Условия равновесного нагружения гибкой полосы в упругопластических процессах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Комолова Елена Дмитриевна

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСНОГО НАГРУЖЕНИЯ ГИБКОЙ ПОЛОСЫ В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

1 4 (1ЮН 2012

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула 2012

005045890

Работа выполнена университет».

в

ФГБОУ ВПО «Тульский государственный

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор Маркин Алексей Александрович

Официальные оппоненты: Трещев Александр Анатольевич,

доктор технических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет», заведующий кафедрой «Строительства, строительных материалов и конструкций».

Муравлев Анатолий Вячесловович кандитат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник НИИ Механики МГУ им. М.В. Ломоносова.

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

университет», г.Москва.

Защита диссертации состоится «2» июля 2012г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300012, г. Тула, пр. Ленина 92. (12105).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разослан «1» июня 2012г.

Ученый секретарь /А .___„

диссертационного совета Толоконников Лев Алексеевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. В современной технике широко используются гибкие датчики и элементы конструкций, а также технологические процессы получения панелей и оболочек путем гибки.

Поэтому возникает необходимость моделирования процессов деформирования тонких полос на упругой и упругопластической стадиях при произвольных углах поворота поперечных сечений.

Исследование поведения гибких упругих стержней начато классиками механики JL Эйлером и Ж. Лагранжем. Были установлены точки бифуркации процесса осевого сжатия и получены решения, описывающие закритический изгиб в квадратурах через эллиптические интегралы. Дальнейшее развитие теория гибких стержней получила в работах Г. Кирхгоффа, А. Лява, С.П. Тимошенко, Е.П. Попова, В.А Светлицкого и многих других учёных.

Е. Л. Николаи, Г. Ю. Джанелидзе, И. Е. Шашковым, В. И. Реутом, К. Н. Гопаком, В. В. Болотиным было показано, что деформирование гибких стержней существенно зависит от характера приложения внешней нагрузки. В частности, с помощью динамического подхода установлено, что равновесное деформирование при воздействии сжимающей силы, направленной по нормали к торцевому сечению («следящая» нагрузка) невозможно. В случае действия «мёртвой» (неизменно ориентированной в пространстве наблюдателя) силы процесс протекает равновесно.

Переход от упругого деформирования к пластическому и дальнейшее рассмотрение эволюции зон пластичности приводит к существенному усложнению постановки и решения задач даже без учёта геометрической нелинейности. Подобного типа задачи рассматривались в работах A.A. Гвоздева, М.И. Ерхова, Ю.П. Работнова в рамках концепции пластического шарнира. При этом пластическая область ограничивалась локальной зоной. Существенный прогресс в постановке и решении упругопластических задач достигнут благодаря работам А. А. Ильюшина. Предложенная им теория малых упругопластических деформаций, а также метод упругих решений позволяют успешно ставить и решать задачи о нагружении стержней, пластин и оболочек в геометрически линейном приближении.

Учёт геометрической нелинейности по Карману в задачах упругого и упругопластического деформирования пластин производился в работах В. В. Петрова, Н. Н. Столярова, А.А Покровского, Н. М. Матченко и А. А. Трещева. Наряду с итерационным методом упругих решений использовались различные варианты метода последовательных нагружений, предложенным В. 3. Власовым и развитым В. В. Петровым. Н. М. Матченко и А. А. Трещев предложили варианты комбинированного пошагово-итерационного метода, сочетающего процедуру пошаговых изменений внешней нагрузки с промежуточными итерациями.

Число работ, в которых упругопластическое деформирование гибкой полосы рассматривается за рамками приближения Кармана при произвольных углах поворота поперечных сечений весьма ограничено. В

статьях Макарова Б.П., Лейтеса С.Д., Гречухо Г.И., Алешанского Ю.Н. рассматривается внецентренное сжатие гибкой полосы с учётом осевых сжимающих сил, однако процедура описания эволюции зон пластичности не приведена. Использование метода последовательных нагружений ограничивает процесс достижением сжимающей силой максимального значения. Используемый метод не позволяет рассмотреть поведение полосы в неустойчивом режиме, когда нагрузка убывает с ростом прогиба.

Представляется актуальным построение моделей, адекватно описывающих поведение гибких элементов конструкций при комбинированном нагружении на стадиях упругого и упругопластического деформирования как с точки зрения возможных приложений, так и с целью разработки эффективного метода интегрирования исходных нелинейных уравнений.

Научные исследования, проведенные в диссертационной работе, поддержаны грантом РФФИ (проекты №10-01-97500, №10-01-97501-р_центр_а) и АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект №2.1.1/10918).

Цель работы. Разработка метода исследования процессов равновесного упругопластического деформирования, основанного на сочетании условия равновесия текущего состояния и условия равновесности, представленного через "скорости" характеристик напряженно-деформированного состояния; постановка и решение на основе данного метода известных и новых задач, моделирующих упругопластические процессы деформирования гибкой полосы.

Научная новизна. Исходя из вариационного принципа Лагранжа, получены локальная аналитическая и дискретная интегральная формы условий равновесия и равновесности в скоростях, моделирующие процесс деформирования гибкой полосы с учетом внутренних осевых сил при произвольных углах поворота поперечных сечений.

Предложен пошагово итерационный алгоритм интегрирования существенно нелинейных условий равновесия и равновесности, представленных в аналитическом виде при упругом деформировании и дискретном виде в общем случае упругопластического деформирования.

Получены решения новых задач, описывающие эволюцию зон упругости и пластичности в процессе равновесного деформирования гибких пластин, нагружаемых произвольно ориентированной торцевой "мертвой" силой. При этом закон изменения величины силы не задаётся, а определяется как реакция на задание угла поворота торцевого сечения. Наряду с устойчивой стадией процесса, когда сила растет, рассматривается и неустойчивая стадия убывания торцевой силы с ростом угла поворота сечения.

Теоретическая ценность работы состоит в установлении эффективности использования метода, основанного на удовлетворении не только условию равновесия текущего состояния, но и условию

равновесности относительно скоростей, для решения задач

упругопластического деформирования гибкой полосы.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты можно использовать для моделирования взаимодействия инструмента в форме тонкой полосы с поверхностью заготовки в процессах электроэрозионной обработки. Предложенный метод также можно использовать для моделирования технологических процессов гибки.

Достоверность полученных результатов обосновывается использованием фундаментальных положений механики деформируемого твердого тела, а также сравнением решений с известными теоретическими данными. В частности, показано практическое совпадение в упругой области решений, получаемых предлагаемым методом, с известными решениями через эллиптические интегралы. При выходе в пластическую область достоверность метода подтверждена сравнением с полученными аналитическими решениями для чистого изгиба и изгиба поперечной силой в

геометрически линейной постановке.

Апробация работы. Основные результаты по теме данной диссертации были доложены на молодежной научно-практической конференции «Молодежные инновации», г. Тула 2009 г.; Международной конференции «Современные проблемы математики, механики и информатики», г. Тула 2009, 2010 гг.; XIV Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» г. Москва 2008г; на регулярных семинарах кафедры Математического моделирования г. Тула 2007-2011гг.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 печатные работы, 4 из которых в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура н объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех основных разделов, заключения, списка литературы. Содержит 130 страниц и 47 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении представлены основные цели диссертационной работы, обосновывается новизна и ценность, приводится краткий анализ работ других исследователей по схожей тематике, а также описывает структура диссертации.

В первой главе выполнена общая постановка задачи о нелинейном изгибе полосы. Получены основные кинематические характеристики для данной полосы.

Проведен сравнительный анализ представлений энергетического тензора напряжений Т и повернутого тензора напряжений ай. Выявлено, что при условии малости деформаций данные представления совпадают.

Получена вариационная постановка задачи о нелинейном изгибе полосы при равновесном нагружении с учетом внутреннего усилия Т,и удлинения срединной линии -У^:

^ 1о _

|(лг, соз(р) + Ы2 5тС<г») - Г, - |уС?й(ЛГ, 5т(р) - Иг со^у^рск, +

о о

о

Получена дифференциальная постановка задачи:

О*!

Г, = С05((2>) + Иг 5т({!>)

Второе условие равновесия в системе уравнений (2) имеет физический смысл, который следует из равенства нулю проекций внешней и внутренней сил на направлении касательном к срединной линии.

Условия равновесного нагружения в виде (1) или в виде (2) не зависят от свойств материала, и с их помощью можно получить решения, как при упругих, так и при пластических деформациях.

Рассмотрены три стадии процесса деформирования полосы — упругая стадия, односторонняя упругопластическая стадия и двухсторонняя упругопластическая. Для каждой стадии определены выражения для момента внутренних сил М и внутренней силы Тх в зависимости от угла поворота сечения <р, а также получено условие для перехода деформаций на следующую стадию. Выражение для момента внутренних сил М включает в себя переменную жесткость, которая уменьшается с ростом пластической зоны.

Во второй главе рассмотрена начальная стадия равновесного нагружения упругой полосы. В отличие от известной классической постановки данной задачи, приведенной в многочисленных публикациях, начиная с работы Эйлера, уравнение нелинейного изгиба (2) дополнено уравнением в «скоростях». Под «скоростями» углов поворота и внешней силы понимаются их производные по монотонно возрастающему параметру. Процесс нагружения считается равновесным, если наряду с уравнением изгиба относительно перемещений удовлетворяется и уравнение в «скоростях». В качестве параметра дифференцирования был выбран угол поворота сечения на торце <р„. Используя метод кинематического воздействия, решены задачи устойчивости и единственности начальной стадии упругого деформирования полосы. Получена зависимость, описывающая степень устойчивости сжимаемой полосы отнбсительно воздействия боковой силой. Установлены точки Эйлеровой бифуркации, совпадающие с точками потери устойчивости относительно бокового воздействия. Показана невозможность равновесного деформирования защемленной полосы при воздействии следящей торцевой силой.

Предложенная постановка позволяет построить пошагово итерационный алгоритм интегрирования условий равновесия и равновесности в «скоростях». Для получения первого приближения из условия равновесности определяется распределение «скоростей» в начале шага по «времени». Далее, исходя из условия равновесия, строится итерационный процесс определение углов поворота сечений. Естественным критерием сходимости процесса является уточнение на каждой итерации значения величины «мертвой» внешней силы.

В третьей главе осуществляется переход от вариационного уравнения (1) к дискретной системе уравнений равновесия на основе метода конечных элементов. Полоса разбивается на п конечных отрезков (элементов). В пределах каждого элемента сохраняется постоянная кривизна. Соединение элементов происходит по углам поворота сечения на концах элементов. Граница разделения упругой и пластической зон в пределах элемента полагается определять в зависимости от угла поворота сечения на торце çt на каждом элементе. При этом данные границы могут изменяться при переходе от одного элемента к другому. Полученная дискретная система уравнений имеет вид:

■ M,-MM=AL,{Nr{Fr -Fi)-N>-{Fr -Fi)) i = 1..Л-1 (3)

Функции F,', Fj, Fin f; являются нелинейными относительно

функций углов поворота сечения д>,.

Для замыкания системы (3) необходимо добавить соотношения, определяющие внутренние моменты М, через углы поворотов <р, и координаты границ между упругими и пластическими зонами элементов а, и

Ь, на каждой стадии деформирования.

Наряду с системой (3) относительно углов поворота <р, были использованы условия сохраняющегося равновесия в «скоростях», получаемые дифференцированием дискретной системы (3) по некоторому «временному» параметру:

- M, = Д£, (iV, .F;-N2-Fl+NrFtl-N,-F')

. м,(4)

M„ = -Д£,(лг, -F,"-N2-F; +N, ■ Fy - N2 -F«")

Для замыкания системы (4) также добавлены соотношения, связывающие «скорости» моментов, «скорости» углов поворотов и

«скорости» движения границ между упругими и пластическими зонами элементов для рассмотренных стадий деформирования.

Предложена последовательность решения совокупности дискретных систем уравнений (3) и (4). Угол поворота торцевого сечения <р„ разбивается на последовательность поворотов А<р„, при этом

где ^ - количество последовательных поворотов.

В начальный момент времени ¿=0, то есть срединная линия прямая.

Особенностью алгоритма является то, что на начальной стадии распределение углов поворота сечения <э, и значение силы Р получены аналитически из дифференциального уравнения (2). Начиная со второго шага вычислений при <р„ = 2-Др„, алгоритм решения разработан в общем случае.

Используя распределения углов поворота сечения <р, и значение силы Р, полученные на предыдущем шаге, из системы уравнений равновесия в «скоростях» (4) получаем значение «скоростей» для искомых величин -и По полученным «скоростям» находятся

распределение углов и значение силы в первом приближении в момент <рк = 2&<рк:

«С^+И10 = + (5)

Значения, полученные в первом приближении в виде (5) уточняются итерационным методом при подстановке в систему уравнений равновесия (3). При этом вводятся краевые условия - изменение угла поворота сечения на левом торце Др0(лО = 0, а правого задается априори Др = Л<рк.

Итерационный процесс останавливается, если относительное изменение силы не превосходит заданного малого значения е. Соответствующие вычисления производятся в пакете МаИлЬ.

После достижения заданной точности е переходим к следующему значению «времени» <рк=ЪА<рк. При этом известно распределение углов поворота в предыдущий момент <р„ = д<рп и значение силы в этот же момент «времени». В результате, на заданном интервале 0 ¿¿-Др, получили последовательность распределений углов поворота и

соответствующее значение сжимающих сил - /¡М. Предложенный

пошаговый итерационный метод внешнего кинематического воздействия позволяет находить изменения характеристик напряженно-деформированного состояния полосы в процессе равновесного деформирования. При этом определяется эволюция упругих и пластических зон, а также величина «мертвой» силы, действующей на торец полосы.

В четвертой главе рассмотрен ряд новых задач о деформировании гибкой полосы с учетом перехода на стадию пластического деформирования. Проведено сравнение с известными решениями в упругой области. Получены

аналитические зависимости между моментом и координатой границы раздела упругой и пластической зон при чистом изгибе. В результате рассмотрения задачи изгиба в геометрически линейном приближении найдена аналитическая связь между поперечной торцевой силой и формой границы раздела зон. Полученные зависимости использованы для проверки достоверности численных решений в упругопластической стадии деформирования.

Была рассмотрена задача об изгибе при равновесном нагружении поперечной силой при упругопластическом деформировании. При этом сила один торец полосы жестко закреплен, а к другому приложена сила. Получено распределение границ между зонами упругой и пластической деформации в процессе деформирования, а так же значения действующей силы в зависимости от распространения пластических деформаций.

у\=») ^ А &

р: "г?

1-1 *

_

-

3.1 ,1 а! т

Рис. 1 Распределение границ упругой зоны а по длине полосы Ь при нагружении поперечной силой

поперечной силы

На рисунке 1 видно, что первый элемент полностью выходит в пластическую зону, в то время как на остальных элементах «скорость» распространения пластических деформаций ниже. Более того, с увеличением шага по «времени» распространение зон пластического деформирования останавливается на некотором элементе полосы. Действующая сила также не увеличивается с течением «времени» после достижения своего максимального значения. Можно сказать, что первый элемент превращается в так называемый пластический шарнир. Остальные элементы как бы прокручиваются вокруг этого шарнира без увеличения значения изгибающей силы, как проиллюстрировано на рисунке 2. Кроме того, для данной задачи было приведено аналитическое решение для распространения зон пластических деформаций и проведено сравнение с полученными результатами. Выявлено их сходство.

Далее, была рассмотрена задача об изгибе полосы при действии сжимающей силы. В данном случае оказывается существенным учет внутренних усилий 7; при определении границ зон между упругими и пластическими деформациями. Было установлено, что распространение пластических деформаций происходит несимметрично на верхней и нижней гранях полосы. На верхней (сжимающейся) грани напряжения превосходят напряжения на нижней (растягивающейся) грани, и пластические деформации достигаются раньше. Приводятся распределение зон пластических деформаций по длине полосы и графическая зависимость силы Р от угла поворота сечения на торце <рк с учетом снижения жесткости элементов полосы, для которых деформации вышли в упруго-пластическую стадию.

-Л-0-£-п-5-Г<-й-Л-

Рис. 4 Распределение границ упругой зоны а на верхней грани полосы по длине полосы I при нагружении сжимающей силой

........)

=0 ?з:5с..

а. «0.229&. .....] - Г'-'|

- 1 1 1 ! 1 - __1 _> ____I ;

1 ; :■ ! , ! 1-Щ Ь -: Лг Т- И : 1 г ; 1 : 1 1

Рис 5 Зависимость силы от угла поворота сечения при действии сжимающей силы

Рис б Зависимость модуля силы от угла поворота сечения при комбинированном нагружении

В работе была рассмотрена задача о деформировании полосы при комбинированном нагружении. Решение проводилось для различных

Р

сочетаниях поперечной и продольной сил —. На рисунке 6 показано, что с

ростом поперечной составляющей силы происходит снижения максимального значения модуля силы. Во всех представленных случаях модуль силы убывает после выхода в пластическую зону.

Основные результаты и выводы

1) Использование принципа возможных перемещений Лагранжа и метода конечных элементов для моделирования процесса деформирования гибкой полосы позволило получить аналитическую и дискретную системы условий равновесия и равновесности, выраженные через повороты сечений, внутренние осевые силы и их скорости.

2) Разработан метод решения задач равновесного деформирования гибкой полосы, основанный на сочетании условия равновесия текущего состояния и условия равновесности процесса деформирования в скоростях. Особенностью метода является кинематическое задание внешнего воздействия. При этом равновесные изменения внешних нагрузок определяются как реакция на заданное воздействие.

3) Используя метод кинематического воздействия, решены задачи устойчивости и единственности начальной стадии упругого деформирования полосы. Получена зависимость, описывающая степень устойчивости сжимаемой полосы относительно воздействия боковой силой. Установлены точки Эйлеровой бифуркации, совпадающие с точками потери устойчивости относительно бокового воздействия. Показана невозможность равновесного деформирования защемленной полосы при воздействии следящей торцевой силой.

4) Предложена пошагово-итерационная реализация метода кинематического воздействия для решения задач о равновесном деформировании полосы при произвольных углах поворота поперечных сечений на упругой и упругопластической стадиях.

5) Решены новые задачи об изгибе полосы в процессе упругопластического деформирования. Установлен характер распространения границ зон упругих и пластических деформаций, а также получены законы изменения внешней силы в зависимости от угла поворота сечения на торце полосы.

Публикации по теме диссертации

1. Комолова Е.Д., Хрцстич Д.В., Екшпершшчев АЛ. Определение напряженно-деформированного состояния в изгибаемых телах // Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. С. 98-111.

2. Качалова КД. Модель нелинейного изгиба полосы для различных мер напряжений. Известия ТулГУ. Естественные науки. Выл 2. Тула: Изд-во Тул-ГУ, 2009. С. 105-117.

3. Кононова ЕД. Нелинейный изгиб полосы с учетом осевого сжатия. Известия ТулГУ. Естественные науки. Выи 2. Тула: Изд-во Тул-ГУ, 2011. С. 152-160.

4. Качалова КД., Маркин АЛ. Начальная стадам равновесного деформирования упругого стержня. Известия ТулГУ. Естественные науки. Выл 2. Тула: Изд-во Тул-ГУ, 2011. С. 161-1ба

ИЗД.ЛИЦ.ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 25.05.2012 г. Формат бумаги 60x84 '/16. Бумага офсетная. Усл.печ. л. 0,9 Уч.изд. л. 0,8 Тираж 100 экз. Заказ 042 Тульский государственный университет. 300012, г. Тула, просп.Ленина, 92. Отпечатано в Издательстве ТулГУ. 300012, г. Тула, просп.Ленина, 95.

61 12-1/1092

ФГБОУ ВПО «ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

Комолова Елена Дмитриевна

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСНОГО НАГРУЖЕНИЯ ГИБКОЙ ПОЛОСЫ В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твёрдого тела

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Маркин Алексей Александрович

Тула 2012

Оглавление

Введение...................................................................................................................4

Глава 1. Постановка задачи..................................................................................10

1.1. Кинематические характеристики..................................................................10

1.2. Сравнительный анализ представлений тензоров напряжений..................18

1.3. Вариационная постановка задачи о равновесии полосы............................19

1.3.1. Представление возможной работы внутренних сил........................20

1.3.2. Представление возможной работы внешних сил.............................23

1.3.3. Вариационная постановка задачи о нелинейном изгибе.................25

1.4. Дифференциальная постановка задачи о нелинейном изгибе...................27

1.5. Различные стадии процесса деформирования полосы...............................28

1.5.1. Упругое деформирование с учетом осевого сжатия........................28

1.5.2. Стадия одностороннего упругопластического деформирования...30

1.5.3. Стадия двухстороннего упругопластического деформирования...32

1.6. Выводы по главе 1:.........................................................................................36

Глава 2. Аналитическое описание упругой стадии деформирования гибкой полосы........................................................................................................37

2.1. Начальная стадия нагружения «мертвой» силой........................................38

2.1.1. Нагружение полосы сжимающей силой...........................................43

2.1.2. Нагружение полосы сжимающей силой при шарнирном опирании.........................................................................................................45

2.2. Начальная стадия нагружения «следящей» силой......................................48

2.3. Описание пошагово-итерационного метода на примере решения задачи нагружения полосы сжимающей силой.....................................................50

2.5. Выводы по главе 2..........................................................................................52

Глава 3. Дискретная постановка задачи упругопластического равновесного деформирования гибкой полосы............................................................54

3.1. Вариационная постановка задачи при упругопластическом деформировании....................................................................................................54

3.2. Дискретизация исходной системы с помощью МКЭ.................................56

3.3. Дискретные скоростные условия сохраняющегося равновесия................62

3.4. Пошагово итерационный метод решения системы дискретных уравнений, моделирующих процесс упругопластического деформирования гибкой полосы.........................................................................................65

3.5. Выводы по главе 3..........................................................................................69

Глава 4 .Деформирования полосы при различных способах нагружения.......70

4.1. Решение задачи об изгибе полосы для упругих деформаций....................70

4.1.1. Случай жесткого закрепления торца полосы при действии сжимающей силы...........................................................................................70

4.1.2. Случай жесткого закрепления торца полосы при действии поперечной силы...........................................................................................80

4.2. Решение задачи об изгибе полосы с учетом пластических деформаций...........................................................................................................................87

4.2.1. Решение задачи о чистом изгибе при упругопластических деформациях..................................................................................................88

4.2.2. Случай жесткого закрепления торца полосы при действии поперечной силы...........................................................................................93

4.2.3. Случай жесткого закрепления торца полосы при действии сжимающей силы.........................................................................................105

4.2.4. Случай шарнирного закрепления торца полосы при действии сжимающей силы.........................................................................................111

4.2.5. Случай жесткого закрепления торца полосы при действии комбинированной нагрузки..............................................................................115

4.3. Выводы по главе 4........................................................................................120

Заключение...........................................................................................................122

Список использованных источников.................................................................124

Введение

Современные исследователи проявляют всё больший интерес к нелинейным моделям механики твёрдого деформированного тела. Расчёт возникающих деформаций и распределения напряжений усложняется тем, что используемые уравнения имеют ярко выраженную нелинейность. Поэтому возникает необходимость в разработке алгоритмов, дающих удовлетворительные результаты при сокращении общего объема вычислений, но учитывающих геометрическую и физическую нелинейности.

Исследование поведения гибких упругих стержней начато классиками механики Л. Эйлером и Ж. Лагранжем [79,88]. Были установлены точки бифуркации процесса осевого сжатия и получены решения, описывающие закритический изгиб в квадратурах через эллиптические интегралы. Дальнейшее развитие теория гибких стержней получила в работах Г. Кирхгоффа, А. Лява [45], С.П. Тимошенко [75], Е.П.Попова [53,64], В.А. Светлицкого [68], В.В. Новожилова [52], В.В. Болотина [10,11], В.И. Феодосьева [80,81], И.И. Гольденблата [21] и многих других учёных.

Е. Л. Николаи [51], Г. Ю. Джанелидзе [25], В. В. Болотиным [11], а также в работе [87] было показано, что деформирование гибких стержней существенно зависит от характера приложения внешней нагрузки. В частности, с помощью динамического подхода установлено, что равновесное деформирование при воздействии сжимающей силы, направленной по нормали к торцевому сечению («следящая» нагрузка), невозможно.

В случае действия «мёртвой» (неизменно ориентированной в пространстве наблюдателя) силы процесс протекает равновесно.

Переход от упругого деформирования к пластическому и дальнейшее рассмотрение эволюции зон пластичности приводят к существенному усложнению постановки и решения задач даже без учёта геометрической нелинейности. Подобного типа задачи рассматривались в работах

A.A. Гвоздева [20], A.C. Вольмира [16,17], Ю.Н. Работнова [65], а также в работах [26,29,63,64, 66,67,85] в рамках концепции пластического шарнира. При этом пластическая область ограничивалась локальной зоной. Существенный прогресс в постановке и решении упругопластических задач достигнут благодаря работам А. А. Ильюшина [30,31]. Предложенная им теория малых упругопластических деформаций, а также метод упругих решений позволяют успешно ставить и решать задачи о нагружении стержней, пластин и оболочек в геометрически линейном приближении. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах И.И.Воровича и Ю.П. Красовского [18], Б.Е. Победри, C.B. Шешенина [61], Д.Л. Быкова[12].

Для решения задач механики деформируемого твердого тела с учетом физической и геометрической нелинейностей используются пошаговые и итерационные методы [2,6,78,79]. Метод последовательных нагружений использует схему Эйлера применительно к нелинейным уравнениям механики. Основные положения этого метода изложены в работах

B.З. Власова [14,15] и В.В. Петрова [55-57], в соответствии с которыми процесс деформирования представляется как последовательность равновесных состояний и переход из текущего состояния в последующее определяется приращением нагрузки. Основной недостаток данного метода - низкая сходимость, в силу чего необходимо использовать различные способы для уточнения полученных результатов.

Н.М. Матченко и A.A. Трещев в работе [49] предложили варианты комбинированного пошагово-итерационного метода, сочетающего

процедуру пошаговых изменений внешней нагрузки с промежуточными итерациями.

В работе М.С. Агапова [1] на основе метода продолжения решения по параметру в рамках эйлерового описания сплошной среды разработана методика статического деформирования упругих областей с учетом больших перемещений и конечных деформаций и получены разрешающие уравнения с учетом физической нелинейности. Предложенный алгоритм решения задач разработан на основе метода конечных разностей.

На основе модифицированных методов пошагового нагружения либо метода упругих решений были рассмотрены задачи об изгибе пластин в упругопластической стадии. В работах A.A. Покровского [62] была рассмотрена расчетная схема смешанной формы МКЭ для исследования запредельной стадии стержневых систем. В работе H.H. Столярова [74] разработан алгоритм решения начально-краевых двумерных задач на основе метода A.A. Ильюшина, описана методика расчета пластин и оболочек при сложном нагружении, предложены и реализованы алгоритмы решения задач упругопластической устойчивости пластин и оболочек при поперечном, продольном и комбинированном нагружениях с использованием различных теорий пластичности.

Следует отметить, что все указанные выше задачи и методики получены в рамках геометрических соотношений Т. Кармана, поэтому углы поворота поперечных сечений ограничены малыми и конечными значениями и не могут быть произвольными. В настоящей работе это предположение не учитывалось, что позволило рассматривать большие углы поворота.

Число работ, в которых упругопластическое деформирование гибкой полосы рассматривается за рамками приближения Кармана при произвольных углах поворота поперечных сечений, весьма ограничено. В работах Б.П. Макарова [46], С.Д. Лейтеса [38-42], Г.И. Гречухо [23], Ю.Н. Алешанского [4], К. Ежека [87] рассматривается внецентренное

сжатие гибкой полосы с учётом осевых сжимающих сил, однако процедура описания эволюции зон пластичности не приведена. Использование метода последовательных нагружений ограничивает процесс достижением сжимающей силой максимального значения. Используемый метод не позволяет рассмотреть поведение полосы в неустойчивом режиме, когда нагрузка убывает с ростом прогиба.

В настоящей работе была предложена постановка и разработана методика численного решения задачи о нелинейном изгибе полосы при нагружении торцевой силой на разных стадиях процесса деформирования.

Используемый метод исследования процессов равновесного упругопластического деформирования основан на сочетании условия равновесия текущего состояния и условия равновесности, представленного через «скорости» характеристик напряженно-деформированного состояния. Предложенный пошаговый итерационный метод внешнего кинематического воздействия позволяет находить изменения характеристик напряженно-деформированного состояния гибкой полосы в процессе равновесного деформирования. При этом определяются эволюция упругих и пластических зон, а также величина «мертвой» силы, действующей на торец полосы. Для начальной стадии упругого деформирования получены аналитические решения. Используемый метод позволяет рассмотреть поведение полосы в неустойчивом режиме, когда нагрузка убывает с ростом прогиба.

В первой главе рассматриваются равновесные условия протекания процесса деформирования в вариационной и дифференциальной формах. При этом определяются внутренние осевые усилия, возникающие при деформировании полосы. Вариационное уравнение и выражение для обобщенной силы позволяют ставить и решать задачи о нелинейном изгибе полосы при нагружении торцевой силой и моментом с учетом деформации срединной плоскости для различных видов закрепления. Условия равновесного нагружения не зависят от свойств материала полосы, и их

можно применять как на упругой, так и на упругопластической стадиях деформирования.

Были рассмотрены три стадии деформирования полосы — упругое, одностороннее упругопластическое и двухстороннее упругопластическое. Для каждого этапа определены распределение напряжений, выражения для моментов внутренних сил с учетом понижения изгибной жесткости полосы при пластических деформациях. На упругопластической стадии характеристики получены в зависимости от границы зоны упругих и пластических деформаций.

Во второй главе изучается начальная стадия деформирования полосы при различных условиях нагружения и закрепления. В частности, рассматривается нагружение «мертвой» и «следящей» нагрузкой. Дифференциальное уравнение изгиба используется в совокупности с уравнением сохраняющегося равновесия в скоростях. В качестве параметра «скорости» выбран угол поворота сечения на торце полосы. На основании такого подхода для задач об изгибе полосы, нагруженной сжимающей силой, было получено условие бифуркации и, как следствие, спектр значений критической силы. Для задач о нагружении «следящей» силой проанализировано условие равновесия в скоростях и установлено, что равновесных состояний полосы, близких к прямолинейному, не существует.

В третьей главе осуществляется переход от нелинейного вариационного уравнения к дискретной системе нелинейных уравнений равновесия на основе метода конечных элементов. При этом постановка дополняется системой уравнений сохраняющегося равновесия, которая является линейной относительно скоростей искомых характеристик. Разработан алгоритм решения задачи по определению напряженно-деформированного состояния полосы с учетом распространения пластических деформаций в сечении полосы. Получение значений искомых характеристик основано на совокупном использовании «скоростей» распределений, полученных на

предыдущем шаге вычислений, для искомых величин при помощи изменения некоторого кинематического воздействия. В качестве такого параметра изменения выбран угол поворота сечения на свободном торце полосы. При этом необходимо отметить, что полученные решения в первом приближении уточняются методом итераций, который продолжается, пока относительное изменение силы не достигнет заданной погрешности е

В четвертой главе проводится тестирование разработанного метода на примере задач об изгибе упругой полосы, имеющих известное решение в эллиптических интегралах. В упругопластической области тестирование проведено на примере задачи о чистом изгибе и задачи об упругопластическом изгибе полосы под действием поперечной силы, аналитические решения которых также были получены в данной главе. Тестовые расчеты показали, что предложенные соотношения модели и их численная реализация позволяют получить результаты, удовлетворительно согласующиеся с решениями известных задач.

Проведен анализ распределения внутренних усилий по длине полосы для упругих деформаций.

Рассмотрены задачи об изгибе полосы под действием сжимающей и комбинированной нагрузки, которые ранее не были решены в данной постановке. Проанализированы зависимости действующей силы от ширины границы зон упругих и пластических деформаций. Исследованы процесс и характер распространения пластических деформаций при различном способе нагружения полосы.

Глава 1. Постановка задачи

1.1. Кинематические характеристики

Рассмотрим полосу в форме прямоугольного параллелепипеда в начальном состоянии. Область, занимаемая полосой, задается следующими выражениями и представлена на рис. 1,2:

0<х, <Ь0 2 2 2 1 0 2 г 2

Хс

Х2

/

7

/

7

7

Х1

Рис. 1. Область, занимаемая полосой

Будем считать, что исследуемые характеристики симметричны относительно координаты х3.

Полоса в виде параллелепипеда имеет плоскость симметрии Х]Х2, поэтому будем записывать уравнения только для срединной плоскости. Зная деформации, перемещения и напряжения в срединной плоскости, можем найти эти характеристики для любого сечения.

В начальном состоянии радиус-вектор материальной точки срединной линии имеет вид

7Ь (1-1.1)

Радиус-вектор этой точки в деформированном сечении можно представить через перемещения точек срединной линии £/(х,):

Л0=г0+£(*,). (1.1.2)

Х2

Х1

Рис. 2. Область, занимаемая полосой

Для получения закона движения точек срединной плоскости используем гипотезу Кирхгоффа - Лява (перпендикулярные к срединной линии волокна остаются перпендикулярными к ней в процессе деформации) [47,48,5861,70,71,75-78] и получаем выражение радиус-вектора срединной плоскости:

К = К0+т2х2. (1.1.3)

Далее с помощью этого уравнения, будут получены все кинематические характеристики.

Используя уравнения (1.1.1) и (1.1.2), определим единичный касательный к срединной линии вектор тх:

1 <&о _ 1

К * №

1+

<ШХ с1х.

1 У

1 сШ2

(1.1.4)

При этом С," - квадрат относительного удлинения срединной линии.

2

Векторы естественного базиса г, и т2 можно записать в декартовом базисе, используя угол поворота сечения полосы <р:

т! = сов^е, + вт{ср)е2, (115)

т2 ~ + со$((р)е2.

Сравнивая выражения (1.1.4) и разложение для тх (1.1.5), можно получить связь перемещений и угла поворота сечения^:

— ' , ч 1 (л

1) (1.1.6)

- - . 1 аи2

Таким образом, разложение (1.1.5) с учетом связи (1.1.6) можно выразить через компоненты вектора перемещения [/,и [/2 в виде

г, =■

1

- 1 2 -+ ,- С2;

1 (¡и г

т2 =—?=—-е, +-

сЬх

е2.

1 №

Из выражения (1.1.6) находим перемещения точек срединной линии:

�