Определение напряженно-деформированного состояния упругопластических стержневых систем до достижения пластического разрушения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.03 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

1. ОБЗОР МЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В ИДЕАЛЬНО

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ.II

1.1. Развитие методики определения перемещений при однократном нагружении .II

1.2. Особенности определения перемещений при повторно-переменном и подвижном нагружении

1.3. Предпосылки для построения единой методики определения перемещений при различных видах нагружения

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕМ И МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ВИДАХ НАГРУЖЕНИЯ.

2.1. Основные допущения, понятия и зависимости

2.2. Исследование свойств математических моделей, построенных на основе экстремальных энергетических принципов

2.3. Методика и алгоритмы определения действительных пределов перемещений

2.3.1. Однократное нагружение

2.3.2. Повторно-переменное нагружение

2.3.3. Подвижное нагружение

3. АНАЛИЗ ПРИМЕРОВ РАСЧЕТА.

3.1. Однократное нагружение

3.2. Повторно-переменное нагружение

3.3. Подвижное нагружение

4. ПРОГРАММЫ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕВЫХ ИЗГИБАЕМЫХ СИСТЕМ.

4.1. Алгоритм решения задачи выпуклого программирования

4.2. Краткое описание программы PAT для определения перемещений при различных видах на-гружения

В материалах ХХУ1 съезда [I] и особенно в постановлениях декабрьского (1983 г.) Пленума ЦК КПСС [2] намечается обеспечение дальнейшего роста эффективности экономики • путем ускорения научно-технического прогресса, разработки и осуществления конкретных мер по снижению расхода сырья, материалов, снижения себестоимости продукции. Большие запасы экономии в проектировании и производстве строительных конструкций кроются в рациональном распределении конструкционного материала сооружения, в оптимальном подборе соотношений между прочностными, жесткостными и другими параметрами отдельных элементов конструкций. Учет этих факторов приводит к уменьшению объема элементов системы, что в свою очередь снижает стоимость конструкций и сооружений в целом.

Экономичность конструкций достигается учетом свойств материалов за пределом упругости и приближением расчетных схем к действительным условиям работы. Учет пластических свойств конструкционных материалов позволяет более полно определить резервы несущей способности сооружений и является объектом многих исследований. В настоящее время достаточно разработанным методом расчета упругопластических конструкций является метод предельного равновесия, основанный на идеально пластической модели материала и концепции точечного пластического шарнира (на идеализации формы сечения).

Однако метод предельного равновесия не пригоден для расчета конструкций по состояниям, отличным от состояния, соответствующего пластическому разрушению. Тем более результаты расчета систем по критерию пластического разрушения не всегда являются решающими, так как эксплуатационная способность может быть потеряна до наступления пластического разрушения вследствие чрезмерного развития пластических деформаций или перемещений. Таким образом, вопрос определения параметров деформированного состояния при решении упругопластических систем становится чрезвычайно важным, так как по этим параметрам можно судить о пригодности конструкции к эксплуатации.

Большинство строительных конструкций находится под воздействием нагрузок, меняющихся как по величине и направлению, так и по месту приложения. Известно, что деформированное состояние упругопластических систем существенно зависит от последовательности приложения нагрузок. В настоящее время на основе идеально упругопластической модели материала создана теория приспособляемости, позволяющая определить пределы изменяющейся нагрузки. Однако вопрос о деформированном состоянии приспособившейся системы, несмотря на многочисленность опубликованных работ, пока исследован недостаточно.

Анализ опубликованных в литературе методов определения перемещений в идеально упругопластических системах свидетельствует о том, что в настоящее время приемлемых методов определения перемещений не существует. В обзоре литературы показано, что существующие методы либо не способны определить действительных пределов перемещений даже в рамках принятых допущений, либо определение их сопровождается неоправданно большими вычислительными затратами.

Целью настоящей работы является разработка математических моделей и методики для определения перемещений в идеально упругопластических плоских стержневых изгибаемых системах. Исследования относятся к конструкциям, подверженным действию однократного, повторно-переменного и подвижного нагружений. В работе рассматриваются вопросы учета разгрузки и влияния истории нагру-жения.

Новизна заключается в следующем: впервые доказаны теоремы о свойствах задачи приспособляемости, на основе которых разработана единая методика, алгоритмы и программы определения перемещений в идеально упругопластических системах для различных видов нагружения. Методикой учитывается влияние разгрузки при однократном нагружении, влияние истории нагружения при повторно-переменном нагружении, а также рассматриваются вопросы рациональности вычислений при подвижном нагружении.

В данной работе будут определяться перемещения идеально упругопластических систем при действии однократного, повторно-переменного и подвижного квазистатических нагружений. За основу расчета ввиду простоты построения и точности реализации принята математическая модель задачи приспособляемости в кинематической формулировке [з], которая для отличия от общеизвестной формулировки кинематической теоремы Койтера в дальнейшем именуется принципом максимума дополнительной работы в условиях приспособляемости. Применение этой модели обеспечивает максимальное использование возможностей ЭВМ, вследствие чего доступным является решение сложнейших задач при минимальном объеме немеханизированных подготовительных операций по составлению алгоритмов и программ вычислений.

В первой главе работы дан обзор методов определения перемещений при различных видах нагружения, проведено сравнение методов по точности результатов расчета и трудоемкости реализации. Анализируются возможности построения единой методики определения перемещений при различных видах нагружения на основе экстремальных энергетических принципов.

Во второй главе приведены основные допущения, при существовании которых действительны результаты расчета по предлагаемой методике; определены понятия и выведены основные зависимости, характеризующие напряженно-деформированное состояние идеально упругопластической системы. Проведены также исследования свойств принципа максимума дополнительной работы в условиях приспособляемости. Выводы исследований сформулированы в виде двух теорем. Первая указывает на связь между результатом решения задачи, основанной на принципе максимума дополнительной работы, и программой нагружения, а вторая позволяет определить место действительного предела перемещения. Доказанные теоремы в дальнейшем являются основой для построения алгоритмов определения перемещений. Показано, что и подготовка исходных данных, и определение налряжен-но-деформированного состояния не имеют принципиальных различий для различных видов нагружения, поэтому алгоритм определения перемещений для всех видов нагружения рассматриваются в одном подразделе. Однократное нагружение особо не выделяется, так как оно не всегда обеспечивает условия простого нагружения [4]. Поэтому анализ решений при однократном нагружении необходим, как и при других видах нагружения. Однако следует отметить, что разработанная методика учитывает ту дополнительную информацию, которая свойственная каждому конкретному виду нагружения.

В третьей главе приведен анализ примеров решения при различных видах нагружения согласно разработанным во второй главе алгоритмам. Рассмотрены особенности определения перемещений в случае разгрузки при однократном нагружении, методика определения перемещений при повторно-переменном нагружении в зависимости от исходных требований, а также примеры действия подвижной нагрузки.

В четвертой главе дан алгоритм решения задачи выпуклого программирования, являющейся основной задачей определения перемещений, когда в основу решения положены экстремальные энергетические принципы. Вкратце приводится описание программ определения перемещений при различных видах нагружения.

На защиту выносятся: математические модели и методика определения параметров напряженно-деформированного состояния идеально упругопластических систем; алгоритмы и программа для ЭВМ для определения перемещений в идеально упругопластических плоских стержневых изгибаемых системах при различных видах нагружения.

Заключительные выводы представлены в конце работы.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

А] - матрица коэффициентов уравнений равновесия

A] - матрица коэффициентов геометрических уравнений

B] - матрица податливости системы [£] - единичная матрица - функция Лагранжа Р - вектор внешней нагрузки

Г* - вектор верхних пределов повторно-переменной нагрузки Г - вектор нижних пределов повторно-переменной нагрузки Г0 - параметр предельной нагрузки ) - вектор-функции^текучести [/( )] ~ матрица градиентов вектор-функции текучести 7 - множество

М0 - вектор предельных изгибающих моментов М - вектор действительных изгибающих моментов Ме - вектор упругих изгибающих моментов М^,Ме ~ векторы экстремальных упругих изгибающих моментов Мг - вектор остаточных изгибающих моментов т - степень свободы дискретной системы, число составляющих обобщенных векторов нагрузки и перемещений п - число составляющих обобщенных векторов усилий и деформаций I - переменный индекс у - переменный индекс ( - длина - вектор деформаций дискретной системы

- вектор деформаций упругого решения

- вектор остаточных деформаций о - вектор остаточных упругих деформаций

Ц,гр - вектор остаточных пластических деформаций 5 - вектор действительных усилий <50 - вектор предельных усилий 5е - вектор усилий упругого решения

- вектор усилий упругого решения от ¿' -го сочетания нагрузки

5- экстремальные вектора усилий упругого решения от I -го сочетания нагрузки 5Г - вектор остаточных усилий и - вектор перемещений ие - вектор перемещений упругого решения ие[ • ~ экстремальные вектора перемещений упругого решения от I -го сочетания нагрузки иг - вектор остаточных перемещений V/ - работа внешних сил [о(] - матрица влияния усилий упругого решения [0(1] - матрица влияния упругого решения от I -го сочетания нагрузки о^у - вектор матрицы влияния [<*,] X - вектор множителей

Л4 - векторы множителей условий текучести для I -го сочетания нагрузки Х\Хс ~ векторы множителей условий текучести для экстремальных усилий при I - м сочетании нагрузки

I. ОБЗОР МЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В ИДЕАЛЬНО УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

В настоящей главе дан обзор и оценка работ, посвященных определению перемещений при различных видах нагружения. В обзоре, как и в данной работе, рассматриваются три вида нагружения: однократное, повторно-переменное и подвижное.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе исследуются вопросы определения характеристик напряженно-деформированного состояния плоских стержневых изгибаемых систем, подверженных действию однократного, повторно-переменного или подвижного нагружений. На основе известных экстремальных энергетических принципов и впервые в работе доказанных теорем построена методика определения перемещений в идеально упругопластических системах при различных видах нагружения.

Проведенные исследования позволяют сделать следующие основные заключительные выводы.

1. Из проведенного анализа работ, посвященных расчету систем, работающих за пределом упругости, следует, что существующим методам определения характеристик напряженно-деформирован -ного состояния в условиях приспособляемости присущ ряд недостатков. Характеристики напряженно-деформированного состояния, определяемые на основании большинства методов, оказываются слишком завышенными при неизвестной степени завышения, зависящей от факторов, трудно поддающихся анализу. Более точные методы являются настолько трудоемкими, что позволяют рассматривать лишь простейшие конструкции. Это обуславливает необходимость дальнейшего развития методов расчета.

2. Применение экстремальных энергетических принципов для определения характеристик деформированного состояния в опубликованной литературе обосновано только для простого нагружения, которое встречается лишь в простейших строительных конструкциях. Доказанные новые теоремы задачи приспособляемости о максимуме дополнительной работы позволяют применять математические модели, построенные на основе экстремальных энергетических принципов, и для определения характеристик напряженно-деформированного состояния при сложном нагружении, являющемся основным видом нагру-жения. Выводы доказанных теорем позволяют значительную часть вычислений проводить при несложном упругом анализе исходных данных.

3. Разработанные математические модели и методика определения перемещений при однократном нагружении позволяет учесть возможные случаи разгрузки, влияние которой в опубликованных работах обычно не учитывается. Однако неучет этого факта необоснованно уменьшает действительную жесткость исследуемой системы.

4. Определение перемещений при повторно-переменном нагружении является сложной задачей, так как перемещения существенно зависят от истории нагружения, которая в этом случае обычно не известна. Разработанная методика позволяет при минимальном количестве вычислений определить такие пределы перемещений, которые при некоторой программе нагружения могут быть достигнуты, но при любой из возможных историй нагружения не будут превзойдены. Минимальность вычислений обеспечивается возможностью несложным анализом выявить необходимые экстремальные комбинации нагружения, вследствие чего отпадает необходимость громоздкого исследования всевозможных комбинаций нагружения.

5. Разработанная методика определения перемещений при действии подвижной нагрузки позволяет производить расчет в зависимости от особенностей исследуемой системы и характера внешней нагрузки. Выявленные признаки возможности закрытия пластических шарниров позволяют после несложного анализа исходных данных значительно сократить объем вычислений при отсутствии разгрузки.

6. Построенные математические модели и методика определения перемещений стержневых плоских изгибаемых систем, находящихся под воздействием различных видов нагружения, удобны для peaлизации на ЭВМ. Это подтверждается разработанной программой для решения конкретных примеров определения перемещений в балках и плоских рамах.

Предлагаемые модели и методика позволяют не только определить напряженно-деформированное состояние идеально упругоплас-тических систем, необходимое как при проектировании, так и при эксплуатации конструкций, но является начальным этапом более сложных расчетов, например, при оптимизации систем с учетом жесткостных ограничений.

1. Основные направления экономического и социального развития СССР на 1981-1985 годы и на период до 1990 года. В кн.: Материалы ХХУ1 съезда КПСС. - М.: Политиздат, 1981, с.131-205.

2. О проектах государственного плана экономического и социального развития СССР и государственного бюджета СССР на 1984 год. В кн.: Материалы Пленума Центрального Комитета КПСС, 2627 декабря 1983 г. - М.: Политиздат, 1984, с.25-30.

3. Ч и р а с А. А. Математические модели анализа и оптимизации упругопластических систем. Вильнюс: Мокслас, 1982. -112 с.

4. И л ь ю ш и н А. А. Пластичность. М.: Гостехтеориз-дат, 1948. - 376 с.

5. Безухов Н. И. Универсальные формулы для определения перемещений в балках переменного сечения. Труды МАДИ, вып. 3, М., 1936, с.27-34.

6. Безухов Н. И. Основы теории сооружений, материал которых не следует закону Гука. Труды МАДИ, вып.4, М., 1936, с.53-59.

7. Жудин Н. Д. Деформации стальных неразрезных балок в упругопластической стадии при подвижной нагрузке. Сборник трудов ИСМ АН УССР, 1953, № 17, с.57-70.

8. Виноградов А. И. Об определении упругопластических перемещений стержней переменного сечения. Труды ХИИТ, вып.ХХУ1, 1956, М., с.5-38.

9. В и н о г р а д о в А. И. К вопросу об определении упругопластических перемещений стержней переменного сечения. -Труды ХИИТ, вып.XI, 1960, Харьков, с.71-88.

10. Васильев В. Г. Об остаточных прогибах в стержневых системах за пределами упругости. Труды ХИИТ, вып.ХХУ1, 1956, М., с.213-234.

11. Поспелов А. Д. Приложение метода упругих решений к расчету упругопластических деформаций балок. — В сб.: Расчеты на прочность, вып.2, М.: Машгиз, 1958, с.18-23.

12. Гарпф С. И. Определение упругопластических перемещений стальных стержней с помощью безразмерных характеристик.-В сб.: Строительство, № I, I960, М., с.21-29. Науч. доклады высшей школы.

13. Гарпф С. И. Применение безразмерных переменных характеристик к определению упругопластических перемещений в стальных двутавровых балках. Труды Карагандинского угольного института, вып.5, I960, Углеиздат, с.107-115.

14. Гарпф С. И. Расчет неразрезных балок и определение перемещений в них за пределом упругости с помощью безразмерных характеристик. Известия вузов. Строительство и архитектура, 1962, № 6, с.16-29.

15. H а б и к а н о в а М. В. К вопросу определения деформаций перекрытия за пределом упругости. Труды Калининградского технологического института рыбной промышленности и хозяйства, 1963, вып.18, с.67-70.

16. Gheorghin Alx, Pakoste С. Estabiliss-ment direct de la succesion des rotules plastiques pour des structures soumisses a des charges proportionnelles, Rev.roumaine sci.techn. ser. mec. appl., 1966, 11. Ho 4, 977-995.

17. H и л Б. Г. Расчет конструкций с учетом пластических свойств материалов (пер.с англ.) М.: Госстройиздат,1961.-315с.

18. H е у m a n J. On the Estimation of Deflections in Elastic-Plastic Framed Structures, Proceedings, Institution of Civil Enprs., London, England, Paper Uo 6520, vol.19, May,1961,p.p.39-60.

19. X о д ж Ф. Г. Расчет конструкций с учетом пластических деформаций (пер. с англ.) М.: Машгиз, 1963. - 380 с.

20. Баронас Р. П., Чирас А. А. Некоторые вопросы применения энергетических принципов для определения перемещений упругопластических стержневых систем. Литовский механический сборник, 1968, № I, с.100-111.

21. Безухов Н.И. О некоторых обобщениях основных теорем строительной механики стержневых систем на двумерные, трехмерные, линейные и нелинейные, динамические и реологические задачи. В сб.: Строительная механика. - М.: Стройиздат, 1966, с.49-51.

22. Аргирос Дк. Энергетические теоремы и расчет конструкций. В кн.: Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем. - Л.: Стройиздат, 1961, с.83-97.

23. Чирас А. А. Определение перемещений при разрушении в пластических рамах. В кн.: Строительная механика, Вильнюс, 1965, с 32-44.

24. Чирас А. А. Методы линейного программирования при расчете упругопластических систем. Л.: Стройиздат, 1969.198 с.

25. Ч и ж а с А. П., Чирас А. А. Исследование уп-ругопластического поведения балки с затяжками. В кн.: Строительная механика, Вильнюс, 1966, с.42-60.

26. Баронас Р. П., Чирас А. А. Алгоритм определения оптимальных соотношений жесткостей стержневой системы.-В кн.: Строительная механика, Вильнюс, 1966, с.61-67.

27. Баронас Р. П., Чирас А. А. Двойственные задачи определения деформаций упругопластических одномерных систем. Литовский механический сборник, 1967, № I, с.61-75.

28. Ч и р а с А. А. , Г и л и с Г. К. Экспериментальное изучение перемещений при разрушении упругопластических балок.

29. В кн.: Строительная механика, Вильнюс, 1965, с.45-51.

30. Баронас Р. П. , Чирас А. А. Двойственные задачи определения деформаций упругопластических одномерных систем. Литовский механический сборник, 1967, № I, с.61-75 и 1968, № 1(2), с.100-121.

31. Баронас Р. П. Вырожденность в задачах определения перемещений в упругопластических стержневых системах. -Литовский механический сборник, 1969, № 2(5), с.61-68.

32. М а й е р Д. Квадратичное программирование и теория упруго идеально-пластических конструкций. Механика (сб.переводов), М.: Мир, 1969, 118, с.112-128.

33. Любаров Б. И. Расчет балок и рам из упругоплас-тического материала при действии постоянных и временных нагрузок. Исследования по теории сооружений, т.XXIII, М., 1977,с.143-152.

34. Ж у д и н Н. Д. Несущая способность стальных балок при подвижной нагрузке. Сборник трудов ИСМ АН УССР, 1950,14, с.46-67.

35. Жудин Н. Д. Работа стальных неразрезных балок в упругопластической стадии при повторно-переменной и подвижной нагрузках. Сборник трудов ИСМ АН УССР, 1954, № 19, с.5-19.

36. Ж у д и н Н. Д. Работа стальных неразрезных балок в упругопластической стадии при подвижной нагрузке. Сборниктрудов ИСМ АН УССР, 1953, № 18, с.76-102.

37. Чернов H.JI. Об упругопластических перемещениях двутавровых балок при подвижных нагружениях. Прикладная механика, т.Ш, вып. 8, 1967, с.50-59.

38. Чернов Н. Л. Теоретическое и экспериментальное исследование прогибов асимметричных двутавровых балок при подвижных нагрузках с учетом самоупрочнения и касательных напряжений. Известия вузов. Строительство и архитектура, 1968, № 2, с.27-33.

39. Чернов Н. Л. Исследование приспособляемости неразрезных балок при подвижных нагрузках. Известия вузов. Строительство и архитектура, 1970, № 6, с.23-29.

40. Чернов Н. Л. Упруго-пластический изгиб двутаврового сечения с учетом касательных и местных сжимающих напряжений при подвижных нагрузках. Известия вузов. Строительство и архитектура, 1972, № 8, с.3-9.

41. Чернов Н. Л. О постепенном развитии пластических деформаций в стальных балках при подвижных нагрузках. Известия вузов. Строительство и архитектура, 1973, № I, с.3-7.

42. Чернов Н. Л. Расчет стальных неразрезных балокпо ограниченным пластическим деформациям. Известия вузов. Строительство и архитектура, 1980, № 2, с.68-71.

43. Кузнецов Б. Н. Определение перемещений неразрезной двухпролетной балки при повторно-переменном нагружении.-Строительная механика и расчет сооружений, 1976, № 5, с.38-41.

44. Кузнецов Б. Н. Приспособляемость статически определимых стержней при различных сочетаниях нагрузок. Строительная механика и расчет сооружений, 1971, № I, с.21-23.

45. Кузнецов Б. Н. Определение прогибов балки из упруго-пластического материала при подвижной сосредоточенной нагрузке. В кн.: Теория и методы расчета строительных конструкций. Труды ЦНИИСК, вып.35, 1974, с.132-137.

46. Кузнецов Б. Н. Численный метод расчета рам как нелинейных систем при повторно-переменном нагружении. Строительная механика и расчет сооружений, 1978, № 3, с.30-33.

47. Щербина Н. И. Определение прогибов в стальных балках при подвижных нагрузках в области малых пластических деформаций. Известия вузов. Строительство и архитектура, 1978, № 4, с.14-19.

48. Щербина Н. И. Экспериментальное исследование работы стальных балок на подвижные нагрузки при ограниченных деформациях. Известия вузов. Строительство и архитектура, 1980, № 4, с.22-26.

49. Койтер В. Т. Общие теоремы теории упруго-пластических сред. М.: ИЛ, 1961. - 80 с.

50. Vitiello Е. Upper bonds to plastic strains in sch.aked.own of structures subjected to cyclic loads. Meccani-ca, 7(3), 1972, 205-213.

51. Konig J. A. , S a w с z ц k A. , Paprocka-Grabczynska W. Obliczanie ram i belek na przystaso-wanie. Warszawa, Mostostal, 1974. - 98 c.

52. Капуре о M. Принцип для определения границ перемещений в условиях приспособляемости конструкций, подверженных циклическим нагрузкам. В кн.: Проблемы теории пластичности и ползучести, М., Мир, 1979, с.54-74. - Механика: новое в зарубежной науке, № 18.

53. Понтер А. О зависимости между пластической приспособляемостью и повторным нагружением конструкций при ползучести. Перевод: Прикладная механика, 1971, № 2, с.145-149.

54. Понтер А. Верхняя граница малых перемещений для 'конструкций из идеального упруго-пластического материала. Перевод: Прикладная механика, 1972, № 4, с.104-108.

55. Икрин В. А. Верхняя оценка деформаций, накопленных в процессе приспособляемости балок и плоских рам. Строительная механика и расчет сооружений, 1981, № 3, с.31-34.

56. Atkociunas J., Borkowski А,, К о -nig J. Improwed bounds for displacements at scliakedovm. -Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 1981, 28, Ho 3, 365-376.

57. Аткочюнас Ю. Ю. Оценка прогибов в стадии приспособляемости. В кн.: Инженерные вопросы прикладной механики, Вильнюс, 1981, с.77-88. - Науч. тр. вузов Лит.ССР. Сер. Литовский механический сборник, № 23.

58. Икрин В. А. 0 построении оптимальных траекторий при непропорциональном нагружении балок и плоских рам. В сб.: Исследования по строительной механике и механике грунтов, Челябинск, 1973, с.25-37. - Труды Челябинского политехнического института, № 113.

59. Икрин В. А. , I и л л и п о в В. В. Оценка деформаций, накопленных к моменту приспособляемости плоских рам.-Строительная механика и расчет сооружений, 1974, № 3, с.22-25.

60. Икрин В. А. Приближенная оценка налряженно-дефор-мированного состояния круглых пластинок в момент их приспособления. В сб.: Вопросы прочности в машиностроении, Челябинск, 1974, с.67-69. - Труды Челябинского политехнического института, № 151.

61. Почтман Ю. м. , Пятигорский 3. И. Расчет и оптимальное проектирование конструкций с учетом приспособляемости. М.: Наука, 1978. - 208 с.

62. Любаров Б. И. 0 расчете упругопластических систем в условиях повторно-переменного загружения. Строительнаямеханика и расчет сооружений, 1974, № 2, с.28-32.

63. Л ю б а р о в Б. И. , Довгард И. Р., Ш а б -ловская И. К. Определение деформаций в балках в состоянии приспособляемости при подвижных и повторно-переменных нагрузках. Строительная механика и расчет сооружений, 1977, № 5, с.39-42.

64. Москвитин В. В. Пластичность при переменных нагружениях. М.: Изд-во МГУ, 1965. - 263 с.

65. Чирас А. А. Двойственные математические модели задач анализа упругопластичного тела при различных видах нагру-жения. Строительная механика и расчет сооружений, 1931, № 2, с.38-43.

66. Ishikawa Nobutaka,Nakomura Hiroshi, 0 k u d е Konji, Okamotö Kitami. Ultimate deformation analysis of framed structures under variable repeated loadinps. Mem. Hat. Def. Acad. 1980, 20, No 2-3, 37-50.

67. Прагер В. Проблемы теории пластичности. М.: ИФМЛ, 1958. - 136 с.

68. Проценко А. М. Экстремальные краевые задачи для упруго-пластического тела. Изв. АН СССР, МТТ, 1974, № I, с.80-87.

69. Чирас А. А. , Боркаускас А. Э. , Каркаускас Р. П. Теория и методы оптимизации упруго-пластических систем. Л.: Стройиздат, 1974. - 280 с.

70. Ч и р а с А. А. , Ч ю п а й л а Л. А. Решение вырожденных задач анализа идеально упругопластических рам. В кн.: .Пднамика и прочность машин и конструкций, Вильнюс, 1982,с.18-27.- Науч.тр. вузов Лит.ССР. Сер. Литовский механический сборник, № 25.

71. К ю н ц и Г. И. , К р е л л е В. Нелинейное программирование. М.: Советское радио, 1965. - 304 с.

72. Зонтейдейк Г. Методы возможных направлений.-М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 176 с.

73. Базара М. , Нетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы (пер. с англ.) М.: Мир, 1982. -583 с.

74. Криницкий Н. А. , Миронов Г. А. , Фролов Г. Д. Программирование и алгоритмические языки. -М.: Наука, 1979. 510 с.

75. Дрейфус М. , ГанглофК. Практика программирования на Фортране. М.: Мир, 1978. - 224 с.

76. Кнетс И. В. Основные современные направления вматематической теории пластичности. Рига, Зинатне, 1971. -148 с.

77. И в л е в Д. Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. - 231 с.

78. П р о ц е н к о А. М. Теория упруго-идеальнопласти-ческих систем. М.: Наука, 1982. - 288 с.