Вопросы зависимости решений разрывных систем от параметров и их применение в задачах оптимального управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Г л а в а

I. РАЗРЫВНЫЕ СМСТЕШ С ПАРАМЕТРАМИ

§I. Предварительные результаты

1. Исходные посылки

2. Условия единственности решения

§2. О кусочной гладкости решения

1. Предположения

2. Лемма о составной системе

3 Доказательство теоремы

4. Следствия теоремы

§Применения теоремы

1. Производная решения по направлению

2. Анализ краевой задачи Г л а в а П. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТШЛАЛЬНОСТИ РАЗРЫВНЫХ СИСТЕМ

§I Формулировка задачи

§2. Вариация допустимого процесса

§Необходимые условия оптимальности

§4. Обсувдение результатов. Примеры Г л а в а Ш. ЛОКАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

§I Формулировка задачи

§2. Анализ нормальной экстремали Понтрягина

1. Дифференцируемость экстремали по начальным значениям

2. Вспомогательные леммы

3. Решение системы уравнений в вариациях

4. Об оптимальности номинального процесса

§3. Локальный синтез

1. Регулярный случай

2. Особый случай

3. Частные случаи. Примеры

§4. Оубоптимальный локальный синтез

1. Регулярный случай

2. Особый случай

3 а к л гоч е н и е , Л и т е р а т у р а

I, Системы обыкновенных дифференциальных зправнений с разрывной правой частью (разрывные системы) цривлекают внимание математиков уже дтштельное время. Интерес к таким системам во многом объясняется многочисленными важными приложениями в космонавтике, энергетике, радиотехнике, механике, теории автоматического регулирования и оптимального управления и других областях науки и техники.Исследование разрывных систем ведется по многим направлениям. В ряду других важное место занимают вопросы качественной теории [2,3,13,29,31,46,53,54,57,58,64,69] и оптимального управления [5,7,12,19,27,31,36,39,40,48,49,50,52,55,56,59]. Несмотря на обилие работ полученные результаты не являются исчерпывающими. Известно, что свойства решения разрывной системы зависят от характера расположения интегральной кривой относительно поверхностей разрыва правой части системы. Недостаточно изучены следующие особые случаи: касание интегральной кривой поверхности разрыва, пересечение интегральной кривой нескольких поверхностей разрыва одновременно, скольжение интегральной кривой по пересечению поверхностей разрыва.Предмет исследования в первых двух главах диссертации составляют вопросы качественной теории и теории оптимального управления разрывных систем. В главе I выясняются свойства зависимости решения разрывной системы от параметров. В главе И устанавливаются необходимые условия оптимальности в задаче оптимального управления разрывной системой. В главе Ш результаты качественной теории разрывных систем црименяются для решения проблеш локального синтеза в задаче оптимального управления непрерывной системой, ХарактеристИБу полученным результатам дадим позже. Прежде сделаем краткий обзор работ, примыкающих к тематике диссертации.2, Начало качественной теории разрывных систем положено Каратеодори [64]. Большой вклад в ее развитие внесли М.А.Айзер1лан, Е.А.Барбашин, Е.Е.Викторовский, Л.С.Понтрягин, Е.С.Пятницкий, А.Ф.Филиппов и многие другие. Изложение известных точек зрения по некоторым цринципиальным вопросам теории, а также обширная библиография содержатся, например, в [3,46,57J.Среди отмеченных работ важное место занимает статья А.Ф.Филиппова [57]. Здесь дано понятие решения разрывной системы. При достаточно общих предположениях доказаны аналоги классических теорем о существовании, продолжаемости, единственности, непрерывной зависимости от начальных значений и правой части решений дифференциальных уравнений. Вытекающее из определения решения правило доопределения правой части разрывной системы на поверхности разрыва позволяет единственным образом продолжить решение, если интегральная кривая, попав на поверхность разрыва, уже не может с нее сойти. Результаты [57] находят широкое применение, например, в теории автоматического регулирования и оптимального уцравления.М.А.Айзерманом и Ф.Р.Гантмахером показано [2], что производная решения разрывной системы по начальным значениям допускает разрыв I рода в момент пересечения интегральной кривой поверхности разрыва правой части системы. Позже этот результат был обоснован В.Б.Балакиным [13], Б.Н.Шеничным и Ю.М.Данилиным [53], У.Де Бакером [29]. В работах [54,69] установлено, что таким свойством обладает и производная решения по параметрам, от которых зависят правая часть системы и начальные данные. Свойство дифференцируемости решения по начальным значениям нарушается [31], если интегральная кривая пересекает одновременно две поверхности разрыва. Тем не менее сохраняется дифференцируемость решения по любому направлению [31], причем производная также разрывна в момент пересечения.Обобщение выводов [2,13,29,53,54,69] на тот случаи, когда на поверхности разрыва правой части системы должно претерпевать разрывы и ее решение, проведено в [17,60,61].Примечательно то, что вопрос о дифференцируемости решения разрьшнои системы по начальным значениям и параметрам рассш.тривался, как правило, в связи с конкретными приложениями: здесь и исследование устойчивости периодического решения разрывной системы [2] , изучение встречающегося в механике сплошных сред уравнения в частных производных [13], определение функций чувствительности [69] и получение необходимых условий оптимальности [31] в задачах оптимального управления, решение краевой задачи принципа максимума [53].Задачи оптимального управления разрывными системами рассматривались Л.Т.Ащепковым [5] , В.В.Величенко [19], М.И.Зеликиным [31], Н.Н.Красовским [Зб], Е.И.Еутушевым [39,40], Ф.Морозовым и М.И.Суминым [48,49], Л.С.Понтрягиным и Р.В.Гамкрелидзе [52], Н.Х.Розовым [55], В.А.Троицким [56] и другими математиками. Наиболее обстоятельно исследован случай пересечения интегральной кривой (траекторией) поверхности разрыва правой части системы без односторонних касаний [19,27,36,50,52,55,56]. Необходимые условия оптишльности имеют форму принпдпа максимума [52] с дополнительными условиями скачка для сопряжения переменных в моменты пересечения.Схогчаи пересечения с касанием интегральной кривой поверхности разрыва изучались в работах [5,59], Результатами [59] служат видоизмененные условия скачка для сопряженных переменных, результатами [5] - уточненные условия скачка и новый критерий оптимальности, связывающий решение сопряженной системы со скачком фазовой скорости в момент касания. Интересным оказалось то, что тривиальность этого критерия служит предварительным условием выполнения принципа максимума и в этом смысле он предшествует принципу максимрда.В работах [39,40,48] разобран случай скольжения оптимальной интегральной кривой по поверхности разрыва и сформулированы некоторые аналоги принципа максимума. Методы их доказательства (предельный переход [39,40], вариационный принцип Эклацда [48]) существенно используют предположение о выпуклости вектограммы разрывной системы. Более естественные предположения типа усиленных условий скольжения приняты в [491. С помощью метода игольчатого варьирования управления здесь установлено локальное необходимое условие оптимальности.Случай пересечения интезтральной кривой одновременно двух поверхностей разрыва рассмотрен в [31]. Итогом [31] оказались два необходимых условия оптимальности типа принципа максимума, каждое из которых действует на своем подмножестве области управления, Достаточные условия оптимальности получены в работах [5,8, 9,19,21,36].Вопросы оптимизации параметров разрывных систем являются предметом исследования, в частности, в статье [7] и диссертации [12].Проблеме синтеза оптимального управления в форме обратной связи посвящено огромное количество исследований. Тем не менее общей теории синтеза до сих пор не создано. Проблема оказывается чрезвычайно сложной и полно иззгчена лишь в некоторых простейших случаях. Основные результаты получены цри использовании принципа максимра Л,С,Понтрягина [15,23,52], метода динамического программирования [14,33,37,44], близко примыкающего к последнему метода В,Ф,Кротова [38] и метода, основанного на пришнении аппарата функций A.M.Ляпунова [32,41], Анализ современного состояния проблемы дан в обзорной работе [24].При проектировании систем автоматического управления актуален локальный синтез, т,е, синтез в окрестности номинальной (программной) траектории. Известные подходы к решению проблемы локального синтеза в задачах стабилизации номинальной траектории изложены в монографиях [32,37,4Г,44,47]. Методы локального синтеза в задачах оптимального управления рассмотрены^ например, в работах [16j4I,66,67,68,70], Более обстоятельно изучен случай, когда область уцравления не ограничена и номинальное управление непрерывно [1б;41,67,70]. В случае релейного номинального управления в [66,68] предложены методы синтеза точек переключения, Основной недостаток работ [16,66,67,68,70] видится в отсутствии должного внимания к вопросам, связанным о существованием решения проблемы и его свойствами. Ясно, что решение этих вопросов может составить реальную основу для построения методов локального синтеза и их обоснования, 3, Остановимся кратко на содержании диссертации, В главе I рассматривается вопрос о зависимости решения разрывной системы от параметров правой части и начальных данных.Рассмотрение носит локальный характер: оно ведется в окрестности номинальных значений параметров для случая, когда соответствующая им интегральная кривая залегает на одной из поверхностей разрыва правой части системы на некотором отрезке времени и пересекает несколько поверхностей разрыва в концах этого отрезка.Центральным результатом главы I является теорема о непрерывной, кусочно-гладкой зависимости решения разрывной системы от времени и параметров. Указаны способ построения локальных дифференцируемых продолжений решения и правило вычисления их. производных по параметрам. Установлено, что свойство дифференцируемости решения по параметрам нарушается цри тех значениях параметров, которым отвечают интегральные кривые, имеющие точки на пересечениях поверхностей разрыва, и, в частности, при номинальных значениях. Последнее отличает данный случай от рассмотренного в [2,13,29,53,54,69]. Вместе с тем анализ отмеченных результатов позволяет легко получить выводы [2,13,29,53,54,69] и некоторые другие в ряде частных случаев. На основе теоремы решен вопрос о дифференцируемости решения по направлениям при номинальных значениях параметров. В итоге обобщены соответствующие выводы [31]. В заключение показана возможность использования результатов для исследования разрывной краевой задачи.Глава П посвящена необходимым условиям оптимальности в задаче оптимального управления разрывной системой. Исследование ведется в предположениях главы I о характере расположения (оптимальной) интегральной кривой относительно поверхностей разрыва.Методика вывода необходимых условий оптимальности основывается на традиционной технике игольчатого варьирования управления [52] и указанном в [4,6] приеме редукции вариационной задачи к конечномерной задаче математического програмдирования, в которой независимыми являются параметры вариации оптимального процесса.В итоге дело сводится к применению известного правила множителей Лагранжа с последр)щей его расшифровкой в терминах исходной задачи и обоснованием существования "универсальных" множителей Лагранжа.Установлено, что оптшлальный процесс отвечает конечному набору условий типа принципа максимума. Эта особенность обусловлена кусочной гладкостью решения разрывной системы по параметрам.Вместе с тем на интервале скольжения условие максимума гамильтониана имеет локальный характер. Оущественность последнего подтверждена примером. Глобальное необходимое условие оптимальности установлено для частного случая задачи. Как следствие результатов при соответствующих предположениях получены выводы [19,27, ЗГ,49,52,55',56].По сравнению с [39,40,48] проведенное исследование не предполагает наличие одной поверхности разрыва и выпуклости гектограммы системы. Кроме того, на интервале скольжения сопряженная система не содержит характерного для [39,40] слагаемого с мерой.Благодаря этому полученные необходимые условия оптимальности более приемлемы для практического црименения.В главе Ш рассматривается проблема локального синтеза в задаче оптимального управления непрерывной системой. Предполагается, что: I) точка максимума гамильтониана по уцравлению есть кусочно-непрерывная функция времени, фазовых и соцряженных переменных; интегральная кривая краевой задачи принщпа максимума при номинальных начальных значениях последовательно пересекает поверхности разрыва в различные моменты времени без односторонних II касаний. Результаты качественной теории разрывных систем позволяют изучить свойства зависимости решения краевой задачи принщ п а максимума от начальных значений в окрестности номинальной точки. На этой основе, используя теорию поля экстремалей [20,21, 22,28], можно выяснить условия сзществования оптимального управления и его свойства в малой окрестности номинальной экстремали.Получены конструктивные достаточные условия существования кусочно-непрерывного, кусочно-гладкого оптимального управления.Описан алгоритм вычисления производных оптимального управления и нормалей к поверхностям разрыва его значений вдоль номинальной экстремали. На этой основе с использованием кусочно-линейной аппроксимации оптимального управления построен метод субоптимального локального синтеза и проведено его обоснование.Результаты главы I позволяют рассмотреть и тот случай, когда интезтральная кривая краевой задачи принципа максимума пересекает несколько поверхностей разрыва одновременно. Схема рассмотрения сохраняется. Ее реализация и конечные результаты имеют ряд специфических особенностей, обусловленных недифференцируемостью решения краевой задачи по начальным значениям в номинальной точке, и выходят за рамки настоящей диссертационной работы.4. В диссертации используются следующие обозначения.Система ссылок следующая. Формулы» предложения; леммы, утверзвдения и теоремы внутри каждой главы имеют автономную нумерацию. При ссылках на результаты другой главы используется двойная нумерация, где первая цифра означает номер главы. Двойная нумерация используется и при ссылке на пункт другого параграфа; здесь первое число указывает номер параграфа. Для указания пункта другой главы применяется тройная нумерация: первое число обозначает номер главы, второе - номер параграфа-, третье - номер пункта.Список цитированной литературы приводится в алфавитном порядке.В том же порядке даются ссылки на первоисточники.Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [10, 11,42,43]. Результаты диссертации докладывались и обсувдались на ХУ1 Всесоюзной научно-теоретической конференции "Студент я научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1978 г.); У и У1 Всесоюзных конференциях по цроблемам теоретической кибернетики (Новосибирск, 1980 г. и Саратов, 1983 г.); УШ Всесоюзном совещании по проблемам управления (Таллин, 1980 г.); I Областной математической "конференции (Иркутск, 1982 г . ) ; на научных семинарах в Московском и Одесском университетах, Институте математики СО АН СССР и на объединенном научном семинаре кафедр методов оптимизации и вычислительной математики Иркутского университета.Автор глубоко благодарен Л.Т.Ащепкову и О.В.Васильеву за руководство работой, а также признателен сотрудникам кафедр методов оптимизации и вычислительной waTOMaTHKH Иркутского университета, с которыми обсуждались результаты работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подчеркнем основные результаты диссертации. с

1. Изучен вопрос о зависимости решения разрывной системы от параметров при не рассмотренных ранее случаях расположения номинальной интегральной кривой относительно поверхностей разрыва (скольжение по одной из поверхностей, пересечение нескольких поверхностей одновременно). Установлено, что решение является непрерывной, кусочно-гладкой функцией времени и параметров.

2. На базе качественных результатов получены необходимые условия оптимальности управляемой разрывной системы. Они отличаются от известных в частных случаях и более удобны для практического применения. Интересно то, что оптимальный процесс отвечает целому (конечному) набору условий типа принципа максимума. Кроме того, на интервале скольжения условие максимума гамильтониана имеет локальный характер.

3. С помощью результатов главы I рассмотрены вопросы синтеза в малом (в окрестности номинальной экстремали) для задачи оптимального управления непрерывной системой. Установлены достаточные условия существования кусочно-непрерывного, кусочно-гладкого оптимального управления в форме обратной связи. Дан алгоритм вычисления производных оптимального управления и нормалей к поверхностям разрыва его значений вдоль номинальной экстремали. Построенный на этой основе метод субоптимального локального синтеза конструктивен, прост в реализации и может быть использован для решения конкретных прикладных задач синтеза.

1. Абрамов А.А. О переносе граничных условий для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений,- Журя.вычислит, математики и мат.физики, 1961, т.1, № 3, с.542-545.

2. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Устойчивость по линейному приближению периодического решения системы дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями.- Прикл.математика и механика, 1957, т.21, № 5, с.658-669.

3. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем. I, П.- Автоштика и телемеханика, 1974, $ 7, с.33-47;8, с.39-61.

4. Алексеев В.М., Тихомиров В,М., Фомин С.В. Оптимальное управление.» М.: Наука, 1979.- 432 с.

5. Ащепков Л.Т. Особые экстремали разрывных систем управления. 1,П.- В кн.: Управляемые системы. Новосибирск, 1980, № 20, с.3-13; с.14-27.

6. Ащепков Л.Т. Принцип максимума Л.С.Понтрягина и нелинейное программирование.- В кн.: Проблемы оптимального управления. Минск, 1981, с.256-264.

7. Ащепков Л.Т., Бадам У. Оптимизация параметров разрывных динамических систем.- Автоматика и телемеханика, 1979, № 8,с.13-20.

8. Ащепков Л.Т., Левченко Н.М. О задаче аналитического конструирования регулятора для разрывных систем.- В кн.: У Всесоюз. конф.по пробл.теорет.кибернетики: Тез.докл., 18-20 июня1980 г. Новосибирск, 1980, с.36-38.

9. Ащепков Л.Т., Левченко Н.М. Аналитическое конструирование регулятора в разрывной системе управления.- Новосибирск, 1980.- 15 е.- Рукопись представлена ред. "Сиб.мат.журн.". Деп.в ВИНИТИ 13 янв.1981, Л 143-81.

10. Ащепков Л.Т., Левченко Н.М. Об оптимальности траектории разрывной системы управления на участке скольжения.- Сиб.мат. журн., 1981, т.22, $ 2, с.38-47.

11. Ащепков Л.Т., Левченко Н.М. О принципах максимума Л.С.Понтря-гина для управляемой разрывной системы.- В кн.: Методы оптимизации и их приложения. Иркутск, 1982, с.5-22.

12. Бадам У. Вопросы параметрической оптимизации некоторого класса динамических систем: Дис.канд.физ.-мат.наук.- Иркутск, 1978.- 146 л.

13. Балакин В.Б. Скачки производных по начальным данным на поверхности разрыва правой части системы.- йурн.вычислит.математики и шт.физики, 1964, т.4, № 6, с.1102-1106.

14. Беллман Р. Динамическое программирование /Пер.с англ.И.М.Андреевой и др.; Под ред.Н.Н.Воробьева.- М.: Иностр.лит., I960,- 400 с.

15. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления.- М.: Наука, 1969.- 408 с.

16. Брайсон А., Хо Ючпи. Прикладная теория оптимального управления /Пер.с англ. Э.М.Макашова, Ю.П.Плотникова; Под ред.А.М.Ле-това.- М.: Мир, 1972.- 544 с.

17. Бурчак О.Т. Разрывные процессы с управляемыми скачками.- В кн.: Теория оптимальных решений. Киев, 1980, с.53-59.

18. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.- М.: Наука, 1980.- 520 с.

19. Величенко В.В. О задачах оптимального управления для уравнений с разрывными правыми частями.- Автоматика и телемеханика, 1966, № 7, с.20-30.

20. Величенко В.В. К достаточным условиям оптимальности в принципе максимума.- Докл.АН СССР, 1968, т.182, № 4, с.747-749.

21. Величенко BJ3. О методе поля экстремалей в достаточных условиях оптимальности.- Журн.вычислит.математики и мат.физики, 1974, т.14, № I, с.45-67.

22. Величенко В.В. О достаточных условиях оптимальности для мно-голистных полей экстремалей.- Докл.АН СССР, 1976,т.226, № 4, с.757-761.

23. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов.- М.: Наука, 1971.- 507 с.

24. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Современное состояние теории оптимальных процессов.- Автоматика и телемеханика, 1972, $ 9,с.31-62.

25. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления.- М.: Наука, 1973.- 256 с.

26. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем. Методы функционального анализа.- Минск: Изд-во Белорус.ун-та, 1973.- 246 с.

27. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления.- Минск: Наука и техника, 1974.- 271 с.

28. Гельфонд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление.- М.: Физмат-гиз, 1961.- 388 с.

29. Де Бакер У. Условия скачков для функций чувствительности.-В кн.: Чувствительность автоматических систем. М.: Наука, 1968, с.92-96.

30. Дьедонне Ж. Основы современного анализа /Пер. с англ.И.А.Вайн-штейна; Под ред.Н.Х.Розова,- М.: Мир, 1964,- 432 с.

31. Зеликин М.И. Оптимальное управление системами с разрывной правой частью.- В кн.: Материалы Всесоюз.симпоз.по оптимальному упр.и дифференц. играм. Тбилиси, 1977, с.128-133.

32. Зубов В.И. Лекции по теории управления.- М.: Наука, 1975.496 с.

33. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем /Йер.с англ.Э.Л.Наппельбаума; Под ред.Я.З.Цыпкина.-М.: Мир, 1971.- 400 с.

34. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы /Йер.с франц.Б.К.Калякина, А.Н.Тюрина; Под ред.Б.А.фукса.-М.: Мир, 1971.- 392 с.

35. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука, 1981.- 544 с.

36. Красовский Н.Н. Об одной задаче оптимального регулирования нелинейных систем.- Прикл.математика и механика, 1959, т.23,2, с.209-229.

37. Красовский Н.Н. Системы автоматического регулирования полетом и их аналитическое конструирование.- М.: Наука, 1973.- 558 с.

38. Кротов В.Ф., Еукреев В.В., Еурман В.И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета. М.: Машиностроение, 1969. - 288 с.

39. Кугушев Е.И. Метод предельного перехода. Необходимые условия оптимальности.- М., 1973.- 57 е.- (Препринт/ЙПМ АН СССР; № 99).

40. Кугушев Е.И. Необходимые условия оптимальности для систем, описываемых уравнениями с разрывной правой частью.- Вести.Моск. ун-та. Сер.математика и механика, 1974, № 2, с.83-90.

41. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова.- М.: Наука, 1977,- 400с.

42. Левченко Н.М. О дифференцируемости и оптимальности решения разрывной системы по параметру.- В кн.: Вопросы устойчивости и оптимизации динамических систем. Иркутск, 1983, с.94-112.

43. Левченко Н.М. О локальном синтезе оптимального управления.- В кн.: Методы оптимизации и исследование операций. Иркутск, 1984, с.90-103.

44. Летов A.M. Динамика полета и управление.- М.: Наука, 1969.- 360 с.

45. Магарил-Ильяев Г.Г. Теорема о неявной функщи для липшицевых отображений,- Успехи мат.наук, 1978, т.33, № I, с.221-222.

46. Матросов В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствахс разрывными правыми частями. I.- Дифференц.уравнения, 1967, т.З, № 3, с.395-409.

47. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа.- М.: Наука, 1981.- 488 с.

48. Морозов С.Ф., Сумин М.И. Необходимые условия оптимальности в задаче управления разрывными динамическими системами.-Горький, 1980,- 47 е.- Рукопись представлена Горьк.ун-том. Деп.в ВИНИТИ 9 окт.1980, $ 4545-80.

49. Морозов С.Ф., Сумин М.И. Оптимальное управление системами с разрывной правой частью.- Горький, 1981,- 40 с,- (Препринт/ Научно-иссл.радиофизич.ин-т; № 148).

50. Плотников В.А. Ассимптотические методы в задачах оптимального управления,- Одесса: Одесский университет, 1976.- 102 с.

51. Понтрягин Д.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1974.- 332 с.

52. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Н.Ф. Математическая теория оптимальных процессов.- М.: Наука, 1976.- 392 с.

53. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. О дифференцируемости решения системы дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями по начальным значениям.- В кн.: Теория оптимальных решений. Киев, 1968, № I, с.25-43.

54. Розенвассер Е.Н. Общие уравнения чувствительности разрывных систем.- Автоматика и телемеханика, 1967, № 3, с.52-56.

55. Розов Н.Х. Метод локальных сечений для систем с преломлением траекторий.- Докл.АН СССР, 1972, т.202, № 3, с.535-538.

56. Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации процессов управления для уравнений с разрывными правыми частями.- Прикл. математика и механика, 1962, т.26, № 2, с.233-246.

57. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью.- Мат.сб., I960, т.51, № I, с.99-128.

58. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с правой частью, разрывной на пересекающихся поверхностях.- Дифференц.уравнения, 1979, т.15, № 10, с.1814-1823.

59. Хоанг Хыу Дыонг. Условие скачка в одной задаче оптимального управления.- Дифференц.уравнения, 1966, т.2, № 5, с.619-627.

60. Ченцов И. П. О дифференцируемости разрывного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений по начальным значениям и по параметрам.- Кибернетика, 1972, № 2, с.64-68.

61. Ченцов И.П. О применении градиентных методов к решению некоторых разрывных задач оптимального управления.- Кибернетика, 1976, I, с.87-91.

62. Черников С.Н. Линейные неравенства.- М.: Наука, 1968.- 488 с.

63. Уткин В.й. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления.- М.: Наука, 1981.- 368 с.

64. Caiaifleodoiy С. VozPesunyen iiSez zeeSEe fandionen. Leipzig, } 4327.

65. Clozh F. H. On Ifa invezse funciion ifieozem Pocif. Г. о/ Jlaifiematics , JST-6 , vof6<t , //4 , p. 9*1-402.

66. Focxsiei R.E. Loiz Г.А. A nei^Mozincj, op-fcirncii feedttacfc-conlzot scfieme foz systems using- discontinious conizof.- J. Oplimiz. Tfieozy, and Appl, mi , voE. 8 , p. 367-395.

67. Keifey, H.I Guidance thozy. and exlzernai ргШ.- IRE TxanS. on huto. Con. 9 4962 3 vol. AC-? , p. 75-82 .

68. Jllclniyze I.E. NeiyMovmj, oplimai iezminal conizoi wit Pi disconiinious fozcing, functions .-АГАА Г. 3 i3B6 , voE. k , р.М-Ы .

69. Oni-Ri- Hajime. Compazalive dinamics (pensilivity. analysis) in oplimai conizoi tfaozifi. In. : IFAC/IFORS Ы.Соп}. Бул. jf/odeW. and Conlz. Not. Econ. London 5 4973 , p. 389-447.

70. Wood L.I. 0 Bzyson А.Е.Гг. Second -о-Ыгг opiimafity conditions foz vaziaUe end lime tezminal conlzoi pzoSiems AI A/\ J. , 4973 0 vol!. 44 , //S , p. 4241 -4246 .