О функции Грина некоторых негладких задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Голованова Фаина Валентиновна

О ФУНКЦИИ ГРИНА НЕКОТОРЫХ НЕГЛАДКИХ ЗАДАЧ

01 01 02 — дифференциальные1 уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2007

1Б5

003175165

Работа выполнена в Воронежском государе твеппом университете

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Покорный Юлий Витальевич Официальные ошюпепгы доктор фишко-магематнчееких паук,

Защита состоится 13 ноября 2007 года в 15 40 на заседании диссертационного совета К 212 038 05 при Воронежском государственном университете по адресу 394006, г Воронеж, Универсшстская пл , 1, математический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государе I венного универси гета

Автореферат разослан « » октября 2007 юда

Ученый секретарь

диссертационного совета К 212 038 05, доктор фнзико-мд1емагнчески\ наук,

профессор Сапронов Юрий Иванович доктор филжо-математичееких наук, доцент Воровских Алексей Владиславович

Ведущая ор1ашнация Саратов! кий 101удяр(твепныП университет

профессор

Гликлнх К) Е

Общая характеристика работы

Актуальность темы Диссертационная работа not вящена качественному анализу решений дифференциального уравнения чечвертнз порядка

с обобщенными козффициешамп Здесь — озиачае! обычную производ-

di

ную, д LUipnx — обобщенное дифференцирование, функции p(i), Q(t) и F(x) предполагаются конечной вариации В качесте решении рассматриваются непрерывно дифференцируемые функции и(г), первая производ-

du d2 и пая которых ---абсолютно непрерывна, p-j-x — абсолютно непрерывна,

Изучению подобного уравнения, актуальною в самых разнообразных разделах еслеггво знания, посвящена обширная литература Здесь можно отметить монографии Ai кит она Ф «Дискрешые и непрерывные граничные задачи», Завалищина С Г1 , Сесекипа А H «Импульсные процессы модели и приложения», а также работы агпоров, в которых в разное время изучались различные вопросы качен ценной icopun дифференциальных уравнений Покорного Ю В , Крейиа M Г, Теп типа Л Л , Чнчкнна Е С, Kai Im S , Дерра В Я , Dekoniiiek В , Nieaise S , Lamiese I Е , Leusel mu, G , Schmidt E J P G , Воровских А В , Mvc гафокулова Р , Лазарева К П , Шуринова В А , Николепко П Д , Sun Yaii, Lin Lishan, Cho Yeol le, Lui В

Уравнения с обобщенными коэффициентами традиционно неследую гея с позиций теории распределений (по Шварцу-Соболеву) Их изучению посвящена достаточно обширная лшера1ура (здесь мы ограничимся он ылками к библиографии в моншрафиях Аткинсона Ф п Завалищина С П , Сесекипа А H ) Однако, н иекоюрых вопросах 1еория распределении сжазываеня бессильна Известен ряд не до конца решенных проблем в теории обобщен-

(1)

d

dx

p-r~¿, I — имеет конечное па [0, 1] изменение

пых функций, например, проблема перемножения обобщенных функций

В диссертации обсуждается вопрос о положительности функции Грина краевой задачи для уравнения (1) (при краевых условиях) Эта проблема обычно обсуждается в рамках классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений Но эги методы оказываются непригодными для обобщенных производных, не позволяющих тракгова1ь их как поючеч-ные отображения из Я в Я Эгу трудность мы обходим, следуя концепции Ю В Покорного, показавшей свою эффективность для дифференциальных уравнений второго порядка (здесь можно отмешть монографию Покорного Ю В «Дифференциальные уравнения на геометрических графах», а также работы Покорного Ю В , Шаброва С А и Зверевой М Б ), согласно которой уравнению (1) может быть придано поточечное представление

где — означает обычное дифференцирование по <т-мере (по Радону-аа

Никодиму), мера а определяется параметрами функций р(х), С}{х) и Р(х) исходной задачи Такой подход к проблеме требует переноса классических методов регулярной теории на случай дифференциальных уравнений четвертого порядка с производными по мере

Используемое понятие сг-производной можно определи 1Ь следующим образом <т-суммируемая функция /(х) называется сг-производной F(x)> «ли на множестве полной ст-меры

Последняя формула позволявI определять значения /(х) = —— в точке

асх

с г Л^ .

£ либо как предел отношения ——, лпоо как пару односторонних пределов

Дет

(левая и правая производные, если они различны), либо как тройку чисел,

(2)

<1

С

й

которая получается добавлением промежутчио! о (между левым и правым)

значения производной "собственного в шчке равней о опюшеншо скачков F(£ + 0) - F(£ - 0) п ,,

————-—-— Подобная ситуация возникает, наприме]), при диффе-

+ 0) - о-(? - 0)

ренцировашш функции Хевнсдйда 0(j) (равной 1 при а > 0 и нулю при г < 0) по а(х) = х + в(т), когда вмеею привычного ©'(/) = ¿(г) в соответствующем уравнении (2) оказывается —(?) = тт(а.), 1де п(г) = 0 при х Ф 0

da

н 7г(0) = 1 В более общей ситуации уравнение (2) в тчках, где а имеет скачок, принимает вид А{ри")' + uAQ = AF, здесь Аф — (.качок функции ф(т), те Аф = ф(£ + 0) — — 0) Именно таким обратом мы "раскрываем" уравнение в сингулярных iочках

Актуальность диссертационной работы обу( ловлена как очевидной практической Bot требованноегыо анализа краевых задач для уравнения (2), так и тем, чю в настоящее время работы по данным ¡адачам для дифференциальных уравнении чепзерюго порядка носят фра1 мешарныи характер

Цель работы Получи 1ь допаточные условия положительной обратимое I и краевой задачи

' (iraX(i)+«woi(i) = i:(o- (з)

u(0) = (K',)(()) = 0, (4)

(КЛ(1) = (р<)',(1)=0 (5)

Методы исследований В днесерыцин иигользукмея меюды качественной теории дифференциальных уравнений, ainiapai leopmi пнптрала Стплтьсса, теории вполне непрерывных положиюльпых операюров

Научная новизна Все резулыа1ы п p,i6oie являю и я иовымп В числе наиболее важных результатов отмс ihm следующие

1 Получено дифференциальное уравнение (3), как модель малых деформаций стержня-консоли

2 Показана разрешимость уравнения (3) и непрерывная зависимость oi

параметра, решения сосивенпвующей начальной задачи

3 Показана неиырожденшхль краевой "задачи (3)—(5), а также при р > О и Q'a > 0 (já 0) непрерывная зависимость решения соответствующей неоднородной задачи о г краевых условий

4 Доказано (uoiuiiio Я-положшелышстн mirei ральпого оператора, обращающею уравнение (3) при условиях u(0) = и'(0) = 0 и (ри")(1) = = (р./")'(1) = 0

5 Доказана положихельная обра!имос1ь интегрального оператора, обращающею (3) при условиях и(0) = (рч")(0) = 0 и {ри"){ 1) = (pv")' (1) = = 0

6 Доказана положи ¡cju.iioi ib, пещес твеншкп, и простота ведущего соб-ciBeiinoic) значения спеюральной задачи

(miyiJx) +u(r)Q'a(T) = Ш'а{г)и{т), u(0) = О,

< (pUj,)"(()) — 0,

(р<)(1) = о, ><,):0) = о,

где М(х) — сг-абс олюпю непрерывная па [0, 1] функция, и М'а > 0

Теоретическая и практическая значимость Работа нехт теоретический характер Подученные в ней резулыап,! могут бьнь использованы в качес i венной теории дифференциальных уравнений с прои ¡водными по мере

Апробация работы Ос новпые резулыаш, полученные в диссертации, доклады вались на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» «Понтря! инскне чтения — VII»

(Воронеж, 199Сг), Воронежской зимней мак ма1 нчес ко/1 школе «Соиремсн-ные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 19071 ), Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» «Пошр/Н пнские чгеиил XI» (Воронеж, 20001 ), Воронежской весенней математической школе «Современные методы п теории краевых задач» «Поитрят ннскис чтения - XVII» (Воронеж, 2006т), Воронежской весенней математической школе «Современные методы и корни краевых задач» «ПоиIрят ипские чтения — XVIII» (Воронеж, 20071 ), на семинаре «Качественная теория краевых ¡адач» (Воронежский югуни-верентет, руководитель профессор Ю В Покорный), на семинаре кафедры уравнений в частных проп ¡водных и корпи нерол I нос теи (Воронежский госуниверснге1, руководителт. профессор А В Глушко)

Публикации По теме диссертации опубииковано 8 работ Ит совместных работ (1|, [3], [6], [7| в дне с ертацшо вошли только рсчулыаты, принадлежащие лично диссер гаттту

Структура и объем диссертации Диссертация сое юнг т введ< ння, грех глав, объединяющих в общеи сложности двенащать параграефов, и списка литературы Объем диссертации 101 страница Виблиотрафии содержит 64 наименования Нумерация формул оргшнт швцна следующим образом каждый номер сое гоит из 1рех, отделенных друг от дру1а точкой, первый номер — зги номер тлавы, второй - номер парат рафа, третий — самой формулы В каждом парат рафе нумерация своя

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулируются объект и предмет исследования, научная нови ша, теоретическая и практическая значимся ть работы, дасчся об юр полученных речулыатов

В первой главе строится аналот обычной кюрии обыкновенных дифференциальных уравнений для (3), вводи те я с пеци.итытое рае ширен не [0, 1\а

отрезка [0,1] добавлением к нему "расщепленных" точек разрыва функций р(х), Q(x) и F(x) В § 1, в по]>ядке мотивации избранного подхода, рассматривается задача

Ф(и) —> mm (6)

для функционала

1 1 2 1 Ф(и) = J~dit' + JjdQ-JudF (7)

О О Ü

при условии и(0) = 0 Здесь р(х), Q{x), F(x) — функции ограниченной вариации, и(х) — непрерывно дифференцируемая функция, производная которой абсолютно непрерывна, вторая производная имеет конечное на [0,1] изменение Интегралы в (7) понимаются по Риману Сгилтьесу

Классическая схема Лаграпжа приводит задачу (6) для функционала (7) к уравнению

с t X

{ри") (х) = - J J ф) dQ(s)df + J(F(t)-F(0))dt,

U Ü о

дифференцирование по х которого нам дает

i.

{ри")' (х) = - J u(s) dQ(b) + F(x) - F(0)

о

Переход от последнего к (3) возможен за счет подбора специальной строго возрастающей функции сг(х), определяемой исходя из особенностей коэффициентов р, Q ii F Установлена следующая теорема Теорема 111 Мгтимум функционапа Ф(и) явияапся pt/иением краевой

задачи

«(0) = о, < (К\)(0) = 0,

(р<£)(1) = о, (КЛ'Л!) = о

В § 2 Гтявы I дается ючпое описание класса функции, и ко юром ищс1-ся решение Ус1анавлнваегся аналог юоремы Коши-Иикара о глобальной разрешимости уравнения (3) на всем [0, 1]^

Теорема 12 1 При любых щ, щ, щ из и любой точка т(> е [0, уравнение

имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям

и (-г и) = Щ,

™[Ы>) = «1.

<

= «2,

_ (Р""с)х(т О) = «!

В третьем параграфе первой главы вводится аналог определи юля Вронского и устанавливаюгсл основные его (.войн ил 0^4 изучаеия непрерывная зависимость решения начальной задачи о! параметра Теорема 14 1 Пусть С}{1,\) ~ С?(,(г) + и Р(х,Х) = /•!,(/)+

+ 1'1(А)/;,1(х), при-чем , Л) не убывает но 1 при \а >и дом фиксированном \ Яо{х), (¡¡{х), Fu(^) и ^(г) — а-абсолютно непрерывны на [0, 1] И пусть 1р(х, А) — решение уравнения

удовлетворяющее напшльным условиям

и{ 0) = 0, и'М = О,

<

(К',)( 0) = О, (ри",,)'ЛО) = О

ТогЛг Л) обладает следующими свойствами

1) 1р(х,\) непрерывно зависит от параметра А, если у(А) и ^(А) непрерывны,

И) <р(х, А) имеет непрерывные производные (по \) до к-го порядка, если г>(А) и (А) А, раз непрерывно дифференцируемы

Во второй главе устанавливаются условия невыроледенностп краевой задачи

(КХОО = ВД.

и(0) = 0,

< и'х{0) = 0, (8)

(Р<,)(1) = о (р<,)1( 1) = 0

Первый параграф этой главы посвящен доказательству существования функции Грина задачи (8), получены необходимые н достаточные условия невырожденности данной краевой задачи Во втором — изучается свойство Я-положительностн интегрального оператора, обращающего краевую задачу (8) Подучены следующие результаты

Теорема 2 2 2 Пусть р(г) - функция ограниченной на [0, 1] вариации, и т{р(х) > 0 Если д(х, э) — функция Грина краевой задачи (8), то инте-

грааъныи оператор

i

{BF){i) = J 9(r,s)r/F(,)

является Н-полом итсльиьш пру некоторой iu прерывной и положительной на (0,1) функции 1г(а-), ?ш> сстпъ

(BF){r)^h(i) max(BF)(j) ie[o,i|

(?ля тобой неубывающей функции F(r)

Обозначим черо? С BV[0,1] — конус неубывающих на [0,1] функций Оператор А определим следующим обра ¡ом

i

(Л«)(г) = J g(i, s)u(s) ciQ(s)

u

Теорема 2 2 3 Суще ствуетп функция 1'и(/) такая, что Оля скякои F(r) 6 £ Kbv справедливо неравенство

(BF)(;) ^ г>„(г) max(CF)(i)

(

при аса j, причем при некотором fl > 0

В § 3 в юрой главы док.иыиаепя (ущее чювлпие функции Грнна ¡адачи

(3)-(5)

Определение Краевую задачу на wee м, невырожденной если однородная (прп F(x) = const) задача имеет только тривиальное решение Теорема 2 3 1 Пусть р( i) - функция ограниченной на [0, 1] вариации, причем inf > 0, Q(i) — не убывает на [0, 1] Тогда, если Q{i) ф. con.st,

то ладаш

+ ФШх) = Kb) (г € И,),

и(0) = О,

'(К,){0) = 0, (9)

(K,)(i) = o, ><,)',(!)= О,

иевыромик'на, если лее Q(i) = const, то задача (9) вырождена Теорема 2 3 3 Если краевая задача (9) нсвыро»едена то функция Грина с ущеппвует

В чепзерюм iidp.ii рафе подучено одно представление функции Грпна задачи (9), которое, в дальнейшем, позволило получит ь дос ia i очные условия ее положи i с.п>но<ти

Теорема 2 4 1 Если >адача (9) иевырождспа, то ее функция Грина G(x, s) MO>Kim бшпь найдена по формуле

д2

G{j , ь) = G0(x, s) - <р(:г)—(7и(0, s), гд{ G(¡(t, s) - функция Грина краевой 1адачи

'(ри",,у;лг) + и(хшг) = 1<>н, « «(0) = ы',(0) =0,

(р<,)(1) = (К,)'(1)=0,

<p{t) - peuuuuL

\im';j;n(x) + u(x)Q>a(r) = о, 1/(0) = о, ' (К'Ж0) = 1, (K'J(I) = о,

>о:(о = о

В третьей главе изуч.terca возможное гь положительной оГтратимос i и краевых задач (8) и (9) В ^ 1 получены до< точные условия неотрицательности функции Грина задачи (8)

Теорема 3 12 Пусть g(i, s) - функция Грана краевой шдачи (8), в которой р(х) — функция ограниченной на [0,1] вариации, прижим ínf p(r) > О, пусть функция Q(z) - пололсительиая неубывающая и а-абсомотно непрерывная на [0, 1] функция, непрерывная на концаi [0, 1], Q(l) ф Q(0) Тогда величина

KQ = sup [ <т}

J 9(1, У

о

конечна И при Kq ^ 1 задача

u(0) = О, ' <(0) = О,

(?4'J(i) = o, .(;O:(i)=0

положительно обратима

Во втором параграфе, на основе полученного в § 4 Главы II представления функции Грина краевой задачи (9), показано, чго если разность Q(I)-Q(0) мала, го функция Грина положительна внутри квадрата [0, 1] х [0, 1] Теорема 3 2 2 Пусть р(х) € DV{0, 1] и inf p(i) > 0, функция Q(t) <т-абсолютно непрерывна на [0, 1], не убывает, и Q( 1) > Q{0), величина

т

Kq = Slip / ----- ilQ(t)

J i/(', b)

I)

не превосгодит 1, здесь y(j,s) - функция Грина краевой задачи (8) Тогда разность Q( 1) — Q(0) можно сделать на< тоаым малой, *ипо функция

Грина краевой задачи (9) будчп неотрицательна на квадрате [0,1] х [О, 1] В гренам па.ра1 рафе для конкретною примера (с помощью описанной ранее схемы) получены условия, при кошрых функция Грина неотрицательна, а именно, для краевой задачи

\ра"1,Гга(1) + ь(х)0'а{ъ) = П{х), м(0) = О,

' (К,)(о) = о, (ю)

(К,)(1) = о.

(К,)',(1) = о,

в случае сг( = J + 6(г — £) (0(т) - функция Хевисайдд, равная нулю при а < 0 и 1 при а > 0), р(а) = 1, и С}{х) = 7©(т — £), показано, чш ее ти справедливо неравенепю

ю функция Грина краевой задачи (10) положи Кельна внутри квадрата [0,1] X [0,1]

В § 4 доказывается поштвпость и простота ведущего собственною значения спек]ральиой задачи

'(К, )';» + «(*)№) = ш^мт),

и(0) = О,

- (Кг)(0) - о, (11)

(?Ч',)(1) = о, .(К,)'0) = О,

где М{т) - строю ьозра( 1<мощая, сг-абсолютпо непрерывная на [0, 1] функция

Теорема 34 1 Пусть p(i) £ DV[Q, 1], infp(r) > 0, Q{r) ntубивающая на [0,1] функция Q( 1) — Q(0) > 0, M(i) - строго возрастающая па [0,1] функция Тогда, при достато-чно малой разности С?(1) — Q(O), спектральная задача (11) имеет простое полом ителыюе собственное значение, которому соответствует положительная внутри (0,1) соб< твеиная функция

Диссертация выполнена при финансово!) поддержке РФФИ (ipanrbi 04-01-00049 и 07-01-00397) и гранта Президент РФ (HIÍJ-LG4.Í 2003 01)

В заключение, автор выражает огромную благодарность профессору Юлию Витальевичу Покорному за постановку задачи и чу i кое руководелво А также прнзнаселыюсть всем учас тикам семипара "Качес гвепная н'ория краевых задач" за внимание и поддержку , в ос обепнос ni доцешу Шаброву Сергею Александровичу

Результаты диссергаии опубликованы в работах:

[1] Головачева ер В О знакоопределенных решениях краевой задачи чем вер-то го порядка с производными по мере / 10 В Покорный, Ф В Голованева, С А Шабров // Труды маюмашческого факульгеы / Воронеж гос ун-т — Воронеж, 2007 — Выи 11 — С 155—159 - (новая серия)

¡2) Голованова Ф В О невырожденности одной краонои задачи vcíuepioio порядка с производными по мере / Ф В Голованова // Извести Сара-ювгкою университета Сер Математика Механика Информатика — 2007 - Т 7, вып 2 - С 3-5

[3| Головачева Ф В О непрерывной зависимое ими параметра решения краевой задачи четвертою порядка с производными по мере / Ю В Покорный, С А Шабров, Ф В Голованова / / Вое шик фи шко-маюма! и чес ко i о

факультет Елецкою roc уп-ia им И А Бунина — Елец, 2006 — Вып 1 С 70 72

[4| Голованева Ф В О положительное in функции Грина одной нестандартной красном задачи чеч вер того порядка / Ф В Голованева // Современные методы в нории краевых задач материалы Воронеж весен мат пне "Понтрягиш кие чнчшя — XVIII" (дои выи ) — Воронеж, 2007 — С 5-6

[5] Голованева Ф В О функции Грина сильно сингульрной консоли / Ф В Голованева , Воронеж roc ун-т — Воронеж, 2007 — 12 с — Деп в ВИНИТИ 08 06 07, № 611-В2007

[6] Голованева Ф В Об одном клас се положительно разрешимых уравнений / Ю В Покорный, Ф В Голованева // Современные меюды теории функций и смежные проблемы тез докл 28 янв -4 февр 1997 г — Воронеж, 1997 -- С 187 - (Воронежская зимняя математическая школа)

|7| Голованева Ф В Условия положительное m функции влияния консоли на упруюи подушке / ФВ Голованева, ЮВ Покорный // Современные меюды в теории краевых задач "Пошрягииские Ч1енин - VII" тез докл 17-23 аир 1996 г — Воронеж, 1996 — С 55 — (Воронежская весенняя маюмспнческля школа)

|8] Голованева Ф В Условия положтелыюеш функции влияния консоли на упругом подушке / Ф В Голованева // Современные методы в теории краевых "задач "Понтряпше кие чтения - XI" тез докл 3-9 мая 2000 i - Воронеж, 2000 - С 41 - (Воронежская весенняя магемашческая школа)

Работа [2] соотвек lByei списку ВАК для кандидатских диссертаций

Подписиш в печа! ь 01 10 07 Формат 60*84 '/к Уел печ л 0 93 Тираж 100 экз Заказ 2026

Oiiic'i.irjrii) с loronoio оригинала-макета в типографии ИГ1Ц ВГ У 394000, Воронеж, ул Пушкииская, 3

ВВЕДЕНИЕ

I Разрешимость дифференциального уравнения четвёртого порядка с производными по мере

§ 1 Вариационная мотивация подхода

§ 2 Разрешимость дифференциального уравнения четвёртого порядка с производными по мере

§ 3 Свойства аналога определителя Вронского

§ 4 Непрерывная зависимость решения от параметра

II Краевые задачи четвёртого порядка с производными по мере

§ 1 Функция Грина сингулярной краевой задачи

§ 2 Свойство ^-положительности интегрального оператора в частном случае

§ 3 Невырожденность сильно сингулярной краевой задачи

§ 4 Одно представление функции Грина сильно сингулярной краевой задачи

III Положительная обратимость краевых задач четвёртого порядка с производными по мере

§ 1 Достаточные условия положительности функции Грина сингулярной краевой задачи

§ 2 Положительность функции Грина сильно сингулярной краевой задачи

§ 3 Пример нахождения достаточных условий положительности функции Грина

§ 4 Простота и позитивность ведущего собственного значения

Актуальность темы.

Диссертационная работа посвящена качественному анализу решений дифференциального уравнения четвёртого порядка с обобщёнными коэффициентами. Здесь — означает обычную производах ную, а штрих — обобщённое дифференцирование; функции р(х), Q(x) и F(x) предполагаются конечной вариации. В качестве решений рассматриваются непрерывно дифференцируемые функции и(х); первая производdu <fu пая которых ---абсолютно непрерывна; p-r-z — абсолютно непрерывна; dx dx1 d ( d2u\ Гп p-r-x — имеет конечное на [0; 1J изменение. dx \ dx1 J

Изучению подобного уравнения, актуального в самых разнообразных

разделах естествознания, посвящена обширная литература. Здесь можно отметить монографии Аткинсона Ф. [2], Завалищина С.П., Сесекина А.Н. [21], а также работы [45], [55], [50], [29], [57], [59], [39], [56], [25], [4], [45], [51], [37], [36], в которых изучались дифференциальные уравнения четвёртого, а иногда и произвольного, порядка. Особо можно отметить публикации: Дерр В.Я. - [14], [15], [16], [18], [19]; В. Dekoninck, S. Nicaise [17]; Lagnese J.Е., Leugering G., Schmidt E.J.P.G. [32], [33]; B. Lui [34].

Уравнения с обобщёнными коэффициентами традиционно исследуются с позиций теории распределений (по Шварцу-Соболеву). Их изучению посвящена достаточно обширная литература (здесь мы ограничимся отсылками к библиографии в [2] и в [21]). Однако, в некоторых вопросах теория распределений оказывается бессильна. Известен ряд не до конца решённых проблем в теории обобщённых функций, например, проблема перемножения обобщённых функций.

В диссертации обсуждается вопрос о положительности функции Грина краевой задачи для уравнения (1) (при краевых условиях). Эта проблема обычно обсуждается в рамках классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Но эти методы оказываются непригодными для обобщённых производных, не позволяющих трактовать их как поточечные отображения из R в R. Эту трудность мы обходим, следуя концепции Ю.В. Покорного, показавшей свою эффективность для дифференциальных уравнений второго порядка (см., например, [20], [42], [43], [44], [48]), согласно которой уравнению (1) может быть придано поточечное представление da \dx \dx2JJ da da' где — означает обычное дифференцирование по сг-мере (по Радону-da

Никодиму); мера а определяется параметрами р(х), Q(x) и F(x) исходной задачи. Такой подход к проблеме требует переноса классических методов регулярной теории на случай дифференциальных уравнений четвёртого порядка с производными по мере.

Используемое понятие cr-производной можно определить следующим образом: (т-суммируемая функция f(x) называется cr-производной F(x), если на множестве полной <т-меры х

F(x) - J f(s) (da) (5) = const.

Последняя формула позволяет определять значения f(x) = -^-F(x) в точке da

A F либо как предел отношения ——, либо как пару односторонних пределов ла левая и правая производные, если они различны), либо как тройку чисел, которая получается добавлением промежуточного (между левым и правым) значения производной "собственного в точке равного отношению скачков

F{Z + Q)-F(£-0) .

7--г-—--. Подобная ситуация возникает, например, при диффе 0) - а{£ - 0) ренцировании функции Хевисайда 9(ж) (равной 1 при х > 0 и нулю при х < 0) по а[х) = я + 6(ж), когда вместо привычного О'(х) = 5(х) в соответствующем уравнении (2) оказывается —— (ж) = тт(х), где тт(х) = 0 при х ф 0 шт и 7г(0) = 1. В более общей ситуации уравнение (2) в точках, где а имеет скачок, принимает вид А{ри")' + uAQ = AF, здесь Аф — скачок функции ф(х), т.е. Аф = ф(£ + 0) — ф{£, — 0)- Именно таким образом мы "раскрываем" уравнение в сингулярных точках.

Актуальность диссертационной работы обусловлена как очевидной практической востребованностью анализа краевых задач для уравнения (2), так и тем, что в настоящее время работы по данным задачам для дифференциальных уравнений четвёртого порядка носят фрагментарный характер [47].

Цель работы. Получить достаточные условия положительной обратимости краевой задачи

Методы исследований. В диссертации используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, аппарат теории интеграла Стилтьеса, теории вполне непрерывных положительных операторов.

Научная новизна. Все результаты в работе являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить:

1. Получено дифференциальное уравнение (3), как модель малых деформаций стержня-консоли.

2. Показана разрешимость уравнения (3) и непрерывная зависимость от параметра решения соответствующей начальной задачи.

3. Показана невырожденность краевой задачи (3)-(5), а также при р > 0 и Q'a ^ 0 (ф 0) непрерывная зависимость решения соответствующей неоднородной задачи от краевых условий.

КХМ + и(хШх) = ВД; < u(0) = (ptl';,)(0) = 0; (?'«",: )(1) = (PU'L)'X( 1) = О

3)

4)

5)

4. Доказано свойство Я-положителыюсти интегрального оператора, обращающего (3) при условиях г/(0) = и'(0) = 0 и {pu"){ 1) = (pit")' (1) = 0.

5. Доказана положительная обратимость интегрального оператора, обращающего (3) при условиях м(0) = {ри"){0) = 0 и (pu")( 1) = {pu")' (1) = 0.

6. Доказана положительность, вещественность и простота ведущего соб-ствонного значения спектральной задачи

МХМ + ФШ*) = А М'а(х)и(х); «(0) = (K'J(O) = 0; где М(ж) — <7-абсолютно непрерывная на [0; 1] функция, и М'а > 0.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в качественной теории дифференциальных уравнений с производными по мере.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» «Понтрягинские чтения — VII» (Воронеж, 1996г.), Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 1997г.), Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» «Понтрягинские чтения —XI» (Воронеж, 2000г.), Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» «Понтрягинские чтения — XVII» (Воронеж, 2000г.), Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» «Понтрягинские чтения — XVIII» (Воронеж, 2007г.), на семинаре «Качественная теория краевых задач» (Воронежский госуниверситет, руководитель профессор Ю. В. Покорный), на семинаре кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей (Воронежский госуниверситет, руководитель профессор А. В. Глушко).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13]. Из совместных работ [6], [8], [И], [12] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, объединяющих в общей сложности двенадцать параграфов, и списка литературы. Объём диссертации 101 страница. Библиография содержит 64 наименования. Нумерация формул организована следующим образом: каждый номер состоит из трёх, отделённых друг от друга точкой; первый номер — это номер главы, второй — номер параграфа, третий — самой формулы. В каждом параграфе нумерация своя.

1. Ando Т. On fundamental properties of a Banach space with a cone / T. Ando // Pacific T. Math. 12. - 1962. - № 4. - P. 1-12.

2. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи / Ф. Ат-кинсон. — М. : Мир, 1968. 749 с.

3. Bonsall F.F. Linear operators in complete positive cones / F.F. Bonsall // Proc. London Math. Soc. 1958. - V. 3, № 8. - P. 53-75.

4. Об одном классе дифференциальных уравнений на пространственной сети / А.В. Боровских и др. ] // Доклады РАН. 1995. - Т. 345, № 6. - С. 730-732.

5. Гантмахер Ф.Р. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем / Ф.Р. Гантмахер, С.Г. Крейн. — M.-JT. : Гостех-издат, 1950. — 360 с.

6. Голованёва Ф.В. О невырожденности одной краевой задачи четвёртого порядка с производными по мере / Ф.В. Голованёва // Известия Саратовского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2007. - Т. 7, вып. 2. - С. 3-5.

7. Голованёва Ф.В. О функции Грина сильно сингульрной консоли / Ф.В. Голованёва ; Воронеж, гос. ун-т. — Воронеж, 2007. — 12 с. — Деп. в ВИНИТИ 08.06.07, № 611-В2007.

8. Дерр В.Я. Дифференциальные уравнения с обобщёнными функциями, допускающими умножение на разрывные функции / В.Я. Дерр, Д.М. Кинзебулатов // Вестник Удмуртского ун-та. Математика. Механика.- Ижевск, 2005. № 1. - С. 35-58.

9. Дерр В.Я. К определению решения линейного дифференциального уравнения с обобщёнными функциями в коэффициентах / В.Я. Дерр // Доклады АН СССР. 1988. - Т. 298, № 2. - С. 269-272.

10. Дерр В.Я. Обыкновенные дифференциальные уравнения с обобщёнными функциями в пространстве Т' / В.Я. Дерр, Д.М. Кинзебулатов // Известия института математики и информатики. — Ижевск, 2006.- Вып. 3 (37). С. 29-30.

11. Dekoninck В. Spectre des reseaux de poutres / В. Dekoninck, S. Nicaise // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. 1. 1998. - T. 326. - P. 1249-1254.

12. Дерр В.Я. О дифференциальных уравнениях в С-обобщённых функциях / В.Я. Дерр, К.И. Дизендорф // Известия вузов. Математика. — 1996. № И (414). - С. 39-49.

13. Дерр В.Я. Об умножении обобщённых функций / В.Я. Дерр, Д.М. Кинзебулатов // Известия института математики и информатики. — Ижевск, 2006. Вып. 2 (36). - С. 43-48.

14. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный и др. ]. — М. : Физматлит, 2004. — 272 с.

15. Завалищин С.Т. Импульсные процессы: модели и приложения / С.Т. Завалищин, А.Н. Сесекин. — М. : Наука, 1991. — 255 с.

16. Зверева М.Б. О некоторых вопросах из качественной теории уравнений с разрывными решениями / М.Б. Зверева; Воронеж, гос. ун-т. — 2005.- 12 с. Деп. в ВИНИТИ 02.06.2005, № 797-В 2005.

17. Калафати П.Д. О функциях Грина обыкновенных дифференциальных уравнений / П.Д. Калафати // Доклады АН СССР. 1940. - Т. 26, № 6. - С. 535-539.

18. Karlin S. Total positivity / S. Karlin. : Stanford Univ. Press, 1968.

19. Karlin S. Total pozitivity, approximation by splines, and Green's function of differential operators / S. Karlin // J. Approxim Theory. — 1977. — V. 4. P. 91.

20. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. — М. : Изд-во иностр. лит., 1958.- 474 с.

21. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов / М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, А.В. Соболев. — М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 256 с.

22. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений : Гл. нелинейного анализа / М.А. Красносельский. — М. : Гос. изд.-во физ.-мат. лит., 1962. — 394 с. — (Современные проблемы математики).

23. Крейн М.Г. Осцилляционные теоремы для обыкновенных дифференциальных операторов произвольного порядка / М.Г. Крейн // Доклады АН СССР. 1939. - Т. 25, № 9. - С. 717-720.

24. Крейн С.Г. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха / С.Г. Крейн, М.А. Рутман // Успехи матем. наук. 1948. - Т. 3, № 1. - С. 3-95.

25. Курант Р. Методы математической физики. Т. 1 / Р. Курант, Д. Гильберт ; пер. со 2-го нем. изд. 3. Либина, Б. Лившица, Ю. Рабиновича.- 3-е изд., исправ. — М.-Л. : Гос. изд-во технико-теорет. лит-ры, 1951.- 476 с.

26. Lagnese J.E. Control of planar networks of Timoshenko beams / Lagnese J.E., Leugering G., Schmidt E.J.P.G. // SIAM J. Control Optim. 1993.- V. 31. P. 780-811.

27. Lagnese J.E. Modelling analysis and control of dynamic elastic multi-link structures / Lagnese J.E., Leugering G., Schmidt E.J.P.G. // Boston : Birkhauser, 1994.

28. Lui B. Positive solutions of fourth-order two point boundary value problems / B. Lui // Appl. Math, and Comput. 2004.148. - № 2. - P. 407-420.

29. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстер-ник, В.И. Соболев. М. : Наука, 1968. - 519 с.

30. Мустафокулов Р. О корректности одной краевой задачи для цепочки стержней / Р. Мустафокулов // Весенняя Воронежская математическая школа "Понтрягинские чтения V": тез. докл., 25-29 аир. 1994 г. . - Воронеж, 1994. - С. 101.

31. Мустафокулов Р. Позитивная обратимость некоторых нестандартных краевых задач для уравнения четвёртого порядка / Р. Мустафокулов, Ю.В. Покорный // Доклады АН РТ. 1995. - Т. 38, № 1-2. - С. 65-73.

32. Немыцкий В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. — M.-J1. : Гостехиздат, 1949. — 550 с.

33. Николенко Л.Д. Некоторые критерии неколебателыюсти дифференциального уравнения четвёртого порядка / Л.Д. Николенко // Доклады АН СССР. 1957. - Т. 114, № 3. - С. 483-485.

34. Pandit S.G. Diffirential system involving impulses / S.G. Pandit, S.G. Deo // Lect. Notes. Math. 1982. - V. 954.

35. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. — М. : Наука, 1984. — 296 с.

36. Pokornyi Yu.V. Toward a Sturm-Liouville theory for an equation with generalized coefficients / Yu.V. Pokornyi, S.A. Shabrov // Jornal of Mathematical Sciences. 2004. - V. 119, № 6. - P. 769-787.

37. Покорный Ю.В. Интеграл Стилтьеса и производные по мере в обыкновенных дифференциальных уравнениях / Ю.В. Покорный // Доклады РАН. 1999. - Т. 364, № 2. - С. 167-169.

38. Покорный Ю.В. О задаче Штурм а-Л иу вил ля для разрывной струны / Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, С.А. Шабров // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естественные науки. Математика и механика сплошной среды. 2004 - Спецвыпуск. - С. 186-191.

39. Покорный Ю.В. О позитивной обратимости некоторых краевых задач для уравнения четвёртого порядка / Ю.В. Покорный, Р. Мустафоку-лов // Дифференц. уравнения. 1997. - Т. 33, № 10. - С. 1358-1365.

40. Покорный Ю.В. О положительных функциях Грина, суммирующих знакопеременные ряды Неймана // Доклады РАН. 2000. - Т. 375, № 3. - С. 307-310.

41. Покорный Ю.В. Об осцилляционных свойствах спектра краевой задачи с функцией Грина, меняющей знак / Ю.В. Покорный, И.Ю. Шу-рупова // Укр. мат. журнал. 1989. - Т. 41, № 11. - С. 1521-1526.

42. Покорный Ю.В. Осцилляционные свойства растянутой цепочки стержней / Ю.В. Покорный, В.А. Шуринов // Нелинейные колебания и теория управления. — Устинов, 1985. — № 2. — С. 58-63.

43. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике / К. Ректорис ; пер. с англ. под ред. К.И. Бабенко и Б.Е. Победри. М. : Мир, 1985. - 590 с.

44. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения : в 2 т. / Дж. Сансоне ; пер. с итал. Н.Я. Виленкина. — Т. 1. — М. : Изд-во иностр. лит., 1953. — 346 с.

45. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения : в 2 т. / Дж. Сансоне ; пер. с итал. Н.Я. Виленкина. — Т. 2. — М. : Изд-во иностр. лит., 1953. — 414 с.

46. Sun Yan Existence of pozitive solutions for fourth-order singular nonlinear boundary value problems / Sun Yan, Liu Lishan, Cho Yeol Je // Dyn. Syst. and Appl. 2005.14. - № 3-4. - P. 463-480.

47. Тептин A.JI. О знаке функции Грина / А.Л. Тептин // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23, № 4. - С. 670-674.

48. Тептин А.Л. Об осцилляционности спектра краевой задачи с функцией Грина, меняющей знак по обоим аргументам / А.Л. Тептин. — Ижевск, 1993. Деп. в ВИНИТИ 12.03.93, № 596-В93.

49. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения / Ф. Трикоми ; пер. с англ. А.Д. Мышкиса. — М. : Изд-во иностр. лит., 1962. — 352 с.

50. Чичкин Е.С. Об одной неосцилляционной теореме для линейного самосопряжённого дифференциального уравнения четвёртого порядка / Е.С. Чичкин // Известия вузов. Математика. — 1960. — № 4 (17). — С. 206-209.

51. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М. : Наука, 1985. 224 с.

52. Шабров С.А. О //-регуляризации функции с конечным изменением / С.А. Шабров // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета ВГУ / Воронеж, гос. ун-т. — Воронеж, 1999. — С. 166-169.

53. Шабров С.А. О краевых задачах с импульсными коэффициентами :0101.02 — диф. уравнения : дисканд. физ.-мат. наук / С.А. ШабровВоронеж, гос. ун-т ; 27 дек. 2000 г. — Воронеж : Б.и., 2000. — 74 с.

54. Эрроусмит Д.К. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Д.К. Эрроусмит, К.М. Плейс. М. : Мир, 1986. - 243 с.

55. Wie Zhongli A class of fours order singular boundary value problem / Zhongli Wie // Appl. Math, and Comput. 2004.153. - № 3. - P. 865884.