Обратная задача вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Г Л А В А I:

ВАРИАЦИОННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ И ВАРИАЦИОННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§1.1.Основные понятия

§1.2. Постановка задачи

§1.3. Две леммы

Г Л А В А II:

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ШЕСТОГО ПОРЯДКА

§2.1. Необходимые и достаточные условия существования решения обратной задачи

§2.2. Более подробные необходимые и достаточные условия существования решения обратной задачи

§2.3. Следствия

§2.4. Примеры

ГЛАВА III:

ФУНКЦИОНАЛ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ШЕСТОГО ПОРЯДКА

§3.1. Вычисление вариационного интеграла

§3.2.Примеры

§3.3.Следствия

§3.4.Частные случаи

В развитии вариационного исчисления важную роль играют многие механические и физические задачи. В свою очередь методы вариационного исчисления широко используются в различных вопросах физики. Область применения вариационного исчисления достаточна обширна - оно имеет приложения в самой математике и играет значительную роль в естественных, технических и экономических науках.

Вариационное исчисление изучает общие методы решения экстремальных задач, связанных с функционалами [3], которые определены на множестве функций, кривых или поверхностей. Отдельные задачи, связанные с понятием функционала, рассматривались более трехсот лет назад. Важнейшие результаты здесь получили ещё И. Кеплер, П. Ферма, X. Гюйгенс, И. Ныотон, И. Бернулли, Ж. Лагранж, JI. Эйлер, К. Вейерштрасс и др. Дальнейшее развитие теории функционалов связано с разработкой вариационных принципов. Математическая модель в виде дифференциальных уравнений трактовалась как необходимое условие экстремума некоторого функционала или наоборот - уравнения получали из условия минимума некоторого функционала. При этом возникает хорошо известная обратная задача вариационного исчисления: для заданного дифференциального уравнения требуется найти функционал, обладающий тем свойством, что это дифференциальное уравнение является для функционала уравнением Эйлера. Вопросы соответствия дифференциальных уравнений вариационным принципам обсуждаются, например, в работах Anderson I.M., Duchamp Т.Е. [27, 28], Atherton R.W., Homsy G.M. [30], Douglas Л. [35], Chrastina J. [33, 34], Anderson I., Thompson G. [29], Bauderon M. [32]. При решении дифференциальных уравнений вариационными методами важно найти не просто соответствующий функционал, но лучше - функционал, для которого решения уравнения доставляют минимальные значения. Нахождению соответствующих функционалов посвящены работы Филиппова В.М. [20, 21, 22, 23, 24, 25] и Balatoni F. [31]. В абстрактной форме обратная задача вариационного исчисления означает вычисление вариационного интеграла от дифференциального выражения. Её рассматривали Угланов [26], Коша А. [13], Рапопорт И.М. [17, 18]. В частности, Рапопорт И.М. получил необходимые и достаточные условия разрешимости обратных задач вариационного исчисления для обыкновенных дифференциальных уравнений и для уравнений в частных производных и получил формулу для нахождения функционала в виде криволинейного интеграла, независящего от выбора пути интегрирования. Однако нахождение функционала по таким формулам связано с большими трудностями и зачастую в аналитическом виде не удаётся, поэтому продолжаются поиски более удобных решений обратной задачи.

Новые необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи вариационного исчисления и формулы для вычисления соответствующего функционала получил для обыкновенных дифференциальных уравнений второго и четвёртого порядков, а также для дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных В.Г. Задорожний [6, 8, 9].

Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений Задорожний В.Г. [7, 9] получил необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи. Оказалось, что соответствующий обратной задаче функционал находится в форме где F - функция от п + 1 переменной, только при некоторых дополнительных условиях. Причём на примерах показано, что без этих дополнительных условий функционал в данном виде может не существовать. Возникает вопрос: если рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение высшего порядка и для него выполняются условия разрешимости обратной задачи, всегда ли существует соответствующий функционал вида

J(y) = [b F(x,y(x),y'(x),-.-,y{n)(x))dx? J a

Для дифференциальных уравнений второго и четвёртого порядков это верно. В нашей работе мы показываем, что это верно и для дифференциального уравнения шестого порядка.

Целыо данной диссертационной работы является:

- нахождение необходимых и достаточных условий разрешимости обратной задачи вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка ф,у(х),у'(х),у"(х),уМ(х),уМ(х),у^(х),у^(х)) = 0; (1)

- получение формулы для вычисления функционала обратной задачи вариационного исчисления;

- сравнение результатов с соответствующими условиями для систем дифференциальных уравнений.

Работа состоит из трёх глав.

В первой главе приводятся основные понятия и утверждения, которые используются на протяжении всей работы, и постановка задачи.

Постановка задачи. Пусть Ск(а,Ь) - банахово пространство вещественных к раз непрерывно дифференцируемых на отрезке (а, Ь) функций с нормой к n»(-)iu = Е т?, 1»(0(*)1

Через Mk обозначим множество функций из Ск(а, Ь), удовлетворяющих условиям у^(а) = Ai,y^(b) = Bi, г = 0,1,2, где A^Bi при г = 0,1,2 - заданные числа, и через L обозначим множество функций из Ск(а,Ь), удовлетворяющих условиям h(a) = h(b) = h'(a) = h'(b) = h"{a) = h"{b) = 0.

Обратная задача вариационного исчисления для дифференциального уравнения шестого порядка. Для заданной функции <р восьми переменных требуется найти функционал J : М3 —> R такой, чтобы дифференциал Фреше [10] в направлении подпространства L этого функционала имел вид dJ(y, К) = [6 <р(х, у(х), у'(х), у"{х), уМ(х), у^(х), у^{х), y®(x))h(x)dx.

J а

Для решения данной задачи используются следующие вспомогательные утверждения, доказанные в первой главе.

Лемма 1. Пусть : [а, 6] —> jR, г = 1, 7 и при любом к £ L выполняется условие а\(х)к(х) + а2(х)к'(х) + . + a7(x)ki6\x) = 0. Тогда ai(a:) = «2(2;) = . = ау(х) = 0,VxE (a, b).

Обозначим через М множество функций у £ Сп(а,Ь), удовлетворяющих условиям у^г\а) = А{, у^г\Ь) = Bi, г = 1,2, .,г, где Ai,Bi, г < п - заданные числа. Пусть D - область в Rn и С{ -отображения из [a, b] х D в R.

Лемма 2. Если для любого у € М и целого числа к на множестве [a, Ь] х D выполняется условие

Co(x,y,y',.,y{n-1Wn))k+

С!(х, у, </,., y^-'W11^-1 + . + Ск(х, у,у',., у{п~1)) = 0, то Со = С\ — . — Ск = 0 па множестве (а, 6) х D.

Во второй главе с помощью введенных утверждений получаются необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка.

Теорема 1 . Щстъ функция </? имеет шесть непрерывных производных по всем переменным. Для того чтобы обратная задача имела решение, необходимо и достаточно, чтобы функция (р имела вид р = А{х, у, у\ у'yM)yW+F(x, у, у', у", у, уу" , у(3))у(5)+

Н(х, у, у\ у", + у, у', у\ yW){yW? + L{x, у, у', у\ уМ)уМ+

P(x,y,y\y"JV)

2) и выполнялись следующие условия:

F = ЗЛ,.(з),

3)

G = ЗАХ + 3 АуУ' + 3 Ау,у" + ЗАуну®, (4)

2 лу + 2ру(3)у*

5)

2 Ly> - 4 Lxy» - 4 Lyyny' - 4Ly'y><y" - 4Zw<*/3) - Ру„у{3) + ЗРху{з)у(3) + ЗРуу{3)у(з) у'+

ЗРу,у[з)у(з)у" + ЗРу„у(з)у(з)у^ — Кххх — 3 Кххуу' — ЗКхху>у" — 3 КХХу'>у^ — -3КхуУ" - 3Кхуу{у')2 - Шхуу,у'у" - 6Кхуу„у'уМ зкху,уЮ - ЗКху,у,(у")2

6Кху'у"У"у^—ЪКХУ"У» {у^)2—Куу^—ЗКууу'у"—ЗКУУ> (ij")2—ЗКуУ»у"у^— -КуууЫ? - 3Kywiy'fy" - 3Кууу»(у')2у{3) - з^У3) - з^^-г/Чг/")2—

-3КмАуУу^ - зKvWy"{yW)2 - KyW(y{3)? = о, (6)

3 6 б

Ру> - Рху" - Руу"У' - Ру'у"У" - Ру"у"У{2,) + г^ххУ3) + -^Рхуу^у' + §Рху'уЮУ"+

6 3 3 6 6

-Рху^ут + + ^Рууу^У')2 + -^Руу^у'у" + 5 Pvy»yvy'y{Z)+ ру>уЫУ{Ъ) + \Pyyyviy"? + \ру>у»у™у"у{2,) + \ру"«чМу{Ъ)? - \Lxxx

3 3 3 3 3 3

-jLXIyy' - -Lxx,jy" - -L„,ry{3> - —Lxyy" - -LIV,j(y'f - -Ь„/г/3)v - -5Ъууу'ут - § WУ")2 - - \Ь^АУ(3)?

-| W/ - lL»y(3> -1JW -1W»® -1 Wi/')3 -f^W (3/')2y"

- J Wf<3) - § W(/)1 - §JW»W--|w^')2 - §Wi/® -1Wfc(3))2

- §W(/)V3) - ^vWfe®)2 - Jw-vW = o, (7)

H — Ayi3)y(3)j (8)

Ly(3) — Ay' - -Gy" — Gxy(3) — Gyy(3)y' — Gy,ymy" — Gy„y(3)y^ = 0, (9) PyC3) - 2LX - 2Ly?y - 2Ly,y" - 2Ly>,y(3) + + yG^y' + \суу{у')2 + f + у <W</(3) + \Gyy"+

С«АУ"? + f + \СУ,УЫ + ^v&W = 0, (10)

К = Gy(3) - Ay». (11)

Как следствия из этого результата получаются необходимые и достаточные условия для уравнений второго и четвертого порядков.

В третьей главе при выполнении необходимых и достаточных условий разрешимости (3) - (11), получается явный вид функционала обратной задачи вариационного исчисления для дифференциального уравнения шестого порядка. Справедлива теорема.

Теорема 2 . Пусть выполняются условия теоремы 1, тогда решение обратной задачи находится по формуле

J {у) = [bQ(x, у(х), у'(х), у"(х), yM{x))dx, J а где функция Q имеет вид

Q = - J{J Айу®)йу®+1ФЬ~1 A«dy{3) -1 JGv"dy{Z) - G* - °уУ

-Gy,y"-GryM]dy"W + J [p~\j \Gxx + 2Gxyy' + Gxy,y" + Gyy{y')4 +Gyy,y'y" - Gyy" - - J AyAyWfdyM ~ 2 J Ayy^dy^

- J Ay^'y^dy® - J [Lxx - i J (Gxy + Gyy,y' + Gxxy» + 2Gxyy„y'+

Gxy.ry" + Gyyy»{y')2 + Gyy,y.y'y" - Gyy»y" — Gy + 3Ayy»i/V 3Аху,у„у^~

-4Gxyy,y'y" - 2Gxyry'y^ + Lxy>y" - GxyV(y")2 - G^ij'y^ + Lyy{y')2-~Gyyy{y'f - 2Gyyy,(y')2y" - GyyAy')V] + LyyuY ~ Gm/y>y'(y")2

- Lyy" + Gyyt(y")2 + Gyry"y^]dy" - 2Lxy^ + 2Gxxy^+ +4Gxyy'yW + 3Gxy„{yW)2 - 2Lyy'yW + 2Gyy(yf)2y{3) + 3Gyy,y'(y^)2--2

Lxxy" - Gxxxy" - 3Gxxyy'y" - 3Gxxy,(y")2 ~ 3Gxxy„y"yW + 2Lxyy'y"

-Жхуу{у')2у" - 6Gxyyly'{y")2 - №хуГу'у"уЫ + 2LXy'(y")2 - 3Gxy,y>{y"?--GGxy,Ay")2y{3) + Lvy(y')2y" ~ Сууу(уГу" ~ 3GyW{y')2{y"? + Ш)2--3СууАуГу"у{3) + 2Lyy,y'{y")2 - 3GyWy'(y"f ~ 6GyyYy'(y")2y{3)--3Gyy,{y"? - 3СуАу")2У{3) ~ 3Gxv{y")2 - 3Gyyy'{y")2 + Ly,y,{y"f

-3Суу1,у„у'у"{уМ? + V3) " 3GyW.(y")2(2/(3))2 + iW(</{3))2

J (Jipy'~l J (Gxxy, + 2Gxyy,y' + 2Gxy + Gxy,y.y"+

Gyyy(y'? + 2Gyyy' + Gyy,y,y'y" - Gyyy$W3) ~ J AyW(y^)2dy^

-2 J ArfyWdy® ~ J ЛуУ'Л(3)^(3) - J [W -Ц (GxyV + Gyy>y>y'+

Gxxy>y» + 2 Gxyy>y»y' + 2Gxyy" + Gxy>y>y»y" + Gyyy'y»(y')2 + 2Gyyy»y'+ +Gyy>y>y»y'y" - 3 АхуЧ/у"у{3) - 3Ayy>y>y»y'y{3))dy{3) - Gxxxy> - 3 Gxxyy>y' - 3 Gxxy--2Gxxy>y>y"-GxxyV>y{3)+2Lxyy/y'+2L

Lyyyiy')2 + ЩуУ' ~ Gyyyy>(y'f - 3Gyyy(y')2 - 2Сууу,у,(у')2у" - 4Gyyy/y'y"--Сууу>Ау')2у{3)-2СууГу'уМ^

-2Lxy,yM + 2GXXy.y{?4AGXyy,y'yW + AGxyy^+Жхугу,,(уМ)2 - 2Lwy'y^

-2 Lyy^ + 2 СууАу')2У{3) + 4 Gyyy'yW + 3GyyYV(</(3))2 + 3<3У2/'(</(3))2

-ру'у"у" + Ьхху'у" - Gxxxy>y" - 3Gxxyy>y'y" - SGxxyy" - 3Gxxy>y'{y")2--3Gxxy>y.,y"y{3) + 2Ьхуу'у'у" + 2Lxyy" - 3GxyW{y')2y" - 6Gxyy,yaj'{y")2

-QG^y'y" - 9GXyy>{y")2 - ЬСХуу,у„у'у"уМ - 6Gxyyl,y"y^ + 2Lxy,y,(y")2

-3GxyW(y"f - 6GX,W(2/")V3) + Lyyyl(y')2y" + г^з/у" - Gyyyy^Jfy"

10

-Жууу(у')2у" - 3Gyyy,Ay')2(y")2 - 9Сууу,у'(у")2 - 3Gyyy>r(y')2y"y{Z)--6СУУУ»</Л(3) + 2Ьуу1у,у'(у")2 + 3Lw(y")2 - 3GyMy'{y"f - бCW?/")3

-ZGyW{y"fy^ + 2Lxy4fy"yW - 3GxyWy"(yW)2 + 2Lyy,ry'y"i/34

2Lyy„y"yW - ЗСуу,у/,уУ(уМ)2 - 3Gyrry"(y{3))2 + 2W(/)V3)

-3 GyW/y^'r(y{3))2+LyWy"^ J( J [Py"~

J \Gxy> + GyynJ -f Gy'y'ij" + 2Gy]dyW + J AyVy^dyW - Lxx + Gxxx+ +3Gxxyy' + 3Gxxy>y" + 3Gxxy»y{3) - 2Lxyy' + 3Gxyy{y')2 + №xyv>y'y"+ +6Gxyry'yW - 2Lxy,y" + 3Gxy>y.(y")2 + 6Gxy.y„y"yW Lyy(y>f + Gyyy(y')4

3GyW{y'fy" + 3GW<(</) V3) ~ ЩУУ'У" + 3GyyWy'(y")2 + bGyyly„y'y"y^

-Lyy43Gyy,(y'f+3Gyy,«j''yW+3G^

3GyW{y")2y® 2ЬхГу^ + 4Gxy,yW + 3Gxy„r{y^)2 - 2Lyy»y'y^+

4Gyy>y'y^ +3Gyy>'y»yr(y^)2—2Ly>y»y"y^—2Ly>y^+2Gyy^ +4Gyy

3GyWy"(ym)2 + 4GyY(yW)2 - Lrr(y^)2 + Gm\yWf - J [Lxy>

- J(Gy'y' + Gxy'y" + Gyy>y»y' + Gy'y'yiiy" + 2Gyy" — 3Aj'y'y"y^)dy^ — Gxxy'~

2Gxyy>y' — 3 Gxy — 2 Gxy>yiy" — Gxy>y»y^ + Lyy>y' — Gyyy>(y')2 — 3 Gyyy'— -2Gyyyy'y" - GyyYy'y® + LyVy" - 4Gyy>y" - GyWy,(y")2 - GyWy"y^+

2Ly - 2Gyy„yM}dy"WW. (12)

Необходимые и достаточные условия теоремы 1, а также вид функции q проверяются на примерах, которые можно считать гарантией правильности полученных результатов, так как искусственно подобрать условия разрешимости обратной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка и явный вид функционала, для которого выполняются примеры, практически невозможно.

Как следствия из теоремы 2 находятся функционалы для дифференциальных уравнений второго и четвертого порядков.

Дадим формулировку результатов для обыкновенных дифференциальных уравнений второго и четвертого порядков, описанные в [9].

Теорема 3 . Пусть в уравнении ф, у(х), у'{х), у"{х)) функция ср дважды непрерывно дифференцируема по всем переменным. Тогда для разрешимости обратной задачи необходимо и достаточно, чтобы функция ip имела вид г/, у', У") = Л(х, у, у')у" + В(х, у, у') и функции Л и В удовлетворяли условию

В,/ -Ах~ у'Ау = 0.

При этом решение задачи mooicho найти в виде

J(y(-)) = J\f (В- J By>dy')dy 4- J Ay'dy'-y' J Ady']dx = = j\J (B-J By'dyf)dy - J (J Ady')dy'\dx.

Теорема 4 . Пусть функция ip имеет четыре непрерывных производных по всем переменным. Для того чтобы обратная задача для (р имела решение, необходимо и достаточно, чтобы функция ip имела вид

Ф, У, у', у") = Л(х, 2/, у', y")yW + С(х, у, у\ у"){у<3>)2 + D(x, у, у', у")у^+

Е{х, у, у', у") 12 и, кроме того, выполнялись условия:

С = АУ",

3Dy< - 2Exfy„ + 2Схх + 4Схуу' + АСху>у" + 2Суу(у')2+ +4 Сууу'у" + 2Суу" + = О,

2Еу1 — 2Еху" — 2Еуу"у' — 2Еу'у"у" + Dxx 4- 2Dxyy' + 2Dxy>y"-\-+Dyy(v'? + Жуу,у'у" + Dyy" + Dyly,(y")2 = 0, 2AX + + 2Ay>y" — D = 0. При этом решение задачи modicho найти в виде

АрО))= f F{x, у, у', y")dx, J а где

F = J(J Ady")dy"+j{j[j Aydy4±Dx+±Dyy'+±Dy,y"+± J Dydy"

Eyi']dy')dy' + JijiJ Axydif + ^Dxx + ^Dxyy' + ^Dxy'y" + J Dxy>dy"-—Exy"+yf J Amdy"+^(y')2 Dyy+^DyytyY+^y' j Dyyldy"-y'Eyyn\dy')dy+ J[E-f Ey"dy"]dy.

Оказывается, следствия из теоремы 1 и теоремы 2, полученные в данной диссертационной работе для уравнений второго и четвертого порядков, полностью совпадают с результатами, полученными в [9]. Рассмотрим некоторые публикации на данную тему. В книге Задорожнего В.Г. "Дифференциальные уравнения с вариационными производными"[9] подробно рассматриваются обратные задачи вариационного исчисления для обыкновенных дифференциальных уравнений второго и четвертого порядков, а также для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Приводится методика и обоснование применяемого в данной работе метода решения.

В [9] получен следующий результат для систем дифференциальных уравнений:

Теорема 5 . Пусть <р: [а, 6] х Rn х Rn х Rn —► Rn имеет непрерывные производные до третьего порядка включительно. Для того чтобы обратная задача вариационного исчисления имела решение в виде функционала

J(y)= / F{x,V,y')dx, J а необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: функция <р должна иметь вид ip = A(x,y,y')y" + B(x,y,y') и при у 6 х € (а, b)

АТ = А, {Ah)y, + {Ah)y> - 2Ay'h = О, By, Л-Вту,- 2АХ - 2АуУ' = О,

Ah)y> - Ay'h = О,

Ah)ту - (Ah)y - Ayh - Axy'h + By,y>h - Ayy>y'h = 0, B* -By + Bxy> + (By,)yy' - Axx - 2Axyy' - Ayyy'y' = 0 и условие \{BTy,y')yk -\(Ву,у')ук - [(J* Ас1у')уу']ук + Вук + ±{Втху, - вху,)к} h >=

Уо \{B$y')yh - \{By/y')yh - [( Г Ady')Tyy'}yh + Byh, k>, Vh,k€ L

J У о и, кроме того, существовала матричнозпачная (п х п) функция R(x,y), удовлетворяющая условиям

RT(x,y) = R(x,y), (13)

B$h)yk - \(By,h)yk - i[( jf Ady')yh]yk + (Ryk)h = \(B$k)yh - \(.By,k)yh - i[( jT Ady')Tyk}yh + (Ryh)k, V/i, keL. (14)

При выполнении этих условий функция F(x,y,yf) может быть вычислена по формуле

ГУ ГУ' ГУ' " ГУ' ГУ'

F= < < Ady',dy' >y,dy> - \ < / Ady\ dy' > +

J Уо Jyо Jy'o Jy'o Jy'o fl/ f < -M - Ву)у' - Г^у'УуУ' - k'[yAdy')yyf + Ry' - ГAxdy' Jyo 4 1 Jy'o 2 Jy'o Jy'o (У{-Жу,-Вху,)-\( Г Axdy')y-\-~( Г Axdy')y+Rx]dy,dy > . (15)

Jyo 4 2 Jy'o 1 Jy'o

Здесь при фиксированных x, у, у' матрица А(х, у, у1) имеет размер пхп и В(х, ?/, у') - вектор из Rn и h G Rn.

Итак, для того чтобы в обратной задаче для систем дифференциальных уравнений функция F вычислялась по формуле (15) необходимо выполнение дополнительных условий (13) и (14). В настоящей же работе показывается, что для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка при выполнении условий разрешимости обратной задачи всегда существует соответствующий функционал вида гЬ

J (у) — / Q(x,y(x),y,(x)y(x),y^{x))dx, J а и не нужны дополнительные условия.

В книге Андраша Коша "Вариационное исчисление"[13] содержатся основные результаты классического вариационного исчисления и рассматривается обратная задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка у" = F(x,y,y').

Некоторое ограничение общности состоит в том, что рассматриваются только дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной (дифференциальное уравнение Эйлера-Лагранжа часто таким не является).

Работа состоит из введения, трех глав и библиографического списка, включающего 41 наименование источников.

Результаты диссертации опубликованы в б работах [36-41] и докладывались на научных семинарах кафедры нелинейных колебаний Воронежского государственного университета, на весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XIV"(3 мая - 9 мая 2003 г.).

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю профессору Задорожнему В.Г. за постановку задачи, постоянное внимание к работе, ценные замечания и предложения.

Г Л А В A I

ВАРИАЦИОННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ И ВАРИАЦИОННЫЙ

ИНТЕГРАЛ §1.1. Основные понятия

В данном параграфе приводятся основные определения и теорема о существовании вариационного интеграла [9].

Введём понятие вариационной производной [3, 9].

Пусть R - множество вещественных чисел, С - комплексная плоскость, X и Y - банаховы пространства с нормами ||ж(-)||х, Пусть Rn - вещественное n-мерное пространство векторов 5 = (si, S2,., sn), G С Rn - ограниченная замкнутая область в jRn, dG - граница области G.

Определение. Пусть X - банахово пространство и L С X -подпространство. Если для функционала у : X —> С приращение А у = у{х(-) + h(-)) — у{х{-)) можно записать в виде у(х(.) + Л(.)) - уШ) = А(х(Ш) + "(*(•), Л(-)), V/i € L, где Л(х(-)) - линейный по h ограниченный на L функционал и \w(x(-),h{-))\/\\h\\ -> 0 при \\h(-)\\ -> 0, то A{x{-))h{-) называется дифференциалом функционала?/ в точке х в направлении подпространства L и обозначается dy(x(-),h) или y'(x)h. Линейный функционал А(х(-)) называется производной в направлении подпространства L и обозначается

Определение. Пусть X - банахово пространство функций х : G —► R и L - подпространство в X, плотное в пространстве L2(G). Если дифференциал y'(x(-))h(-) функционала у : X —»■ С в направлении подпространства L записывается в виде y'(x(-))h(')= ( v{x{-),s)h{s)ds, Vh в L, jg где ср : X х G —» С и интеграл понимается в смысле Лебега, то <p(x(-),s) называется вариационной (функциональной) производной функционала у в точке :г(-) в направлении L и обозначается 5y{x)/5x(s).

В дальнейшем нам потребуется понятие вариационного интеграла и условия его существования.

Определение. Функционал у : X —> С называется вариационной (или функциональной) первообразной или вариационным интегралом на множестве D С X в направлении подпространства L С X для отобраэюения (p(x,s), если на этом множестве Sy(x)/5x(s) = ip(x,s) в направлении L. Выражение у(х) + С, где С - произвольная постоянная, называется неопределённым вариационным интегралом в направлении подпространства L и обозначается f (р(х, £)6х.

Приведём условия, при которых вариационный интеграл существует. То есть условия, при которых имеет решение простейшее уравнение где Л(х) ~ функционал, определяющий вариационную производную.

Теорема 1.1. Пусть уравнение (1-2) имеет решение и отобрао!сение A(x)h дифференцируемо по переменной х в области Г2 С X в направлении подпространства L С X. Тогда (A'(x)k)h симметрично по переменным h,k € L при х 6 fi, т.е. (A'(x)k)h = (A'(x)h)k при всех h,k € L и х G П. .

Доказательство. Пусть у(х) является решением уравнения (1.2). Так как A(x)h дифференцируемо, то существует вторая производная y"(x)hk = (A'{x)k)h. Согласно теореме о том, что если функционал

1.1) или в более общей форме, y'{x)h = A{x)h, VheL,

1.2) у : X —> С дваэюды дифференцируем в точке в направлении L, то билинейное отображение y"{xo)hk симметрично по переменным h,k G L, y"(x)hk симметрично по h,k Е L. Теорема доказана.

Оказывается, что необходимое условие симметричности является и достаточным условием разрешимости уравнения (1.2).

Теорема 1.2. Если в уравнении (1.2) А : X —> X* и существует производная Фреше А'(х), то если выполнено условие (.A'{x)k)h = (.A'(x)h)k, \/h,k £ L, х 6 П, то уравнение (1.2) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию у(хо) = Уо, (1.3) где Xq Е X, Уо Е С - заданы.

Доказательство. Заметим, что, если для любого х Е X у(х) - решение уравнения (1.2), то функция rp(t,x) = у(хо + t(x — хо)) при О < t < 1 удовлетворяет уравнению щ— = (х - х0)у'(х0 + t(x - ar0)) = А(х0 + t(x - х0))(х - х0) и условиям -0(0, х) = уо (т.е. удовлетворяется условие (1.3)), ф( 1, а:) = у{х). Подставим t = 1

0).

Рассмотрим функцию

1, х) = у0+ / А(х0 + 5(х - х0))(х - x0)ds Jo и покажем, что она является решением уравнения (1.2). Очевидно, ф(1,Хо) = уо. Пусть h Е L. Найдем $'{\,x)h

А'(хо + s(x - £o))s/i](£ - x0)ds + / А(х0 +s(x — x0))hds.

Jo

Так как существует непрерывная производная А'(х), то дифференцирование иод знаком интеграла возможно. В силу условия

Jo

A'{x)k)h = (A'(x)h)k ф'( 1,x)h = / [A!{xо + s(x — — x0)]shds + / A(xq + s(x — x0))hds.

Jo Jo

Положим dv = A'{xо + s(x — хо))(ж — xq)ds, и = sh, тогда v = A{xq -f- s(x — Xo)), du = hds. Интегрируя по частям, получаем ф'{ 1, x)h = A(xo + s(x — xo))sh |o — / A{xq + s(x ~~ xo))hds+

Jo / A(x0 + — x0))hds = A(x)h. Jo

Следовательно, ф'(l,x)h = A(x)h, таким образом, ф(1,х) является решением нашей задачи.

Докажем теперь единственность. Пусть <р(х) ещё одно решение. Тогда функция z(x) = ф(1,х) — <-р{х) удовлетворяет уравнению z'(x)h = О, УН G L. Следовательно, z{xq-\-H) = const, УН G L. Однако z{xо) = 0, тогда z(x) = 0 и ф(1,х) = <р(х), Ух = xq + h, УН G L. Теорема доказана.

Из этой теоремы можно получить условия существования вариационного интеграла.

Теорема 1.3. Если (p(x,t) в области Q С X имеет непрерывную производную по х, существует интеграл Лебега fG ср(х, t)h(t)dt (V/г. G L), то для существования вариационного интеграла f (p(x,t)Sx (в направлении подпространства L), необходимо и достаточно выполнения условия (ip'(x,t)k)h{t)dt= [ ((p\x,t)h)k(t)dt,(yh,k е L). (1.4) Jg Jg

При этом вариационный интеграл моэ/сно вычислить по формуле ip(x,t)6x= f [f cp(xQ(t) + s{x{t) - x0{t))){x(t) - x0{t))dt]ds + с. J Jo Jg

1.5)

Действительно, умножив уравнение (1.1) на h 6 L и проинтегрировав по области G, получим уравнение вида (1.2), где A(x)h = = fGip(x,t)h(t)dt. При этом условие (A'(x)k)h = (A'{x)h)k, УК, к G L, х G.Q, принимает, указанный в теореме, вид (1.4). Формула из теоремы 1.2 у(х) = уо + fo A{xq + s(x — гго))(а: — xo)ds позволяет находить вариационный интеграл в виде (1.5).

1. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Э.Л. Айне; Пер. с англ.; Под ред. A.M. Эфроса. - Харьков: ОНТИ, 1939. - 717 с.

2. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений / В. Вольтерра. М.: Наука, 1982. -304 с.

3. Гельфанд И.М. Вариационное исчисление / И.М. Гельфанд, С.В. Фомин. М.: Физматгиз, 1961. - 288 с.

4. Дьедонне Ж. Основы современного анализа / Ж. Дьедонне. М.: Мир, 1964. - 430 с.

5. Задорожний В.Г. Решение некоторых уравнений с вариационными производными / В.Г. Задорожний; Институт математики АН УССР. -Препринт 87.34. Киев, 1987. - 52 с.

6. Задорожний В.Г. Обратная задача вариационного исчисления для дифференциального уравнения с частными производными / В.Г. Задорожний // Качественные методы исследования операторных уравнений: Сб. науч. тр. Ярославль, 1987. - С. 117-126.

7. Задорожний В.Г. Обратная задача вариационного исчисления для систем дифференциальных уравнений / В.Г. Задорожний // Изв. Вузов. Математика. 1989. - N9. - С. 79-82.

8. Задорожний В.Г. Обратная задача вариационного исчисления для дифференциального уравнения второго порядка в частных производных с тремя независимыми переменными / В.Г. Задорожний, В.Г. Задорожний // Докл. РАН. 1999. - Т. 366, №5. - С. 587-589.

9. Задорожний В.Г. Дифференциальные уравнения с вариационными производными / В.Г. Задорожний. Воронеж: Изд-во Воронеж, унта, 2000. - 368 с.

10. Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. -М.: Факториал, 1997. 512 с.

11. Камке Э. Справочник но обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М.: Наука, 1976. - 576 с.

12. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1968. - 496 с.

13. Коша А. Вариационное исчисление / А. Коша; Пер. с венгер. Д. Валовича; Под ред. Ш.А. Алимова. М.: Высш. шк., 1983. - 279 с.

14. Лаврентьев М.А. Курс вариационного исчисления / М.А. Лаврентьев, Л.А. Люстерник. 2-е изд., перераб. - М. - Л.: Гостехиздат, 1950. -296 с.

15. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа / П. Леви. М.: Наука, 1967. - 510 с.

16. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер. М.: Мир, 1989. - 673 с.

17. Рапопорт И.М. Обратная задача вариационного исчисления / И.М. Рапопорт // Изв. физ.-мат. о-ва. 1939. - №11. - С. 47-69.

18. Рапопорт И.М. Обратная задача вариационного исчисления / И.М. Рапопорт // Докл. АН СССР. 1938. - Т. 18. - С. 131-136.

19. Светлицкий В.А. Сборник задач по теории колебаний: Учеб. пособие для вузов / В.А. Светлицкий, И.В. Стасенко. М.: Высш. шк., 1973.- 454 с.

20. Филиппов В.М. К вариационным принципам для гипоэллиптических уравнений / В.М. Филиппов // Докл. АН СССР. 1985. - Т. 285, N2.- С. 302-305.

21. Филиппов В.М. Вариационные принципы для непотенциальных операторов / В.М. Филиппов. М.: Изд-во Ун-та дружбы народов, 1985. - 206 с.

22. Филиппов В.М. О квазиклассических решениях обратной задачи вариационного исчисления / В.М. Филиппов // Докл. АН СССР. -1985. Т. 285, N1. - С. 53-56.

23. Филиппов В.М. О существовании решения обратной задачи вариационного исчисления для нелинейных непотенциальных операторов / В.М. Филиппов // Численные методы в задачах математической физики. М., 1985. - С. 147-155.

24. Филиппов В.М. К вариационному методу для ультрапараболических уравнений / В.М. Филиппов // Анализ информационно-вычислительных систем. М., 1986. - С. 107-111.

25. Филиппов В.М. О классах операторов в вариационном методе решения нелинейных уравнений / В.М. Филиппов // Анализ информационно-вычислительных систем: Ун-т дружбы народов. М., 1986. - С. 98-106.

26. Угланов А.В. Вариационные задачи в абстрактном банаховом пространстве / А.В. Угланов // Докл. АН. 1999. - Т. 59, №3. - С. 162-165.

27. Anderson I.M. On the existence of global variational principles / I.M. Anderson, Т.Е. Duchamp // Amer. J. Math. 1980. - V. 102, N. 5. - P. 781-868.

28. Anderson I.M. Variational principles for second-order qusi-linear scalar equations / I.M. Anderson, Т.Е. Duchamp // J. Diff. Eq. 1984. - V. 51, N. 1. - P. 1-47.

29. Anderson I. The inverse problem of the calculus of variations for ordinary differential equations / I. Anderson, G. Thompson // Mem. Amer. Math. Soc. 1992. - V. 98, N. 473. - 110 p.

30. Atherton R.W. On the existence and formulation of variational principles for nonlinear differential equations / R.W. Atherton, G.M. Homsy // Studies in Appl. Math. 1975. - V. 54, N. 1. - P. 31-60.

31. Balatoni F. Uber die Charakterisierbarkeit partieller Differentialgleichun-gen zweiter Ordnung mit Hilfe der Variationsrechnung / F. Balatoni // (German. Russian summary) Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato Int. Kozl. 1960. - V. 5. - P. 229-233.

32. Bauderon M. Le probleme inverse du calcul des variations / M. Bauderon // Ann. Inst. Henri. Poincar. 1982. - Sect. A 36. - P. 159-179.

33. Chrastina J. Examples from the calculus of variations. I: Nondegenerate problems / J. Chrastina // Math. Bohem. 2000. - V. 125, N. 1. - P. 55-76.

34. Chrastina J. Examples from the calculus of variations. II: A degenerate problem / J. Chrastina // Math. Bohem. 2000. - V. 125, N. 2. - P. 187-197.

35. Douglas J. Solutions of the inverse problem of the calculus of variations / J. Douglas // Trans. Amer. Math. Soc. 1941. - V. 50. - P. 71-128.

36. Задорожний В.Г. Условия разрешимости обратной задачи вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка / В.Г. Задорожний, Е.В. Корчагина // Труды молодых ученых ВГУ. Воронеж, 2000. - Вып. 2. - С. 48-61.

37. Корчагина Е.В. Условия разрешимости обратной задачи вариациоиного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка / Е.В. Корчагина; Воронеж, гос. ун-т. -Воронеж, 2001. 56 с. - Деп. в ВИНИТИ 28.03.01, № 775-В2001.

38. Корчагина Е.В. Решение обратной задачи вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка / Е.В. Корчагина; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2003. - 28 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.10.03, № 1787-В2003.

39. Корчагина Е.В. Нахождение функционала в обратной задачевариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка / Е.В. Корчагина // Вестник факультета прикладной математики и механики. Воронеж, 2003. - Вып. 4. - С. 54-71.