К теории краевых задач для параболических и ультрапараболических уравнений в областях с негладкими границами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Р Г 5 од 16 oía да

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ

КАЗАХСТАН

На правах рукописи УДК 517.956.4

ОРЫНБАСАРОВ МАМАЖАН

К ТЕОРИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ И УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТЯХ С НЕГЛАДКИМИ ГРАНИЦАМИ

Специальность: 01.01.02 • дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

Алматы, 1995

Работа выполнена на кафедре уравнений математической физики механико-математического факультета Казахского государственного национального университета им. Аль-Фараби.

Ведущая организация-Новосибирский государственный университет.

Оффнниальные оппоненты:

1.Академик АН Республики Узбекистан, доктор физико-математических наук, профессор Салахитдянов М.С.

2. Академик Адыгской (Черкесской) международной АН, доктор физико-математических наук, профессор Нахушев A.M.

З.Член-корр. HAH Республики Казахстан, доктор физико-математических наук, профессор Харин С.Н.

Защита состоится -и- - У- .1995 г. в ". . час. на заседании специализированного совета Д 53.04.01 при Институте теоретической и прикладной математики НАН РК (480021, г. Алматы, ул.Пушкина, 125). С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке НАН РК.

Автореферат разослан 1 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В основе математических моделей многих проблем физики, техники и других естественных наук лежат уравнения н системы уравнений в частных производных параболического и ультрапараболического типов, особенно часто уравнения и системы уравнений второго порядка. Поэтому постановка и решения различных краевых задач для таких уравнений являлись предметом исследования многих авторов, и в этом направлении получен ряд фундаментальных результатов.

В настоящее время построена почти законченная теория краевых задач линейных параболических уравнений для областей с гладкой границей и ей посвящена обширная научная литература ([1], [2], [3]).

Хотя к изучению локальных и нелокальных краевых задач для параболических, уяьтрапараболичесхих, полтшараболических уравнений и систем уравнений в цилиндрических и нецютндрических областях с негладкими границами (граница имеет конические (угловые) точки и ребра) приводят многие важные прикладные задачи, но теория таких краевых задач еще далека до своею завершения и существует множество нерешенных проблем. Почти не исследованы краевые задачи для параболических и ультрапараболических уравнений в иецилиндрических областях с негладкими боковыми границами.

Ультрапараболилеское уравнение впервые получено в работах Н.Колмогорова в связи с исследованием задачи теории вероятности. Позже уравнения таких типов появились в других разделах естествознания, но несмотря на это в силу своеобразной особенности этого типа уравнений, краевые задачи для ультрапараболических уравнений почти не изучены. Поэтому постаповка и исследования краевых задач для различных типов ультрапараболических уравнений в областях с нерегулярными границами представляют научно-практический интерес.

Отметим, что в последнее время повысился интерес к задачам с нелокальными краевыми и начальными условиями, так как они точнее моделируют различные физико-технические процессы. Теория нелокальных краевых задач, начало которой положено в работах А.В.Бицадзе, А.А.Самарского, А.М.Нахушева и других, для областей с гладкой

границей разработана достаточно полно, но не исследованы нелокальные краевые задачи для параболических и ультрапараболических уравнений в областях с нере1улярной границей и когда носитель нелокального условия пересекается с грапицей области.

Все это подчеркивает как теоретическую, так и практическую актуальность рассматриваемых проблем в диссертации.

В диссертации исследуется разрешимость (в классическом смысле) вышеуказанных, малоизученных разделов теории краевых задач параболических, ультрапараболических уравнений 2-го порядка с переменными коэффициентами и линейного полипараболического уравнепия и их систем уравнений, которые являются особо важными и нерешенными задачами уравнений математической физики.

Цель работы. 1. Установление существования регулярного решения локальных краевых задач для параболических и полипараболических уравнений и их систем уравнений в цилиндрических и нецилиндрических областях с негладкими границами по пространственным и но временным переменным.

2. Построение и применение специальных потенциалов с акрами типа функци Грина для решения нелокальных краевых задач, когда носитель нелокального условия пересекается с границей области.

3. Постановка краевых задач для основных типов ультрапараболических уравнений и исследований их регулярной разрешимости в цилиндрических и нешииндрических областях.

4. Исследование и решение методом регуляризации новых классов сингулярных интегральных уравнений, к которым редуцируются краевые задачи для параболических, ультрапараболических и полипараболических уравнений в цилиндрических и нецилишрических областях с нерегулярными границами.

Мсголика лссд&ювзшш, Для качественного исследования краевых задач для дифференциальных уравнений в негладкой области в основном существует два метода: метод функционального анализа и метод потенциалов. Вопросы существования, единственности и гладкости обобщенных решений краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными в областях с негладкими границами в различных функциональных пространствах исследованы в

фундаментальных работах В.А.Кондратьева, О.А.Олейник, В.Г.Мазьи, В.А.Солошшкова, В.А.Козлова и других ученых, и их обзору посвящена статья [4].

Отметим, что в этом направлении основополагающие результаты получены в работах В.А.Кондратьева и его учеников.

Наряду с современными методами функционального анализа одним из эффективных методов исследования широкого класса краевых задач для уравнмгая с частными производными параболического и ультрапараболического типов является метод потенциалов или метод граничных интегральных уравнений.

Остова метода потенциалов и их применения разработаны в классических моделях М.Осугсу [5], Г.Мюнца [б], А.Н.Тихонова [7] и дальнейшее развитие получили в работах С.Впже!, Л.И.Спободецкой, А.А.Самарского, С.Д.Эйдельмана, Б.И.Ким, А.Фридмана, В.Погожельского, В.А.Солонникова, В.П.Михайлова, Л.Апта, Л.И.Камынина, А.М.Нахушева, Е.А.Бадсрко и других ученых. Подробная биб;гаография по построению параболических потенциалов и их применения к краевым задачам содержится в вышеуказанных монографиях ([1], [2], [3]).

В данной работе разрешимость краевых задач для параболических, ультрапараболических, полипараболических уравнений в областях с пегладкими границами исследуется методом потенциалов с ядрами фундаментальных решений (ф.р.) уравнения и потенциалов со специальными ядрами. Насколько нам известно, метод параболических потенциалов в основном применяется для решения краевых задач. в областях с гладкой границей, как инструмент решения краевых задач в областях с

негладкими 1раницами другими авторами не применялись.

\

Преимущество этого метода заключается в том, что во-первых, при помощи потенциалов дается явное интегральное предста&тение решения краевой задачи и одновременно исследуется гладкость решения, во-вторых, легко получить необходимые минимальные условия, налагаемые на коэффициенты уравнения, на заданные функции и на границы области для существования регулярного решения краевых задач. Используя потенциалы, краевые задачи сводятся к решению интегрального уравнения (И.У.) или системы ИУ. Поэтому основная задача заключается в решении системы ИУ, к которой редуцируются краевые задачи.

Следует отмстить, что когда граница области гладкая, системы ИУ, которые получены методом потенциалов, имеют слабые (интегрируемые) особенности и существование решения системы ИУ доказывается обычным методом последовательных приближений, учитывая гладкость поверхности (кривой) 5 , ограничивающей область, а в случае поверхности типа Ляпунова используется известное неравенство

где А - постоянные,'¿¡х! - вектор, соединяющий точки X и 5 С 2 , М$ - впутренняя нормаль к поверхности 5 в точке % .

В нашем случае использовать неравенство (0.1) не удается, так как. для негладкой границы (0.1) не выполняется. Поэтому ядра системы ИУ, к которым сводятся краевые задачи, для областей с негладкими границами имеют более сильные особенности, чем в случае с гладкой грапицей. Такие ядра назовем ядрами с существенными особенностями. Решения сингулярных интегральных уравнений (СИУ) с существенными особенностями не всегда существуют и при решении таких СИУ встречаются определенные трудности.

Для решения этого нового класса СИУ типа Вольтерра-Фредшльма 2-го рода с существенными особенностями нами применен метод регуляризации - аналог .метода Карлемана-Векуа, который разработан для решения СИУ с ядром Коши на комплексной области. Основная трудность применения метода регуляризации заключается в выделении главной (характеристической) части сингулярного ядра с существстшми особенностями и в нахождении необходимых условий, при которых характеристические операторы имеют ограниченные обратные опраторы. Причем для эквивалентности

N Ч

первоначального и рыуляризованяого СИУ необходимо, чтобы однородное характеристическое СИУ имело только тривиальное решение.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. Перечислим их:

1. Получена и исследована однозначная разрешимость новых типов СИУ в классе непрерывных функций и в гельдеровских классах, к которым редуцируются краевые задачи для параболических, ультрапараболических, полипараболических уравнений и их систем уравнений в областях с негладкой границей.

2. Построены и изучены свойства поверхностных потенциалов для основных типов ультрапараболических, полипараболических уравнений с перменными коэффициентами и даны их применения к решению локальных и нелокальных краевых задач в областях с негладкой границей.

3. Построены и изучены свойства специальных потенциалов с ядрами типа функции Грина, приспособленных к решению смешанных краевых задач и нелокальных краевых ^адач, когда носитель нелокального условия пересекается с границей области.

4. Доказана разрешимость (в классическом смысле) локальных и нелокальных краевых задач для параболических, ульграпараболических и полипараболических уравнений в цшшдрических и нещииидрических областях с негладкой границей по пространствен ной и временной переменным.

5. Найдены минимальные условия, налагаемые на коэффициенты уравнения, на заданные функции и на границу области для регулярной разрешимости краевых задач.

сформулированы в виде теорем, лемм, следствий и математически строю доказаны.

характер в области теории дифференциальных уравнений с частными производными и уравнений математической физики. В работе получен и подробно исследован новый класс СИУ типа Вольтерра-Фредгольма. Ее результаты и методы могут найти применение в исследованиях краевых задач для полулинейных и . нагруженных параболических и ультрапараболических уравнений, а также некоторых классов

вырождающихся уравнений. Она может служить теоретической основой для численных

\

исследований задач тепло-массопереноса, диффузионных процессов в газах и других задачах математической физики.

АпшзбаШ'А РЗбшИ, Результаты диссертации по мере их получения обсуждались на городском научном семинаре по уравнениям математической физики. Научные руководители: рук. член-кор.НАН РК, проф. Ким Е.И., член-кор.НАН РК, проф. Харин С.Н. (КазГУ и ИТПМ г.Алматы). :

Основные результаты докладывались на научных семинарах, руководимых член-кор.НАН РК, проф. Кальменовым Т.Ш., член-кор.НАН РК, проф. Огельбаевым М. и

Все полученные результаты диссертации

Работа носит теоретический

д.ф-м.н., проф. Смагуловым Ш.С. (КазГУ, г.Алматы); член-кор.НАН РК, проф. Касымовым К.А. (КазГУ, г.Алматы), член-кор.НАН РК, проф. Блиевым Н.К. (ИТПМ НАН РК, г.Алматы); член-кор.НАН РК, проф. Умбетжановым Д.У. и д.ф-м.н., проф. Рахымбердиевым М. (ИТПМ НАН РК, г.Алматы); д.ф-м.и., проф. Темирбулатовым С.Й. и д.ф-м.н., проф. Аддашевым С.А. (КазГУ, г.Алматы), а также на научном семинаре по дифференциальным уравнениям МГУ, научные руководители- д.ф.-м.н., проф. Ландис Е.М. д.ф.-м.н., проф. Кондратьев В.А. (г.Москва) и научном семинаре по дифференциальным уравнениям ИМ АН Республики Узбекистан, научные руководители - академик АН РУз, проф. Салахитдинов М.С. и академик АН РУз, проф. Джураев Т.Д.

Различные фрагменты работы докладывались на- следующих семинарах и конференциях:

1. Семинар по дифференциальным уравнениям ИМ СО АН СССР, руководители академик Соболев СЛ. и член-кор. АН СССР, проф. Бицадзе А.В.

2. Всесоюзная конференция по уравнениям с частными производными, посвящепная 75-летию со дня рождения академика Г.И.Петровского (г.Москва, 1976 г.)

3. Казахстанские межвузовские научные конференции по математике и механике: 1(1963 г.), Щ1966 г.), 1Щ1968 г.), Щ1971 г.), У(1974 г.), У1(1977 г.), УП(1981 г.), УШ(1984 г.), Щ1989 г.).

4. Республиканская научная конференция "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифф. уравпений".1991 г., г.Алматы.

5. Международная научная конференция "Вырождающиеся уравнения и уравнения смешашюго типа". 1993 г., г.Ташкент.

Публикации, Основные результаты диссертации ■ опубликовапы в 22 работах, список которых, приведен в конце автореферата.

списка литературы. Объем работы содержит 240 машинописных страниц, включающих бюткнрафию 176 наименований.

Диссертация состоит из введения, четырех пив и

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится анализ состояния рассматриваемых вопросов и обосновывается актуальность темы исследования, дается исторический обзор литературы, связанной с темой и методикой исследования, кратко излагается содержание диссертации.

ПЕРВАЯ ГЛАВА, состоящая из четырех параграфов, посвящена исследованию регулярной разрешимости локальных краевых задач для лилейного параболического уравнения и системы уравнений с перемятыми коэффициентами 2-го порядка в цилиндрических и пецилиндрических областях с негладкими границами.

В § 1.1 для единообразия изложения приведены необходимые условия, налагаемые на коэффициеоты параболического оператора, без доказательства схемы построения Ф.Р. и его свойства, сведения из теории параболических потенциалов.

В § 1.2 рассмотрена задача Дирихле 2 г

(1.3)

1Цу,0)=рх) (1.2). Шхл)\ =4>(хи)

в области = Х,"£): )( £ Я Сг?.^ , О <Т5 , когда граница основания 5 имеет конечное число изолированных угловых точек.

Предполагается выполнение следующих условий: А) коэффициенты Од {*,•*) £ С^ ^(Лт) ; Ш), С1Х,4) (ЛТ) ,

2

Матрица Д (. — С&Ц (Х;<)) -симметрическая.

Б) Заданные ограниченные функции р <£ ° ч

гдеС^ -классГельдера.Сх,; х 1Л Ч1Х>0) = 0 ^

Решение задачи (1.1)-(1.3) ищется в виде

и и.-О = $ ■? + Ыт $ р (§Г0 ; 5/0^5+

¿1 о л

о §

относительно неизвестной непрерывной функции бЧх'-Й получено СИУ о 5

В силу наличия угловых точек границы 5 , ядро СИУ (1.5)

где

Як,и б,1

£ ) -Ф.Р. уравнения (1.1),(^-конормаль к 8 .имеет: существенную особенность. Существование решения СИУ (1.5) доказано методом регуляризации. Для этого (1.5) заменяется системой СИУ так, чтобы каждое уравнение полученной системы содержало не более одного интеграла с существенной особенностью. Пусть для простоты кривая $ имеет единственную угловую точку, совпадающую с началом координат ОI О, О) ив малой окрестпости точки О С О, О) уравнение части (I 2) кривой $ имеет вид:

Вводя новые неизвестные функции, полагая

= (»-б)

СИУ (1.5) можно заменить системой СИУ

з £ . .

Нетрудно убедиться, что когда , %' £ в СИЛУ наличия угловой точки

существенную особенность имеют только ядра К ^ ^£ ] 2)

а

остальные ядра в силу условия 8 6 С'^1* удовлетворяют оценке

\tCij (х£,*;1»,г)\ £ М ехр Б . а-8)

Исследование показывает, что характеристическими частями ядра Кц ^А.'с) ( ^ являются ядра

ССц(Х'Л) -элемента матрицы .обратной к СХ^О ■

ТЕОРЕМА 1.9. Если кривые З^б ,то разность Кц §1,'с) -

__ ^. ^ ^ ^ . ^ ^^ является слабосингулярной, т.е.

удовлетюряет неравенству (1.8).

Относительно характеристических интегральных операторов

о

с ядрами ^ 1X1,^ имеют место следующие утверждения.

ЛЕММА 1.1. Для любых (Х^Н:) ё справедливо неравенство

(1.9)

гле •Ц^г^^Ь

цш (у и) ад.

ЛЕММА 1.2. Если функция ( XI ,£) £ С [ Я^) , то

, если о£<4 .

е.сли (*=*, £>0.

*кчо & с.Х1 ^ , где = {

11-2.,

В часности, если (ГО^,*) & С ( - то ЗС^ 6 С ( К+тО .

Из неравенства (1.9) следует, что || ТКц Ц^ ^ , если

О .

Геометрический смысл условия (1.10) означает, что в точке 0{О,О) граница В имеет угол не равпый нулю.

В силу лемм 1.1-1.2 относительно характеристической системы СИУ

(1.10)

(1.11)

имеет место

ТЕОРЕМА 1.10. Если выполнено условие (1.10), а заданные функции

С СБт') ' то система СИУ (1.11) имеет единственное непрерывное решение , определяемое формулой

: (1.12)

где 4- ^Г, [ЗчЦ 0^1) ,1 -единичиый оператор.

УП=4

Используя соотношения (1.12), система СИУ (1.7) заменяется эквивалентной системой ИУ со слабой особенностью, решение которой можно найти методом последовательных приближений, причем найденные решения б С (н

. 6-иЪ)£С1$Т).

Основной результат этого параграфа составляет

ТЕОРЕМА 1.11. Если коэффициенты уравнения удовлетворяют условию А), а заданные функции условию Б) и выполнено условие (1.10), то краевая задача (1.1)-(1.3) имеет регулярное решение, представимое в виде (1.4), гае неизвестная функция определяется из СИУ (1.5).

В § 1.3 исследуется задача Дирихле для уравнения (1.1) с начальным условием (1.2) и краевым условием

51 (1.13)

в нецшпгадричсской области ^ [ХЛ): О 00 , < Х.г.< Иг >

О < 4<Т] . ограниченной поверхностями 2* ^^ • ког°рыс

пересекаются по некоторой кривой £ и плоскостями ■Ьь О и о*

Поверхности сч - типа Ляпунова, т.е.

6 СХд Д * (Ът) . (1Л4)

Из условия (1.14) следует,что могут быть негладкими по Ь . Существова1ше

регулярного решения краевой задачи (1.1)-(1.2)-(1.13) также доказывается методами потенциалов и СИУ апалогичпо как в случае цилиндрической области, но естественно в нсцилиндрической негладкой области появляются дополнительные трудности с выделением главной части сингулярных ядер и применением метода регуляризации.

В § 1.4 обобщены результаты предыдущих параграфов для системы уравнений. Аналогичным методом доказана регулярная разрешимость задачи Дирихле для параболической системы уравнений

в нецилпндрической клинообразной области

КШ — ЭШ > 2/ " УГ°Л ПРИ ребре нецишшдрпческого шша и

КШб С 0}Т) -V = ( > ^г, • • •.» и,т) -неизвестная вектор-функция,

- матрицам-го порядка

с элементами

L Ту) = (¿£S Т>г)) f|S_

элементами

- равномерно эллиптическим оператор, а

/ _ n(f,s> , Э . п(е,0

Lts = X & w

с коэффициентами из класса Гельдера.

ВТОРАЯ ГЛАВА цосвяшена регулярной разрешимости нелокальных краевых задач для параболических уравнений и системы уравнений в областях с негладкой границей и состоит из 3-х параграфов.

В § 2.1 рассмотрена задача Бицадзе-Самарского для уравнения

Ь Цн а [ХЛи * се(х,&, угас!г и)(х,&и ~иъ~о

\L.\-)

в области = , когда носитель

нелокального условия пресекается с границей области по ребру с начальным и краевым условиями

и(х,о)=о (2.2)

и СХД) 1 (<Р2[х[Ь). (2.4)

Точка Х =

Относительно коэффициентов уравнения и заданных функций выполнены следующие условия: 4-М

-коэффициенты оператора Ь О£ С у , ± (&т) И О Оо >0,

(Л7) ¡. = 0,1,...,ГМ (2-5)

-заданные функции £ С (^20,% (х'Л) £ 0 ограниченные,

Ф* (Х"> Хп.О) =% (Х',0) =0, % (Х'О^Ц+ХСХЧО^-Ъ 1Х",0,*У, (2-6) коэффициент Д £ С (И + т) ограничен и Л СХ", ,

а ¿С'^К-Доднозначная положителная функция и £(0) ~0. (2.7)

Следует отметить, что применение обычных потенциалов с ядром Ф.Р. уравнения к решению задачи (2.1)-(2.7), приводит к сложной системе СИУ из-за того, что носитель нелокального условия пересекается с границей области и нешадкости границы области. Поэтому для решения задачи (2.1)-(2.7) построены специальные потенциалы с ядром функции Грина

первой краевой задачи для уравнение (2.1) вЛ?

и применяя их получим СИУ:

о к™ о • (2-8)

Главная часть ядра СИУ (2.8) имеет вид

I ¿/асх^о&а-г) 1] .

ЛЕММА 2.3. Если 2 (Хпч) ~ К • гае' >0 . то справедливы

неравенства

, Г

| сто 1-5Г, если * = А ,

' 1 ^если

если о < .

ЛЕММА 2.4. Если СХ1,^ £ 6? ЙО.™ Но & £ С^^^ Iй™) .

В частности, если €С()'то И о 6" б С (

На основании лемм 2.3-2.4 имеем

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть £ ( - К Хц-, .

1) при ^^ выполняются условия О <Р < % И либо

2) при любом К> О и выполняется условие

либо

3) при любом К>0 и Л 1Х'.+) вьшолняется условие О { ,то характеристическое уравнение

где Ч>0 сх'иЛ е С СБ?:1)

I ^

имеет единственное решение б (У которое представлено в 1

(2.9)

(2.10)

Существование непрерывного решения СИУ (2.8) доказывается методом регуляризации,

используя равенство (2.10).

ТЕОРЕМА 2.4. Если выполнены условия, налагаемые на коэффициенты (2.5) и

на заданные функции (2.б)-(2.7), и выполнено условие теоремы 2.3., то нелокальная

краевая задача (2.1)-(2.4) имеет регулярное решете, определяемое равенством + со

исм = \dz\di» +

О р.п-г о

где неизвестная функция 5 (X \х) находится из СИУ (2.8). В § 2.2 решена в мерной клинообразной области

Л*т = \(х,-ь);- оо<-х,'<оо)о< х^,<оо, о<Хц< к ^ о<{:<Т}

вспомогательная нелокальная краевая задача для системы уравнений

= А Д V

с начально-краевыми условиями:

(2.11)

\Г {. X, (Л ~ О , (212) и(х\о}-Ь)=:^(хи) , (2.13)

и х^кхпм Л (Х'х^ = ^ <*'*) > (2Л4)

где Л = -квадратная матрица Щ - порядка с постоянными элементами, причем

корни характеристического уравнения

ЮЬ^) 5 | А - Е I — О .где £ - единичная матрица (2.15)

удовлетворяет неравенству

А (Хуй — Ш -мерная диагональная матрица с элементами ЛI [X '}£) £ С ({^р) , ^ -однозначная достаточно гладкая и У(0)-0 ,т.е. носитель нелокального

условия пересекается с границей в угловой точке. К - 0 , 0 - угол при ребре области Л .

Нелокальная краевая задача (2.11)-(2.14) при помощи потенциалов со специальным

ядром сведена к решению системы СИУ £

= УМ*) > (2.16)

где Хл-к£п-1,*-'£)-(ь(х'-ё', Хп+КЗтА-Я,

IX ,-6) -фундаментальная матрица решений системы уравнений (2.11).

Система СИУ (2.16) при помощи пеособого линейного преобразования заменяется эквивалентной системой УУ1 - независимых уравнений в случае простых корпей или -независимых систем уравнений треугольного вида в случае кратных корней характеристического уравнения (2.15). Главная часть ядра СИУ имеет вид

1X0 ~ ШЪГ и'с) ехП ЩП^г)) " 1 Г1 Ч г) ^Л >

где Ко "гГЧо} ~'Ь^.Оа . Оператор с ядром обладает свойствами: ЛЕММА 2.9. Если функция £ Су (ограничена ,то

" В частности, если ]Ч Гх',4) & С СЙ^) , то Ис^ £ С Ку) ЛЕММА 2.10. Если функция ^ (у1,!) е С СйЭДограничена, то

1ИоМ\ £ ^рIр (-х к .

ДГСКчКо")

(2.17)

Из оценки (2.17) следует, что

ННо11=1 , если ко-к (.е„ = еь

, если о*к,<к (,0<ео<©) . (2.18)

ТЕОРЕМА 2.5. Если выполнены условия ОйКс< К и IА { ;

либо «о—К (ео=0)и выполнено условие - т0 Уравнение

имеет единственное непрерывное решение, иредставимое в виде

(2.19)

Используя равенство (2.19), показано существование непрерывного решения системы СИУ (2.16). Тем самым доказано существование регулярного решения нелокальной краевой задачи (2.11М2.14).

В § 2.З., используя результаты § 2.2, доказана регулярная разрешимость нелокальной краевой задачи типа Бицадзе-Самарского для системы параболических уравнений

1и~ ¿¿¿-о (220)

с начально-краевыми условиями

Цех,о) -О (2.21) , ЫСлЩ^Ш , (2.22)

Шх,*)|8Ю + Л и Ш)1$е> - и "и) а23)

в нецилиндрической области Л*с боковой границей £ § 2 /2 Поверхность З^Л пересекается с 5*и между Б" и существует гомеоморфизм : если (X 'О бЗ^.то С X М,С) = 6 3 .

ГЛАВА 3. Разрешимость краевых задач для ультрапараболичес-ких уравнений в областях с неглакими границами. Это глава содержит небольшое введение и шесть параграфов. Во введении приведепо определение и выписаны основные типы ультрапараболических уравнений.

В § 3.1 излагается теория потенциалов для уравнения

Известно [8], что Ф.Р. уравнения (3.1) является обобщенной функцией

Г (Х,Ч § = Q5.t)г?5 ,

L-i

где G) i"t ) § Д) - Ф.Р. параболического уравнения U t = Li (X >t \JL ^ 5(4) - дельта функция Дирака, ^(t^Jpcmeirae системы ф I У ,-t) —

относительно Ч = I4i,4i,. •гл) • а ТО,*) =\Ч>1,Ч>2 , • • -,

- совокупность независимых интегралов системы

il___ ¿Чг a\fm

ёгШ) * втШ) '

теорема3.3.Если $(х,У)€ £f FlW.Deû*'^(R"/")

и ограничены, то регулярное решите задачи Копта выражается формулой

ь

о pn

При помощи Ф.Р. rivX>y,"tjSJ>?/t) построены объемные и поверхностные потенциалы для области J"L"p X Я с границей

StXR

, которые обладают

свойствами, аналогичным свойствам параболических потенциалов. Пользуясь этими потенциалами можно доказать разрешимость различных локальных и нелокальных краевых задач для уравнения (3.1) в цилиндрических областях Jbp X (¿/^ и нецилиндрических областях

В § 3.2 применяя потенциалы, построепые в § 3.1, решена краевая задача для уравнения (3.1) с начально-краевым условием

Ut*,y,D^O (3.2) , Ц1*>У»«|£ = ± (3.3H3.4)

в клинообразной области JljX R*4 - гае SiТ = ^ (,Х >"0 ; - оо< X, «£. оо, 0 < )Сг <

о^-ь<т} , точи. Xl= Ul.Xs^lO^eS'^Xi-tKXa), 3/& -угол клина.

(3.5)

Решение краевой задачи (3.1)-(3.4) ищется в виде

uu.y.-t) - ± UWi ^Шч^ .

J "i о S

Относительно неизвестных функций 4 £ (2-j-XR ^

получена система СИУ

61 и'.ч,«oe

о SIJ)

Однозначная разрешимость системы СИУ (З.б) доказана методом регуляризации при выполнении условия 1 4 "If (У Si) | <31 , где

é 5.KVÂîïûdti и™ о<е<зг. (3.7)

ТЕОРЕМА 3.8. Если заданные ограниченные функции

Ч, О) r-О и вьгаош!ено условие (3.7), то краевая задача (3.1)-(3.4) имеет регулярное решение, определяемое равенством (3.5), где €Г¿ ,é)

находятся из системы СИУ (З.б).

В § 3.3. построена теория потенциалов многовремешюго ультралара-болического уравнения. Сперва рассмотрена обобщенная задача Коши для уравнения с постоянными коэффициентами

U, fLaclaPj UXpXj -t 11, fbaciijU) + РШ)

(3.8)

векторы 6 ~ -(Ь,../5и)с элементами ^>0 и | е(: 1 . 1

Матрица А -симметрическая положительно-определениая.

Поверхность Р С С.* -без края, лежащая в и пересекается с прямой, параллельной , не более одного раза. Точка^бГ - проекция точки ^ вдоль направления & область в^с границей Р и содержащая вектор £ .

ТЕОРЕМА3.9. Если функции Р(Х)УД) <2. Оу ^(Х^ХЗ^),

Сх |У \ + (.{^ХР-^ХГ) И ограииены, то ряулярное решение задачи Коши (3.8)-(3.9) выражается формулой

к

о

где

[мат'4 ,

Методом Леви, взяв за параметрикс Ф.Р. С© , уравнения

ультрапараболического уравнения

И*

. (310)

Затем построены объемные и поверхностные потенциалы с ядром 2)

для области Л ХЗ? с границей обладающие свойствами обычных параболических потенциалов. При помощи ультрапараболических потенциалов можно решать различные краевые задачи для областей с негладкой границей.

В § 3.4. рассмотрена нелокальная краевая задача для уравнения (3.10) с начально-краевыми условиями

' " .....

(3.11), Шхю^ю , (3.12)

где чЛR2 e границей S1 — S°U S<2><£С ^■ носитель нелокального условия 2° пересекается с границей S в точках Oi и 0¿ .которые являются общими концами кривых БШи S®. Между кривьши S и существует гомеоморфизм: если Х°£ S°,to

S(xeJ-x.a)£ Su-

Регулярная разрешимость нелокальной краевой задачи(3.10)-(3.13) доказана при помощи специальных потенциалов с ядром функции Грина задачи Дирихле для уравнения (ЗЛО) сведением к решению СИУ при выполнении следующих условий:

а) &i (Oi)y О и lÁWi,t)í~-i) или

б)0í(C¿)^0h ( A(Oi,t)(¿-Ac.<l > где 6i(0¡)-yrnbi между кривьши S" и S^'b точках C¿ .

В § 3.5 излагается теория потенциалов для вырождающихся ультрапараболических уравнений

ñ т (3 14)

Ui = L ÍX, ЧА, ъд и + £ ХК Lío .

Для укороченного уравнения с "замороженными" коэффициентами

ttt ~ £ a¿juXixj

ijn IÍ=Í

Ф.Р. ( х ^ «> , У-1 -fc--^ задачи Коши имеет вид:

В случае М :

U.IV, V3 4._ I бПх-^^Ь .

? i J

случае УП< УХ. :

r tS,4/1Y ^ xm [rf^/U.ckiAj^ ( Uo -Uirtt^e; (J^^vwñ 4 (£-t) j

В случае VYl< KL

g ^ [rfeM

l

ib-zi

где И-

RnU-s) = S йымр) lУс-Si) íJfj-Sí), ¿j=±

~ 17! , Ат - Ссц^.ч/о) ц =^

Ф.Р. (X»УД;'для уравнения (3.14) с переменными коэффициентами строится методом Леви, взяв за параметрите Ц.0 ( X Т £, с> ■

теорема 3.17. Если 6 С ( Й""*) , Р(У.У^) £ С^'^

и !|(;с,ул,1РЧх,у,«|<Мехр | К2(1х1г+1У12)^

то существует регулярное решение задачи Коши

+ РСУ, Ц,

которое выражается формулой

Я"1 Я" о ВТ Г-

для 1е^О,Т0)да Т0 удовлетворяет неравенству ± - Ц ~% ЬЗТ^ >0, „ричемрешение , ^ £ Мо £ Х (,„,2 +, у ^ .

В § 3.6 решена смешанная краевая задача для уравнения типа Колмогорова в области _П."Г

с начальным и краевым условиями

и(*,у,г,о)= , (зле)

и1х,о,?,« = ц>сх,г,й (ЗЛ8)

ТТри помощи специалшых потенциалов задача (3.15)-(3.17) сведена к решению СИУ Ji О

(3.19)

где = -^-ехр^ 3 -^Н >

ТЕОРЕМА 3.18. Если £ Сх.'г'Д • то СИУ (ЗЛ9) имеет

единственное непрерывное решение, определяемое формулой

0 Л10 (3.20)

гае резольвента Р. IX-В]'к удовлетворяет неравенству

ТЕОРЕМА 3.19. Если заданные фупкщш р ?,■{:) £ С^'у}?' ^

то краевая задача (3.15):(3.18) имеет регулярное решение в виде

о а,2)

где О (У,6) -определяется формулой (З.М), ¿щ^2 Ч ЧЦЗ.) (¿-О3 ГЛАВА 4. Краевые задачи для полипараболических уравнений в областях с негладкой границей. Эта глава состоит из введения и трех параграфов. Во введении дается определение полипараболического (полиультрапараболического) уравнения.

(4.1)

Обшее линейное полипараболическое уравнение имеет вид:

А и = I я* ад > £-К)и = Р (ы),

К^о

где - любой линейный параболический оператор.

В § 4.1. построена теория потенциалов для простого уравнения

£Ри~0. (4.2)

ЛЕММА 4.1. Если оператор г£ имеет Ф.Р. ( К) § , то функции

являются лшейно независимыми решениями уравнения (4.2).

При помощи IX> Ь) 5 построены потенциалы:

сх,-*) = ^лг^е^ОС&ки,*;!^)^,

О 2

О ^

ЛЕММА 4 3. Если функции

и ограничены, то при -¿?- О И V Х&Л справедливы равенства 3Ч^Мк — О и Щ & М

I О 7 К-Ф-Ш •

ТЕОРЕМА 4.1. Если функции & (У) & С (Я"), Р (Х,« €

и ограничены, то регулярное решение задачи Коши

с«) (4.4)

выражается формулой

Р-1 1 "

им- X РМ

О

Примечание. Если задаются начальные условия вида , то можно заменить их условием (4.4), т.е.

ТЕОРЕМА 4.2. Если функция б £ С($гк ограничена ,а ,то

2Р Р

V 2 С*, £ (&т) является решением

уравнения , а на 2 справедливы предельные соотношения

1 ° , тж ,

Г О 5 УП>К

Х->х0е£ -х

1 , П»<К .

ТЕОРЕМА 4.3. Если функции {*>*) в ограничена, а $ £ С1"^ , то при

t - является решением

Ги-о

и

т ( о , т> к

В § 4.2 построены и изучены основные свойства потенциалов для уравнения (4.1). Ф.Р. ф (ХД^З/С) полипараболического оператора Д строится методом Леви с параметриксом

При помощи (X § построепы объемные и поверхностные потенциалы и изучены их свойства. Используя свойства построенных потенциалов, можно решить локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения (4.1) в цилиндрических и нецилипдрических областях с негладкими границами.

В § 4.3. решена следующая краевая задача дли общего биулыралараболического уравнения

с начально-краевым условием:

и(яхг -^»СхД) , (4.7)

(4.8)

(4Л0)

в клинообразной области ЛХ2>р > Л "5 ^ Х = {.Х1,Х2, • • -.Хм) О < Хц-1< - Оо < х"< оо , [ Хл| £ £ ^л при ребре области Л •

¿Йг - область в^ с границей Р, содержащая положительный вектор 2. . Используя свойства полипараболических потенциалов краевая задача (4.б)-(4.10) сведена к решению системы СИУ, существование решений которой доказывается методом регуляризации. В итоге получена

теорема4.п.если р1х,*> еф ± ^^ , & (х,^ £ |

С и ограничены, коэффициенты

и О^^-ТТ, то краевая задача (4.б)-(4.10) имеет регулярное решете.

В заключении считаю своим долгом выразить благодарность член-корр. HAH PK

проф. Е.И.Ким за постоянное внимание к работе и полезное обсуждение

Цитированная литератора

м

результатов.

1.0.АЛадыженская, В.А.Солонпиков, Н.Н.Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. Изд."Наука" M.1967.C.736

2.А.Фридман. Уравнения с частичными производными параболического типа. Изд."Мир".М.19б8.с.427

3.С.Д.Эйдсльман.ГГараболическис уравнения в кн.Итоги пауки и техники, серия совр. проблемы математики, фундаментальные направления. ВИНИТИ. 1990 г. т.63 с.201-313.

4.В.А.Кондратьев. О.А.Олейник "Краевые задачи для уравнения с частичными производными в негладких областях" УМН т.38, вып.2(230), 1983 г,с.3-7б

5.Gevrey M."Sur les eguaiions aux derivees partielles du tupe paraboligne". I.Math.pur.Appe, ser. 6, v.9,N4,1913 ,p.305-471

6.Мкштц Г. Интегральные уравнения. T.I. Л-М:ГТТИ 1934 г.

7.А.Н.Тихонов."Об уравнении теплопроводности для нескольких переменных". Бюм.МГУ. сскц.Ат-1 вып9.1938.с.1-45

8.А.П.Малицкая,С.Д.Эйдельман."0 фундаментальных решениях и стабилизации решения задачи Коши для одного класса выразкдающихся параболических уравнений". Дифф.уравнения, t.11,N 7,-1975 г., с.1316-1330.

Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах: 1,Орьшбасаров М.О. Первая граничная задача для трехмерного уравнения параболического типа с переменными коэффициентами при наличие особенности на Гранине области".Изв.АН Каз ССР серия физико-матем. N3,1970,c.52-58. 2.0рынбасаров М.О. Первая граничная задача уравнения параболического типа, когда область имеет две угловые точки. Труды ИММ АН КазССР т.1, 1970, с. 121-130.

З.Орынбасаров М.О. Потенциалы полипараболического уравнения с переменными коэффициентами и их применение к решению обобщенной задачи Дирихле в клинообразной области. Труды ИММ АН Каз ССР т.2Д971,с.43-54. 4.0рынбасаров М.О. "Об одной задаче типа Неймана для общего бипараболического уравнения" Изв.АН КазССР серия физ-мат., N 1, 1973 г, с.51-58.

б.Орьшбасаров М.О. Решение первой граничной задачи для системы параболических уравнений в области, когда граница имеет углы и точки. Сборник по вопросам математики и механики. (Межвуз.сб.) изд. КазГУ. вып. VI ,1974 г. часть I. с(60-71), часть П (с.71-76)

б.Орьшбасаров М.О. "Существование решения задачи тина Дирихле для системы полипараболических уравпенией с переменными коэффициентами в клинообразной области" Сборник по вопросам математики и механики (Межвуз.сб.) изд.КазГУ вьщ.УШ, 1976 г., с. 41-52.

7.0рынбасаров М.О. "Существование решения первой граничной задачи для общего параболического уравнения с персмешшми коэффициентами в бесконечном клине". Вопросы математики и прикладной математики (Межвуз.сборник) изд.КазГУ, А-Ата, 1977, с. 68-76.

8.0рынбасаров М.О. Существование решения первой граничной задачи для системы уравнений параболического типа в области,граница которой имеет угловые точки. Труды всесоюзной конференции по уравнениям с частными производными, поев. 75-летию со дня рождения Г.И. Петровского. М.1978,изд.МГУ с.404-405. 9.0рынбасаров М.О. "Решение третьей краевой задачи для параболического уравнения с переменными коэффициентами в области с нерегулярной границей. Дифференциальные уравнения и их приложения (Межвуз.сборник) изд.КазГУ, А-Ата, 1980 г, с. 67-74.

Ю.Ким Е.И. Орынбасаров М.О. Построение решения одного сингулярного интегрального уравнения типа Вольтерра-Фредгольма. Изв.АН КазССР, серия физ-мат, N3, 1983, с.54-59.

П.Орынбасаров М.О. Задача типа Бицадзе-Самарского для параболического уравнегшя в области с негладкой границей. Изв.ЛН КазССР серия физ-MaTeM.N 5, 1989,с.19-20.

П.Орынбасаров М.О. Задача Дирихле для одного класса ультрапараболического уравнения в области с негладкой границей."Изв. АН КазССР серия физ-матем-N 5, 1990, с.34-40.

13-Орьшбасаров М.О. "Краевая задача для параболического уравнения в нерегулярной области, когда па границе заданы смешанные краевые условия."Изв.АН КазССР. серия фго-матем.да,1991, с.40-47.

14.0рынбасаров М.О. "О разрешимости одной нелокальной краевой задачи для параболического уравнения." в кн."Краев.задачи и их спектральные вопросы."(тезисы докладов) А-Ата, 1991, с. 70.

15.0рьшбасаров М.О."Нелокальная краевая задача для одной параболической системы уравнений в клинообразной области."Изв. АН КазССР,серия флз-мат-N 3,1992,с.52-59. КШрынбаеаров М.О."Краевая задача Бицадзе-Самарского для ультрапараболического уравнения. "Доклады НАН РК", N3, 1992, с.8-14.

П.Орынбасаров М.О."Разрешимость некоторых краевых задач для одного вырождающегося ультрапараболического уравнения. "Диф-ые и ито-ые уравнения. Матем.физика и спец.фупкции (Тезисы Международной науч. конференции) г.Самара, 1992, с.191-192.

18.0рынбасаров М.О.Задача Дирихле для параболического уравнения 2-го порядка в клинообразной нецилиндрической области. Изв.НАН РК серия физ-матем. N 3, 1994, е.38-45.

19.0рынбасаров М.О. О смешанных краевых задачах для одного вырождающегося ультрапараболического уравнения в угловой области. Доклады НАН РК, N3, 1993, с.24-30.

20.0рынбасаров М.О."Локальная и нелокальная краевые задачи для ультрапараболического уравнения в нецилиндрической области с негладкой границей.Тезисы докладов международной конференции "Вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа" Ташкент, 1993, с.138.

21.0рынбасаров М.О." О разрешимости краевых задач для параболического и полипараболического уравнений в иецшпшдрической области с негладкими боковыми границами. Дифференциальные уравнения, т.30, N 1, 1994, с. 151-161. 22. Орынбасаров М.О. "Первая краевая задача для одного вырождающегося параболического уравнения в областях с коническими точками. Изв.НАН РК серия физ-матем. N 1,1994,с.61-б8.