Определение напряженно-деформированного состояния в упругопластических стержневых системах от повторно-переменного температурного воздействия тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.03 ВАК РФ

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

I. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА

1.1. Аналитический обзор . II

1.2. Основные допущения, понятия и зависимости

1.3. Условия текучести

П. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРА ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ТЕПЛОСМЕН ПРИ ЦИКЛИЧЕСКОМ ПЛАСТИЧЕСКОМ РАЗРУШЕНИИ

2.1. Статическая формулировка задачи

2.2. Кинематическая формулировка задачи.

2.3. Двойственные соотношения

2.4. Математические модели для сжато-растягиваемых систем.

2.5. Определение параметра предельных значений теплосмен при повышенных температурах

Ш. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНОГО УСИЛИЯ В УСЛОВИЯХ ТЕПЛОСМЕН

3.1. Статическая формулировка

3.2. Кинематическая формулировка.

3.3. Двойственные соотношения

3.4. Математические модели оптимизации сжато-растягиваемых стержневых систем.

1У. АНАЛИЗ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПОВТОРНО-ПЕРЕМЕННЫХ ТЕПЛОСМЕН В УСЛОВИЯХ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ

4.1» Постановка задачи

4.2. Статическая формулировка

4.3. Кинематическая формулировка.

4.4. Двойственные соотношения.

4.5. Математические модели анализа сжато-растягиваемых систем.

У. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ.

Основными направлениями развития народного хозяйства СССР на 1981-1985 годы [I] в числе основных задач предусматривается улучшение качества проектирования, развитие научных работ, направленных на широкое и эффективное применение в народном хозяйстве электронной вычислительной техники. Огромный рост строительства в нашей стране наряду с вопросами качества выдвигает проблему экономичности, которая становится одной из главных в процессе проектирования.

В постановлении декабрьского (1983 г.) Пленума ЦК КПСС намечается обеспечить дальнейший рост эффективности экономики,сделать главный упор на ускорение научно-технического прогресса. Следует разработать и осуществить конкретные меры по снижению расхода сырья, материалов, добиваться снижения себестоимости продукции, улучшения качества изделий [2].

В связи с этим перед исследователями, работающими в области расчета конструкций, встает вопрос о создании и развитии новых прогрессивных методов расчета, использующих новейшие средства вычисления и улучшающих качество и экономичность проектных решений.

Экономичность различных конструкций, применяемых во всех отраслях народного хозяйства, может быть достигнута выбором их наиболее рациональных форм с учетом дополнительных возможностей материалов. Одним из направлений решения данной проблемы является развитие методов расчета, более точно учитывающих реальное поведение материала. С другой стороны, теория расчета должна быть достаточно простой, чтобы ее можно было применить к решению практических задач и довести до численных результатов. Поиски методов, удовлетворяющих обоим требованиям, вызвали бурное развитие различных теорий неупругого материала, среди которых наибольшее распространение получила теория идеальной пластичности.

Расчет конструкций с учетом пластических свойств материалов представляет весьма важную для инженерной практики задачу. Этому вопросу посвящено большое количество теоретических и экспериментальных исследований. Надо отметить, что большинство этих исследований проведено для конструкций, испытывающих воздействие лишь механических нагрузок. Однако в процессе эксплуатации на элементы конструкций,кроме механических нагрузок,часто оказывают влияние и тепловые потоки. Влияние температурного поля находит отражение не только в возникновении соответствующих тепловых деформаций и напряжений. Оно сказывается на всем комплексе тепло-физических и механических свойств материала, приводит к проявлению новых свойств, которые при нормальной температуре не обнаруживаются. Практически невозможно определить, какое влияние температурное поле оказывает на все механические и теплофизические характеристики материала. Расчет конструкций от температурного воздействия обычно ведется при ряде допущений, т.е. учитываются только основные факторы, оказывающие ощутимое влияние на работу конструкций. Второстепенные, менее важные факторы не учитываются.

В последнее время появляется все больше работ из области машиностроения, посвященных проблемам термопрочности. Методика же расчета строительных конструкций, испытывающих теплосмены,еще недостаточно развита.

Известно, что строительные конструкции крупных металлургических заводов, конструкции ядерных реакторов, а также строительные конструкции, работающие в условиях Крайнего Севера, где бывают большие годовые и суточные температурные колебания, испытывают достаточно ощутимые теплосмены. Поэтому возникла необходимость разрабатывать новые и совершенствовать старые методы расчета термоупругих и термопластических строительных конструкций.

В настоящей работе исследуются стержневые системы, изготовленные из идеально упругопластического материала, подвергающиеся действию теплосмен. Основные упругие характеристики материала (модуль упругости и коэффициент линейного температурного расширения) цринимаются постоянными при изменении температуры,так как их изменения мало влияют на результаты расчета [12, 17, 93].Предел текучести материала принимается зависимым от температуры.

Целью данной работы является цостроение дискретных математических моделей для упругопластических стержневых систем, позволяющих определить напряженно-деформированное состояние от действия повторно-переменных теплосмен при постоянной внешней нагрузке, а также решение численных примеров на ЭВМ. Исследования охватывают только прочностные вопросы.

Новизной работы является построение вышеупомянутых моделей с применением основных экстремально-энергетических принципов и методов математического программирования.

В первой главе данной работы дается обзор литературы по расчету температурных напряжений, описываются виды и характер теплосмен, действующих на стержневые системы. Обосновывается предлагаемый метод расчета систем данного типа. Приведены основные допущения и зависимости дискретной системы. Рассматривается методика определения упругих усилий. Описаны условия пластичности для стержней различного сечения. Для прямоугольного и двутаврового сечений показаны нелинейные и линеаризованные условия пластичности, а для идеального сечения - линейные.

Во второй главе представлены математические модели определения параметра предельных значений теплосмен в упругопластических стержневых системах от повторно-переменного теплового воздействия. На основании экстремальных энергетических принципов выведена статическая и кинематическая формулировка задач, показана двойственная связь между этими задачами. Учитывается влияние изменения предела текучести при повышенных температурах.

Третья глава посвящена задачам оптимизации,в частности,рассматривается методика определения оптимального распределения предельного усилия в условиях теплосмен. Дана статическая и кинематическая формулировка задач. Построены математические модели для сжато-растягиваемых систем.

Четвертая глава посвящена определению напряженно-деформированного состояния упругопластических стержневых систем в условиях приспособляемости. Даны дискретные математические модели в статической и кинематической формулировке, представляющие собой двойственную пару задач квадратичного программирования.

Пятая глава целиком посвящена вопросам практической реализации задач, рассматриваемых во второй, третьей и четвертой главах. Приведены примеры численного решения задач на ЭВМ.

Для изложения материала в настоящей работе применяется век-торно-матричная форма записи, которая наиболее удобна для численного решения задач на ЭВМ.

Заключительные выводы представлены в конце работы.

I. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе исследуются вопросы расчета стержневых упругопластических систем, подверженных действию повторно-переменных теплосмен и постоянной внешней нагрузки. Построены математические модели задач определения параметра предельных значений теплосмен и определения оптимального распределения предельного усилия, при циклическом пластическом разрушении, а также задачи определения напряженно-деформированного состояния системы в условиях приспособляемости. Математические модели построены отдельно для изгибаемых и сжато-растягиваемых систем. Разработана математическая модель определения параметра предельных значений теплосмен при повышенных температурах с учетом изменения предела текучести в зависимости от температуры. В прикладной части работы даны примеры расчета рам и ферм при различных воздействиях теплосмен.

Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы.

1. Из проведенного обзора работ, посвященных расчету стержневых систем, работающих под действием теплосмен, видно, что существующие методы расчета недостаточно развиты, довольно сложны, трудоемки, нет общей методики решения температурных задач для различных стержневых систем.

2. В настоящей работе создана единая методика расчета изгибаемых и сжато-растягиваемых стержневых систем от действия повторно-переменных теплосмен и постоянной внешней нагрузки, широко используя методы математического программирования.

3. На основе экстремальных энергетических принципов для упругопластических тел составлены дискретные математические модели в статической и кинематической формулировках, позволяющие определять параметр предельных значений теплосмен и оптимальное распределение предельных усилий при циклическом пластическом разрушении, а также напряженно-деформированное состояние системы в условиях приспособляемости. Показаны двойственные соотношения математических моделей.

4. Разработана методика расчета стержневых систем при повышенных температурах.

5. Построен общий алгоритм и составлены программы для численной реализации математических моделей задач.

6. Приведены примеры численного решения рам и ферм в дискретном выражении. Проведен анализ результатов расчета, а также их сравнение с известными решениями и некоторыми экспериментальными результатами.

7. Разработанный метод и математическое обеспечение являются новым шагом на пути создания более эффективных методов расчета температурных задач, что может принести определенный экономический эффект в народном хозяйстве.

1. Основные направления экономического и социального развития 'СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года. В кн.: Материалы ХХУ1 съезда КПСС. М., 1981, с.131-205.

2. Материалы Пленума Центрального Комитета КПСС от 26-27 декабря 1983 г. М.: Политиздат, 1984. - 31 с.

3. Безухов Н.И., Бажанов В.Л., Гольденблат И.И. и др. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур. М.: Машиностроение, 1965. - 568 с.

4. Био М. Термоупругость и термодинамика необратимых процессов. Механика, 1957, № 3, с.68-92.

5. Биргер И. А. Остаточные напряжения. М.: Машгиз, 1963. -232 с.

6. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений (пер. с англ.). М.: Мир, 1964. - 517 с.

7. Болотин В.В. Температурное выпучивание пластин и пологих оболочек в сверхзвуковом потоке газа. В кн.: Расчеты на прочность. Вып. 6. М.: Машгиз, i960, с.190-216.

8. Вейнер Дж., Ландау Г. Температурные напряжения в упруго-пластических телах. В кн.: Пластичность и термопластичность (пер. с англ.). - М.: ИЛ, 1962, с. 70-91.

9. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. - 984 с.

10. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. М.: Наука, 1976, с.351-366.

11. Гасс С. Линейное программирование. М.: Физмат, 1961. -303 с.

12. Гейтвуд Б.Е. Температурные напряжения (пер. с англ.). -М.: ИЛ, 1959. 352 с.

13. Гецов Л.Б. Механические свойства материалов при повышенных температурах. М.: Металлургия, 1965. - 295 с.

14. Гвоздев A.A. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия. М.: Стройиздат, 1949. - 280 с.

15. Гвоздев A.A. Определение величины разрушающей нагрузки для статически неопределимых систем. Б кн.: Проект и стандарт. - М., 1934, № 8, с.10-16.

16. Гольденблат И.И., Бажанов В.Л. Обобщение формулы перемещений Максвелла-Мора на случай теплового нагружения упругих стержневых систем. В кн.: Строит, мех. и расчет сооружений. - М.: 1982, J£ I, с. 19-21.

17. Гохфельд Д.А. Несущая способность конструкций в условиях теплосмен. М.: Машиностроение, 1970. - 260 с.

18. Гохфельд Д.А. Некоторые результаты экспериментального исследования приспособляемости при тепловых воздействиях. В кн.: Тепловые напряжения в элементах турбомашин.- Вып.2. Киев: Изд-во АН УССР, 1962, с.133-140.

19. Гохфельд Д.А., Чернявский О.Ф. Несущая способность конструкций при повторных нагружениях. М.: Машиностроение, 1979. -264 с.

20. Гохфельд Д.А., Чернявский О.Ф. Приспособляемость упруго-пластических конструкций: Обзор. В кн.: Проблемы теории пластичности и ползучести, М., 1979, с.7-53. - (Механика: Новое в зарубежной науке, 18),

21. Гусенков А.П., Шнейдерович P.M. Особенности циклического упругопластического деформирования при повышенных температурах. -М.: Машиностроение, 1965, № I, с.47-52.

22. Егоров В.И., Соболев Н.Д. Об относительной оценке сопротивления материалов термической усталости. В кн.: Заводская лаборатория, 1963, В 6, с.739-742.

23. Ершов Г.Ф., Буткевич H.H., Подгайский Ф.И. Исследование напряженного состояния жесткого треугольного стержневого элемента, подвергаемого механическому и температурному нагружениям. -В кн.: Теория и прикладная механика. Минск, 1982, № 9, с.47-52.

24. Зуховицкий С.П., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М.: Наука, 1967. - 440 с.

25. Ильюшин A.A. Пластичность.-М.: Гостехиздат, 1948. 376с.

26. Караманский Т.Д. Численные методы строительной механики (пер. с болгар.). М.: Стройиздат, 1981. - 436 с.

27. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Гостехиздат, 1956. - 324 с.

28. Кведарас Б.В., Сапаговас М.П. Вычислительные методы (на лит. языке). Вильнюс: Минтис, 1974. - 516 с.

29. Киракосян P.M. Некоторые теоремы об упругопластическом равновесии тела. Докл. АН Арм.ССР. Механика, 1971, Т.24, $ 6, с.25-31.

30. Койтер В. Общие теоремы упруго-пластических сред (пер. с англ.). М.: ИЛ, 1961. - 79 с.

31. Койтер В. Новая общая теорема о приспособляемости упруго-пластических конструкций. Механика, 1957, të 3(43), с.93-103.

32. Коренев Б.Г. 0 стационарном температурном поле в тонкой пластинке и стержне, лежащих на сплошном однородном основании. -Докл. АН СССР, 1956, Т.107, № 2, с.225-228.

33. Кузнецов В.Н. 0 термической усталости металлов. В кн.: Теплоэнергетика, 1957, № 12, с.32-35.

34. Купман Д., Ланс Р. 0 линейном программировании в теории предельного равновесия. Механика, 1964, № 2, с.150-160.

35. Куприянов В.В. Расчет рамных конструкций из упруго-пластического материала на повторно-переменное нагружение. Строительная механика и расчет сооружений, 1959, № 2, с.33-35.

36. Кюнци Г.П., Крелле В. Нелинейное программирование. М.: Советское радио, 1965, - 303 с.

37. Лебедев H.H. Температурные напряжения в теории упругости. М.: ГТТИ, 1937, - ПО с.

38. Лебедев H.H. Тепловые напряжения в теории упругости.ШМ, 1934, 2, № I, с.52-60.

39. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. - 400 с.

40. Майер Дж. Квадратичное программирование и теория упруго-идеально-пластических конструкций. Механика, 1969, № 6, с.112-128.

41. Майзель В.М. Обобщение теоремы Бетти-Максвелла на случай термического напряженного состояния и некоторые его приложения. -Докл. АН СССР, 1941, Т.ЗО, № 2, C.II5-II8.

42. Майзель В.М. Температурная задача теории упругости. -Киев: Изд-во АН УССР, 1951, 152 с.

43. Мелан Е., Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями. М.: Физматиз, 1958. - 167с.

44. Москвитин В.В. Пластичность при переменных напряжениях.-М.: Изд-во МГУ, 1965. 263 с.

45. Нахди П.М. Соотношения между напряжениями и деформациями в пластичности и термопластичности. Механика, 1962, № 1(71), с.87-134.

46. Нил Б.Г. Расчет конструкций с учетом пластических свойств материалов (пер. с англ.). М.: Госстройиздат, 1961. - 315 с.

47. Немировский Ю.В. Об оценках веса пластических оптимальных конструкций. Механика твердого тела, 1968, № 4,с.159-162.

48. Ованесова Ж.Г., Абрамов В.В. Упругопластический расчет многопролетной балки из композитного материала при совместном механическом и температурном воздействии. В кн.: Проблемы прочности, 1973, № 10, с.62-65.

49. Огибалов П.М. Деформация трубы под действием внутреннего давления при переменной температуре. Инженерный сборник, 1954, Т. 20, с.55-58.

50. Одинг И.А. Допускаемые напряжения в машиностроении и циклическая прочность металлов. М.: Машгиз, 1962. - 260 с.

51. Бапкович П.Ф. Общий интеграл тепловых напряжений. ПММ, 1937, Т. I, вып. 2, с.245-246.

52. Ларкус Г. Неустановившиеся температурные напряжения. -М.: Физматгиз, 1963. 252 с.

53. Писаренко Г.С. и др. Прочность материалов при высоких температурах. Киев: Наукова думка, 1966. - 795 с.

54. Почтман Ю.М., Пятигорский З.И. Расчет и оптимальное проектирование конструкций с учетом приспособляемости. М.: Наука, 1978. - 208 с.

55. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования конструкций. М.: Мир, 1977. - 109 с. (Механика: Новое в зарубежной науке, ^ II).

56. Прагер В. Приспособляемость в упругопластической среде, подвергнутой циклам нагрузки и температуры. Механика, 1958,5(51), с.121-125.

57. Прагер В. Расчет конструкций за пределом упругости при циклических температурных воздействиях. Механика, 1957, 3(43), с.104-111.

58. Прагер В., Шилд Р. Обобщение метода оптимального проектирования конструкций с учетом, пластических деформаций. Труда А0ИМ. Прикладная механика, 1967, № 4, с.36-58.

59. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел (пер. с англ.). М.: ШГ, 1956. - 398 с.

60. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Оптимальное проектирование деформируемых твердых тел. В кн.: Механика деформируемого твердого тела. М., 1978, т.12, с.5-90. - (ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Сер: Механика деформируемого твердого тела).

61. Ржаницын А.Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов. М.: Госстройиздат, 1954. - 288 с.

62. Розенблюм В.И. К анализу приспособляемости неравномерно нагретых упруго-пластических тел. Журнал прикладной механики и технической физики, Наука, 1965, вып. 5, с.98-101.

63. Розенблюм В.И. К теории приспособляемости упруго-пластических тел. Известия АН СССР. ОШ, 1958, Л 6, с.47-53.

64. Розенблюм В.И. 0 приспособляемости неравномерно нагретых упруго-пластических тел. Известия АН СССР. ОТН, 1957, № 7,с.136-138.

65. Розенблюм В.И., Шабров H.H. К теории термоупругих напряжений в стержнях. В кн.: Прикладная механика, 1981, 7, с.163-166.

66. Рожваны Д. Оптимальное проектирование изгибаемых систем (пер. с англ.). М.: Стройиздат, 1980. - 316 с.

67. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высш.школа, 1969. - 608 с.

68. Суворов Ю.П. Распространение температурных напряжений в упруго-пластическом стержне. В кн.: Прикл. математика и механика, 1963, J& 27, с.383.

69. Шорр Б.Ф., Дульнев P.A. Исследование температурных напряжений и ползучести при переменных температурах. (Обзор). Заводская лаборатория, 1964, В 3, с.340-347.

70. Фридман Л.И. Изменение пластических деформаций при многократных неравномерных нагревах. В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструкций. Киев: Изд-во АН УССР, 1963. Вш.З, с.120-131.

71. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. М.: Обо-ронгиз, 1952. - 556 с.

72. Фридман Я.Б. Прочность и деформация в неравномерных температурных полях. М.: Госатомиздат, 1962. - 256 с.

73. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование (пер. с англ.). М.: Мир, 1967. - 506 с.

74. Хода: Ф.Г. Приспособляемость упругопластических конструкций. В кн.: Остаточные напряжения (пер. с англ.). - М.: ИЛ, 1957, с.196-208.

75. Ходж Ф.Г. Расчет конструкций с учетом пластических деформаций (пер. с англ.). М.: Машгиз, 1963. - 380 с.

76. Хорн М.Р. Влияние остаточных напряжений на работу пластических конструкций. В кн.: Остаточные напряжения (пер. с англ.). - М.: ИЛ, 1957. с.161-185.

77. Чижас А.П. К расчету упругопластических упрочняющихся одномерных систем. Строительная механика и расчет сооружений, 1973, В 2, с.17-20.

78. Чирас A.A. Двойственность в задачах строительной механики, теории упругости и пластичности. Литовский механический сборник, 1968, В 2(3), с.34-54; 1969, гё 1(4), с.9-25.

79. Чирас A.A. Математические модели анализа и оптимизации упруго-пластических систем. Вильнюс: Мокслас, 1982. - 112 с.

80. Чирас A.A. Методы линейного программирования при расчете упруго-пластических систем. Л.: Стройиздат, 1969. - 200 с.

81. Чирас A.A. Расчет упруго-пластических рам с применением методов линейного программирования (на лит. языке). Строительство и архитектура, 1964, Т.4, с.137-144.

82. Чирас A.A. Расчет упруго-пластических статически неопределимых балок с применением методов линейного программирования (на лит. языке). Научные труды высших учебных заведений ЛитССР.

83. Строительство и архитектура, 1963, Т.З, I 2, с.5-21.

84. Чирас А.А. Теория оптимизации в предельном анализе твердого деформируемого тела. Вильнюс: Минтис, 1971. - 123 с.

85. Чирас А.А., Боркаускас А.Э., Каркаускас Р.П. Теория и методы оптимизации-упруго-пластических систем. Л.: Стройиздат, 1974. - 280 с.

86. Чирас А.А., Каланта С.А. Определение матрицы функции текучести конечного элемента. Вильнюс, 1977. - 8 с. - Рукопись представлена Вильнюсским ИСИ. Деп. в ЛитНИИНТИ 28 апреля 1977 г., № 195-77.

87. Чирас А.А., Чюпайла Л.А. Решение вырожденных задач анализа идеально упругопластических рам. В кн.: Динамика и прочность машин и конструкций. Вильнюс, 1982, с.18-27 (Науч.тр.вузов ЛитССР. Сер. Литовский механический сборник, JS 25).

88. Юдин Д.Б., Голыптейн Е.Г. Линейное программирование. -М.: Физматгиз. 1963. 775 с.

89. Chen Du, Cheng Shun, Gerhardt T.D. Thermal stresses in laminated beams. J. Therm. Stresses, 1982, 5, Nr. I, p.67-84.

90. Drucker D.C., Shield R.T. Desing for minimum weigt. -In.: Proc. 9 th Intern. Congr. Appl. Mech. Brussels, 1956, Book 5, p.212-222.

91. Duhamel J. M.C. Memoire sur le calcul des actions mple-culeires developpees par les changements de temperature dans les corps solides. Mem. inst. Prance, 1838, 5, p.440-498.

92. Poulkes J. Linear programming and structural design. -In.: Proceedings of the second Sympozium in linear programming, Brovn University, 1955, V. I, p.177-184.

93. Gavarini C. Plastic analysis of structures and duality in linear programming. Meccanica, 1966, V. I, В" 3-4, p.95-97.

94. Konig J.A. Adaptacja konstrukcji gdy stale sprgzyste zalezq od temperatury. larszawa, 1971. - 22 c.

95. Konig J.A. 0 projektowaniu konstrukcji z uwzgl§dnieniem przystosowsnia w przypadku, gdy stale spr§zyste zalezq. od temperatury. Rozprawy inzynierskie, 1972, 20, H 3, p.423-434.

96. Maier G., Siacomihi S., Paterlini F. Combined elasto-plastic and limit analysis via restricted basis linear programming. Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., 1979. V. 19, H I, p.21-48.

97. Melan E. Der Spannungszustand eines Hencky Misesschen Kontinuums bei veränderlicher Belastung Sitz. Ber. Ak. Wiss.Wien, 1938, II a, p. 147.

98. Melan E. Theorie statisch undbestimmter Systeme aus idealplastischen Baustoff. Sitz. Ber. Ak. Wiss. Wien, 1936, II a, p. 145-195.

99. Melan E. Zur Piastizitat des raumlichen Kontinuums. -Ing. Arch., 1938, 116, U 9, p. 113-118.

100. Ueuman F.E. Die Gesetze der Doppelbrechung des Lichte in Comprimirten oder ungleichforming erwarten unkrystallinischen Korpern, Abhandl. Kugl. Akad. Wiss. Berlin, 1841, T.2, p.1-254.

101. Poisson S.D. Memoire sur l'equilibre et le mouvement des corps elastiques, Mem. Paris Acad., 1829, N 8, p.357-370.

102. Ponter A.R.S. Ageneral shakedown theorem for elastic-bodies with work hardening. Struct.Mech. in React.Techn., 1975, Mr. 5, p. 251-258.

103. Save M.A. Theory of optimal plastic design of structures. In: structural optimization. Wien-New-York, 1975, p. 151208. - (CISM courses and lectures, U 237).

104. Symonds P.S. Shakedown in continuous media. J.Appl. Mech., I951, HI, p.85-89.

105. Streng G. Some recent contributions to plasticy theory. J.Franklin Inst., 1976, V. 302, ¥ 5-6, p.429-441.

106. Tin Loi P., Grundy P. Deflection Stability of work-hardening structures. Ins. Struct. Mech., 1978, V. 6, Nr. 3, p.331-377.

107. ГОСТ 19.002-80. Единая система программной документации. Схемы алгоритмов и программ. Правила выполнения. Взамен ГОСТ 19427-74; Введ. 01.07.81. - 10 с.

108. ГОСТ 19.003-80. Единая система программной документации. Схемы алгоритмов и программ. Обозначения условные графические. -Взамен ГОСТ 19428-74; Введ. 01.07.81. 12 с.