Обобщенные интегралы типа Римана-Стилтьеса и формула интегрирования по частям тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

2 Обобщенные интегралы

2.1 Базисные определения и результаты.

2.1.1 Интегралы Полларда и Юнга.

2.1.2 Масштабные интегралы.

2.1.3 Слабая лемма Сакса-Хенстока и непрерывность неопределенного интеграла.

2.1.4 Вектор-функции ограниченной вариации.

2.2 Необходимые условия интегрирования по частям.

3 Интегрирование по частям

3.1 Связь интегралов Юнга и Полларда.

3.2 Интегрирование по частям относительно базиса 5F.

3.3 Примеры

Эта работа посвящена проблемам теории интеграла Стилтьеса вектор-нозначных функций, то есть функций, определенных на отрезке действительной прямой и принимающих значения в некотором банаховом пространстве. В основном рассматриваются процессы интегрирования, обобщающие процесс Римана-Стилтьеса. Такие процессы основаны на уменьшении класса разбиений, по которым осуществляется предельный переход, и (или) различных модификациях интегральных сумм.

Положительные действительные функции на множестве Е будут называться масштабами на множестве Е.

На протяжении работы мы будем придерживаться следующих обозначений:

1. Q — множество всех рациональных чисел, R — множество всех действительных чисел, С — множество всех комплексных чисел.

2. / — интервал1 действительной прямой, 0 —■ пустое множество, Р — замыкание множества Р, Р° — множество всех внутренних точек множества Р, дР — граница множества Р, цР — мера Лебега множества Р.

3. X, У, Z — банаховы пространства над М. (над С), X* — сопряженное к X (пространство линейных непрерывных функционалов надХ).

4. AF(I) — приращение функции F на интервале /, A+F(t) = F(H-) — F{t), A~F(t) = F(t) - F{t-), и A±F(t) = F{t+) - F(t~).

1 Слово интервал подразумевает промежутки вида: (c,d) — открытые интервалы, [с. d) — открытые справа интервалы, (c,d] — открытые слева интервалы, [с, d] — замкнутые интервалы (отрезки), где с < d. Всякий раз, когда из контекста ясно о каком типе интервалов идет речь, уточняющие слова будут опускаться.

Основные результаты, касающиеся интегрирования по частям, получены А. Бардом в 1936 году [89], Р. Хенстоком в 1973 году [40] и В. Пфеффером в 1981 году [70].

Для интеграла Хенстока-Стилтьеса роль свойства ограниченности вариации играет свойство VBG*, которое обобщает свойство ограниченности вариации. В настоящей работе нам потребуется отличное от известных классических определений С. Сакса [5] определение VBG*-функций, которое было разработано в связи с задачами теории интеграла Хенстока (см. В. Ин [21], Б. Томсон [88], П. Ли [53, 54]).

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ

20

Определение 1.3.2. Функция / : [а, Ъ] —> М называется функцией ограниченной вариации в узком смысле (VВ*-функцией) на множестве Е С [а, 6], если существует такая постоянная М > 0, что для всякой системы 1 неперекрывающихся интервалов из [a, b] таких, что д1гГ\Е ф 0 при всех г, имеет место неравенство

Определение 1.3.3. Функция / : [а, Ь] —> М называется функцией обобщенной ограниченной вариации в узком смысле (VВG* -функцией) на множестве Е С [а,Ь], если множество Е может быть представлено в виде объединения Ub=i ^k, причем / есть УВ*-функция на каждом из множеств Ek

А. Вард в работе [89] получил теорему N, дающую достаточные условия справедливости формулы интегрирования по частям для W -интеграла. При доказательстве Вард использовал методы теории интеграла Перрона.

Теорема N (Вард). Пусть действительные функции fug определены на [а,Ь]. Тогда если g — ограниченная VBG*-функция на [a,b], a f ограничена на [а, Ь] и непрерывна за исключением точек множества N такого, что jJbg(N) — 0 и g непрерывна в каждой точке множества N, то имеет место формула если один из интегралов в левой части формулы (1.7) существует.

Далее Вард замечает, что, не смотря на то, что условия теоремы N далеки от необходимых и могут показаться "искусственными", на самом деле они таковыми не являются. Вард формулирует, но не приводит доказательства следующей теоремы.

Теорема О (Вард). Пусть действительные функции f и g определены на [а, Ь). Тогда если g — VBG*-функция на [а, Ь] и, при t € [а, Ъ\, то / непрерывна на [а, Ъ] за исключением множества точек N такого что fj,g(N) = 0. п

1.7)

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ 21

Р. Хенсток в работе [40] дал обзор исследований интегрирования по частям. Заметив, что семейство масштабных и вариационных интегралов, хотя и не содержит, например, IPS-интеграл, но в то же время довольно широко и включает многие известные обобщения интеграла Римана-Стилтьеса, Хенсток получил теорему о необходимых и достаточных условиях интегрирования по частям для специального вариационного интеграла.

Рассмотрим базис

А = {(/,£) € 0 х [а, 6] : I G 3,t 6 dl}.

Нетрудно видеть, что вариационная интегрируемость относительно Л эквивалентна HS-интегрируемости (см. стр. 10). Теорема Р содержит необходимые и достаточные вариационные условия справедливости формулы интегрирования по частям на каждом подинтервале интервала [а, 6].

Теорема Р (Хенсток). Пусть действительные функции f и g определены на [а, Ь]. Рассмотрим функции интервала I Е 3 и точки t Е [а, b] fAg)(I,t) = f(t) • Ag(I), (gAf)(I,t) = g(t) • Д/(/), (AfAg)(I,t) = Af(I)-Ag(I).

Если соотношение

VA) f fAg + (VA) = Д (/•«?) ([а,*]) (1.8)

J a J a выполняется при t £ [a, b], mo

V(AfAg, [a, b],A) ее infsup £ | Af(I) • Ag(I)\ = 0, (1.9)

О 7Г где инфимум берется no всем масштабам 8 на [a,b], а супремум по всем As-разбиениям тг интервала [а,Ь]. Обратно, если справедливо (1.9) и один из интегралов в левой части формулы (1.8) существует nput = b, то существует другой и имеет место формула (1.8).

Таким образом, теорема Р дает общий метод доказательства формулы интегрирования по частям, для интегралов, которые покрывает интеграл Хенстока-Стилтьеса. Тем не менее, условия теоремы Р довольно трудно проверяются на практике для конкретных функций / и д. В качестве иллюстрации Хенсток выводит из теоремы Р теорему N и приводит несколько примеров, показывающих, что условие (1.9) и существование интегралов в левой части формулы (1.8) независимы друг от друга.

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ

22

Наконец, упомянем о результатах В. Пфеффера [70]. Отметив, что известные теоремы об интегрировании по частям для HS-интеграла либо трудно применимы на практике либо основываются на сведении к интегралу Лебега, что противоречит духу неабсолютного интегрирования, Пфеффер со своей стороны предложил следующие теоремы.

Теорема Q (Пфеффер). Пусть действительные функции f, g и а определены на [а, Ь], причем а — функция ограниченной вариации на [а, Ь], и функции

F(t) = (HS) f f da и G(t) = (HS) f g da J a J a определены при t G [а, Ь]. Тогда если F и G непрерывны на [a,b], то интеграл (HS) J^(fG + Fg) da существует и

HS) [ (fG + Fg)da = F(b)G(b).

J a

Из теоремы Q вытекает

Теорема R (Пфеффер). В условиях теоремы Q из существования интеграла Хенстока-Стилтьеса J^G dF вытекает, что существует интеграл Хенстока-Стилтьеса J^ F dG и имеет место формула pb pb (HS) / FdG — F(b) G(b) — (HS) / GdF. (1.10)

J a J a

В частности из теоремы R вытекает справедливость формулы (1.10) для a(t) — t, то есть для ACG*-функций (неопределенных интегралов Хенстока) при условии существования одного из интегралов в (1.10). При доказательстве теоремы Q Пфеффер существенно использовал как непрерывность функций F и G, так и сильный вариант леммы Сакса-Хенстока.

Следовательно, все известные результаты об интегрировании по частям для масштабных интегралов опираются на вариационный подход Хенстока к интегралу или, другими словами, на сильную лемму Сакса-Хенстока. Однако, А. П. Солодов недавно показал (см. [7]), что вопрос о справедливости сильной леммы Сакса-Хенстока для векторных интегралов Хенстока и Мак-Шейна эквивалентен конечномерности пространства значений. Таким образом, актуальна задача о получении общих необходимых и достаточных условий справедливости формулы интегрирования по частям для масштабных интегралов от вектор-функций.

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ 23

1.4 Структура и содержание настоящей работы

Данная работа состоит из трех глав и списка литературы. Внутри глав изложение разбивается на параграфы, а внутри наиболее крупных параграфов — на подпараграфы. Нумерация параграфов и формул двойная: первое число — номер главы, второе — внутренняя нумерация (своя для каждого из перечисленных типов объектов). Нумерация подпараграфов, определений, теорем, следствий, лемм, предложений, замечаний, примеров тройная: первое число — номер главы, второе — номер параграфа, третье — внутренняя нумерация (своя для каждого из перечисленных типов объектов). Результаты, принадлежащие другим авторам, нумеруются заглавными латинскими буквами. Например, теорема Р.

Первая глава — вводная и содержит историю вопроса.

В первом параграфе рассказано о различных модификациях определения интеграла Римана-Стилтьеса. Параграф состоит из двух подпараграфов. Выделены два основных направления в теории интеграла Стилтьеса. Первое направление связано с понятием обобщенного предела, предложенным С. Поллардом в 1923 году (подпараграф 1.1.1), а второе с понятиями вариационного и масштабного интеграла, введенными независимо Р. Хен-стоком и Я. Курцвейлем в конце 50-х годов прошлого века (подпараграф 1.1.2). Также в параграфе содержатся известные результаты о взаимоотношениях указанных интегралов.

Второй параграф посвящен исследованиям в области интегрирования вектор-функций. Вкратце описаны основные подходы к интегрированию векторных функций, включая римановский и лебеговский, отмечены некоторые отличия теории интегрирования векторных функций от теории интегрирования скалярных функций и приведены примеры.

Третий параграф содержит известные результаты об интегрировании по частям для интегралов, определяемых через обобщенный предел (подпараграф 1.3.1), и для некоторых вариационных и масштабных интегралов (подпараграф 1.3.2). Проведено сравнение ряда теорем известных авторов и на его основе поставлены актуальные проблемы теории интегрирования по частям обобщенных интегралов типа Римана-Стилтьеса для векторных функций.

Четвертый параграф содержит обзор настоящей работы.

Во второй и третьей главах содержатся собственно результаты автора.

Вторая глава посвящена изучению обобщенных интегралов от векторных функций.

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ 24

Первый параграф содержит определения и базисные свойства изучаемых в диссертации интегралов, а также специальных классов функций ограниченной вариации. Параграф состоит из четырех подпараграфов.

В первом подпараграфе содержатся определения и фундаментальные свойства интеграла Юнга и внутреннего интеграла Полларда.

Второй подпараграф посвящен масштабным интегралам от векторных функций. Введены масштабные интегралы относительно базиса, обладающего свойством разбиения и внутренние масштабные интегралы относительно базиса, для которого выполнено внутреннее свойство разбиения. Доказано, что полный базис 5F обладает внутренним свойством разбиения. Доказаны линейность по интегрирующей функции, интегрируемость по подинтервалу и аддитивность для масштабных и внутренних масштабных интегралов. В лемме 2.1.2 вычислены простейшие интегралы Мак-Шейна, необходимые для дальнейшего.

В третьем подпараграфе доказана слабая лемма Сакса-Хенстока для интеграла Хенстока относительно базиса 3\ В предложении 2.1.9 доказано утверждение, что упомянутый выше неопределенный интеграл сохраняет непрерывность.

В четвертом подпараграфе с использованием конструкций М. Гавури-на [29] и И. М. Гельфанда [24, 25] введены классы wVB, wVB*: wVBG и wVBG* вектор-функций на множестве — обобщения классов VB, VB*y VBG и VBG* действительных функций соответственно. Кроме того, доказано несколько простейших свойств классов wVB* и wVBG* на множестве, необходимых нам в дальнейшем изложении.

Второй параграф посвящен получению необходимых условий интегрирования по частям при помощи простейших свойств интеграла, доказанных в первом параграфе. На функции накладываются условия, аналогичные условиям, которые использовали А. Вард в теореме О и Р. Хен-сток в теореме Р. Введены локальные и глобальные условия первого рода (определения 2.2.2, 2.2.3) для пары вектор-функций, обобщающие условия, которые использовал У. Юнг [91, с. 136-137] для интеграла Римана-Стилтьеса. Данный параграф содержит основные результаты второй главы — теоремы 2.2.1 и 2.2.2. В случае интеграла Хенстока относительно базиса 5Г из того, что классическая формула интегрирования по частям справедлива на каждом подинтервале вытекает выполнение локальных (теорема 2.2.1) и глобальных (теорема 2.2.2) условий первого рода для пары интегрируемых функций.

Третья глава посвящена получению достаточных условий интегрирования по частям для интегралов Юнга и внутреннего интеграла Полларда, а также для интегралов Хенстока относительно базиса 5F.

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ 25

В первом параграфе доказана теорема 3.1.1, аналогичная теоремам Н и I Дж. Мак-Нерни и теореме L Ф. Райта и Дж. Бейкера. Однако, в отличие от этих теорем на функции наложены минимальные условия и вообще отсутствует требование ограниченности вариации в духе теорем F и М. При доказательстве нами существенно использована схема, предложенная Э. Лавом в работе [57]. Из теоремы 3.1.1 выведено следствие

3.1.1 об интегрировании по частям для внутреннего интеграла Полларда. В заключение параграфа сделано замечание о несимметричности условий теоремы 3.1.1.

Во втором параграфе содержатся основные результаты данной диссертации — о достаточных условиях интегрирования по частям для интеграла Хенстока относительно базиса 5F и внутреннего интеграла Хенстока относительно базиса 5F (теоремы 3.2.1 и 3.2.2 соответственно). Доказательство в основном проведено по схеме, предложенной Р. Хенстоком в работе [40]. Однако, специфическими в данной работе являются слабые вариационные условия (леммы 3.2.4 и 3.2.5), которые выводятся из справедливости для пары интегрируемых функций глобальных условий первого рода (определение 2.2.3) и глобальных условий второго рода (определение 3.2.3) соответственно. Глобальные условия второго рода обобщают условия, которые использовали С. Сакс и Л. Юнг [5, с. 156-158] для интеграла Лебега-Стилтьеса. Интегрируемые функции предполагаются принадлежащими классу wVBG*. Из теоремы 3.2.1 выведено следствие 3.2.1, обобщающее теорему R В. Пфеффера. Кроме того, к теореме 3.2.1 сделаны два замечания: первое — относительно независимости ее условий и существования хотя бы одного интеграла в формуле интегрирования по частям и второе — относительно "неабсолютного" характера этой теоремы. Два замечания сделаны также к теореме 3.2.2 для внутреннего интеграла Хенстока относительно базиса Первое — о ее независимости с теоремой 3.1.1 и второе — о невозможности считать даже одну функцию в условии этой теоремы принадлежащей классу wVBG. В дополнение к теоремам 3.2.1 и

3.2.2 в качестве следствий из теоремы 3.2.2 получены теоремы 3.2.3, 3.2.4 и 3.2.5, содержащие формулы интегрирования по частям для функций, имеющих разрывы первого рода хотя бы в одном из концов интервала интегрирования. Эти формулы аналогичны формуле (1.6) Э. Лава.

Третий параграф — заключительный параграф настоящей работы. В этом параграфе собраны разнообразные примеры, иллюстрирующие полученные в третьей главе результаты. Обоснование и конструкция большинства из этих примеров, за исключением примеров 3.3.4 и 3.3.5, принадлежат непосредственно автору.

Текст диссертации насчитывает 66 страниц.

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ 26

1. На протяжении этой и следующей главы предполагается, что заданы три банаховых пространства X, Y и Z над R (над С), а также билинейное отображение: I х У —► Z, которое удовлетворяет условию ограниченности1. Hz-vlKMIMIпри всех xeX,yeY.

2. Базисные определения и результаты

3. Определение 2.1.1. Функция / : a, b. —> X называется интегрируемой в смысле внутреннего интеграла Полларда-Стилтьеса (IPS)по функции

4. Вектор z будем далее обозначать1.S) Ь f-dg.1. J а

5. Е /fa) • Ш-) 9(и-1+)} + ^ № • А±д(и) - zг=1г=О£.

6. Вектор z будем далее обозначать1. YS) f f-dg. J а

7. Предложение 2.1.1. Пусть заданы функции f : a, b. —> X и g\,g2 '■ [а, 6] —» У. Тогда для произвольных скаляров Ai и Л2 имеет место равенство

8. S) f f ■ d(X\ 9l + Л2 g2) = Л: (IPS) f f-d9l + \2 (IPS) f f ■ dg2,1. J a J a J aесли существуют IPS -интегралы в его правой части.

9. Доказательство. Очевидно. □

10. Предложение 2.1.2. Пусть заданы функции / : а, 6. —> X и g : [а, Ь) —>• Y. Тогда имеет место формула

11. S) f f-dg = (IPS) Г f-dg + (IPS) t f ■ dg, (2.1)1. J a J a J сa <c < b, если интегралы в левой или правой части (2.1) существуют.

12. ГЛАВА 2. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 29

13. Доказательство. Схема доказательства стандартна и может быть найдена, например, у Э. Лава 56, стр. 310. □

14. Замечание 2.1.1. Таким образом, если функция / : a, b} —» X IPS-интегрируема по функции д : [a, b. —> Y на [а, 6], то можно ввести неопределенный IPS -интеграл

15. FIPS(t) = (IPS) f f-dg, tea,b}. J a

16. Предложение 2.1.3. Пусть заданы функции f : a, b. —> X и g\,g2 : [a, b] —> У, причем g\ и g2 имеют односторонние пределы в каждой точке [а, b}. Тогда для произвольных скаляров Ai и Х2 имеет место равенство

17. YS) f / ■ d(X1 9l + A2 g2) = Ai (YS) f f-d9l + A2 (YS) f f dg2,1. J a J a J aесли существуют YS -интегралы в его правой части.

18. Доказательство. Очевидно. □

19. Предложение 2.1.4. Пусть заданы функции f : a,b. —> X и g : [а, 6] —> Y, причем g имеет конечные односторонние пределы в каждой точке [а, Ь]. Тогда имеет место формула

20. YS) bf-dg = (YS) Г f-dg + (YS) f f ■ dg, (2.2)1. J a J a J сa < с < b, если интегралы в левой или правой части (2.2) существуют.

21. Доказательство. См. Э. Лав 56, стр. 310. □

22. Замечание 2.1.2. Таким образом, если функция / : a,b. —> X YS-интегрируема по функции g : [a, b] —> Y на [а, Ь], то можно ввести неопределенный YS -интеграл

23. FYS(t) = (YS) f f-dg, tea,b}. J a21.2 Масштабные интегралы

24. Пусть Ъ — базис на а, Ь. (см. стр. 9-11, где введены соответствующие определения).

25. ГЛАВА 2. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 30

26. Определение 2.1.4. 23-разбиение 7Г ^-интервала I называется внутренним если из (/о, t) £ 7Г и /о С вытекает, что t G /q , а в случае /оПд/ ^ 0, что t G /0 П 9/.

27. Jo,f)€B, {h,t)e%, /0n/i = w вытекает, что (/о U ii, £) £ 23, и обратно, из условий

28. G®, t £1° вытекает, что ((-оо, t. П /, £) <Е Ъ и (/ П t, оо), t) € 23.3. для любого 23-интервала I и любого масштаба 5 на I существует подчиненное 5 на I внутреннее 23-разбиение I.

29. Лемма 2.1.1. Полный базис интервалов 5F па а, Ъ. обладает внутренним свойством разбиения.

30. ГЛАВА 2. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ31

31. Рассмотрим интервал 1а С (т — 6(т),т + б(т)). Противоречие проистекает из того, что для интервала 1а, очевидно, существует внутреннее 3V разбиение. □

32. OB) / • dg С(1Ъ) [ f-dg Jlo \ Jlo у

33. Предложение 2.1.5. Пусть базис Ъ на а,Ь. обладает свойством разбиения и заданы функции / : [a, b} —> X и gi,g2 : [а, Ь) —> У. Тогда для произвольных скаляров Ai и Х2 имеет место равенство

34. В) Г / • d(X191 + А2 g2) = Ai (В) Ь f'd9l + А2 (Ъ) f f-dg2,1. J a J a J аесли существуют интегралы Хенстока относительно базиса Ъ в его правой части.

35. Доказательство. Очевидно. □

36. Доказательство. Теорема есть непосредственное следствие общего критерия Коши существования предела функции по базе. □

37. ГЛАВА 2. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ33

38. Замечание 2.1.4. Рассмотрим функции / : а,Ь. —» X и д : [а, Ь] —> Y. Из предложения 2.1.7 вытекает, что для полного базиса^ на [а,Ь] и базиса Мак-Шейна на [а, 6] имеют смысл неопределенные интегралы

39. F?(t) = (?) Г / • dg, F^it) = (/5F) Г / • ф, FmM = (М) Г / • dp,1. J a J a J апри условии, что t Е а, 6. и / интегрируема по Хенстоку по g на [а, 6] в соответствующем смысле.

40. Доказательство. Проведем, например, для внутренних интегралов Хен-стока относительно базиса Ъ. Пусть OIq П д1\ = {с}. Для краткости обозначим рzk = (1Ъ) / f-dg, к = 0,1.Л

41. Зафиксируем е > 0. Выберем масштабы <5о на Iq и <5i на 1\ так, чтобы для всякого внутреннего ^-разбиения 7Г° интервала Iq и для всякого внутреннего -разбиения 7Г1 интервала 1\ выполнялись неравенства1. Е f(t)-Ag(I)-zk1.t)£nk

42. Теперь определим масштаб <5 на I.1. 6(t) = min {6o(t), |с — £|}, если t e Iq \ {c}.2. 5(c) = min{50(c),^i(c)}.

43. S(t) = min |с если t G I\ \ {c}.

44. Пусть 7r — внутреннее Sj-разбиение интервала I. Тогда из пунктов 1 и 3 и внутреннего свойства разбиения базиса Ъ вытекает, что

45. Е т ■ = Е /(*) • + Е /w •(2-4)1.t)ev (I,t)e7r° (l,t)e тг1

46. ГЛАВА 2. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫгде тгк — внутреннее !В^-разбиение интервала Д, к = 0,1. Используя (2.4), получим34f{t) ■ Ag(I) (z0 + Z\) < е.1.t)&г

47. Слабая лемма Сакса-Хенстока играет фундаментальную роль в теории масштабных интегралов, поскольку обеспечивает непрерывность неопределенного интеграла. В отличие от сильной леммы Сакса-Хенстока, слабая остается справедливой и для вектор-функций.

48. Лемма 2.1.3. Пусть базис Ъ на а,Ь. обладает свойством разбиения, функция / : [a, b] —> X интегрируема по Хенстоку относительно базиса Ъ по функции g : [а, Ъ] —> Y на [а, Ь] и для некоторого е > 0 найдется

49. Доказательство. Определим масштаб 6 на а, Ь.1. 5(t) = b — t, если t е а, Ъ).2. S(b) = b а.

50. Если 7г — произвольное Mj-разбиение а, 6., то

51. Y № • Ag(I) = т ■ {У1 Уо} = т ■ A-g(b).1.t)E 7Г

52. ГЛАВА 2. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ35такой масштаб 5, что для всякого Ъ$-разбиения ж интервала а,Ь. имеет место неравенство1. Г № ■ Ар(/) СВ) bf1.t)&Г Jadg(/(*) • Д<?(/) (В) // • dpе.

53. Рассмотрим Ъj-разбиение 7г = и U (J 7гг- интервала а, 6. Тогдаi:(Ii,ti)<£<r

54. Y, т ■ = Е /w Л5« + Е Е ло •т f f-dg= Y^m f-dg+ £

55. Вычитая из первого равенства второе и выполняя оценку с использованием неравенств (2.5) и условия леммы, мы получим, чтоf/W •-№)//• ^1+ к■

56. В виду произвольности к утверждение леммы доказано.

57. ГЛАВА 2. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ36

58. X интегрируема по Хен-а, 6. —> Y на [а, 6]. Для

59. Доказательство. Пусть функция / : а, Ь. -стоку относительно базиса 5F по функции д определенности предположим, что в точке с € (а, 6] функция д непрерывна слева. Покажем, что в точке с будет непрерывна слева и функция1. F*.

60. Точную нижнюю грань таких М будем обозначать W(д, Е) и называть w -слабой вариацией функции д на множестве Е.

61. Замечание 2.1.5. Если д — -шУВ-функция на множестве Е С а, 6. и С Е, то д — wFB-функция на множестве Е\, причем

62. ГЛАВА 2. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ37

63. Замечание 2.1.6. Если д — wVB*-функция на множестве Е С а, 6. и Ei С Е, то д — -ш1ЛВ*-функция на множестве £i, причем

64. Лемма 2.1.4. Пусть д : a,b. —> Y — wVВ*-функция на подмножествах А и В отрезка [а, Ь]. Тогда g — wV В*-функция на множестве A U В, причем

65. W*(flf, A U i?) < W*(<7, А) + W*(</, В).

66. Доказательство. Рассмотрим произвольную систему неперекрывающихся отрезков {Ii}f= 1 таких, что Ii С а, 6. и <9/гП(АШ) 0, и произвольную систему векторов С X. Введем множества1. Имеем тогдаг=1х{ • АдЩieSAa- • Ap(/i)ieSB1. W*(9,A)+W*(g,B).mML |M|.

67. Отсюда вытекают все утверждения доказываемой леммы.

68. Определение 2.1.9. Функция g : a,b.1. Y называется функциейw -обобщенной ограниченной вариации в узком смысле (wVBG*-функцией) на множестве Е С а, Ь., если существует такая система множеств00

69. Ei}?ib что Е = (J Ei и g — wVB*-функция на каждом из множеств Ei. i=1

70. Лемма 2.1.5. Пусть g — wV BG*-функция на множестве Е. Тогда существует разбиение {Pk}kLi множества Е такое, что g — wVB*-функция на каждом из множеств

71. Доказательство. Рассмотрим систему множеств {Ег}^г таких, что Е =оо1J Ei и g — и>У.В*-функция на каждом множестве Ei. Введем множестваг=1к(J^iг=1

72. ГЛАВА 2. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 381. Имеем тогдаfil с П2 с .,001. Е = (J Пк.к=1

73. Из леммы 2.1.4 следует, что д — «;У.£?*-функция на каждом множестве Qk- Введем множества1. Pi = Рк = ^к\ к > 1.

74. Pk}f=i — искомое разбиение множества Е. □

75. Определение 2.1.10. Функция д : а, Ь. —> У называется функцией w -обобщенной ограниченной вариации в широком смысле (wVBG-функ-цией) на множестве Е С [а, 6], если существует такая система множествоо

76. E{\^Lb что Е = IJ Е{ и д — wVB-функция на каждом из множеств Е{.г—1

77. Пример 2.1.1. Пусть X = R, Y = Z = Ь°°0,1., [а, 6] = [0,1], операция • -умножение на скаляр. Рассмотрим функциюg(t) = xo,ф t Е [0,1.1. Рассмотрим разбиение0 = t0<t1<-"< tn-1 <tn = lотрезка 0,1. и числа {ЛТогда1. XiAg(U-i,ti.)i=1оо