Необходимые и достаточные условия существования разрывных решений задач вариационного исчисления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

СЕМЕНОВ Алексей Валерьевич

Необходимые и достаточные условия существования разрывных решений задач вариационного исчисления

01.01.02- Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2004

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского

Научные руководители - доктор физико-математических наук, профессор [Морозов Станислав Федорович!

- доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов Юрий Алексеевич

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор Слугин Сергей Николаевич кандидат физико-математических наук, доцент Петров Владислав Викторович

Ведущая организация - Институт вычислительной математики РАН

Защита состоится « 29 » апреля 2004г. в 'Г на заседании

диссертационного совета Д 212.166.06 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, Нижний Новгород, пр-т Гагарина, 23, корп. 2, конференц-зал

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ННГУ.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.166.06,

кандидат физико-мадамичеосикАаук.

доцент_ " ¡Ф^ГП в и- Лукьянов

На Парижской конференции 1900 года Д.Гильберт сформулировал для регулярной вариационной задачи1'

где Ж - аналитическая функция, две проблемы: девятнадцатую и двадцатую. В 20-й проблеме спрашивалось: «допускает ли решение каждая регулярная вариационная задача, если только на данные граничные условия наложены определенные допущения, ..., - и если в случае необходимости самому понятию решения придать расширенное толкование». В то же время в 19-ой проблеме ставился вопрос «являются ли решения регулярной вариационной задачи необходимо аналитическими» независимо от свойств гладкости или аналитичности граничных условий. Работами, определившими основные направления дальнейших исследований, явились труды С.Н.Бернштейна и А.Лебега.

Первым результатом, относящимся к 19-ой проблеме Гильберта, было исследование С.Н.Бернштейна, в котором было установлено, что трижды непрерывно > дифференцируемое решение I регулярной аналитической задачи аналитично. Для решения 20-ой проблемы им был развит метод продолжения решения дифференциального уравнения по параметру.

Работы - Лебега, Гильберта, Куранта послужили началом развития так называемых прямых методов вариационного исчисления. Согласно идее Гильберта, проблемы отыскания аналитических решений для аналитических задач разбивается на две: установление существования обобщенного решения и последующее изучение его дифференциальных свойств. Исследование вопроса разрешимости вариационных задач прямыми методами в свою очередь также распадается на две: 1) установление компактности множества допустимых функций и 2) доказательство полунепрерывности снизу вариационного функционала. Данный метод получил глубокое развитие в трудах Л.Тонелли, Н.Н.Боголюбова, Е.Макшейна, А.Г.Сигалова, В.И.Плотникова, О.АЛадыжен-ской, Н.Н.Уральцевой и др.

Изучение аналогичных вопросов, касающихся пространственных вариационных задач минимизации функционала

среди вектор-функций К(х) = (у^х), ... , уДх)) осуществлялось путем расширения класса допустимых функций: перехода от рассмотрения непрерывно дифференцируемых до абсолютно непрерывных. В работах Л.Тонелли, М.Нагумо, М.Граве, Б.Макшейна было установлено, что квазирегулярная задача на определение минимума функционала (1) разрешима в классе абсолютно непрерывных функций, если порядок роста интегранта а больше 1 и существуют постоянные т > О, к > О такие, что

/Чх.ппН^Г-*.

где уФ"Ц)- положительная монотонно возрастающая непрерывная функция, стремящаяся к +оо при ¡К'! -» °о.

В то же время, для предельного показателя порядка роста интегранта существуют примеры (Е.Макшейн, С.Н.Бернштейн, ДЛауден, Р.Курант) положительно квазирегулярных задач, для которых решение в

виде однозначно определенной функции не существует, и для того,

чтобы вариационная задача имела смысл, необходимо расширить понятие решения, взяв в качестве допустимых кривых такие, которые обладают разрывами типа «стенка», т.е. имеют дуги, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси Ох. Аналогично обстоит дело и, для многомерных вариационных задач. Р.Курант считал, что для задачи Плато в непараметрической форме Гильберт допускал рассмотрение поверхностей, которые на некоторых участках не задаются уравнением что равносильно переходу к

параметрической форме.

Переход к классам разрывных функций неоднократно, осуществлялся в рамках теории вариационного исчисления. Так, в. работах А.М.Размадзе изучались разрывные решения, обладающие конечным числом точек разрыва первого рода. Развитием метода вариаций в направлении А.М.Размадзе занимались Г.Н.Николадзе, К.С.Ермилин, М.К.Керимов и др.

Необходимость расширения понятия решения посредством введения в рассмотрение функций, обладающих разрывами типа «стенка» определяется не только нуждами развития теории вариационного исчисления, но и наличием

> Р > О всюду в области задания

важных прикладных задач (задачи теории полета тел переменной массы, задачи теории упругости, задачи оптимального экономического роста" и др.). Теория одномерных и многомерных вариационных задач, определенных на • классе разрывных функций, обладающих конечным или счетным множеством участков неоднозначности (класс существенно разрывных функций) была развита в работах А.Г.Сигалова, В.Ф.Кротова, С.Ф.Морозова, В.И.Кошелева, В.В.Петрова. При этом В.Ф.Кротовым было осуществлено дальнейшее расширение класса существенно разрывных функций до класса и получены необходимые

и достаточные условия экстремума вариационной задачи в этом расширенном классе. Идея такого расширения основана на переходе от поиска точного решения к задаче отыскания минимизирующих последовательностей. Таким образом, объектом поиска > в расширенной задаче оказывается класс в определенном смысле эквивалентных минимизирующих последовательностей.

Данный путь расширения вариационных задач был впервые осуществлен американскими математиками Л.Лнгом и Е.Макшейном. Для объектов расширенного класса ими было введено понятие обобщенной кривой и построена теория необходимых и достаточных условий экстремума. В теории оптимального управления обыкновенными дифференциальными уравнениями аналогичные конструкции были осуществлены с использованием для расширенного, класса объектов терминов «обобщенная кривая», «обобщенное управление», (Дж.Варга, Е.Макшейн) «скользящий режим» (Р.В.Гамкрелидзе, А.Ф.Филиппов. В.Ф.Кро-тбв), «предельное управление» (А.Гуйла-Ури) и т.п.

В настоящей работе изучение вариационной задачи минимизации функционала (1) в классе существенно разрывных, функций осуществляется посредством перехода к соответствующей ей параметрической (сопряженной) задаче. Данный метод изучения вариационной задачи был предложен Тонелли. а затем развит в работах Макшейна, А.ПСигалова. Исследование сопряженной параметрической задачи опирается на теорию обобщенных кривых Янга-Макшейна. Предлагаемый метод исследования позволяет не только получить в качестве результатов теоремы - существования обобщенного решения

* Кузнецов - Ю.А., Семенов A.B. Учет человеческого капитала в макроэкономических моделях экономического роста // Прикладная статистика в социально-экономических проблемах: материалы международной конференции. Н.Новгород: ИНГУ, 2003 г. С. 107-109.

Кузнецов Ю.А., Семенов A.B. Об одном классе макроэкономических моделей экономического роста // Государственное регулирование экономики. Региональный аспект, материалы четвертой международной науч.-лракт. конференции, T.I. Н.Новгород: ННГУ, 2003 г. C.24I.

сопряженной параметрической задачи, но и доказать существование абсолютного минимума вариационной задачи в исходном классе существенно разрывных функций. Кроме того, он дает возможность значительно ослабить требования на гладкость. интегранта Ж и избавляет от необходимости устанавливать факт полунепрерывности сопряженного функционала I [С] в классе абсолютно непрерывных кривых, имеющих не более чем счетное число вертикальных отрезков.

Помимо установления факта существования разрывного решения вариационной задачи представляет интерес и следующий вопрос: при каких условиях решение вариационной задачи с предельным показателем порядка роста интегранта будет являться не разрывным, а «обычным» решением? Известно, что для существования такого решения помимо требования регулярности, требуется введение некоторых, дополнительных условий. В настоящей диссертации вводятся дополнительные требования на систему уравнений Эйлера, при которых и устанавливается теорема существования - гладкого решения. Данная: теорема обобщает результат Тонелли, полученный им для случая р= 1 .

Цель диссертационной работы состоит в установлении теорем существования решения в непараметрической форме пространственной задачи вариационного исчисления, определенной на совокупности функций с конечным или счетным множеством точек разрыва типа «стенка», посредством распространения теории обобщенных кривых Янга-Макшейна на данный тип вариационных задач, получении' необходимых условий первого порядка в указанном классе и исследовании свойств гладкости решения задачи минимизации функционала (1) в случае предельного показателя порядка роста интегранта

Методы исследования. В работе использованы методы вариационного исчисления, функционального анализа, теории функций действительного переменного, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В: диссертационной работе получены следующие основные результаты:

Построена теория обобщенных кривых Янга-Макшейна применительно к разрывным пространственным квазирегулярным задачам вариационного исчисления. На его основе доказаны теоремы существования решения вариационных задач на классе существенно разрывных функций.

Получены необходимые условия экстремума первого порядка в классе обобщенных спрямляемых кривых и решения в непараметрической форме пространственной задачи вариационного исчисления, определенной на совокупности функций с конечным или счетным множеством точек разрыва типа «стенка». Получены необходимые условия первого порядка решения с разрывной

(п-1)-ой производной методом сведения вариационной задачи со старшими производными к задаче Больца.

Доказана теорема существования гладкого решения регулярной вариационной задачи в случае предельного показателя порядка роста а = 1.

Степень обоснования результатов диссертации. Все научные положения и выводы диссертации строго математически обоснованы. Полученные в ней результаты согласуются с работами других авторов.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в вариационном исчислении, теории оптимального управления, теории дифференциальных уравнений при исследовании вопросов существования решения, а также при исследовании ряда задач теории пластичности, задач управления полетом тел переменной массы, задач экономической динамики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на: Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики» (Воронеж: ВГУ, 1995); Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения-УП» (Воронеж: ВГУ, 1996); Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж: ВГУ, 1997); Четвертой межвузовской научно-технической конференция «Проблемы повышения эффективности вооружения, военной техники и подготовки специалистов в интересах войск ПВО» (Н.Новгород: НВЗРКУ ПВО 1997); Пятой межвузовской научно-технической конференция «Проблемы повышения эффективности вооружения, военной техники и подготовки специалистов в интересах войск ПВО» (Н.Новгород: НВЗРКУ ПВО 1998); Итоговой научной конференции Нижегородского госуниверсита (Н.Новгород: ИНГУ 1999); III Международной научно-методической конференции «Методология преподавания статистики, эконометрики и математической экономики в вузах» (Моск. гос. ун-т экономики, Сочи, 2003); Международной конференции «Прикладная статистика в социально-экономических проблемах» (Н.Новгород: ННГУ 2003); IV МНПК «Государственное регулирование экономики. Региональный аспект» (Н.Новгород: ННГУ 2003); семинарах С.Ф.Морозова (1993-2000) по проблемам теории интегро-дифференциальных уравнений и вариационного исчисления; семинаре по оптимальному управлению мех.-мат.ф-та ННГУ (рук. проф. В.И.Сумин, проф. М.И.Сумин, декабрь 2003).

Публикации. Основные результата: отражены в восемнадцати публикациях, список которых дан в конце автореферата: семи самостоятельных и одиннадцати совместных с научным руководителем | С.Ф.Морозовым"[.

Личным вкладом А.В.Семенова являются формулировки и доказательства теорем. С.Ф.Морозову принадлежало общее руководство исследованием, постановка задач и идеи доказательств некоторых теорем. Ю.А.Кузнецову принадлежит постановка ряда прикладных задач.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения, а также списка литературы из 166 наименований. Объем работы 115 стр.

Краткое содержание работы

Во введении обсуждаются актуальность темы диссертации, новизна полученных результатов, теоретическая ценность работы, изложено краткое содержание и результаты диссертации.

В главе 1 даются основные определения и понятия теории разрывных вариационных задач и строится теория обобщенных кривых Янга-Макшейна в приложении к разрывным задачам вариационного исчисления. В частности, в §1 вводятся класс П допустимых кривых и класс НП допустимых функций.

Спрямляемая кривая С, лежащая в области не имеющая самопересечений и соединяющая точки

£2), принадлежит классу П, если С имеет абсолютно непрерывное представление

и, следовательно, носитель кривой С обладает не более чем счетным числом дуг, лежащих в плоскостях, перпендикулярных оси Ох.'

проекция носителя кривой С на плоскость Каждой точке поставим в соответствие совокупность всех

имеющих х своей проекцией. Тем самым определена функция yt(x), вообще говоря, неоднозначная. Очевидно, что ^(х) не зависит от пара-

метрического представления кривой С. Совокупность всех вектор-функций Y(t) = соответствующих всевозможным кривым по вышеуказанному правилу, составляет класс НП допустимых функций. Функция класса НП может иметь не более чем счетное число точек разрыва и

является абсолютно непрерывной на каждом интервале одно-значности.

посвящен вопросу определения функционала (1) на функциях класса НП. С этой целью формулируются требования на интегрант F:

Пусть функция ^удовлетворяет следующим условиям:

1) F\x, Y, Z) определена и непрерывна по совокупности переменных х, Y, Z: (х, 10ей, -<*> < Zu < оо (к =

2)F- выпуклая вниз функция по Z, т.е. для всех (х. У) G£2, -<*> < Z|, Z2 < 00 . Ol, 02 й 0, + = 1 выполняется неравенство:

Ях, K,Ü,Z, + d2Z2) s 0,Дх, Y, Z,)+ d2F(x, Y, Z2);,

3) в случае р = 1 существует конечный предел

(2)

где w(x, у, sign г) — непрерывная функция по совокупности переменных (х, >)£ Q;

а в случае р>\ - конечный предел

(3)

гле w(x. Y. cos у) — непрерывная функция по совокупности переменных (х, J0C О» ¡сову! л 14).

Используя свойства функции F, определяется интегрант G сопряженного

параметрического функционала , определенного на классе

кривых С £ П.

Функционал J[Y\ на классе функций НП определяется следующим образом: при р = 1 /[У]= 2J¡F(x,Y,r)<b + ^/^.f.signin-Fí])^,- (4)

где х„ xj - точки разрыва функции У(х); Y¡ = Y(x, + 0), Y,= Y(x, - 0);

прир>1 ПУ]=2 fF(x,Y,Y')ck + J fw(xhY,cosr)ds, (5)

где кривая класса П, соответствующая точки разрыва

функции интервалы однозначности, дуги кривой С, для -

которых i(í) — 0. Таким образом, I\Y\ — J\C\, где С — кривая - класса П, соответствующая K(x)GHIl. В случае, когда Г(х) абсолютно непрерывна в (а,Ь), функционал (4), (5) принимает свой обычный вид (1).

В излагаются основные определения и понятия теории обобщенных кривых Янга-Макшейна в приложении к разрывным задачам вариационного

«Icos/- (cos)ri,...,cosгД cosZi/]|ZИ

lim = Цх, у, sign г) (р= I),

2-.» Z

lim , . = w(x, Y, cos у), И— lz| '

исчисления.

Рассмотрим пространство с метрической топологией т евклидова.

расстояния, и пусть К1,*'3 {и = (и0,и1,... ,1/*) £ К1*'' г и0 а 0, < и* <оо

наделен но индуцированной топологией пространства (К1^ ,т). Пусть, далее, В -борелсвская о-алгебра топологического - пространства. К^', т.е. наименьшая о-алгебра, содержащая все замкнутые подмножества данного топологического пространства. Таким образом, определено измеримое пространство (Н^*', В).

Пусть С - кривая класса П и /{(), /Е[<|, ¿2] — некоторое ее параметрическое представление. Пусть Г- множество значений /£[/|, /г] лебеговой меры /2 — 11, для которых существуют конечные производные ¿(/),,у, (0. и пусть для каждого/£Г заданы меры /4I), определенные на измеримом пространстве (Л^'.В) и> удовлетворяющие условиям:

A) для каждого г£ Т /41) - положительная конечная мера;

Б) для каждого /£ Т носитель меры /</) (вирр /41)) - ограниченное множество;

B) для любой >Ф(£/) = Ф( «\и°,«") е СХК1;') функция <р(() = £Ф(1/)^(/)(Л/)

измерима на [/¡, /г];

1) для каждого I £ Т выполняются равенства

= •*('), ¿«'МО (<«0 = л С), (*= 1,... ,р).

Представлением некоторой обобщенной кривой называется пара /е|/|, /2]; МО. П. где С: {ДО, /Е[/|, /2]} - кривая класса П, /4.1),¡В Т- меры,

удовлетворяющие условиям А)-Г).

положительно однородных

первой степени относительно и и непрерывных по совокупности переменных. (х,Г)еа,ие к'/'.

Два представления {/¡(/), /£[/,, /2]; ^,(0, /е Г,}, {^(т), те[г,, г2]; (лг(т), тЕГ2}

будем считать эквивалентными представлениями обобщенной кривой С*, если для каждой функции У, Ц) класса СЩС1 х К1*') из существования одного из интегралов

•/.[С-](С)=}А (О,К, щ,и)/л,шаи).

Л[С'](£7)= Jdr JC(x2 (r), ^(r), U)ft2 (*) (dU)

следует существование другого и их равенство J\[C \{G) = J-^C ](G).

Обобщенной кривой С класса ОК называется совокупность всех представлений эквивалентных {ДО» /i(t), t&T).

Пусть С £ ОК и ее обобщенная длина ¿[С*] = Jdt (dU) конечна,

тогда С' называется обобщенной спрямляемой кривой. Класс всех обобщенных спрямляемых кривых из ОК обозначим через ОСК.

Пространство ОСК наделяется структурой топологического пространства, так что имеет место теорема непрерывности

Теорема 1.1. Для каждой фиксированной функции G 6 CH{Q х R1,*'') функционал J[C'](G) является непрерывным в классе ОСК.

Имеет место следующая теорема компактности

Теорема 1.2. Пусть М - бесконечное множество обобщенных кривых класса ОСК. Если существует такое N > 0, что L\C ] s Ai для каждой С*6 М . то множество М компактно.

Центральным результатом §1 главы 2 является теорема существования обобщенного решения положительно определенной сопряженной параметрической вариационной задачи:

Теорема 2.1. Пусть Fix, К, Z) > О удовлетворяет условиям 1)-3) сшиО для всех G(x, Y, - сопряженный параметрический интегрант и т =

inf J [С] = inf / [у]. Тогда существует такая обобщенная кривая ('ц £ ОСК. чго

§2 главы 2 посвящен доказательству лемм, используемых далее при • доказательстве теорем существования решения вариационной задачи минимизации функционала (1) в классе НП.

Используя теорему 2.1 и применяя неравенство Йенсена, в §3 главы 2 устанавливается теорема существования решения класса НП положительно определенной квазирегулярной вариационной задачи

Теорема 2.2. Пусть F(x,Y£) > 0 удовлетворяет условиям 1) - 3) с для всех (х.У^Я, тогда существует функция Y(x) Е НП, доставляющая минимум функционалу / [Y\ в классе НП.

В §4 главы 2 исследуется вопрос существования решения положительно определенной вариационной задачи (1) (р = 1) при дополнительном условии на функцию ми существует предел (3), где м - непрерывная по совокупности переменных (х,у) £ й функция, отличная от нуля всюду в й, за исключением конечного числа простых кривых к =1, 2,..., 5 без общих точек, на которых функция м удовлетворяет одному из условий или

и-(л\у,1)=0 , Члу,-1)<(Ъ или и>(л\у,1)>0 , н>(ху,-1)=0.

Глава 3 посвящена установлению необходимых условий первого порядка разрывного решения в вариационных задачах. В главы 3 изучаются необходимые условия экстремума в классе ОСК, П и НП.

Пусть обобщенная спрямляемая кривая С0 доставляет функционалу

сильный относительный минимум, т.е. существует такое что •/[Ср](Сг) 5 ,У[С](0) для всех С, следы С которых удовлетворяют неравенству р(С0.С) < 6. Тогда обобщенная спрямляемая кривая Со необходимо должна удов-

5=1:

летворять следующим соотношениям *:

для п.в. /е(0,/,) и (г2,1); (6)

£ Цй{!){с1и) - /Л I д^ /10(0(Л/) = с4 дня п.в.? £ (0,1) к = 1,2,...,/>; (7)

Уравнения (6),(7) представляют из себя обобщения необходимых условий • Дю Буа-Раймонда.

Если экстремальная кривая Ср имеет представление {/ф(/): / £ [0,1];

что, соответствует случаю минимизации следом функцио-

К, (<1.ги 0)1

нала ДС] (р>1)в классе П, то условия (6)-(8) принимают вид:

- Л = с0 для п.в. I £ (0,/,) и (/2,1);

б'у - Л = ск для п.в. / £ (0,1);

'' Считаем, что кривая С0содержит одну дуги, где^(/)=0, | е (/ь

с0, ск - cotu/; t - произвольная точка из (/,,/2).

Если минимальная кривая1 С0 £ П является кусочно-гладкой, то на участках непрерывной дифференцируемости выполняются необходимые условия Эйлера

O'^—j-G^-Oyü' -¿/' -0 (р > 1; к -1,2,...,/j), авточкахизлома ts -

"угловые" соотношения Вейерштрасса-Эрдмана G ^ - G ^

Таким образом, существенно разрывная функция Уо(х) Е НП.

соответствующая кривой С0, г, значит, минимизирующая функционал (1). должна

б,

на участках однозначности удовлетворять уравнениям

где cosYf.cosyj — направляющие косинусы касательной к дуге %/. соответственно, в точках (хр Y(xt — 0)), (х^ Y(xt + 0)). Последние соотношения являются обобщениями на случай существенно разрывных функций "угловых" условий Вейерштрасса-Эрдмана и необходимых условий разрыва Размадзе.

В §2 главы 3 получены необходимые условия экстремума вариационного

функционала со старшими производными

при условии существования конечного- предела

на классе непрерывных вместе со своими производными до п-2 порядка включительно функций .у = ;>(*)» [в,i>], У которых (я-1)-ая

" По инаексам 4 и J суммирование от I до р.

производная как функция х имеет конечное число точек разрыва типа «стенка». Методом сведения к параметрической задаче и используя теорию задачи Больца, установлено, что экстремальная функция у(х) на участках п раз непрерывной дифференцируемости удовлетворяет уравнениям:

Глава 4 посвящена изучению пространственной вариационной задачи при условии предельного показателя порядка роста интегранта. В §1 излагаются условия на интегрант вариационного функционала и формулируется теорема существования гладкого решения задачи с предельным показателем порядка роста.

Пусть интегрант Ж функционала (1) удовлетворяет следующим условиям:

1) функция ¡\х,УХ) - Л*, у......... У\....,Ур) определена и непрерывна вместе со

всеми, своими частными производными первого и второго порядка по совокупности переменных

2) существует постоянная т > О такая, что

Дх,Г,Г)гт(1+||1"||2)а'2

при любых (х, У) 6 Р и всех Г (- оо < У < оо).

Рассмотрим систему уравнений Эйлера для функционала (1)

некоторые многочлены от частных производных второго порядка функции Р(х,У,У), с заданными граничными условиями

Yj(a)=aj, ry(6) = 6,,(/= 1.....р).

Предположим, что для указанной системы выполняется одно из двух условий А) или Б):

А) для любого А/ > 0 существуют число N > О и непрерывная положительная функция b(s), Osjs®, такие, что b(s) -» 0 при s-*0,P b(s) есть неубывающая функция, причем

г. г:

^а + прлги»

для всех

Б) для любого А/ > Осуществует положительная непрерывная функция ^(я). удовлетворяющая условию

такая, что

для всех и, кроме того, существуют такие

неотрицательные постоянные^ и К, что

Имеет место

Теорема 4.1. Пусть интегрант Р(х, У, ^удовлетворяет условиям 1), 2) при а= 1 , а также одному из условий А) или Б). Пусть, далее, Ж удовлетворяет условию регулярности функционала регулярности функционала (1). т.е.

2F')l(x,Y,Y')t),r}1> О для всех (х. У) £ Р, каждого У (- оо < Y < оо) и любого

ненулевого г] я [r)\.....t]p}. Тогда существует гладкое решение Y— К(х), алха Ь,

вариационной задачи (1).

В §2 доказывается теорема об отсутствии абсолютно непрерывного решения для одного класса вариационных задач с предельным показателем порядка роста. §3 посвящен установлению ряда утверждений, используемых при доказательстве теоремы 4.1, в частности, доказываются: теорема о полунепрерывности вариационного функционала, леммы об априорных оценках производных решений системы уравнений Эйлера, теорема существования экстремума «в малом» регулярного вариационного функционала. §4 главы 4 содержитдоказательство теоремы 4.1

В заключении изложены основные результаты работы.

Основные результаты и выводы

Получены следующие основные результаты:

Построена теория обобщенных кривых Янга-Макшейна применительно к разрывным пространственным квазирегулярным задачам вариационного исчисления. На ее основе доказаны теоремы существования, решения вариационных задач на классе существенно разрывных функций.

Примененный метод позволил ослабить требования на гладкость вариационною функционала и освободил от необходимости устанавливать факт полунепрерывности минимизируемого функционала.

Установлены необходимые условия экстремума первого порядка в классе обобщенных спрямляемых кривых и решения в непараметрической форме пространственной задачи вариационного исчисления, определенной на совокупности функций с конечным или счетным множеством точек разрыва типа «стенка». Полученные необходимые условия обобщают соотношения Дю Буа -Раимонда уравнения Эйлера, "угловые" условия Вейерштрасса-Эрдмана и необходимые условия разрыва Размадзе.

Получены необходимые условия экстремума в вариационной задаче

минимизации функционала зависящего от

производных высших порядков, при условии существования конечного предела

на классе функций

У ~ }{*)< хЩа,Ь], у которых (п-1)-ая производная как функция х имеет конечное число точек разрыва типа «стенка».

Для случая р >1 доказана теорема о существовании экстремума «в малом» регулярного вариационного функционала. При дополнительных условиях на систему уравнений Эйлера установлена теорема существования гладкого решения пространственной вариационной задачи с предельным показателем порядка роста.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Морозов • С.Ф., Семенов А.В. О существовании абсолютно непрерывного решения пространственной задачи вариационного исчисления для предельного показателя порядка роста (а=1) / Деп.в ВИНИТИ №2553-В94. 1994.49 с.

2. Морозов С.Ф., Семенов А.В. О необходимых условиях экстремума в вариационных задачах со старшими производными на классах разрывных функций/Деп. в ВИНИТИ №1596-В95.1995. 18 с.

3. Морозов С.Ф., Семенов А.В. Необходимые условия экстремума в разрывных вариационных задачах со старшими производными //Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики: Тезисы докладов Воронежской зимней матем. школы. Воронеж: ВГУ. 1995. С. 160

4. Семенов А.В. О необходимых условиях экстремума разрывных вариационных задач со старшими производными // Вестник ННГУ. Сб. научных трудов аспирантов / Н.Новгород: ННГУ, 1995. С.88-92.

5. Морозов С.Ф., Семенов А.В. О расширениях разрывных вариационных задач «Понтрягинские чтения-VII»: Тезисы докладов Воронежской весенней матем. школы. Воронеж: ВГУ, 1996. С. 129.

6. Семенов А.В. О необходимых условиях экстремума в вариационных задачах со старшими-производными.на классе функций с существенно разрывной (я- 1)-ой производной /Деп. в ВИНИТИ 23.01.96, № 268-В96. 1996.

7. Морозов С.Ф., Семенов < А.В. Обобщенные. кривые. Юнга-Макшейна . и существование разрывных решений пространственных вариационных задач //Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тезисы докладов Воронежской зимней матем.школы. Воронеж: ВГУ, 1997. С.117.

8. Морозов С.Ф., Семенов А.В. Обобщенные решения разрывных задач вариационного исчисления / Деп. в ВИНИТИ 26.03.97, № 923-В97.1997.26 с.

9. Семенов Л.В. Методы теории разрывных вариационных задач в динамике полета // Четвертая межвузовская научно-техническая конференция «Проблемы повышения эффективности вооружения, военной техники и подготовки специалистов в интересах войск ПВО»: Тезисы докладов. Н.Новгород: НВЗРКУ ПВО, 1997. С.314.

10. Семенов А. В. Обобщенные кривые Юнга-Макшейна и существование разрывных решений квазирегулярных вариационных задач // Вестник ВВО АТН РФ. Серия: Высокие технологии в военном деле. Вып.2. / НВЗРКУ ПВО. 1998. С. 116-118.

П.Семенов Л.В. Обобщенные кривые и первая вариация сопряженного параметрического функционала // Пятая межвузовская научно-техническая конференция «Проблемы повышения эффективности вооружения, военной техники и подготовки специалистов в интересах войск ПВО»: Тезисы докладов Н.Новгород: НВЗРКУ ПВО, 1998. С. 137-138.

12. Семенов Л.В. О необходимых условиях экстремума в разрывных вариационных задачах // Пятая межвузовская научно-техническая конференция «Проблемы повышения эффективности вооружения, военной техники и подготовки специалистов в интересах войск ПВО»: Тезисы докладов. Н.Новгород: НВЗРКУ ПВО, 1998. С.139.

13.Семенов Л.В. К вопросу построения семейства обобщенных кривых сравнения в теории разрывных вариационных задач // Пятая межвузовская научно-техническая конференция «Проблемы повышения эффективности вооружения, военной техники и подготовки специалистов в интересах войск ПВО»: Тезисы докладов. Н.Новгород: НВЗРКУ ПВО, 1998. С. 143-144.

14. Морозов С.Ф., Семенов А.В. О существовании обобщенных и разрывных решений пространственных вариационных задач // Вестник ИНГУ. Магматическое моделирование и оптимальное управление / Н.Новгород: ИНГУ, 1998. Вып.2(19). С. 166-173.

^.Морозов С.Ф., Семенов А.В. Необходимые условия обобщенного экстремума в разрывных вариационных задачах / Деп. в ВИНИТИ 30.10.98, № 313S-B98. 1998. Юс.

16. Морозов С.Ф., Семенов А.В. Необходимые условия экстремума в разрывных обобщенных задачах вариационного исчисления // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление / Н.Новгород: ИНГУ, 1999.Вып. 1(20). С. 130-136.

17. Морозов С.Ф., Семенов А.В. Обобщенные кривые и необходимые условия разрывного решения пространственной вариационной задачи // Известия ВУЗов. Математика. 2000.№9(460). С.21-26.

18. Морозов С.Ф., Семенов А.В. О теории разрывных решений вариационных задач в классе обобщенных кривых // Известия ВУЗов. Математика. 2001. №2(465). С.48-59.

Подписано в печать 23.03.2004. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Тир. 100 экз. Зак. 433.

Типография Нижегородского госуниверситета. Лицензия № 18-0099. 603000, Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37.

62 22

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА

§1 Основные определения и понятия

§2 Вариационный функционал

§3 Теория обобщенных кривых в приложении к разрывным задачам вариационного исчисления

ГЛАВА

§1 Теорема существования обобщенного решения положительно # определенной сопряженной параметрической вариационной задачи

§2 Леммы

§3 Теорема существования решения класса НП положительно определенной вариационной задачи

§4 Положительно определенная вариационная задача при дополнительном условии на функцию и>

ГЛАВА

§ 1 Необходимые условия экстремума в классе обобщенных кривых

§ 2 Необходимые условия экстремума в разрывных вариационных задачах со старшими производными

ГЛАВА

§ 1 Пространственная вариационная задача с предельным показателем порядка роста интегранта

§2 Теорема об отсутствии абсолютно непрерывного решения для одного класса вариационных задач с предельным показателем порядка роста

§3 Вспомогательные леммы и теоремы

§4 Доказательство теоремы о существовании гладкого решения вариационной задачи с предельным показателем порядка роста

На Парижской конференции 1900 года Д.Гильберт сформулировал для регулярной вариационной задачи1*

J(z(x, у» - JJF(x, у, z, р, q)dxdy ~* min, z|AQ = /, а где F - аналитическая функция, две проблемы: девятнадцатую и двадцатую. В 20-й проблеме спрашивалось: «допускает ли решение каждая регулярная вариационная задача, если только на данные граничные условия наложены определенные допущения, ., - и если в случае необходимости самому понятию решения придать расширенное толкование». В тоже время в 19-ой проблеме ставился вопрос «являются ли решения регулярной вариационной задачи необходимо аналитическими» независимо от свойств гладкости или аналитичности граничных условий. Главные направления их исследования были определены в трудах С.Н.Бернштейна [4-6] и А.Лебега [142].

Первым результатом, относящимся к 19-ой проблеме Гильберта, было исследование С.Н.Бернштейна, в котором было установлено, что трижды непрерывно дифференцируемое решение z регулярной аналитической задачи аналитично. Для решения 20-ой проблемы им был развит метод продолжения решения дифференциального уравнения по параметру.

Работы Лебега, Гильберта [138], Куранта [133] послужили началом развития так называемых прямых методов вариационного исчисления. Согласно идеи Гильберта, задача отыскания аналитических решений для аналитических задач разбивается на две: установление существования обобщенного решения и последующее изучение его дифференциальных свойств. Исследование вопроса разрешимости вариационных задач прямыми методами в свою очередь также распадается на две: 1) установление компактности множества допустимых функций и 2) доказательство полунепрерывности снизу вариационного функционала. Данный метод получил глубокое развитие в трудах Л.Тонелли [160, 161], Н.Н.Боголюбова [8,9], Е.Макшейна [145, 147-149], А.Г.Сигалова [109-111], В.И.Плотникова [93-95], О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой [50,51] и др.

1> Вариационная^ задача называется, регулярной,, если, подъинтегральное. выражение ^ удовлетворяет условию строгой выпуклости относительно (р, д). Оно может быть записано в виде

Е(х, у, г, р,<7,р, <?) - F(х, у, г, р, <?) - ^(х, у, г, р,<7) - (р - р)(х, у, г, р,<7 ) - (<у-<7 ) (х, у, г, р,ц)>0, (р,д)*(р,д). Если Е(х,у, г, р,д,р, д) а 0, то задача называется квазирегулярной.

Изучение аналогичных вопросов, касающихся пространственных вариационных задач минимизации функционала ь l\Y]=$F(x,YX)dx, (0.1) а среди вектор-функций Y(x) = (у\(х), . , ур(х)) осуществлялось путем расширения класса допустимых функций: перехода от рассмотрения непрерывно дифференцируемых до абсолютно непрерывных. В работах Л.Тонелли, М.Нагумо [156], М.Граве [135], Е,Макшейна было установлено, что квазирегулярная задача на определение минимума функционала (0.1) разрешима в классе абсолютно непрерывных функций, если порядок роста а больше 1 и существуют постоянные m > 0, к > 0 такие, что

F(x,Y,Y')*ni\Y'\a-к, или если

F^YX^mfW^YD-k где ~ положительная монотонно возрастающая непрерывная функция, стремящаяся к + оо при ||Г'| -* оо.

В то же время, для предельного показателя порядка роста а = 1 существуют примеры (Е.Макшейн, С.Н.Бернштейн, ДЛауден [140], Р.Курант) положительно определенных1 * квазирегулярных задач, для которых решение задачи (0.1) (р= 1) в виде однозначно определенной функции Г= Y(x) не существует, и для того, чтобы вариационная задача имела смысл, необходимо расширить понятие решения, взяв в качестве допустимых кривых такие, которые имеют дуги, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси Ох. 1

Пример 0.1. Рассмотрим задачу на отыскание inf I[y] = inf+ y'2dx на о множестве абсолютно непрерывных кривых С: у(х), х£[0,1], удовлетворяющих условиям на концы >>(0) = 0, у(1) = 1. Зафиксируем произвольную кривую С из указанного класса, и пусть х = x(s), у = y(s), х (s) > 0 , 0 s s s L, где s - длина дуги кривой, - ее параметрическое представление. Тогда

1) F> 0 всюду из области задания у2т]1 + у'2с1х =£у2л1х2+у2с{* *$у2с1у = о с о и ¡п£ 1[у\ не достигается ни на какой «обычной» функции >(х), хЕ[0,1]. Между тем, если рассмотреть последовательность кривых С„: у„(х) = .

О, л:£[0,Г-—), п п(х -1) +1, д: Е[1 - — ,1] п сходящуюся относительно метрики Фреше к кривой Со , имеющей отрезок параллельный оси Оу, то легко видеть, что Нш 1[уп ] = 1/3. й-*®

Аналогично обстоит дело и для многомерных вариационных задач. Р.Курант считал, что для задачи Плато в непараметрической форме Гильберт допускал рассмотрение поверхностей, которые на некоторых участках не задаются уравнением 2=/{х,у), что равносильно переходу к параметрической форме.

Переход к классам разрывных функций неоднократно осуществлялся в рамках теории вариационного исчисления. Так, в работах А.М.Размадзе [98, 99] изучались разрывные решения, обладающие конечным числом точек разрыва первого рода. Развитием метода вариаций в направлении А.М.Размадзе занимались Г.Н.Николадзе, К.С.Ермилин [25], М.К.Керимов [30,31] и др.

Необходимость расширения понятия решения посредством введения в рассмотрение функций, обладающих разрывами типа «стенка» определяется не только нуждами развития теории вариационного исчисления, но и наличием важных прикладных задач (задачи теории полета тел переменной массы [47, 140,141], задачи теории упругости [2, 13, 18, 119], задачи оптимального экономического роста [48] и др.). Теория одномерных и многомерных вариационных задач,. определенных на классе разрывных функций, обладающих конечным или счетным множеством участков неоднозначности (класс существенно разрывных функций) была развита в работах А.Г.Сигалова, В.Ф.Кротова [43-47], С.Ф.Морозова [52-64], [35-42] (совместно с В.И.Кошелевым), [65-72] (совместно с В.В.Петровым). При этом В.ФЛСротовым было осуществлено дальнейшее расширение класса существенно разрывных функций до класса (у,^)-линий и получены необходимые и достаточные условия экстремума вариационной задачи в этом расширенном классе. Идея такого расширения основана на переходе от поиска точного решения к задаче отыскания минимизирующих последовательностей. Таким образом, объектом поиска в расширенной задаче оказывается класс в определенном смысле эквивалентных минимизирующих последовательностей.

Данный путь расширения вариационных задач был впервые осуществлен американскими математиками ЛЛнгом [125, 164-166] и Е.Макшейном [150-154]. Для объектов расширенного класса ими было введено понятие обобщенной кривой и построена теория необходимых и достаточных условий экстремума. В теории оптимального управления обыкновенными дифференциальными уравнениями аналогичные конструкции были осуществлены с использованием для расширенного класса объектов терминов «обобщенная кривая», «обобщенное управление», (Дж.Варга [10,163], Е.Макшейн [155]) «скользящий режим» (Р.В.Гамкрелидзе [15], А.Ф.Филиппов [120], В.Ф.Кротов), «предельное управление» (А.Гуйла-Ури [130]) и т.п.

В настоящей работе изучение вариационной задачи минимизации функционала (0.1) в классе существенно разрывных функций осуществляется посредством перехода к соответствующей ей параметрической (сопряженной) задаче. Данный метод изучения вариационной задачи был предложен Тонелли, а затем развит в работах Макшейна, А.Г.Сигалова. Исследование сопряженной параметрической задачи опирается на теорию обобщенных кривых Янга-Макшейна. Предлагаемый метод исследования позволяет не только получить в качестве результатов теоремы существования обобщенного решения сопряженной параметрической задачи, но и доказать существование абсолютного минимума вариационной задачи в исходном классе существенно разрывных функций. Данный метод позволяет в сравнении с [34-37, 60, 64, 70] значительно ослабить требования на гладкость интегранта F и избавляет от необходимости устанавливать факт полунепрерывности сопряженного функционала J [С] в классе абсолютно непрерывных кривых, имеющих не более чем счетное число вертикальных отрезков.

Помимо проблемы существования разрывного решения вариационной задачи представляет интерес и вопрос: при каких условиях решение вариационной задачи с предельным показателем порядка роста будет являться не разрывным, а «обычным» решением? Как известно, для существования такого решения помимо требования регулярности, требуется введение некоторых дополнительных условий. В настоящей работе вводятся дополнительные условия на систему уравнений Эйлера, при которых и устанавливается теорема существования гладкого решения. Данная теорема обобщает результат Тонелли, полученный им для случая р = 1 .

Цель диссертационной работы состоит в установлении теорем существования решения в непараметрической форме пространственной задачи вариационного исчисления, определенной на совокупности функций с конечным или счетным множеством точек разрыва типа «стенка», посредством распространения теории обобщенных кривых Янга-Макшейна на данный тип вариационных задач, получении необходимых условий первого порядка в указанном классе и исследовании свойств гладкости решения задачи минимизации функционала (0.1) в случае предельного показателя порядка роста а-1.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения, а также списка литературы из 166 наименований. Объем работы 115 стр.

Заключение

В диссертации рассматривались вопросы установления необходимых и достаточных условий экстремума пространственной вариационной задачи в классе существенно разрывных функций. Кроме того, изучалась вариационная задача с предельным показателем порядка роста.

Изучение вариационной задачи минимизации функционала (0.1) в классе существенно разрывных функций осуществлялось посредством перехода к соответствующей ей сопряженной параметрической задаче и последующем исследовании ее с помощью теории обобщенных кривых Юнга-Макшейна.

Получены следующие основные результаты:

Построена теория обобщенных кривых Янга-Макшейна применительно к разрывным пространственным квазирегулярным задачам вариационного исчисления. На ее основе доказаны теоремы существования решения вариационных задач на классе существенно разрывных функций.

Установлены необходимые условия экстремума первого порядка в классе обобщенных спрямляемых кривых и решения в непараметрической форме пространственной задачи вариационного исчисления, определенной на совокупности функций с конечным или счетным множеством точек разрыва типа «стенка». Полученные необходимые условия обобщают соотношения Дю Буа-Раймонда, уравнения Эйлера, "угловые" условия Вейерштрасса-Эрдмана и необходимые условия разрыва Размадзе. Кроме того, получены необходимые условия экстремума вариационного функционала со старшими производными 1\у\ = ь y(x),y'(x),.,y(n)(x))dx при условии существования конечного а предела lim F(x,y,y',.,y(n))/у(п) = w(xyy',.,y(nA\ sign у(п)) на классе функций y(n)-,t 00

У = >'(*), у которых п-1 производная как функция х имеет конечное число точек разрыва типа «стенка».

При дополнительных условиях на систему уравнений Эйлера установлена теорема существования гладкого решения пространственной вариационной задачи с предельным показателем порядка роста.

1. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.: Гостехиздат, 1955.

2. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980.

3. Батурин В.А., Дыхта В.А., Константинов Г.Н. и др. Методы решения задач теории управления на основе принципа расширения. Новосибирск: Наука, 1990.

4. Бернштейн С.Н. Sur la nature analytique des solutions de certaines equations aux derives partielles du second ordre // Math. Ann. 1904. V.59. P. 20-76.

5. Бернштейн С.Н. Об уравнениях вариационного исчисления // Успехи матем. наук. 1940. T.VIII. С. 32-74.

6. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений. Т.З. М.: изд-во АН СССР, 1960.

7. Блисс Г.А. Лекции по вариационному исчислению. М.: ИЛ, 1950.

8. Боголюбов H.H. Sur quelques methodes nouvelles dans le Calcul des Variations // Ann. Math. Pura Appl. Ser. 4. 1930. V.7. P.243 272.

9. Боголюбов H.H. Новые методы в вариационном исчислении. Изб. труды в 3 томах. Т.1. Киев: Наукова думка, 1969.

10. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М: Наука, 1977.

11. Васильев Н.И., Клоков Ю.А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига: Зинатре, 1978.

12. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

13. Весницкий А.И., Крысов C.B., Уткин Г.А. Постановка краевых задач динамики упругих систем исходя из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Горький: ГГУ, 1983.

14. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск: БГУ, 1975.

15. Гамкрелидзе Р.В. Об оптимальных скользящих режимах // ДАН. 1962. Т.143. №6. С.1243 1246.

16. Гельфанд И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление. М.: Гостехиздат, 1961.

17. Глебский Ю.В. О характеристических свойствах решений регулярных и квазирегулярных задач вариационного исчисления // ДАН СССР. 1957. Т.16. № 6. С.910-912.

18. Гольдштейн Ю.Б., Соломещ М.А. Вариационные задачи статики оптамальных стержневых систем. JI.: Изд-во Ленинградского университета, 1980.

19. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука, 1997.

20. Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления. М.-Л.: ОГИЗ, 1941.

21. Дакоронья Б. Слабая непрерывность и слабая полунепрерывность снизу нелинейных функционалов // Успехи матем. наук. 1989. Т.44. №. 4 (268). С.35-98.

22. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. М.: ИЛ, 1962.

23. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений //ЖВМ и МФ. 1965. Т.5. №3. С.395-453.

24. Дыхта В.А., Колокольникова Г.А. Условия минимума на множестве последовательностей в вырожденной вариационной задаче // Математические заметки. 1983. Т 34. № 5.

25. Ермилин К.С. О некоторых задачах вариационного исчисления // Ученые записки ЛГУ. Серия математических наук. 1949. вып.16.

26. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Расширение вариационных задач // Труды Моск. матем. общества. 1968. Т.18. С.188-246.

27. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

28. Казимиров В.И. О полунепрерывности интегралов вариационного исчисления // Успехи матем. наук. 1956. T.XI. №3. С. 125-129.

29. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

30. Керимов М.К. К теории разрывных вариационных задач с подвижными концами//ДАН СССР. 1961. Т.136. № 3.

31. Керимов М.К. О двумерных разрывных задачах вариационного исчисления // Тр. Матем. ин-та АН ГрузССР. 1951. Т.23. С.209-219.

32. Колмогоров А.Н., Фомин С.И. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

33. Кошелев В.Н. О необходимых условиях экстремума пространственных вариационных задач на совокупности разрывных функций // Уч. записки ГГУ. Сер. мат. мех. / Горький: ГГУД969. С.72-74.

34. Кошелев В.Н. Задачи вариационного исчисления на совокупности разрывных функций. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Горький: ГГУ, 1973.

35. Кошелев В.Н., Морозов С.Ф. Достаточные условия существования разрывных решений для: простейшего интеграла вариационного исчисления, I // Изв.вузов. Математика. 1967. № 11.С.21-30.

36. Кошелев В.Н., Морозов С.Ф. Достаточные условия существования разрывныхрешений для простейшего интеграла вариационного исчисления, II // Изв.вузов. Математика. 1967. № 12. С.38-46.

37. Кошелев В.Н. Морозов С.Ф. Теоремы существования разрывных решений в пространственных вариационных задачах // Изв.вузов. Математика. 1970. №5. С.47-52.

38. Кошелев В.Н., Морозов С.Ф. О необходимых условиях экстремума вариационных задач в непараметрической форме на совокупности разрывных функций // Изв.вузов. Математика. 1970. №12. С.37-46.

39. Кошелев В.Н., Морозов С.Ф. О существовании разрывных решений в простейших полуопределенных задачах // Матем. заметки. 1970. Т.7. №.1. С.69-78.

40. Кошелев В.Н., Морозов С.Ф. О существовании разрывных решений для одного класса квазирегулярных вариационных задач в непараметрической форме // Изв.вузов. Математика. 1972. №2. С.54-62.

41. Кошелев В.Н., Морозов С.Ф. Разрывные задачи вариационного исчисления со старшими производными // Изв.вузов. Математика. 1975. №10. С.23-32.

42. Кошелев В.Н., Морозов С.Ф. Теоремы существования разрывных решений в пространственных вариационных задачах. II // Изв. вузов. Математика. 1977. №2. С.49-59.

43. Кротов В.Ф. Разрывные решения вариационных задач // Изв.вузов Математика. 1960. №5. С.86-98.

44. Кротов В.Ф. О разрывных решениях в вариационных задачах7/ Изв. вузов Математика. 1961. № 2. С.75 89.

45. Кротов В.Ф. Основная задача вариационного исчисления для простейшего функционала на совокупности разрывных функций // ДАН СССР. 1961.Т. 137. №1. С.31-34.

46. Кротов В.Ф. Об абсолютном минимуме функционалов на совокупности функций с ограниченной производной // ДАН СССР. 1961. Т. 140. №3. С.525 528.

47. Кротов В.Ф., Букреев В.В., Гурман В.И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета. М.: Машиностроение, 1969.

48. Лаврентьев М.А., Люстерннк Л.А. Курс вариационного исчисления. М.-Л.: ГОНТИ НКТП СССР, 1938.

49. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. О вариационной задаче в квазилинейных эллиптических уравнениях со многими независимыми переменными // ДАН СССР. 1960. Т.135. №6 С.1330-1333.

50. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения, эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

51. Морозов С.Ф. О разрывных решениях двумерных задач вариационного исчисления в непараметрической форме // Изв.вузов. Математика. 1969. №9. С.56-64.

52. Морозов С.Ф. О необходимых условиях экстремума двумерных вариационных задач на совокупности разрывных функций // Изв.вузов. Математика. 1972. №1. С.55-63.

53. Морозов С.Ф. О существовании разрывных решений для одного класса квазирегулярных вариационных задач в непараметрической форме // Изв.вузов. Математика. 1972. №2. С.54-62.

54. Морозов С.Ф. О разрывных решениях одного класса квазирегулярных вариационных задач // Матем.заметки. 1974. Т.16. №2. С.305-315.

55. Морозов С.Ф. О существовании разрывных решений для одного класса многомерных квазирегулярных вариационных задач // Матем.сб. 1974. Т.93. №1. С.18-28.

56. Морозов С.Ф. О существовании разрывных решений многомерных вариационных задач // Изв.вузов. Математика. 1975. №11. С.93-97.

57. Морозов С.Ф. Полуопределенная задача вариационного исчисления на классе разрывных функций / Деп. в ВИНИТИ 1980. №3921-80. 14 с.

58. Морозов С.Ф. О разрывных решениях одного класса задач вариационного исчисления // Межвуз.сб.: Дифф.и интегр.уравн. Горький. 1987. С.60-66.

59. Морозов С.Ф. Разрывные задачи вариационного исчисления. Н. Новгород: изд-во ННГУ, 1991.

60. Морозов С.Ф. О необходимых условиях экстремума пространственной вариационной задачи на классах^разрывныхгфункций / Деп.в ВИНИТИ 1993. №791-В93. 14 с.

61. Морозов С.Ф. Полунепрерывность сопряженных функционалов вариацион63,64,65,66,67,68,69,70,71,72.73,74,75.

62. Морозов С.Ф., Петров В.В. О существовании одного класса решений разрывных вариационных задач. / Деп. в ВИНИТИ 1977. №3805-77. 15 с. Морозов С.Ф., Петров В.В. Разрывная изопериметрическая задача. / Деп. в ВИНИТИ 1979. №2763-79.14 с.

63. Морозов С.Ф., Плотников В.И. О необходимых и достаточных условиях непрерывности и полунепрерывности функционалов вариационного исчисления // Метем.сб. 1962. Т 57(99). №3. С.265-280.

64. Морозов С.Ф., Семенов A.B. Обобщенные решения разрывных задач вариационного исчисления // Деп. в ВИНИТИ 26.03.97. № 923-В97. 26с.

65. Морозов С.Ф., Семенов A.B. О расширениях разрывных вариационных задач // Понтрягинские чтения-VII". Тезисы докладов Воронежской весенней матем. школы. Воронеж: ВГУ, 1996. С.129.

66. Морозов С.Ф.,Семенов А.В.Необходимые условия обобщенного экстремума в разрывных вариационных задачах / Деп.в ВИНИТИ 30.10.98. №3135-В98. Юс.

67. Морозов С.Ф., Семенов A.B. О существовании обобщенных и разрывных решений пространственных вариационных задач // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление / Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1998. Вып.2(19). С.166-173.

68. Морозов С.Ф., Семенов A.B. Необходимые условия экстремума в разрывных обобщенных задачах вариационного исчисления // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление / Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1999. Вып. 1(20). С.130-136 .

69. Морозов С.Ф., Семенов A.B. Обобщенные кривые и необходимые условия разрывного решения пространственной вариационной задачи // Известия ВУЗов. Математика. 2000. №9(460). С.21-26.

70. Морозов С.Ф., Семенов A.B. О теории разрывных решений вариационных задач в классе обобщенных кривых // Известия ВУЗов. Математика. 2001. №2(465). С.48-59.

71. Морозов С.Ф., Сумин В.И. Многомерные вариационные задачи в классе разрывных функций // Изв.вузов. Математика. 1973. №8. С.54-67.

72. Морозов С.Ф., Сумин М.И. Сопряженные точки разрывных решений задачвариационного исчисления / Деп. в ВИНИТИ 1976. №2468-76.20 с.

73. Морозов С.Ф., Сумин М.И. Разрывные решения в пространственной задаче вариационного исчисления / Деп. в ВИНИТИ 1977. №3814-77. 18с.

74. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

75. Петров В.В. О необходимых условиях экстремума разрывных вариационных задач с ограничениями на производную/Деп.в ВИНИТИ. 1980. №2091-80. 17с.

76. Петров В.В. Необходимые условия экстремума разрывных вариационных задач со старшими производными / Деп. в ВИНИТИ 1980. №2090-80. 12с.

77. Петров В.В. Нерегулярные вариационные задачи на классах разрывных функций. Диссканд. физ.-мат. наук. Горький: ГГУ, 1981.

78. Плотников В.И. О дифференцируемости решений регулярных вариационных задач в непараметрической форме // Матем. сб. 1960. Т.47. С. 356-396.

79. Плотников В.И. О полунепрерывности функционалов вариационного исчисления // Матем. сб., Т.52(94) 1960 С. 799-810.

80. Плотников В.И. О непрерывности регулярных и квазирегулярных функционалов вариационного исчисления // Матем. сб., Т.53(95) № 2 1961 С. 137-158.

81. Поляк Б.Т. Полунепрерывность интегральных функционалов и теоремы существования в задачах на экстремум // Матем. сб. 1969. Т.78. №1. С.65-85

82. Проблемы Гильберта М.: Наука, 1974.

83. Размадзе A.M. Sur les solutions discontinuous dans le calcul des variations // Math.Ann. 1925. V.94. P. 1-52.

84. Размадзе A.M. Sur une condition de minimum nécessaire pour les solutions anguleuses dans le calcul des variations // Bull. Soc. Math. France. 1923. T.51 P.223-235.

85. Рохлин B.A. Об основных понятиях теории меры // Матем. сб. 1949. Т.25. №1; С. 107-150.

86. Семенов A.B. О необходимых условиях экстремума разрывных вариационных задач со старшими производными // Вестник ННГУ. Сб. научных трудов аспирантов / Н.Новгород: ННГУ, 1995. С.88-92.

87. Семенов A.B. О необходимых условиях экстремума в вариационных задачах со старшими производными на классе функций с существенно разрывной (п-1)-ой производной / Деп. в ВИНИТИ 23.01.96. № 268-В96. 22с.

88. Семенов A.B. Обобщенные кривые Юнга-Макшейна и существование разрывных решений квазирегулярных вариационных задач // Вестник ВВО АТН РФ. Серия: Высокие технологии в военном деле. Вып.2. / НВЗРКУ ПВО. 1998. С.116-118.

89. Серовайский С.Я: Нижнее пополнение и расширение экстремальных задач // Изв.вузов. Матем. 2003. №5. С.30-41.

90. Сигалов А.Г. Двумерные задачи вариационного исчисления // УМН. 1951. Т.6. №2. С.16-101

91. Сигалов А.Г. Двумерные задачи вариационного исчисления в непараметрической форме, преобразование к параметрической форме // Матем.сб. 1954. Т.34. №3. С.385-406.

92. Сигалов А.Г. Вариационные задачи с допустимыми поверхностями произвольных топологических типов // УМН. 1957. T.XII. вып.1. С.53-98.

93. Слугин С.Н., Шашков В.М. Минимизируемость функционалов на топологическом произведении дуальных пространств. Изв. вузов. Матем. 1974. №5. С.188-193.из114115116117,118119,120,121.122,123,124,125,126,127,128.129.130.

94. Сычев М.А. Критерий непрерывности интегрального функционала на последовательности функций // Сибирский мат. журнал. 1995. Т. 36. №1. Сычев М.А. О зависимости решений простейших вариационных задач от интегранта// Сибирский мат. журнал. 1995. Т.36. №2.

95. Сычев М.А. Примеры неразрешимых в классическом смысле скалярных регулярных вариационных задач, удовлетворяющих условиям стандартного роста// Сибирский мат. журнал. 1996.Т37. №6.

96. Троицкий В.А., Петухов JI.B. Оптимизация формы упругих тел. М.: Наука, 1982.

97. Филлипов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестник МГУ. Серия матем., мех., астроном., физ., хим. 1959. Т.2. С. 25-32 Халмош П. Теория меры М.: ИЛ, 1959.

98. Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Гиз ин. лит-ры, 1948. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Мир, 1970. Циммерман В. Разрывные линии в вариационном исчислении. Одесса: Типография Штаба Округа, 1896.

99. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974.

100. Ball J.M., Mizel V.J. One-dimensional variational problems whose minimizers do not satisfy Euler-Lagrange équation // Arch. Rational Mech. Anal. 1985. V.90. №1 P.325-388.

101. Clarce F.H., Vinter R.B. Existence and regularity in the small in the calculus of variations //J. Differential Equations. 1985.Vol. 59. P.336-354.

102. Clarce F.H., Vinter R.B. Regularity properties of solutions to the basic problem in the calculus of variations // Trans. Amer. Math. Soc. 1985. Vol.289. P.73-98.

103. Courant R. Uber Direkte Methoden der Variationsrechnung und verwandte Fragen // Math.Ann.1927. V.97. S.711-736.

104. Davie A.M. Singular minimizers in the Calculus of Variations in One Dimensional // Arch. Rational Mech. Anal. 1988. V.101. P.161-177.

105. Graves M.R. On the existence of absolute minimum in space problems of the calculus of variations// Ann. of Math. 1927 .V.28. P.153-170.

106. Graves L.M. Discontinuous solutions in the calculus of variations // Bull. Amer. Math. Soc. 1930. V.36. P.831-846.

107. Graves L.M. Discontinuous solutions in space problems of the calculus of variations // Amer.J.Math.l930.V.52. P.l-28.

108. Hilbert D. Uber das Dirichletschen Prinzip // Math.Ann.1904. V. 59. S.161-186.

109. Kosa A. Notndige Bedingungen fur die diskontinuielichen Losungen von den Variationsproblem n-ter Ordnung // Acta Math. Acad. Sei. Huhg. 1960. V.l1 S.23-48.

110. Lawden D.F. Discontinuous solutions of variational problems // J. Austral. Math. Soc. 1959. V.l. P.27-37.141; Lawden D.F. Minimal Rocket Trajectories // J.Amer.Rocket.Soc.1953. V.23. P.360-382.

111. Lebeque H. Sur le probleme Dirichlet // Rend Circ. Math, di Palermo. 1907. V.24. S.317-402.

112. McAllister G.T., Rohde S.M. Fractured Solutions in the Calculus of Variations // J. of optimization theory and applications. 1973. V.l 1. №5. P. 480-493 .

113. Munoz J., Pedregal: P. Explicit Solutions of Nonconvex Variational Problems in Dimension One // Appl. Math. Optim. 2000. V. 41. P.129-140.

114. McShane E.J. Existence theorems for ordinary problems of the calculus of variations // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. 1934. v.III. P.183-211,287-315.

115. McShane E.J. The Du Bois-Reymond Relation in the calculus of variations // Math. Annalen. 1934. Bd.109. № 5.746-755.

116. McShane E.J. Some existence theorems for problems in the calculus of variations // Duke Math. Journ. 1938 V.4. P. 132-156.

117. McShane E.J. Some existence theorems in the calculus of variations, I, II // Trans, of the Amer. Math. Soc. 1938. V.44. P.429-438,439-453.

118. McShane E. J. Some existence theorems in the calculus of variations, III //Trans, of the Amer. Math. Soc. 1939. V.45. P.151-171.

119. McShane E.J. Curve-space topologies associated with variational problems // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. 1940.V.IX. P.45-60.

120. McShane E.J. Generalized curves // Duke Math. Journ. 1940. V.6. P.513-536.

121. McShane E. J. Necessary condition in generalized-curves problems of the calculus of variations // Duke Math. Journ. 1940. V.7. P.l 27.

122. McShane E.J. Existence theorems for Bolza problems in the calculus of variations // Duke Math. Journ. 1940. V.7. P. 28 61.

123. McShane E.J. A metric in the space of generalized curves // Ann. of Math. 1950. V.52. P.328-349.

124. McShane E.J. Relaxed controls and variations problems // J. SIAM Ser. A Control. 1967. V.5. P.438-485.

125. Nagumo M. Uber die gleichmassige Summierbarkeit und ihre Anwendung auf ein Variationsproblem // Japan.J.Math.1929. V.5. №6. P. 173-182.

126. Reid T. Discontinuous Solutions for a Non-Parametric Variational Problem // Appl. An. 1971. V.l. P.161-182.

127. Rohde S.M. Weak Fractured Solutions in the Calculus of Variations // J. of optimization theory and applications, vol. 1976. V.l8. №4 P.499-510.

128. Sychev M.A., Mizel V.J. A Condition on the Value Function Both Necessary and Sufficient for Full Regularity of Minimizers of One-Dimensional Problems // Trans. Amer. Math. Soc. 1998. V.350. №.1. P.119-133.

129. Tonelli L. Fondamenti di Calcolo della Variazioni v. 1,2 Bologna, 1923.

130. Tonelli L. Sur gli integrali del Calcolo delle Variazioni in forma ordinaria // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa.l936.V.III. S.405-450.

131. Warga J. Relaxed variational problems. Journ. Math. Anal. Appl. 1962. V.4. №1. P.l 11 — 128.

132. Warga J. Necessary conditions for minimum in relaxed variational problems // Journ. Math. Anal. Appl. 1962. V.4. №1. P.129 145.

133. Young L.C. On approximation by polygons in the calculus of variations // Proc. Royal Soc., (A). 1933. V.141. P.325-341.