Математическое моделирование некоторых процессов получения элементов планера летательного аппарата тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Ловизин Николай Сергеевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРОЦЕССОВ ПОЛУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ПЛАНЕРА ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток 2004

Работа выполнена в Институте машиноведения и металлургии ДВО РАН.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор,

заслуженный деятель науки РФ Одиноков Валерий Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Буренин Анатолий Александрович

доктор технических наук, профессор Каплунов Борис Григорьевич

Ведущая организация:

Дальневосточный государственный технический университет

Защита состоится « ¿О » А 200 4 года В часов

на заседании диссертационного совета Д 005.007.02 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5 ИАПУ ДВО РАН.

Автореферат разослан

200.±_

года.

Ученый секретарь диссертационного совета, чл.-корр РАН '

М.А. Гузев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Разработка новых и совершенствование существующих технологических процессов в машиностроении связано с возрастанием требований к качеству, экономичности и эксплуатационной надежностью изготавливаемых изделий. Это несомненно касается деталей, обеспечивающих надежную работу летательных аппаратов. К таковым относятся силовой шпангоут, элементы различного типа трубопроводов и т.д. Данные детали работают в условиях сложного нагружения и испытывают высокие импульсные нагрузки. При разработке новых технологий основная роль принадлежит созданию математических моделей, в достаточной мере адекватно отражающих исследуемые процессы. Именно тогда появляется возможность выявить параметры, с помощью которых можно управлять протекающим процессом, а также определить конструктивные особенности для создания нового или модификации уже существующего устройства, выполняющего поставленную задачу.

Математические модели, адекватно описывающие деформацию конструкций, основаны на уравнениях механики деформируемого твердого тела. Большой вклад в развитие этой науки в целом, и разработку методов математического моделирования в частности, внесли такие ученые, как Г.И. Быковцев, А.Грин, В.В. Ивлев, А.А. Ильюшин, Л.В. Канторович, Ш.Кобояши, В.Л. Колмогоров, Е. Ли, Н.Н. Малинин, Е.А. Попов, В.И. Одиноков, В.Прагер, А.С. Сахаров, В.В. Соколовский, М.В. Сторожев, А.Д. Томленов, С.Топпер, Р. Хилл, Ю.Н. Шевченко и др. Настоящая работа посвящена математическому моделированию технологических процессов производства некоторых элементов планера летательных аппаратов.

Целью работы является построение математических моделей процессов изготовления элементов силового шпангоута, составных элементов трубопроводов планера летательного аппарата, исследование указанных процессов с помощью разработанных моделей и выработка рекомендаций по оптимизации процессов изготовления этих деталей.

Методы исследования, использвванныал^боте, включают: - уравнения и модели механики|дЁф^|^|%№№ёЦ4р|дого тела;

- численный метод решения дифференциальных уравнений пластического течения.

Научная новизна работы:

- на основе выбранного метода разработана численная схема решения задач по деформированию тел пространственной формы;

- разработана математическая модель процесса изготовления полотна силового шпангоута летательного аппарата;

- разработана математическая модель раздачи трубопровода в среднем сечении под действием различных наполнителей.

Достоверность полученных результатов и выводов диссертационной работы основывается на использовании фундаментальных уравнений механики деформируемого твердого тела, апробированного численного метода, удовлетворительного соответствия полученных теоретических и экспериментальных результатов.

Практическая ценность работы заключается в разработке математических моделей, позволяющих исследовать значительный круг смежных технологических процессов, которые имеют место в машиностроении, как-то: пластическая деформация тел вращения, деформация тел сложной пространственной формы.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на международной научной конференции «Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях» (Комсомольск-на-Амуре, 2000 г.), III Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия, Ростов-на-Дону, 2002 г.), XXVII Дальневосточной школе-семенаре им. академика Е.В.Золотова (Владивосток, 2002 г.), на семинарах ИМиМ ДВО РАН. Работа в целом докладывалась в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН.

Публикации по работе По теме диссертационной работы опубликовано 12 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (74 наименований). Общий объем работы - 105 страниц, в том числе 39 рисунков, включенных в текст.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, выбор численного метода и формулируются основные задачи исследования.

Глава 1 посвящена построению математической модели по упругопластической деформации тел пространственной формы. Приведены основные допущения, принятые при формулировке задачи и дано описание применяемого численного метода. При пластическом формоизменении задача ставится следующим образом: изотропно упрочняющийся материал занимает область О с известной границей = Збу + дС„. Необходимо определить поля напряжений с,у (г, ] = 1, 2, 3 ) и п е р е м ¿Удф' е=н1,12,йЗ)о т действия внешних нагрузок X, (г = 1, 2, 3), приложенных к поверхности дОаадО, за промежуток времени Лт.

Малость промежутка Лт обеспечивает допустимость описания компонент тензора деформаций линейными зависимостями. Внутри тела выполняются условия равновесия, на границе области -условия Коши. Деформируемая среда считается несжимаемой, пластическое течение медленным. Массовыми и инерционными силами пренебрегаем. Основными соотношениями являются уравнения теории пластического течения. То есть, для сформулированной задачи уравнения имеют вид:

Здесь

е,;=±(ии+ир] /,7 = 1,2,3.

- определяется

О)

из эксперимента;

Н* — —— ; Г* = л/Зг* ; 6> - температура; и ; и* -

Ат 4 дх;

перемещения заданные на поверхности ¿Х/ц. На поверхности дСа X] - направляющие косинусы нормали

Рис. 1.

Опишем численную схему решения поставленной задачи. В соответствии с выбранным методом допускается разбиение исследуемой области на ортогональные элементы (рис.1, а).

Используем, выведенную в работах [1, 2] В. И. Одиноковым запись уравнений (1) в разностном виде для произвольного ортогонального криволинейного элемента, исключив при этом из уравнений состояния гидростатическое напряжение (У. Тогда уравнения равновесия примут следующий вид:

Уравнения состояния примут вид:

а „ - <* „ = 2Д(г„

аи - аа = 2Л(е„ - £и ) (3)

+ = 2Л(£Л-

Уравнение несжимаемости имеет вид:

(г„+£22+£зз)л=°- (4)

.(0

СТ„ (г = 1, 2, 3; / = 1, 2) - нормальное напряжение, действующее на криволинейной поверхности / элемента и, нормалью к которой

касательное

является касательная к координате сс„ <г]Р (/ Ф у)

напряжение в направлении действующее на криволинейной

поверхности /; = /у ^ + /у ^ ; Ду^ = Уу^ ~ У^ . Значения

У^Р (/, у = 1, 2, 3; / ^ у; к = 1, 2) вычисляются как среднее от величин дуг границы граней (ребер). Значение £„ для элемента и равно:

- перемещение на поверхности / элемента и в направлении ау

Сдвиговые деформации £у (/ ^ у) для элемента и определяем как среднее от значений деформации в узлах сетки, то^ есть: ^

Значение сдвиговой деформации в узле (рис. 1, б) определяем по следующей формуле:

/,(2)" и у?»

У,

(2)+

дуги граней элемента, следующие

соответственно за И у^ по координате] в положительном (+) и отрицательном (-) направлении; ; значения

вычисляются как средние от значений по граням, примыкающим к данному ребру.

В работе [2] В.И. Одинокова доказано, что система уравнений (2) - (4) при наличии граничных условий является определимой. Если принять Л — const, то эта система будет линейной.

Все неизвестные разбиваются на множества зависимых и независимых величин, и последовательность вычислений определяется следующим образом.

т2.

Из уравнения (5) выражаем Ux '.

(ul + u?)t2 - (i/22 - U\)t2 - (ul + u32)t<t5 - (7)

-(ui-ul)tl-(и

где /, =

7n

A/31

/п

Ь. Уп

t* =

_ "/13

/13

/о

)м.о]/(1 + 'б +

t 'з . , _Л/з2. » '4 ~ ' / = '5 '

/32 У32 /23

-hi. > , _Д/23 '10 _

Гп У23

)

tt =

tyi 1 Уп

Уравнение (7) является рекуррентным соотношением, определяющим значения 1]\ для всех элементов исследуемой области от «] =0 до осх - а*х . При этом и'2, и'2 (/ = 1,2)

являются независимыми переменными.

Пусть dGt\ , dGj

, (' = 1.2,3)

поверхности,

ограничивающие рассматриваемую область. При этом

где дОщ, дС*ц - поверхности, на которых заданы перемещения Ц; д01а , дО*а - поверхности, на которых заданы напряжения <Т„.

19G.,

является

множеством

независимых

Тогда j^1].

переменных. На поверхности dG*v выполняются новые уравнения

t ~(и;)=о, (8)

где {р- перемещения £/|, заданные граничными условиями на поверхности дС'ц. В (8) число уравнений равно числу переменных

Учитывая уравнения (3) и то, что ул ~ Уь, преобразуем уравнения (2) и выразим из них

Данные рекуррентные соотношения определяют значения а„ для области от ах — а\ ДО ах — 0. При этом на поверхности дС1а будут иметь место лтяптте.ттия

-0„=О, (10)

= а!,

за.

где СГ* - нормальное напряжение <Г„, заданное на поверхности 5(71(Т граничными условиями. Число уравнений (10) равно числу

неизвестных (£/,)'

Из уравнений состояния (3) образуем следующую группу уравнений:

Число уравнений (11), записанных для каждого элемента рассматриваемой области в, будет равно числу неизвестных перемещений по внутренним граням элементов и

неизвестных

Таким образом, получаем множество независимых переменных

Из сказанного выше определяется порядок вычисления зависимых переменных:

1. По рекуррентным соотношениям (7) определяем 11\.

2. Вычисляем значения £у (/ Ф _/) для внутренних узлов по формуле (6).

3. Вычисляем касательные напряжения Су = (/ Ф /) для

внутренних узлов.

4. Вычисляем напряжения <7п (г ^ _/) для каждой внутренней

грани р:

5. Вычисляем сгу (/ Ф у) для внешних граней в соответствии с заданным законом трения.

6. Определяем <7„ по рекуррентным соотношениям (9). Получаем, что исходная система уравнений (2)-(4)

преобразуется к эквивалентной системе (8)-(11) с меньшим числом неизвестных.

Систему уравнений (8)-( 11) можно представить в виде формальной записи:

Если положить х/ =0, / = 1, П , то, произведя вычисления в

соответствии с п.п. 1-6 и вычислив значения Р^, / = 1,4 по формулам (8)-(11), будем иметь:

Далее, для нахождения коэффициентов ау системы (12),

положим хк = 1, х1 — 0 = 1, п\ 1 Ф к} . Выполняя вычисления в

указанной выше последовательности, определяем Р* . Отсюда получим, что

Таким образом, матрица коэффициентов системы (12) полностью определена.

В работе описан алгоритм решения поставленной задачи, в соответствии с которым составлена универсальная программа на языке "Фортран".

Сходимость численного решения задачи исследовалась с помощью математического эксперимента. В качестве модельной задачи рассматривалась задача о деформировании тела кубической формы двумя плитами, приложенными по центру противоположных

граней (рис.2, а) и перемещающихся со скоростью V*.

Учитывая симметрию тела и симметричность приложения нагрузки, рассмотрим 1/8 часть области деформирования (рис.2, б).

Полагая, что деформируемый материал изотропен, вся область находится в пластическом состоянии, запишем систему уравнений для начального момента деформации:

Рис. 2. Схема деформации тела кубической формы

а.. .=0; о\.-<т<5.. = 2Л£.; V, ] У V У

4-« и"Щг

1.ЛУ.лу.. 1

У 21 V J'l)

Система (13) аналогична системе (1) (вместо перемещений С/, в (1) в данной система записана относительно скоростей V,). Значит, численные схемы решения указанных систем совпадают.

Задача решалась в безразмерных величинах, а именно: напряжения определялись в долях т5, скорости перемещения - в

долях V* , геометрические параметры - в долях Н. Тогда

Л* =

т V

Нг3к

запишем граничные

условия поставленной задачи:

(14)

77" У,

где

V*

Из (14) видно, что трение между деформируемым

телом и инструментом на поверхности отсутствует.

На рис.3, 4 представлены некоторые решения задачи при различной дискретизации области деформирования: на 8, 64, 216, 512 пространственных элементов. Сплошными линиями на представленных рисунках эпюр показаны результаты решения задачи при разбиении области на 512 элементов.

Как видно из рис. 3, 4 с увеличением степени разбиения результаты расчетов быстро стабилизируются, и при количестве элементов разбиения 216 и 512 практически не отличаются друг от друга. Отсюда можно сделать заключение, что для получения приемлемого результата по напряженно-деформированному состоянию данного тела достаточно разбить исследуемую область на 216 элементов.

,м,

а ъ б

Рис. 3. Эпюры нормальных напряжений в различных сечениях: а, б — х^-0,251 иху=0,5! соответственно; —, О, Д - разбиение на 512, 216, 64 и 8 пространственных элементов соответственно

-V-

Рис. 4. Эпюры скоростей перемещений в различных сечениях: соответственно; —,

см. на рис. 3.

Отметим, что при проведении расчетов наблюдалась хорошая сходимость результатов и устойчивость процесса решения задачи.

Так, например, при изменении граничных условий по на 1%

результаты решения изменяются на 0,8 -1,07%.

Глава IIпосвящена построению численной схемы для решения осесимметричной задачи по упругопластическому деформированию тел. Данная схема строится на основе результатов полученных в первой главе. Не нарушая общности, будем считать, что тело симметрично относительно СС\ (рис.1). Учитывая осевую симметрию, то есть

система уравнений (2) - (4) в разностном виде запишется в следующей форме:

Уравнения (16)-(19) записаны с учетом, что

i = 1,2,3. Значения сдвиговых деформаций £у {¿^ _/) для узла 0 запишутся в виде

f,2 -

2AU2._iü Г2-У2 , 2&Ul 1 - r> - Y~\

+ •

-U

У1 2 Г2 ^ У1У2

Далее проводим действия, аналогичные указанным в главе I. Затем все неизвестные разбиваются на множества зависимых и независимых величин. В соответствии с выше сказанным множество независимых переменных будет иметь вид:

где - конечное значение координаты по криволинейной области. При этом эквивалентная система имеет вид:

Здесь - известные из граничных условий перемещения {/| на границе области - известные из

граничных условий напряжения на границе области Причем уравнений столько, сколько неизвестных

а уравнений столько, сколько неизвестных

и 11 _. Уравнений ^ = 0 столько, сколько перемещений по

1«,=0

внутренним граням сетки. Его получаем из совместного решения уравнений (17) и второго уравнения равновесия (16), относительно

О"22 И СГ22 для двух соседних элементов (IJ) И {ij +1).

В главе III проведено исследование процесса получения одного из составляющих элементов трубопроводов - муфты термомеханического соединения. С этой целью, на основе результатов полученных во второй главе, решается задача по упругопластическому формоизменению трубной заготовки. Данная задача решается в нескольких постановках.

Рассматривается стальная трубная заготовка наружным радиусом Rq и толщиной стенки 5 - область I (рис. 5) -

а

_ VI*

и2*

Iо

Рис. 5. Схема деформирования заготовки

помещаемая в разъемную матрицу сложной конфигурации (Ш). Во внутреннюю полость трубной заготовки предварительно помещается несжимаемая среда (свинец) - область II (рис. 5). Процесс осесимметричный. Поэтому на рис. 5 приведена четвертая часть меридионального сечения.

С обоих концов на трубу и помещенную внутрь среду оказывается давление, посредством составного пуансона. При этом металл трубы деформируется, изменяя (увеличивая) наружный радиус в средней части до В.-^ . Давление на трубу и свинец

производится до полного заполнения полости матрицы III.

В данном случае рассматривается двухкомпонентная система: деформирующая среда (область II) - труба (область I).

В области I могут иметься как упругие, так и пластические зоны.

Для вычисления перемещения, необходимого при переходе трубной заготовки из начальной конфигурации в текущую, необходимо использовать формулы, основанные на разностях объемов. Имеем, для перемещения торца трубной заготовки:

Л5(2/?п -

о

и перемещение несжимаемой среды:

где Ут, Ус - получаемые объемы трубной заготовки и пластической среды соответственно, без учета прямолинейного участка, 5 - толщина трубной заготовки. Разность хода Д-р — Дс

несжимаемой среды и трубной заготовки, получаемая за счет разных скоростей частей пуансона, оказывающих давление на среду и трубную заготовку, должна быть положительной, для того чтобы избежать прогиба трубной заготовки в её внутреннюю полость.

Строится решение задачи с учетом свойств стали и свинца на основе имеющихся экспериментальных литературных данных и гипотезы "единой кривой". В результате решения получаем поля напряжений и перемещений.

На рис.6 представлены (в виде эпюр) результаты решения этой задачи. Полученные в ходе решения результаты носят следующий

Рис. 6. Эпюры перемещений [Д, (в мм) и нормальных напряжений (7п, /=1,2,3 (в кг/мм2).

характер: перемещения С/| (рис.6, а) имеют направление противоположное направлению оси Х\ и достигают максимального значения 10 мм на торце трубной заготовки, перемещения (рис.6, а) достигают максимального значения 7.78 мм на конце рассматриваемой области (поверхность ¿д на рис.5). Напряжения

(рис.6, б) во всей рассматриваемой области являются сжимающими; напряжения £733 - рис.6, в, - сжимающие на прямолинейном участке трубной заготовки, а на изогнутом участке - растягивающие.

На основе этих результатов и результатов решения аналогичной задачи по формоизменению двух трубных заготовок, вложенных одна в другую, делается вывод о необходимости создания гидростатического подпора со стороны поверхности

(рис.5).

Затем в реферируемой работе решается задача о раздаче средней части трубной заготовки гидростатическим давлением с внешним подпором.

В главе IV исследуется процесс получения полотна силового шпангоута летательного аппарата. Схема готового полотна представлена на рис.7.

Таким образом, процесс представляет собой изгиб полосы по сечению наибольшего сопротивления. Данный процесс осуществляется на известном устройстве - литейно-ковочном модуле (ЛКМ). Изгиб сопровождается одновременным обжатием заготовки по толщине 5.

Рис.7.

Рис. 8.

Рис.9

Упрощенная схема устройства, с указанием поверхностей, ограничивающих исследуемую область, показана на рис.8. Схема построена с учетом симметрии процесса относительно плоскости Х]Х3.

На основании результатов полученных в главе I, решается пространственная задача при следующих граничных условиях:

(а21 = °2з)1х2=о ~ (плоскостьсимметрии); (а33 = 035 = =

Здесь ^02 = И™ — и^1-^, Где и^ - перемещения при угле поворота <Хт эксцентрикового вала е (рис.8), которые вычисляются

в соответствии с особенностями кинематической схемы ЛКМ. В результате решения получены поля перемещений и напряжений.

На рис.9 представлен фрагмент результатов решения по перемещениям иь иг (рис.9, а) и напряжениям (7^, (Г 22 (рис.9, б) в сечении Х3 = ¿на временном шаге соответствующем углу поворота

эксцентрика а = . Полученные результаты позволяют

исследовать кинематику течения деформируемого материала и определить усилия деформирования. Установлен наилучший режим деформирования для получения полотна силового шпангоута.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. На основе численного метода решения дифференциальных уравнений теории пластического течения разработана численная схема решения широкого класса задач по деформированию тел пространственной формы, имеющих приложения в вопросах связанных с исследованием технологических процессов в машиностроении.

2. По разработанной численной схеме построен алгоритм решения пространственных задач, с помощью математического эксперимента проведено исследование сходимости численной

схемы, показавшее высокую эффективность и устойчивость процесса решения.

3. Разработана численная схема и построен алгоритм решения осесимметричной задачи по упругопластическому деформированию тел. Исследована сходимость численной схемы с помощью математического эксперимента.

4. Продемонстрирована эффективность разработанных численных схем при исследовании сложных технологических процессов по пластическому деформированию металлических тел.

5. Проведено исследование процесса получения муфты термомеханического соединения. С этой целью построена математическая модель процесса формоизменения стальной трубной заготовки в средней ее части под действием внутреннего наполнителя. Решена задача в аналогичной постановке о деформировании двух трубных заготовок, вложенных одна в другую. На основе анализа полученных результатов по решению выше указанных задач делается вывод о необходимости создания противодавления со стороны внешней поверхности деформируемой заготовки. С этой целью построена математическая модель процесса раздачи трубной заготовки в средней части с внешним подпором.

6. По разработанной численной схеме решения пространственных задач построена математическая модель и проведено исследование процесса изготовления полотна силового шпангоута летательного аппарата. Полученные в ходе решения задачи результаты позволили провести анализ напряженно-деформированного состояния и определить параметры данного технологического процесса.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Одиноков В.И. О конечноразностном представлении дифференциальных соотношений теории пластичности // Прикладная механика. 1985. Т. 21. №1. С. 97-102. Одиноков В.И. Численное исследование процесса деформации материалов бескоординатным методом. Владивосток: Дальнаука, 1995. 168с.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Ловизин КС, Одинокое В.И. Математическое моделирование процесса раздачи трубной заготовки в средней части//Вестник Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета: Вып. 2. Сб. 1. Прогрессивные технологии в машиностроении: Ч. 3. - Комсомольск-на-Амуре: Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет. 2000. с. 3-8.

2. Ловизин КС, Одинокое В.И. Математическое моделирование процесса раздачи внутреннего участка трубы гидростатическим давлением/Материалы международной научной конференции «Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях»/Комсомольск-на-Амуре: КнАГГУ, 2000. С.45.

3. Меркулов В.И, Одинокое В.И., Ловизин Н.С. Численная схема решения пространственных задач/Материалы международной научной конференции «Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях»/Комсомольск-на-Амуре: КнАГТУ, 2000. С.46.

4. Меркулов В.И., Одинокое В.И., Ловизин Н.С. Математическое моделирование процесса получения полотна силового шпангоута летательных аппаратов/Материалы международной научной конференции «Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях»/Комсомольск-на-Амуре: КнАГТУ, 2000. С.46-47.

5. Ловизин КС, Марьин Б.Н., Одинокое В.И. Способ раздачи трубы гидростатическим давлением/Материалы международной научной конференции «Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях»/Комсомольск-на-Амуре: КнАГТУ, 2000. С.221.

6. Меркулов В.Н, Одинокое В.И, Ловизин Н.С Об одном подходе к численному решению задач упругопластического деформирования тел пространственной формы//КШП.ОМД. 2001. №6. с. 12-19.

7. Меркулов В.И, Одинокое В.И, Ловизин Н.С Изготовление полотна силового шпангоута летательного аппарата//КШП.ОМД. 2001. №7. с. 18-25.

8. Ловизин КС Математическое моделирование процесса раздачи трубной заготовки в средней части//Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела и прогрессивные

технологии в машиностроении. Вып. 2. - Владивосток: Дальнаука. 2001. с. 29-36.

9. Ловизин КС. Математическое моделирование процесса раздачи трубы гидростатическим давлением в средней ее части с подпором//Обозрение прикладной и промышленной математики: Симпозиум по прикладной и промышленной математике/Тезисы докладов. -М: ОПиПМ, 2002. Т.9. Вып. 1. с.219-220.

10. Одинокое В.К, Меркулов В.И., Ловизин КС. Численное исследование напряженно-деформированного состояния при изготовлении полотна силового шпангоута летательного аппарата//Проблемы машиностроения и надежности машин. 2002. №4. с. 91-97.

11. Ловизин НС. Математическое моделирование процесса раздачи трубной заготовки гидростатическим давлением в средней ее части с внешним подпором//Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова: Тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 2002. с. 82-83.

12. Ловизин НС. Математическое моделирование процесса раздачи средней части трубной заготовки гидростатическим давлением//КШП.ОМД. 2003. №7. с. 20-35.

Личный вклад автора. Автор осуществлял разработку численных схем, составлял блоки программ, самостоятельно проводил численные исследования, принимал участие в постановке задач.

»2 85 9 7

Ловизин Николай Сергеевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРОЦЕССОВ ПОЛУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ПЛАНЕРА ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

Автореферат

Отпечатано в Институте машиноведения и металлургии ДВО РАН

Введение

1. Построение математической модели по упруго-пластической деформации тел пространственной формы

1.1 Постановка задачи.

1.2 Разработка численной схемы решения задачи

1.3 Алгоритм решения задачи.

1.4 Исследование сходимости.

2. Построение математической модели по упруго-пластической деформации осесимметричных тел

2.1 Разработка численной схемы.

2.2 Алгоритм решения задачи.

2.3 Исследование сходимости.

3. Исследование процесса получения муфты термомеханического соединения

3.1 Задача с внутренним наполнителем.

3.1. 1 Постановка задачи.

3.1. 2 Результаты решения.

3.2 Задача с внутренним гидростатическим давлением.

3.2. 1 Постановка задачи.

3.2. 2 Результаты решения.

3.3 Задача с внутренним и внешним гидростатическим давлением

3.3. 1 Постановка задачи.

3.3. 2 Результаты решения для медной заготовки.

3.3. 3 Результаты решения для стальной заготовки.

4. Исследование процесса получения полотна силового шпангоута летательного аппарата

4.1 Инженерная постановка задачи.

4.2 Математическая постановка задачи

4.3 Результаты численного исследования

Разработка новых и совершенствование существующих технологических процессов в машиностроении связано с возрастанием требований к качеству, экономичности и эксплуатационной надежностью изготавливаемых изделий. Это несомненно касается деталей, обеспечивающих надежную работу летательных аппаратов. К таковым относятся силовой шпангоут, элементы различного типа трубопроводов и т.д. Данные детали работают в условиях сложного нагружения и испытывают высокие импульсные нагрузки. При разработке новых технологий основная роль принадлежит созданию математических моделей, в достаточной мере адекватно отражающих исследуемые процессы. Именно тогда появляется возможность выявить параметры, с помощью которых можно управлять протекающим процессом, а также определить конструктивные особенности для создания нового или модификации уже существующего устройства, выполняющего поставленную задачу.

Математические модели, адекватно описывающие деформацию конструкций, основаны на уравнениях механики деформируемого твердого тела, служащих для определения напряжений и деформаций, исходя из заданных внешних воздействий. От точности решения поставленной задачи зависит адекватность проводимого теоретического анализа изучаемому явлению.

Развитие методов решения задач механики деформируемого твердого тела идет двумя путями: получение точных решений и разработка приближенных методов.

Точное решение краевых задач по деформации тела произвольной формы связано со значительными математическими трудностями. Поэтому для получения точных аналитических решений приходится прибегать к тем или иным отступлениям, приводящим к упрощению задачи.

Разработка различных подходов к аналитическому решению определенных классов краевых задач для дифференциальных уравнений теории упругости принадлежат JI.A. Галину [1], А.И. Лурье [2, 3], С.П. Тимошенко [4], В.В. Новожилову [5], А. Ляву [6], Л.С. Лейбензону [7], Н.И. Мусхелишвили [8] и т.д.

В теории пластичности точные методы хорошо развиты применительно к решению задач, в которых система уравнений пластического течения принадлежит к гиперболическому типу - метод характеристик (метод линий скольжения).

Первые результаты по методам решения плоских задач были получены в работах Г. Генки [9, 10] и Л. Прандтля [11]. Дальнейшее развитие метод характеристик получил в трудах Д.Д. Ивлева и Г.И.

Быковцева [12, 13, 14), С.Г. Михлина [15, 16], В. Прагера и Ф. Ходжа [17, 18], В.В. Соколовского [19, 20], Р.Хилла [21], А.Д. Томленова [22], К.Н. Шевченко [23], А. Грина [24], Е. Ли и С. Топпера [25], Ш. Кобояши [26] и других ученых.

Более широкий круг задач охватывают приближенные методы, позволяющие во многих случаях избежать математических затруднений.

Из вариационных методов широко распространены методы, в основе которых лежат экстремальные принципы возможных перемещений Лагранжа и принцип Кастильяно (минимума дополнительной работы). Применительно к различным моделям деформируемых сред эти принципы получили развитие в работах Д.Д. Ивлева и Г.И. Быковцева [27], А.А. Ильюшина [28], В. Койтера [29], А.А. Маркова [30], Ю.Н. Работнова [31] и ДР

Оба эти принципа вытекают из принципа виртуальной мощности [21], показывающего, что для любого статически допустимого поля напряжений и кинематически возможного поля скоростей справедливо соотношение, характеризующее закон сохранения энергии [30, 32, 33, 34].

При решении задач пластичности большое распространение получил вариационный принцип возможного изменения поля скоростей на действительном поле напряжений. Построенное на этом принципе вариационное уравнение преобразуют с учетом уравнений неразрывности и состояния деформируемой среды к функционалу, достигающему при определенных условиях минимума на истинных скоростях перемещений

Точное решение построенного уравнения или определение минимума функционала связано с неменьшими математическими трудностями, чем точное решение системы дифференциальных уравнений пластического течения. Поэтому прибегают к приближенным методам [36, 37, 38].

На практике широкое распространение получил метод Ритца работы И.Я. Тарновского, А.А. Поздеева, B.JI. Колмогорова и др. [39, 40]. Суть его состоит в том, что приближенное решение задачи отыскивают в виде суммы ряда координатных функций, удовлетворяющие условию полноты и нулевым условиям на границе области течения и ряда функций, удовлетворяющих заданным условиям на поверхности. Построенные ряды подставляют в вариационное уравнение, из которого получают систему алгебраических уравнений, сложность решения которой определяется сложностью физической модели деформируемой среды и видом координатных функций.

При решении многих задач механики получил распространение метод локальных вариаций [41, 42]. Процедура метода состоит в последовательном улучшении положения узлов через которые проходит ломаная, удовлетворяющая дискретизированным условиям связи. Улучшение узлов осуществляется в результате поочередного варьирования каждой компоненты вектора фазовых координат. Такое локальное варьирование осуществляется для всех узлов ломанной. В результате к моменту окончания итерации получается новая ломаная, на которой функционал принимает значение не большее, чем на начальном приближении. Последующие итерации выполняются аналогично [43]. Применение данного подхода для решения задач пластичности вызывает значительные трудности, поскольку локальность вариаций имеет место только при условии минимизации полного функционала.

Метод конечных разностей (метод сеток) — численный метод, суть которого заключается в том, что на исследуемую область накладывается сетка, образованная семействами ортогональных линий, значения производных заменяются их приближениями через конечные разности, неизвестные функции определяются в узловых точках. В результате получается система линейных или нелинейных алгебраических уравнений, матрица которой имеет для всей области ленточную структуру [44, 45, 46, 47]. Широкое применение, в основном к задачам теории упругости, этот метод получил благодаря сравнительной простоте реализации на ЭВМ.

Метод прямых (дифференциально-разностный метод). Сущность метода состоит в аппроксимации операции дифференцирования по некоторым направлениям конечно-разностными выражениями, что позволяет понизить размерность задачи и заменить решение исходной системы дифференциальных уравнений с частными производными расчетом аппроксимирующей ее системы дифференциальных уравнений с меньшим числом независимых переменных [48].

При решении задач пластичности эти два метода не так широко применяются в виду сложности свойств деформируемой среды и необходимости удовлетворения условия несжимаемости.

Наиболее широкое применение при решении различного рода инженерных задач в настоящее время получил метод конечных элементов (МКЭ) и его различные варианты [49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56]. Название метода происходит от некоторых его вариантов решения задач строительной механики и теории упругости [57, 58], в которых он трактуется как метод разбиения упругого тела на отдельные элементы, определяемые ячейками сетки и взаимодействующим между собой в узлах сетки. Развитие МКЭ связано прежде всего со стремлением свести задачи механики континуальных систем к задачам стержневых систем. МКЭ сочетает в себе математические достоинства вариационных и проекционных методов с разреженностью матриц получаемых систем алгебраических уравнений, характерной для систем уравнений разностного типа и существенно облегчающей процесс нахождения решений таких систем.

Кроме того алгоритм МКЭ достаточно просто поддается програмной реализации на ЭВМ [59].

Однако несмотря на указанные достоинства, пакеты прикладных программ, основанные на МКЭ не всегда способны удовлетворить потребности исследователя. Так, например, в своей работе [60] B.JI. Колмогоров отмечает, что положительный имидж пакетов МКЭ создан за счет описания кинематики течения материалов, хорошо соответствующей физической картине течения. Однако в плане рассчета напряжений результаты, с точки зрения точности могут не удовлетворять уравнениям динамики и граничным условиям в напряжениях, и как следствие неадекватно отражают физическую картину явлений.

В данной работе используется метод разработанный В.И. Одиноковым [61, 62] для решения задач упругости и пластичности в случае когда геометрия деформируемого тела может быть описана системой ортогональных поверхностей. Преимуществом данного метода является простота и алгоритмичность, а так же единство подхода к решению различных классов задач. При этом одновременно определяются с одинаковой точностью поля напряжений и скоростей перемещений в рассматриваемой области, в зависимости от заданных статических и кинематических граничных условий.

Целью работы является построение математических моделей процессов изготовления элементов силового шпангоута, составных элементов трубопроводов планера летательного аппарата, исследование указанных процессов с помощью разработанных моделей и выработка рекомендаций по оптимизации процессов изготовления этих деталей.

Заключение

1. На основе численного метода решения дифференциальных уравнений теории пластического течения разработана численная схема решения широкого класса задач по деформированию тел пространственной формы, имеющих приложения в вопросах связанных с исследованием технологических процессов в машиностроении.

2. По разработанной численной схеме построен алгоритм решения пространственных задач, с помощью математического эксперимента проведено исследование сходимости численной схемы, показавшее высокую эффективность и устойчивость процесса решения.

3. Разработана численная схема и построен алгоритм решения осесимметричной задачи по упругопластическому деформированию тел. Исследована сходимость численной схемы с помощью математического эксперимента.

4. Продемонстрирована эффективность разработанных численных схем при исследовании сложных процессов по пластическому деформированию металлических тел.

5. Проведено исследование процесса получения муфты термомеханического соединения. С этой целью построена математическая модель процесса формоизменения стальной трубной заготовки в средней ее части под действием внутреннего наполнителя. Решена задача в аналогичной постановке о деформировании двух трубных заготовок, вложенных одна в другую. На основе анализа полученных результатов по решению выше указанных задач делается вывод о необходимости создания противодавления со стороны внешней поверхности деформируемой заготовки. С этой целью построена математическая модель процесса раздачи трубной заготовки в средней части с внешним подпором.

6. По разработанной численной схеме решения пространственных задач построена математическая модель и проведено исследование процесса изготовления полотна силового шпангоута летательного аппарата. Полученные в ходе решения задачи результаты позволили провести анализ напряженно-деформированного состояния и определить параметры данного технологического процесса.

1. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. М: "Гостехиздат". 1953.

2. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М: "Гостехиздат". 1955.

3. Лурье А.И. Теория упругости. М: "Наука". 1970.

4. Тимошенко С.П. Теория упругости. М: ОНТИ. 1937.

5. Новожилов В.В. Теория упругости. JI: "Судпромиздат". 1958.

6. Ляв А. Математическая теория упругости. М: ОНТИ. 1935.

7. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М: "Гостехиздат". 1947.

8. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные и интегральные уравнения. М: "Наука". 1968.

9. Генки Г. О некоторых статически определимых случаях равновесия в пластических телах. Сб. "Теория пластичности". ИЛ. 1948.

10. Генки Г. О медленных стационарных течениях в пластических телах с приложениями к прокатке, штамповке и волочению. Сб. "Теория пластичности". ИЛ. 1948.

11. Prandtl L. Zeit und Math. Mech. 1923.

12. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М: "Наука". 1966.

13. Ивлев Д.Д. Об определении перемещений в упруго-пластических задачах теории идеальной пластичности. Сб. "Успехи механики деформируемых сред". М: "Наука". 1975.

14. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука. 1998. 528с.

15. Михлин С. Г. Основные уравнения математической теории пластичности. М: Изд. АН СССР. 1934.

16. Христианович С.А., Михлин С.Г., Девисон Б. Б. Некоторые вопросы механики сплошных сред. М: Изд. АН СССР. 1938.

17. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. ИЛ. 1963.

18. Прагер В., Ходж. Ф. Теория идеально пластических сред. ИЛ. 1956.

19. Соколовский В.В. Теория пластичности. М: "Гостехиздат". 1950.

20. Соколовский В.В. Построение полей напряжений и скоростей в задачах пластического течения// Инж.журн. T.I. Вып.З. 1961.

21. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М: ГИТТЛ. 1956.

22. Томленое А. Д. Теория пластических деформаций металлов (Напряженное состояние при ковке и штамповке). "Машгиз". 1951.

23. Шевченко К.Н. Основы математических методов в теории обработки металлов давлением. М: "Высшая школа". 1970.

24. Грин А. Пластическое течение металлических соединений при комбинациях среза и давления// Сб. перев. "Машиностроение". №2. 1955.

25. Ли Е., Топпер С. Исследование пластической деформации в стальном циллиндре при ударе о жесткую плиту// Механика. JVa2. 1955.

26. Kobajashi, Thomsen Upper- and lower-bound solutions to axisymmetric compression and extrusion problems// Int. J. Mechan. Sci. T.7. №2. 1965.

27. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. М: "Наука". 1971.

28. Ильюшин А.А. Пластичность. М: Изд. АН СССР. 1963.

29. Койтпер В. Общие теоремы теории упругопластических сред. ИЛ. 1961.

30. Марков А.А. О вариационных принципах в теории пластичности// ПММ. Т.2. Вып.З. 1947.

31. Работное Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М: "Наука". 1966.

32. Хилл Р. Новые горизонты в механике// Механика. №2. 1959.

33. Шевченко Ю.Н., Пискун В.В., Савченко В.Г. Решение осесимметричной пространственной задачи термопластичности на ЭЦВМ типа М-220. Киев: "Наукова думка". 1975.

34. Ильюшин А.А. Ученые записи МГУ// Механика. Вып. 39. 1949.

35. Ильюшин А.А. Некоторые воппросы теории пластического течения// Изв. АН СССР. т. 1958.

36. Лейбензон Л. С. Вариационные методы решения задач теории упругости. М: "Гостехиздат". 1943.

37. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М: "Наука". 1970.

38. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М: "Наука". 1966.

39. Тарновский И.Я., Поздеев А.А., Ганаго О.А. Деформация и усилия при обработке металлов давлением. "Машгиз". 1959.

40. Тарновский И.Я., Поздеев А.А., Вайсбург Р.А., Гун Г.Я., Котельников В.Л., Тарновский В.И., Скороходов А.И., Колмогоров В.Л. Вариационные принципы механики в теории обработки металлов давлением. "Металлургиздат". 1963.

41. Баничук Н.В., Петров В.М., Черноусько Ф.Л. Метод локальных вариаций для вариационных задач с неаддитивными функционалами// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. Т.9. №3.

42. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. М: "Наука". 1973.

43. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М: "Наука". 1971.

44. Самарский А.А. Теория разностных схем. 2-е изд. М: "Наука". 1983.

45. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. Введение в теорию. 2-е изд. М. 1977.

46. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. 2-е изд. М. 1980.

47. Самарский А. А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М. 1978.

48. Справочник по теории упругости под редакцией П.М.Варвака и А.Ф. Рябова. Киев: "Буд1вельник:\ 1971. 418с.

49. Стренг Г., Фикс Дж. теория метода конечных элементов. М: "Мир". 1977. 349с.

50. Солодовников В.Н. Об одном алгоритме решения задач пластичности и ползучести методом конечных элементов// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр./ РАН, Сиб. отд-ие. Ин-т гидродинамики. 1991. Вып. 103.

51. Солодовников В.Н. К алгоритму решения задач пластичности методом конечных элементов// ПМТФ. Т. 34. №6. 1993.

52. Bathe K.J. Finite element procedures in engineering analysis. Engle-wood Cliffs: Prentice-Hall. 1982.

53. Леонтьев В.JI. Вариационно-сеточный метод решения задач о собственных колебаниях упругих трехмерных тел, связанный сиспользованием ортогональных финитных функций// МТТ. №3. 2002. С. 117-126.

54. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М: "Мир". 1987. 524с.

55. Бенердоюи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М: "Мир". 1984.

56. Полищук Е.Г. Метод граничных элементов для рассчета вязкопластических течений// ПММ. Т. 56. Вып. 5. 1992. С.796.

57. Зенкевич О.С. Метод конечных элементов в технике. М: "Мир". 1975. 542с.

58. Леонтьев В.Л. Метод конечных элементов теории упругости (смешанные вариационные формулировки). . Ульяновск: Изд-во Средневолж. науч. центра. 1998. 168с.

59. Aho А. V., Hopcroft J.Е., Ullman J.D. Data Structures and Algoritms. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts. 1983.

60. Колмогоров В.Л. Численное исследование больших пластических деформаций и разрушения металлов// КШП. ОМД. №2. 2003. С.4-16.

61. Одинокое В. И. О конечно-разностном представлении дифференциальных соотношений теории пластичности// Прикладная механика. 1985. Т.21. №1. С.97-102

62. Одинокое В.И. Численное исследование процесса деформации материалов бескоординатным методом. Владивосток: Дальнаука, 1995. 168с.

63. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М: "Наука". 1969. 420с.

64. Дж. Мэйз Теория и задачи механики сплошных сред. М: "Мир". 1974. 319с.

65. Меркулов В.И., Одинокое В.И., Ловизин Н.С. Об одном подходе к численному решению задач упругопластического деформирования тел пространственной формы//КШП.ОМД. 2001. №6. С. 12-19.

66. Ловизин Н.С. Математическое моделирование процесса раздачи средней части трубной заготовки гидростатическим давлением//кшп.омд. 2003. т. с. 20-35.

67. Ловизин Н.С., Марьин В.Н., Одинокое В.И. Способ раздачи трубы гидростатическим давлением//Материалы международной научной конференции "Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях". Комсомольск-на-Амуре: КнАГТУ, 2000. С.221.

68. Одинокое В.И., Стулов В.В. Литейно-ковочный модуль. Владивосток: Дальнаука, 1998. 150с.

69. Меркулов В.И., Одинокое В.И., Ловизин Н.С. Изготовление полотна силового шпангоута летательного аппарата//КШП.ОМД. 2001. №7. С. 18-25.

70. Одинокое В.И., Меркулов В.И., Ловизин Н.С. Численное исследование напряженно-деформированного состояния при изготовлении полотна силового шпангоута летательного аппарата//Проблемы машиностроения и надежности машин. 2002. т. С. 91-97.

71. Кроха В.А. Упрочнение металлов при холодной пластической деформации. Справочник. М: Машиностроение. 1980. 157с.

72. Одинокое В.И., Хайкин В.Е. Аналитическое описание упрочнения сталей в зависимости от скорости, степени и температуры деформации// Теория и технология прокатки. Свердловск: УПИ, 1969. Вып.176. С.39-42.

73. Одинокое В. И., Тарновский И.Я. Поиск минимума в многопараметрических вариационных задачах теории обработки металлов давлением. Сб.: Теория и технология прокатки, №102. Челябинск. 1972. С. 18-23.