрирования, названный им тпотпализацией, решающий поставленную задачу. Кратко опишем, в чём заключается тотализация по Данжуа. Сначала, основываясь на понятии интегрируемости в несобственном смысле по Гарнаку ([44]), по правилу, описанному Данжуа, строится трансфинитная последовательность интегралов {Da}a^l+h где ш 1 в соответствии с общепринятой символикой обозначает порядковое число, соответствующее множеству всех порядковых чисел, отвечающих конечным либо счётным множествам (см. [147, гл. 1, §4]), причём Do-интеграл является интегралом Лебега. В итоге оказывается, что каждый последующий Д*-интеграл является более общим по отношению ко всем предыдущим интегралам из указанной последовательности. Затем даётся определение функции, тотализируемой по Данжуа. Оно фактически заключается в наложении определённых требований на структуру множества точек несуммируемости1 тотализируемой функции /, позволяющих в конечном счёте построить трансфинитную последовательность {-fala^wj+i вложенных замкнутых множеств PQ, каждое из которых представляет собой множество точек Д*-неинтегрируемости функции /, причём множество Рр нигде не плотно во всех множествах Ра при а<(5. Далее при помощи принципа стационарности Кантора-Бэра (см. [155], [15G]) доказывается, что, начиная с некоторого j, все множества Ра пустые. Это обеспечивает Д^+1-интегрируемость функции /. Значение Д^+х-интеграла функции / сам Данжуа называл тпотпалом функции /. Д^+х-интеграл называется узким интегралом Даиэюуа, а приведённое определение интегрируемости (то-тализируемости) — конструктивным определением узкого интеграла Данжуа. Во второй заметке [22] А. Данжуа сформулировал основные свойства построенного им интеграла: непрерывность неопределённого интеграла, равенство производной неопределённого интеграла значению тотализируемой функции почти всюду на отрезке [а, Ь], а также главное свойство — всякая точная конечная производная тотализируема, причём неопределённый узкий интеграл Данжуа этой производной является её первообразной. Таким т.е. тех точек отрезка действительной прямой, в любой окрестности которых функция не суммируема образом, интеграл, построенный французким математиком, решает задачу восстановления первообразной по точной конечной производной. Доказательства результатов, сформулированных в заметках [21] и [22], содержатся в работах [23] и [24]. Несмотря на то, что узкий интеграл Данжуа восстанавливает первообразную по точной конечной производной, конструктивное определение обладает существенным недостатком. Оно громоздко и использует достаточно специфический аппарат теории множеств. Это обстоятельство сильно осложняет дальнейшую работу с этим интегралом, а значит, ограничивает область приложения данного интеграла в анализе.

В том же 1912 г. Н.Н. Лузин в заметке [96] охарактеризовал класс функций, являющихся неопределёнными узкими интегралами Данжуа.

Определение А. Функция /: [а,Ь] —R называется АС*-функцией на множестве Ес[а,Ь], если для любого £>0 существует г]> 0, такое, что для любого конечного набора неперекрывающихся отрезков {[щ, щ}}^ с концар ми суммарной длины ~ иг)<г] справедливо неравенство г=1 р ui,Vi])<£, i—1 где [щ, г;*]) обозначает колебание функции / на отрезке [щ,У{]. Если множество Е пусто либо одноточечно, то по определению считается, что / является АС-функцией на Е. Непрерывная функция /: [а, Ъ] R называется ACG*-функцией на отрезке [а,Ь], если справедливо представление 00 a, b) = [J Ет где / является АС*-функцией на каждом множестве Еп.

71=1

Лузин вводил класс -функций несколько другим способом, не содержащим в явном виде понятия абсолютной непрерывности. Определение А является в настоящее время общепринятым в теории интеграла определением указанного класса функций и эквивалентно первоначальному лузинс-кому определению. Оно было предложено С. Саксом в монографии [158] и основано на подходе А.Я. Хинчина [63] к введению понятия обобщённой абсолютной непрерывности.

Теорема А (Лузин, [96]). Функция F: [a,b] —> R является неопределённым узким интегралом Данжуа в смысле конструктивного определения тогда и только тогда, когда F является АСС*-функцией на отрезке [а, Ъ].

Теорема А позволяет дать следующее эквивалентное определение.

Определение В. Функция /: [а, Ь] —> R, принимающая значения из расширенной действительной прямой R, интегрируема по Данжуа в узком смысле (D*-unmezpupyeMa), если существует ACG-функция F: [а,Ь] —)• R, такая, что F'{x) = f(x) почти всюду на отрезке [а, 6]. Функция F называется неопределённым 0*-интегралом функции /, а её приращение F(b) — F(a) — Б*-иптегралом функции f по отрезку [а,Ъ].

Из определения В вытекает, что всякая D"-интегрируемая функция необходимо конечна почти всюду. Определение В называется дескриптивным определением и именно оно будет взято за основное определение узкого интеграла Данжуа на отрезке, поскольку гораздо проще конструктивного определения. Доказательство теоремы А изложено в диссертации Н.Н. Лузина, опубликованной в книгах [151] и [152].

Вообще определения или утверждения, описывающие класс неопределённых интегралов функций, интегрируемых в каком-либо смысле, в теории интеграла называются дескриптивными. Этого правила мы будем придерживаться в настоящей диссертации.

Другой интеграл, решающий задачу восстановления первообразной, был определён в работах О. Перрона и О. Бауэра. В отличие от Данжуа О. Перрон положил в основу своего определения интеграла формулу Ныотона-Лейбница. Идея Перрона состояла в том, чтобы неизвестную первообразную, которую нужно найти по известной точной конечной производной, сколь угодно точно приблизить при помощи других функций, называемых мажорантами и минорантами.

Определение С. Функция М: [а, Ь] R называется мажорантой функции /: [a,b] —> R, если:

1) М(а) = 0;

2) М!(х) > —оо для всех хе[а, Ь];

3) Ml{x) ^/(ж) Для всех xG[a, Ь].

Соответственно функция т: [a, b] -t R называется минорантой функции /: [а, 6] —R, если функция — т является мажорантой для —/.

Определение С принадлежит С. Саксу [158, гл. 6, §3]. Следует отметить, что понятия мажоранты и миноранты встречаются уже у Ш.-Ж. Валле-Пуссена [73] в связи с изучением свойств интеграла Лебега (см. рус. пер. [141, т. 1]). Перрон же определял мажоранту как непрерывную функцию, удовлетворяющую условиям 1) и 3) ([111]), а Бауэр мажорантой называл непрерывную функцию, удовлетворяющую условиям 1)-3) ([4]). В 1914 г. О. Перрон в работе [111] показал, что всякая миноранта ограниченной функции не превосходит всякой мажоранты. Это позволило ему ввести следующее определение: ограниченная функция f: [а, Ъ] —¥ R интегрируема на отрезке a,b], если она имеет хотя бы одну непрерывную мажоранту и хотя бы одну непрерывную миноранту в смысле Перрона и оо < inf M(b) = sup m(b) < +00, где infimum берётся no всем непрерывным мажорантам функции f в смысле Перрона, a suprunum — по всем непрерывным минорантам такэ/се в смысле Перрона. Общее значение называется интегралом функции f по отрезку [а,Ь]. В 1915 г. 0. Бауэр, изучив процесс интегрирования, предложенный Перроном, распространил определение интеграла Перрона на функции, принимающие значения из расширенной действительной прямой R.

Определение D (Bauer, [4]). Функция /: [а, 6] R Р°-интегрируема па отрезке [а, 6], если она имеет хотя бы одну непрерывную мажоранту, хотя бы одну непрерывную миноранту в смысле определения С и

-оо < inf M(b) = sup m(b) = Р° < +оо, где infimum берётся по всем непрерывным мажорантам функции /, a supremum — по всем непрерывным минорантам. Общее значение Р° называется ро

-интегралом фг^шции f по отрезку [а,Ь].

Из предложенного Бауэром определения вытекает, что всякая точная конечная производная Р°-интегрируема, и её неопределённый Р°-интеграл является первообразной этой производной. Таким образом, выяснилось, что интеграл Перрона-Бауэра также решает задачу восстановления первообразной. Кроме того, Бауэром в той же работе [4] было доказано, что всякая интегрируемая функция необходимо конечна почти всюду на отрезке [а, 6], и значение Р°-интеграла не зависит от значений интегрируемой функции на множестве меры нуль. Последнее позволило ему сформулировать эквивалентные определения Р°-интегрируемости, в которых накладываются более слабые условия на классы мажорант и минорант по сравнению с определением С. Наконец, Бауэр доказал, что всякая ограниченная Р°-интегрируемая функция суммируема. Р°-интегрируемость суммируемой функции была доказана Валле-Пуссеном в [73]. Таким образом, Р°-интеграл существенно шире интеграла Лебега, при этом значения Р°-интеграла и интеграла Лебега всякой ограниченной измеримой функции совпадают. В 1921 г. Г. Хаке в работе [43], основываясь на конструктивном определении узкого интеграла Данжуа, доказал, что всякая £)*-интегрируемая функция Р°-интегрируема, и значения соответствующих интегралов совпадают. Доказательства результата Хаке, основывающиеся на дескриптивном определении узкого интеграла Данжуа, можно найти в [42, гл. И, теорема 11.1] и [158, гл. 8, §3, теорема 3.9]. Наконец, в 1924 г. П.С. Александров [1], [2] и независимо в 1925 г. X. Луман [93] доказали обратное утверждение. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема В (Hake, [43]; Александров, [1], [2]; Looman, [93]). Функция f: [a, b] -> R П*-иитегрируема на отрезке [а, Ъ] тогда и только тогда, когда она Р°-интегрируема, и значения соответствующих интегралов совпадают.

Теорема В называется в теории интеграла теоремой Хаке-Александрова-Лумана. В 1933 г. С. Сакс определил интеграл Перрона следующим образом.

Определение Е (Saks, [158, гл. 6, § 6]). Функция /: [a, b] -» R интегрируема по Перрону (Р-интегрируема) на отрезке [а, 6], если она имеет хотя бы одну мажоранту, хотя бы одну миноранту и

-оо < inf M(b) = sup m(b) = P< +oo, где infimum берётся по всем мажорантам функции /, a supremum — по всем её минорантам. Общее значение Р называется интегралом Перрона (Р-интегралом) функции f по отрезку [а, 6].

Именно определение, данное Саксом, в настоящее время чаще всего принимают за определение интеграла Перрона на отрезке. С. Сакс первым стал различать Р°-интегрируемость и Р-интегрируемость. Им же был введён термин ро

-интеграл" для обозначения интеграла, определённого О. Перроном и О. Бауэром, и доказана эквивалентность определений D и Е ([158]).

Теорема С (Saks, [158, гл. 8, §3, теоремы 3.9, 3.11]). Функция /: [a, b] -» R Р°-интегрируема на отрезке [а, Ъ] тогда и только тогда, когда она Р-интегрируема, и значения соответствующих интегралов совпадают.

Различные доказательства теоремы С даны также в работах [49, теорема 2], [91], [94], [122, теорема 2]. Необходимо отметить, что в работах [49, стр. 57] и [91, стр. 338] были допущены неточности при доказательстве теоремы С, способ устранения которых указан в работе [122]. Доказательство Сакса можно также найти в [42, гл. И, теоремы 11.1, 11.2]. Другие эквивалентные определения интеграла Перрона, получающиеся посредством наложения условий на мажоранту, подобных условиям 1)-3) определения С, можно найти в работах [42, гл. 8, определение 8.21], [53] и [119].

Ещё одно полезное определение интеграла перроновского типа принадлежит А. Варду. Его идея заключалась в том, чтобы заменить неравенство 3) на нижнюю производную мажоранты в определении С неравенством на приращение мажоранты. Это позволило Варду в 1936 г. построить интеграл, объединяющий в себе 2 различные концепции интегрирования: интегрирование по Перрону и интегрирование по Полларду (одно из обобщений интеграла Стилтьеса). Сам Вард называл свой интеграл интегралом Перрона-Стилтьеса. Здесь для простоты изложения ограничимся описанием частного случая конструкции Варда применительно к интегралу Перрона.

Определение F (Ward, [136]). Функция M: [a, b] R называется мажорантой функции f : [а, Ь] —> R в смысле Барда, если М(а) = 0, и для каждого хб [а, 6] найдётся 5(х) > 0, такое, что для любого у€ (х—х + <5(ж)) П [а, Ь]

M{y)^M(x)+f{x)(y-x) при +

M(y)^.M(x)+f(x)(y-x) при х-5(х)^у^х.

Соответственно функция т: [а,Ь] —R называется минорантой функции f: [а, Ь] —>• R в смысле Барда, если функция — т является мажорантой для —/ в смысле Варда.

Вард показывает, что всякая миноранта конечной функции в смысле определения F не превосходит всякой мажоранты. Это позволяет ввести следующее определение.

Определение G (Ward, [136]). Функция /: [a, b] -» R интегрируема в смысле Барда на отрезке [а,Ь], если она имеет хотя бы одну мажоранту Варда, хотя бы одну миноранту Варда и

-оо < inf М(Ь) = sup т(Ъ) = W < +оо, где infimum берётся по всем мажорантам Варда функции /, a supremum — по всем её минорантам Варда. Общее значение W называется интегралом Барда функции f по отрезку [а,Ь].

Из этого определения, очевидно, вытекает, что всякая конечная функция, интегрируемая в смысле Варда, интегрируема по Перрону, причём соответствующие интегралы совпадают. Обратное утверждение доказывается в [136, теорема 4].

Теорема D (Ward, [136]). Функция /: [а, Ь] —> R интегрируема в смысле Барда на отрезке [а, 6] тогда и только тогда, когда она интегрируема по Перрону, и значения соответствующих интегралов совпадают.

При построении конкретной мажоранты иногда бывает гораздо проще вывести неравенство на её приращение, чем неравенство на нижнюю производную. В этих случаях определение Варда оказывается удобнее перроновс-кого определения. Хотя определение интеграла Варда даётся в предположении конечности функции /, интегрирование по Варду легко распространяется на функции, конечные почти всюду. Можно доказать, что интеграл Варда не зависит от значений интегрируемой функции на множестве меры нуль. Тогда интеграл Варда от функции g: [а, Ь] -> R, конечной почти всюду на отрезке [а, Ь], можно определить как интеграл Варда от конечной функции v I 9(х), если f(x) = S п

О, если

9{х) 9{х) оо; = +оо.

Таким образом, в сущности никакого сужения класса интегрируемых функций при рассмотрении интеграла Варда по сравнению с интегралом Перрона не происходит.

Итак, выяснилось, что концепции интегрирования, предложенные А. Данжуа, Перроном-Бауэром, С. Саксом и А. Бардом, эквивалентны. В связи с этим узкий интеграл Данжуа в литературе называют ещё интегралом Данэюуа-Перрона, а названия "интеграл Перрона-Бауэра", "интеграл Перрона", "Р-интеграл", "Р°-интеграл", "интеграл Варда", несмотря на описанную выше эквивалентность, употребляются специально, чтобы подчеркнуть, какой именно вариант перроновского определения имеется ввиду. Хотя определения Лузина, Перрона (точнее Перрона-Бауэра-Сакса) и Варда проще конструктивного определения, признать их удовлетворительными для подсчёта первообразной на практике вряд ли возможно. Так дескриптивное определение, равно как и определение Ньютона неопределённого интеграла, не указывает никакого универсального способа подсчёта первообразной по известной точной производной. Оно лишь описывает класс неопределённых интегралов, получающихся применением операции тотализации ко всем функциям, интегрируемым по Данжуа в узком смысле. А определения Перрона и Варда фактически сводят задачу подсчёта первообразной к не менее трудной задаче нахождения последовательности мажорант или минорант, сходящейся, хотя и равномерно, к искомой первообразной. И. Марцинкеви-чем было показано, что в случае интеграла Перрона достаточно найти одну непрерывную мажоранту и одну непрерывную миноранту (см. [158, гл. 8, § 3, теорема 3.13], [167]), что тоже непросто, однако для некоторых других более общих интегралов перроновского типа: симметричного, симметричного аппроксимативного, двоичного интегралов Перрона, 5СР-интеграла Бёр-киля это уже неверно ([125, теорема 3], [162, теорема 3], [166]). Подобные недостатки данных определений послужили причиной дальнейшего поиска более конструктивных способов восстановления первообразной.

Третий, вариационный, подход к введению интеграла, восстанавливающего первообразную, связан именами с А.Н. Колмогорова и Р. Хенстока. В 1930 г. А.Н. Колмогоров ввёл понятие дифференциальной эквивалентности функций множества ([65, гл. 2, §3]). В 1960 г. Р. Хенсток, основываясь на понятии дифференциальной эквивалентности, названной им вариационной эквивалентностью, в работе [46] определил вариационный интеграл. Конечное множество пар {(xi,[ui,Vi])}Pi=1 называется разбиением отрезка [а,Ь], согласованным с функцией S: [а,Ь] -> (0,+оо), если С (х{ — S(xi),

П [а, b] для всех г = 1,. отрезки [щ, уЦ попарно не перекры-р ваются и [a, b} = (J [itj, г*г-]. Утверждение о существовании разбиения всякого г=1 отрезка [а, 6], согласованного с любой функцией 5: [а,Ь] (0, +оо), фактически доказывается уже в работе [19]. Вместе с тем, Б. Томсоном в [131, гл. 1, §5, пример 5.3] отмечается, что данное утверждение, возможно, имеет гораздо более древнюю историю, однако в современной теории интеграла за ним закрепилось название "лемма Кузена".

Определение Н (Henstock, [46]). Функция /: [а, Ь] К вариационно интегрируема на отрезке [а,Ъ], если существует функция V: [a,b] —> R, такая, что для любого £>0 найдётся функция 5: [а,Ъ] (0, +оо), такая, что р sup^ /(^(vi-Uj)- (V(vi)-V(ui)) <е, i=1 где supremum берётся по всем разбиениям {(я;, [щ, г>г])}^=1 отрезка [а, Ь], согласованным с £(•), при этом приращение V(b) — V(a) называется вариационным интегралом функции f по отрезку [а,Ь].

Теорема Е (Henstock, [46]). Функция /: [a, ft] R вариационно интегрируема па отрезке [а, ft] тогда и только тогда, когда она интегрируема в смысле Варда, и значения соответствующих интегралов совпадают.

Наконец, четвёртый, римановский, подход к введению интегралов, восстанавливающих первообразную, связан с именами Я. Курцвейля и Р. Хенстока. В 1957 г. Я. Курцвейль в работе [68], рассматривая одно обобщение задачи Коши в самой простейшей её постановке, фактически определил следующий интеграл римановского типа.

Определение I (Kurzweil, [68, определение 1.2.1, лемма 1.2.1.]).

Функция /: [а, 6] —> К. интегрируема по Курцвейлю-Хенстоку на отрезке [а, 6], и действительное число / называется её интегралом Курцвейля-Хенс-тока по отрезку [а, 6], если для любого е>0 существует функция 5: [а, Ъ] -> (0, +оо), такая, что для любого разбиения {(xi, [щ, vi\) отрезка [a, ft], согласованного с £(•), справедливо неравенство р f(xi){Vi-Ui)-I i=1

Нетрудно заметить, что определение интеграла Курцвейля-Хенстока отличается от определения интеграла Римана лишь тем, что положительное число 5 заменено положительной функцией £(•). Как показал в 1961 г. Р. Хен-сток, это приводит к сильному расширению класса интегрируемых функций.

Теорема F (Henstock, [47]). Функция /: [a, ft] Ж интегрируема по Курцвейлю-Хенстоку на отрезке [а,Ь] тогда и только тогда, когда она вариационно интегрируема, причём неопределённый интеграл Курцвейля-Хенстока и неопределённый вариационный интеграл функции f совпадают.

Теорема F играет ключевую роль во всей теории интегралов хенстоковского типа. В настоящее время она носит название "лемма Сакса-Хенстока". При её доказательстве Хенсток использовал некоторые идеи С. Сакса и А.Н. Колмогорова ([65], [117]), что нашло своё отражение в названии данной леммы. В сущности это обстоятельство определило то, что в настоящее время за интегралом, введённым Я. Курцвейлем, закрепилось название "интеграл Курцвейля-Хенстока". В литературе можно также встретить другие названия данного интеграла: "интеграл Хенстока", "интеграл Хенстока-Курцвейля", "обобщённый интеграл Римана", "ЯС-интеграл"2 и др. Таким образом, из теорем D-F вытекает эквивалентность интегралов Перрона и Курцвейля-Хенстока. Необходимо также отметить работы Р. Гордона [38] и [40], в которых впервые были приведены прямые доказательства эквивалентности определения интеграла Курцвейля-Хенстока дескриптивному определению (в более ранней работе [80] было опубликовано ошибочное доказательство данного результата).

В дальнейшем выяснилось, что интеграл Лебега, подобно интегралу Перрона, также допускает римановское определение. В 1969 г. Э. Мак-Шейн определил ещё один интеграл римановского типа на отрезке и доказал его эквивалентность интегралу Лебега. Конечное множество пар {(a?;, [wf, Vi])}f=1 называется разбиением Мак-Шейпа отрезка [а, Ь], согласованным с функцией 5: [а, £>] —> (0, +оо), если [щ,уЦс [xi — 5(xj), Xi + 5(xi)) П[а,Ь] для всех р i = l,. ,р, отрезки [щ, V{] попарно не перекрываются и [a, b] = [J [щ, иЦ. Суi=1 ществование разбиения Мак-Шейна всякого отрезка [а, Ь], согласованного с любой наперёд заданной функцией 5: [а,Ь] —> (0,+оо), гарантируется леммой Кузена, поэтому имеет смысл следующее определение.

Определение J (McShane, [100]). Функция /: [a,b] R интегрируема по Мак-Шейну на отрезке [а,Ь], и действительное число М называется её интегралом Мак-Шейна по отрезку [а, 6], если для любого £>0 существует функция 5: [а, Ь] -> (0,+оо), такая, что для любого разбиения Мак-Шейна {(ж», [uj,Vj])}f1 отрезка [а,Ь], согласованного с £(•), справедливо неравенство р j2f(xi)(vi-Ui)-M <£. i=1

Теорема G (McShane, [100]). Функция /: [a,b] —»• R интегрируема по Мак-Шейну на отрезке [a, b] тогда и только тогда, когда она суммируема, и соответствующие интегралы совпадают.

По поводу различных доказательств теоремы G см. [27, § 2.4, 2.5], [42, гл. 10, теорема 10.11], [67, теоремы 1, 2], [76, гл. 1, §5; гл. 4, §16], [79, гл. 3, §3.9,

2от англ. Riemann complete integral теорема 3.9.4; гл. 3, §3.12, теорема 3.12.5], [88, теоремы 1, 2], [99], [100], [101], [102], [103], [104, теорема 1], [ИЗ, ч. 2, гл. 9, §9.3, теорема 9.3.7], [135] и [139, т. 1, гл. 5, §5.7, теорема 5.7.14]. Стоит также отметить работы [20] и [50], в которых даны прямые доказательства того, что суммируемость функции влечёт её интегрируемость по Курцвейлю-Хенстоку и равенство соответствующих интегралов.

Определение интеграла Курцвейля-Хенстока гораздо проще всех предыдущих определений. Именно эта простота позволила по мере дальнейшего развития теории интеграла распространить большинство одномерных результатов, установленных ещё в начале 20 в. в отношении интеграла Данжуа-Перрона, на многомерный случай, а также существенно упростить доказательства уже имевшихся многомерных результатов, полученных на основе конструктивного, дескриптивного и перроновского подходов к интегрированию. Несмотря на описанное преимущество определению I присущи также свои недостатки. В книге [139, т. 1, стр. 489] высказано справедливое замечание о том, что определение интеграла Курцвейля-Хенстока нельзя признать в полной мере удовлетворительным для практического подсчёта первообразной по известной конечной производной. Неконструктивность данного определения заключается в том, что не ясна природа функции £(•). Она, вообще говоря, может быть любой положительной функцией. В самом определении не указан какой-либо способ построения функции <$(•) при наличии информации об интегрируемой функции /, а это означает, что мы фактически лишены какого-либо алгоритма вычисления римановских сумм, отличающихся от значения интеграла Курцвейля-Хенстока на достаточно малое е, хотя и знаем, что, в принципе, для какой-то положительной функции $(•) такие суммы существуют. В связи с этим стоит упомянуть о проблеме П. Бюллена. В 1987 г. П. Бюлленом был поставлен вопрос: можно ли каким-либо образом сузить класс функций, из которого выбираются функции <$(•) в определении интеграла Курцвейля-Хенстока, не потеряв при этом в общности самого интеграла ([14]). В настоящее время существует достаточное количество работ, посвященное исследованиям в данном направлении, основная суть которых заключается в том, что функцию £(•) в определении I можно считать измеримой ([12], [13], [36], [39], [42], [71], [76], [83], [84], [89], [112]). Наиболее существенным продвижением в этом направлении на настоящий момент является результат работы [12], утверждающий, что если функция / интегрируема по Курцвейлю-Хенстоку на m-мерном интервале, то функцию £(•) можно выбрать полунепрерывной сверху почти всюду. Окончательного ответа, позволяющего указать наиболее узкий класс положительных функций <$(•) так, чтобы интегрируемость в этом новом смысле была бы эквивалентна интегрируемости по Курцвейлю-Хенстоку, пока не дано.

Таким образом, к середине 20 в. в теории обобщённых интегралов было построено несколько концепций интегрирования, приводящих к восстановлению первообразной по известной точной конечной производной, и все они в конечном итоге оказались эквивалентными.

Помимо уже описанных недостатков большинство утверждений в построенной теории существенно использовало специфику действительной прямой, что сильно ограничивало возможности приложения данных интегралов в анализе по сравнению с определённым интегралом Римана и уж тем более с интегралом Лебега. Более того, попытки распространить указанную теорию на многомерный случай, исходя из конструктивного и дескриптивного определений узкого интеграла Данжуа, а также перроновского определения, сопровождались слишком большими трудностями, чтобы можно было говорить о применении данных конструкций где-то ещё. В качестве примера можно привести работы [32], [33], [61], [62], [66], [92], [97], [171] среди множества других работ первой половины 20 в. в этом направлении. Появление римановского определения для указанных интегралов позволило существенно упростить доказательство многих результатов теории кратного интеграла Перрона, например, таких, как теорема Фубини ([69], [79, гл. 6, §6.6, теорема 6.6.3], [97, гл. 2, (78)], [108, гл. 3, § 3.2, теорема 3.2.1]), а также распространить на многомерный случай известные одномерные результаты. Например, существование внутри всякого m-мерного интервала, на котором функция интегрируема по Перрону, порции, на которой данная функция суммируема; представимость интеграла Курцвейля-Хенстока функции, интегрируемой на m-мерном интервале, как предела значений интегралов Лебега данной функции по некоторой возрастающей последовательности замкнутых подмножеств и т.д. ([11], [32], [33], [42, гл. 9, теорема 9.18, следствие 9.19], [57, теорема 2.10], [81, теорема 3.1], [82, теорема 3.10], [85, теорема 3.4], [86, теорема 5], [87, теорема 1], [90, теорема 3], [95, лемма 2], [106, теорема 5]).

Перейдём к изложению основных многомерных результатов современной теории интеграла. В отличие от интеграла Курцвейля-Хенстока, определение которого, подобно определению интеграла Римана, безо всяких изменений переносится на многомерный случай, определение кратного интеграла Перрона требует некоторых комментариев, прежде всего связанных с тем, какого рода функции следует рассматривать в качестве мажорант, и что следует понимать под нижней производной мажоранты. В настоящее время за определение кратного интеграла Перрона принимается определение, данное в 1952 г. Я. Маржиком. Функция ш-мерного интервала F называется супераддитивной, если для любых двух неперекрывающихся т-мерных интервалов I и J, объединение которых также является m-мерным интервалом, выполняется неравенство F(I)+F(J) J).

Определение К (Marik, [97, гл. 2, (41)]). Функция m-мерного интервала U называется мажорантой функции /:/—)• R, заданной на m-мерном интервале IcW1, если:

1) функция U супераддитивна;

2) DsU(x)> — оо для всех £Е/;

3) DsU(x)^ f(x) для всех ж£/; где DsU(x) обозначает нижнее сильное производное число функции U в точке х в смысле Сакса (см. [158, гл. 4, § 2]). Функция m-мерного интервала V называется минорантой функции /: / R, если функция — V является мажорантой для —/.

В силу [158, гл. 6, §3, теорема 3.1] всякая миноранта в смысле определения К не превосходит любой мажоранты, поэтому имеет смысл следующее, определение.

Определение L (Мапк, [97, гл. 2, (47)]). Функция /: / —> R называется интегрируемой по Перрону (Р-интегрируемой) на т-мерном интервале I сМт, если она имеет хотя бы одну мажоранту и хотя бы одну миноранту в смысле определения К и

-оо < inf U(I) = sup V(I) = P<+ оо, где infimum берётся по всем мажорантам функции /, a supremum — по всем её минорантам. Общее значение Р называется интегралом Перрона (Р-интегралом) функции f по интервалу I.

Из определения L вытекает, что всякая Р-интегрируемая функция необходимо конечна почти всюду. Если теперь в неравенствах 2) и 3) определения К нижнее сильное производное число функции U заменить нижним р-регулярным производным числом в смысле Сакса (см. [158, гл. 4, §2]), то определённый при помощи таких супераддитивных мажорант и субаддитивных минорант интеграл перроновского типа называется р-регулярным интегралом Перрона или Рр-интегралом (р€(0,1]). Если на указанные мажоранты, аналогично тому, как это делалось в определении D, наложить ещё требование непрерывности в точке (см. определение 2.4), то получатся кратные Р°- и Pp-интегралы. Наконец, если в определении С вместо нижней производной функции точки рассмотреть нижнюю двоичную (нижнюю Р-ичную) производную функции точки, то получится двоичный (V-ичный) интеграл Перрона на отрезке. Если теперь в определении К вместо нижнего сильного производного числа рассмотреть нижнее двоичное (нижнее Р-ичное, нижнее р-регулярное двоичное, нижнее р-регулярное Р-ичное) производное число, то получится кратный двоичный (кратный V-ичный, р-регулярный двоичный, р-регулярный V-ичный) интеграл Перрона. Двоичный интеграл Перрона будет кратко называться Pd-интегралом, Р-ичный интеграл Перрона — Pv-интегралом, р-регулярный двоичный интеграл Перрона — Pfj-ингпегралом и р-регулярный Р-ичный интеграл Перрона — интегралом.

Наконец, под Р^-штегралом будет пониматься двоичный интеграл Перрона, определённый посредством мажорант и минорант, непрерывных на двоичных интервалах в смысле определения 2.4.

Ро'-интеграл на отрезке был определён В.А. Скворцовым в 1968 г. в связи с решением задачи вычисления коэффициентов Фурье всюду сходящегося ряда по системе Хаара ([160]). Корректность определения этого интеграла была доказана также В.А. Скворцовым в 1969 г. в работе [161]. В дальнейшем выяснилось, что этот интеграл решает задачу восстановления коэффициентов Фурье всюду сходящегося ряда не только в случае системы Хаара, но и в случае системы Уолша (см., например, [120], [123], [142]). Затем в работе [121, стр. 169] без доказательства было высказано утверждение об эквивалентности определений и Р^-интегралов, однако доказано оно было только в 1996 г. [107, теорема 2] (см. также [8, теорема 5.2]).

Необходимо также упомянуть следующие проблемы, связанные с определением кратных интегралов перроновского типа:

Мапк, [60, (9.1)]): Существует ли функция двух переменных, интегрируемая по Перрону в смысле определения L, но не интегрируемая интегралом Перрона, определённым посредством аддитивных мажорант и минорант? (Kartak, [60, (9.2)]): Можно ли в определении интеграла Перрона мажоранты и миноранты предполагать непрерывными?

Henstock, [49, стр. 50, (3)]): Охарактеризовать класс функций, интегрируемых по Перрону, для которых мажоранты и миноранты в определении интеграла можно выбрать аддитивными и непрерывными одновременно (Р. Хенсток сформулировал данный вопрос в связи с вариационным интегрированием, но в силу эквивалентности вариационного интеграла интегралу Перрона на языке перроновского подхода к интегрированию вопрос Хенсто-ка звучит именно так).

Skvortsov, [15, стр. 202]): Доказать или опровергнуть, что интеграл Перрона относительно абстрактного дифференциального базиса, определённый посредством мажорант и минорант, непрерывных относительно данного базиса, эквивалентен интегралу Перрона относительно того же базиса, определённому при помощи мажорант и минорант без предположения об их непрерывности. В случае отрицательного ответа описать класс базисов, для которых справедлива указанная эквивалентность (по поводу определения абстрактного дифференциального базиса см. [108, гл. 1, §1.1]).

Проблема Картака была решена в 1996 г. М. Наварро и В.А. Скворцовым в отношении Р®- и Рр-интегралов, а годом позже Б. Бонжорно, JI. Ди Пьяццей и В.А. Скворцовым в отношении кратных Р°- и Р-интегралов.

Теорема Н (Navarro, Skvortsov, [107]). Функция f: [a,b] -» R Рр-ин-тегрируема на т-мерном интервале I cRm тогда и только тогда, когда она Pp-интегрируема, и значения соответствующих интегралов совпадают (ре (0,1]).

Теорема I (Bongiorno, Di Piazza, Skvortsov, [7]). Функция f: [a, b] Ж

PQ-интегрируема на т-мерном интервале IС Mm тогда и только тогда, когда она Р-интегрируема, и значения соответствующих интегралов совпадают.

Утвердительный ответ на проблему Хенстока в одномерном случае вытекает из результата С. Сакса (теорема С). В многомерном случае положительный ответ на вопрос Хенстока фактически дан в работе [7]. Для этого необходимо в доказательстве теоремы 5 указанной работы вместо Р°-интеграла рассмотреть интеграл перроновского типа, определённый при помощи мажорант и минорант, непрерывных и аддитивных одновременно, а также заметить, что «^-вариация G, Т, •), участвующая в доказательстве этой теоремы, в данном случае оказывается не только супераддитивной, но и аддитивной непрерывной функцией m-мерного интервала. Отсюда вытекает отрицательный ответ на вопрос Маржика. Наконец, частичный ответ на вопрос, поставленный Скворцовым, фактически был дан также в работе [107, теорема 2], но только в отношении Р^-интегралов относительно дифференциальных базисов Перрона и Витали В, обладающих свойством Витали, к которым, в частности, относятся р-регулярный базис, р-регулярный двоичный и р-регулярный Р-ичный базисы (по поводу этих определений см. §1.1 и определения 3.6, 3.7 настоящей диссертации). В общем случае проблема Скворцова остаётся открытой.

Совершенно аналогично определениям К и L на многомерный случай распространяется понятие интеграла Варда.

Определение М. Функция m-мерного интервала U называется маэ/сорап-той Варда функции / : / -> R, заданной на m-мерном интервале I С М"\ если функция U супераддитивна и для каждого х € I найдётся > 0, такое, что для любого m-мерного интервала j£B(x,5{x)) П/, содержащего точку х, справедливо неравенство

U(J)>f(x)\J\, где В (я, <5(z)) обозначает открытый шар в Жт с центром в точке х радиуса <5(я), а | J\ — объём ш-мерного интервала J. Соответственно функция V называется минорантой Варда функции М, если функция — V является мажорантой Варда для —/.

В силу [158, гл. 6, §3, теорема 3.1] любая миноранта Варда не превосходит любой мажоранты Варда, поэтому имеет смысл следующее определение.

Определение N. Функция /: I -> R называется интегрирг^мой в смысле Барда па т-мерпом интервале 7cRm, если она имеет хотя бы одну мажоранту Варда, хотя бы одну миноранту Варда и

-оо < inf U{I) = sup V(I) = W< +00, где infimum берётся по всем мажорантам Варда функции /, a supremum —. по всем её минорантам Варда. Общее значение W называется интегралом Варда функции / по интервалу I.

В 1977 г. в заметке [109] А. Пакеман определил двоичный интеграл Курцвейля-Хенстока на отрезке [0,1] и изучил его основные свойства. С развитием теории дифференциальных базисов сначала Б. Томсон в своей монографии [131] предложил определение интеграла Курцвейля-Хенстока относительно произвольного дифференциального базиса на прямой, а затем К. Осташевский, основываясь на идеях Томсона и Хенстока, в своей диссертации [108] развил теорию интегралов хенстоковского типа (/СН#-интегра-лов) относительно абстрактных дифференциальных базисов В. В той же диссертации были определены: вариационный интеграл, интеграл Перрона (Рв-интеграл), а такоюе интеграл Варда относительно абстрактного дифференциального базиса В ([108, определения 1.5.4, 2.1.2, теоремы 1.6.1, 2.1.1]). Поскольку соответствующие определения достаточно громоздкие и носят абстрактный характер, мы не будем приводить их во введении, отсылая читателя к § 1.1 настоящей диссертации, посвящённому рассмотрению различных классов дифференциальных базисов и примеров конкретных базисов, а также к определениям 3.3 и 3.6, в которых сформулированы понятия /СТ^-интеграла и Р^-интеграла соответственно. Не вдаваясь в подробности, отметим лишь, что в обозначениях §1.1 кратный интеграл Курцвейля-Хенстока соответствует №1$-интегралу относительно полного базиса кратный двоичный интеграл Курцвейля-Хенстока — КИв~ интегралу относительно двоичного базиса Bd, кратный Р-ичный интеграл Курцвейля-Хенстока — 1СНв-интегралу относительно Р-ичного базиса Bv, кратный интеграл Перрона — Р^-интегралу относительно полного базиса В™ кратный двоичный интеграл Перрона — Р^-интегралу относительно двоичного базиса Bd, кратный Р-ичный интеграл Перрона — Р^-интегралу относительно Р-ичного базиса Вг, /^-регулярный двоичный интеграл Перрона — Р^-интегралу относительно р-регулярного двоичного базиса Bdp, а р-регулярный Р-ичный интеграл Перрона — Pg-интегралу относительно р-регулярного Р-ичного базиса ВJ (/?Е(0,1]).

В 1985 г. К. Осташевский, обобщая идеи Варда и Хенстока, в упомянутой диссертации [108] для широкого класса абстрактных дифференциальных базисов В, включающего в себя большинство известных примеров конкретных дифференциальных базисов в том числе полный базис Вш, двоичный базис

Bd, Р-ичный базис BP, р-регулярный базис Вр-регулярный двоичный базис ^ и р-регулярный "Р-ичный базис (см. таблицу §1.1), доказал, что 1СНв-иитегрируемость, Р$-иитегрируемость, вариационная интегрируемость и интегрируемость в смысле Барда относительно дифференциального базиса В эквивалентны, при этом соответствующие интегралы совпадают ([108, теоремы 1.6.1, 2.1.1]).

Наибольшие затруднения были связаны с поиском дескриптивных характеристик обсуждаемых многомерных интегралов, подобных той, что была установлена Н.Н. Лузиным для интеграла Данжуа-Перрона (теорема А). Первые попытки распространить дескриптивное определение на многомерный случай были предприняты в первой половине 20 в., однако в связи с возникшими серьёзными трудностями те идеи не получили дальнейшего развития. Так наиболее успешным продвижением того времени, по-видимому, является работа 193G г. [61]. В ней, основываясь на понятии ACGr-функции, С. Кемписты предложил некоторое дескриптивное определение интеграла, в одномерном случае эквивалентное лузинскому определению, и доказал эквивалентность введённого интеграла некоторому интегралу перроновского типа — так называемому интегралу Риддера, более узкому по сравнению с Рр-интегралом. Определение интеграла Кемписты является слишком сложным, при этом использует понятие интеграла Бёркиля, и вместе с тем охватывает достаточно специфический класс многомерных интегралов (см. также [108, гл. 4]). Видимо поэтому идеи Кемписты не получили дальнейшего развития в теории интеграла. В 1955 г. К. Картаком была сформулирована задача.

Kartak, [60, (9.5)]): Охарактеризовать класс аддитивных функций т-мерного интервала, являющихся неопределёнными интегралами Перрона. Собственно говоря, основной проблемой в задаче поиска дескриптивной характеристики кратных интегралов Курцвейля-Хенстока (или что то же самое кратных интегралов Перрона) является поиск такого определения обобщённой абсолютной непрерывности функции m-мерного интервала, которое бы не зависело от размерности пространства, было бы шире понятия абсолютной непрерывности функции интервала, охарактеризовывало бы все неопределённые интегралы Курцвейля-Хенстока, а также в одномерном случае было бы эквивалентно определению ЛС(?*-функции. Во второй половине 20 в. подобные исследования были предприняты рядом авторов ([6], [18], [28], [34], [38], [40], [41], [42], [48], [56], [57], [76], [77], [78], [80], [108], [ИЗ], [114], [163]). Наиболее удачными определениями, позволившими в конечном итоге охарактеризовать все неопределённые интегралы Курцвейля-Хенстока, явились понятие об ACGs-функции и понятие об SL-условии Лузина. Последнее представляет собой ни что иное, как условие абсолютной непрерывности некоторой меры, называемой вариационной, о которой ниже пойдёт речь.

Конечное множество пар {(жг-, Jz) называется разбиением на непустом мнооюестве Е сМга, согласованным с функцией 5: Е —у (0, +оо), если точки Xi^EnJi для всех г = 1,. каждый m-мерный интервал J{ содержится в открытом шаре В(х{,5(х{)) и все Ji попарно не перекрываются.

Определение О (Henstock, [48]). Функция m-мерного интервала F является ACs-функцией на непустом мнооюестве ЕсШ.т, если для любого £ > 0 существуют функция S: Е —У (0, +оо) и rj > 0, такие, что для любого разбиения {(Х{, Ji)}Pi=l на множестве Е, согласованного с <£(•), для которого р

Ji\<rli справедливо неравенство i=1 i=1

По определению всякая функция m-мерного интервала является ЛС^-функцией на пустом множестве. Функция m-мерного интервала F является

ACGs-функцией на мнооюестве Е С Rm, если справедливо представление +00

Е— U Еп, где F является АС<$-функцией на каждом множестве Еп. Накопи: 1 нец, функция точки /: [а, Ь] —У R является ACs-функцией (ACGs-функцией) на множестве Ес[а,Ь], если аддитивная функция F(ju,v]) = f(v) — f(u) является ЛС^-функцией (ACGj-функцией) на этом множестве.

В 1990 г. Чу Туан Сенг и Р. Гордон независимо получили следующий результат.

Теорема J (Chew Tuan Seng, [18]; Gordon, [40]). Функция F: [a, b] -» R является ACGs-функцией на отрезке [a, b] тогда и только тогда, когда она является ACG*-функцией на [а,Ь].

Эта теорема позволяет сформулировать ещё одно дескриптивное определение узкого интеграла Данжуа, эквивалентное определению В.

Определение Р. Функция /: [a, b] —У R называется D*-интегрируемой на отрезке [а, 6], если существует ЛСС^-функция F: [а, 6] -у R, такая, что F'(x) = f(x) почти всюду на [а, Ь]. Функция F называется неопределённым 0*-интегралом функции /, а её приращение F(b) — F(a) — О*~интегралом функции f по отрезку [а,Ь].

Из определения Р также вытекает, что всякая D-интегрируемая функция в смысле этого определения необходимо конечна почти всюду. В той же работе [18] Чу Туан Сенг частично распространил теорему J на р-регулярный интеграл Курцвейля-Хенстока, представляющий собой /С%#-интеграл относительно р-регулярного базиса ВрП (см. §1.1 и определение 3.3).

Теорема К (Chew Tuan Seng, [18]). Аддитивная функция тп-мерного р-регулярного интервала F является неопределённым р-регулярным интегралом Курцвейля-Хенстока функции /:/—>■ R тогда и только тогда, когда F является ACGs-фуикцией на т-мерном р-регулярном интервале I, дифференцируемой в р-регуляриом смысле почти всюду на I, причём р-регулярная производная DpF(x) = f(x) почти всюду на I (р£(0,1]).

Подобного рода теоремы называются частичными дескриптивными характеристиками, поскольку предполагают априорную дифференцируе-мость функции m-мерного интервала почти всюду, в то время как теоремы, подобные теореме Лузина (теорема А), называются полными дескриптивными характеристиками, поскольку они лишены подобного недостатка.

Доказательства Гордона и Чу Туан Сенга основываются на дифференцируемое™ неопределённого р-регулярного интеграла Курцвейля-Хенстока в /9-регулярном смысле почти всюду и на теореме Витали о покрытии. Однако известно, что даже уже неопределённый интеграл Лебега может не иметь сильной производной (в смысле Сакса) всюду на m-мерном интервале при ([16], [118], [144, гл. 4, §2, теорема 2.1]). Кроме того, известен пример X. Бора покрытия Витали, состоящего из замкнутых прямоугольников, для которого теорема Витали неверна ([17], [144, гл. 4, §1, теорема 1.1]). Этот пример показывает, что условие регулярности интервалов в теореме Витали отбросить нельзя. Таким образом, доказательства Гордона и Чу Туан Сенга не распространяются на случай кратного интеграла Курцвейля-Хенстока, поэтому потребовались принципиально другие идеи для доказательства указанной дескриптивной характеристики в многомерном случае.

Эти идеи обязаны своим появлением в связи с развитием пятого подхода к введению интеграла, продолжающим дескриптивный взгляд на обсуждаемые интегралы. Родоначальником этого подхода является Р. Хенсток. В 1963 г. в своей монографии [48] он определил вариационную меру.

Определение Q (Henstock, [48]). Пусть задана действительнозначная функция двух переменных точка-интервал h(x,J). Функция множества р

V(Вш, h, Е) = inf sup £\h{xi, Ii)|, i=1 где supremum берётся по всем разбиениям {(x{, Jj) на множестве E С Rm, согласованным с <5(-), a infimum — по всем функциям 6: E —»■ (0, +oo), называется вариационной мерой, построенной по функции h, относительно полного базиса В^.

В той же монографии Хенстоком было доказано, что вариационная мера является внешней метрической, а значит, по теореме Каратеодори — боре-левской мерой в Rm. У Хенстока понятие вариационной меры возникло как логическое продолжение идей, связанных с вариационным интегрированием. Однако рассмотрение вариационных мер, построенных только по функциям множества, подобно тому как строятся внешняя мера Лебега или хаусдорфо-ва мера, явилось тем самым ключевым соображением, обусловившим развитие теории вариационных мер в отдельное направление, тесно связанное с теорией интеграла ([52], [98], [128]-[130]). В дальнейшем теория вариационных мер была развита Томсоном относительно произвольного дифференциального базиса на прямой ([131]). Подобное сужение класса функций, по которым строятся вариационные меры, оказалось очень плодотворным, поскольку обнаружило новые связи свойств вариационных мер с известными классами функций. Пусть задана функция точки /: [а, Ъ] -» R. Тогда запись /)') обозначает, что рассматривается вариационная мера, построенная по аддитивной функции отрезка F(Ju, v]) = f(v)—f(u). Под абсолютной непрерывностью вариационной Л1еры будет пониматься абсолютная непрерывность относительно меры Лебега, т.е. У{Вш,1п, •) абсолютно непрерывна на множестве Е С Rm, если X) = 0 для всякого множества ХсЕ меры Лебега //(X) = 0. В 1979 г. Р. Хенстоком была доказана следующая теорема.

Теорема L (Henstock, [52]). Пусть задана функция f: [a,b] -> R. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) / является VВG*-функцией на мноэюестве Е С [а, Ь], непрерывной в каждой точке этого мпоэюества, и fi(f(E)} =0;

2 )V(BKHJ1E)=0.

С помощью теоремы Банаха-Зарецкого ([42, гл. б, теорема 6.16]) из теоремы L, очевидно, вытекают 2 следствия.

Следствие L.I. Если функция /: [a, b] —> R является ACG*-функцией па множестве Е С [й,Ь], то вариационная мера V (В^, f, абсолютно непрерывна на Е.

Следствие L.2. Если вариационная мера V{В***1, f, , построенная по функции /: [a, b] R, абсолютно непрерывна на мноэюестве Ес[а, Ь], то f является ACG*-функцией на всяком замкнутом множестве ХсЕ меры Лебега fi(X) = 0.

Наличие соотношений между а-конечными вариационными мерами и VBG*-функциями, подобных следствиям L.1 и L.2, было установлено Б. Томсоном (см. [129], [130], [132], [133]). Позже прояснилась более глубокая взаимосвязь между классами абсолютно непрерывных вариационных мер и ACG*-функций. В 1987 г. Я. Курцвейлем и И. Ярником была установлена следующая частичная дескриптивная характеристика интегралов Курцвейля-Хеистока на отрезке.

Теорема М (Jarnfk, Kurzweil, [56]). Функция F: [a,b] R является неопределённым интегралом Курцвейля-Хенстока функции /:/—>• R тогда и только тогда, когда F дифференцируема почти всюду, причём F'(x) = f(x) почти всюду на [а,Ъ], и вариационная мера абсолютно непрерывна на [а,Ь] (см. также [77, теорема 4], [ИЗ, гл. 6, §6.4, теорема б.4-4]> [1Ц, теорема 12]).

В 1991 г. теорема М была перенесена на р-регулярный интеграл Курцвейля-Хенстока В. Юркатом, Р. Книзиа и независимо Я. Курцвейлем, И. Ярником.

Теорема N (Jurkat, Knizia, [59]; Jarnfk, Kurzweil, [57]). Аддитивная функция т-мерного р-регулярного интервала F является неопределённым р-регулярным интегралом К])рцвейля-Хенстока функции /:/—»• R тогда и только тогда, когда F дифференцируема в р-регулярном смысле почти всюду, причём р-регулярная производная DpF(x) = f(x) почти всюду на I, и вариационная мера V(Bpn,F,-) абсолютно непрерывна па т-мерном р-регулярном интервале I.

Необходимо отметить, что В. Юркат и Р. Книзиа доказывали свою теорему для р-регулярпого интеграла Перрона. Легко также понять, что их условие п/, фигурирующее в формулировке основной теоремы [59, теорема 4] является условием абсолютной непрерывности вариационной меры, записанным в несколько непривычной форме. Кроме того, в работе у Юрката и Книзиа р Е [|, 1), а у Курцвейля и Ярника р Е (0,1), хотя легко показать, что параметр регулярности р можно выбирать из полуинтервала (0,1].

Следующим шагом стал результат В. Эне 1994 г., усиливший теоремы L и М.

Теорема О (Епе, [28]). Вариационная мера У(ВШ, /, •), построенная по функции /: [а, Ь] —R, абсолютно непрерывна на отрезке [а,Ь] тогда и только тогда, когда f является ACG*-функцией на [а,Ь].

Ввиду дифференцируемое™ ACG*-функции почти всюду это означает, что условие дифференцируемое™ функции F почти всюду в теореме М можно отбросить. Таким образом, из упомянутых результатов вытекает следующая полная дескриптивная характеристика интегралов Курцвейля-Хенстока на отрезке.

Следствие 0.1. Функция F: [a, b] —> R является неопределённым интегралом Курцвейля-Хенстока тогда и только тогда, когда вариационная мера V (ВF, •) абсолютно непрерывна на отрезке [а, b] (см. также [6, теорема 3]).

Вслед за доказательством следствия 0.1 встал вопрос о его справедливости в отношении кратных интегралов Курцвейля-Хенстока. В 1995 г. К.-А. Фор доказал следующую частичную дескриптивную характеристику.

Теорема Р (Faure, [34]). Аддитивная функция m-мерного р-регулярного интервала F является неопределённым р-регулярным интегралом Курцвейля-Хенстока тогда и только тогда, когда вариационная мера V{B F', •) абсолютно непрерывна и а-конечна на m-мерном р-регулярном интервале I (р€(0,1)).

При этом в [34, теорема 3.10] было показано, что а-конечность вариационной меры V(BpH,F, •) влечёт дифференцируемость функции F в р-регулярном смысле почти всюду для всех рб(0,1), т.е. из условий Фора (теорема Р) вытекают условия Юрката-Книзиа-Курцвейля-Ярника (теорема N). В той же работе Фор поставил вопрос:

Faure, [34, стр. 562, 4)]): Дают ли аддитивные функции m-мерного интервала Р, порождающие абсолютно непрерывные и <т-конечные вариационные меры Р, •), дескриптивное определение кратного интеграла Курцвейля-Хенстока?

В 2000 г. В.А. Скворцов и независимо в 2001 г. JI. Ди Пьяцца доказали, что из абсолютной непрерывности вариационной меры относительно р-регулярного базиса вытекает её <т-конечность. Это позволило им вывести полную дескриптивную характеристику р-регулярных интегралов Курцвейля-Хенстока, аналогичную следствию О.1.

Теорема Q (Скворцов, [165]; Di Piazza, [26]). Аддитивная функция т-мерного р-регуляриого интервала F является неопределённым р-регулярным интегралом Курцвейля-Хенстока тогда и только тогда, когда вариационная мера V(Bpn,F, •) абсолютно непрерывна на т-мерпом р-регулярном интервале I (рб(0,1)).

Вопрос о справедливости теоремы Q при р = 1 остаётся открытым и фактически связан с известной проблемой о справедливости теоремы Варда при р = 1 (см. [158, стр. 210]).

Так же, как и в случае с результатами Гордона и Чу Туан Сенга, доказательства В.А. Скворцова и JI. Ди Пьяццы в конечном итоге основаны на теореме Витали, а потому по описанным выше причинам не могут быть перенесены на кратный интеграл Курцвейля-Хенстока. В 2003 г. Ли Туо-Йеонг, основываясь на доказанной им теореме о производной Радона-Никодима вариационной меры ([82, теорема 4.2]), получил полную дескриптивную характеристику кратных интегралов Курцвейля-Хенстока, аналогичную следствию 0.1 и теореме Q.

Теорема R (Lee Tuo-Yeong, [82]). Аддитивная функция m-мерного интервала F является неопределённым кратным интегралом Курцвейля-Хенстока тогда и только тогда, когда вариационная мера •) абсолютно непрерывна на m-мерном интервале I.

Таким образом, была решена проблема Картака и получен положительный ответ на вопрос Фора. В той же работе [82] фактически было доказано, что класс аддитивных функций интервала, порождающих абсолютно непрерывные вариационные меры относительно полного базиса, в точности является классом всех аддитивных ACG^-функций (была доказана ключевая лемма [82, лемма 6.2], из которой этот результат вытекает). Однако эта теорема сингапурского математика была опубликована только в 2005 г.

Теорема S (Lee Tuo-Yeong, [85]). Аддитивная функция т-мерного интервала F является неопределённым кратным интегралом Курцвейля-Хенстока тогда и только тогда, когда F является ACGs-функцией на т-мерном интервале I.

Таким образом, только в начале 21 в. было доказано, что класс аддитивных ЛСС^-функций, определённый Р. Хенстоком, является тем самым классом обобщённо абсолютно непрерывных функций, характеризующим как в одномерном, так и в многомерном случаях, все функции интервала, являющиеся неопределёнными интегралами Курцвейля-Хенстока. Это означает, что определение Р является той самой формой дескриптивного определения кратного интеграла Курцвейля-Хенстока, инвариантной относительно размерности пространства.

При доказательстве теоремы R Ли Туо-Йеонг в конечном итоге основывался на следующем простом факте: при любом разбиении т-мерного интервала / на конечное число неперекрывающихся m-мерных интервалов Ji,.,Jp каждый интервал является 23^-интервалом (см. §1.1). В то же время уже не при всяком разбиении двоичного или Р-ичного интервала на конечное число m-мерных интервалов получатся двоичные или Р-ичные интервалы Jj. Таким образом, доказательство, данное Ли Туо-Иеонгом, существенно использует специфику полного базиса Вш и не проходит для двоичного и 'Р-ичного базисов Bd и Bv. В связи с этим возникает закономерный вопрос о поиске дескриптивных характеристик кратных двоичного ■ и 'Р-ичного интегралов Курцвейля-Хенстока, подобных теоремам R и S.

В 1991 г. Р. Гордоном в работе [41] было введено понятие ЛС^-функции, являющееся аналогом класса ЛСг-функций для двоичного базиса.

Определение R (Gordon, [41]). Функция /: [0,1] -> R является АСд-функцией на непустом множестве Е С [0,1], если для любого £>0 существуют функция S: Е —У (0, +оо) и г) > 0, такие, что для любого двоичного разбиения {(ж;, Ji)}P=l на множестве Е, согласованного с £(•) (т.е. разбиения, р в котором участвуют только двоичные отрезки Jj), для которого ^2\Ji\<r], i=l справедливо неравенство г=1

По определению всякая функция /: [0,1] —> R является АС^-функцией на пустом множестве. Функция /: [0,1] —> R является ACGd-функцией на мно

00 эюестве Ес [0,1], если справедливо представление Е= JJ Еп, где / является п=1

АС^-функцией на каждом множестве Еп.

Совершенно аналогично определению О определения ACd- и АС^-функции распространяются на подмножества единичного куба [0,1]т. В той же работе [41] теми же методами, что и в [40], была получена частичная дескриптивная характеристика двоичных интегралов Курцвейля-Хенстока на отрезке.

Теорема Т (Gordon, [41]). Функция F: [0,1] -»■ R является неопределённым интегралом Курцвейля-Хенстока функции f: [0,1] —R тогда и только тогда, когда F является ACGd функцией па отрезке [0,1], дифференцируемой в двоичном смысле почти всюду, причём двоичная производная F'd(x) — f{x) почти всюду на [0,1] (определение двоичной производной см. §1.2).

Наконец, Гордоном были заданы вопросы:

1) Существует ли на отрезке [0,1] непрерывная функция, дифференцируемая всюду в двоичном смысле, но не дифференцируемая в обычном смысле на некотором более чем счётном множестве?

2) Всякая ли АСС^-функция дифференцируема в двоичном смысле почти всюду?

Частичный ответ на первый вопрос был опубликован В.А. Скворцовым в 1990 г. (на год раньше самого вопроса) в работе [121], в которой был построен пример непрерывной на отрезке [0,1] функции /, дифференцируемой в двоичном смысле всюду на [0,1], кроме некоторого не более чем счётного множества двоично-рациональных точек, которая не является УБО-функцией на [0,1]. Отсюда вытекает /, что заведомо не дифференцируема на некотором более чем счётном множестве, т.к. иначе по теореме [158, гл. 7, § 10, теорема 10.1] она являлась бы ^БС^-функцией на отрезке [0,1]. Недавно в работе [9] был построен пример непрерывной на отрезке [0,1] функции, имеющей всюду конечную троичную производную, но не являющейся VBG-фупкцией на [0,1]. Эти результаты, в частности, показывают, что двоичный и "Р-ичный интегралы Курцвейля-Хенстока существенно шире интеграла Курцвейля-Хенстока (см. также [162]). Положительный ответ на второй вопрос Гордона был дан в работе [8]. В 2000 г. J1.B. Линьковым теорема Т была распространена на р-регулярный двоичный интеграл Курцвейля-Хенстока.

Теорема U (Линьков, [149]). Аддитивная функция р-регулярного двоичного интервала F является неопределённым р-регулярным двоичным интегралом Кгурцвейля-Хенстока функции f: I —> R тогда и только тогда, когда F является ACGd-функцией па р-регуляриом двоичном интервале I, дифференцируемой в р-регулярном двоичном смысле почти всюду на I, причём р-регуляриая двоичная производная DdpF(x)=f(x) почти всюду на

Цре( о,1]).

Наконец, в том же 2000 году Б. Бонжорно, JI. Ди Пьяцца и В.А. Скворцов в работе [8] распространили следствие 0.1 на некоторый класс абстрактных дифференциальных базисов на отрезке, включающий в себя двоичный базис.

Теорема V (Bongiorno, Di Piazza, Skvortsov, [8]). Пусть задан дифференциальный BF-базис Витали и Перрона В, составленный из отрезков действительной прямой и обладающий свойством разбиения и свойством Варда. Функция F: I -> R является неопределённым КН^-интегралом тогда и только тогда, когда вариационная мера V(B, F, •) абсолютно непрерывна на В-отрезке I (по поводу необходимых определений см. § 1.1 и §1.2).

В дальнейшем выяснилось, что в указанный класс дифференциальных базисов Р-ичный базис Bv входит тогда и только тогда, когда последовательность натуральных чисел V—{pi]^ (pi> 1) ограничена (см. [9, теорема4.1]). Таким образом, теорема V даёт полную дескриптивную характеристику Р-ичных интегралов Курцвейля-Хенстока, определённых на Р-ичном отрезке, в терминах абсолютной непрерывности соответствующей вариационной меры для ограниченной последовательности Р. В работе JI. Ди Пьяццы [26] теорема V обобщена на многомерный случай.

Теорема W (Di Piazza, [26]). Пусть задан дифференциальный BF-базис Витали и Перрона В, составленный из т-мерных интервалов и облада-югций свойствами разбиения, Витали и Варда. Аддитивная функция В-интервала F является неопределённым )СНв-интегралом тогда и только тогда, когда вариационная мера V[B,F, •) абсолютно непрерывна на В-иитервале I (по поводу необходимых определений см. §1.1 и §1.2).

Поскольку Р-ичные базисы Bj, где последовательность натуральных чисел Р ограничена и р£(0,1), обладают всеми этими свойствами, то для них теорема W даёт полную дескриптивную характеристику р-регулярных Р-ичных интегралов Курцвейля-Хенстока в терминах абсолютной непрерывности соответствующих вариационных мер. Наконец, доказанная в 2004 г. в работе [176] теорема о производной Радона-Никодима вариационной меры относительно двоичного базиса (см. также теорему 2.15) позволила установить полную дескриптивную характеристику кратных двоичных интегралов Курцвейля-Хенстока, аналогичную теореме R.

Теорема X (Жеребьёв, [177]). Аддитивная функция двоичного интервала F является неопределённым кратным двоичным интегралом Курцвейля-Хепстока тогда и только тогда, когда вариационная мера V(Bd,Fr-) абсолютно непрерывна на двоичном интервале /С[0,1]т.

В 2005 г. в работе [180] был введён класс BACGs-фупкцш, обобщающий понятия ACG5- и ACGd-функцш в отношении произвольного дифференциального базиса В в Rm, и для достаточно широкого класса дифференциальных базисов в Rm, включающего в себя все дифференциальные базисы, приведённые в таблице § 1.1, было доказано, что класс функций, порождающих абсолютно непрерывные вариационные меры, относительно фиксированного базиса В в точности является классом всех #ЛС(7<$-функций ([180, теоремы 3, 4]). Тем самым была установлена полная дескриптивная характеристика кратных двоичных интегралов Курцвейля-Хенстока, подобная теореме S.

Теорема Y (Скворцов, Жеребьев, [180]). Аддитивная функция двоичного интервала F является неопределённым кратным двоичным интегралом Курцвейля-Хенстока тогда и только тогда, когда F является ACGd-фуикцией на двоичном интервале /с[0,1]т.

Следует отметить, что дескриптивную характеристику в терминах вариационных мер допускает также интеграл Лебега. Так в 1997 г. В. Пфеффером в работе [114] было доказано, что функция /: [а, Ь] R абсолютно непрерывна на отрезке [а, b] тогда и только тогда, когда вариационная мера, построенная по этой функции, относительно базиса Мак-Шейна абсолютно непрерывна на [а,Ь] (определение базиса Мак-Шейна см. в §1.1). В 1998 г. В.А. Скворцов перенёс указанный результат на пространство Rm.

Теорема Z (Скворцов, [164]). Аддитивная фг^тция m-мерного интервала F является неопределённым интегралом Лебега тогда и только тогда, когда вариационная мера V(Bm,F,-), построенная по этой функции, относительно базиса Мак-Шейна Вт абсолютно непрерывна на т-мерном интервале I (см. также [26, предложение 1]).

Наконец, в настоящей диссертации на основе доказанной теоремы о производной Радона-Никодима вариационной меры относительно Р-ичного базиса Bv (теорема 2.15) рассуждениями, аналогичными работам [177] и [180], выводятся полные дескриптивные характеристики кратных Р-ичных интегралов Курцвейля-Хенстока, подобные теоремам X и Y, в предположении ограниченности последовательности натуральных чисел Р. Главные результаты данной диссертации приведены в теоремах 3.7, 3.8 и формулируются следующим образом.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА. Пусть задана ограниченная последовательность натуральных чисел V = {pi}^ (Pi > 1), V-ичный интервал / с[0,1]т и аддитивная функция V-ичного интервала F. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) функция F является неопределёп7шм кратным V-ичным интегралом Курцвейля-Хенстока;

2) вариационная мера V[Bv,F,-) абсолютно непрерывна на V-ичном интервале I;

3) F является VACGs-функцией па V-ичном интервале I.

Диссертация состоит из введения и 3 глав. В первой главе вводятся основные понятия, а также формулируются известные факты, необходимые для дальнейшего изложения. При рассмотрении интегралов хенстоковского типа за основу взят подход, предложенный Б. Томсоном в монографии [131] и К. Осташевским в диссертации [108], основанный на понятии дифференциального базиса. В связи с этим, следуя терминологии монографии [144] и работ [7], [8], [26], [107], [180], в §1.1 вводится понятие дифференциального, базиса, даются определения основных классов дифференциальных базисов (базисы Перрона, ВF-базисы, базисы Витали и др.), доказываются известные утверждения о свойстве разбиения некоторых дифференциальных базисов (лемма 1.1) и о соотношении между классом дифференциальных базисов, обладающих свойством разбиения, и классом базисов Витали (утверждение 1.1). В § 1.2 даются определения различных видов производных и производных чисел функции множества относительно дифференциального базиса, фактически заимствованные из монографии [158]. В связи с обсуждаемыми понятиями даётся определение свойства Варда дифференциального базиса. Наконец, в §1.3 кратко приводятся определения и формулировки некоторых теорем общей теории меры, необходимые для дальнейшего изложения.

1. AleksandroffP., Uber die Aquivalenz des Perronschen und des Denjoyschen 1.tegralbegriffcs, Math. Zeitschr. 20 (1924), 213-222.

2. Aleksandroff P., L'integmtion au sens de M. Denjoy consideree comme recherche des fonctions primitives, Матем. Сборник 31 (1924), 465-476.

3. Bartle R.G., A modern theory of integration, Providence, 2001, 1-458.

4. Bauer H., Der Perronsche Integralbegriff und seine Beziehung zum Lebesgueschen, Monatshefte Math. Phys. 26 (1915), 153-198.

5. Bongiorno В., Essential variation. Measure Theory Oberwolfach 1981, Lect. Notes in Math. 945, Springer-Verlag, Berlin, 1981, 187-193.

6. Bongiorno В., Di Piazza L., Skvortsov V., A new full descriptive characterization of Denjoy-Perron integral, Real Analysis Exchange 21(2) (1995/96), 656-663.

7. Bongiorno В., Di Piazza L., Skvortsov V., On continuous major and minor functions for the n-dimensional Perron integral, Real Analysis Exchange 22(1) (1996/97), 318-327.

8. Bongiorno В., Di Piazza L., Skvortsov V. A., On variational measures related to some bases, J. Math. Anal, and Appl. 250(2) (2000), 533-547.

9. Bongiorno В., Di Piazza L., Skvortsov V. A., The Ward property for a V-adic basis and the V-adic integral, J. Math. Anal, and Appl. 285 (2003), 578-592.

10. Bongiorno В., Vetro P., Un teorema sulla rappresentazione degli integrali, Rend. Circ. Mat. Palermo ser. 2 28(1) (1979), 33-36.

11. Buczolich Z., Henstock integrable functions are Lebesgue integrable on a portion, Proc. Ainer. Math. Soc. 111(1) (1991), 127-129.

12. Buczolich Z., Nearly upper semicontinuous gauge functions in Rm, Real Analysis Exchange 13(2) (1987/88), 436-440.

13. Buczolich Z., Characterization of upper semicontinuously integrable functions, J. Austral. Math. Soc. ser. A, 59(2) (1995), 244-254.

14. Bullen P.S., Queries 178, Real Analysis Exchange 12 (1986/87), 393.

15. Bullen P.S. et al (ed.), New integrals, Lect. Notes in Math. 1419, Springer-Verlag, Berlin, 1990.1G. Busemann H., Feller W., Zur Differentiation der Lebesgueschen Integrate, Fund. Math. 22 (1934), 226-256.

16. Caratheodory C., Vorlesungen iiber reelle Funktionen, Teubner, Leipzig-Berlin, 1927, 1-718.

17. Chew Tuan Seng, On the equivalence of Henstock-Kurzweil and restricted Denjoy integrals in Rn, Real Analysis Exchange 15(1) (1989/90), 259-268.

18. Cousin P., Sur les fonctions de n variables complexes, Acta Math. 19 (1895), 1-62.

19. Davies R.O., Schuss Z., A proof that Henstock's integral includes Lebesgue's, J. London Math. Soc. ser. 2, 2(3) (1970), 561-562.

20. Denjoy A., Une extension de I'integrale de M. Lebesgue, C. R. Acad. Sci. Paris 154 (1912), 859-862.

21. Denjoy A., Calcul de la primitive de la fonction derivee la plus generate, C. R. Acad. Sci. Paris 154 (1912), 1075-1078.

22. Denjoy A., Memoire sur la totalisation des nombres derives поп sommables, Ann. Ecole Norm. Sup. 33 (1916), 127-222.

23. Denjoy A., Totalisation des nombres derives поп sommables, Ann. Ecole Norm. Sup. 34 (1917), 181-236.

24. DePree J.D., Swartz C.W., Introduction to real analysis, John Wiley & Sons, New York, 1988, 1-355.

25. Di Piazza L., Variational measures in the theory of the integration in Rm, Czech. Math. J. 51(126) (1) (2001), 95-110.

26. Ding C.S., Lee P.Y., Generalized Riemann integral, World Scientific, Singapore, 1989.

27. Ene V., Characterizations of ACV П С, AC* П Ci, AC and AC functions, Real Analysis Exchange 19(2) (1993/94), 491-509.

28. Ene V., Real functions — current topics, Lect. Notes in Math. 1603, Springer-Verlag, Berlin, 1995.

29. Hawkins Т., Lebesgue's theory of integration. Its origins and development, University of Wisconsin Press, Madison — London, 1970, 1-227.

30. Henstock R., A new descriptive definition of the Ward integral, J. London Math. Soc. 35 (1960), 43-48.

31. Henstock R., Definitions of Riemann type of the variational integrals, Proc. London Math. Soc. ser. 3, 11(43) (1961), 402-418.

32. Henstock R., Theory of Integration, Butterworths, London, 1963, 1-168.

33. Henstock R., Majorants in variational integration, Canad. J. Math. 18(1) (1966), 49-74.

34. Henstock R., A Riemann-type integral of Lebesgue power, Canad. J. Math. 20(1) (1968), 79-87.

35. Henstock R., Linear analysis, Butterworths, London, 1968.

36. Henstock R., The variation on the real line, Proc. Royal Irish Acad. sec. A, 79(1) (1979), 1-10.

37. Henstock R., A problem in two-dimensional integration, J. Austral. Math. Soc. ser. A, 35 (1983), 386-404.

38. Henstock R., Lectures on the theory of integration, World Scientific, Singapore, 1988.

39. Henstock R., General theory of integration, Clarendon Press, Oxford, 1991, 1-262.

40. Jarmk J., Kurzweil J., A general form of the product integral and linear, ordinary differential equations, Czech. Math. J. 37(112) (1987), 642-659.

41. Jarmk J., Kurzweil J., Equiintegrability and controlled convergence of Perron-type integrable functions, Real Analysis Exchange 17(1) (1991/92), 110-139.

42. Jarni'k J., Kurzweil J., Differentiability and integrability in n dimensions with respect to a-regular intervals, Resultate Math., 21 (1992), 138-151.

43. Jurkat W.B., Knizia R.W., A characterization of multi-dimensional Perron integrals and the fundamental theorem, Canad. J. Math. 43(3) (1991), 526539.

44. Kartak К., К theorii vicerozmerneho integralu, Casopis Pest. Mat. 80(4) (1955), 400-414.

45. Kempisty S., Sur les fonctions absolument continues d'intervalle, Fund. Math. 27(1) (1936), 10-37.

46. Kempisty S., Sur les fonctions absolument semi-continues, Fund. Math. 30 (1938), 104-127.

47. Khintchine A., Sur une extension de I'integrale de M. Denjoy, C. R. Acad. Sci. Paris 162 (1916), 287-291.

48. Kim J.B., Lee D.H., Lee W.Y., Park C-G., Park J.M., The s-Perron, sap-Perron and ap-McShane integrals, Czech. Math. J. 54(129) (3) (2004), 545-557.

49. Kolmogoroff A., Untersuchungen iiber den Integralbegriff, Math. Ann. 103(4-5) (1930), 654-696.

50. Krzyzaiiski M., О uogolnionych bezwzglednie ciaglych funkcjach dwoch zrniennych, Ann. Soc. Pol. Math. 14 (1935).

51. Kubota Y., A note on McShane's integral, Math. Japonica 30(1) (1985), 57-62.

52. Kurzweil J., Generalized ordinary differential equations and continuous dependence on a parameter, Чехословацкий математический журнал 7(82) (3) (1957), 418-446.

53. Kurzweil J., On Fubini Theorem for the general Perron integral, Czech. Math. J. 23(98) (1973), 286-297.

54. Kurzweil J., Nichtabsolut konvergente Integrale, Teubner Verlagsgesells-chaft, Leipzig, 1980, 1-184.

55. Kurzweil J., Henstock-Kurzweil integration: Its Relation to Topological Vector Spaces, World Scientific, Singapore, 2000, 1-135.

56. Kurzweil J., Schwabik S., On McShane integrability of Banach space-valued functions, Real Analysis Exchange 29(2) (2003/04), 763-780.

57. La Vallee-Poussin C.J., Course d'analyse infinitisimale, t. 1, Paris, 1909, 1-423.

58. Lebesgue H., Sur une generalisation de'lintegrale definie, C. R. Acad. Sci. Paris 132 (1901), 1025-1028.

59. Lebesgue H., Integrale, longueur, aire, Ann. di Matem. 7 (1902), 231-359.

60. Lee Peng-Yee, Lanzhou lectures on Henstock integration, World Scientific, Singapore, 1989, 1-179.

61. Lee Peng Yee, On ACG* functions, Real Analysis Exchange 15(2) (1989/90), 754-759.

62. Lee Peng Yee, Vyborny R., Kurzweil-Henstock Integration and the Strong Lusin Condition, Boll. Unione Mat. Ital. ser. 7, 7-B (1993), 761-773.

63. Lee Peng Yee, Vyborny R., The Integral: An Easy Approach after Kurzweil and Henstock, Cambridge University Press, Cambridge, 2000, 1-311.

64. Lee Peng Yee, Wittaya Naak-in, A direct proof that Henstock and Denjoy integrals are equivalent, Bull. Malaysian Math. Soc. ser. 2, 5(1) (1982), 43-47.

65. Lee Tuo-Yeong, The sharp Riesz-type definition for the Henstock-Kurzweil integral, Real Analysis Exchange 28(1) (2002/03), 55-70.

66. Lee Tuo-Yeong, A full descriptive definition of the Henstock-Kurzweil integral in the Euclidean space, Proc. London Math. Soc. 87(3) (2003), 677-700.

67. Lee Tuo-Yeong, A New Characterization of Buczolich's Upper Semiconti-nuously Integrable Functions, Real Analysis Exchange 30(2) (2004/05), 779-782.

68. Lee Tuo-Yeong, The Henstock variational measure, Baire functions and a problem of Henstock, Rocky Mountain J. Math. 35(6) (2005), 1981-1997.

69. Lee Tuo-Yeong, Some full descriptive characterizations of the Henstock--Kurzweil integral in the Euclidean space, Czech. Math. J. 55(130) (2005), 625-637.

70. Lee Tuo-Yeong, Chew Tuan-Seng, Lee Peng-Yee, On Henstock integrability in Euclidean spaces, Real Analysis Exchange 22(1) (1996/97), 382-389.

71. Lee Tuo-Yeong, Lee Peng-Yee, On necessary and sufficient conditions for non-absolute integrability, Real Analysis Exchange 20(2) (1994/95), 847857.

72. Lin Ying-Jian, On the equivalence of McShane and Lebesgue integrals, Real Analysis Exchange 21(2) (1995/96), 767-770.

73. Liu Genqian, The measurability of 8 in Henstock integration, Real Analysis Exchange 13(2) (1987/88), 446-450.

74. Liu Genqian, On necessary conditions for Henstock integrability, Real Analysis Exchange 18(2) (1992/93), 522-531. ' '

75. Liu Genqian, Lee Peng Yee, Bullen P.S., A note on major and minor function for the Perron integral, Real Analysis Exchange 20(1) (1994/95), 336-339.

76. Looman H., Sur la totalisation des derivees des fonctions continues de plusieurs variables independantes, Fund. Math. 4 (1923), 246-285.

77. Looman H., Ueber die Perronsche Integraldefinition, Math. Ann. 93 (1925), 153-156.

78. Lu S., On the construction of major and minor functions, J. Math. Study 27(1) (1994), 121-126.

79. Lu Shi-Pan, Lee Peng-Yee, Globally Small Riemann Sums and the Henstock Integral, Real Analysis Exchange 16(2) (1990/91), 537-545.

80. Lusin N., Sur les proprietes de Vintegrale de M. Denjoy, C. R. Acad. Sci. Paris 155 (1912), 1475-1477.

81. Marik J., Zdklady theorie integralu v euklidovych prostoreh, Casopis Pest. Mat. 77(1) (1952), 1-51, 125-145, 267-300.

82. McGill P., Properties of the variation, Proc. Royal Irish Acad. sec. A 75(7) (1975), 73-77.

83. McLeod R., The generalized Riemann integral, Carus Mathematical Monograph, №20, Washington, 1980, 1-275.

84. McShane E.J., A Riemann-type integral that includes Lebesgue-Stieltjes, Bochner and stochastic integrals, Mem. Amer. Math. Soc. 88 (1969), 1-54.

85. McShane E.J., A unified theory of integration, Amer. Math. Monthly 80(4) (1973), 349-359. . .

86. McShane E.J., Stochastic calculus and stochastic models, Academic Press, New York, 1974.

87. McShane E.J., Unified Integration, Academic Press, New York — London, 1983, 1-607.

88. Mendoza J., On Lebesgue integrability of McShane integrable functions, Real Analysis Exchange 18(2) (1992/93), 456-458.

89. Navarro M.P., Skvortsov V.A., On n-dimensional Perron integral, South East Asian Math. Bull. 20(2) (1996), 111-116.

90. Ostaszewski К. M., Henstock integration in the plane, Mem. Amer. Math. Soc. 63(353) (1986), 1-106.

91. Pacquement A., Determination d'une fonction au moyen de sa derivee sur un reseau binaire, C. R. Acad. Sci. Paris ser. A,B, 284(6) (1977), 365-368.

92. Pap E. (ed.), Handbook of Measure Theory, v. 1, 2, North-Holland, Amsterdam, 2002, v. 1, 1-786; v. 2, 787-1607.

93. Perron O., Uber den Integralbegriff, Sitzber. Heidelberger Akad. Wiss. Abt. A16 (1914), 1-16.

94. Pfeffer W.F., A note on the generalized Riemann integral, Proc. Amer. Math. Soc. 103(4) (1988), 1161-1166.

95. Pfeffer W.F., The Riemann approach to integration. Local geometric theory, Cambridge University Press, New York, 1993, 1-302.

96. Pfeffer W.F., On variations of functions of one real variable, Comment. Math. Univ. Carolinae 38(1) (1997), 61-71.

97. Pfeffer W.F., The Lebesgue and Denjoy-Perron integrals from a descriptive point of view, Ricerche di Matematica 48(2) (1999), 211-223.

98. Romanovski P., Essai d'une exposition de Vintegrale de Denjoy sans nombres transjinis, Fund. Math. 19 (1932), 38-44.

99. Saks S., Sur les fonctions d'intervalle, Fund. Math. 10 (1927), 211-216.

100. Saks S., Remarks on the differentiability of the Lebesgue indefinite integral, Fund. Math. 22 (1934), 257-261.

101. Sarkhel D.N., A criterion for Perron integrability, Proc. Amer. Math. Soc. 71(1) (1978), 109-112.

102. Skvortsov V.A., Generalized integrals in the theory of trigonometric, Haar and Walsh series, Real Analysis Exchange 12(1) (1986/87), 59-62.

103. Skvortsov V.A., Some properties of dyadic primitives, Lect. Notes in Math. 1419, Springer-Verlag, Berlin, 1990, 167-179.

104. Skvortsov V.A., Continuity of S-variation and construction of continuous major and minor functions for the Perron integral, Real Analysis Exchange 21(1) (1995/96), 270-277.

105. Skvortsov V., Nonabsolutely convergent integrals in the problem of recovering the coefficients of orthogonal series, Banach Center publication 56 (2002), 107-117.

106. Skvortsov V.A., Sworowski R, On McShane-type integrals with respect to some derivation bases, Math. Bohemica 131(4) (2006), 365-378.

107. Skvortsov V.A., Thomson B.S., Symmetric integrals do not have the Marcinkiewicz property, Real Analysis Exchange 21(2) (1995/96), 510-520.

108. Stromberg K.R., An introduction to classical real analysis, Wadsworth, Belmont, 1981, 1-575.

109. Swartz C., Introduction to gauge integrals, World Scientific, Singapore, 2001, 1-157.

110. Thomson B.S., Construction of measures in metric spaces, J. London Math. Soc. ser. 2, 14(1) (1976), 21-24.

111. Thomson B.S., On the derived numbers of VBG* functions, J. London Math. Soc. ser. 2, 22(3) (1980), 473-485.

112. Thomson B.S., Outer measures and total variation, Canad. Math. Bull. 24(3) (1981), 341-345.

113. Thomson B. S., Derivation bases on the real line, Real Analysis Exchange 8(1) (1982/83), 67-207; 8(2) (1982/83), 278-442.

114. Thomson B.S., Real functions, Lect. Notes in Math. 1170, Springer-Verlag, Berlin, 1985.

115. Thomson B.S., Derivates of interval functions, Mem. Amer. Math. Soc. 93(452) (1991), 1-96.

116. Thomson B.S., Some properties of variational measures, Real Analysis Exchange 24(2) (1998/99), 845-854.

117. Vyborny R., Kurzweil-Henstock absolute integrable means McShane integ-rable, Real Analysis Exchange 20(1) (1994/95), 363-366.

118. Ward A.J., The Perron-Stieltjes integral, Math. Zeitschr. 41 (1936), 578604.

119. Агаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М., Рубинштейн А.И., Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нульмерных группах, В., 1981, 1-180.

120. Бари Н.К., Тригонометрические ряды, М., 1961, 1-936.

121. Богачёв В.И., Основы теории меры, М.-И., 2003, т. 1, 1-543; т. 2, 1-575.

122. Булинский А.В., Ширяев А.Н., Теория случайных процессов, М., 2003, 1-399.

123. Валле-Пуссен Ш.-Ж., Курс анализа бесконечно малых, М., 1933, т. 1, 1-464; т. 2, 1-470.

124. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А., Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения, М., 1987, 1-344.

125. Гохман Э.Х., Интеграл Стилтьеса и его приложения, М., 1958,1-191.

126. Гусман М., Дифференцирование интегралов в М., 1978, 1-200.

127. Дьяченко М.И., Ульянов П.Л., Мера и интеграл, М., 1998, 1-159.

128. Камке Е., Интеграл Лебег а-Стилтьеса, М., 1959, 1-328.

129. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа, М., 2004.

130. Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, М., 1934, 1-324.

131. Линьков Л.В., Эквивалентность различных определений двоичного регулярного интеграла на плоскости, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. №5 (2000), 50-53.

132. Лоэв М., Теория вероятностей, М., 1962, 1-719.

133. Лузин Н.Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М.-Л., 1951, 1-550.

134. Лузин Н.Н., Собрание сочинений, т. 1, М., 1953, 1-400.

135. Лукомский С.Ф., Интегральное исчисление (функции одной переменной), Саратов, 2005, 1-143.

136. Медведев Ф.А., Развитие понятия интеграла, М., 1974, 1-423.

137. Натансон И.П., Теория функций вещественной переменной, Санкт-Петербург, 1999, 1-560.

138. Песин И.Н., Развитие понятия интеграла, М., 1966, 1-207.

139. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, М., 1979, 1-587.

140. Сакс С., Теория интеграла, М., 2004, 1-493.

141. Севастьянов Б.А., Курс теории вероятностей и математической статистики, М., 1982, 1-255.

142. Скворцов В.А., О рядах Хаара, сходящихся по подпоследовательиос-' тям частичных сумм, ДАН СССР 183(4) (1968), 784-786.

143. Скворцов В.А., Некоторое обобщение интеграла Перрона, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. №4 (1969), 48-51.

144. Скворцов В.А., О теореме Марцинкевича для двоичного интеграла Перрона, Матем. Заметки 59(2) (1996), 267-277.

145. Скворцов В.А., Вариационная мера и достаточное условие диффе-ренцируемости аддитивной фг^гкции интервала, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. №2 (1997), 55-57.

146. Скворцов В.А., О вариационной мере, порождённой неопределённым интегралом Лебега, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. М (1998), 14-16.

147. Скворцов В.А., О кратном интеграле Перрона, Вестн. Моск. ун-та.' Сер. 1. Математика. Механика. №2 (2000), 11-14.

148. Скляренко В.А., Обобщённые интегралы в теории тригонометрических рядов, Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук, МГУ, М., 1973.

149. Толстов Г.П., Об интеграле Реггоп'а, Матем. Сборник 5(47) (1939), 647-660.

150. Толстов Г.П., Мера и интеграл, М., 1976, 1-392.

151. Халмош П., Теория меры, М., 2003, 1-253.

152. Хинчин А., О процессе интегрирования Denjoy, Мат. Сборник 30(4) (1916), 543-557.

153. Челидзе В.Г., Джваршейшвили А.Г., Теория интеграла Данжуа и некоторые её прилоэ/сения, Тбилиси, 1978, 1-363. • •

154. Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л., Интеграл, мера и производная, М., 1967, 1-219.

155. Ширяев А.Н., Вероятность, М., 1980, 1-574.

156. Энгелькинг Р., Общая топология, М., 1986, 1-751.

157. Жеребьёв Ю.А., О дескриптивной характеристике двоичного многомерного интеграла Курцвейля-Хенстока, Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции, Воронеж: ВГУ, 2003, 97.

158. Жеребьёв Ю.А., Скворцов В.А., О производной Радона-Никодима для вариационной меры, построенной по двоичному базису, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. №5 (2004), 6-12.

159. Жеребьёв Ю.А., О дескриптивной характеризации многомерного' двоичного интеграла Курцвейля-Хенстока с помощью вариационной меры, Труды XXVI Конференции молодых учёных механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, М., 2004, т. 1, 93-96.

160. Жеребьёв Ю.А., AC Gg-функции и кратный интеграл Данжуа-Перрона, Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы, Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2004, 82-83.

161. Skvortsov V., Zherebyov Y., On classes of functions generating absolutely continuous variational measures, Real Analysis Exchange 30(1) (2004/05), 361-372.

162. Жеребьёв Ю.А., VBGq-фупкции и а-конечные вариационные меры, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. №6 (2005), 17-22.

163. Жерсбьёв Ю.А., О достаточном условии а-конечности вариационной меры, Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы, Саратов: ООО Изд-во "Научная книга", 200G, 68-69.