О некоторых вопросах качественной теории дифференциальных уравнений с производными Стилтьеса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ЗВЕРЕВА МАРГАРИТА БОРИСОВНА

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПРОИЗВОДНЫМИ

СТИЛТЬЕСА

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2005

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико - математических наук, профессор Покорный Юлий Витальевич

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

профессор Садовский Борис Николаевич

доктор физико - математических наук, профессор Хромов Август Петрович

Ведущая организация: Белгородский государственный университет

Защита состоится 15 ноября 2005 г. в 1540 на заседании диссертационного совета К 212.038.05 при Воронежском государственном университете по адресу: 394693, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан "10 октября 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 212.038.05, доктор физико - математических наук, /

профессор ГликлихЮ.Е.

2.00&-Ч

ииг

Общая характеристика работы

Актуальность темы. К началу 20 века осцилляционные спектральные результаты Штурма для задачи

I -{ри')' = Хти \ u(0) = и( 1) = 0

с регулярными коэффициентами считались уже классическими, а по оценке

Гильберта - удивительными. Согласно Штурму, спектр задачи (1) состоит из

строго положительных простых собственных значений; при перенумерации его

точек в порядке возрастания A0<A1<A2<... соответствующие собственные

функции <po,<Pi, ¥>2, • ■ • обладают следующими свойствами:

ipk имеет в (0,1) точно к нулей (узлов);

при каждом к нули <рк и '-Pk+\ перемежаются;

ири каждом п набор образует систему Чебышева ( Тп-систему на

(ОД))-

К настоящему времени изучению обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

-(pu'Y + qu = f- (2)

с обобщенными коэффициентами и соответствующей задачи Штурма - Лиу-вилля

(—(ри')' + аи = А ти

(3)

и(0) = и(1) = 0

посвящено достаточно большое количество работ. Подобные задачи актуальны в самых разных разделах естествознания. Решения со скачками производных описаны уже в классической монографии Ф. Аткинсова. Достаточно тонкий анализ однородного уравнения вида (2) с обобщенными коэффициентами проводился в работах J. Kurzweil. Более полную библиографию можно найти,

Г

яос. национальна* f

библиотека С.Пстер$ургУ/!-/3 « 09

например, у Ф, Аткинсона, А.Ф. Филиппова, С.Т. Завалищина и А.Н. Сесеки-на. Из обширного числа работ особо отметим публикации В.Я Дерра. Ю В. Егорова, С.Т. Завалищина. М Г. Крейна, А.Н. Сесекина, В. Dragovich, A.M. Савчука и A.A. Шпаликова.

Уравнения с обобщенными коэффициентами традиционно исследуются с позиций теории распределений (Шварца-Соболева). Однако в некоторых качественных вопросах теория распределений оказывается недостаточно эффективной вследствие потери локального (т.е. поточечного) характера классического обыкновенного дифференциального уравнения. В этом плане теоремы сравнения (типа Штурма) для однородного уравнения вида (2) с обобщенными коэффициентами, установленные А.Д. Мышкисом в терминах распределений Шварца, являются большим прорывом.

Одним из первых применять интеграл Стилтьеса к задачам математической физики стал М.Г. Крейн. В 50-е гг. М.Г. Крейн и И.С. Кац изучали уравнение

где т есть обобщенная производная от неубывающей функции М(х), трактуя

его в виде интегро-дифференциального уравнения

1+0

где и'+(х) — правая производная, и'_(0) — число, служащее для продолжения правой производной влево от точки 1 = 0. Интерес к этому уравнению они мотивировали более ранними исследованиями Фсллсра. который н связи с задачей рассеяния изучал уравнение

При такой постановке для случая абсолютно-непрерывных решений Крейну, Кацу. Феллеру удалось провести исследование спектральной функции.

—(«')' = А ти,

(4)

о

В 1999 г. Ю.В. Покорным был предложен подход, позволяющий превратить уравнение (3) с обобщенными коэффициентами (q — Q', т ~ М', где Q, М-функции ограниченной вариации) в поточечное, т.е. обыкновенное

d . .. dQ dM ~dä ^ + ~dcrU = ~daU'

где символ обозначает дифференцирование в смысле Радона - Никодима da

по некой <7-мррр, определяемой лишь внешними параметрами исходной задачи. В случае непрерывных решений для уравнений с подобными производными в работах Ю.В. Покорного и С.А. Шаброва был построен достаточно полный аналог классической качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Случай, когда у решений уравнения (3) допускается конечное число точек разрыва при условии регулярности коэффициентов д, т., изучался в работах A.B. Боровских, Ю.В. Покорного, И.Ю. Шуруповой. Осцилляционность спектра здесь была доказана путем переноса теории "ядер Келлога".

В настоящей диссертации обсуждаются вопросы качественного анализа решений уравнения (2) и соответствующей задачи (3). включая информацию о переменах знака решений, о числе нулевых точек собственных функций, о простоте (алгебраической и геометрической) всех точек спектра, когда у коэффициентов q — Q', т = М' допускаются как <$, так и ¿'-слагаемые. Отметим, что присутствие (5-слагаемых означает наличие импульсов Особенности типа S' порождаются разрывами у решений (3), когда возможные скачки р, Q М осложняются присутствием слагаемых ä-образного типа.

В рамках классической осцилляционной теории подобный круг вопросов исследуется обычно с помощью хорошо развитых методов, восходящих к Штурму Однако эти методы оказываются непригодными для обобщенных (по Шварцу - Соболеву) производных, исключающих локальную (поточечную) трактов-

ку. Данную трудность мы обходим, следуя концепции Ю В. Покорного, согласно которой уравнению (2) может быть придано поточечное представление

d , dQ dF

где в обобщенное дифференцирование -^-г вкладывается более узкий (по срав-

"14

нению со случаем непрерывных решений) смысл, определяемый предложенной Ю.В. Покорным расширенной трактовкой интеграла Стилтьеса, которую

мы будем называть 7г-интегралом. Производные и', г мы называем произ-

* d[cг]

водными Стилтьеса, подчеркивая, что дифференцирование здесь обращается интегрированием по Стилтьесу. Запись иJ, означает, что производная обращается интегралом Лебега-Стилтьеса. а обозначение -Дтг квадратными скобками

ми подчеркивает, что соответствующая производная обращается интегралом Стилтьеса, понимаемом в расширенном смысле (7Г-интегралом)

Для более корректного восприятия уравнение (5) будем рассматривать в интегро-дифференциальной форме

X

-ри'^х) + J ud[Q] = F(x) - F(0) - ри^О). (6)

о

Здесь p. Q, F — функции ограниченной вариации на отрезке [0,1], причем, inf р(х) > Q; fi — строго монотонно возрастающая функция па [0,1]. Предполагается, что все функции р, Q, F, ц непрерывны в точках х =■ 0 х = 1 Обрамление d[Q] функции Q(x) квадратными скобками подчеркивает, что речь идет не просто об интеграле Стилтьеса, а о его специальном расширении {тг-интеграле) Решения уравнения (6) рассматриваются в классе Е ¿(-абсолютно непрерывных (с разрывной, вообще говоря, ¿¿(-)) функций, производные которых и'ц имеют ограниченные вариации.

Такой подход требует переноса на задачу (6) классических методов регулярной теории, что и делается в настоящей работе. Основой для переноса

являются полученные в данной работе результаты, уподобляющие уравнение (6) обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, включающие теоремы о разрешимости, вронскианную технику, теоремы Штурма о распределении и перемежаемости нулей и проч.

Используемому нами понятию производной Стилтьеса можно придать следующий вид' /¿-суммируемую функцию }{х) будем называть производной Стилтьеса от функции Р{х) и обозначать если на множестве полной /¿-меры справедливо равенство

о

где интеграл понимается по Лебегу-Стилтьесу. Последняя формула позволяет определять значения /(х) = Р^ в точке либо как предел отношения

——, если он существует, либо как пару односторонних пределов - левую и Д/л

правую производные, если они различны, либо, наконец, тройку чисел, которая получается добавлением промежуточного (между левым и правым) значения производной "собственно как бы в точкеравной отношению скачков

цировании функции Хевисайда в(х) (равной 1 при х > 0 и 0 при х < 0) по //(а;) = х + в(х), когда вместо привычного 9'{х) — 5{х) оказывается (У = ("(г), где С(х) = 0 при х ф 0, и С(0) = 1.

Воспользовавшись понятием 7г-интеграла, мы раскрываем уравнение (6) в сингулярных точках следующим образом. Пусть £ — точка разрыва /л(х). Тогда уравнение (6) реализуется в виде двух равенств:

где через Д г(£) обозначен левый скачок функции г в точке те А~г(£) —

X

ДF

. Подобная ситуация возникает, например, при диффереп-

-д -ри'^о + - о)Д-д(0 = -А+ри'д) + и(!; + 0)д+д(О =

— — 0), а Д+г(£) обозначает правый скачок функции г в точке т.е Д+г(£) = 4- 0) — г(£). Если же в точке £ функция ц[х) непрерывна, а терпит разрыв одна из функций р. С}. то уравнение (6) реализуется в точке ^ в виде равенства

-Ари'Д) + и(0АС}(0 = АГ( О,

где через Аг(£) обозначен скачок функции г в точке т.е. Дг(£) = г(£ + 0) — - 0)

Цель работы. Установить аналог классической качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для интегро - дифференциального уравнения (6) и аналог классической теории Штурма - Лиу-вилля для задачи

' -ри'^х) + /шОД = А/ЦМ] -ри! {0) <оо (7)

_ и(0) = «(1) = 0.

Методика исследований. В работе используется аппарат теории меры, теории интеграла Лебега-Стилтьеса, идеи и методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории пространств с конусами.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

Установлена точная параллель классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:

1. Доказан аналог теорем о непрерывной зависимости решений от начальных условий и спектрального параметра.

2. Доказаны аналоги теорем Штурма о перемежаемости нулей решений однородных дифференциальных уравнений.

3. Доказан аналог теоремы Пойа - Мамманы о представлении неосцилли-

рующего дифференциального оператора в виде суперпозиции квазипроизводных.

4. Доказан аналог принципа Хикса.

5. Доказан аналог теоремы об осцилляционности спектра задачи Штурма-Лиувилля.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в математической физике качественной теории дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами, теории меры и интеграла.

Апробация работы. Основные результаты из всех разделов диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и совещаниях: Международная конференция, посвященная 103 - летаю со дня рождения И.Г.Петровского, Москва, 16 - 22 мая 2004, Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения -ХУ"( 2004 г.) и "Понтрягинские чтения - Х\Ф'( 2005 г.), на семинарах профессора Покорного Ю.В. в 2002 -2005гг, Научной сессии Воронежского государственного университета ( 2005 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1|-[8] Из совместных работ [2,4,8] в диссертацию включены только результаты автора

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав изложенных на 113 страницах машинописного текста, списка цитируемой литературы из 60 наименований на 7 страницах. Общий объем диссертации составляет 120 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, дается общая характе-

ристика работы и обзор результатов по главам.

В первой главе изучается уравнение, имеющее прототип стандартного вида —{ри'У + qu = /, но допускающее разрывные решения, принадлежащие классу BV[0,1] функций ограниченной вариации на отрезке [0,1]. Следуя подходу, предложенному Ю.В. Покорным, последнее уравнение трактуется в виде интегро - дифференциального уравнения (6), главная особен посч, в котором — расширенное (по сравнению со стилтьесовским) толкование интеграла Заметим, что множество точек разрыва всякого решения и{х) уравнения (6) не более чем счетно.

В §1 в порядке мотивации избранного подхода рассматривается вариационная задача

Ф(и) min (8)

для функционала потенциальной энергии разрывной неоднородной струны

*(«) = - J - J ~d[Q] + J ud[F] (9)

ООО жестко закрепленной на концах. Классическая схема Лагранжа приводит задачу (8) для функционала (9) к уравнению (6). В § 2 приводятся основные ß

сведения о 7г-интеграле f ud\v\. В § 3 дается точное описание уравнения (6),

а _

вводятся специальные расширения [0,1]^ и [0, l]s отрезка [0,1] Обозначим через 5(д) множество точек разрыва функции ц{х). Множество [0,1](1 вместо всякой точки £ е S(ß) содержит пару элементов, обозначаемых £ — 0 и f + 0 Множество [0, l]s вместе со всякой точкой разрыва £ функции ¡i(x) содержит пару элементов, £ — 0 и £ + 0, а всякая точка s разрыва одной из функций р, Q, F "расщепляется"на пару s — 0, s + 0. Всякую функцию ограниченной вариации z(x) мы доопределяем в точках вида s — 0, s + 0 соответствующими односторонними пределами В § 3 установлен аналог теорпмы Коии-Пикара о

глобальной разрешимости задачи Коши на [0,1] , а именно доказана Теорема 1.3.1. Для любой точки хо £ [0,1]5 \ S(/j,) и любых чисел щ, vq задача

-ри'^х) + / ud[Q\ = F{x) - F(0) - риЦ0) < о

_ и(х0) = и0, и'м(х0) - v0 имеет единственное решение.

В следствии из теоремы приводится постановка задачи Коши при xq £ S{/j,) и доказывается глобальная разрешимость такой задачи.

В § 4 вводится аналог определителя Вронского и устанавливаются его классические свойства. Показано, что размерность пространства решений однородного уравнения

х

-ри'^х) + jud\Q] = -pu^(O) (10)

о

равна двум.

В § 5 изучается зависимость решений задачи Коши от начальных условий и от спектрального параметра. Введем на пространстве Е норму

IMI, = щах \и{х)\ + VarMpu'), Ид

гдр Varl(puJJ — полная вариация функции ри'^ на [0,1]. Теорема 1.5.1. Пусть функции ф\ и Ф2 непрерывны по А. Тогда соответствующее

и(х о) = (А), и'ц(хо) = ^г(А),

где xq £ [0, l]s\S(fi), региениеи(х, А) уравнения (6) зависит от А непрерывно по норме || • ||м.

В следствии из теоремы доказывается справедливость аналогичного результата при Xq € 5(/ц).

Теорема 1.5.2. Пусть и(х, Л) — решение уравнения

X X

-ри'^х) + J wd[Qo] + ^i(A) j udlQy] =

о 0

= F0(x) - F0(0) + ф2(Л) (ВД - Fi(0)) - риЦО),

где Qa, Qb Fq, Fj - функции ограниченной вариации, причем Qi ^ const, удовлетворяющее условиям

и(х0) - щ, и'^(хо) = Vo

при каком-то х0 £ [О, l]s \ S(fi). Тогда функция и{х, А) вместе с ^i(A), ^2(А) непрерывна по А по норме || • \\ß и бесконечно дифференцируема по А. В следствии из теоремы доказывается справедливость аналогичного результата при хо 6 S(ß).

Во второй главе изучается задача

-ри'^х) + f ud\Q] = F(x) - F(0) - pu' (0)

о (11)

u(0) = u(l) = 0.

В § 1 дастся определение функции влияния K(x,s) задачи (11) как решение задачи

-ри'^х) + / ud[Q} = в{х -а)- pu¡,( 0) . о

и(0) = и(1) = 0,

где s 6 [0,1] \ {0(J1}. Функция в(х - s) при s = £ - 0, s = £ + 0, где f £ S(ß), определяется следующим образом: в(х — (£ — 0)) равна 0 при х < £ и равна 1 при х > 0(х — (í + 0)) равна 0 при х < £ и равна 1 при х > £ При 5 g S(¿¿), 0(х — s) — классическая функция Хевисайда Доказывается существование функции влияния у невырожденной задачи (11) и описываются свойства функции влияния.

В § 2 в предположении, что функция С}(х) не убывает на [0,1]. доказано, ччо функция влияния задачи (11) строго положительна для всехж, я, отличных от нуля и единицы, и достигает максимума на диагонали (в смысле специального расширения области определения).

В § 3 получено явное представление функции влияния через фундаментальную систему решений однородного уравнения (10). В § 4 доказано, что функция влияния позволяет выразить решение невырожденной задачи (11) в традиционной для функции Грина форме

Таким образом, показано, что функция влияния успешно исполняет роль функции Грина, хотя в данной ситуации традиционное для функции Грина описание через аксиоматику весьма затруднительно и, более того, нерентабельно, поскольку она чрезвычайно трудно обозрима.

В § 5 установлен аналог известного в математической экономике принципа Хикса для задачи (11)

В третьей главе изучается вопрос о знакорсгулярности решений уравнений (6). (10). Обозначим через ВУо[0,1] множество функций ограниченной вариации на отрезке [0,1], непрерывных в точках х = 0, х = 1, и не определенных в точках разрыва Будем называть а 6 (0,1) пулевой точкой функции и 6 ВНр, 1], если ы($-0)м(б+0) < 0 И назовем точки а = 0, в = 1 нулевыми точками, если и(0) = ы(1) = 0.

Определение .3 1 1. Будем говорить, что нулевая точка^ функции ВУа\0,1] лежит левое нулевой точки функции и2 € 0,1], если либо £1 < £2 в обычном смысле, либо £1 = £2 = £ является точкой разрыва функций щ(х),

1

о

и2(х) И

щ(£-0) щ(€ + 0) Ц2(е-0) «аК + О)_

(и, (С + 0) - и,(€ - 0)) • Ы£ + 0) - иа(е - 0)) > ° В § 1 приводятся аналоги теорем сравнения Штурма.

Теорема 3.1.1. Пусть <р\{х) и 4>г{х) - линейно независимые решения однородного уравнения (10), и^--' £2 ~ соседние нулевые точку решения (р\(х) (<Р2(х)). Тогда между ними (т.е. правее и левее £2 в смысле определения 3.1.1) найдется нулевая точка функции ^{х)■ Рассмотрим теперь два уравнения

X

ри;(х) = у'ы[д.1]+ри;(о), (12)

о

х

ри^х)^ ! уйт+ру'^). (13)

о

Теорема 3.1.2. Пусть функция <5х — <5г строго монотонно возрастает на [0,1], < £2 — соседние нулевые точки нетривиального решения и(х) уравнения (12). Тогда между ними (т.е. правее^ и левее £2 в смысле определения 3.1.1) найдется нулевая точка нетривиального решенияи(х) уравнения (13).

В § 2 при условии неосцилляции на [0,1] уравнения (10) доказан анапог теоремы Пойа-Мамманы, т.е. справедливость представления

X X

о о

где 1р{х) — строго положительная на [0,функция.

В § 3 получена оценка числа нулевых точек уравнения (6) в зависимости от количества промежутков монотонности Р(х). В § 4 изучаются дифференциальные неравенства, т.е. класс уравнений (6) с неубывающей функцией Р{х)

В четвертой главе изучается спектральная задача Штурма - Лиувилля (7). В § 1 устанавливается дискретность, простота ( в смысле алгебраической и геометрической кратности) и положительность собственных значений. В § 2 доказывается ортогональность собственных функций. В § 3 установлен главный результат диссертации. Теорема 4.3.3. Пусть функция (¿(х) не убывает на отрезке [0,1], а функция М(х) строго монотонно возрастает на [0,1]. Тогда спектр задачи (7) состоит из простых положительных собственных значений, При перенумерации его точек в порядке возрастания A0<A1<A2<... соответствующие собственные функции ■ ■ ■ обладают следующими свойствами:

фь имеет в (0,1) точно к нулевых точек; являющихся узлами, при каждом к нулевые точки щ и ¡¿>ь+1 перемежаются. Главные трудности, преодолеваемые в работе. Основные проблемы связаны с возможными разрывами у решений и с использованием общей теории интеграла Радона в интересах качественной теории уравнений с квазипроизводной.

Работа Зверевой М.Б выполнена по тематике, поддержанной грантами президента РФ на поддержку ведущих научных школ № НШ-1643.2003.1, РФФИ (гранты №- 01-01-00418, 02-01-00307), программы "Университеты России"( УР.04 01.004). Кроме того, автор работы имел индивидуальную поддержку в форме гранта Минобразования РФ на поддержку научно-исследовательской работы аспирантов высших учебных учреждений (КЦ СПбГУ № АОЗ-2 8-65) Автор выражает сердечную признательность профессору Ю.В Покорному за постановку задач и постоянное внимание.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: [1] Зверева. М.Б. О некоторых вопросах из качественной теории уравнений с разрывными решениями / М.Б. Зверева; Воронеж, гос. ун-т. - 2005 12 с

•2006-4 »1 8 795 29996

- Деп. в ВИНИТИ 02.06.2005, № 797-В 2005.

[2] Покорный, Ю.В. О задаче Штурма-Лиувилля для разрывной струны / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров // Изв. Вузов. Северо-Кавказ. регион. Естественные науки. Математика и механика сплошной среды. - 2004.

- Спецвыпуск. - С. 186-191.

[31 Клюева, М.Б. Об интегрировании по частям в интеграле Лебега - Стил-тьеса / М.Б. Клюева // Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ. - Воронеж, 2001. - С. 87-91.

[4] Покорный, Ю.В. Об одном классе обобщенных задач Штурма - Лиувил-ля с разрывными решениями / Ю В Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров // Дифференциальные уравнения и смежные вопросы: Международ, конф посвящ. 103-летию со дня рожд. И.Г, Петровского, Москва, 16-22 мая 2004: Сб. тез. - С. 166-167.

[5| Зверева. М.Б. О разрывах стилтьесовской струны / М.Б. Зверева // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен мат шк. "Понтрягинские чтения -XV", 3-9 мая 2004 г. - Воронеж, 2004. - С.96.

[6| Зверева, М.Б. О функции влияния разрывной струны / М.Б Зверева // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, мат. шк. "Понтрягинские чтения -XVI", 3-9 мая 2005 г. - Воронеж, 2005. - С. 68-69

[7| Зверева, М.Б. Принцип Хикса для разрывной струны / М.Б. Зверева // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, мат. шк. "Понтрягинские чтения -XVI", 3-9 мая 2005 г. - Воронеж, 2005 - С. 67-68.

|8] Покорный, Ю.В. О неосцилляции интегродифференциального уравнения с разрывными решениями / Ю В. Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров //' Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, мат. шк. "Понтрягинские чтения -XV", 3-9 мая 2004 г. - Воронеж, 2004. - С.173.

Заказ № 736 от 5.10.05 г. Тир. 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

ВВЕДЕНИЕ

I Уравнения с разрывными решениями

§ 1 Вариационная мотивация подхода

§ 2 Некоторые сведения о тг-интеграле

§ 3 Аналог теоремы Коши-Пикара

§ 4 Основные свойства решений однородного уравнения

§ 5 Зависимость решений от параметра и Краевая задача

§ 1 Функция влияния

§ 2 Свойство неосцилляции

§ 3 Явное представление функции влияния

§ 4 Интегральное представление решения краевой задачи

§ 5 Аналог принципа Хикса hi Знакорегулярность разрывных решений

§ 1 Аналог теорем сравнения Штурма

§ 2 Аналог теоремы Пойа-Мамманы

§ 3 Оценка числа нулевых точек

§ 4 Положительные решения дифференциальных неравенств iv Осцилляционность спектра

§ 1 Дискретность спектра, простота и положительность собственных значений

§ 2 Ортогональность собственных функций

§ 3 Нулевые точки собственных функций

В настоящей работе изучается уравнение вида X

-pu'fl(x) + J ud[Q] = F(x) - F(0) - pu'fl(0) (0.0.1) о и соответствующая ему спектральная задача

-ри'^х) + J ud[Q) = XJ ud\M] - pu'^Q) о о (0.0.2) u(0) = u{ 1) = 0.

Здесь p, Q, F — функции ограниченной вариации на отрезке [0,1], (j,, М — строго монотонно возрастающие функции на [0,1]. Производная u'lL понимается как производная Стилтьеса, т.е. обращается интегралом Лебега-Стилтьеса. Обрамление d[Q] функции Q(x) квадратными скобками подчеркивает, что речь идет не просто об интеграле Стилтьеса, а о его специальном расширении. X

При непрерывных Q(x) интеграл f ud[Q] совпадает с обычным интегралом о

Римана-Стилтьеса, и тогда d[Q] = dQ. Если при этом в (0.0.1) функции Q, F окажутся гладкими, т.е. dQ = Q'dx и dF = F'dx, то обе части (0.0.1) могут быть на решении продифференцированы, и уравнение (0.0.1) примет вид где q = Q' и / = F'. Последнее уравнение оказывается совсем привычным при и' гладкой //, когда для производной и' справедливо равенство u'ft = -у. Так f^x что уравнение (0.0.1) и задача (0.0.2) в случае гладких параметров адекватны классической ситуации, изучаемой в теории Штурма-Лиувилля.

В настоящей работе допускается возможность наличия у параметров уравнения (0.0.3) особенностей как ^-образного типа, так и более сильных, которые возникают, например, в случае разрывных решений, когда дельтообразные сингулярности присутствуют уже у первых производных, что усугубляется вторым дифференцированием.

Интегро-дифференциальная форма уравнения (0.0.1) и задачи (0.0.2) позволяют нам расширить класс объектов, обычно описываемых в рамках стандартной теории Штурма-Лиувилля, не применяя аппарата теории обобщенных функций Шварца-Соболева. За счет расширения понятия интеграла нам удается сохранить поточечное толкование как решений, так и соотношений, что в рамках теории обобщенных функций было бы невозможно. Таким образом, мы сможем говорить о нулях решений, об их числе, о количестве перемен знака и прочем, что откроет дорогу для точных аналогов осцилляционных результатов Штурма. Большинство классических результатов удается перенести па случай не просто негладких, но даже разрывных решений. Обсуждаемые нами вопросы допускают решения из класса /х-абсолютпо непрерывных (с разрывной, вообще говоря, //(•)) функций, производные которых u'/t имеют ограниченные вариации.

Актуальность темы. Изучению обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с обобщенными коэффициентами и соответствующей задачи Штурма-Лиувилля посвящено достаточно большое количество работ (например, [1], [8] - [11], [13] - [16], [30] - [33], [37, 48, 52, 53, 55, G0]). Решения со скачками производных описаны уже в классической монографии Ф. Аткинсова [1]. Достаточно тонкий анализ однородного уравнения вида (0.0.4) с обобщенными коэффициентами проводился в работах А.Д. Мышкиса [33], J. Kurzweil [30]. Более полную библиографию можно найти, например, у Ф. Аткинсона [1], А.Ф. Филиппова [55], С.Т. Завалищина и А.Н. Сесекина [15]. Из обширного числа работ особо отме

-(ри'У + qiL^f

0.0.4) (ри'У + qu — Хти и{ 0) = и(1) = 0

0.0.5) тим публикации В.Я. Дерра [8, 9, 10, 11], Ю.В. Егорова [14], С.Т. Завалищина [1С], М.Г. Крейна [24, 3], А.Н. Сссекина [52], В. Dragovich [13], A.M. Савчука и А.А. Шкаликова [48].

Для физиков чрезвычайно интересен случаи, когда коэффициенты q, т уравнения (0.0.5) содержат импульсы, т.е. слагаемые типа J-функции. Заметим, что в случае стилтьесовской струны присутствие ^-слагаемых у функции т — М' означает наличие сосредоточенных масс. Наличие же J-слагаемых у функции q — Q' означает присутствие сосредоточенных упругих опор типа пружинок. Подобное уравнение

-(и')' = А тщ (0.0.G) где т есть обобщенная производная от неубывающей функции М(х), изучалось в 50-е гг. М.Г. Крейном и И.С. Кацем [23, 24]. М.Г. Крейн уравнение (0.0.G) трактовал в виде интегро-диффереициального уравнения z+0 и'+(х) = и'(0)-А J udM, о где и'+(х) — правая производная, и'(0) — число, служащее для продолжения правой производной влево от точки х = 0. Интерес к этому уравнению авторы [23, 24] мотивировали более ранними исследованиями Феллера [54], который в связи с задачей рассеяния (см. также комментарии в [1]) рассматривал уравнение

-ЦЩ<{Х) = Хи{х)■

При такой постановке для случая абсолютно-непрерывных решений авторам [23, 24, 54] удалось исследовать спектральную функцию.

Оказалось, что осцилляционные свойства Штурма не известны для задачи (0.0.5) даже в случае непрерывных решений, когда q = Q', т = М', где

Q — неубывающая, M — строго монотонно возрастающая функции, Q' и М' — соответствующие обобщенные производные. Дело в том, что уравнения с обобщенными коэффициентами традиционно исследуются с позиции теории распределений (обобщенных функций) Шварца - Соболева. Однако в некоторых качественных вопросах теория распределений оказывается недостаточно эффективной вследствие потери локального (т.е. поточечного) характера классического обыкновенного дифференциального уравнения.

В 1999 г. Ю.В. Покорным был предложен [38] подход, позволяющий превратить уравнение (0.0.5) с обобщенными коэффициентами (q = Q', т = М') в поточечное, т.е. обыкновенное d . (1Q . (1М где символ обозначает дифференцирование в смысле Радона - Никодима по da некоей сг-мере, определяемой лишь внешними параметрами исходной задачи. В случае непрерывных решений для уравнений с подобными производными в работах [12, 39, 43, 44, 57] был построен достаточно полный аналог классической качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Случай, когда у решений уравнения (0.0.5) допускается конечное число точек разрыва при условии регулярности коэффициентов q, т, изучался в работах [2, 59]. Осцилляционность спектра здесь была доказана путем переноса теории "ядер Келлога".

В настоящей диссертации обсуждаются вопросы качественного анализа решений уравнения (0.0.4) и соответствующей задачи (0.0.5), включая информацию о переменах знака решений, о числе нулевых точек собственных функции, о простоте (алгебраической и геометрической) всех точек спектра, когда у коэффициентов q = Q', т = М' допускаются ^'-слагаемые, т.е. возможные скачки Q, М осложняются присутствием «^-слагаемых, а решения допускают бесконечно много точек разрыва ( но не более чем счетно). В рамках классической осцилляционной теории подобный круг вопросов исследуется обычно с помощью хорошо развитых методов, восходящих к Штурму. Однако эти методы оказываются непригодными для обобщенных (по Шварцу-Соболеву) производных, исключающих локальную (поточечную) трактовку. Данную трудность мы обходим, следуя концепции Ю.В. Покорного, согласно которой уравнению (0.0.4) может быть придано поточечное представление d , ,, dQ dF где в обобщенное дифференцирование — вкладывается более узкий (по сраваа нению со случаем непрерывных решений) смысл, определяемый предложенной Ю.В. Покорным [38] расширенной трактовкой интеграла Стилтьеса, которую мы будем называть тг-иитегралом. Для более корректного восприятия уравнения (0.0.4), (0.0.5) будем рассматривать в интегро-дифференциальной форме (0.0.1) и (0.0.2) соответственно. Такой подход требует переноса на задачу (0.0.2) классических методов регулярной теории, что и делается в настоящей работе. Основой для переноса являются полученные в данной работе результаты, уподобляющие уравнение (0.0.1) обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, включающие теоремы о разрешимости, вронекп-анную технику, теоремы Штурма о распределении и перемежаемости нулей и проч.

Используемому нами понятию производной Стилтьеса можно придать следующий вид: //-суммируемую функцию/(ж) будем называть производной Стилтьеса от функции F(x) и обозначать F', если на множестве полной /z-меры справедливо равенство х

F(s) -Jf(s)Ms) = со, 1St, где интеграл понимается но Лебегу-Стилтьесу. Последняя формула позволяет

A F определять значения f(x) = F' в точке £ либо как предел отношения ——,

Ад либо пару односторонних пределов — левые и правые производные, если они различны, либо тройку чисел, которая получается добавлением промежуточного (между левым и правым) значения производной "собственно в точке равной отношению скачков —--—---—. Подобная ситуация возникад(£ + 0) - д(£ - 0) ет, например, при дифференцировании функции Хевисайда0(ж) (равной 1 при х > 0 и 0 при х < 0) по ц(х) = х + 0(х), когда вместо привычного 0'(х) = 5(х) оказывается 0'fl = С(^)? гДе С 0е) = 0 ПРИ х Ф 0» 11 С(0) — 1

Используя понятие 7г-интсграла, мы раскрываем уравнение (0.0.1) в сингулярных точках следующим образом. Пусть £ — точка разрыва ц(х). Тогда уравнение (0.0.1) реализуется в виде двух равенств:

-А-ри;.(0 + - 0)A-Q(O = A

-А+ри'Д) + «Й + 0)A+Q(O = A+F(0, где через A~z(£) обозначен левый скачок функции г в точке т.е. А~.г(£) = л(^) — — 0), а А+;г(£) обозначает правый скачок функции z в точке т.е. ~(£ + 0) — z(£). Если же в точке £ функция fi(x) непрерывна, а одна из функций р, Q, F терпит разрыв, то уравнение (0.0.1) реализуется в точке £ в виде равенства

-дрм;4(0 + «(OAQCO = где через Az(£) обозначен скачок функции с в точке т.е. Az(£) = z(£ + 0) — о).

Цель работы. Установить аналог классической качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для иптегро - дифференциального уравнения (0.0.1) и соответствующей задачи Штурма - Лиу-вилля (0.0.2).

Методика исследований. В работе используется аппарат теории меры, теории интеграла Лебега-Стилтьеса, идеи и методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории пространств с конусами.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

Установлена точная параллель классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:

1. Доказан аналог теорем о непрерывной зависимости решений от начальных условий и спектрального параметра.

2. Доказаны аналоги теорем Штурма о перемежаемости нулей решений однородных дифференциальных уравнений.

3. Доказан аналог теоремы Пойа - Мамманы о представлении неосцилли-рующего дифференциального оператора в виде суперпозиции квазипроизводных.

4. Доказан аналог принципа Хикса.

5. Доказан аналог теоремы об осцилляционности спектра задачи Штурма-Лиувилля.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер.

Апробация работы. Основные результаты из всех разделов диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и совещаниях: Международная конференция, посвященная 103 - летию со дня рождения

И.Г.Петровского, Москва, 1G - 22 мая 2004, Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения -XV"( 2004 г.) и "Понтрягинские чтения - XVI"( 2005 г.), па семинарах профессора Покорного Ю.В. в 2002 -2005гг, Научной сессии Воронежского государственного университета ( 2005 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17, 18, 19, 20, 25, 40, 41, 42]. Из совместных работ [40-42]. в диссертацию включены только результаты автора.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, изложенных на 113 страницах машинописного текста, списка цитируемой литературы из СО наименований на 7 страницах. Общий объем диссертации составляет 120 страниц.

1. Аткинсон, Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи: пер. с англ. / Ф. Аткинсон. - М.: Мир, 19G8. - 749 с.

2. Боровских, А.В. Системы Чебышева Хаара в теории разрывных ядер Келлога / А.В. Боровских, Ю.В. Покорный // УМН. - 1994. - Т.49, К0-3. -С.3-42.

3. Гантмахер, Ф.Р. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем / Ф.Р. Гантмахер, М.Г. КреГш. М.; J1.: Гос. изд-во техн.-теоретич. литературы, 1950. - 359 с.

4. Гливенко, В.И. Интеграл Стилтьеса / В.И. Гливепко. ОНТИ НКТП СССР, 193G. - 217 с.

5. Гулынина, Е.В. Принцип Хикса в теории линейных и нелинейных интегральных уравнений и краевых задач: дис. кан. физ.- мат. наук / Гулынина Елена Владимировна. Ставрополь, 2004. - 113 с.

6. Данфорд, И. Линейные операторы. Общая теория: пер. с англ. / II Дан-форд, Дж. Т. Шварц. М.: ИЛ, 19G2. - 89G с.

7. Данфорд, И. Линейные операторы. Спектральная теория: пер. с англ. / Н Данфорд, Дж. Т. Шварц. М.: ИЛ, 19GG. - 10G4 с.

8. Дерр, В.Я. К определению решения линейного дифференциального уравнения с обобщенными функциями в коэффициентах / В.Я. Дерр // Докл. АН СССР. 1988. - Т.298, Л"»2. - C.2G9-272.

9. Дерр, В.Я. Неосцилляция решений линейного квазидифференциальпого уравнения / В.Я. Дер]) // Изв. Ин-та математики и информатики УдГУ. Ижевск, 1999. - Выи.1 (1G). - С.3-105.

10. Дерр, В.Я. О решениях дифференциальных уравнений с обобщенными функциями в коэффициентах / В.Я. Дерр // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 1995. - Вып.1. - С.51-75.

11. Дерр, В.Я. О дифференциальных уравнениях с обобщенными функциями и С-интегральных уравнениях / В.Я. Дерр // Вестник Удмуртского университета. 2000. - Вып.1. - С.49-С0.

12. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, B.J1. Прядиев и др. М.: Физматлит, 2004 .- 268 с.

13. Dragovich, В. Обобщенные функции на аделях / В. Dragovich, Я.В. Рады-но, А.А. Хренников // Труды Воронежской математической школы "Пон-трягинские чтения -XI". Воронеж, 2000. - 4.1. - С.85-94.

14. Егоров, Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа / Ю.В. Егоров. М.: Наука, 1984. - 360 с.

15. Завалшцин, С.Т. Импульсные процессы: модели и приложения / С.Т. За-валищин, А.Н. Сесекин. М.: Наука, 1991. - 255 с.

16. Завалищин, С.Т. Формула Коши для линейного уравнения общего вида в обобщенных функциях / С.Т. Завалищин // Дифференциальные уравнения. 1973. - Т.9, Л*«6. - С.1138-1140.

17. Зверева, М.Б. О разрывах стильтьесовской струны / М.Б. Зверева // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, мат. шк. "Понтрягинские чтения XV", 3-9 мая 2004 г. - Воронеж, 2004. - С.96.

18. Зверева, М.Б. О функции влияния разрывной струны / М.Б. Зверева // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен.мат. шк. "Понтрягинские чтения XVI", 3-9 мая 2005 г. - Воронеж, 2005.-C.G8-G9.

19. Зверева, М.Б. Принцип Хикса для разрывной струны / М.Б. Зверева // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, мат. шк. "Понтрягинские чтения XVI", 3-9 мая 2005 г.- Воронеж, 2005.-C.G7-G8.

20. Зверева, М.Б. О некоторых вопросах из качественной теории уравнений с разрывными решениями / М.Б. Зверева; Воронеж, гос. ун-т. 2005. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 02.06.2005, № 797-В 2005.

21. Камке, Э. Интеграл Лебега-Стилтьеса: иер. с нем. / Э. Камке. М.: Физ-матлит, 1959. - 328 с.

22. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: пер. с нем. / Э. Камке. М.: ИЛ, 1950. - 828 с.

23. Кац, И.С. Существование спектральных функций обобщенных дифференциальных систем второго порядка с граничными условиями в сингулярном конце / И.С. Кац // Математический сборник. 19G5. - T.G8 (110), №2. -С.174-227.

24. Кац, И.С. О спектральных функциях струны / И.С. Кац, М.Г. Крейн // Дискретные и непрерывные граничные задачи / Ф. Аткинсон, М.: Мир, 19G8. - C.G 18-733.

25. Красносельский, М.А. Положительные решения операторных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Физматгиз, 1962. - 394 с.

26. Красносельский, М.А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов / М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, А.В. Соболев. М.: Наука, 1985. - 256 с.

27. Курант, Р. Методы математической физики / Р. Курант, Д. Гильберт. -М.: Гостехиздат, 1951. Т.1. - 476 с.

28. Kurzweil, J. Generalized ordinary differential equations / J. Kurzweil // Czech. Math. J. 1958. - V.8. - P.360-388.

29. Левин, A.IO. Вопросы теории обыкновенного линейного дифференциального уравнения / АЛО. Левин // Вестник Ярославского университета. -1974. Вып.8. - С. 122-144.

30. Максимов, В.П. О некоторых обобщениях обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задач и их приложениях к задачам экономической динамики / В.П. Максимов // Вестник Пермского университета. 1997. -Выи.4. - С.103-120.

31. Мышкпс, А.Д. О решениях линейного однородного двучленного дифференциального неравенства второго порядка с обобщенным коэффициентом / А.Д. Мышкис // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т.32, jY«5. -С.615-619.

32. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. М.: Паука, 1969. - 526 с.

33. Натансон, И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон. М.: Наука, 1974. - 480 с.3G. Никайдо, X. Выпуклые структуры и математическая экономика / X. Ни-кайдо. М.: Мир, 1972. - 518 с.

34. Pandit, S.G. Differential systems involving impulses / S.G. Pandit, S.G. Deo // Lect. Notes Math. 1982. - V.954.

35. Покорный, Ю.В. Интеграл Стилтьеса и производные по мере в обыкновенных дифференциальных уравнениях / 10.В.Покорный // Докл. АН. -1999. Т.364, №2. - C.1G7-1G9.

36. Покорный, Ю.В. О дифференциалах Стилтьеса в обобщенной задаче Штурма-Лиувилля / Ю.В. Покорный // Докл. АН. 2002. - Т.383, №5. -С.1-4.

37. Покорный, Ю.В. О задаче Штурма-Лиувилля для разрывной струны / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естественные науки. Математика и механика сплошной среды. -2004,- Спецвыпуск. C.18G-191.

38. Покорный, Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с обобщенными коэффициентами / Ю.В.Покорный, С.А. Шабров // Труды математического факультета ВГУ (новая серия). 1999. - Вып.4. - C.84-9G.

39. Pokornyi, Yu.V. Toward a Sturm-Liouville theory for an equation with generalized coefficients / Yu.V. Pokornyi, S.A.Shabrov // Journal of Mathematical Sciences. Vol.119, №6. - 2004. - P.7G9-787.

40. Радыно, Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения / Я.В. Радыно, А.Б. Антонович. Минск. - 1984. - 351 с.

41. Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу: пер. с франц. / Ф. Рисс, Б. Секефальви-Надь. М.: Мир, 1979. - 588 с.

42. Рудии, У. Основы математического анализа: пер. с англ. / У. Рудин. М.: Мир, 197G. - 320 с.

43. Савчук, A.M. Операторы Штурма Лиувилля с сингулярными потенциалами / A.M. Савчук, А.А. Шкаликов // Мат. заметки. - 1999.- T.GG.- Вып. G.- С.897-911.

44. Сакс, С. Теория интеграла / С. Сакс. М.: ПЛ., 1949. - 544 с.

45. Сапсоне, Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Дж. Сан-соне. М.: Госиноиздат, 1954. T.l. - 34G с.

46. Сансоне, Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Дж. Сан-соне. М.: Госиноиздат, 1954. Т.2. - 414 с.

47. Сесекин, А.И. О нелинейных дифференциальных уравнениях в классе функций ограниченной вариации / А.Н. Сесекин // Дифференциальные уравнения. 1989. - Т.25, №11. - С.1925-1932.

48. Тонков, E.J1. К вопросу о неосцилляции линейной системы / Е.Л. Тонкой // Нелинейные колебания и теория управления. Ижевск, 1982. - Вели.4. - С.С2-74.

49. Feller, W. Generalized second order differential operators and their londitions / W. Feller // Illinois J. Math. 1957.- V.l, №. - P.459-504.

50. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филлипов. М.: Наука, 1985. - 224 с.5G. Халмош, П. Теория меры: пер. с англ. / П. Халмош. М.: ИЛ, 1953. - 291 с.

51. Шабров, С.А. О краевых задачах с импульсными коэффициентами: дис.кан. физ.- мат. наук / Шабров Сергей Александрович. Воронеж, 2000. - 74 с.

52. Шилов, Г.Е. Интеграл, мера и производная (общая теория) / Г.Е. Шилов, Б.Л. Гуревич. М.: Наука, 1967. - 220 с.