Процессы сложного нагружения в плоских упругопластических краевых задачах

Алексеев, Андрей Алексеевич

Процессы сложного нагружения в плоских упругопластических краевых задачах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Алексеев, Андрей Алексеевич АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Тверь МЕСТО ЗАЩИТЫ

2007 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Процессы сложного нагружения в плоских упругопластических краевых задачах»

Автореферат диссертации на тему "Процессы сложного нагружения в плоских упругопластических краевых задачах"

003053243

АЛЕКСЕЕВ Андрей Алексеевич

ПРОЦЕССЫ СЛОЖНОГО НАГРУЖЕНИЯ В ПЛОСКИХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тверь 2007

003053243

Работа выполнена в Тверском государственном техническом университете на кафедре Сопротивления материалов, теории упругости и пластичности.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук Субботин Сергей Львович

доктор технических наук, профессор Тутышкин Николай Дмитриевич

доктор физико-математических наук, профессор Георгиевский Дмитрий Владимирович

Ведущая организация:

МГТУ«МАМИ», г.Москва

Защита состоится /б марта 2007 г. в /3 ~ часов на заседании диссертационного совета Д 212.262.02 при Тверском государственном техническом университете по адресу: 170026, г. Тверь, набережная Афанасия Никитина, 22, ауд. Ц-120.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тверского государственного технического университета.

Автореферат разослан « » 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор __х Гараников В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При решении краевых задач теории пластичности, в расчет должны закладываться физические соотношения, достоверно описывающие свойства материалов. В большинстве программных комплексов по расчету конструкций за пределом упругости не используется современная теория упругопластических процессов. Решение задач, в которых учитываются экспериментальные зависимости между напряжениями и деформациями при сложном нагружении, наталкивается на трудности, связанные с достоверным описанием таких зависимостей. Это представляет собой самостоятельную задачу теории пластичности даже в условиях однородного напряженно-деформированного состояния. При неоднородном НДС краевых задач на основе общих соотношений теории упругопластических процессов решено мало. Все это делает выбранную тему диссертации актуальной.

Целью диссертационной работы является разработка методики решения плоских краевых задач теории упругопластических процессов при сложном нагружении на основе метода конечных элементов (МКЭ) при использовании определяющих соотношений гипотезы компланарности A.A. Ильюшина с экспериментально обоснованными аппроксимациями В.Г. Зубчанинова для функционалов пластичности; построение вычислительного алгоритма, использующего соотношения между напряжениями и деформациями в скоростях, учет деформационного упрочнения материала и изменения предела текучести в процессе нагружения.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработана методика алгоритмического описания функций пластичности в рамках гипотезы компланарности, которая дает расчетные результаты, согласующиеся с экспериментальными данными для процессов сложного нагружения, содержащих участки активного нагружения и разгрузки.

2. Предложен способ учета изменения предела текучести в аппроксимирующих функциях В.Г Зубчанинова для процессов сложного нагружения.

3. Дана оценка необходимости учета изменения предела текучести в зависимости от вида упругопластического процесса.

4. В задаче о сжатии квадратной пластины сосредоточенными силами, распределенной нагрузкой и нагрузкой, передаваемой через жесткий штамп, получены траектории напряжений и деформаций по различным вариантам рабочих теорий пластичности и дана оценка влияния сложного нагружения.

Достоверность результатов обеспечена использованием строго математического аппарата и законов механики деформируемого твердого тела; применением в расчетном алгоритме традиционных вычислительных схем, хорошо зарекомендовавших себя в решении задач подобного рода; использованием данных экспериментов, полученных на расчетно-экспериментальном комплексе СН-ЭВМ в Тверском государственном техническом университете в лаборатории механических испытаний кафедры СМТУиП. Полученные для рассматр

ваемых задач расчетные результаты с достаточной точностью соответствуют известным экспериментальным результатам и теоретическим решениям.

Практическое значение работы. Разработана методика расчета, которая позволяет на основе современной теории упругопластических процессов достоверно моделировать процесс деформирования элементов конструкций, работающих в условиях плоского напряженного состояния при сложном нагруже-нии.

Внедрение результатов. По пученные в работе результаты используются в учебном процессе при подготовке магистров техники и технологии по специальности «Теория и проектирование зданий и сооружений» в Тверском государственном техническом университете. Проведенные исследования напряженно-деформированного состояния пластины, под действием нагрузки в ее плоскости, внедрены в практику проектирования ОАО «Стройиндустрияпроект» для оценки достоверности результатов, получаемых на существующих программных комплексах, не учитывающих сложное нагружение.

Апробация работы. Результаты исследований по теме диссертации докладывались и обсуждались на постоянно действующем межвузовском научном семинаре кафедры СМТУиП ТГТУ (Тверь, 2004-2007 г.) и ежегодном региональном межвузовском семинаре «Тверские научные чтения в области механики деформируемого твердого тела», под руководством д.т.н., профессора Зуб-чанинова В.Г, (Тверь, 2004-2006 г.), на VI Международном научном симпозиуме «Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела» (Тверь, 2006 г.), на VI и VII Международных научно-технических конференциях «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (Тула, 2005-2006 г.), на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2006 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из 4 разделов, введения, заключения, содержащего основные результаты и выводы, и библиографического списка из 164 источников. Общий объем работы 148 страниц текста, включая 75 рисунков и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы диссертационной работы и определяются основные направления исследования.

В первом разделе дается краткий обзор исторического развития и современного состояния математической теории пластичности и методов решения задач, формулируются основные цели диссертационной работы. В связи с тематикой работы основное внимание в обзоре уделяется теории упругопластических процессов и методам решения краевых задач теории пластичности. Отдельно рассмотрен выбранный численный метод решения - МКЭ.

Во второй половине 20-го столетия различные направления теории пластичности получили развитие в трудах А.А. Ильюшина, Р. Хилла, В. Прагера,

Ю.И. Кадашевича, В.В. Новожилова, В.Д. Клюшникова, В.В. Соколовского, B.C. Ленского, A.C. Кравчука, Дао Зуй Бика, В.Г. Зубчанинова, В.И. Малого,

A.A. Лебедева, Ю.Н. Шевченко, Л.А. Толоконникова, С.А. Христиановича, Е.И. Шемякина, Б.Е. Победри, И.А. Кийко, P.A. Васина, А.Ю. Ишлинского,

B.C. Бондаря, Д.Д. Ивлева, Ю.Г. Коротких, A.A. Поздеева, П.В. Трусова, Н.Д. Тутышкина, H.H. Малинина и других ученых.

Основополагающей была работа A.A. Ильюшина в 1954 г., к которой изложены основы общей математической теории пластичности при сложном на-гружении. В дальнейшем, основные положения теории — постулат изотропии и принцип запаздывания, были подтверждены экспериментальными исследованиями B.C. Ленского, P.A. Васина, A.M. Жукова, Л.С. Андреева, И.М. Коровина и др. Большое количество экспериментов было проведено в лаборатории механических испытаний каф. СМТУиП ТТТУ под руководством В.Г. Зубчанинова. Разработаны варианты теории пластичности для частного класса траекторий: двузвенных ломаных; траекторий малой и средней кривизны; траекторий малого кручения; локально-простых и квазипростых процессов и др.

В 1971 году A.A. Ильюшиным была выдвинута гипотеза компланарности векторов напряжения, приращения напряжения и приращения деформации без уточнения вида функционалов пластичности. В векторной форме определяющее соотношение гипотезы компланарности в девиаторном пространстве деформаций имеет вид:

Функционалы процесса Р и N должны конкретизироваться на основе экспериментальных исследований и аппроксимируются функциями, достоверными для реализуемых траекторий нагружения и деформации. В.Г. Зубчанинов в своих работах предложил удачные аппроксимации функций пластичности при сложном назфужении, описывающие как активные, так и пассивные процессы деформирования:

где G, Gp, Gk - упругий, пластический и касательный модули сдвига материала при простом нагружении; Sj - угол между касательной к траектории деформации и вектором напряжений (угол сближения); q, р - показатели степени, определяемые на основе данных экспериментов.

Дня решения краевых задач теории упругопластических процессов A.A. Ильюшиным был предложен экспериментально-теоретический метод СН-ЭВМ. Этот метод требует использования испытательной машины на сложное нагружение - СН. Развитие и обоснование метода было осуществлено в работах P.A. Васина, A.C. Кравчука, К.Ш. Бабамуратова, Д.Е. Донского и других ученых. Большое количество накопленных опытных данных позволяет применять

a = N3 + {P-N)^-c

P = 2Gk +(2G-2Gk)((l- cosÄi)/2)p, N = 2Gp + (2G - 2Gp ) ((1 - cos fy) / 2)'q,

(2)

метод СН-ЭВМ в численном эксперименте при решении краевых задач теории пластичности с проверкой на соответствие расчетных результатов эксперименту.

Обзор основных подходов к численному решению задач механики можно найти в работах Б.Е. Победри, В.Г. Баженова, К. Васидзу, Г.И. Марчука и многих других авторов. Среди всего многообразия численных методов в данной работе в качестве численного метода решения поставленной задачи используется метод конечных элементов (МКЭ). Разработанный в 50-е годы 20-го столетия, МКЭ исходит из приближенного решения задач механики сплошных сред эффективными вариационными методами. Теоретическим основам и применению МКЭ в прикладных задачах посвящены работы Р. Клафа, A.C. Городецкого, O.K. Зенкевича, JI.A. Розина, Г. Стренга, Дж. Фикса, Л. Сегерлинда, Дж. Одена и целого ряда других исследователей.

Для решения задач с позиций теории упругопластических процессов целесообразно развитие экспериментально-расчетного подхода, основанного на использовании экспериментальных результатов и численного моделирования процессов деформирования. Данный подход позволяет обеспечить достоверность расчетных результатов.

Во втором разделе для случая плоского напряженного состояния рассматриваются основные уравнения краевых задач теории упругопластических процессов с позиций МКЭ с учетом сложного нагружения в рамках гипотезы компланарности (1). Соотношения связи между напряжениями и деформациями за пределом упругости записаны в скоростях, поэтому выражения связи между перемещениями и деформациями, напряжениями и усилиями в МКЭ, также приводятся в скоростях.

Рассматривается произвольный треугольный конечный элемент, определяемый узловыми точками и прямолинейными границами. Перемещения точек элемента задаются в виде линейных функций координат. Для получения уравнений связи между перемещениями узлов и деформациями конечного элемента используются дифференциальные зависимости Коши.

В случае малых деформаций и перемещений в соотношениях МКЭ в скоростях можно не учитывать изменения координат узлов в процессе деформирования. Таким образом, из формул связи между перемещениями и деформациями узлов следует матричное уравнение

= (3)

где [ ё ] - вектор скоростей деформаций; [ Ü ] - вектор скоростей узловых перемещений; В - геометрическая матрица; А - удвоенная площадь треугольного конечного элемента.

Скалярная форма соотношения гипотезы компланарности (1) в компонентах векторов напряжений и деформаций для трехмерного векторного пространства (задача о плоском напряженном состоянии) имеет вид:

S¡ = N3, +{P-N)S^+ ^ + S, , (¿ = 1,2,3) (4)

Использование условия несжимаемости материала и выражений для компонент векторов деформаций, напряжений и их скоростей через соответствующие компоненты тензоров деформаций, напряжений и их скоростей, при подстановке в (4), дает уравнения связи между скоростями напряжений и деформаций:

ó* = Епгх +Enzy + Епуху,

■ Gy=E2l£x+E22ky+E23yxy, (5)

. *ху = Е3\*х+Е32*у + ЕЗЗУ)^ где упругоиластические характеристики определяются rio формулам

Еп = + El2 = E2l=N+±(P-N)^,

2 of 2 af

Е22=2М + ^(Р-М)Ц, Е23=ЕпЛ{Р-(6)

1 of ¿ ü¿

3 Crtrv 1 3 "Crv

2 af 2 2 af

где o¡ = V3/2o - интенсивность напряжений; а - модуль девиатора напряжений; стх, а^,, Тху - компоненты тензора напряжений.

В матричной форме выражения (5) имеют вид:

[d]=D[é] (7)

где [ст ] - вектор скоростей напряжений; D - матрица упругопластических характеристик.

Существенно отметить, что в пределах одного рассматриваемого конечного элемента скорости деформаций, напряжений и элементы матрицы D не зависят от координат, но скачкообразно меняются при переходе от одного конечного элемента к другому.

Уравнения связи между скоростями напряжений и скоростями узловых сил получены на основании вариационного принципа Лагранжа, через разность работ внутренних сил Ла и внешних сил А на возможных перемещениях узлов SU¡, SV¡ конечного элемента в моменты времени t vi t + di .Отсюда следуют выражения для скоростей узловых сил в матричной форме:

[fW-B^c], (8)

где Вт - транспонированная геометрическая матрица В; [f ] - вектор скоростей узловых сил в конечном элементе.

Система разрешающих уравнений МКЭ имеет вид:

где [ Р ] - вектор скоростей внешних узловых нагрузок. С учетом выражений (3), (7), (8), уравнение (9) имеет вид:

А'[С>] =[>], (Ю)

где К - матрица жесткости конечного элемента, определяемая формулой

K=—BTDB (11)

2А

Функционалы пластичности Р и N вычисляются на основе аппроксимирующих функций В.Г. Зубчанинова (2) при р-А и g = 0.3. При вычислении косинуса угла сближения cos Qj удобно от компонент векторов напряжений и скоростей деформаций перейти к компонентам тензоров напряжений и скоростей деформаций:

cosa^ (ах^х + ау£у + ххуУху ) ^ (12)

2 JGx -ox(jy+a2y+ 3?l J¿1 + кхёу + ¿5 + yly /4

Для определения модулей GfuGk используется универсальная диаграмма простого нагружения ст = Ф(Э). В этом случае применяются формулы

2 Gk =

2 G, если а<от,

с1Ф{Э) da т 2 Gp = -- еслиа>а , у

2 G, если Э<Э\

Ф(Э) _ _т ——, если Э>Э .

ЛЭ с!ф-\а)

где сг = Ф(Э) - универсальная функция простого нагружения; Э = Ф-1 (а) -

функция, обратная ст = Ф(Э); стт=л/2ТЗат, Эт=стт /2(5 - пределы пропорциональности (текучести) в пространствах напряжений и деформаций соответственно. Существенно, что в формулах (13) касательный модуль зависит от модуля девиатора напряжений, а пластический модуль - от модуля девиатора деформаций.

Для сравнения расчетных результатов с имеющимися экспериментами на образцах из стали 12Х18Н10Т, ее диаграмма аппроксимировалась тремя способами. Параметры аппроксимаций находились на основе обработки экспериментальной диаграммы деформирования. Материал считался квазиизотропным. Для него принималась осредненная диаграмма по данным опытов В.Г. Зубчанинова, Н.Л. Охлопкова, В.В. Гараникова на растяжение, кручение и внутреннее давление. Первый способ - двумя прямолинейными участками. В этом случае для касательного и пластического модулей имеют место формулы

2G, если ст<стт, 2Gk= I * т 2 Gp =

1, если о> о ,

2G, если Э < Э

с +

т , 7Г*и (14)

2G^3"3 I если Э>Эт,

где для стали 12Х18Н10Т принято: 2С = 150000 МПа; 26^=2400 МПа;

Эт =0.0018; стт =270 МПа.

Второй способ - аппроксимация диаграммы деформирования двумя прямолинейными участками вида (14) с описанием криволинейной части диаграммы между ними дугой эллипса по формулам

ар+уЛ-ЦЭр-Э)2 Э

2Gp = —-——--—, если ЭайЭ< Эь,

2 Gk = т

--1

(15)

, если сга < ст < а¿,.

. >-а0)2

Для рассматриваемой стали: Эа =0.001; оа =150 МПа; =0.012; ab =294.5

МПа; Э0 =0.01482, ст0 =137.7МПа; Л = 25639.5 МПа2; т = 1.3347-108МПа2. Точки а и b определяют границы криволинейного участка, для прямолинейных участков при Э<Эа, а < оа и Э > ст > a¿ сохраняются формулы (14).

Третий вариант аппроксимаций - для универсальной диаграммы простого нагружения принимается степенная функция:

а = Ф(Э) = АЭп , (16)

где для рассматриваемой стали 12Х18Н10Т принято: А = 505 МПа, п = 0.12. Функция, обратная ст = Ф{э),ш основании (16):

Э = Ф-1(о)=(О/^в. (17)

Пластический и касательный модули согласно (13), (17):

y? (18)

Р Э э1-" d3 d0-\v) UJ

Из соотношений гипотезы компланарности, как показал В.Г. Зубчанинов, следует большинство частных теорий пластичности. В работе, для расчетов по теории течения с изотропным упрочнением, функционал Р вычислялся по формуле (2), функционал N принимался постоянным N = 2G. Для деформационной теории пластичности принималось Р = 2(7¿, N = 2Gp (теория квазипростых процессов нелинейно-упругого материала). В основном расчетном варианте применялась теория упругопластических процессов. Для нее, аппроксимации (2) позволяют учитывать изменение предела текучести в процессе нагружения. Граница пределов текучести в общем случае сложного нагружения представляется сферой, центр которой в пространстве напряжений имеет координаты , 1$2, ¿з ■ Радиус этой сферы определяется изменяющимся в процессе нагружения (переменным) пределом текучести (пропорциональности). В этом случае в формулах (13-14) вместо условия а < стт используется условие:

^-^¡У+ф - 520)2 + (53 -530)2 < а;, (19)

(19)

ООО т

где координаты 5, , , и величина переменного предела текучести стн на-

ходятся из условия соответствия расчетных результатов данным экспериментов. Аналогично изменяются формулы (15).

В основе разработанного алгоритма численного решения упругопласти-ческих краевых задач МКЭ лежит вычисление значений векторов перемещений, деформаций и напряжений методом «Эйлера-Коши» по одношаговой вычислительной схеме «прогноз-коррекция». За параметр прослеживания принимается обобщенное время I, монотонно возрастающее в процессе нагружения. Начальные значения скоростей деформаций и напряжений определяются при нулевой нагрузке из условия линейно-упругой работы материала. Затем делается малый шаг по обобщенному времени Аг, решается система уравнений вида (10) для всей конечно-элементной расчетной схемы методом Гаусса, и находится прогноз вектора скоростей узловых перемещений, прогноз вектора скоростей деформаций по (3) и прогноз вектора скоростей напряжений по (7). Затем находятся прогнозируемые значения векторов перемещений, деформаций и напряжений на данном шаге:

Значения функционалов пластичности N и Р на каждом шаге находятся по формулам (2), в соответствии с рассчитываемым упругопластическим процессом в каждом конечном элементе с использованием (13). Далее выполняется коррекция и снова решается система уравнений вида (10) и находятся скорректированные значения векторов скоростей узловых перемещений, скоростей деформаций и скоростей напряжений. Затем выполняется коррекция векторов перемещений, деформаций и напряжений:

Полученные на данном шаге значения векторов перемещений, деформаций, напряжений и их скоростей являются начальными значениями для следующего шага. Окончание расчета происходит при достижении параметром прослеживания ? задаваемого конечного значения 1К0Н, т.е. при достижении внешней нагрузкой конечного значения. Сходимость вычислительного процесса обеспечивается малым шагом по обобщенному времени А г.

(20)

(21)

Для реализации вышеописанного алгоритма в среде программирования Visual Basic 6.5 был разработан программный комплекс FEMvs для пошагового расчета краевых упругопластических задач МКЭ. Предпроцессорная часть является сервисной программой, ее функции - автоматизация ввода координат узлов, локальная и глобальная нумерация конечных элементов, генерация сетки КЭ, задание закреплений узлов, скоростей узловых нагрузок, траектории на-гружения, аппроксимации диаграммы простого нагружения материала и других исходных данных в память компьютера. Расчетное ядро выполняет пошаговый расчет введенной модели по вышеописанному алгоритму в соответствии с данными, сформированными предпроцессором. Выходными данными являются файлы, содержащие результаты расчета по каждому КЭ на каждом шаге по параметру прослеживания. Постпроцессор обрабатывает результаты расчетов и представляет их в графической форме. Информация представляется в режиме реального времени в виде процесса деформирования рассматриваемого объекта, графиков траекторий напряжений Sj - , S] - S3, S2 - S3 и деформаций Э] — Э2, Э1 — Э3, Э2 — Э3, локальных Si — 3j, S2 — Э2, S3 - З3 и глобальных о - Э, о - s диаграмм деформирования для заданных конечных элементов.

Программный комплекс позволяет варьировать видом аппроксимаций диаграммы деформирования материала и функционалов пластичности N и Р. Сопоставление расчетных траекторий напряжений и деформаций с данными экспериментов в опытах при однородном напряженно-деформированном состоянии дает информацию о том, как изменить вид аппроксимаций диаграммы деформирования и функционалов пластичности для получения достоверных расчетных результатов.

В третьем разделе рассмотрены тестовые «вырожденные» краевые задачи в условиях однородного напряженно-деформированного состояния. Для его моделирования в программе рассматривалась КЭ-схема, приведенная на рис. 1, в виде наименьшего возможного блока конечных элементов, реализованного в предпроцессоре программного комплекса.

Нагрузка, прикладываемая к узлам конечных элементов (рис. 1) на каждом шаге по параметру прослеживания Ai:

F\=Pi+PlAt, P2=P2+PiAtlS (22) Произведения Р\ At и Р2 At являются шагами по нагрузке. Значения величин нагрузок и их скоростей подбиралось таким образом, чтобы обеспечить в точках излома программы нагружения необходимые значения компонент S\ и S3. Величина шага выбиралась из условия обеспечения необходимой точности расчета.

Рис. 1. КЭ схема, моделирующая однородное НДС

5з ,МПа

©©

®®

Если в расчете процесса сложного нагружения величину от считать неизменной, то в этот случай аналогичен неучету эффекта Баушингера при одноосном нагружении-разгружении.

Для оценки влияния учета повышения предела текучести в процессе нагружения были выполнены расчеты по многозвенной ломаной траектории (рис. 2) 0-1-23-4-5-6 в пространстве - £3. На рис. За приведен расчетный отклик, полученный без учета увеличения предела текучести от в процессе активного нагружения. На рис. 36 приведен расчетный отклик, полученный с учетом увеличения предела текуче-

„ „ сти от. Для звенев 0-1 и 1-2 траектории (ак-

Рис. 2. Программа нагружения тивное нагружение) величина „редела текучести была равна его начальному значению. Упрочнение материала учтено только в зависимости а = Ф(Э). Для следующих звеньев траектории за величину Стд принималось максимальное значение модуля девиатора напряжений, соответствующее началу сложной разгрузки (звено 2-3). В дальнейшем эта величина (переменный предел текучести) считалась постоянной. На рис. 4 приведена диаграмма деформирования стали 12Х18Н1 ОТ для этой программы нагружения (линии 1,3).

а)

МПа

50 100 150

250 300

Эз •10

& г*

\ у

1 1

Э. -10^

б) 14 12

Э-. ■10^

(3).

й 1

к, /

у /ч 1

6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

6 8 10 12 14 16 18 20 Т.

Рис 3. Отклик в пространстве деформаций: а) без учета изменения о ; б) с учетом изменения аг. 1 - Расчет; 2 - Эксперимент

Сопоставление полученных результатов с данными экспериментов, проведенных В.Г. Зубчаниновым, Н.Л. Охлопковым, В.В. Гараниковым в лаборатории кафедры СМТУиП ТГ'ГУ на автоматизированном расчетно-экспериментальном комплексе СН-ЭВМ (точки 2 на рис 3, точки 4 на рис. 4), показывает, что неучет упрочнения материала в аппроксимации диаграммы деформирования путем изменения предела текучести не дает достоверных ре-

зультатов (линия 2 на рис. 4, звено 5-6 на рис. За) для процессов активного на-гружения после сложной разгрузки. Экспериментальные данные хорошо согласуются со звеном 5-6 траектории деформирования, полученной с учетом увеличения предела текучести (линия 3 на рис. 4, звено 5-6 на рис. 36). Для остальных звеньев данной программы нагружения, различий в откликах в пространстве деформаций, диаграммах деформирования и расхождения с экспериментом практически нет.

эг

а, МПа

®(s>_ Г7'S

ст --Г- ---- 3 у},'

' а) 1 /Т\ *

i} f\ /А 'ИМ

100 60 /1 /1 | i

1 1 1 1 1

я 1 ) э 103

1 - Расчетная диаграмма по формулам (14), (15)

2 - Диаграмма для звена 5-6 без учета повышения предела текучести а7;

3 - Диаграмма для звена 5-6 с учетом повышения предела текучести ст;

4 - Экспериментальные данные для звеньев 0-1-2-3-4-5-6

Рис. 4. Диаграмма деформирования

Для оценки влияния учета эффекта Баушингера при простом нагруже-нии-разфужении были выполнены расчеты для многозвенной ломаной траектории в пространстве напряжений Sj - S3 с изломами на 180 в точках 1 и 3 (рис. 5а) с аппроксимацией диаграммы деформирования по формулам (14). Окружности на рис. 5а иллюстрируют границу пределов текучести для начального состояния (сплошная линия) и при ее смещении в процессе нагружения (штриховые линии). На звене траектории 0-1 координаты центра границы пределов

текучести

для звена 1-2-3 были равны:

S" =38.64 МПа,

S3 = 28.68 МГ1а; для звена 3-4-5: Sj° = -38.64 МПа, S3° = -28.68 МПа. а)

б)

400 S3,M Па

,-300 —-- Чсгх1 1)__

у/ / / < 200 Ч Jj 4 \ \

1 1 1 1 100 ® \ \ \ \ ! I ¡5|,М

-400 1 -30« i \ \ -200 -100/ ^ -100 @© 100 200 1 / 1 1 / ! 300

\ V ч V, ■ -200 / 1 J / /у

—18" Э3-103 (т

® Э, 103

-1 2 1 к 0 1 2 1 1 20

—1?

Рис. 5 Простое погружение - разгружение: а) программа нагружения; б) расчетный отклик в пространстве деформаций

а)

300 250 ■ 200 150 100 50

о, МПа _ © _ иШ®

-ГУ' /

® V® фу Э^О3

б>.

300 250 200 150 100 50

<з,Ь< (Па 3) с 1> ®

¿г К

® Й <4 ) я 103

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Рис. 6. Простое погружение - разгружение: а) диаграмма деформирования о - Э; б) диаграмма о - б

Расчетный отклик в пространстве деформаций (рис. 56) и диаграммы деформирования (рис. 6) качественно согласуются с результатами экспериментов в опытах с тонкостенными трубками при растяжении с кручением, проведенными В.Г. Зубчаниновым, Н.Л. Охлопковым, В.В. Гараниковым в лаборатории механических испытаний кафедры СМТУиП 'ПТУ на автоматизированном расчетно-экспериментальном комплексе СН-ЭВМ.

В расчетах для двузвенной ломаной траектории в пространстве -5з (рис.7) аппроксимация диаграммы простого нагружения принималась по формулам (14) и (15) с учетом увеличения радиуса границы пределов текучести. На программе нагружения можно выделить участки внутри границы пределов текучести (звено 0-1-2) и за ее пределом (звено 2-3). Расчетный отклик и диаграммы деформирования приведены на рис. 76, 8.

а)

Э3-103

\ \

® ©и Э| 10

зо

Рис. 7. Двузветая ломаная • а) программа нагружения; б) расчетный отклик в пространстве деформаций

а)

350 300 250 200 150 100 SO

су, MI [а

r-i®

---- ®\ 1

/ J

1® Э-103

б)

350 300 250 200 150 100 50

<5, МПа

Г--

1 1®

/ 1

® s-103

О 5 10 15 20 25 30 35 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 80

Рис. 8. Двузвенная ломаная: а) диаграмма деформирования о - Э;

б) диаграмма деформирования о — s Как видно, использование аппроксимаций (2), (13) позволяет в расчетах по рассмотренному алгоритму хорошо описывать явление «нырка пластичности» на зависимости а — s.

На рис. 9, 10 дано сравнение численных расчетов с результатами экспериментов В.Г. Зубчанинова, Д.Е. Иванова, A.B. Акимова для стали 40Х для дву-звенной ломаной траектории в пространстве напряжений. Программа на-гружения приведена на рис. 9. В численном расчете аппроксимация диаграммы простого нагружения для стали 40Х принималась по формулам (14), где для рассматриваемой стали принято:

350

зоо

250 200 150 100 50

S3.MUa

О 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Рис. 9 Программа нагружения

2G = 1.5-105 МПа; 2G*k =4750 МПа; Эт = 0.0014; ат = 210 МПа.

б)

а)

э3-ю3

V- ■г

ioJ

400 350 300 250 200 150 100 50

а, МПа г

2 \

г* Ч1

1 Э 103

10 15 20 25 30 35 40 45 50

Рис. 10 Двузвенная ломаная, а) отклик в пространстве деформаций; б) диаграмма деформирования а - Э. 1 - Расчет; 2 — Эксперимент

Получено хорошее совпадение по модулю вектора деформаций (рис. 106). Вместе с тем для данной модели наблюдается расхождение по компонентам вектора деформаций (рис. 10а).

Приведенное в третьем разделе диссертации сопоставление расчетных результатов с данными экспериментов показывает, что если после участков разгрузки имеются участки активного упругопластического нагружения, то в расчете для этих участков нужно учитывать изменение предела текучести (участок 5-6 на рис. 2-4; участки 2'-3 и 4'-5 на рис. 5,6; участок 2-2'-3 на рис. 7,8). Если таких участков нет, то изменение предела текучести в аппроксимирующих функциях В.Г. Зубчанинова (2) можно не учитывать (участки 0-1-2-3-4-5 на рис. 2-4; участок 0-1-2-2' на рис. 5,6; участки 0-1-2 на рис. 7,8).

В четвертом разделе решены краевые задачи для неоднородного НДС при пропорциональном изменении внешней нагрузки. Главные особенности решения плоской краевой задачи методом конечных элементов за пределом упругости рассмотрены на простой модельной задаче (рис. 11) в рамках деформационной теории пластичности.

В этом случае легко получить аналитическое решение задачи, удобное для анализа. Неизвестными являются вертикальные перемещения и У^ узлов 1 и 2 соответственно. Деформации, напряже-£ ния и узловые силы находятся по формулам, приведенным во втором разделе диссертации. х Из найденных выражений следует, что если в

— процессе нагружения отношение перемещений сохраняется постоянным (т.е. перемещения изменя-Рис. 11. Схема ются пропорционально одному параметру), то от-

модельной задачи ношение деформаций также постоянно, а для сохранения постоянства отношений напряжений и узловых сил, в конечных элементах должно выполняться условие постоянства

отношения пластических модулей / Е^Р в конечных элементах 1 и 2.

Рис 12. Модельная задача- а) траектория S2 - 53; 6) траектория Э2-Э3. 1 - Линейно-упругое решение; 2 - Решение для диаграммы с линейным упрочнением при ог = 200МПа, ет = 0.001, Ек/Е-0.05, 3 — то же, Ек/Е =0.012; 4 —то же, Ек ~0; 5 — предел, к которому стремится решение за пределом упругости

Иначе говоря, если V\ / V2 = а = const, то при Е^р / E^jjP - q(а) = const выполняется условие а^ /ст® = а-д(а). Таким образом, выполняются условия теоремы А.А.Ильюшина о простом нагружении, в соответствии с которой универсальная функция простого нагружения должна быть представлена в виде степенной функции Ф(е,) = As", где А, п - постоянные. Если универсальная функция Ф(е, ) отличается от степенной, то траектория нагружения может отличаться от прямолинейного луча, т.е. нагружение будет сложным. На рис. 12 приведены траектории напряжений и деформаций для ряда диаграмм с линейным упрочнением при стт = 200 МПа, бт = 0.001, Е = 2-105 МПа.

Рассмотрена краевая задача о нагружении квадратной пластины сосредоточенными силами (рис. 13а) при ¿ = 0.1 м, конечное значение нагрузки /" = 7500 кН.

а)

б)

X X , 1 л. * t *

Рис. 13. Квадратная пластина под действием сосредоточенных сил: а) расчетная схема пластины; б) КЭ расчетная схема

В силу симметрии, в расчете рассматривалась только заштрихованная на рис. 13а часть расчетной схемы, с заменой отброшенных частей соответствующими связями при разбиении равномерной сеткой (10 х 10) конечных элементов (рис. 136). Диаграмма простого нагружения для стали 12Х18Н10Т принималась в двух вариантах по формулам (14), (15) и формулам (18). Для варианта аппроксимации степенной функцией, функционалы пластичности соответствовали деформационной теории (Р-ЮN = Юр). Для диаграммы из прямолинейных участков с дугой эллипса расчет выполнен по трем теориям пластичности: теории упругопластических процессов; деформационной теории пластичности и теории пластического течения с изотропным упрочнением.

Для построения траекторий напряжений и деформаций выбраны характерные конечные элементы, в которых раньше других появляются неупругие деформации. На рис. 14 приведены соответствующие траектории для заштрихованного конечного элемента на рис. 136. На рис. 15, 16 изображены диаграмма деформирования и график зависимости вертикального перемещения точки приложения силы Р от величины этой силы.

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50

SbM Па

\ Ж 'у <1

Ч4 ST, МПа

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

Э[ 103

2,3, 4

■■ М

э 2-Ю3

¿3, J \1Па

S\,k (Па -4

-400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -60

5 3, МПа

s2,Mn а

-200 -150 -100 -50

100 50

э з-Ю3

1, ,-2,3,4

31 -1С 3

-70 -60 -50 -40 -30 -20 И0

Э3 •103

1 3,4

э2 1 о3

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5

Рис.14. Проекции траекторий напряжений и деформаций в характерном КЭ на координатные плоскости

400 о, МП 'а 2,5,4. 8000 7000 Р,кН

-2,3,4

( /

2001

0 ■ Э 103 1 J х,УОА

10 20 3 0 40

01 02

OS 0В

Рис. 15. Диаграмма о - Э. Рис. 16. График нагрузка - перемещение

1 - диаграмма в виде степенной функции по (18); 2 - сталь 12Х18Н10Тпо формулам (14), (15), теория упругопластических процессов; 3 то же, деформационная теория пластичности; 4 — то же, теория пластического течения

Отклонение реальной диаграммы деформирования от степенной функции привело к изменению траекторий по сравнению с прямолинейным лучом простого нагружения (рис. 14). Выбор диаграммы в виде степенной функции приводит к существенной погрешности определения перемещений (рис. 15, 16). Расчет по разным рабочим теориям пластичности дал видимое различие в траекториях напряжений, траектории деформаций практически совпали (рис. 14). Вместе с тем, графики нагрузка - характерное перемещение практически не зависят от варианта расчетной теории пластичности (рис. 16).

В этой же задаче рассмотрено влияние характера распределения нагрузки по поверхности контакта: равномерно-распределенное контактное давление и жесткий штамп (рис. 17). Равномерно-распределенное контактное давление задавалось силами, приложенными в соответствующих узлах конечно-элементной схемы (кривые 1-3 на рис. 17). Жесткий штамп (кривые 4-5 на рис. 17) моделировался конечными элементами, предел текучести а1 и модуль сдвига б которых принимались увеличенными в 1000 раз, по сравнению с материалом пластины.

Показанные на рис. 17 в приведенных величинах графики нагрузка - перемещение для трех вариантов рабочих теорий пластичности практически совпадают между собой для каждого из способов распределения нагрузки по поверхности пластины. При равномерном распределении силы Р по всей ширине

^ совпадает с диаграммой деформирова-

пластшгы зависимость

ния ст-Э (кривая 6 на рис. 17), где Р 1(21.) - среднее напряжение; средняя относительная деформация.

ии

300

2 —

р/Ц

р4|р4|

ЬО^! т т

Ч ш шт

6— Диаграмма а - Э.

Рис. 17. График нагрузка — перемещение для различных вариантов распределения нагрузки по поверхности контакта

Рис. 18

Для конечного элемента (рис. 18), в котором раньше других появляются пластические деформации, приведены траектории напряжений и деформаций (рис. 19) в случае непропорционального изменения контактного давления при передаче нагружи через жесткий штамп. Расчет по разным рабочим теориям пластичности дает некоторое различие в траекториях напряжений, при этом траектории деформаций между собой практически совпадают (рис. 19).

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50

-35 -30 -25 -20 И 5 -10

SUM Па

M S2, МПа

2 s1 ¿3 ,МПа

Sy, ил а

-50 И 00 ■Л 50 -200 150

100

-300 -250 -200 -150 -100 -50

2 S3, МПа

S2, МПа

^ -1С 3

M ,2,3

Э 2-Ю3

150

-30 -25 -20 -15

Vio3

. 1,2 3

3i -10 3

Эз-Ю3

,з

-103

-200 -150 -100 -50 0 -20 -15 -10 -5 0

Рис.19. Проекции траекторий напряжений и деформаций на координатные плоскости е КЭ под действием жесткого штампа 1 - сталь 12Х18Н10Тпо формулам (14), (15), теорияупругопластическихпроцессов; 2 —тоже, деформационная теория пластичности; 3 -тоже, теория пластического течения

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложен способ численного решения плоских краевых задач теории уп-ругопластических процессов на основе метода конечных элементов и соотношений между напряжениями и деформациями в форме гипотезы компланарности A.A. Ильюшина с аппроксимациями функционалов пластичности В.Г. Зуб-чанинова.

2. Разработана методика алгоритмического описания аппроксимаций функционалов пластичности В.Г. Зубчанинова. Учтена возможность изменения величины предела текучести (пропорциональности) в пространстве напряжений при сложном нагружении.

3. Разработан программный комплекс для ЭВМ по решению задачи теории упругопластических процессов методом конечных элементов для плоского напряженного состояния. В комплексе реализован пошаговый метод решения с учетом сложного нагружения в рамках гипотезы компланарности.

4. Установлено, что для упругопластических процессов, не имеющих участков активного нагружения после разгрузки, в аппроксимирующих функциях В.Г. Зубчанинова можно не учитывать изменение предела текучести. Для процесса активного нагружения после участка разгрузки (простой или сложной), предложенный способ учета изменения предела текучести дает расчетные результаты, согласующиеся с экспериментальными данными.

5. Решены краевые упругопластические задачи для случая плоского напряженного состояния, реализуемого в квадратной пластине при действии сосредоточенной силы, равномерно распределенной нагрузки и передаче нагрузки через жесткий штамп. Показано, что в случае использования аппроксимации реальной диаграммы деформирования материала в этих задачах имеет место сложное нагружение.

6. Влияние сложного нагружения в рассмотренных краевых задачах с неоднородным напряженно - деформированным состоянием для активных процессов нагружения незначительно. Расчеты по деформационной теории пластичности (квазипростые упругопластические процессы) практически совпадают с результатами, полученными с учетом сложного нагружения.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ, ОТРАЖАЮЩИХ ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

ДИССЕРТАЦИИ

1. Субботин С Л., Алексеев A.A. Численное решение плоской задачи теории упругопластических процессов методом конечных элементов // Сборник материалов VI международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». Тула: Издательство Тул-ГУ, 2005. С. 53-54.

2. Алексеев A.A. Алгоритм численного решения плоской задачи теории упругопластических процессов методом конечных элементов // Вестник Тверского государственного технического университета: Научный журнал. Тверь: ТГТУ, 2005. Вып. 7. С. 45-49.

3. Субботин СЛ., Алексеев A.A. Алгоритмические аппроксимации функционалов пластичности в краевых задачах теории упругопластических процессов // Сборник материалов VII международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». Тула: Издательство ТулГУ, 2006. С. 37-38.

4. Субботин С.Л., Алексеев A.A. Численный алгоритм решения плоских задач теории упругопластических процессов // Тезисы докладов VI Международного научного симпозиума «Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела». Тверь: ТГТУ, 2006. С. 55-56.

5. Субботин C.JI., Алексеев A.A. Программный комплекс для моделирования процессов сложного нагружения конструкционных материалов // Международный журнал «Программные продукты и системы» (научно-практическое приложение к международному журналу "Проблемы теории и практики управления" - по списку ведущих журналов и изданий 2003 - 2006 гг.). Тверь: НИИ «Центрпрограммсистем», 2006, № 4(76). С. 46-47.

6. Субботин С.Л., Алексеев A.A. Расчеты процессов циклического нагруже-ния-разгружения упрочняющихся материалов // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов международной научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ. 2006. С. 196-197.

Автор выражает большую благодарность своему научному руководителю, д.т.н., профессору каф. СМТУиП ТГТУ Субботину Сергею Львовичу за постоянную поддержку, внимание и ценные советы, которые помогли выполнить данную работу, а также коллективу Тверской научной школы механиков -прочнистов, и ее руководителю — заслуженному деятелю науки и техники Российской Федерации, д.т.н., профессору Зубчанинову Владимиру Георгиевичу.

Подписано к печати 30.01.07

Физ. печ. л. 1,5 Усл.печ.л. 1,4

Тираж 100 экз._Заказ № 14

Уч. изд. л. 1,31

Типография Тверского государственного технического университета. 170026, Тверь, наб. А. Никитина, 22

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата технических наук, Алексеев, Андрей Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА. ЦЕЛИ

РАБОТЫ И ЕЕ СОДЕРЖАНИЕ.

1.1. Этапы развития теории пластичности.

1.2. Теория упругопластических процессов. Гипотеза компланарности.

1.3. Численные методы решения краевых задач.

Введение диссертация по механике, на тему "Процессы сложного нагружения в плоских упругопластических краевых задачах"

при решении краевых задач теории пластичности, в расчет должнызакладываться физические соотношения, достоверно описываюш;ие свойстваматериалов. В настоящее время имеется достаточное количествоэкспериментальных данных о свойствах материалов при сложномнагружении и их физически достоверное описание в рамках гипотезыкомпланарности А.А.Ильюшина с помощью функций пластичностиВ.Г.Зубчанинова. Для получения достоверных расчетных результатов прирешении краевых задач при неупругих деформациях необходимоиспользовать численные методы решения. Здесь имеется ряд новыхактуальных вопросов, которые нужно исследовать. В частности, это вопросыпостроения вычислительного алгоритма, использующего соотношения междунапряжениями и деформациями в скоростях в соответствии с современнойматематической теорией упругопластических процессов, корректировкааппроксимаций функционалов пластичности для получения достоверныхрасчетных результатов.В большинстве программных комплексов по расчету конструкций запределом упругости не используется современная теорияупругопластических процессов. Решение задач, в которых учитываютсяэкспериментальные зависимости между напряжениями и деформациями присложном нагружении, наталкивается на трудности, связанные с достовернымописанием таких зависимостей. Это представляет собой самостоятельнуюзадачу теории пластичности даже в условиях однородного напряженнодеформированного состояния. При неоднородном ПДС краевых задач наоснове общих соотношений теории упругопластических процессов решеномало. Все это делает выбранную тему диссертации актуальной.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложен способ численного решения плоских краевых задач теории упругопластических процессов на основе метода конечных элементов и соотношений между напряжениями и деформациями в форме гипотезы компланарности А.А. Ильюшина с аппроксимациями функционалов пластичности В.Г. Зубчанинова.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Алексеев, Андрей Алексеевич, Тверь

1. Алексеев A.A. Алгоритм численного решения плоской задачи теории упругопластических процессов методом конечных элементов // Вестник Тверского государственного технического университета: Научный журнал. Тверь: ТГТУ, 2005. Вып. 7. С. 45-49.

2. Андреев Л. С. О проверке постулата изотропии // Прикладная механика, 1969, т. 15.- №7.- С. 122-125.

3. Андреев JI.C. О проверке законов пластичности в пространстве напряжений // Инж. журнал. МТТ, 1966, №2.- С. 97-102.

4. Бабамуратов К.Ш. Некоторые вопросы решения краевых задач пластичности при сложных многопараметрических нагружениях. // Вопросы вычислительной и прикладной математики, Ташкент, 1984, № 73.С. 3-15.

5. Бабамуратов К.Ш., Ильюшин A.A., Кабулов В.К. Метод СН-ЭВМ и его приложения к задачам теории пластичности. Ташкент:ФАН, 1987, 288 с.

6. Баженов В.А., Дащенко А.Ф., Коломиец Л.В., Оробей В.Ф., Сурьянинов Н.Г. Численные методы в механике. Одесса, 2005. 563 с.

7. Баженов В.Г., Рузанов А.И., Угодчиков А.Г. О численных методах и результатах решения нестационарных задач теории упругости и пластичности // Численные методы механики сплошной среды, 1985, т.16, №4, С. 129-149.

8. Бате К, Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. 447 с.

9. Безухое Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высшая школа, 1986. 512 с.

10. Бондарь В. С. Вариант теории пластичности при сложном нагружении // Устойчивость и пластичность в механике деформ. твердого тела. Тверь: Изд-во Тверского гос. техн. ун-та, 1999. С. 63-71.

11. Бондарь В. С. Неупругость. Варианты теории.М.: Физматлит, 2004. 144с

12. Бреббия К., Телес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 348 с.

13. Бриджмен П. Новейшие работы в области физики высоких давлений. М.: ИЛ, 1948.

14. Бурышкин МЛ., Гордеев В.Н. Эффективные методы и программы расчета на ЭВМ симметричных конструкций. Киев: Будивельник, 1984. 120 с.

15. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542с.

16. Васин Р.А, Ильюшин A.A. Об одном представлении законов упругости и пластичности в плоских задачах // Известия АН СССР. МТТ. 1983. №4. С. 114-118.

17. Васин P.A. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном нагружении. // Сб. Упругость и неупругость, вып.1, Изд-во МГУ, 1971. №1. С. 59-126.

18. Васин P.A. Об экспериментальном исследовании функционалов пластичности в теории упругопластических процессов // Пластичность и разрушение твердых тел.-М, 1988, С. 40-57.

19. Васин P.A. Определяющие соотношения теории пластичности. // Итоги науки и техники, Сер. Механика деформируемого твердого тела М.: ВИНИТИ, 1990, т.21. С. 3-75.

20. Васин P.A. Свойства функционалов пластичности у металлов, определяемые в экспериментах на двузвенных траекториях деформирования // Упругость и неупругость. М: МГУ, 1987. №5. С. 115-127.

21. Васин P.A., Давранов Ю., Шешенин C.B. Метод последовательных приближений для сложного нагружения в плоской задаче теории пластичности // Механика деформируемых сред. МГУ, 1985. С. 90-94.

22. Васин Р.А, Ленский B.C., Ленский Э.В. Динамические зависимости между напряжениями и деформациями. // Новое в зарубежной науке. Проблемы динамики упругопластических сред, М., 1975.

23. Васин P.A., Широв Р.И. Применение метода СН-ЭВМ к решению краевой задачи при простом нагружении. // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент, 1983, №70, с. 130-135.

24. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. 428 с.

25. Гарантов В.В., Зубчанинов В.Г., Охлопков Н.Л. Проверка физической достоверности гипотезы компланарности на многозвенных ломаных траекториях в пространстве напряжений // Современные проблемы прочности и пластичности. Тверь: Изд-во ТГТУ, 2001. С. 55-61.

26. Голованов А.И., Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механикедеформируемых твердых тел. Казань, 2001. 301 с.

27. Городецкий A.C., Здоренко B.C. Типовая проектирующая подсистема

28. ЛИРА для автоматизированного проектирования несущихстроительных конструкций. Сб.: Системы автоматизированногопроектирования объектов строительства. Вып.1,1982.

29. Дао Зуй Еик. Модификация соотношений упругопластическихпроцессов средней кривизны // Вестник Моск. ун-та, 1981. №5.1. С. 103-106.

30. Дао Зуй Вик. Экспериментальная проверка упрощенных вариантов теории пластичности // Вестник МГУ. Математика и мех., 1988. №1. С. 107-118.

31. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.

32. Зубчанинов В.Г. Проблемы математической теории пластичности // Проблемы прочности. 2000. №1. С.22-41.

33. Зубчанинов В.Г. Актуальные проблемы теории пластичности и устойчивости // Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела: Материалы 3 симп. Ч. 1. Тверь: ТвеПИ, 1992. С. 10-94.

34. Зубчанинов В Г. Гипотеза ортогональности в теории пластичности // Сб. трудов «Проблемы механики деформируемого твердого тела (к 70-летию академика РАН Н.Ф.Морозова)». С. Петербург: СПбГУ, 2002. С. 137-140.

35. Зубчанинов В.Г. К вопросу использования общей математической теории пластичности в теории устойчивости // Устойчивость в механике деформ. твердого тела. Калинин: Изд-во Калинин, ун-та, 1982. С. 100-115.

36. Зубчанинов В.Г. К вопросу опытной проверки физической достоверности частных теорий пластичности // Устойчивость и пластичность в МДТТ. Мат.Ш симпоз. ТвеПИ, 1992. 4.2. С. 105-122.

37. Зубчанинов В.Г. К основам общей математической теории пластичности // Упругость и неупругость. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2001. С. 139-146.

38. Зубчанинов В.Г. Математическая теория пластичности: Монография. Тверь: ТГТУ, 2002. 300с.

39. Зубчанинов В.Г. Механика сплошных деформируемых сред. Тверь: ТГТУ, 2000. 703с.

40. Зубчанинов В.Г. О некоторых фундаментальных идеях А. А. Ильюшина в теории устойчивости упругопластических систем // Проблемы механики деформ. тв. тела. Калинин: Изд-во КПИ, 1986. С. 9-16.

41. Зубчанинов В.Г. Об активных и пассивных процессах, полной и неполной пластичности при сложном нагружении // Проблемы нелинейной механики. Тула: ТулГУ, 2003. С. 164-177.

42. Зубчанинов В.Г. Об определяющих соотношениях теории упругопластических процессов // Прикл. мех., 1989. Т. 25. № 5. С. 3-12.

43. Зубчанинов В.Г. Об определяющих функциях процессов пластического деформирования // Устойчивость, пластичность, ползучесть при сложном нагружении: сб. научн. тр. Тверь: ТГТУ, 1998. С. 3-26.

44. Зубчанинов В.Г Определяющие соотношения общей теории пластичности // Устойчивость и пластичность при сложном нагружении: Межвуз. сб. научн. тр. Тверь: ТГТУ, 1994. С. 14-37.

45. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1990. 368с.

46. Зубчанинов В.Г Постулат локальной размерности образа процесса и определяющие соотношения в теории пластичности // Прикладная механика. 1998. Т. 34. №5. С. 86-97.

47. Зубчанинов В.Г. Постулат физической определенности // Устойчивость и пластичность в МДТТ. Мат. III симпоз. Тверь:ТвеПИ, 1993. Ч.З. С. 4-21.

48. Зубчанинов В.Г. Проблемы теории пластичности // Проблемы механики: сб. статей к 90-летию А.Ю.Ишлинского. М.: Физматлит, 2003. С. 394-405.

49. Зубчанинов В.Г. Процессы и состояния полного и неполного пластического деформирования состояния материалов при сложном нагружении // Механика материалов и прочность конструкций. Труды СПбГПУ. №489, 2004. С. 141-152.

50. Зубчанинов В.Г. Сложное нагружение при чистом формоизменении // Проблемы механики неупругих деформаций. М.: Физматлит, 2001.С.143-149.

51. Зубчанинов В.Г1 Устойчивость и выпучивание упругопластических систем при сложном нагружении // Устойчивость в механике деформируемого твердого тела: Материалы 2 Всес. симп.: КГУ, 1986. С. 10-54.

52. Зубчанинов В.Г. Устойчивость и пластичность. Кн.З. Доклады и выступления. Тверь: ТвГТУ, 2006. 400 с.

53. Зубчанинов В.Г. Экспериментальное исследование и обоснование теории упругопластических процессов // Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела: Материалы 3 симп. Ч. 1. Тверь: ТвеПИ, 1992. С. 94-159.

54. Зубчанинов В.Г., Иванов Д.Е. Локально простые процессы деформирования // Устойчивость в механике деформ. тв. тела. Калинин: Изд-во Калинин, ун-та, 1987. С. 6-11.

55. Зубчанинов В.Г., Охлопков H.JI. Исследование процессов сложного деформирования материалов на плоских криволинейных траекториях // Проблемы пластичности в технологии. Тез. докл. международн. науч.-техн. конф. Орел: ОГТУ, 1995. С. 15-16.

56. Зубчанинов В.Г., Охлопков H.JI. О некоторых особенностях упрочненияконструкционных сталей при деформировании по замкнутым криволинейным траекториям // Проблемы прочности, 1996. №5. С.17-22.

57. Зубчанинов В.Г., Охлопков H.JI. Пластическое деформирование стали по замкнутым криволинейным траекториям // Проблемы прочности, 1996. №4. С. 19-26.

58. Зубчанинов В Г., Охлопков Н.Л., Гарантов В.В. Экспериментальное обоснование трехчленных определяющих соотношений теории процессов для пространственных траекторий напряжения // Современные проблемы механики и прикладной математики. Воронеж: ВГУ, 2002.

59. Зубчанинов В.Г., Охлопков H.JI., Гарантов В.В. Расчет процессов сложного деформирования материалов по многозвенным ломаным траекториям // Известия вузов. Строительство, 1998. № 9. С. 9-15.

60. Зубчанинов В.Г., Охлопков Н.Л., Гарантов В.В. Экспериментальная пластичность. Книга 1. Процессы сложного деформирования. Тверь: ТГТУ, 2003. 172 с. Книга 2. Процессы сложного нагружения. Тверь: ТГТУ, 2004. 184 с.

61. Зубчанинов В.Г., Охлопков И Л., Субботин СЛ. Устойчивость тонкостенных элементов конструкций за пределом упругости с учетом сложного нагружения // Изв. вузов. Стр-во, 1995. № 11. С. 26-32.

62. Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 231 с.

63. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. М.: Наука, 1971.

64. Ильюшин А. А. Связь между теорией Сен-Венана-Леви-Мизеса и теорией малых упругопластических деформаций // Прикл. матем. и механика. 1945. Т. 9. №3. С. 207-218.

65. Ильюшин A.A. Вопросы общей теории пластичности // Прикл. матем. и механика. 1960. Т. 24. №3. С. 399-411.

66. Ильюшин A.A. Метод СН-ЭВМ в теории пластичности. // Проблемы прикладной математики и механики. М.: Наука, 1971. С. 166-178.81 . Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310с.

67. Ильюшин A.A. Некоторые вопросы теории пластических деформаций // Приклад, мат. и мех., 1943. Т.7. №4. С. 245-272.

68. Ильюшин A.A. О приращении пластической деформации и поверхности текучести // ПММ., 1960. 24, №4. С. 663-666.

69. Ильюшин A.A. О связи между напряжениями и малыми деформациямив механике сплошных сред // Прикл. матем. и механика. 1954. Т. 18. №6. С. 641-666.

70. Ильюшин A.A. Об одной модели, поясняющей аппроксимационный метод СН-ЭВМ в теории пластичности. // Упругость и неупругость. -М.: Изд-во МГУ, 1971, вып.1. С. 52-58.

71. Ильюшин A.A. Об основах общей математической теории пластичности // Вопросы теории пластичности. М.: Изд-во АН СССР, 1961. С.3-29.

72. Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории. М: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.

73. Ильюшин A.A. Пластичность. Упругопластические деформации. М.: Гостехиздат, 1948. 376 с.

74. Ильюшин A.A., Ленский B.C. О соотношениях и методах современной теории пластичности. // Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. С. 240-255.

75. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением // Украинский математич. журнал, 1954, №6. С. 314-325.

76. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2003. 704с.

77. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности, учитывающая эффект Баушингера // ДАН СССР, 1957, т.117. Вып.4. С. 586-588.

78. Карпов В.В., Коробейников A.B. Математические модели задач строительного профиля и численные методы их исследования. М.: СПб., 1999. 188 с.

79. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Издательство Московского университета, 1979. 207с.

80. Клюшников В.Д. Теория пластичности. Современное состояние и перспективы // Изв. РАН. МТТ. 1993. №2. С. 102-116.

81. Коровин ИМ. Экспериментальное исследование зависимости напряжение-деформация при сложном нагружении по траектории с одной точкой излома // Инж. журнал, 1964. т.4. вып.З. С. 592-600.

82. Коровин ИМ. Некоторые вопросы пластичности материала при нагружении с точкой излома // Изв. АН СССР. МТТ, 1969. №3. С. 152-158.

83. Кравчук A.C. О методе последовательных приближений в теории пластичности при сложном нагружении. // Изв. АН СССР. МТТ, 1969. №4. С.188-191.

84. Кравчук A.C. О теории пластичности для траекторий деформаций средней кривизны // Упругость и неупругость. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971. №2. С. 91-100.

85. Лебедев A.A., Ковалъчук Б.И., Кульчицкий Н.М., Хакимов А.Ф. Экспериментальное исследование процессов деформирования стали по двузвенным траекториям //Проблемы прочности, 1988. № 3. С. 7-10.

86. Леей М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых телах за пределом упругости // Теория пластичности. Изд-во иностр. лит-ры, 1948. С. 20-23.

87. Ленский B.C. Гипотеза локальной определенности в теории пластичности // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1962. №5. С. 154-158.

88. Ленский B.C. Современные вопросы и задачи пластичности в теоретическом и прикладном аспектах // Упругость и неупругость. М.:Изд-во МГУ, 1978. вып.5. С. 65-96

89. Ленский B.C. Экспериментальная проверка основных постулатов общей теории упругопластических деформаций // Вопросы теории пластичности. М.: Изд-во АН СССР, 1961. С. 58-82.

90. Ленский B.C., Машков ИД. Проверка законов пластичности в трехмерном пространстве девиатора деформаций // Упругость и неупругость. М:Изд-во МГУ, 1971. Вып.2. С. 158-166.

91. Лоде В. Влияние среднего главного напряжения на текучесть металлов //Теория пластичности. М: ИЛ, 1948. С. 168-205.

92. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 399с.

93. Малый В.И. О подобии векторных свойств материалов в упругопластических процессах// Прикл. механика. 1978. Т. 14. №3. С. 19-27.

94. Мизес Р. Механика твердых тел в пластическом деформированном состоянии // Теория пластичности: Сборник статей. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. С.57-69.

95. Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. Киев: Наукова Думка, 1989. 272с.

96. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. // Пер. с англ. под ред. Г.С. Шапиро. М.: Изд-во иностр. Лит., 1954, т.1. М.: Мир, т.2, 1969. 840 с.

97. Новожилов В.В. Вопросы механики сплошной среды. Л.: Судостроение, 1989. 397с.

98. ОденДж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. 464с.

99. Одквист Ф. Упрочнение стали и подобных ей материалов // Теория пластичности. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1948. С. 283-290.

100. Охаши И., Токуда М., Курита И., Сузуки Т. Некоторые экспериментальные данные об общем законе пластичности Ильюшина // Изв. АН СССР, МДТТ, 1981. №6. С. 53-64.

101. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995, 366 с.

102. Поздеев A.A., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации. М.: Наука, 1986. 232 с.

103. Прагер В. Упрочнение металла при сложном напряженном состоянии // Теория пластичности. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1948. С. 325-335.

104. Прандтль Л. О твердости пластических материалов и сопротивлении резанию // Теория пластичности. М.: Изд-во ИЛ, 1948. С. 70-79.

105. Работное Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744с.

106. Peucc Е. Учет упругой деформации в теории пластичности // Теория пластичности. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1948. С. 206-222.

107. Розин J1.A. Метод конечных элементов в применении к упругим средам. М.: Высшая школа, 1973. 216 с.

108. Рош М,, Эйхингер А. Опыты, связанные с выявлением вопроса об опасности разрушения // Теория пластичности. М: ИЛ,1948. С. 157-167.

109. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987. 459 с.

110. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 656 с.

111. СегерлиндЛ. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.

112. Сен-Венан Е. Об установлении уравнений внутренних движений , возникающих в твердых пластических телах за пределом упругости // Теория пластичности. Сборник статей. М.: Изд.-во иностранной литературы. 1948. С.11-19.

113. Синицын С.Б. Строительная механика в методе конечных элементов стержневых систем. М.: Изд-во АСВ, 2002.320 с.

114. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. 605 с.

115. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 454 с.

116. Субботин С.Л. Устойчивость сжатых пластин за пределом упругости при сложном нагружении в условиях ползучести: дисс. .докт. техн. наук. Тверь: ТГТУ, 2003. 219 с.

117. Субботин С.Л., Алексеев A.A. Расчеты процессов циклического нагружения-разгружения упрочняющихся материалов // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов междунар. науч. конференции. Тула: Изд-во ТулГУ. 2006. С. 196-198.

118. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1990. 318с.

119. Тутышкин Н.Д., Гвоздев А.Е., Трегубое В.И., Полтавец Ю.В., Селедкин Е.М., Пустовгар A.C. Комплексные задачи теории пластичности. Тульский государственный университет, 2001. 377с.

120. Хаар А., Карман Т. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах // Теория пластичности. М.: Изд-во ИЛ, 1948. С. 41-56.

121. Хечумов P.A., Kenrmep X., Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 1994. 353с.

122. Христианович С.А. Деформация упрочняющегося пластического материала //Изв. АН СССР. МТТ. 1974. №2. С. 148-174.

123. Христианович С.А., Шемякин Е.И. О плоской деформации пластического материала при сложном нагружении // Изв. АН СССР. МТТ. 1969. №5. С. 138-149.

124. Шемякин Е.И. О сложном нагружении // Упругость и неупругость. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2001. С. 124-132.

125. Шмидт Р. О зависимостях между напряжениями и деформациями в области упрочнения // Теория пластичности. М.: Иностранная литература, 1948. С. 231-256.

126. Argyris J.H., Kelsey S. Energy Theorems and Structural Analysis // Aircraft Engineering, Vols. 26,1955

127. Belytschko Т., Liu W. К., Moran. B. Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures /J. Wiley & Sons, New York, 2000, 600pp.

128. Clough R. W. The Finite Method in Plane Stress Analysis // Proceedings 2nd A.S.C.E Conference on Electronic Computation, 1960. P. 345-378.

129. CourantR. Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations // Bull. Amer. Math. Soc. Vol. 49,1943. P. 1-43.

130. Felippa C. Introduction to Finite Element Methods, University of Colorado Press, 2002.

131. Hill R. Mathematics Theory of Plasticity. Oxford: Clarendon Pr., 1950, 97 p.

132. Huges T.J.R., Pister K.S., Taylor R.L. Implicit-explicit finite elements in nonlinear transient analysis. //Comput. Meth. Appl. Mech. Eng., 1979, v. 1718, №1, p.159-182.

133. Melosh R.J. Basis for Derivation of Matrices for the Direct Stiffness method // J. Am. Inst. For Aeronautics and Astronautics, Vol. 1,1965. P 1631-1637.

134. Ohashi Y., Tanaka E. Plastic behavior of mild steel along orthogonal triliner strain trajectory in three-demensional vector space of strain deviator// Transactions of the ASME, oct., 1981&-v.l03.-N4.-p.287-292.

135. Prager W. Recent developments in the mathematical theory of plasticity // Journal Appl. Phys. 1949. V. 20. P. 235-241.

136. Prager W. The stress-strain laws of the mathematical theory of plasticity a survey of recent progress // J. Appl. Mech. 1948. V. 15. №3. P. 226-233.

137. Ritz Walter. Uber eine Neue Methode zur Losung gewisser Variations Probleme der mathematischen Physik // J.f.d Reine und angewande Math., H.1, 1908.

138. Szabo B.A., Lee G.K. Derivation of Stiffness Matrices for problems in Plain Elasticity by Galerkin's Method // Intern. J. of Nomerical Methods in Engineering, № 1969. P. 301-310.

139. Turner M.J., Clouhg R.W., Martin H.C., Topp L.J. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Stuctures // Journal of Aeronautical Science, Vol. 23, 1956. P. 805-824.

140. Wilson E.L, Nickell R.E. Application of the Finite Element to Heat Conduction Analysis // Nuclear Engineering and Design, № 4,1966. P. 276-286.

141. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. Finite Element Method: Volumes 1, 2, 5th Edition London, 2000, 712pp.

142. Zienkiewicz O.K., Cheung Y.K. Finite Elements in the Solution of Field Problems // The Engineer. 1965. P 507-510.