Вариационно-разностные методы в математических задачах теории пластичности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

I 71П ' ^ 0 ;*•

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.9,519.6,539.3

Репин Сергей Игоревич

ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

Специальность 01.01.07 - Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ -диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1994

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Санкт-Петербургского государственного технического университета.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Андреев Владимир Борисович

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение математического института им. В.А.Стеклова

на заседании специализированного Совета Д 063.57.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по вдресу: 1987904,Санкт-Петербург, Старый Петер гоф, Библиотечная площадь 2, Матемзтико-механическиа факульте С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. м.И Горького Санкт-Петербургского университета.

Автореферат разослан * ¿г ~ 1994г.

доктор физико-математических наук, профессор Осмоловский Виктор Георгиевич

доктор физико-математических наук, профессор Руховец Леонид Айзекович

Российской Академии Наук

Защита состоится

часов

Ученый секретарь Специализированного Совета доцент

Ю.А.Сушков

Оо#Я ХАРАКТЕР! С11К А РнШ!Ы

/Ш/АЛЬНЫЛь 1'й1йа. Построение эффективных численных методоь решения нелинейных задач механики сплошной среды является одним из наиболее важных направлений в развитии вычислительной математики. В данной работе рассматриваются вопросы применения вариационно-разностных методов к решению вариационных задач в теории идеально-упругопластических тел.

В настоящее время вариационно-разностные методы широко применяются для решения разнообразных прикладных задач. Они сочетают простоту и алгоритмическую рациональность разностных схем с преимуществами вариационных методов численного анализа, основы которых бы1И ьалоиены в трудах Н.Г.Бубнова, Б.Г.Галеркина, Л.В.Канторовича, С.Г.Михлина, РпСурантг? л В.Ритца. Вариационно-разностный метод (или метод конечных элементов) возник в начале Ш-х годов и первоначально применялся в основном для решения линейных задач механики. Развитие математических основ метода конечных элементов связано с работами Дж.Брамбла, О.С.Зенкевича, М.Зламала, Д.-Д.Обэна, Л.А.Оганесяна, В.Я.Ривкинда, Л.А. Руховца, Г.Стренга, Г.Фикса и многих других авторов. Зтот метод оказался весьма плодотворным и при решении нелинейных задач связанных с теорией вариационных неравенств, особенно тех, в которых имеется неизвестная внутренняя граница разделяющая области с различными свойствами решения. Применение вариационно-разностных методов позволяет естественным образом определить

3

расположение границы после решения задачи. Вариационные задачи возникающие в теории пластичности относятся именно к этому классу проблем.

Классические постановки задач теории пластичности были сформу-шрованы в работах Д.С.Друкера, Д.Д.Ивлева, А.А.Ильюшина, Л.М.Качанова, В.Д.гСлюшникова, ЬЛ.Койтера, 11.П.Мосолова, П.А.Мясникова, Ю.Н.Работнова и других авторов. Задачи идеальной пластичности принадлежат к числу наиболее интересных с при кладной точки зрения и, в то же время, математически наиболее трудных проблем. ¡здесь, в отличие от различных моделей упрочняющихся улругопластических тел, предполагается что напряжения

3. ограничены и удовлетворяют условию ^ 0 , где

заданная выпуклая функция, йти задачи приводят к вариационным проблемам, в которых интегрант имеет линейный рост отнэситель-но симметричной части тензора-градиента. По своим свойствам они близки к вариационным задачам для функционалов линейного роста, таким например, как задачи о непараметрических минималь ных И нг капиллярных поверхностях изучавшихся в раоотах Г.Анзе; лотти, М.Джиакзинты, З.Дкусти, Н.Н.Уральцевой, Р.Финна и др. Зги задачи существенно отличаются от других классов вариационных задач поскольку соответствующие функционалы коэрцитивны только на нерефлексивных пространствах. Последнее делает нево: шясным использование известных методов вариационного исчислен! для доказательства существований решения'. Физическое обьяснеш этих трудностей состоит в том, что здеоь слабые решения, воо5( говоря, не являются элементами какого-либо соболевского прост-рьн'лчш, а принадлежат более широкому классу суммируемых функ-циЛ, гтерг-ые производные которых являются ограниченными мерами садачи идеально;! пластач.чостн связаны'с анализом системы

4

дифференциальных уравнений и поэтому оказались еще более сложными. За исключением проблемы кручения упругопластического стержня (см. работы Б.Д.Аннина, Х.Брезиса, Г.Стампаккья, Т.Н.Рож-ковской, Н.Н.Уральцевой а также монографии Р.Гловински, Ж.-Л. Лионеа, Р.Тремолье'ра и А.Фридмана) они до начала 80-х годов в математическом плане оставались мало изученными. Поэтому исследование сходимости вариационно-разностных методов было в основном связано с различными моделями упрочняющихся упругопластиче-ских тел а также с инкрементальной теорией пластического течения (К.Джонсон, И.Главачек, В.Г.Корнеев, У.Лангер, С.Й.Пономаг-рев и др.). Возникший к задачам идеальной пластичности интерес был ь значительной степени связан со следующей задачей, которая возникает деформационной теории пластичности с условием текучео-ти Мизеса (ее наливают также моделью Ге. :<и). Пусть Л ограниченная область а К*1 (п =2,3) с лилшицевой границей 'Э причем на части границы задан вектор перемещений Це

а на другой - поверхностные силы Р . Тогда поле пере-

мещений отвечающее равновесию упругопластического тела, которое занимает область и находится под действием поверхност-

ных' сил Р и объемных $ , должно минимизировать функционал

о. ^

на множестве "V функций удовлетворяющих краевому условию на Ли таких, что для

функционал имеет смысл.

В (I) : ¡Я определено согласно правилу

если

к* Суг-Ь - к* если 4; > "Ьс

ь

н* - двъиатор тенсораЬ_, - по-

яохительные постоянный. Ьопрос существования решения этой вариационной проблемы (мы оудем называть ео задачей «Р ) изучался в работах Г.Анзеллотти, М.Дгааквннты, Р.Кона, Г.А.Серегина, Р.Темача. Выяснилось, что подходящим функциональным классом в котором можно доказать существование решения является пространство функций ограниченной деформации • состоящее из суммируемых вектор-функций для которых компоненты тензора деформации являются ограниченными мерами. Это пространство содержит разрывные функции, а соответствующие примеры показывают, что решению задачи идеа ¡ьной пластичности мотет соответствовать разрывное поле перемещений.»Анализ таких решений треоует рассмотрения так называемой расширенной постановки, котграк заключается в определении и.+ &"V+ такого, что

Где V^V"1; VteYn ¿^¿M^JJiW .расширен-

ная задача (задача ), в отличие от исходной, математически корректна и имеет решение при естественных предположениях относительно внешних данных. '1ем не менее вопрос о J аппроксимации таких решений оставайся открытым. 1это oJьяcнялocь и тем, что дс самого последнего времени не ¿ыли известны необходимые еведеш? по регулярности мининайэеров этих вариационных проолем. однако недавно такие результаты уда юсь получить анализируя двойственную к вариационную постановку. Эта задача » называв-мат так«е вариационным принципом Хаара-Кармана, состоит в определения тьн?ор-$ункциа в бКПQi- > такой что

•'А«

й (т) = - 2 и°с) <**

С - множество тензоров, удовлетворяющих ус ювих> текучести

О I - мно-иестю тензоров, удовлетворяющих уравнениям равновесия, а Л (Т, - положите ;ьно определенная ои линейная , симметричная форма, ¿с^л

, то а а дача ф* имеет единственное реление, причем, как лило показано в работах Г.А.Серегина, при некоторых дополнительных'предположениях относительно внешних данных тензор в имеет суммируемые с квадратом производные в любой внутренней подобласти . Тем не менее задача такте достаточно сло-хна для численного анализа, поскольку требует построения аппроксимаций одновременно удовлетворяющих уравнениям равновесия и поточечным ограничениям.

1аким образом применение известных методов построения конеч-ноэлементных аппроксимаций и исследование их скорости сходимости как в задаче & , так и в задаче сталкивается с серьезными трудностями. Поэтому разработка других подходов, основанных на использовании методов теории двойственности, выпуклого анализа и новых математических результатов касающихся свойств слабых решений упругопластических задач является актуальной проблемой вычислительной математики. ЦЙЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является

1. Изучение вопроса существования слабых решений и построения расширенных цариационных формулировок для различных задач деформационной теории пластичности

2. Построение проекционных оценок ошибок вариационно-разностных аппроксимаций

3. Установление необходимых результатов по регулярности слабых решений рсгуляризированных вариационных задач и полу-

чение на их основе квалифицированных оценок скорости сходимости вариационно-разностных аппроксимаций

4. Изучение расширенных вариационных постановок и способов аппроксимации юс решений при помощи схем испотьзующих разрывные восполнения и разработка эффективных методов решения соответствующих дискретных задач. МЕТОДЫ ¿ШВДОВА.Ш. В работе применяются методы выпуклого ана лиза, вариационного исчисления, математической физики, функционального анализа и вычислительной математики. Лз выпуклого анализа активно используется теория двойственности выпуклых вариационных задач. Многие результаты, касающиеся проекционных оценок, регулярности и оценок скорости сходимости удается получить благодаря одновременному анализу прямой и двойственной задач. Метод построения расширенных вариационных задач такке основан на идеях двойственности и близок к тому, который применялся Г.А Серегиным и Р.Тематм для задач пластичности Генки. Для установления дополнительных дифференциальных свойств экстремалей ре гуляризированных вариационных задач используется разностный метод.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА: Все основные результаты, полученные в раэоте, являются новыми. Приведем их ощиЯ ооьор:

1. Йсследованы вариационные задачи деформационной теории пластичности в которых условие текучести зависит от первого и второго инвариантов тензора-напря^ений. Особое внимание уделяется менее изученной модели Кулона-Мора. Рассмотренный ь работе метод позволяет построить вариационные расширения данного класса задач и доказать теоремы существования слабых решений.

2. Получены проекционные- сценки ошибок дня конформных и н&

ь

конформных аппроксимаций полей напряжений в двойственной задаче.

3. Для регуляризированных вариационных постановок исследованы дифференциальные свойства решений прямой и двойственной задач. Получены оценки внутренней регулярности как функции параметра регуляризации и расстояния до границы области. Для областей с гладкими границами построены и оценки глобальной регулярности решений этих задач.

4. построены квалифицированные оценки скорости сходимости равновесных (конформных) и неравновесных аппроксимаций двойственных вариационных постановок для идеально-упруго-пластических задач.

Ь. Построены квалифицированные оценки скорости сходимости равновесных аппроксимаций для вариационных проблем возникающих в теории изгиба упругопластических пластин.

6. Изучены вариационно-разностные методы решения вариационных задач относительно полей перемещений. Установлены условия при которых решения таких задач построенные с помощью простых конечноэлементных аппроксимаций пороздаюг последовательность тензор-функций квалифицированно сходящуюся к искомому тензору напряжений и даны оценки скорости сходимости.

7. Построены математические расширения исходных вариационных проблем для наиболее важных типов упругопластических задач. Показано, что использование расширенных постановок позволяет ввести новые более широкие классы конечноэлементных аппроксимаций, которые для рассматриваемых задач обладают рядом преимуществ по сравнению с известными.

в. Для решения возникающих дискретных проблем предложен ме-

тод минимизации негладких функций специального вида. Доказана его сходимость, а работоспособность проверена в процессе решения реацьных задач.

ТЮРШЧЙСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦКг1Н0СТЬ

В диссертации предю;1ены методы изучения свойств вариационно-разностных схем, которые могут быть применены не только к задачам идеальной пластичности, но и к другим вариационным задачам в которых интегрант имеет линейный рост относительно производных искомой функции.

В теоретическом плане эффективность предлагаемых подходов связана с возможностью поручать хорошие приближения двойственной задачи и строить соответствующие оценки скорости сходимости а такке с доказательством того, что квалифицированная сходимость имеет место для такого комплекса производных решения прямой задачи, который мо*ет быть определен и в терминах двойственной постановки. Кроме того, на основе математических расширений исходных вариационных проблем предлагается мсзтод построения конечно-элементных аппроксимаций учитывающих качественные особенности решения.

С точки зрения численных методов наиболее вакными являются способ построения конформных аппроксимаций в расширенной задаче результаты, касадщиеся возколной модификации дискретных постановок удобной для декомпозиции задачи и методы численного решения возникал:;^ специфических проблем негладкой оптимизации. Работоспособность вычислительных процедур проверяется на иироком набо ре пр,шгроь и конкретных задач.

АДООЕАУА РАВС1Ы. Основные результаты докладывались на Садкт-Петербуртском городском тшаре по математической 41ИЗ;'Ке Шате

матический институт им.В.А.Стеклова, рук. 0.А.Ладыженская), на семинаре нафодры вычислительной математики Санкт-Петербургского государственного университета 'рук. й.П.Мысовских), на Санкт-Петербургском городском семинаре по математическим проблемам метода конечных элементов, на семинаре памяти А.Л.Лурье по нелинейным проблемам механики (19Ь7), на 6 Всесоюзном съезде по теоретической л прикладной механике IТашкент 196ь), на конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям посвященной Ш летим С.Г.Михлина Шуцино 19Ьо), на 15, 16 и 17 летних школах по прикладной математике (йарна 1989,1990,1991гг.), на научном семинаре отдела вычислительной математики университета Юзяскюля, Финляндия 1992 чрук. Р. ИеС^аалтакС ), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям ЕриАТ)1ГР8 (Братислава 1993), на семинарах Санкт-Петербургского государственного технического университета по вычислительной математике (рук. В.Я.Ривкинд) и по механике и процессам управления •рук. А.А.Первозванский), а такие на других конференциях и семинарах.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты опубликованы в работах 1-16 СТРЛСГУРА Л ОВЬЙ! РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, спи- , ска принятых обозначения, семи глаз, заключения и списка литературы. Работа занимает 307 страниц. Библиография содержит 171 наименование.

(адР.МШ РАБОТЫ

ГЛАВА I. В первой глазе рассматривается круг проблем связанных с существованием слабого решения задач идеальной пластичности. В рамках деформационной теории классическая постановка задачи для идеально-упругопластической среды состоит в определении тенэор-

функции 3 и вектор-функции П. удовлетворяющих следующей системе уравнений и неравенств

<4;+^»а , 24% - к нлч^ (4)

Си) »2^,1+^,0, и»ивн4^Й 16)

Л(ху.(г-ёс^й0 ¥-ГбИТ (В)

Здесь $ - вектор единичной внесшей нормали к границе

'ьо.^дги'ъ^к ^^пла-^/^МТ^К гдеН^"

пространство симметричных матриц размерности п*п (выпуклая функция иГ" и постоянные Ко,/<- определяют физические свойства среды), Л - единичный тензор, 3* и £р ¿> - девиатор и след тензора & , используется соглашение о суммировании по повторяющимся индексам, а две точки обозначают скалярное произведение (свертку) в . Наиболее распространенны;.« способами задания функции являются следующие: ^(г)31^1 + ♦ лЗр-Г-^к*, ^(с)", <*,к*>0. функция ^ соответствует условии Мизеса, ^ - условию Дулона-Мора (или Дру-кера-Прагера) а ^ - так наливаемому эллиптическому условий текучести.

Классическая постановка (4) - (8) приводит к минимаксной Проблеме относительно лагран плана

и*,Гсе(«1):г-Аа1г,г)-

л ^^

на множестве {.\^ + и0)*К где

К-

Эта проблема мы называем ее задачей М* ) порождает две вариационные задачи находящиеся в двойственности друг по отношению к другу-, . Задача 9*" имеет единственное решение, если К П , а задача ^ может и не иметь решения. Расширенная задача (см.(3)) дол хна удовлетворять следующий требованиям: решение задачи существует, сохраняется нижняя грань исходной постановки, т.е. ¿П^-^Р -тт'?+, двойственной к 9 также является задача Ф . Для этого мы рассматриваем лагранжиан Ь'■ ((}АК)-> !Я вкда

где

И-А

С| = {геГ I ^ЬиСл-.Г),

Л

Лагран-киан пороздает следующую минимаксную проблему (задача

Л*

): найти и. 6 и. и

С? ПК такие, что

Слабым решением упругояластической задачи мы будем называть паг-ру функций (К^) являющуюся седловой точкой лагранжиана Мотивация такого определения слабого решения основана на доказываемых в §3 утверждениях.

Теорема 1.3.1. Пара функций {и^^И* (К^ ) является решением задачи тогда и только тогда, когда <о является

решением задачи $ , а и^Ц. является решением задачи.'? ,т.е.

(и) = и&И^ (Ю)

где

Основным результатом §3 является

13

Теорема 1.3.2. ¿ели

множество }<СП С)^ имеет ¿нутреняею точку б следующем смысле: существуют е>0 тензор такие, что

тогда задача М? имеет по крайней мере одно решение и, более того,

ЙСё^СпН^) а3)

В конце 53 мы доказываем следующее утверждение

Teope.ua 1.3.3. а условиях теоремы 1.3.2 слабое решение ограничено в следующем смысле

51 & {ц>| » (бОЛ'.г <|« |Те >Г1;61} <

о

то есть и,£

ЬЪиа)

построенная в §3 расширенная задача ^ является математически корректной, однако она имеет достаточно абстрактную форму, Поэтому в §4 рассматркьаатся некоторые другие варианты расширен» ных постановок, а которых функционал определен на векторных полях допускающих разрывы пзрього рода вдоль некоторых линий (если П =2) или поверхностей £если П. =3). Приведем простейший вариант такой постановки. Пусть + ,

Г О _ а векторы единичных нормалей к

' и 17 будем обозначать . На множестве

(Л)-{№ '

ш можем определить функционал §

г

Ий- 5 ае - $4чг4х- [р. »и

г л

где

¿ункционал фр, , б отличие от Л , определен на функциях лмеющпх разрывы первого рода на Р и . Задачу определения лары функций (Л) таких, что

(М^) 1си)

мы будем обозначать ^Рр а называть частичным расширением задачи £

Теорема 1.4.1. Ясли выполнены услодая (II) и (12), то

если задача ^ имеет решение + , то па-

ра решение задачи

3. если пара [и^'о) - решение задачи ^ , то 1С является решением задачи Этот результат естественным образом обобщается на тот случай, когда область разделена не на две, а на к подобластей

. Таким образом мы получим раот:ренну» постановку в которой допустимыми являются векторные поля же.ои;ле разрывы на границе и на множествах А'йЛ] . Функция в

имеет смысл лтрафа за возникновение разрыва на Г . В §4 приводятся конкретные выражения О-)) для рассматривае-

мых условий текучести. Например, для условия Тулона-Мора

® (_+<*=■ еосглльны* СлЪЧААХ

где Уг= У-«ТуОтсюда, в

частности, следует что разрывы поля перемещений а этой модели сосредоточенные на кусочно-гладких линиях (поверхностях) возмочетны только при й с-;*..

Следующий пятый параграф посвящен построению некоторых точных решений упругопластических задач, содержащих разрывы. Далее в главе ь эти решения используются для тестирования численных методов.

Б §Ь рассматриваются регуляризированные постановки для задач с условиями текучести Мизеса и Кулона-Мора (задачи ^ ) доказывается существование решения этих задач и устанаилпиаются энергетические оценки релений.

ГЛАВА. 2. В этой главе строятся оценки проекционного типа для ошибок конечномерных аппроксимаций в задаче . Основная трудность здесь заключается в необходимости одновременно удовлетворять поточечным ограничениям ^fr) ^ Û и уравнениям равновесия. Для учета уравнений равновесия мо;кно использовать так называемые равновесные элементы. При этом конечномерное подпространство Qj. является подмножеством Q^- . Поточечные ограничения мы будем учитывать при помощи регуляризированной вариационной задачи Îg , которая имеет самостоятельный физический смысл и соответствует модели линейно упрочняющегося тела. В это! задаче необходимо найти <о?6 Q^ такой, что

R.M = , с«-

В §1 устанавливается связь мезду решениями задач

Теорема 2.1.I. ¿ели выполнены условия Cil), (12), то

1 Jet (SV8,**- 2)dx « - <17)

2 Si

сю? результат используется ь §2, где получена оценка ошибки,

еозкик&одцС; при приближении точного решения <о задачи реше

1с

р* ф*к ниями <5ц задач , которые возникают после дискретизации

с помощью равновесных аппроксимаций. Для многоугольной ограниченной области эта оценка устанавливается в теореме 2.2.1. Она имеет вид

п IV щ

причем постоянная С не зависит от К Л . Таким образом ошибка состоит из двух частей - первая определяется свойствами аппроксимаций и регулярностью решения задачи . а вторая скоростью сходимости решений регуляризированной проблемы к точному рещению в . В §2 также показано, что оценка аналогичная (18) молет быть построена и для ограниченных областей общего вида (теорема 2.2.2).

Другая возможность заключается в использовании неконформных аппроксимаций множества , когда ф Ру Один из вариантов неконфсрмных аппроксимаций анализируется в §3. Здесь тг^е если "С}, _ постоянный тензор на любом элементе и

бСЦ^х- ■ иГкс|х + \р.иГь<{I бУ6к (19)

еа

где - множество кусочно-аффинных непрерывных функций, обращающихся в ноль на (такой способ приближенного учета уравнений равновесия в задаче был предложен И.Глааачеком). Получающаяся при этом дискретная задача состоит в минимизации выпуклого функционала на множестве определенном системой линейных уравнений. Мы устанавливаем следующую оценку ошибки твг-ких аппроксимаций как для многоугольных областей, так и для областей более общего вида (теоремы 2.3.2 и 2.3.3.)

о а*

где К? - решение задачи Уу двойственной к Т® , а постоянная С не зависит от к н^ . йормула ошибки (20) содеояут 3

части: первая зависит от свойств & свойств оператора проек-

&

£ , вторая определяется регулярностью и , а третья имеет тот же смысл, что и в (1Ь).

ГЛАВА 3. Проекционные оценки погрешности вариационно-разностных аппроксимаций построенные в главе 2 мошо использовать для построения оценок скорости сходимости в том случае, если известна дополнительная информация о регулярности решений задач и Дифференциальные свойства слабых решений задач дефформационяой пластичности с упрочнением исследовались в работах Г.А.Серегина (где показано, что если и8 - решение задачи , то 6 (.¡х5) является локально - гельдероаой тензор-функцией и получены локальные оценки максимума а также в монографии А.И. Кошелева. Тем не менее для получения оценок скорости сходимости нам необходимо иметь более точную информацию о свойствах и.?, Чтобы испольэоаать неравенства (18) и (20) мы долдаы иметь ш равномерные по % оценки решений, или установить их явную зависимость от параметра % , Равномерная по % оценка в

Для С?8 была получена Г.А.Серегиным, что дало возможность доказать локальную регулярность тензора напряжений в предельной упрутопластической задаче. При наличии необходимых свой ств у оператора интерполирования на равновесных элементах эту оценку мо'«но использовать в (18). Однако исследование свойств неравновесных аппроксимаций базирующееся ни неравенстве (20) требует информации еще л о свойствах решения задачи . Здесь

мы не можем рассчитывать на получение равномерных по о оценок поэтому единственным путем остается установление явной зависимости - нормы решения от параметра ^ . В главе 3 эта задача решается при помощи разностного метода. Основными результатами данной главы являются теоремы 3.2.1 и 3.3.1. Первая из них устанавливает оценки локальной регулярности решений задач

в зависимости от параметра упрочнения и расстояния до грглицы р . Доказывается, что при дополнительном условии ■§ б'^СЛ", (К*) решения а^ принадлежат соответственно классам: "^Гг еос^/®") (¿¿¡М"™) и для имеют место оценки

где постоянная С не зависит от р и % , р = 4

Н'Ис^п обозначает норму в пространстве "^Гр

В §3 изучается регулярность решений вблизи гладкой границы Здесь мы ограничиваемся случаем П »2 и рассматриваем первую краевую задачу. Доказывается, что если в окрестности некоторой точки граница достаточно гладкая (класса С ) и выполнены некоторые дополнительные условия, то в окрестности этой точки Ц%£5 принадлежат соответственно и имеют место оценки вида

с положительными постоянными к и по и константой С не зависящей от В.

В §4 оценки (21) и (2л) объединяются в теореме о глобальной регулярности решения первой краевой задачи. ГЛАВА 4. Полученные во второй и третьей главах результаты используются в четзертой главе для получения квалифицированных

оценок ошибки конформных и неконформных аппроксимаций в первой краевой задаче. Их построение основано на следующих соображениях. Используя неравенства (18) или (20) и тот факт, что операторы интерполирования для равновесных и неравновесных аппроксимаций удовлетворяют на каждом симплексе Т1 условию

Ит-ОГцгИгр «СкЦуП1т 183)

мы имеем возмо:кность оценить ошибку, как функцию Ьнекоторых других параметров. Связав параметры регуляризации и дискретизации так, что <Ь=Ъ(Ь.^=|г>' мы, в зависимости от выбора °< приходим к оценке погрешности вида

где постоянные и ^ не зависят от Ь

В §2 строятся оценки скорости сходимости основанные на теоремах о локальной регулярности тензора напряжений. Основным результатом здесь является

Теорема 4.2.1. Пусть Й^К _ многоугольная область звездная относительно некоторого шара, ^ »0, выполнены условия (II) и (12) и для любого ^>0, М^2) , причем

л* '

где й постоянная не зависит от р и^ .

Тогда для любого р6-!'!,^'^! существует положительная постоянная С* непрерывно зависящая от р , причем СЛ(р)-> при р 1 и число

где , чт (24) име-

ет место с

Полученная в предыдущей главе оценка регулярности (21) соответствует значениям = • Ь этом случае, полонив р=1 + £/6 поручим

В §3 получены оценки скорости сходимости основанные на теоремах о глобальной регулярности. Здесь мы предполагаем, что ^ регулярная триангуляция области на симплексы Т^ , так что

В этом случае для равновесных аппроксимаций имеет место следующий результат

Теорема 4.3.1. Пусть выполнены условия (II), (12), (2Ь) и условия теоремы 3.3.1 при которых установлена оценка (22), тогда если 5=В(к}=112о( то

(27)

где С* не зависит от Ь , а ^гжп^-*'»-"^~с<.>2р~2о<т~°< ^ Следствие: В том случае, если

представляет собой вписанный в О многоугольник мы имеем £ *2 и при р «2 получим

где Е-врт+О, <* б]0//212т+О[

Далее изучается вопрос о скорости сходимости неравновесных аппроксимаций, удовлетворяющих условию (19). Они основаны на проекционной оценке (20), неравенствах (22) и свойствах операторов интерполирования Ли•"^(^Ч'Ж)-*"^" ^.^аС^К^Т)^"*

—* . Соответствующий результат сформулирован в виде

теоремы 4.3.2, которая устанавливает, что если - область

с границей класса С , а представляет ¿обой вписанный

многоугольник, то решения задач

в bei многоугольник, то решения задач og сходятся к

ф*

решению задачи з и справедливо неравенство

RWl-MC (29)

где S ЯЬ а постоянная С не зависит от h и'S .

ГЛАВА Ь. В этой главе исследуется ошибка метода конечных элементов в задачах изгиба упругопластических пластин. §1 посвящен описанию вариационных формулировок этих задач, которые могут быть даны в двух возможных формах. В первом случае ш имеем дело с проблемой минимизации выпуклого функционала на множестве допустимых скалярных функций иГ , описывающих прогиб срединной плоскости пластины. Вторая постановка связана с максимизацией строго вогнутого функционала на множестве тензорных функций Л (изгибаищих моментов), удовлетворяющих

уравнениям равновесия и заданным поточечным ограничениям. Особенностью первой формулировки является линейный рост интегран-та по отношению к величине {V*Ш"! Как и в рассмотренных равнее случаях вариационного расширения для построения математически корректной постановки. Соответствующие вопросы для теории идеально-упругопластических пластин изучались в работах ш.Де-иенгель, Р.Темама и др. Было показано, что для обоснования существования решения множество допустимых функций должно быть

суммируемые первые производные, для которых все компоненты тензора-гессиана являются ограниченными мерами.

Вариационная постановка относительно моментов также обладает радом особенностей. Здесь производные искомой функции не вхо дят в функционал и содержатся только в дифференциальных условиях, которые должны выполняться одновременно с поточечными ограничениями. Показано, что если внешние силы не слишком велики и выполнено так называемое условие существования предельной нагр^ зки, то эта задача имеет единственное решение. Тем не менее аш лиз вариационно-разностных аппроксимаций здесь не может быть проведен по известным схемам, ото связано со елочкой структурО]

суммируемых функций имеющих

допустимого множества и отсутствием необходимых результатов по регулярности слабых решений. Для преодоления первой трудности мы используем тот прием, что и в главе 2; абстрактная оценка ошибки строится а §2 при помощи одновременного анализа прямой и . двойственной формулировок регуляриэированной вариационной проблемы. Ь §3 мы используем дополнительные дифференциальные свойства решения двойственной задачи, установленные в работах Г.А. Серегина и полученную в §2 проекционную теорему для получения квалифицированных оценок скорости сходимости конформных аппроксимаций.

ГЛАВА Ь. ста глава посвящена исследованию вариационно-разностных схем для задач , Ф и . Важным преимуществом этих задач является то, что здесь допустимые функции образуют аффинное множество. Это делает возмо.кным использование простых конеч-ноэлементных аппроксимаций. Мы показываем, что соответствующие дискретные постановки обладают и другими важными свойствами.

у

Поезде всего мы устанавливаем в §1 что решения и,^ задач

% могут быть использованы для построения последовательности тензор-функций приближающей точное решение задачи 9 . Это ва.шо, поскольку задача определения поля напряжений в упруго-пластическом- теле является с практической точки зрения наиболее интересной. Однако искомый тензор напряжений является решением задачи , которая, вследствие указанных в главе 2 обстоятельств, не очень удобна для численного анализа (мы долины либо использовать сложные способы аппроксимации, либо решать задачи на условный экстремум большой размерности). Но, как показано в §1,

задачи и являются двойственными друг по отношению к

У >1

другу и поэтому метду их решениями 1С ^ И ^ существует определенная связь, а именно, на каадом элементе Т^б ^ выполняет-

ся равенство

(.зо)

если О^-Ъй^:«,«

Фг!?* если

* °

Поскольку в главе 4 было показано, что стремится к <2 при определенной зависимости мезду параметрами к и 'Ь , отсюда следует важный результат (теорема Ь.1.3): для того чтобы построить сходящуюся к § последовательность тензор-функций надо решать задачи , полученные при помощи простых аппроксимаций задачи , используя (30), построить искомую последовательность для которой справедлива оценка (29)' Таким образом, для построения решения двойственной задачи оказывается удобным использовать прямые вариационные постановки. С другой стороны теорема Ь.1.3 показывает, что хорошо сходится именно тот комплекс производных решения задачи , который имеет ясный физический смысл с точки зрония двойственной задачи.

В §2 главы Ь показываем, что если решение задачи ^ существует, то при помощи решений и,^ соответствующих конечномерных задач также можно построить последовательность тензор-функций, сходящуюся к тензору & . При наличии у решения необходимой гладкости из этих результатов следуют также и квалифицированные оценки скорости сходимости.

Тем не менее, как было показано в главе I, задача о может и не иметь решения, а решение расширенной задачи мокет достигаться на разрывной функции. Ь этом случае задачи ПрИ уменьшении к становятся численно неустойчивыми, а для эффек-

тивного приближения решения необходимо ввести в число базисных достаточное число разрывных функций. Это может быть сделано при помощи полученных в главе I частично расширенных вариационных постановок. В результате мы получаем согласованные (конформные) аппроксимации построенные при помощи набора непрерывных и разрывных базисных функций. В §3 показано, что выбор таких функций существенно зависит от вида рассматриваемой вариационной задачи. Например для задач пластичности с условием текучести Мизеса такие аппроксимации допускают разрывы только касательной составляющей поля на гранях ме-:<ду элементами и на границе области. Возникающие при этом дискретные постановки представляют интерес в силу следующих причин. Во-первых, как показано в 53, в том случае когда точное решение имеет разрыв сосредоточенный на некоторой линии Г , решения задач пороздают последовательность тензор-функций, сходящуюся к решению задачи Ф (теорема 6.3.4). ¿ели вне Р решение является достаточно гладким, то оказывается возможным получить и квалифицированную оценку сходимости. Во-вторых, использование разрывных аппроксимаций позволяет ответить на интересный с практической точки зрения вопрос: при каких значениях внешних данных у решения появляется разрывная составляющая и где этот разрыв локализован? Отметим, что схемы, использующие только непрерывные восполнения в принципе не способны решить эту проблему.

Б §4 проводится сравнение свойств вариационно-разностных аппроксимаций задач и на серии модельных задач теории пластичности. Полученные результаты подтверждают приведенные выше теоретические выводы и показывают, что если точное решение имеет разрыв то его приближения эффективно строить при помощи вариационно-разностных схем с разрывными базисными функциями. Однако

2Ь

характерной особенностью последних является то, что они приводят к задачам минимизации негладких функций большой размерности которые сложны для численного анализа, большое число независимых переменных и то характерное для метода конечных элементов обстоятельство, что каздая переменная "связана" лишь с малым числам соседних, диктует необходимость использования методоз декомпозиционного типа. К со калению применение подобных методов к негладким вариационным задача!.) мохет приводить не к минимальной а к так называемой критической точке, которая не ле кит в окрестности минимума. С другой стороны, использование униьерсальннх методов недифференцируемой оптимизации таких, например, как субградиентный метод, затруднено большой размерностью задачи. Первым шагом по преодолению этой трудности является теорема Ь.3.3, которая позволяет осуществить декомпозицию исходной задачи. Но при этом возникает необходимость многократного решения локальных задач, которые таксе связаны с проблемой минимизации негладких функций. После фиксации конечноэлементного разбиения ка:кдая локальная задача имеет фиксированную негладкую составляющую, а а случае регулярных разбиений с одинаковыми элементами все подзадачи имеют одну и ту ке структуру недифференцируемой части функционала. Таким образом возникает проблема построения алгоритма, максимально учитывающего эту специфику.

ГМБЛ 7. В этой главе рассматриваются методы минимизации неглад ких функционалов возникающих при использовании расширенных вариа ционных постановок. В §1,2 описывается метод релаксации по специально выбираемой системе направлений. Он использует тот факт,

что для функций айда ^

где 10 - дифференцируем, а , 1-1,2,... Ш - дифференцируемы ьо всех точках, за исключением некоторых аффинных многообразий и 1Я , направление убывания 1С*) в любой точке ас. содержится среди некоторого конечного набора векторов, вычисляемых априори при помощи достаточно простой процедуры (теорема 7.2.1). Использование этих векторов в качестве направлений минимизации в релаксационном алгоритме приводит к методу монотонного типа, не требующему вычисления субградиентов в каедой точке минимизирующей последовательности. В интересующих нас задачах число таких направлений невелико, что обеспечивает достаточно высокую эффективность метода. В §3 рассмотрен другой подход, который связан с заменой проблемы негладкой оптимизации на минимаксную задачу, которая мокет быть решена при помощи алгоритмов двойственности. Такой прием часто используется для решения негладких задач, возникающих в теории вариационных неравенств (см. Р.Гловински,Л.-Л. Лионе, Р.Гремольер, Б.Мерсье и др.). Проблема заключается в том что сходимость методов типа алгоритма Удзавы молет быть доказана только для лагранжианов определенного вида, которые не соответствуют нашему случаю. Поэтому для построения минимизирующей последовательности предлагается сочетать алгоритмы двойственности с некоторой регуляризирующей процедурой, близкой к прокс-алгори?-му. Доказывается сходимость этого метода и приводятся соответствующие численные результаты.

Публикации по теме диссертации

1. Репин С.И. Вариационно-разностныа метод решения задач идеальной пластичности, учитывающий возможность возникновения разрывов. //Ж. вычислительной математики и мат. физики, 1888, т.28, нЗ, с. 449-453.

2. Репин С.И. Вариационно-разностный метод решения задач с функционалами линейного роста. //Ж. вычислительной математики И мат. физики, 1989, Т.29, N5, С.693-708.

3. Репин С.И. Вариационные постановки для разрывных полей перемещений в задэчах вдеальноя пластичности. //Докл. АН СССР, 1991, Т.320, N6, С.1340-1344. *•

4. Репин С.И. Минимизация одного класса недифференцируемых функционалов при помощи метода релаксации, //Ш. вычислительной математики и мат. физики, 1987, т.27, н7, с.976-983.

5. Репин С.И. О вариационных постановках для разрывных полей перемещения в задачах деформационной теории пластичности без упрочнения. // Прикладная математика и механика, 1991, т.55, Нб, с.1026-1034.

6. Репин С.И. О решении задач математической теории пластичности содержащих разрывы полей перемещений, //Прикладная математика и механика, 1994, т.58, Hl,135-145.

7. Репин С.И. О существовании разрывных решений вариационных задач математической теории пластичности. // Прикладная математика ,Изд-во СП0ГТУ. 1992, с.99-108.

3. Neittaannaki P., fiepin S., Bivkind V. Conforaing finite

element nethods using discontinuous approximations, //Jyvaskyla - St.Petersburg Seminar on Partial Differential Equations and Numerical Methods. Ber.Univ. Jyvakyla Hath. Inst.,1893,56, 63-87.

9. Hepin S., Seregin G. Existence of a weak solutions of the minimax problem in Coulomb-Mohr plasticity.- Preprint St.-Petersburg brunch of V.A.Steklov Hath.Inst. E-4-Ô2, St.-Petersburg, 1992. (To appear in "Advances of Soviet Hathematics")

10. Repin S. Partial relaxation of some mechanical variational problems. // Problems of Pure and Applied Hath Tartu, 1990, 284-287.

11. Repin S. numerical analysis of nonsmooth variational problems in perfect plasticity. //Russ.J.Humer.Anal.Math.Hodell.,1984, V.9,HI,33-46

12. Репин С. И. 0 численном решении задач пластичности.. // Ргоо. XV Rational Summer School "Application of mathematics in engineering", Varna, 1939, 249-256

13. Ропин С.И. 0 моделировании разрывных решений в задачах пластичности.

// Proe.XVl National Summer School "Application of mathematics in engineering", Varna, 1990, 35-43

14. Бригадное И,А., Репин С.И, О численном решении задач пластичности для малоупрочняющихся материалов. // Известия АН СССР Механика твердого тела,1990, Н4, 72 - 77.

15. Бычков А.К., Репин С.И., Солонина Н.В. Моделирование разрывных решения в задачах деформационной теории пластичности,

// Прикладная математика, йзд-во СП5ГТУ, 1992, с.43-49.